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Notas de aulas de Estradas (parte 7)

Hélio Marcos Fernandes Viana

Tema:

Curvas horizontais de transição

Conteúdo da parte 7

1 Introdução

2 Curvas de transição: características, funções e tipos

3 Elementos geométricos para o projeto e a locação da curva horizontal simétrica com

espirais de transição

4 Locação da curva horizontal simétrica com espirais de transição (para o caso do raio

conservado)

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1 Introdução 1.1 A problemática da concordância horizontal Quando um veículo passa de um alinhamento reto para uma curva circular, há uma variação instantânea do raio infinito da reta para o raio finito da curva circular. Assim sendo, a grande variação do raio faz surgir, bruscamente, uma força centrífuga que tende a desviar o veículo de sua trajetória. A força centrífuga atuante nos veículos de forma brusca pode causar: a) Derrapagens e tombamentos nos automóveis; e b) Descarrilamentos e tombamentos nos trens. 1.2 Solução para a problemática da concordância horizontal Para assegurar o conforto e a segurança nas curvas, e reduzir os incômodos da variação brusca da aceleração centrífuga, intercala-se entre a tangente e a curva circular uma curva de transição. Com a utilização da curva de transição o raio de curvatura passa do valor infinito na tangente, para um valor finito na curva circular de forma gradativa e suave. 2 Curvas de transição: característica, funções e tipos 2.1 Características das curvas de transição As curvas de transição são curvas de curvatura progressiva, cujo raio varia de ponto a ponto. Quando empregadas, o raio dessas curvas varia de um valor infinito, no trecho em tangente, até um valor finito no trecho circular. 2.2 Funções das curvas de transição Uma curva de transição exerce basicamente três funções, que são: a) Proporcionar um crescimento gradual da aceleração centrífuga, que surge na passagem do trecho reto para o trecho curvo. b) A curva constitui uma extensão adequada para efetuar o giro da pista, até a posição superelevada em curva. c) A curva de transição conduz a um traçado fluente para o tráfego, e visualmente satisfatório (sem sustos) para os motoristas.

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2.3 Tipos usuais de curva de transição A princípio, qualquer curva, cujo raio varie de ponto a ponto da curva poderá ser utilizada como curva de transição. A experiência mostrou que algumas curvas especiais oferecem vantagens para serem usadas com curvas de transição, por dois motivos: a) Porque são curvas mais fáceis de serem calculadas; e b) Porque atendem melhor às exigências técnicas de um bom traçado, ou seja, fornecem segurança e conforto aos usuários. i) Curvas de transição mais comuns

As curvas de transição mais comuns usadas no projeto de estradas são: a) Clotóide ou espiral de Cornu Neste tipo de curva o raio instantâneo de curvatura (R) é inversamente proporcional ao comprimento da curva (L). b) Lemniscata de Bernouille Neste tipo de curva o raio instantâneo de curvatura (R) é inversamente proporcional ao raio vetor correspondente (p) mostrado na Figura 2.1. c) Parábola cúbica Este tipo de curva tem equação do tipo: (2.1) em que: x = abscissa de um ponto qualquer da curva; y = ordenada de um ponto qualquer da curva; e k = coeficiente. A Figura 2.1 ilustra o aspecto das curvas de raio variável que são mais usadas nos projetos geométricos de estradas.

Figura 2.1 - Aspecto das curvas de raio variável ou de transição mais usadas

nos projetos geométricos de estradas

3x.ky

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OBS. A parábola cúbica é usada em ferrovias na Europa. ii) Importância da espiral de Cornu ou espiral de transição De todas as curvas de transição, a mais amplamente utilizada é a espiral de Cornu ou Clotóide. A espiral foi introduzida na prática da engenharia por L. Oerley em 1937. No Brasil, é bastante difundido o uso de espirais como curvas de transição. Recomenda-se sempre o uso de ESPIRAIS SIMÉTRICAS no cálculo das curvas horizontais com transição. Na espiral simétrica os ramos são iguais (LS1 = LS2 = LS). OBS. O uso de espirais assimétricas (LS1 ≠ LS2), só é justificável em casos especiais. iii) Curvas horizontais que dispensam o uso de transição Para fins de projetos rodoviários convencionais (ou aprovados pelo uso), o DNER (atual DNIT) recomenda que seja dispensado o uso de curvas de transição com base em dois parâmetros de projeto, são eles: a) A velocidade de projeto ou diretriz; e b) O raio da curva de concordância horizontal. É dispensado o uso de curva de transição quando a aceleração centrífuga atuante no veículo for menor ou igual a 0,4 m/s2. A Tabela 2.1 mostra, com base na velocidade de projeto, os valores-limite dos raios das curvas circulares horizontais, acima dos quais podem ser dispensadas as curvas de transição. Tabela 2.1 - Valores-limite dos raios R acima dos quais podem ser dispensadas

as curvas de transição

3 Elementos geométricos para o projeto e a locação da curva horizontal

simétrica com espirais de transição A curva horizontal simétrica com espirais de transição é uma curva composta, e pode ser dividida em três partes: a) A parte inicial da curva é formada por uma curva espiral; b) A parte central da curva é formada por uma curva circular; e c) A parte final da curva também é formada por uma curva espiral.

VP (km/h) 30 40 50 60 80 90 100

R (m) 170 300 500 700 1200 1550 1900

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OBS. As duas espirais que formam a curva composta são simétricas em relação ao PI (ponto de interseção das tangentes). A Figura 3.1 mostra os elementos geométricos necessários ao projeto e à locação da curva horizontal simétrica com espirais de transição.

Figura 3.1 - Elementos geométricos da curva horizontal simétrica com espirais

de transição Na Tabela 3.1, tem-se a nomenclatura dos elementos geométricos necessários para o projeto e para a locação da curva horizontal simétrica com espirais de transição. OBS(s): a) Os pontos notáveis ou de transição da curva estão em tom cinza na Tabela 3.1; e b) No projeto, quando usado o papel milimetrado para desenhar a curva, considere dois planos cartesianos XY, cujas origens estão nos pontos TS e ST. Na Figura 3.1, tem-se que o trecho circular da curva vai do ponto SC até o ponto CS; e os trechos com curvas espirais são os trechos que vão do ponto TS até o ponto SC, e do ponto CS até o ponto ST.

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Tabela 3.1 - Nomenclatura dos elementos geométricos da curva horizontal simétrica com espirais de transição

3.2 Cálculo dos elementos geométricos da curva horizontal simétrica com

espirais de transição (considerando-se o método do raio conservado) i) Considerações iniciais

Para introdução das curvas espirais de transição numa curva circular previamente traçada, há necessidade do afastamento da curva circular em relação à tangente, tal afastamento (p) pode ser obtido de três modos, que são: a) Afastamento pelo método do centro conservado Neste método, o raio RC é reduzido para RC - p, onde: RC é o raio da curva circular, e p é o afastamento da curva circular em relação à tangente. b) Afastamento pelo método do raio conservado Neste método, o centro O da curva circular é afastado para o centro O’, e se conserva o raio (RC) da curva circular definido inicialmente. c) Afastamento pelo método do raio e centro conservados Neste método, as tangentes são afastadas a uma distância p da curva circular.

O método do raio conservado é o método MAIS USADO para introdução de curvas espirais de transição em uma curva circular, pelos seguintes motivos: a) Não altera o raio RC da curva circular; e b) Não altera a posição das tangentes.

ii) Cálculo do ângulo de transição (S) O ângulo de transição é calculado pela seguinte equação: (3.1)

Símbolo Nomenclatura Símbolo Nomenclatura

O' centro do trecho circular afastado AC ângulo central

PI ponto de interseção das tangentes D deflexão das tangentes

A ponto genérico da transição D desenvolvimento do trecho circular

XS abscissa dos pontos SC e CS RC raio da curva circular

TT tangente total LS comprimento do trecho de transição

k abscissa do centro E distância do PI à curva circular

p afastamento da curva circular ângulo na espiral de um ponto genérico A

X abscissa de um ponto génerico A TS ponto tangente-espiral

Y ordenada de um ponto génerico A SC ponto espiral-circular

S ângulo de transição CS ponto circular-espiral

f ângulo central do trecho circular ST ponto espiral-tangente

C

SS

R.2

L

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em que:

S = ângulo de transição (rad); LS = comprimento da espiral de transição (nos trechos entre os pontos TS e SC, ou entre os pontos CS e ST) (m); e RC = raio da curva circular (m). OBS. O valor do raio da curva circular (RC) é obtido da curva circular previamente traçada entre as tangentes, ou seja, antes de inserir (ou colocar) as curvas espirais. iii) Cálculo da abscissa dos pontos SC e CS (XS) A abscissa dos pontos SC e CS é obtida pela seguinte equação: (3.2) em que:

S = ângulo de transição (rad); LS = comprimento da espiral de transição (nos trechos entre os pontos TS e SC, ou entre os pontos CS e ST) (m); e XS = abscissa dos pontos SC e CS (m). iv) Cálculo da ordenada dos pontos SC e CS (YS) A ordenada dos pontos SC e CS, é calculada pela equação: (3.3) em que:

S = ângulo de transição (rad); LS = comprimento da espiral de transição (nos trechos entre os pontos TS e SC, ou entre os pontos CS e ST) (m); e YS = ordenada dos pontos SC e CS (m). v) Cálculo da abscissa do centro O’ (k) A abscissa do centro O’ é obtida pela seguinte equação: (3.4) em que: k = abscissa do centro O’ (m); RC = raio da curva circular (m);

S = ângulo de transição (graus); e XS = abscissa dos pontos SC e CS (m). vi) Cálculo do afastamento da curva circular (p) O afastamento da curva circular é calculado com a seguinte equação: (3.5)

216101.LX

4

S

2

SSS

423.LY

3

SSSS

SCS sen.RXk

)cos1.(RYp SCS

8

em que: RC = raio da curva circular (m);

S = ângulo de transição (graus); YS = ordenada dos pontos SC e CS (m); e p = afastamento da curva circular (m). vii) Cálculo da tangente total (TT) A tangente total é calculada pela equação: (3.6) em que: TT = tangente total (m); k = abscissa do centro O’ (m); RC = raio da curva circular (m); p = afastamento da curva circular (m); e

D = deflexão das tangentes (graus). viii) Cálculo da distância do PI à curva circular (E) A distância do PI ao ponto médio da curva circular é calculado com a equação: (3.7) em que: p = afastamento da curva circular (m);

D = deflexão das tangentes (graus); RC = raio da curva circular (m); e E = distância do PI ao ponto médio da curva circular (m). ix) Cálculo do desenvolvimento (ou comprimento) da curva circular (para o caso de espirais simétricas) O desenvolvimento da curva circular, para uma curva horizontal simétrica com espirais de transição é obtido pela equação: (3.8) onde: (3.9) em que:

D = deflexão das tangentes (rad);

S = ângulo de transição (rad);

f = ângulo central do trecho circular (rad); RC = raio da curva circular (m); e D = desenvolvimento (ou comprimento) da curva circular (m).

D

2tan).pR(kTT C

CC R

2cos

pRE

D

f .RD C

S.2 Df

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Ainda, para f em graus, o desenvolvimento é calculado pela seguinte equação: (3.10) em que:

f = ângulo central do trecho circular (graus); e RC = raio da curva circular (m). OBS(s). a) O valor de D (desenvolvimento) não deverá ser negativo; e

b) Quando forem escolhidos LS muito grandes, pode acontecer que 2.S > D , isto é, D < 0. Assim , os valores de LS devem ser diminuídos para que seja obtido D ≥ 0.

(*) Lê-se f = fi, = teta e D = delta. x) Estacas dos pontos notáveis da curva horizontal simétrica com espiral de transição As estacas dos pontos notáveis da curva horizontal simétrica com espiral de transição são obtidas pelas seguintes expressões: em que: E(TS) = estaca do ponto tangente-espiral; E(PI) = estaca do ponto de interseção das tangentes; [TT] = valor da tangente total em estacas; E(SC) = estaca do ponto espiral-circular; [LS] = valor do comprimento da espiral em estacas; E(CS) = estaca do ponto circular-espiral; [D] = valor do desenvolvimento em estacas; e E(ST) = estaca do ponto espiral tangente. 3.3 Comprimento mínimo da curva de transição Como já comentado anteriormente, para minimizar o inconveniente do surgimento brusco da aceleração centrífuga, usa-se a curva de transição. Portanto, o comprimento da curva de transição deve garantir que o efeito da força centrífuga apareça de maneira gradual.

o

o

C

180

.RD

f

]L[)CS(E)ST(E

]D[)SC(E)CS(E

]L[)TS(E)SC(E

]TT[)PI(E)TS(E

S

S

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O comprimento mínimo da curva de transição deverá ser: (3.11) em que: V = velocidade de projeto (km/h); RC = raio da curva circular (m); e LSmin = comprimento mínimo da curva de transição (m). OBS. O comprimento mínimo da curva de transição também pode ser calculado pela seguinte equação: (3.12) em que: V = velocidade de projeto (km/h); e LSmin = comprimento mínimo da curva de transição (m). 3.4 Comprimento máximo da curva de transição O comprimento máximo da curva de transição corresponde a um valor nulo para o trecho circular, e é dado pela seguinte equação: (3.13) em que: RC = raio da curva circular (m);

D = deflexão das tangentes (graus); e LSmax = comprimento máximo da curva de transição (m). 3.5 Comprimento da curva de transição recomendado para projeto Sempre que possível deve ser adotado, para os projetos, valores do comprimento da curva de transição (LS) maiores que o mínimo. O valor do comprimento da curva de transição a ser utilizado no projeto pode ser calculado por qualquer uma das seguintes equações: (3.14) (3.15) (3.14)

C

3

minSR

V.036,0L

V.556,0L minS

o

o

CmaxS

180

..RL

D

2

LLL maxSminS

S

minSS L.3L

C)NORMAL(SS R.6LL

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em que: LS = comprimento da curva de transição (m); LSmin = comprimento mínimo da curva de transição (m); LSmax = comprimento máximo da curva de transição (m); RC = raio da curva circular (m); e LS(NORMAL) = comprimento normal da curva de transição (m). 3.6 Comprimento das cordas de locação da curva horizontal com espirais de

transição As cordas utilizadas para locação da curva horizontal com espirais de transição devem ser as seguintes: a) Cordas de 5 metros, quando o raio de curvatura no trecho circular for menor que 100 m; e b) Cordas de 10 m, quando o raio de curvatura do trecho circular for maior ou igual a 100 m. 4 Locação da curva horizontal simétrica com espirais de transição (para o caso

do raio conservado) A Figura 4.1 mostra os elementos geométricos utilizados para locação da curva horizontal simétrica com espirais de transição.

Figura 4.1 - Elementos geométricos utilizados para locação da curva horizontal

simétrica com espirais de transição

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Para Figura 4.1 tem-se que: PI = Ponto de interseção das tangentes; TT = tangente total; TS = ponto tangente-espiral; SC = ponto espiral-circular; XS = abscissa dos pontos SC e CS; YS = ordenada dos pontos SC e CS; A = ponto qualquer sobre a espiral de transição; X = abscissa de um ponto A qualquer sobre a curva espiral; Y = ordenada de um ponto A qualquer sobre a curva espiral;

S = ângulo de transição; jS = ângulo (ou deflexão) para definição da tangente no ponto SC ou CS; iS = ângulo (ou deflexão) em relação à tangente total para locação do ponto SC ou CS. cL = comprimento da corda correspondente ao arco de comprimento L; cS = comprimento da corda correspondente ao arco de comprimento LS; e i = deflexão em relação à tangente total (para locar um ponto A qualquer sobre a espiral). 4.1 Locação dos trechos correspondentes às curvas espirais Para locação dos trechos correspondentes às espirais de transição, com a estação total centralizada no TS ou ST, procede-se do seguinte modo: a) Com a estação total centralizada no ponto TS ou ST, visa-se com a luneta invertida uma baliza localizada numa estaca qualquer do trecho em tangente. b) Voltar a luneta para posição normal e soltar a movimentação na horizontal. Então, dar a deflexão horizontal i1 (primeira deflexão) para locar o ponto a ou a’ da curva espiral (como ilustra a Figura 4.2).

Figura 4.2 - Esquema de locação das espirais de transição

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c) Uma vez definido o alinhamento para locar o ponto a ou a’. Então, travar o limbo, e com auxílio de uma trena para medir a corda, e de uma baliza, realiza-se a materialização do ponto a ou a’ com a cravação de um piquete no solo. OBS. A materialização do ponto a ou a’ ocorrerá quando o eixo vertical da baliza coincidir com o retículo da luneta da estação total. d) Para locar os pontos b e b’ com o aparelho centralizado em TS ou ST é necessário soltar o limbo e definir o novo alinhamento correspondente ao ângulo i2. e) O procedimento para locar o ponto b ou b’ é semelhante ao anterior para locar o ponto a ou a’. f) Para locação dos demais pontos das curvas espirais as operações são idênticas as anteriores. 4.2 Locação do trecho circular da curva horizontal simétrica com espirais de

transição Para locação do trecho circular, procede-se do seguinte modo: a) Feita à locação da espiral pelo método das deflexões, muda-se a estação total para o ponto SC e visa-se o ponto TS com a deflexão jS lida no sentido da curva (ou sentido que percorre a curva). b) Ao voltar o instrumento para o ângulo zero, no sentido da curva, tem-se a direção da tangente no ponto SC. c) Finalmente, locar um ponto correspondente à tangente que passa no ponto SC, e então iniciar a locação do trecho circular por deflexões sucessivas ou acumuladas (como já apresentado em aula anterior). 4.3 Elementos geométricos para locação das curvas espirais (considerando-se

o método das deflexões sobre a tangente) Os elementos geométricos para locação da curva espiral pelo método das deflexões sobre a tangente, usando-se os ângulos de deflexão i, podem ser obtidos pelas equações a seguir.

i) Ângulo correspondente a um comprimento L da curva espiral () O ângulo correspondente a um comprimento L da curva espiral é obtido pela seguinte equação: (4.1) SC

2

L.R.2

L

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em que: L = comprimento de um arco da espiral (m); RC = raio da curva circular (m); LS = comprimento da curva espiral (m); e

= ângulo correspondente a um arco de comprimento L da curva espiral (rad). ii) Abscissa e ordenada de um ponto A qualquer sobre a espiral A abscissa e a ordenada de um ponto A qualquer sobre a curva espiral podem ser obtidas, respectivamente, pelas equações: (4.2) (4.3) em que: X = abscissa de um ponto A qualquer sobre a curva espiral (m); Y = ordenada de um ponto A qualquer sobre a curva espiral (m); L = comprimento de um arco da curva espiral (m); e

= ângulo correspondente ao arco de comprimento L da curva espiral (rad). iii) Ângulo (ou deflexão) em relação à tangente total (i) O ângulo (ou deflexão) em relação à tangente total é obtido pela seguinte equação: (4.4) em que: i = ângulo (ou deflexão) em relação a tangente total (graus); X = abscissa de um ponto A qualquer sobre a curva espiral (m); e Y = ordenada de um ponto A qualquer sobre a curva espiral (m). iv) Comprimento da corda correspondente ao arco da espiral de comprimento

L O comprimento da corda correspondente ao arco da espiral de comprimento L é expresso pela seguinte equação: (4.5) em que: i = ângulo (ou deflexão) em relação a tangente total (graus); X = abscissa de um ponto A qualquer sobre a curva espiral (m); e cL = comprimento da corda correspondente ao arco de comprimento L (m).

216101.LX

42

423.LY

3

X

Yarctani

icos

XcL

15

OBS. O uso de cordas de 5 m ou 10 m para locar os pontos da curva espiral, dispensa o uso das cordas de locação de comprimento cL. v) Deflexão em relação à tangente para locação do ponto SC ou CS (iS) A deflexão em relação à tangente para locação do ponto SC ou CS, pode ser calculada pela eq. (4.6). (4.6) em que: XS = abscissa do ponto SC ou CS (m); YS = ordenada do ponto SC ou CS (m); e iS = deflexão em relação à tangente para locação do ponto SC ou CS (graus). OBS. As equações para o cálculo de XS e YS já foram apresentadas anteriormente. vi) Comprimento da corda de locação correspondente ao LS (comprimento da espiral) O comprimento da corda de locação correspondente ao comprimento da espiral (LS) pode ser calculado pela eq. (4.7). (4.7) em que: cS = comprimento da corda de locação correspondente ao LS (comprimento da espiral) (m); XS = abscissa do ponto SC ou CS (m); e iS = deflexão em relação à tangente para locação do ponto SC ou CS (graus). vii) Ângulo (ou deflexão) para definição da tangente no ponto SC ou CS (jS) O ângulo (ou deflexão) para definição da tangente no ponto SC ou CS é calculado pela seguinte equação: (4.8) em que:

S = ângulo de transição; iS = ângulo (ou deflexão) em relação à tangente para locação do ponto SC ou CS; e jS = ângulo (ou deflexão) para definição da tangente no ponto SC ou CS. Ainda: (4.9)

S

SS

X

Yarctani

S

SS

icos

Xc

SSS ij

C

SS

R.2

L

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em que:

S = ângulo de transição (rad); LS = comprimento do trecho de transição (m); e RC = raio da curva circular (m). 4.4 Caderneta de locação e observações finais Uma caderneta de locação de uma curva horizontal simétrica com espirais de transição deverá conter: a) As estacas de locação; b) O comprimento das cordas de locação; c) Os comprimentos dos arcos da espiral de transição correspondentes às estacas locadas, ou seja, os valores de L para cada estaca de locação; d) As deflexões acumuladas (i) correspondentes à locação do trecho em espiral; e e) As deflexões sucessivas ou acumuladas correspondentes à locação do trecho circular. A Tabela 4.1 ilustra uma caderneta para projeto e locação de uma curva horizontal simétrica com espirais de transição. A caderneta foi feita com auxílio do programa Excel. Tabela 4.1 - Exemplo de uma caderneta de projeto e locação de uma curva

horizontal simétrica com espirais de transição

Cálculo automático

Sucessivas Acumuladas (i) Acumuladas (i)

(graus) (graus e/ou min.)

25 + 11,88 (TS) -- -- -- -- -- -- -- --

26 + 1,88 10,00 10,00 0,0017 10,00 0,00582 -- 0,03333 2'

26 + 11,88 10,00 20,00 0,0070 20,00 0,04654 -- 0,13332 8'

27 + 1,88 10,00 30,00 0,0157 30,00 0,15707 -- 0,29998 18'

27 + 11,88 10,00 40,00 0,0279 40,00 0,37229 -- 0,53329 32'

28 + 1,88 10,00 50,00 0,0436 49,99 0,72707 -- 0,83326 50'

28 + 11,88 10,00 60,00 0,0628 59,98 1,25619 -- 1,19987 1o 12'

29 + 1,88 10,00 70,00 0,0855 69,95 1,9943 -- 1,63311 1o 38'

29 + 11,88 10,00 80,00 0,1117 79,90 2,97582 -- 2,13295 2o 08'

30 + 1,88 10,00 90,00 0,1414 89,82 4,23478 -- 2,69934 2o 42'

30 + 11,88 (SC) 10,00 100,00 0,1745 99,70 5,80468 -- 3,33222 3o 20'

31 8,12 -- -- -- -- 48,72' -- --

31 + 10,00 10,00 -- -- -- -- 60' -- --

32 10,00 -- -- -- -- 60' -- --

32 + 10,00 10,00 -- -- -- -- 60' -- --

32 + 16,88 (CS) 6,88 -- -- -- -- 41,28' -- --

33 + 6,88 10,00 90,00 0,1414 89,82 4,23478 -- 2,69934 2o 42'

33 + 16,88 10,00 80,00 0,1117 79,90 2,97582 -- 2,13295 2o 08'

34 + 6,88 10,00 70,00 0,0855 69,95 1,9943 -- 1,63311 1o 38'

34 + 16,88 10,00 60,00 0,0628 59,98 1,25619 -- 1,19987 1o 12'

35 + 6,88 10,00 50,00 0,0436 49,99 0,72707 -- 0,83326 50'

35 + 16,88 10,00 40,00 0,0279 40,00 0,37229 -- 0,53329 32'

36 + 6,88 10,00 30,00 0,0157 30,00 0,15707 -- 0,29998 18'

36 + 16,88 10,00 20,00 0,0070 20,00 0,04654 -- 0,13332 8'

37 + 6,88 10,00 10,00 0,0017 10,00 0,00582 -- 0,03333 2'

37 + 16,88 (ST) -- -- -- -- -- -- -- --

Estacas (rad)c (m)

Defleões

Y (m)X (m)L (m)

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Na Tabela 4.1, tem-se que: X = abscissa de um ponto A qualquer sobre a espiral (m); Y = ordenada de um ponto A qualquer sobre a espiral (m); L = comprimento de um arco da espiral (m);

= ângulo correspondente ao comprimento L da espiral (rad); e c = comprimento da corda de locação (m). Ainda, são dadas na caderneta as deflexões sucessivas para locação do trecho circular, e as deflexões acumuladas para locação dos trechos em espiral. OBS(s). a) O valor de iS (deflexão em relação à tangente para locação do ponto SC ou CS), e o valor de cS (comprimento da corda de locação correspondente ao LS, ou ao comprimento da espiral) são importantes para verificação da locação executada; e b) Pode-se obter o ponto ST a partir do ponto PI e do comprimento da tangente total (TT). O ponto ST e importante, pois a partir dele é locado uma das espirais. 4.5 Locação do ponto ST (ponto espiral-tangente), quando PI estiver inacessível

Em alguns casos, o PI (ponto de interseção das tangentes) pode está situado em um lago, em um rio ou etc. Portanto, o PI pode está inacessível, no campo, para locação da curva horizontal simétrica com espirais de transição. Quando o PI (ponto de interseção das tangentes) estiver inacessível, no campo, pelas razões já mencionadas, pode-se locar o ponto ST (ponto espiral-tangente) procedendo do seguinte modo: i) Desenhar, no escritório, um esquema similar à Figura 4.3, representando o problema no campo; ii) Escolher os pontos A e B do desenho, os quais devem ser totalmente acessíveis no campo;

iii) Determinar a distância AB ou c em metros, e também os ângulos e em graus; iv) Determinar b e a em metros; v) Determinar t1 e t2 em metros; e vi) Determinar o ponto ST. Têm-se as seguintes equações utilizadas para locação do ponto ST, as quais estão em conformidade com a Figura 4.3. (4.10) (4.11)

𝑏 = 𝑐.𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑎 = 𝑐.𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑠𝑒𝑛 𝜃

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(4.12) (4.13) (4.14) (4.15)

Figura 4.3 - Locação do ponto ST (ponto espiral-tangente), quando PI estiver

inacessível REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS PONTES FILHO, G. (1998) Estradas de rodagem projeto geométrico. [S.I.]:

Bidim, 1998. 432p. (Bibliografia principal) COSTA, P. S.; FIGUEIREDO, W. C. (2001) Estradas estudos e projetos. Salvador

- BA: Coleção pré-textos, 2001. 408p. CARVALHO, C, A, B.; LÓSS, Z, J.; LIMA, D. C.; SOUZA, A. C. V. (1993) Estradas -

projeto (introdução, concordância horizontal, superelevação e superlargura). Apostila 336. Viçosa - MG: Universidade Federal de Viçosa, 1993. 64p.

t1 = TT - b

t2 = TT - a

∆ + 𝜃 = 180𝑜

𝜃 + 𝛼 + 𝛽 = 180𝑜