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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ

PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO

INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG

PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO

NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA DE CÁLCULO 1

MATERIAL EM CONSTRUÇÃO

PROFESSOR: RAIMUNDO AUGUSTO

Santarém-Pará

2016

2


INTRODUÇÃO

Na disciplina se utiliza todo conhecimento já adquirido de matemática;

Desenvolve o estudo de funções de um variável real;

Estudo de funções;

Limite, derivação e integração ( técnicas de estudos de funções).

3


FUNÇÕES

Relação entre números reais unívoca.

– Conjunto dos números reais

( )

Onde D é o Domínio de f

Gráfico de f: *( ) ( ) +

*( ) +

Gráfico da reta vertical de mínimos e máximos

Criando novas funções de funções conhecidas

{ ( ) ( )

( ) ( )

{ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

Ex: Começando com ( ) ( ) ( )

Construção das funções polinomiais

Construção das funções racionais

Ex: ( )

( )

* , -+

1) Transformações das variáveis

4


( ) { ( ) ( )

( ) ( )

Ex: ( ) ( )

( ) .

/

Figura 2: gráfico da função f(x) e g(x) Fonte: Geogebra 4.2.25

Ex: ( ) .

/ ( ) .

/ .

/ ( ) ( )

( ) ( )

Figura 3: gráfico da função f(x) e g(x) Fonte: Geogebra 4.2.25

SIMETRIAS

Função par: ( ) ( )

Função impar: ( ) ( )

5


Obs.: Não existe simetria no eixo x

Composição de função

2) Transformações da variação em geral

( ) ( ) ( ) ( ( ))

Ex: { ( )

( ) ( ) (

)

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO INVERSA

Dada a função g(x) então f(x) é sua inversa se:

{ ( )

( )

Condições:

1) ( ) ( )

2) ( )

Ex: ( ) ( )

( ) * +

( ) √

Dom(f),

( )

( ) * ( )+

* ( ) +

CONCEITO FUNDAMENTAL DE LIMITE

6


Noções de derivada

Figura 3: gráfico da derivada Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada1.htm

( ( )) ( )

Figura 4: Função derivada fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/11/reta-tangente-uma-curva.html

( )

( )

7


Figura 6: gráfico da função 2x Fonte: Geogebra 4.2.25

( )

Gráfico da função limite

( )

( ) * +

Dizemos que ( ) ( ) se dado , existe

tal que se ( ) .

Figura 7: gráfico da função f(x) = 4x-4 Fonte: Geogebra 4.2.25

8


Figura 9: gráfico da função limite Fonte: http://www.vivendoentresimbolos.com/2014/10/curso-calculo-aula-3-definicao-formal-de-limite.html

Ex: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Escolho

LIMITES LATERAIS

9


Figura 10: gráfico da função limite lateral Fonte: www.calculo.iq.unesp.br

( )

( )

( )

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

e) ( )

f) ( )

Propriedade de limite

1. , ( ) ( )- ( ) ( )

2. , ( )-

( )

3. , ( ) ( )- ( ) ( )

4. , ( ) ( )- ( ) ( )

5. , ( ) ( )- ( )

( ), ( )

6. , ( )- , ( )-

7.

8.

9.

10. √

√

11. √ ( ) √ ( )

Exercício:

1. Calcule os limites a seguir justificando cada passagem.

a) ( )

10


b)

2. Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se

ela existir. Senão existir, explique por quê.

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( )

e) ( )

Falta o gráfico

Teorema: Se ( ) ( ) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os

limites de f e g existem quando x tende a “a” então:

( )

( )

TEOREMA DO CONFRONTO

Se ( ) ( ) ( ) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e:

( )

( )

Então

( )

Ex: Mostre que

Figura 12: gráfico da função

Fonte: Geogebra 4.2.25

Exercício 1: Mostre que

11


LIMITE INFINITO

Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possível em 0.

Então:

( )

Significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão

grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente próximo de “a”, mas não igual a

“a”.

Obs.: Falar do -

Encontre se existir, o

gráfico

Ex: ( )

Exercício:

1)

2)

3)

4)

CONTINUIDADE

Definição: Uma função ( ) é contínua em ( ) ( ) ( )

Ex: Toda função polinomial ou racional é contínua em todos os pontos de seu domínio.

a) ( )

( ) * +

( )

12


Figura 14: gráfico da função ( )

Fonte: Geogebra 4.2.25

b) ( ) {

Gráfico

Pela definição, requer 3 coisas

1. f(a) esta definida ( isto é, a está no domínio de f)

2. ( )

3. ( ) ( )

Exercícios:

a) ( )

( )

b) ( ) {

( )

c) ( ) {

( )

d) ( ) ( )

e) ( )

( )

Teorema: Se forem contínuas em a e c for constante, então as seguintes funções

também são contínuas em a:

1)

2)

3)

13


4)

5)

( )

Demonstração de 1

Sabendo que:

( ) ( ) ( ) ( )

Então:

( ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

Teorema: Os seguintes tipos de funções são continuas para todo número de seus

domínios:

POLINÔMIOS, RACIONAIS, RAÍZES, TRIGONO METRICAS, EXPONENCIAIS E

LOGARITMICAS.

LIMITES NO INFINITO; ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Definição: Seja uma função definida em algum intervalo ( ). Então:

( )

Significa que os valores de ( ) ficam arbitrariamente próximos de L tomando x

suficientemente grande.

Exemplo:

Exemplo:

Exercício:

Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função.

Resolução:

14


√

√

√

√

Gráfico de assíntota

LIMITES INFINITOS NO INFINITO

Notação:

( )

Exemplo: Encontre

Exercício:

1)

2)

3)

4)

DERIVADA PELA DEFINIÇÃO DE LIMITE

Gráfico da definição de derivada

( )

( ) ( )

Ex.: ( )

( )

( )

15


Gráfico da reta tangente

Gráfico da geometria

Exercício:

1) ( )

2) ( ) √

3) √

REGRA DA SOMA

, ( ) ( )-

( )

( )

Seja ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

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FUNÇÕES EXPONENCIAIS

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Definição do número

Logo quando temos , temos:

( ) ( )

REGRA DO PRODUTO OU DE LEIBNIZ

, ( ) ( )- ( )

, ( )- ( )

, ( )-

Ex.:

1) ( ) ( )( ) ( )

2) ( ) √ ( )

√

REGRA DO QUOCIENTE

[ ( )

( )]

( )

, ( )- ( )

, ( )-

, ( )-

Ex.:

17


1)

( )

2)

( )

( )

Resumo:

1)

( )

2)

( )

3)

( )

4) ( )

5) ( )

6) ( )

7) ( )

8) .

/

Exercício:

1. Derive:

a) ( )

b) ( ) √

c)

d)

e) ( )

f) ( ) ( )( )

Exercício para casa, pagina 173 questões: 1-30,41-44.

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