Notas de Aulas de C alculo - uv.es · 1.4 Retas no espa˘co De ni˘c~ao 1.4.1 Dois vetores !u e !v...
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Universidade Estadual de Montes Claros
Departamento de Ciencias Exatas
Curso de Licenciatura em Matematica
Notas de Aulas de
Calculo
Rosivaldo Antonio Goncalves
Notas de aulas que foram elaboradas para orientar
o estudo de conteudos basicos de Matematica para
o curso de Licenciatura em Matematica.
Montes Claros, - 24 de marco de 2012
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Coordenadas Cartesianas
1.1.1 Plano
Os pontos de um plano sao identificados com pares ordenados de numerosnaturais reais;
P = (x, y),
sendo x a abscissa de P e y a ordenada de P .
1.1.2 Espaco
Os pontos do espaco sao identificados com ternos ordenados de numeros reais;
P = (x, y, z),
sendo x a abscissa de P, y a ordenada de P e z a cota de P .
1
1.2 Vetores
1.2.1 Plano
O par ordenado (x, y) e identificado com o vetor−→OP , sendo O a origem do
sistema ortogonal de coordenadas cartesianas e P o ponto de coordenadas (x, y).
1.2.2 Espaco
Os vetores no espaco sao introduzidos como ternos ordenados de numerosreais.
1.2.3 Operacoes
i) (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′)
ii) λ(x, y, z) = (λx, λy, λz);
iii) o oposto do vetor −→v = (x, y, z), e o vetor −−→v = (−1)−→v = (−x,−y,−z);
iv) (x, y, z)− (x′, y′, z′) = (x, y, z) + (−1)(x′, y′, z′) = (x− x′, y − y′, z − z′).
Nota 1.2.1−→0 = (0, 0, 0) e chamado vetor nulo.
1.2.4 Propriedades
Quaisquer que sejam os vetores −→u ,−→v e−→w e os escalares λ e β temos,
i) −→u +−→v = −→v +−→u ;
ii) (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w );
iii) −→u +−→0 = −→u ;
iv) −→u + (−−→u ) =−→0 ;
v) (λ+ β)−→u = λ−→u + β−→u ;
vi) λ(−→u +−→v ) = λ−→u + λ−→v ;
vii) (λβ)−→u = λ(β−→u );
2
viii) 1−→u = −→u .
Demonstracao
i) Sejam −→u = (x, y, z) e −→v = (x′, y′, z′). Entao−→u + −→v = (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′) = (x′ + x, y′ +y, z′ + z) = (x′, y′, z′) + (x, y, z) = −→v +−→u .
As demonstracoes dos outros itens ficam como exercıcios.�
1.2.5 Norma
Geometricamente, a norma de um vetor −→v =−→OP e o comprimento do seg-
mento geometrico OP que representa o vetor.
i na reta: ‖ x ‖=√x2 =| x |
ii no plano: −→v = (x, y), ‖ −→v ‖=√x2 + y2
iii espaco: −→v = (x, y, z), ‖ −→v ‖=√x2 + y2 + z2
1.3 Produto Escalar
Definimos a adicao e subtracao de vetores e multiplicacao de um vetor porum escalar. Agora iremos definir uma operacao de multiplicacao de dois vetores,chamada produto escalar.
Definicao 1.3.1 Se −→v1 = (x1, y1, z1) e −→v2 = (x2, y2, z2), entao o produto escalar
de −→v1 e −→v2 e dado por
−→v1 · −→v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2
Exemplo(2, 3,−1) · (5, 1, 2) = 10 + 3− 2 = 11
PropriedadesQuaisquer que sejam os vetores −→u ,−→v e−→w e o escalar λ temos,
i) −→u · −→v = −→v · −→u
3
ii) −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w
iii) (λ−→u ) · −→v = λ(−→u · −→v ) = −→u (λ−→v );
iv) −→u · −→u =‖ −→u ‖ 2
As demonstracoes ficam como exercıcios.
Nota 1.3.2 Sobre as posicoes relativas de duas retas, relembremos que:
1. Consideremos as retas r1 e r2, cujas equacoes parametricas sao
dadas,respectivamente, por (x, y) = t(a1, b1) e (x, y) = t(a2, b2),
2. Sabemos que r1 e r2 sao perpendiculares se, e somente se, b1a1
b2a2
= 1, ou
a1a2 + b1b2 = 0, ou (a1, b1) · (a2, b2) = 0
Assim, temos a seguinte definicao.
Definicao 1.3.3 Dizemos que os vetores −→u e−→v sao ortogonais (ou perpendicu-
lares) se, e somente se,
−→u · −→v = 0.Interpretacao geometrica do produto escalar
i) −→u · −→v =‖ −→u ‖‖ −→v ‖ cosα;
ii) seja −→w o vetor projecao do vetor −→v sobre o vetor −→u , entao
‖ −→w ‖=‖ −→v ‖ cosα.
como,
−→u · −→v =‖ −→u ‖‖ −→v ‖ cosα
=‖ −→u ‖ (‖ −→v ‖ cosα)
=‖ −→u ‖‖ −→w ‖,
temos que o produto escalar de −→u e−→v e o comprimento de −→u multiplicadopelo comprimento da projecao de −→v sobre −→u .
4
1.4 Retas no espaco
Definicao 1.4.1 Dois vetores −→u e −→v sao colineares ou paralelos se existe um
numero r tal que −→u = r−→v .
i) Conhecidos um ponto e um vetor: P − P0 = t(P1 − P0)
P = (1− t)P0 + tP1.
ExemplosDeterminar a equacao da reta que passa pelo ponto P0 = (8, 12, 6), paralela
ao vetor −→v = (11, 8, 10).P − P0 = t−→v
(x, y, z)− (8, 12, 6) = t(11, 8, 10)(x, y, z) = (8, 12, 6) + t(11, 8, 10).
1.5 Planos no espaco
Equacao de um plano por um ponto P0 = (x0, y0, z0), perpendicular a umvetor −→v = (a, b, c).
P − P0 ⊥ −→v ,isto e,
−→v · (P − P0) = 0,ou
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,ou
ax+ by + cz + d = 0.
Observacoes
i) Dois planos sao paralelos se, e somente se, seus vetores normais foremparalelos;
ii) Dois planos sao perpendiculares se, e somente se, seus vetores normaisforem perpendiculares;
iii) -plano:ax+ by + cz + d = 0;−→η (a, b, c)
-plano:xy(z = 0);−→η = (0, 0, 1)
(a, b, c) · (0, 0, 1) = 0→ os dois planos sao perpendiculares
Um plano tendo uma equacao sem termo em z e perpendicular ao planoxy e, portanto, paralelo ao eixo Oz.
5
iv) -plano:by + cz + d = 0
Perpendicular ao plano yz e portanto paralelo ao eixo Ox.
v) -plano: ax+ cz + d = 0
Perpendicular ao plano xz e portanto paralelo ao eixo Oy.
Exemplo
Determinar a reta intersecao dos planos de equacoes
x− 2y + z − 1 = 0 e 3x+ y − 2z − 3 = 0.
Resolvendo o sistema de equacoes obtemos x = 1 + 37zey = 5
7z.
Assim, temos as equacoes parametricas,
x = 1 + 37t; y = 5
7t; z = t.
Trata-se da reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, 0) na direcao do vetor~v = (3
7, 5
7, 1).
Faca o mesmo para os planos de equacoes: z = −3x+ 4 e z = −2y + 1.
1.6 Bola aberta
Definicao 1.6.1 Sejam a um ponto no Rn e r > 0 um numero real. O conjunto
B(a; r) = {x ∈ Rn; ‖ x− a ‖< r}
denomina-se bola aberta de centro a e raio r.
-reta
B = {x ∈ R; ‖ x− x0 ‖< r}
-plano
B = {(x, y) ∈ R2; ‖ (x, y)− (x0, y0) ‖< r}
-espaco
B = {(x, y, z) ∈ R3; ‖ (x, y, z)− (x0, y0, z0) ‖< r}
6
1.7 Conjunto aberto
Definicao 1.7.1 Dizemos que (x0, y0) ∈ A e um ponto interior de A se existir
uma bola aberta de centro (x0, y0) contida em A.
ExemploA = {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0ey ≥ 0}
i) Todo (x, y) com x > 0 e y > 0 e ponto interior de A;
ii) Todo (x, y) com x = 0 ou y = 0 nao e ponto interior de A.
Definicao 1.7.2 Dizemos que A e um conjunto aberto se todo ponto de A for
ponto interior.
ExemploO conjunto A acima nao e aberto.
1.8 Ponto de acumulacao
Definicao 1.8.1 Seja um subconjunto do R2 e seja (a, b) ∈ R2((a, b) pode per-
tencer ou nao a A). Dizemos que (a, b) e ponto de acumulacao de A se toda bola
de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) ∈ A com (x, y) 6= (a, b)
Observacao(a, b) e o ponto de acumulacao de A se existirem pontos de A, distintosde
(a, b), tao proximos de (a, b) quanto se queira.Exemplos
(1) A = {(x, y) ∈ R2;x > 0 e y > 0}
(i) Toda (x, y) com x ≥ 0 e y ≥ 0 e o ponto de acumulacao de A;
(ii) (−12, 1) nao e ponto de acumulacao de A.
(2) A = {(1, 2), (−1, 0), (1, 3)} nao admite ponto de acumulacao.
7
Exercıcios
1. Marcar, num sistema de coordenadas, os pontos:
(a) A = (2, 3, 4), B = (3, 2,−4), C = (−2, 1, 3);
(b) D = (−3, 2,−1), E = (−1,−2, 3), F = (−2,−1,−3).
2. Nos itens abaixo, os pontos dados sao vertices opostos de um paralelepipedoretangulo de arestas paralelas aos eixos de coordenadas. Determinadas osoutros seis vertices e fazer graficos em cada caso:
(a) A = (0, 1, 1) e B = (1, 0,−3);
(b) A = (1, 2, 1) e B = (0,−3,−1).
3. Calcular a norma do vetor dado:
(a) −→u = (12);
(b) −→u = (0, 1, 2).
4. Calcular a distancia entre os dois pontos dados:
A = (12,−1, −1
3) e (−1, 1
2, −3
2)
5. Dados A = (−4,−2, 4), B = (2, 7,−1)eC = (5, 4,−3) calcular:
(a) A · (B + C);
(b) (2A+ 3B) · (4C −D);
(c) (A ·B)(C ·D).
6. Determinar o ponto P tal que AP = 3AB, sendo A = (10, 3, 7) e B =(2,−1, 5).
7. Determinar o angulo entre os vetores dados:
(a) −→u = (1, 1, 12) e −→v = (1, 1, 4);
(b) −→u = (−2, 1, 0) e −→v = (0,−3, 2)
8. Determinar as equacoes parametricas da reta pelos pontos dados:
(a) A = (1,−2,−1) e B = (4,−1, 5);
(b) A = (1, 7, 3) e B = (−1, 7, 5).
10. Determinar as equacoes parametricas da reta pela origem, perpendicularao plano de equacao 2x− y + 3z − 6 = 0.
8
11. Determinar o ponto de intersecao do plano de equacao 2x− y− 3z− 4 = 0com a reta pelo ponto (0, 1,−1), na direcao do vetor (1,−2, 1).
12. NOs itens abaixo determinar equacoes parametricas das retas intersecoesdos planos dados:
(a) 2x− y − z − 1 = 0 e x+ y − 2z + 7 = 0;
(b) 2x− y + 5z = 0 e x+ y − 5z = 10;
(c) x = −4 e y = 5;
(d) x+ y = 0 e y + z = 0.
13. Determinar a equacao do plano que passa pelo ponto dado e que seja per-pendicular a direcao do vetor −→η dado:
(a) (1, 1, 1) e −→η = (2, 1, 3);
(b) ((2, 1,−1) e −→η = (−2, 1, 2).
14. Determine a equacao vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que sejaperpendicular ao plano dado:
(a) (0, 1,−1) e x+ 2y − z = 3;
(b) (2, 1,−1) e 2x+ y + 3z = 1.
15. Determine um vetor nao nulo que seja ortogonal aos vetores −→u e −→v dados:
(a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (2, 1, 2);
(b) −→u = (3, 2,−1) e −→v = (−1, 2, 1).
16. Trace um esboco do plano com equacao:
(a) 2x+ 4y + 3z = 8
(b) 3x+ 2y − 6z = 0
17. Encontre a equacao do plano que contem o ponto (4, 0,−2) e e perpendic-ular aos planos x− y + z = 0 e 2x+ y − 4z − 5 = 0
18. Verificar quais dos conjuntos abaixo sao abertos em R2:
(a) {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1};(b) {(x, y) ∈ R2;x+ y ≥ 1}(c) {(x, y) ∈ R2;x+ y > 3 e x2 + y2 < 16}.
9
19. Determine o conjunto dos pontos de acumulacao do conjunto dado:
(a) {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1}(b) {(x, y) ∈ R2;x e y inteiros }.
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Capıtulo 2
Funcoes de varias variaveis reais
a valores reais
2.1 Funcoes de duas variaveis reais a valores
reais
Uma funcao de duas variaveis reais a valores reais e uma funcaof : A ⊂ R2 → R. O conjunto A e o domınio de f e sera indicado por Df ; oconjunto
Im(f) = {f(x, y) ∈ R; (x, y) ∈ Df}
e a imagem de f.
Exemplos 2.1.1 (1) f(x, y) =√y − x+
√1− y
Df = {(x, y) ∈ R2; y ≥ x e y ≤ 1}
Imf = [0,+∞[
(2) f(x, y) = 5x2y − 3x
Df = R2
Imf = R
11
(3) Seja a funcao w = f(u, v) dada por u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0
(i) u2 + v2 + w2 = 1⇒ w =√
1− u2 − v2
(ii) f(u, v) =√
1− u2 − v2
(iii) Df = {(u, v) ∈ R2; 1− u2 − v2 ≥ 0}
Imf = [0, 1]
(4) f(x, y) =√y − x2
Df = {(x, y) ∈ R2; y − x2 ≥ 0}
Imf = [0,+∞]
2.2 Grafico
Definicao 2.2.1 Seja f : A ⊂ R2 → R. O conjunto Gf = {(x, y, z) ∈ R3; z =
f(x, y), (x, y) ∈ A} denomina-se grafico de f .
Nota 2.2.2 O grafico de f pode ser pensado como o lugar geometrico descrito
pelo ponto (x, y, f(x, y)) quando (x, y) percorre o domınio de f .
Exemplo 2.2.3 f(x, y) = 2
2.3 Curvas de nıvel
Definicao 2.3.1 Sejam z = f(x, y) uma funcao e c ∈ Imf. O conjunto de todos
os pontos (x, y) ∈ Df tais que f(x, y) = c denomina-se curva de nıvel de f
correspondente ao nıvel z = c.
Nota 2.3.2 (i) f e constante sobre cada curva de nivel;
12
(ii) O grafico de f e um subconjunto do R3; uma curva de nıvel e um subcon-
junto do domınio de f , portanto do R2.
Exemplos 2.3.3 (1) f(x, y) = x2 + y2
(i) curvas de nıvel: x2 + y2 = c → circunferencia de centro na origem e
raio√c
(ii) z = 0→ origem
x = 0→ z = y2
y = 0→ z = x2
(iii) Df = R2
Imf = [0,+∞[
(2) f(x, y) =√
25− x2 − y2
(i) curvas de nıvel:√
25− x2 − y2 = c ⇒ x2 + y2 = 25 − c2, circun-
ferencias de centro na origem e raio√
25− c2
(ii) Df = {(x, y) ∈ R2; 25− x2 − y2 ≥ 0}
Imf = [0, 5]
(3) f(x, y) = 8− x2 − 2y
curvas de nıvel:
8− x2 − 2y = c⇒ x2 + 2y = 8− c⇒ y = −12x2 + 8−c
2
- f(x, y) = x2 + y2
- f(x, y) =√
25− x2 − y2
13
- 8− x2 − 2y
Exercıcio 2.3.4 1. Seja (x, y) = x+yx−y .
(a) Determine o domınio de f .
(b) Calcule f(2, 3) e f(a+ b, a− b).
2. Represente graficamente o domınio da funcao z = f(x, y) dada por:
(a) f(x, y) = x2−3xy+1x2y2+1
;
(b) x+ y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0;
(c) z =√y − x2 +
√2x− y;
(d) z =√| x | − | y |;
(e) z =
√x2+y2−25
y;
(f) f(x, y) = x−y√1−x2−y2
;
(g) z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0.
3. Toda funcao f : R2 → R dada por f(x, y) = ax + by, sendo a e b reais,
demonina-se funcao linear. Seja f : R2 → R uma funcao linear. Sabendo
que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3, calcule f(x, y).
4. Uma funcao f : A ⊂ R2 → R denomina-se funcao homogenea de grau n se
f(tx, ty) = tnf(x, y)
para todo t > 0 e para todo (x, y) ∈ A tais que tx, ty ∈ A.
(a) Mostre que f(x, y) = x2 + 3xy e homogenea de grau 2.
14
(b) Suponha que f : R2 → R seja homogenea de grau 2 e f(a, b) = a para
todo (a, b) com a2 + b2 = 1. Calcule f(4√
3, 4) e f(0, 3).
5. Desenhe as curvas de nıvel e esboce o grafico:
(a) f(x, y) = 1− x2 − y2;
(b) f(x, y) = 1 + x2 + y2;
(c) f(x, y) = x2,−1 ≤ x ≤ 0, y ≥ 0;
(d) f(x, y) = 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e y ≤ 1;
(e) f(x, y) = x, x ≥ 0;
(f) f(x, y) = x+ 3y;
(g) g(x, y) =√
1− x2 − y2;
(h) z =√x2 + y2;
(i) f(x, y) = 1√1−x2−y2
6. Determine a imagem:
(a) f(x, y) = x− 2y;
(b) z = yx−2
;
(c) z = 4x2 + y2.
15
16
Capıtulo 3
Limite e continuidade
3.1 Limite
Sejam f : A ⊂ R2 → R uma funcao, (x0, y0) um ponto de acumulacao de A eL um numero real. Definimos
lim(x,y)→(xo,y0)
f(x, y) = L
se, somente se,para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ A
0 <‖ (x, y)− (x0, y0) ‖< δ ⇒| f(x, y)− L |< εObservacoes
(i) lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L significa: dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x, y)
permanece em (L− ε, L+ ε) quando (x, y), (x, y) 6= (x0, y0), varia na bolaaberta de centro (x0, y0) e raio δ.
(ii) Sempre que falarmos que f tem limite em (x0, y0) fica implıcito que (x0, y0)e ponto de acumulacao de Df .
Exemplos
(1) lim(x,y)→(0,0)
2x+ 3y = 0
Devemos mostrar que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
0 <‖ (x, y)− (0, 0) ‖< δ ⇒| 2x+ 3y − 0 |< ε
(i) | 2x+ 3y |≤| 2x | + | 3y |= 2 | x | +3 | y |
17
(ii) | x |≤√x2 + y2 e | y |≤
√x2 + y2
(iii) De (i) e (ii) temos que | 2x+ 3y |≤ 2√x2 + y2 + 3
√x2 + y2
Assim, dado ε > 0 e tomando δ = ε5,
0 <‖ (x, y)− (0, 0) ‖< δ ⇒√x2 + y2 < ε
5,
ou seja,
0 <‖ (x, y)− (0, 0) ‖< δ ⇒| 2x+ 3y |< 5 ε5
= ε
Logo, lim(x,y)→(xo,y0)
(2x+ 3y) = 0
(2) f(x, y) = x2−y2x2+y2
tem limite (0, 0)?
(i) sobre o eixo x : f(x, 0) = 1
(ii) sobre o eixo y : f(0, y) = −1
Nao existe numero L tal que f(x, y) permaneca proximo de L para (x, y)proximo de (0, 0); este fato indica-nos que f nao deve ter limite em (0, 0).De fato, dado ε = 1
2temos
– se L ≤ 0, | f(x, 0)− L |≥ 12
para todo x 6= 0
– se L > 0, | f(0, y)− L |≥ 12
para todo y 6= 0
Teorema 3.1.1 Se a funcao f tem limites diferentes quando (x, y) tende a
(x0, y0) atraves de dois conjuntos distintos de pontos que tem (x0, y0) como um
ponto de acumulacao, entao lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) nao existe.
Exemplos
(1) f(x, y) = x2−y2x2+y2
(i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = limx→0
x2
x2= 1
(ii) S2 conjuntos de todos os pontos no eixo y
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = limy→0
−y2
y2= −1
Logo lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2nao existe.
18
(2) lim(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
(i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x lim(x,y)→(0,0)
0
x4= 0
(ii) S2 conjunto de todos os pontos na reta y = x
lim(x,y)→(0,0)
x3
x4 + x2= lim
(x,y)→(0,0)
x
x2 + 1= 0
(iii) S3 conjunto de todos os pontos na parabola y = x2
lim(x,y)→(0,0)
x4
x4 + x4=
1
2
Assim lim(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2nao existe.
ObservacaoAs propriedades ja conhecidads de limites continuam validas para fucoes de
varias variaveis.
3.2 Continuidade
Sejam f : A ⊂ R2 → R e (x0, y0) ∈ A um ponto de acumulacao de A.Dizemos que f e contınua no ponto (x0, y0) se, somente se, as tres condicoesseguintes forem satisfeitas,
(i) f(x0, y0) existe;
(ii) lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) existe;
(iii) lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)
ObservacaoAs propriedades ja conhecidas de continuidade continuam validas para
funcoes de varias variaveis.Exemplos
(1) f(x, y) = 2 lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = lim(x,y)→(x0,y0)
2 = 2 = f(x0, y0)
(2) Discuta a continuidade de
f(x, y) =
x2 + y2, se x2 + y2 ≥ 1;
0, se x2 + y2 < 1.
19
(i) f esta definida em todos os pontos de R2, assim a condicao (i) everificada em todo ponto (x0, y0)
(ii) Consideremos os pontos (x0, y0) tais que x20 + y2
0 6= 1
∗ x02 + y0
2 > 1,lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)x2 + y2 = x0
2 + y02 = f(x0, y0)
∗ x02 + y0
2 < 1,lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)0 = f(x0, y0)
Entao f e contınua em todos os pontos (x0, y0) tais que x02+y0
2 6=1
(iii) Consideremos os pontos (x0, y0) tais que x02 + y0
2 = 1(devemosmostrar que lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) existe e e igual a 1).
∗ Seja S1 o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 + y2 ≥ 1lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)x2 + y2 = x2
0 + y20 = 1
∗ Seja S2 o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x20 + y2
0 < 1lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)0 = 0
Assim lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) nao existe.
Portanto, f e descontınua em todos os pontos (x0, y0) para osquais x0
2 + y02 = 1
(3) Discuta a continuidade de f(x, y) = y√x2+y2−25
(i) g(x, y) = y e contınua
(ii) h(x, y) =√x2 + y2 − 25 e contınua em todos os pontos de R2 para os
quais x2 + y2 > 25.
Entao, f e contınua em todos os pontos de R2 para os quais x2+y2 > 25
20
Exercıcios
1. Calcule, caso exista:
(a) lim(x,y)→(0,0)
x sin1
x2 + y2;
(b) lim(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y;
(c) lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2;
(d) lim(x,y)→(0,0)
x3 + 2x2y − y2 + 2;
(e) lim(x,y)→(0,0)
x√x2 + y2
;
(f) lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2.
2. Prove, usando a definicao, que:
(a) lim(x,y)→(x0,y0)
k = k;
(b) lim(x,y)→(x0,y0)
x = x0.
3. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f(x, y).Justifique aresposta.
(a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6;
(b) f(x, y) =
x−3yx2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(c) f(x, y) = xysqrt16−x2−y2 ;
(d) f(x, y) = xln(x, y; )
(e) f(x, y) =
sin(x+y)
x+y, se(x, y) 6= (0, 0);
1, se(x, y) = (0, 0).
(f) f(x, y) = ln x−yx2+y2;
(g) f(x, y) = x−y√1−x2−y2
.
21
4. f(x, y) =
xy2
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
e contınua em (0, 0)? Justifique.
22
Capıtulo 4
Derivadas parciais
4.1 Derivadas parciais
Tratamos uma funcao de n variaveis como uma funcao de uma variavel, var-iando uma delas e mantendo as outras fixas; isto leva ao conceito de uma derivadaparcial.
Seja z = f(x, y) uma funcao real de duas variaveis reais e seja (x0, y0) ∈ Df .Fixado (y0) podemos considerar a funcao g de uma variavel dada por
g(x) = f(x, y0)
.A derivada da funcao g no ponto x0, caso exista, denomina-se derivada
parcial de f , em relacao a x, no ponto (x0, y0) e indica-se por ∂f∂x
(x0, y0).
Assim,∂f∂x
(x0, y0) = g′(x0) e temos,
∂f
∂x(x0, y0) = g′(x0) = lim
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
,ou seja,
∂f
∂x(x0, y0) = lim
x→x0
f(x, y0)− f(x0, y0)
x− x0
,
ou ainda,
∂f
∂x(x0, y0) = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)
∆x.
23
De modo analogo define-se derivada parcial de f em relacao a y, no ponto(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0) = lim
y→y0
f(x0, y)− f(x0, y0)
y − y0
,ou
∂f
∂y(x0, y0) = lim
∆y→0
f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)
∆y,
Observacoes
(i) ∂f∂x
(x, y) e a derivada, em relacao a x, de f(x, y) mantendo-se y constante;
(ii) ∂f∂y
(x, y) e a derivada, em relacao a y, de f(x, y) mantendo-se x constante.
Exemplos
(1) f(x, y) = 2xy − 4y
∂f
∂x(x, y) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x, y)− f(x, y)
∆x
= lim∆x→0
2(x+ ∆x)y − 4y − 2xy + 4y
∆x
= lim∆x→0
2y∆x
∆x= 2y
∂f
∂y(x, y) = lim
∆y→0
f(x, y + ∆y)− (f(x, y))
∆y
= lim∆y→0
2x(y + ∆y)− 4(y + ∆)− 2xy + 4y
∆y
= lim∆y→0
2xy + 2x∆y − 4y − 4∆y − 2xy + 4y
∆y
= lim∆y→0
2x∆y − 4∆y
∆y= 2x− 4
24
- para obter ∂f∂x
(x, y) devemos olhar y como constante e derivar em
relacao a x : ∂f∂x
(x, y) = 2y
- para obter ∂f∂y
(x, y) devemos olhar x como constante e derivar em
relacao a y : ∂f∂y
(x, y) = 2x− 4
(2) f(x, y) =
x3−y2x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
- se (x, y) 6= (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente
∂f
∂x(x, y) =
3x2(x2 + y2)− (x3 − y2)2x
(x2 + y2)2
=3x4 + 3x2y2 − 2x4 + 2xy2
(x2 + y2)2
=x4 + 3x2y2 + 2xy2
(x2 + y2)2
∂f
∂y(x, y) =
−2y(x2 + y2)− (x3 − y2)2y
(x2 + y2)2
=−2x2y − 2x3 − 2x3y + 2y3
(x2 + y2)2
=−2x2y − 2x3y
(x2 + y2)2
- Em (0, 0)∂f
∂x(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0
= limx→0
x
x= 1
∂f
∂y(0, 0) = lim
y→0
f(0, y)− f(0, 0)
y − 0
= limy→0
−1
y,
que nao existe.
25
- Interpretacao geometrica
Suponhamos que z = f(x, y) admite derivadas parciais em (x0, y0) ∈ Df .O grafico da funcao g(x) = f(x, y0), no plano x′y′0z, e a intersecao do planoy = y0 com grafico de f .
Entao,∂f∂x
(0, 0) e o coeficiente angular da reta tangente T a esta intersecaono ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
ObservacaoA existencia de derivada parcial num ponto nao implica a continuidade da
funcao neste ponto; por exemplo,
f(x, y) =
xy
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(i) f admite derivadas parciais em (0, 0):
∂f
∂x(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x
limx→0
0
x= 0
∂f∂y
(0, 0) = limy→0
f(0, y)− f(0, 0)
x
limy→0
0
y= 0
(ii) f nao e contınua em (0, 0):
– (a)S1 conjunto de todos os pontos no eixo x
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = limx→0
0 = 0
– (b)S2 conjunto de todos os pontos na reta y = x
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = limx→0
x2
2x2=
1
2
Como a existencia de derivadas parciais nao implica em continuidade temosque ela nao e uma boa generalizacao do conceito de diferenciabilidade dado parafuncoes de uma variavel.
Veremos agora qual e a boa generalizacao do conceito de diferenciabilidadepara funcoes de varias variaveis reais.
Exercıcios
26
1. Determine as derivadas parciais:
(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4;
(b) z = cos(xy);
(c) f(x, y) = e−x2−y2 ;
(d) z = x3+y2
x2+y2;
(e) f(x, y) =
x+y4
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(f) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y;
(g) z = xyexy;
(h) g(x, y) = xy.
2. Dada f(x, y) =
x3+y3
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
encontre:
(a) ∂f∂x
(0, 0)
(b) ∂f∂y
(0, 0)
3. Encontre a declividade da reta tangente a curva de intersecao da superficiez = x2 + y2 com o plano y = 1 no ponto (2, 1, 5).
4. Dizemos que (x0, y0) e um ponto critico de f(x, y) se ∂f∂y
(x0, y0) =0.Determine, caso existam, os pontos crıticos da funcao dada:
(a) f(x, y) = x2 + y2;
(b) f(x, y) = x2 − 2xy + 3y2 + x− y;
(c) f(x, y) = 2x+ y3;
(d) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y
(5.) Seja z = f(x, y) dada implicitamente por x2 + y2 + z2 = 1, z > 0. Temos,
∂
∂x(x2 + y2 + z2) =
∂1
∂x
2x+ 2z∂z
∂x= 0
27
∂z
∂x=−2x
2z=−xy
=−x√
1− x2 − y2, x2 + y2 < 1
(a) Calcule ∂z∂y
(b) Seja z = f(x, y) dada implicitamente pela equacao exyz = x2 +y2 +z2.Calcule ∂z
∂xe ∂z
∂y.
28
Capıtulo 5
Funcoes diferenciaveis
5.1 Diferencial f : R→ R
Definicao 5.1.1 Definimos a diferencial de f : R→ R no ponto x0 como sendo
a funcao linear L : R→ R dada por
L(h) = f ′(x0)h.
ObservacaoEm notacao classica:dy = f ′(x0)dxInterpretacao geometrica
• equacao da reta tangente:
Y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
Y = f(x0) + f ′(x0)h = f(x0) + L(h)
L(h) = Y − f(x0)
,
isto e, a diferencial e a variacao que sofre a reta tangente quando se passado ponto x0 ao ponto x0 + h.
Assim, a diferencial fornece uma boa aproximacao para o acrescimo f(x0 +h)− f(x0) quando h e pequeno.
29
• O acrescimo dy pode ser olhado como um valor aproximado para ∆y =f(x0 + ∆x)− f(x0); o erro ∆y − dy que se comete na aproximacao de ∆ypor dy sera tanto menor quanto menor for ∆x.
ExemploCalcule um valor aproximado para
√1, 01
(i) y =√x, dy = 1
2√xdx
(ii) x = 1, dx = 0, 01
Para x = 1 e dx = 0, 01
dy =1
2· 0, 01 = 0, 05
1 + dy = 1, 005 ∼=√
1, 01
Definicao 5.1.2 Uma funcao f : R→ R e diferenciavel em x0 se, e somente se,
existir um real a tal que
limh→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah|h|
= 0
Observacao
(i) f e diferenciavel ⇔ f e derivavel
limh→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah|h|
= 0
⇔ limh→0
f(x0 + h)− f(x0)− ahh
= 0
⇔ limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h= a = f ′(x0)
(ii) f e diferenciavel⇔ limh→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah|h|
= 0h=x−x0︷︸︸︷⇔ existe uma reta
passando por x0 de equacao f(x0) + a(x − x0) tal que a distancia f(x) −f(x0) − a(x − 0), entre a curva e a reta, tende a zero mais depressa queh = (x− x0), ou seja, esta reta e tangente a curva no ponto (x0, f(x0)).
30
5.2 Funcao diferenciavel
Uma funcao f : A ⊂ R2 → R e diferenciavel em (x0, y0) se, e somente se,existirem reais a e b tais que
lim(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x, y)− ah− bk||(h, k)||
- Interpretacao geometricaFacamos,h = x− x0, k = y − y0 e δ =
√(x− x0)2 + (y − y0)2
f e diferenciavel ⇔
lim(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y − y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk||(h, k)||
= 0
⇔ existe um plano passando por (x0, y0, f(x0, y0)) de equacao Z = f(x0, y0)+a(x− x0) + b(y− y0) tal que a distancia f(x, y)−Z, entre a superficie e o plano,ao longo das perpendiculares ao plano Oxy, tende a zero mais depressa que δ,ou seja, este plano e tangente a superficie no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
Observacoes
(i) Se f for diferenciavel em (x0, y0), f admitira derivadas parciais neste ponto.
– Fazendo k = 0,
⇔ limh→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ah|h|
= 0
⇔ limh→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ahh
= 0
⇔ limh→0
f(x0 + h, y0)
h= a =
∂f
∂x(x0, y0)
– Fazendo h = 0, b = ∂f∂y
(x0, y0)
(ii) A recıproca e falsa.
Exemplos
(1) f(x, y) = x2y∂f∂x
(x, y) = 2xy; ∂f∂y
(x, y) = x2
f(x+ h, y + k) = (x+ h)2(y + k)
= (x2 + 2xh+ h2)(y + k)
31
x2y + x2k + 2xyh+ 2xhk + yh2 + h2k
lim(h,k)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− ah− bk||(h, k)||
lim(h,k)→(0,0)
x2y + x2k + 2xyh+ yh2 + h2k − x2y − 2xyh− x2k√h2 + k2
lim(h,k)→(0,0)
2xhk + yh2 + h2k√h2 + k2
lim(h,k)→(0,0)
[2xhk√
h2 + k2+ yh
h√h2 + k2
+ hkh√
h2 + k2] = 0
Entao f e diferenciavel em todo (x, y) ∈ R2.
(2) f(x, y) =
x3
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
; e diferenciavel em (0, 0)
∂f
∂x(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0
limx→0
x
x= 1
∂f
∂y(0, 0) = lim
y→0
f(0, y)− f(0, 0)
y − 0
= limy→0
0
y= 0
lim(h,k)→(0,0)
f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− ∂f∂x
(0, 0)h− ∂f∂y
(0, 0)k√h2 + k2
lim(h,k)→(0,0)
h3
h2+k2− h
√h2 + k2
lim(h,k)→(0,0)
h3 − h(h2 + k2)
(h2 + k2)√h2 + k2
lim(h,k)→(0,0)
−hk2
(h2 + k2)√h2 + k2
– S1 conjuntos de todos os pontos no eixo h:
limh→0
−h3
2h2√
2h2= − 1
2√
2
32
– s2 conjunto de todos os pontos na reta k = h:
limh→0
−h3
2h2√
2h2= lim
h→0
−h2√
2|h|,
que nao existe.
Entao f nao e diferenciavel em (0, 0).
Teorema 5.2.1 Se f for diferenciavel em (x0, y0) entao sera continua em
(x0, y0)
ObservacaoA recıproca e falsa, como mostra o exemplo abaixo.Exemplo
f(x, y) =
x3
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
Mostramos no exemplo (2) acima que esta funcao admite derivadas parciaisem (0, 0) e nao e diferenciavel, mas ela e continua, pois
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)
xx2
x2 + y2= 0 = f(0, 0)
5.3 Condicao suficiente para diferenciabilidade
Teorema 5.3.1 Se as derivadas parciais de f : A ⊂ R2 → R existem e sao
contınuas num aberto, entao f e diferenciavel nesse aberto.
ExemploSeja f(x, y) = x2y; temos que ∂f
∂x(x, y) = 2xy e ∂f
∂y(x, y) = x2, que sao contı-
nuas em R2; e mostramos na pagina 33 que esta funcao e diferenciavel.
5.4 Plano tangente
Definicao 5.4.1 Seja f diferenciavel no ponto (x0, y0). O plano
33
z = f(x0, y0) +∂f
∂x(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y(x0, y0)(y − y0),
denomina-se plano tangente ao grafico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
5.5 Reta Normal
O plano tangente e perpendicular a direcao do vetor
−→η = (∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0), 1)
Reta que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e e paralelo ao vetor (∗)denomina-se reta normal ao grafico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). A equacaode tal reta e,
(x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ(∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0), 1), λ ∈ R
ExemploDada f(x, y) = 3x2y − x, determine as equacoes do plano tangente e da reta
normal no ponto (1, 2, f(1, 2)).
(i) ∂f∂x
(x, y) = 6xy − 1, ∂f∂x
(1, 2) = 11
(ii) ∂f∂y
(x, y) = 3x2, ∂f∂y
(1, 2) = 3
(iii) f(1, 2) = 5
(iv) equacao do plano tangente:
T (x, y) = f(x0, y0) +∂f
∂x(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y(x0, y0)(y − y0)
z = 5 + 11(x− 1) + 3(y − 2)
z = 5 + 11x− 11 + 3y − 6
= −12 + 11x+ 3y
11x+ 3y − z − 12 = 0
(v) vetor normal: (11, 3,−1)
(vi) equacao da reta normal:
(x, y, z) = (1, 2, 5) + λ(11, 3,−1), λ ∈ R
34
5.6 Diferencial
Definimos a diferencial de f : R2 → R no ponto (x0, y0) como sendo a trans-formacao linear L : R2 → R dada por,
L(h, k) =∂f
∂x(x0, y0)h+
∂f
∂y(x0, y0)k
ObservacaoEm notacao classica: dz = ∂f
∂x(x, y)dx+ ∂f
∂y(x, y)dy
Interpretacao geometrica-equacao do plano tangente:
T (x, y) = f(x0, y0) +∂f
∂x(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y(x0, y0)(y − y0)
fazendo x = x0 + h e y = y0 + k temos
T (x, y) = f(x0, y0) +∂f
∂x(x0, y0)h+
∂f
∂y(x0, y0)k
T (x, y) = f(x0, y0) + L(h, k)
L(h, k) = T (x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0),
isto e, a diferencial e a variacao que sofre o plano tangente quando se passado ponto (x0, y0) ao ponto (x0 + h, y0 + k)
ExemploDada f(x, y) = x2y, calcule um valor aproximado para a variacao ∆z quando
se passa se x = 1 e y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01.
(i) ∂f∂x
(x, y) = 2xy, ∂f∂x
(x, y) = x2
(ii) dx = 0, 02, dy = 0, 01
dz = 2xydx+ x2dy
dz = 4 · 0, 02 + 1 · 0, 01
dz = 0, 09 ∼= ∆z
(iii) erro cometido: 0, 001204, pois
∆z = f(x+ dx, y + dy)− f(x, y)
= (x+ dx)2(y + dy)− x2y
= (1, 02)2 · 2, 01− 2 = 0, 091204
35
Exercıcios
1. Prove que as funcoes dadas sao diferenciaveis:
(a) f(x, y) = xy
(b) f(x, y) = x+ y
(c) f(x, y) = x2 + y2
(d) f(x, y) = x2y2
2. f e diferenciavel em (0, 0)? Justifique.
(a) f(x, y) =
x2−y2x2+y2
, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(b) f(x, y) =
x2y
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(c) f(x, y) =
x4
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
3. Determine o conjunto dos pontos em que a funcao dada e diferenciavel:
(a) f(x, y) =
xy
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(b) f(x, y) =
x3
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(c) f(x, y) =
xy3
x2+y2, se(x, y) 6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
4. Determine as equacoes do plano tangente e da reta normal ao grafico dafuncao dada, no ponto:
(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1));
(b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1));
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(c) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1));
(d) f(x, y) = xy em (12, 1
2, f(1
2, 1
2))
5. z = 2x + y e a equacao do plano tangente ao grafico de f(x, y) no ponto(1, 1, 3). Calcule ∂f
∂x(1, 1) e ∂f
∂y(1, 1)
6. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente aografico de f(x, y) = x2 + y2, no ponto (1, 1, 2)
7. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + 3y e tangente aografico de f(x, y) = x2 + xy, no ponto (−1, 1, 0)
8. Calcule a diferencial:
(a) z = x3y2
(b) z = sin(xy)
9. Seja z = xex2−y2
(a) Calcule a diferencial de z
(b) Calcule um valor aproximado para a variacao ∆z em z, quando sepassa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002
(c) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 ey = 1, 002.
10. Seja z =√x+ 3√y
(a) Calcule a diferencial de z no ponto (1, 8);
(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 ey = 7, 9
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Capıtulo 6
Gradiente
6.1 Vetor gradiente
Definicao 6.1.1 Seja z = f(x, y) uma funcao que admite derivdas parciais em
(x0, y0). O vetor,
∇f(x0, y0) = (∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0))
,
denomina-se gradiente de f em (x0, y0).
-Interpretacao geometricaSeja f(x, y) = x2 + y2, entao ∇f(x, y) = (2x, 2y).
• ∇f(√
22,√
22
) = (√
2,√
2)
• ∇f(1, 0) = (2, 0)
Assim, temos que o vetor gradiente e um vetor normal a curva de nıvel.
Observacoes
(i) O gradiente nao e perpendicular ao grafico, e nem poderia, pois ∇f ∈ R2;ja vimos que o vetor normal ao grafico e (∂f
∂x(x0, y0),∂f
∂y(x0, y0),−1).
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(ii) Para funcoes de uma variavel real temos,
dy = f ′(x0)dx
para funcoes de duas variaveis reais, temos
dz =∂f
∂x(x0, y0)dx+
∂f
∂y(x0, y0)dy
= (∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0)) · (dx, dy)
Assim, se f e diferenciavel em (x0, y0) definimos a derivada de f em (x0, y0)por
f ′(x0, y0) = (∂f
∂x(x0, y0),
∂f
∂y(x0, y0)) = ∇f(x0, y0)
Exercıcios
1. Calcule o gradiente de f;
(a) f(x, y) = x2y
(b) f(x, y) = ex2−y2
(c) f(x, y) = xy
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