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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE

Notas de Aulas do Laboratório de Matemática

Vitória da Conquista 2009

APRESENTAÇÃO

Caro estudante,

A nossa experiência na docência das disciplinas de Laboratório pertencente ao curso de

Licenciatura em Matemática da UESB tornou possível a realização deste trabalho.

Nessa perspectiva, apresentamos a você este modesto resumo das nossas aulas as quais

foram desenvolvidas de várias formas: oficinas, aulas investigativas, lista de problemas,

curiosidades, trabalhos apresentados em seminário com a participação dos alunos. Este conteúdo

está composto por matéria teórica seguida de atividades e/ou exercícios sendo que uma parte foi

extraída da referência básica que consta no final de cada matéria. Assim você educando poderá

notar que o mesmo é apenas uma alternativa para que seja feita uma consulta simplificada da

matéria exposta.

Portanto esperamos que este trabalho de alguma maneira possa apontar mais um caminho

no favorecimento de um ambiente sócio-afetivo e de conhecimento intelectual que resultem

numa direção proveitosa para aprendizagem da matemática, acrescentando à sua vida estudantil

um incentivo para que prossiga nos estudos, cada vez desenvolvendo a sua capacidade de

raciocínio e ampliando seu conhecimento.

Prof.ª Ms.Eridan da Costa Santos Maia Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

SUMÁRIO

1. Aulas Investigativas 03

8. Sequência de Fibonacci 09

3. Jogo das Diagonais 15

4. Oficina: Quadrados Mágicos 16

5. Oficina: Construindo Poliedros Regulares com Esqueletos 21

6. Poliedros Regulares: Quantos Existem? 27

7. Planificação dos Poliedros Regulares 30

8. Poliedros Regulares, Semi-Regulares E Irregulares 32

9. Problemas de Matemática 42

10. Áreas de Superfícies Planas 48

Notas de Aulas do Laboratório de Matemática – UESB Eridan da C. S. Maia

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1. AULAS INVESTIGATIVAS

Estas atividades pretendem propiciar um momento de discussão e reflexão juntamente

com vocês futuros professores, tendo o objetivo de estudar as possibilidades, buscar caminhos e

enfrentar os desafios da utilização de Investigações Matemáticas nas nossas docências.

Como trabalhar na sala de aula com investigação matemática? Qual o papel do

professor? Como preparar as aulas com atividades de investigação? Como avaliar as aulas de

investigação? De que forma surge à aula investigativa?

Para responder essas questões e demais questionamentos sobre as investigações

matemáticas têm-se atualmente vários estudos e pesquisas entre os quais destaca-se o trabalho do

professor João Pedro da Ponte que disse: “A realização de investigações matemáticas, pelo aluno,

pode contribuir de modo significativo para a sua aprendizagem da Matemática e para desenvolver

o gosto por essa disciplina”. (Ponte, 2003, pg.142).

Essa afirmação motiva-nos a aplicação de investigações em nossas salas de aula.

Para a realização de uma investigação matemática precisa-se:

1) Reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões;

2) Processo de formulação de conjecturas;

3) Realização de testes (e reformulação) e o eventual refinamento das conjecturas;

4) argumentação, à demonstração e avaliação do trabalho realizado (justificação e avaliação).

Em relação ao papel do professor lhe compete:

Desafiar os educandos para raciocinar matematicamente;

Incentivar o desempenho dos alunos;

Apoiar o progresso dos discentes;

Avaliar o crescimento dos alunos;

Buscaremos algumas respostas mediante a realização das atividades propostas:

Atividades 1: Construção de Triângulos quanto aos lados

Com vários pedaços de canudos medidos procure formar triângulos.

Que triângulos foi possível formar?

Qual a condição de existência do triângulo?

Atividade 2: Construção de Polígonos

Construa alguns polígonos com pedaços de canudos;


4

Manuseando esses polígonos o que aconteceu com eles?

Explique caso haja transformação;

Explique caso não haja transformação;

Numa aplicação prática, por exemplo: numa porteira de roça, como você justifica a

presença da travessa (ripa de madeira que é pregada atravessada em relação a fila das

demais ripas)?

Havendo transformação, essa transformação do polígono preserva a igualdade de seus

lados?

Preserva o seu perímetro?

Conserva a sua área?

É possível construir figuras com o mesmo perímetro, porém, com diferentes áreas? E

vice-versa?

Atividade 3: Número de Diagonais de um Polígono

Desenhe numa folha de papel polígonos regulares (de forma crescente).

Ligue todos os respectivos vértices (fora os lados).

Construa uma tabela contendo nº de lados, nº de segmentos de cada vértice (sem os

lados), nº de segmentos de todos os vértices e nº de diagonal.

Se for um polígono de 24 lados, como saber quantas diagonais é possível traçar?

NOTAS SOBRE A EXPLORAÇÃO DA ATIVIDADE:

A intenção dessa atividade é levar o aluno a raciocinar logicamente de forma que consiga

estabelecer relações entre os dados coletados, possibilitando a construção de uma regra geral para

calcular o número de diagonais de um determinado polígono regular.

Atividade 4: Soma dos Ângulos Internos dos Polígonos

Desenhe numa folha de papel polígonos regulares

(de forma crescente).

Decomponha os polígonos em triângulos, a partir de um

ponto no interior da figura.

Observando como o polígono ao lado foi decomposto em triângulos.

Construa uma tabela contendo nº de lados e nº de triângulos.

Se for um polígono de 08 lados, como saber a soma dos seus ângulos internos?

Figura 01


5

Atividade 5: Soma dos Âgulos Externos de um Polígono

Utilizando a atividade anterior demonstrar que a soma S e dos ângulos externos de um

polígono é dada por: S e = 360o.

Atividade 6: Relação importante de um triângulo

Material: Geoplano ou papel ponteado (uma folha de papel A4 com pontos separados de 3 cm.).

Desenhe um quadrado de área 4;

Desenhe um quadrado de área 9.;

Desenhe um quadrado de área 5.;

Existe outro quadrado diferente com a mesma área?

Existem conjunto de dois quadrados cuja área adicionada seja igual a do quadrado de

área 5? Registre-os;

Procure outros conjuntos de três quadrados que estejam relacionados daquela forma;

Observando cada conjunto de três quadrados, encontre uma regra que exprima o que

observastes.

Atividade 7: Demonstrando o Teorema de Pitágoras

Qual a demonstração de Pitágoras para o seu teorema?

Muitas conjecturas tem sido feitas, a mais provável é a demonstração por decomposição.

Assim façamos a demonstração geométrica e a algébrica o discente fará.

Denotemos por a, b e c os catetos e hipotenusa de 1 triângulo retângulo, e consideremos

os 2 quadrados, cada um de lados iguais a a+b. O 1º quadrado está decomposto em 6 partes, o 2º

quadrado está decomposto em 5 partes. Subtraindo iguais de iguais, conclui-se que o quadrado

sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os catetos.

a

b a

a

b

b b

a b

b

b

b

a

a

a

c

c

c

c

Figura 02


6

Atividade 8: Uma demonstração do teorema de Pitágoras

Com 9 triângulos retângulos isósceles (por exemplo lado igual a 5 cm) mostrar o teorema

de Pitágoras – em todo triângulo retângulo o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Atividade 9: Outra demonstração do Teorema de Pitágoras

Observando a demonstração cinematográfica que se encontra na outra folha, faça uma

análise do ponto de vista matemático – ou seja, a demonstração feita por Euclides.

Atividade 10: Construção dos números da forma n

A partir de um triângulo retângulo isósceles de cateto igual a um, construa

n...,5,4,3,2.

Atividade 11: Responda justificando – As medidas dos lados de um triângulo retângulo

podem ser números primos?

Atividade 12: Construa os Ternos Pitágoricos

Figura 03

Atividade 13: Investigações com números

Com a disposição dos números na forma ao lado:

Descubra as possíveis relações entre os mesmos.

Registre as conclusões que for obtendo


Através da tabela, o aluno tem a possibilidade de trabalhar diversos

conteúdos solidificando, assim, seu conhecimento.

Atividade 14: Seqüência dos Quadrados Perfeitos

Desenhe um quadrado de 1 cm de lado

A partir do quadrado unitário formar uma seqüência de quadrados.

Investigue possíveis relações entre eles.

Anote todos os dados observados.

Como se obtém um quadrado de lado n+1?

NOTAS SOBRE A EXPLORAÇÃO DA ATIVIDDE:

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19

... ... ... ...


7

O objetivo desta atividade é levar o aluno a dar sentido geométrico à relação (n+1)2 =

n2+2n+1.

Figura 04


8

Atividade 15: Uma mesa de sinuca

Seja uma mesa de sinuca com apenas quatro buracos (nos cantos da mesa) e o tampo está

dividido em quadrados todos iguais. A mesa é retangular. Imagine que, jogamos a bola de um dos

cantos no ângulo de 45º com as tabelas e ela só pare quando caia num buraco. Responda:

Quantos quadrados a bola atravessa até cair em uma das caçapas?(considere que a bola

sempre forma um ângulo de 45º)

Quantas vezes a bola bate na tabela? (considere entrar na caçapa como uma batida).

Para isso deverá investigar que relação tem a dimensão da mesa com aquilo que acontece com a

bola.


A intenção desta atividade é levar o aluno a descobrir, através do processo investigativo,

relações entre o divisor e o múltiplo de números.

Referências Bibliográficas:

BARALDI, Ivete Maria. Matemática na Escola: que ciência é esta?

BROCARDO Joana - As investigações na aula de matemática: um projecto curricular no 8º ano.

Tese de Doutor em Educação. Dpto de Educação da Faculdade de Ciências. UNIVERSIDADE

DE LISBOA, 2001.

BRUNHEIRA, Lina; Fonseca, Helena. Investigar na aula de matemática. Educação e

matemática, 35. 3º trimestre de 1995.

CARBONELL, Jaume. A aventura de inovar: a mudança na escola. trad. Fátima Murad. Porto

Alegre: Artmed Editora, 2002.

DEMO, Pedro. Saber e pensar. 3a edição - São Paulo: Cortez: Instituto Paulo Freire, 2002.

(guia da escola cidadã).

FONSECA, Helena Lina Brunheira, João Pedro da Ponte. As actividades de investigação, o

professor e a aula de Matemática. Departamento de Educação, F.C.U.L.

PONTE João Pedro da e outros. Investigações matemáticas na sala de aula: Tendências em

educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.

Endereço eletrônico: http://ia.fc.ul.pt

http://ia.fc.ul.pt/


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2. SEQUÊNCIA DE FIBONACCI Figura 05

Leonardo de Pisa (1170, 1240?), conhecido por Fibonacci, era

matemático e comerciante da Idade Média. Viajou pelo

Mediterrâneo, com seu pai, Bonaccio, que tinha negócios em Pisa,

na Itália e Bugia, no norte da África, atual Bejaia, na Nigéria. Nessas

viagens, teve oportunidade de conhecer os algarismos hindu-

arábicos, em que percebeu a facilidade dos cálculos que esse sistema

de numeração oferecia quando comparados com os números romanos.

Em 1202 publicou o Liber Abaci, ou Livro do Cálculo e as primeiras palavras do Liber

abaci são: "Estes são os nove símbolos dos Hindus: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Com eles, mais o símbolo 0, que

em árabe é chamado Zéfiro, qualquer número pode ser escrito."

O “Livro do Ábaco” trata-se de um manual completo que mostrava a utilidade prática do

sistema de numeração hindu-árabe no comércio, na conversão de pesos e medidas, nos cálculos

de câmbios e noutras áreas aplicadas. Serviu de modelo a praticamente todas as aritméticas

comerciais da época medieval e remascentista, o livro está dividido em 15 capítulos, sendo o 12º

dedicado à resolução de diversos problemas. Aí aparece uma questão célebre que deu origem à

ainda mais célebre sucessão de Fibonacci.

Eis o problema:

Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, e supondo-se que nenhum coelho morre, quantos casais de coelhos existirão ao final de um ano?

A sua obra mais avançada o Liber Quadratorum (1225) trata da Teoria dos Números.

Fibonacci não percebeu que uma das maiores vantagens do sistema decimal é a facilidade

que ele permite no trabalho com frações.

Atividade 1:

Resolver o problema encontrando a seqüência e sua relação de recorrência.

A Seqüência de Fibonacci é famosa por conter belíssimas sincronias com fenômenos

naturais:

as pétalas das flores têm geralmente um número de F.

nas folhas das cabeças das alfaces, couve-flor, nas camadas das cebolas ou nos padrões de saliências dos abacaxis e das pinhas.

as sementes do girassol formam espirais quer para a direita, quer para a esquerda. Se


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contarmos ambas as espirais, teremos dois números consecutivos de F.

o nautilus, um molusco que possui uma concha em forma de espiral com compartimentos que utiliza para flutuar. O número de compartimentos pertence à série de F.

Esta espiral não é inocente, ela também ela está relacionada com a sucessâo de F. Veremos a

espiral mais adiante.

Algumas aplicações da seqüência de Fibonacci em campos do conhecimento humano:

Estudo genealógico de abelhas;

Crescimento de plantas;

Na música;

Nas espirais;

No Triângulo de Pascal;

Atividade 2:

Calcule: a) MDC (f6, f9) b) MDC (f9, f12); c) MDC (f4, f10); d) generalize

Atividade 3:

Encontrar a relação entre os ternos pitagóricos e série de F. Observando a série de F.

(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, ... ) nota-se que os nº em negritos já apareceram em ternos

pitagóricos e sempre como elemento correspondente à hipotenusa. Então é bem possível que os

elementos correspondentes a catetos também aí estejam.

Dica: Indicando com Fn o nº de F. que ocupa a ordem n na série temos:

Para o 1º grupo F 1 F 2 F 3 F 4 obtivemos 5 = F 5

Para o 2º grupo F 2 F 3 F 4 F 5 obtivemos 13 = F 7

CURIOSIDADE: a área dos triângulos obtidos para cada grupo é igual ao produto dos

quatros números.

Atividade 4:

Represente os números 50, 75 e 100 como soma de números de Fibonacci distintos.

Dica: Utilizar a seguinte propriedade: Todo número inteiro positivo pode ser escrito de

maneira única como soma de números de Fibonacci distintos e não consecutivos.

Vamos construir uma tabela onde a 1ª linha é formada pelos primeiros números naturais

e a 2ª linha é formada pelos primeiros números de Fibonacci e depois dado o número vamos

representá-lo por sequências binárias finitas (sequências de termos 0 e 1).

Exemplo: 10 = 8 + 2 = F6 + F3 = 1 F6 + 0 F5 + 0 F4 + 1 F3 + 0 F2.

Assim 10 = (10010)F A razão para F 1 não ser incluído está no fato que estamos


11

interessados em nº de F. distintos e F1 = F2 =1, logo somente um deles pode ser usado.

Atividade 5:

Efetue a multiplicação 16 X 63.

Dica: A decomposição de números como soma de números de F. distintos pode ser

usada em um método que permite multiplicar dois números inteiros usando adições. Vamos

construir uma tabela onde a 1ª coluna é formada por 1 e um dos números, digamos 63. A 2ª

coluna é obtida da primeira dobrando-se os números e, a parir daí, toda coluna da tabela é obtida

pela soma das duas anteriores. A tabela é construída até que na 1ª linha seja atingido um nº maior

ou igual ao outro nº, no caso, a 16. A seguir considera-se uma decomposição de 16 em nº de F.

Para obter o produto basta tomar os números correspondentes a 3 e 13 na tabela e somá-los.

Atividade 6:

Demonstrar que são verdadeiras:

(a) F 1 + F 2 + F 3 + .... F n = F n + 2 – 1

(b) F 1 + F 3 + F 5 + .... F 2n – 1 = F 2n

(c) F 2 + F4 + F 6 + .... F 2n = F 2n + 1 – 1

(d) F 12 + F 2

2 + F 32 + .... F n

2 = F n F n + 1 .

Considerando (b) e (c) juntas podemos escrever:

(e) F k – 1 = Fk – 1 + F k – 3 + + .... F a ,onde a =3 se K é par ou a=2 se k é ímpar.

A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI E A RAZÃO ÁUREA

Esta seqüência é tão bela que se relaciona até mesmo com o chamado "número de ouro", o número Phi, uma constante matemática conhecida desde a Grécia antiga, conhecida também como número da beleza, número da perfeição, etc... Que inspirou e inspira até hoje muitos matemáticos, escultores, pintores e arquitetos, como Leonardo da Vinci, Michelangelo, Phídias (escultor grego que muito utilizou a razão áurea em seus trabalhos, e por isso ela recebe o nome de Phi), etc... Essa constante é dada por:

Phi = φ = 1,618033988749895... (fi = nº áureo = nº de ouro)

Quanto maior a seqüência de Fibonacci, cada vez mais a razão de cada termo pelo seu antecessor aproxima-se de φ. Em linguagem matemática:

n 1

n

n

f1 5

Phi lim 1,618033988749895... , razão áureaf 2

Dividindo cada número de Fibonacci pelo seu sucessor. Exemplos: 3 / 2 = 1,5


12

5 / 3 = 1,666666... 8 / 5 = 1,6 13 / 8 = 1,625 21 / 13 = 1,61538461... 34 / 21 = 1,61904761... 55 / 34 = 1,61764705... 89 / 55 = 1,61818181... 144 / 89 = 1,61797752... 233 / 144 = 1,6180555... E assim sucessivamente.

Como exemplo da divisão áurea, temos o pentagrama – estrela de 5 pontas, símbolo da

seita pitagórica, a interseção de 2 de suas diagonais divide qualquer delas numa razão áurea.

Atividade 7:

“Verificar se a pessoa é bela”.

Efetuar as medidas, tirar a razão entre elas (para facilitar utilize uma casa decimal) e

observar os resultados:

a) altura de uma pessoa pela medida do umbigo ao chão b) medida do queixo até a testa pela medida dos olhos até a testa

Onde houver “harmonia” lá encontraremos o nº de ouro = 1 5

2

= 1,61803...

Atividade 8:

Efetuar a divisão áurea de um segmento, ou divisão em média e extrema razão.

Para efetuar a divisão áurea de um segmento, ou divisão em média e extrema razão.

Desenhar numa folha de papel um segmento AB, tal que a medida (AB) = x

unidades.

Com um ponto C dividir este segmento em duas partes. De quantas maneiras

pode-se dividir este segmento?

Encontrar a única posição – posição de ouro – onde o ponto C divide o

segmento AB em dois segmentos proporcionais, tal que, o quociente entre as

medidas do segmento todo (x) pela parte maior (a) é igual ao quociente entre as

medidas da parte maior com a parte menor.

Número áureo – com régua divide o segmento em 2 partes tais que a diferença entre seus

quadrados seja igual ao seu produto.

A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI NA GEOMETRIA

Atividade 9:

Justificar na identidade (d), a possível interpretação: a decomposição de um retângulo de


13

lados F n e F n + 1 em n quadrados de lados F 1 , F 2 , F 3 , .... F n . Ex. 13 X 8 = 1 2 + 1 2 + 2 2

+ 3 2 + 5 2 + 8 2 .

Atividade 10:

Construir a espiral composta por arcos de 900 de circunferências cujos raios são os termos

consecutivos da serie de Fibonacci .

Atividade 11:

Justificar que multiplicando a identidade (d) por ¶, obtemos:

I) o 1º membro da identidade representa a soma das áreas de n círculos de raios:

F 1 , F 2 , F 3 , .... F n

II) o 2º membro da identidade representa a área de uma elipse de semi-eixos F n e F n + 1 .

Atividade 12

Justificar que multiplicando a identidade (a) por ¶ /2, temos que: a soma dos

comprimentos dos n primeiros arcos de circunferência é igual a ¼ da circunferência de raio F n + 2

– 1.

Atividade 13:

Como construir um retângulo áureo:

Faça um quadrado, no ponto médio da base trace um segmento até o vértice superior do quadrado. Use esse segmento como raio e trace um arco até o encontrar o prolongamento da base, nesse ponto de encontro trace uma perpendicular à base até encontrar o prolongamento do lado superior do quadrado.

Verifique A propriedade que pode ser vista no símbolo da SBM: Se de um retângulo

áureo é retirado um quadrado, o retângulo menor é também áureo.

Atividade 14:

Que relação pode existir entre a seqüência e a razão áurea?

Referências BARBOSA, Ruy Madsen. 1993. Descobrindo padrões pitagóricos: geométricos e numéricos. São Paul: Atual. BOYER, Carl B. História da Matemática, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F. Gomide – 2ª ed. – São Paulo: Edgard Blucher, 1996. BURTON, David M. Elementary number theory, Allyn Bacon and Bacon, Inc, 1976. CARVALHO, João B. P. Euclides, Fibonacci e Lamé, RPM – SBM, nº 24, 1993, 32-40. STRUICK, Dirk J. História Concisa das Matemáticas, Gradiva, 1989.


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YOUNG, Robert M. Excursions Calculus: An Interplay of The Continous and the Discrete, Dolciani Mathematical Exposition, MAA, 1992. ZECKENDORF, E. Representation des nombres natureals par une somme de nombres de Fibonacci ou de Lucas, Bull de la Soc. Royale des Sci de Liege, 41 (1972) 179- 182. BASTOS, Débora – Números de Fibonacci. <http://www.cti.furg.br/~debora/fibonacci.htm> acesso em 15/10/2007. [ALBUQUERQUE, Carlos – Fibonacci e as Sucessões Recorrentes. <http://www.lmc.fc.ul.pt/~albuquer/fibonacci/trabalho/mundo.htm> acesso em 15/10/2007. GONÇALEZ, Rodrigo – A Seqüência de Fibonacci. <http://rrgoncalez.blogspot.com/> acesso em 15/10/2007. SODRÉ, Ulysses – Matemática Essencial: Seqüência de Fibonacci – Aplicações. <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm> acesso em 14/10/2007. WIKIPÉDIA: A enciclopédia livre – Número de Fibonacci. <http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci> acesso em 14/10/2007. Resposta da Atividade 1:

Obs: Todo este problema considera que os coelhos estão permanentes fechados num certo local e que não ocorrem mortes.

Então é fácil ver que, um casal nasce no primeiro mês, totalizando-se dois casais. No

segundo mês, o primeiro casal produz um novo casal. No terceiro mês, o primeiro casal e o casal que nasceu no primeiro mês, produzem novos casais. Assim, já são existentes três casais adultos e dois casais filhotes. E assim sucessivamente. Veja o quadro abaixo:

Mês Casais Adultos Casais Filhotes Total de Casais 1º 00 01 01

2º 01 00 01

3º 01 01 02

4º 02 01 03

Portanto está claro que durante um ano a seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

responde a pergunta do problema dos coelhos. Estes números são os doze primeiros termos da Seqüência de Fibonacci.

Denotamos os números da seqüência de Fibonacci por: f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13, f 8 = 21, f 9 = 34, f 10 = 55, … Com essa notação, é de fácil verificação que: f 3 = f 1 + f 2; f 4 = f 2 + f 3; f 5 = f 3 + f 4; f 6 = f 4 + f 5 e assim por diante.

De maneira geral, f n = f n – 2 + f n – 1, para 3n , isto é, em que cada termo após os dois primeiros é a soma dos dois imediatamente precedentes. Assim, descreve-se a seqüência de Fibonacci como uma seqüência recursiva.

f 1 = f 2 = 1, f n = f n – 2 + f n – 1, para 3n Alguns livros definem a seqüência de Fibonacci como:

f n = f n – 1 + f n – 2, para 2n , em que, f 0 = 0, f 1 = 1.

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 2 1, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765.....)

http://www.cti.furg.br/~debora/fibonacci.htm

http://www.lmc.fc.ul.pt/~albuquer/fibonacci/trabalho/mundo.htm

http://rrgoncalez.blogspot.com/

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci


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3. JOGO DAS DIAGONAIS

Adaptado da Revista do Professor de Matemática nº 7.

Às vezes, na Matemática, estudamos certos assuntos, resolvemos certos problemas, simplesmente com a intenção de vencer desafios, brincar com a Matemática, divertir-se com ela. Esta dimensão também deve ser mostrada ao aluno: é possível sentir prazer brincando com a Matemática. (RPM 7 pág. 39).

Material:

Pedaço de madeira de forma quadrada de 30 cm de lado, 2 rolos de linha de cores diferentes, uns

90 pregos, compasso, transferidor e régua.

Procedimentos:

– Trace na madeira uma circunferência de raio 13,5 cm;

– Desenhe um polígono regular inscrito de n lados. Pode usar o texto “construção com régua e

compasso” onde vimos os polígonos de n lados ou então através de ângulos centrais de

medida 360º / n.

– Para cada vértice do polígono fixe um prego, e depois passe uma das linhas por eles formando

desta forma o polígono;

– Construa com a outra linha todas as diagonais do polígono, não vale construir a mesma

diagonal duas vezes, isto é, não vale ir e vir pelo mesmo caminho. Também não vale amarrar a

linha num prego, cortá-la e amarrá-la novamente em um outro prego. A linha só pode ser

cortada quando a última diagonal tiver sido construída.

Atividades:

1) Quantas diagonais partem de cada vértice? Quantas diagonais têm o polígono?

2) Por que se n é ímpar o jogo dá certo e quando é par, não?

3) Observando todos os trabalhos construídos o que você vê de diferente? Explique.

4) Quando n é par quantas são as diagonais que passam pelo centro? Quando n é ímpar quantas

são as diagonais mais próximas do centro?

5) O que é esse núcleo vazio? Se for figura, quantos lados possui?

6) Quantos segmentos de reta determinados pelos vértices há em cada um dos trabalhos?

7) Quantas são as diagonais que precisam ser cortadas por n par?


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4. OFICINA: QUADRADOS MÁGICOS

Sobre o quadrado mágico conta-se, não se sabe se história ou lenda, que ele surgiu na

China há uns 4000 anos quando o Imperador Yu em um passeio às margens do rio Amarelo

encontrou uma tartaruga divina e observou que o seu casco era dividido em forma de linhas e

colunas. E em cada uma delas havia pontos. O mais interessante é que em todas as filas sejam

linha, coluna ou diagonal continham a mesma quantidade de pontos.

Esse arranjo chamado quadrado mágico foi associado a um significado místico,

acreditando-se que o uso de um quadrado mágico gravado numa placa de prata protegia contra a

peste. E até hoje serve de amuleto para alguns países tais como Tibet, Índia e Sudeste da Ásia.

História ou lenda, o certo é que o quadrado mágico propagou-se e ao longo do tempo, a

sua construção prendia atenção de um grande numero de curiosos. Sobre isso Gundlach (1992)

disse:

O interesse por quadrados mágicos ressurgiu no final do século XIX, e os quadrados foram aplicados a problemas em probabilidade e análise. O assunto correlato dos quadrados greco-romanos, cujo pioneiro foi Leonhard Euler, produziu recentemente importante aplicações no planejamento de experimentos. Assim, uma idéia que tem raízes profundas no misticismo, freqüentemente consideradas como mero passatempo, acabou se tornando uma parte importante da matemática contemporânea (p. 66).

O quadrado mágico formado pelos primeiros números inteiros positivos é denominado

quadrado mágico normal e neste trabalho trataremos dele. O qual pode ser utilizado de forma

pertinente no estudo de seqüências, (progressão aritmética) e matrizes. E em geral, como jogos –

jogos na aprendizagem – para exploração pelos alunos e até como descontração.

Podemos definir um quadrado mágico de ordem n como sendo uma matriz (a i j ) m x n onde

os elementos a i j são números naturais que são todos diferentes, e a soma dos números de

qualquer linha, coluna ou diagonal é igual a uma constante M chamada de constante mágica do

quadrado M = 2

)1( 2 nn. Como exemplo vejamos as figuras seguintes:

Figura 08

Tartaruga lo-shu representado no I Ching Quadrado de ordem 3

6 1 8

7 5 3

2 9 4

Figura 06 Figura 07


17

As construções dos quadrados mágicos de ordem n serão feitas de acordo:

a) ordem ímpar b) ordem 4n c) ordem par não múltipla de 4

Atividade 1: Figura 09

Sabendo que numa abordagem algébrica, o quadrado

mágico de ordem 3 tem a representação ao lado. Explique

porque há somente um quadrado mágico de ordem 3, e que os

7 restantes são as transformações isométricas do mesmo.

Nota: a abordagem algébrica para quadrados mágicos de ordem

maior que 3 é muito trabalhosa, por exemplo, para ordem 4,

teríamos 10 equações com 16 variáveis.

Mostrar as seguintes propriedades para quadrado mágico de ordem 3:

a) a constante mágica é o triplo do número que ocupa a casa central;

b) a soma dos quadrados dos elementos da 1a. linha é a mesma que a soma dos quadrados dos

elementos da 3a. linha. Idem com 1a. e 3a. colunas.


Para a construção do quadrado de ordem 3: Complete o

quadrado com casas auxiliares de forma que possa ser possível, a

partir da esquerda da primeira casa, traçar três diagonais e em cada

uma delas, a começar da 1ª, escreva a seqüência dos números. O

número que estiver fora do quadrado é colocado na mesma fila na

última casa vazia. Como você explica esta representação.

Atividade 3:

Usando a idéia anterior, construa um quadrado de ordem 5 e um quad. de ordem 7.

Figura 11


Para a construção de um quadrado mágico de ordem

ímpar, temos a regra devida ao francês De la Loubére:

Em relação ao quadrado faça uma linha auxiliar acima da

sua 1ª linha e uma coluna auxiliar junto a sua última.

Começando com 1 na casa central da 1ª linha, para cima

em diagonal continue a seqüência.

Se o número cair fora do quadrado, coloca o mesmo na última casa da mesma coluna; se

o número cair na coluna auxiliar coloca o mesmo na 1ª casa da mesma linha; Se por acaso o

a b 15– a – b

20–2a– b 5 2a+ b–10

a + b – 5 10 – b 10 – a

3

2 7 6

1 9 5 1 9

4 3 8

7

18 25 2 9 X

17 24 1 8 15 17

23 5 7 14 16 23

4 6 13 20 22 4

10 12 19 21 3 10

11 18 25 2 9


18

número cair em X ou a casa já estiver ocupada por um outro número, coloque o número da

seqüência na casa abaixo do número anterior. A partir dele continue com a seqüência e proceda

do mesmo jeito. Com a regra construa um quadrado mágico de ordem 7.

Atividade 5:

Apresentamos outra idéia para construção de um quadrado mágico de ordem ímpar

diferente de 3 através da sua construção em um quadrado mag. de ordem 5.

Figura 12

Escreva os números no quadrado do seguinte

modo: Comece colocando o 1 na casa central da

primeira linha e andamos duas casas para cima e

uma para a direita para colocar os números

seguintes. Se um número cai fora do quadrado,

ficando em um dos três quadrados auxiliares (um à

direita, outro acima e um colado ao anterior),

voltamos com o número na casa correspondente

no quadrado. Se o número cai em uma casa já

ocupada escrevemos o mesmo na casa abaixo do

número anterior.

Atividade 6:

Para a construção de um quadrado mágico de ordem 4n temos a seguinte regra:

i) Divida o quadrado em quadrados 4 x 4. ii)Trace as diagonais de cada um

iii) Escreva a seqüência saltando as casas das diagonais iv) Começando da última casa

escreva a seqüência saltando as casas já preenchidas.

Outra maneira: preencha as casas do quadrado com a seqüência dos números. Subdivida o

quadrado em n/4 quadrados 4 x 4 e, para cada um desses quadrados menores, trocar os

elementos das suas duas diagonais por n 2 + 1 – a i j do 1º quadrado mágico.Conserve os outros

números.

Figuras 13 e 14

Ex.: Ordem 4, M = 34

Construa, utilizando a regra, o quadrado mágico de ordem 8.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

11 19 2 15 23

12 25 8 21 4

10 18 1 14 22 10

11 24 7 20 3 16

17 5 13 21 9 17

23 6 19 2 15

4 12 25 8 16


19

Atividade 7:

Para a construção de um quadrado mágico de ordem n par e não múltipla de 4

usamos uma técnica conhecida como técnica de Conway ou método “LUX”. Se n = 4m +2,

m 1, escrevemos uma matriz auxiliar de ordem (2m + 1) x (2m + 1) formada por m + 1 linhas

de L, uma linha de U e m – 1 linhas de X. Troque o U do meio pelo L logo acima dele. Supondo

cada letra L, U ou X no centro de um quadrado 2 x 2, preencha cada um desses quadrados com

números do seguinte modo:

Distribua os números de 1 a n 2 de 4 em 4, levando em consideração o formato de cada letra:

A ordem de escolha das letras para se fazer a distribuição dos números é a mesma da

atividade 4 (construção de quadrados de ordem ímpar).

Como exemplo vamos

construir o quadrado de

ordem 6:

Figuras 15, 16,17

Construa, utilizando a regra, o quadrado mágico de ordem 10.

Algumas curiosidades sobre quadrados mágicos

I) Apesar de que ainda não se tenha resolvido o problema sobre o cálculo da quantidade de

quadrados mágicos de uma determinada ordem n, sabe-se:

a) ordem 3, tem-se 1 quadrado mágico.

b) ordem 4, tem-se 880 quadrados mágicos.

c) ordem 5, tem-se 275.305.224 quadrados mágicos.

II) Construindo os quadrados mágicos abaixo, usando a idéia da atividade 2. Observamos que no

triângulo mágico – a relação de Pitágoras se verifica para:

a) 3 números de casas correspondentes. Ex. 152 + 202 = 252

9 2 x

8 1 6 8

3 5 7 3

4 9 2

32 29 4 1 24 21

30 31 2 3 22 23

12 9 17 20 28 25

10 11 18 19 26 27

13 16 36 33 5 8

14 15 34 35 6 7 U

U

U

4 1 1 4 1 4

2 3 2 3 3 2

L L L

L U L

U L U


20

b) somando dois ou mais valores de casas correspondentes. Ex. (10+25)2 =

(6+15)2+(8+20)2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

4

5

3

4

5

6

8

10

9

12

15

12

16

20

15

20

25

18

24

30

21

28

35

24

32

40

27

36

45

III) Quadrados mágicos e o teorema de Pitágoras


BOYER, Carl Benjamin. História da matemática; tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgar

Blucher, 1974.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática / Howard Eves; tradução Hygino H.

Domingues. – Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.

Folhetim de Educação Matemática nos: 78, 79.UEFS.

GUNDLACH, Bernard H. 1992. História dos Números e Numerais – Tradução: Hygino H.

Domingues. São Paulo: Atual.

Revista do Professor de Matemática. Vols. 39, 41 e 51 da Soc. Bras.de Matemática.

Revista de Matemática. Vols. 9, 10 da CG Editora.

Figura 18


21

5. OFICINA: CONSTRUINDO POLIEDROS REGULARES COM

ESQUELETOS

Desde a antiguidade são reconhecidos os poliedros regulares, ou seja, poliedros convexos

cujas faces são polígonos regulares iguais e que em todos os vértices concorrem o mesmo

número de arestas. Na última proposição do livro XIII dos “Elementos” de Euclides (cerca de

300 a.C.) prova-se que os poliedros regulares são apenas 5: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o

dodecaedro e o icosaedro.

Tetraedo Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Figura 19

Estes, freqüentemente são chamados “Poliedros de Platão” ou “sólidos platônicos”

devido à maneira pela qual Platão os aplicou à explicação de fenômenos científicos.

Os gregos acreditavam que havia somente quatro elementos básicos: fogo, terra, ar e água.

Platão relacionou os elementos com os quatro poliedros regulares da seguinte maneira:

Fogo – Tetraedro; Terra – Cubo; Ar – Octaedro; Água – Icosaedro

O fogo foi pensado ser composto de partículas em forma de tetraedro. Para incluir o quinto

sólido regular (dodecaedro), Platão fê-lo símbolo do Universo.

Obs: Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas não vale a recíproca. Ex: tetraedro

cuja face é um triângulo isósceles é de Platão, mas não é regular pois nele o triângulo é eqüilátero.

Objetivo: Construir os Poliedros Regulares de modo mais atrativo e motivador. A

utilização de materiais concretos para a construção de estruturas que representam "esqueletos" de

sólidos geométricos construídos por meio de suas arestas torna a aula de poliedros mais prática e

fácil de visualizar. Os materiais utilizados para as construções são pedaços de canudos de plástico

unidos por meio de um fio de linha e varetas finas de madeira unidas por anéis elásticos. Embora

os "esqueletos" obtidos com as varetas forneçam uma representação grosseira da figura

geométrica, seu uso é indicado devido à sua fácil manipulação, o que permite rapidez na

construção das estruturas.

Nas atividades a seguir, indicaremos por -> o sentido em que a linha deve ser inserida

num canudo vazio e indicaremos por => o sentido em que ela deve ser inserida em um canudo já

ocupado por algum pedaço de linha.


22

Atividade 1: Construção de um tetraedro regular

Figura 20

Tome um fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um

triângulo e o feche por meio de um nó. Agora, passe o restante da linha por mais dois pedaços de

canudo, juntando-os e formando mais um triângulo.

Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta,

fechando a estrutura com um só nó. Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro regular

e as etapas intermediárias da construção estão representadas na figura acima.

Nas construções das estruturas é importante observar que, para

se dar firmeza aos vértices de uma estrutura, é necessário reforçá-los,

passando o fio de linha mais de uma vez por cada pedaço de canudo,

ligando-o aos outros dois, como na figura ao lado.

Figura 21

Um outro jeito da Atividade 1:

Figura 22

Atividade 2:


23

Mostrar os quatro triângulos eqüiláteros das faces do tetraedro.

Atividade 3:

Confirmar que as várias maneiras de ver um tetraedro ou sus projeções sobre um plano

são do desenho:

Figura 23

Atividade 4:

Seguindo o esquema abaixo construa o cubo.


Com pedaços de canudos da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Para isso,

passe o fio através de quatro canudos e passe a linha novamente por dentro do primeiro canudo,

construindo um quadrado. considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha por

Figura 24


24

mais três canudos para completar as arestas do cubo. Prenda-os de maneira a completá-lo, como

na figura.

Figura 25

Atividade 5:

Mostrar que, ao contrário do tetraedro, o cubo não fica rígido. Inclinar e mostrar os

losangos das faces.

Observando que a estrutura não é rígida, construiremos suas diagonais

Agora, com pedaços de canudo de cor ( ou diâmetro

diferente da usada para representar as arestas do cubo,

construa uma diagonal em cada face de modo que em cada

vértice que determina a diagonal cheguem mais duas

diagonais. Ao final da construção veremos que construímos

um tetraedro formado por seis diagonais das faces do cubo,

como mostra a figura ao lado.

Figura 26

Atividade 6:

Mostrar os seis quadrados eqüiláteros das faces do cubo.

Atividade 7:

Confirmar que as várias maneiras de ver um cubo ou suas projeções sobre um plano são

os do desenho:

Figura 27


25

Atividade 8: Mostrar que, ao contrário do tetraedro, o cubo não fica rígido. Inclinar e mostrar os

losangos das faces.

Atividade 9: Seguindo o exemplo abaixo construa o octaedro, usando pirâmides de

quatro lados.

Figura 29

Podemos construir os poliedros,

fazendo cada face separadamente e ir

amarrando umas às outras, conforme

figura.

Figura 28


26


Figura 30

Com pedaços de canudo e o fio de linha, construa quatro triângulos e os una, dois a dois,

como no esquema apresentado na figura acima.

Atividade 10: Construção de um icosaedro regular

Construa quatro triângulos seguindo o esquema da figura a e os una obtendo uma

pirâmide regular de base pentagonal, como representado na figura b. Repita essa construção,

obtendo mais uma pirâmide. Una cada uma dessas pirâmides através dos vértices das bases por

meio de pedaços de canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos,

como na figura c.

Figura 31

Atividade 11:

Construir o dodecaedro, da mesma forma que os demais levando em conta que o

polígono é o pentágono.

Referências:

Algumas figuras e atividades foram extraídas da oficina de Poliedros de Canudos de Ernesto

Rosa Neto e da Revista do Professor de Matemática nº 28, pág. 29.

BARBOSA, João Lucas Marques. 1997. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.

LIMA, Elon Lages.1985. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. nº 8, pg.34; nº 28, pg.29.


27

6. POLIEDROS REGULARES: QUANTOS EXISTEM?

Pelo menos três dos cinco sólidos geométricos regulares (tetraedro, cubo, dodecaedro)

foram estudados pelos pitagóricos e os outros dois (octaedro e icosaedro) tornaram-se

conhecidos através de Teaetetus, um amigo de Platão. No entanto, freqüentemente são chamados

“sólidos platônicos” devido à maneira pela qual Platão os aplicou à explicação de fenômenos

científicos.

Qual a razão de serem apenas Cinco os Poliedros Regulares?

Esta pergunta refere ao Teorema – Existem apenas cinco poliedros regulares.

Demonstração: Seja n o número de lados de cada face e seja p o número de arestas que

concorrem em cada vértice. Temos então 2A = nF = pV, ou A = 2

nFe V =

p

nF.

Substituindo na relação de Euler: V– A + F = 2 (vértice – aresta + face), obtemos:

p

nF -

2

nF + F = 2 → F =

pnnp

p

22

4.

Devemos ter 2p + 2n – pn > 0, ou seja 2

2

n

n > p.

n = 3 → F = p

p

6

4→

n = 4 → F = p

p

4

2→ p = 3 → F = 6 (hexaedro)

n = 5 → F = p

p

310

4

→ p = 3 → F = 12 (dodecaedro)

Outra demonstração pode ser feita de forma mais simples e prática que inclusive

pode facilitar a explicação para os alunos em sala de aula, usando apenas polígonos feitos com

cartolina.

Material: cartolina, transferidor, compasso, tesoura e lápis.

Inicialmente construindo poliedros quaisquer, regulares ou não, e unindo-os por um dos

lados perceberemos que são necessários pelo menos três para formar um bico (um ângulo

poliédrico), conjunto formado do vértice e aresta que não estão no mesmo plano.

Podemos também formar um bico com mais de três polígonos, mas, não é possível, por

exemplo, fazer um bico com seis triângulos eqüiláteros, nem com quatro quadrados, nem com

três hexágonos regulares.

p = 3 → F = 4 (tetraedro)

p = 4 → F = 8 (octaedro)

p = 5 → F = 20 (icosaedro)


28

Para formar o bico de um poliedro, além de reunirmos pelo menos três polígonos, devemos

cuidar para que a soma dos ângulos internos dos polígonos em torno do bico seja menor que

360º.

Cada ângulo de um triângulo eqüilátero mede 60º. Teremos as seguintes possibilidades:

Nº de triângulos eqüiláteros Soma dos ângulos Poliedros formados

3 180º Tetraedro

4 240º Octaedro

5 300º Icosaedro

6 360º Impossível

Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, então podemos fazer a seguinte união em cada vértice.

Cada ângulo de um pentágono mede 108º. Veja a tabela abaixo:

Nº de pentágonos Soma dos ângulos Poliedro formado

3 324º Dodecaedro

4 432º Impossível

Cada ângulo de um hexágono mede 120º. Juntando três hexágonos a soma dos ângulos

seria 360º, então não é possível nenhum poliedro com faces hexagonais. Similarmente não é

possível nenhum poliedro com faces de sete lados ou mais.

Veremos, como Platão fez a mais de 2000 anos atrás para mostrar que só podem

existir cinco poliedros regulares.

Para isso recortaremos círculos em cartolina e, a partir do centro, marcaremos ângulos

iguais a 60º, 90º, 108º e 120º.

a) Com um ângulo de 60 graus.

Como 6 x 60º = 360º, dá para marcar 6 ângulos de 60º. Cortaremos uma das linhas e

dobraremos as cinco outras. Colocando as faces uma em cima das outras da para verificar que

podemos formar três tipos de bicos:

Um com três arestas

Um com quatro arestas

Um com cinco arestas

Nº de quadrados Soma dos ângulos Poliedro formado

3 270º Cubo

4 360º Impossível


29

(Um bico de 6 arestas não existe, pois 6 x 60º = 360º e daria o plano original)

Existe um poliedro regular correspondente a cada um desses bicos? A resposta é sim. Basta

examinar os bicos dos nossos cinco poliedros regulares e constatar que:

O bico de três arestas é o bico do tetraedro regular

O bico de quatro arestas é o bico do octaedro regular

O bico de cinco arestas é o bico do icosaedro regular

b) Com ângulos de 90 graus.

Da mesma maneira dá para marcar quatro ângulos de 90º, já que 4 x 90º = 360º.

Cortaremos uma das linhas e dobraremos as três arestas. Colocando uma face em cima da

outra verificamos que podemos formar um só bico com três arestas. (Um bico de quatro arestas

não existe, pois 4 x 90º = 360º e daria um plano original).

O polígono regular correspondente a esse bico é o cubo.

c) Com ângulos de 108 graus.

Da mesma maneira dá para marcar três ângulos de 108º, já que 3 x 108º + 36º = 324º + 36º

= 360º.

Cortaremos uma das linhas junto do ângulo de 36º e dobraremos as três outras. Colocando

uma face em cima da outra, verificamos que podemos formar um só bico com três arestas (não

existe um bico com quatro arestas, já que 4 x 108º = 432º > 360º)

O poliedro regular que corresponde a esse bico é o dodecaedro regular.

Já encontramos os cinco poliedros regulares conhecidos. Basta, para terminar a

demonstração, mostrar que não pode existir nenhum outro.

Poliedro seguinte é o hexágono regular com o ângulo interno igual a 120º. Como 3 x 120º

= 360º, não podemos formar nenhum bico com ângulo de 120º (pois três ângulos de 120º

formam um plano). Também não poderemos forma nenhum bico cm três ângulos superiores a

120º. Como todos os outros polígonos regulares têm ângulos superiores a 120º fica provado que

não podem existir outros poliedros regulares.

Referências:

BARBOSA, João Lucas Marques. 1997. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade

Brasileira de Matemática.

LIMA, Elon Lages.1985. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. nº 8, pg.34; nº 28, pg.29; nº 8.


30

7. PLANIFICAÇÃO DOS POLIEDROS REGULARES

Figura 32

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Figura 34

Figura 33


31

Hexaedro ou Cubo

Dodecaedro

Planificação do Cubo Figura 37

Figura 36

Figura 35


32

8. POLIEDROS REGULARES, SEMI-REGULARES E IRREGULARES

Sabe-se que um plano divide o espaço tridimensional em duas regiões. Admita-se o

poliedro em uma dessas regiões e verifique-se se o mesmo se mantém todo nessa região, qualquer

que seja a face que pertença ao plano. Se isso acontecer, o poliedro chama-se convexo, do

contrário, será côncavo.

Do grego - poly (muitas) + edro (face). Os poliedros fazem parte do pensamento grego,

foram estudados pelos grandes filósofos da antiguidade e tomaram parte nas suas teorias sobre o

universo. Diz-se poliedro todo sólido limitado por polígonos planos. Os polígonos,

chamados faces do poliedro, são colocados lado a lado, não coplanares, definindo um trecho

fechado no espaço. O ângulo entre duas faces é chamado ângulo diedro. Os lados são

chamados arestas do poliedro. Os vértices dos polígonos coincidem com os vértices do poliedro.

As arestas que saem de um mesmo vértice formam um ângulo sólido do poliedro. Os sólidos

geométricos ou poliedros podem ter qualquer configuração desde que fechem um espaço;

criando um volume. Os poliedros são divididos em três grupos:

1 - Os regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro).

2-Os semi-regulares (tetratroncoedro, cuboctatroncoedros, dodecaicositroncoedros, etc.)

3 - Os irregulares (pirâmides e prismas).

1 – OS POLIEDROS REGULARES

São os poliedros cujas faces são polígonos regulares iguais entre si, e cujos ângulos

poliédricos são todos iguais.

A Tabela 1 apresenta uma relação dos poliedros regulares e seus elementos.

Poliedros Regulares Nº de faces por vértice Faces Vértices Arestas

Tetraedro 3 4F3 4 6

Hexaedro 3 6F5 8 12

Octaedro 4 8F3 6 12

Dodecaedro 3 12F5 20 30

Icosaedro 3 20F3 12 30

Os poliedros regulares classificam-se em:

1 - convexos: tetraedro (quatro faces), hexaedro (seis faces), octaedro (oito faces), dodecaedro (doze faces) e icosaedro (vinte faces).

2 - estrelados: dodecaedro e icosaedro.


33

OS POLIEDROS REGULARES CONVEXOS

Os poliedros regulares convexos são também conhecidos como platônicos. São assim

chamados por terem sido estudados e divulgados por Platão. São também conhecidos como

regulares, pois todas as faces, ângulos e ângulos entre as faces serem sempre os mesmos.

Veremos a seguir o porquê.

Todo ângulo sólido tem que ter um mínimo de três faces, com ângulos de face cuja

soma seja menor que 360°. Analisando os polígonos regulares vemos que os possíveis geradores

de ângulos sólidos são os de ângulo interno menor que 120°, ou seja: o triângulo (60°), o

quadrado(90°) e o pentágono (108°).

Portanto, os polígonos regulares que formam os cinco poliedros regulares são o triângulo,

o quadrado e o pentágono. Os cinco sólidos platônicos são encontrados na natureza: são as

estruturas das radiarias (plânctons marinhos)

1.TETRAEDRO

Figura 38

O tetraedro é sem dúvida o pai de toda a família de poliedro. A partir dele se fazem

todos os demais. É o primeiro sólido regular, é um sólido nuclear pois não tem uma diagonal

completa.

Figura 39

* Vértices = 4 * Arestas = 6 * Faces = 4 triângulos eqüiláteros * Ângulo diedro = 70°32' * Ângulo central = 109°28' * Altura = 0,8164965 A

* Raio da Insfera = 0,2041 A * Raio da Meiasfera = 0,3536 A * Raio da Circunsfera = 0,6124 A * Superfície = 1,7321 A2 * Volume = 0,1179 A3


34

2. HEXAEDRO OU CUBO

Figura 40

O hexaedro é composto de 6 quadrados. O cubo é um sólido sociável. Ele pode ser aglomerado perfeitamente, isto é, podemos juntar cubos sem que sobrem espaços vazios. É a modulação básica das nossas construções atuais. Isso não quer dizer que seja a maneira mais econômica de aglomeração.

Figura 41

3. OCTAEDRO

O octaedro é composto de seis triângulos eqüiláteros. Pode ser visto como um antiprisma de base triangular, ou como duas pirâmides de base quadrada, acopladas pelas bases.

Figura 42

Vértices = 8 Arestas = 12 Faces = 6 quadrados Ângulo diedro = 90° Ângulo central = 70°32'

Raio da Insfera = 0,5 A Raio da Meiasfera = 0,7071 A Raio da Circunsfera = 0,8660 A Superfície = 6 A2 Volume = A3


35

Figura 43

4. DODECAEDRO – o dodecaedro é composto de 12 pentágonos.

Figura 44

Figura 45

Vértices = 12 Arestas = 20 Faces = 12 pentágonos Ângulo diedro = 116°34' Ângulo central = 41°49'

Raio da Insfera = 1,1135 A Raio da Meiasfera = 1,3092 A Raio da Circunsfera = 1,4013 A Superfície = 20,6457 A2 Volume = 7,6631 A3

Vértices = 6

Arestas = 12

Faces = 8 triângulos eqüiláteros

Ângulo diedro = 109°28'

Ângulo central = 90°

Raio da Insfera = 0,4082 A

Raio da Meiasfera = 0,5 A

Raio da Circunsfera = 0,7071 A

Superfície = 3,4641 A2

Volume = 0,4714 A3


36

5. ICOSAEDRO

O icosaedro é composto de 20 triângulos eqüiláteros. O icosaedro é usado como base fundamental para geração da ampla maioria das coberturas geodésicas.

Figura 46

Figura 47

Figura 48

SEMI-REGULARES

Também chamado de poliedro arquimediano, é um poliedro convexo constituído por faces regulares (mas de número de lados diferentes) e ângulos sólidos iguais ou simétricos. Estas faces são de dois ou, mesmo, três tipos e os ângulos são triédricos, tetraédricos ou pentaédricos. Uma análise dos polígonos regulares, que combinados, podem formar ângulo sólido, nos leva a concluir que:

1 - cada ângulo sólido tem no máximo três tipos de face; 2 - os de dois tipos de polígono podem ter ângulos sólidos com até cinco arestas; 3 - os de três tipos de polígonos podem ter um máximo de quatro arestas por vértice.

Vértices = 12 Arestas = 30 Faces = 20 triângulos eqüiláteros Ângulo diedro = 138°11' Ângulo central = 63°26'

Raio da Insfera = 0,7558 A Raio da Meiasfera = 0,8090 A Raio da Circunsfera = 0,9511 A Volume = 7,6631 A3 Superfície = 20,6457A2


37

TABELA 2: Poliedros semi-regulares e seus elementos.

Terminologia Moderna Terminologia Antiga Face Face Face Faces Vértices Arestas

Poliedros com dois tipos de faces

Ângulos sólidos triedros

Triaexagonal (4346) Troncotetraedro 4F6 4F3 - 8 36 24

Tetraesagonal (6486) Troncoctaedro 8F6 6F4 - 14 36 24

Pentaexagonal (126206) Troncoicosaedro 12F5 20F6 - 32 90 60

Triatogonal (8368) Troncocubo 6F8 8F3 - 14 36 24

Triadecagonal (2031210) Troncododecaedro 20F10 12F3 - 32 90 60

Ângulos sólidos quadraedros

Triatetragonal (83184) Rombicuboctaedro 18F4 8F3 - 26 48 24

Triatetragonal (8364) Cuboctaedro 8F3 6F5 - 14 24 12

Triapentagonal (203125) Icosidodecaedro 20F3 12F5 - 32 60 90

Ângulos sólidos pentaedros

Triatetragonal (32364) Cubo achatado / rombo

32F3 6F4 - 38 60 24

Triapentagonal (803125)

Dodecaedro achatado / rombo 80F3 12F5 - 92 150 60

Poliedros com três tipos de faces

Ângulos sólidos triedros

Triaexagonal (4346) Troncocuboctaedro 12F4 8F6 6F8 26 72 48

Tetradecapentagonal(3042061210) Troncoicosidodecaedro 30F4 20F6 12F10 62 180 120

Ângulos sólidos quadraedros

Triatetrapentagonal (203304126) Rombicosidodecaedro 30F4 20F3 12F5 62 120 60


38

OS EQUIANGULARES

São poliedros que têm todos os ângulos sólidos iguais entre si, mas as faces não são todas iguais. São gerados pelo truncamento dos 5 poliedros regulares.

Em número de 13 eles se originam:

- 1 do truncamento do tetraedro - t e t r a t r o n c o e d r o -

- 6 do truncamento do cubo ou tetraedro - c u b o c t a t r o n c o e d r o s -

- 6 do truncamento do dodecaedro ou Icosaedro-

d o d e c a i c o s i t r o n c o e d r o s-

Com dois tipos de faces e ângulos

sólidos triedros

Troncotetraedro (tetraedro truncado)

Figura 49

Troncoctaedro (octaedro truncado)

Figura 50

Troncoicosaedro (icosaedro truncado)

Figura 51

Troncocubo (cubo truncado)

Figura 82


39

Troncododecaedro (dodecaedro truncado)

Figura 83

Com dois tipos de faces e ângulos sólidos quadraedros

Rombicuboctaedro

Figura 84

Cuboctaedro (é a intersecção do Cubo como o Octaedro)

Figura 85

Icosidodecaedro ou dodecaicosaedro

Figura 86

Com dois tipos de faces e ângulos sólidos pentaedros

Cubo achatado/rombo ou cuborrombo (snub-cubo)

Figura 87


40

Dodecaedro achatado/rombo ou dodecaedrorrombo(snubdodecaedro)

Figura 88

Com três tipos de faces e ângulos sólidos triedros

Troncocuboctaedro (cuboctaedro truncado)

Figura 89

Troncoicosidodecaedro (icosidodecaedro truncado)

Figura 82 Figura 82

Figura 90

Com três tipos de faces e ângulos sólidos quadraedros

Rombicosidodecaedro

Figura 91


41

OS EQUIFACIAIS

São poliedros que têm todas as faces iguais entre si, mas os ângulos sólidos não são todos iguais.

Em número de 13 eles se originam:

- 1 do truncamento do tetraedro - t e t r a t r o n c o e d r o -

- 6 do truncamento do cubo ou tetraedro - c u b o c t a t r o n c o e d r o s -

- 6 do truncamento do dodecaedro ou Icosaedro - d o d e c a i c o s i t r o n c o e d r o s -

Existem ainda, as pirâmides duplas e os trapezoedros.

4 – OS IREGULARES

São todos os poliedros que não admitem lei de geração que os caracterize com perfeição.

a) PIRÂMIDES

Pirâmide é o poliedro resultante da interseção de um ângulo sólido por um plano inclinado às arestas.

Pode também ser vista como o resultado da ligação dos vértices de um polígono a um ponto fora do plano do polígono.

A pirâmide dita regular tem por base um polígono regular. É chamada reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base. Caso contrário é oblíqua.Quando as faces são triângulos eqüiláteros a pirâmide é regular eqüilátera.

b) PRISMAS

Os prismas são os sólidos geométricos que ficam definidos quando um feixe de paralelas não coplanares é cortado por dois planos.

Quando os planos não são paralelos fica dito que a figura é um "Tronco de prisma".

Os planos são chamados de "bases" e as paralelas são as "arestas laterais".

Pode também ser visto como a figura gerada por um polígono qualquer que se desloca segundo uma reta. Quando a reta é perpendicular ao plano do polígono diz-se que o prisma é


42

reto. Caso contrário diz-se que é oblíquo.

O polígono da base pode ser qualquer, e se for convexo, o prisma também é convexo.

As faces laterais podem ser paralelogramos, retângulos ou quadrados.

Quando o polígono da base é regular e as faces são quadrados o prisma é dito "arquimediano", por ser uma figura semi-regular. O prisma arquimediano de base quadrada é o cubo.

Outros prismas especiais são os chamados paralelepípedos, de bases e faces laterais retangulares as faces opostas são iguais entre si e todos os ângulos diedros são retos.

c) ANTI-PRISMAS

Quando ligamos os vértices de dois polígonos não coplanares, de modo a definir triângulos entre eles, formam-se poliedros conhecidos por:

1. ANTIPRISMÓIDES – quando os polígonos não têm mesmo número de lados. 2. ANTIPIRAMÓIDES – Quando um dos polígonos é substituido por um segmento de

reta. 3. TRONCO-ANTIPRISMAS – Quando os polígonos têm mesmo número de lados e

não são de planos paralelos 4. ANTIPRISMAS – Quando os polígonos têm mesmo número de lados e estão em

planos paralelos.

BIBLIOGRAFIA

LOTUFO, Vitor Amaral e LOPES, João Marcos de Almeida (1982). Geodésicas & CIA. São Paulo: Projeto editores associados. Ltda.

MARTINEZ, Emilio Diaz. Poliedros Semirregulares - I Parte - Poliedros Equiangulos. Sevilla Escuela Tecnica Superior de Arquitectura de La Universidad de Sevilla.

SÁ, Ricardo Cunha da Costa e (1982). Edros. São José dos Campos.

SCHATTSCHNEIDER, Dóris e WALKER, Wallace (1991). Caleidociclos de M. C. Escher. Köln : Benedikt Taschen Verlag GmbH


43

9. PROBLEMAS DE MATEMÁTICA (Anotados por Eridan da C. S. Maia)

01) Extraído de “ O homem que calculava” de Malba Tahan. Um navio que voltava do Ceilão,

trazendo grande partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação

teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três

marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O

comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número de

moedas. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram

colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as

repartisse entre os três corajosos marinheiros. Aconteceu, porém, que, durante a noite, um

dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a

minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem

nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro,

dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava uma

moeda. “Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O

melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso.

Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois o

segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e

dividiu-o em três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo para evitar futuras dúvidas,

veio à lembrança atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com

direito. O terceiro marinheiro, ignorando, por completo, a antecipação dos colegas, teve o

mesmo alvitre. Levanto-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa das moedas. Dividiu as

moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou uma moeda.

Não querendo complicar o caso, o marinheiro atirou no mar a moedinha excedente, retirou

a terça parte para si e voltou tranqüilo para o seu leito. No dia seguinte, na ocasião do

desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de moedas na caixa. Soube que

essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada

um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava uma

moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade. É claro

que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já

havia retirado da caixa a parte que lhe cabia das moedas. Pergunta-se, afinal: quantas eram as

moedas e com quantas moedas ficou cada um dos marujos?

02) Um macaco caiu num buraco de 20 metros de profundidade, as duas horas de uma fatídica

madrugada. Depois de passar uma hora refazendo-se do susto, começou a subir para sair do


44

maldito buraco. Acontece que, devido a sua massa e as paredes escorregadias, ele conseguia

em uma hora subir continuamente 5 metros, dava uma pequena parada e escorregava 4

metros, retomando imediatamente a subida. A velocidade do escorregamento é o quíntuplo

da velocidade de subida. A que horas o macaco conseguiu sair do buraco?

03) Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas.

Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois algarismos (dezena:

centena) estão entre si como 1 está para 2, determine o algarismo, no cheque, que foi escrito

na casa das dezenas.

04) Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e, depois de retirar 4

garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00, vende pelos mesmos R$ 1.000,00. Qual é

o número original de garrafas de vinho na caixa?

05) Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro

anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. Quantos anos eu tenho?

06) Um sábio questionado sobre sua família respondeu: o número de irmã os que tenho é igual

ao dobro do número dos meus netos menos um. Cada filho me deu dois netos e somando

meus irmãos, meus filhos e meus netos obtém-se 19. Determinar a quantidade de irmãos,

filhos e netos do sábio.

07) Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o

seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada rolante juntas, uma subindo um degrau

de cada vez enquanto que a outra subia dois. Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21

degraus enquanto o outro 28. Quantos degraus são visíveis na escada rolante?

08) Numa estante existem dez livros de cem folhas cada, organizados, formando uma coleção.

Uma traça estraçalhou desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último

livro. Quantas folhas danificou?

09) Se um galo vale 5 reais, uma galinha vale 3 e três frangos valem 1, quantos de cada um se

podem comprar com 100 reais, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 1 de

cada tipo?

10) Determine o menor número natural tal que a divisão por 2 tenha resto 1, a divisão por 3 resto

2, a divisão por 4 resto 3, a divisão por 5 resto 4, a divisão por 6 resto 5 e a divisão por 7 é

exata.

11) Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule

o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de modo que

uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.

12) Sejam 3 dígitos x, y e z, diferentes entre si, valendo de 0 a 9. Qual o valor de x, y e z para que


45

valha a igualdade: xx + yy + zz = xyz Obs.: xx, yy, zz e xyz são números e não produtos.

13) Em uma prisão haviam 3 presos. O dono da prisão resolve conceder a liberdade a um deles,

e propõe o seguinte:

- “Tenho aqui 5 bonés: 3 azuis e 2 amarelos. Inicialmente, quero que vocês fiquem os 3 ali-

nhados, um na frente do outro, de forma que o ultimo de trás pode ver os da frente; o do

meio pode ver somente o da sua frente e o da frente não pode ver nenhum dos outros dois.

Em seguida, vou colocar um boné, aleatoriamente, na cabeça de cada um de vocês, sem que

vocês vejam. Aquele que adivinhar a cor do boné que está usando será libertado!”

Após os 3 serem colocados um na frente do outro, os dois de trás até riram do coitado que

ficara na frente, pois ele não conseguia ver o boné de ninguém, e consequentemente não

teria a mínima chance!!! Em seguida, foi feita a pergunta para o ultimo da fila:

- “Qual a cor do seu boné?”

- “Embora esteja vendo os bonés dos meus 2 companheiros, minha resposta infelizmente é:

Não sei!”

Foi feita então a pergunta para o do meio:


- “Não sei!”

Foi feita então a pergunta para o da frente, que não estava vendo nada:


- “Eu sei! E serei libertado!”

Qual a cor do boné do felizardo que foi libertado?

14) Um granjeiro, ao ser perguntado quantos ovos as galinhas haviam posto naquele dia,

respondeu: Não sei, mas, contando de dois em dois, sobra um; contando de três em três,

sobra um; contando de cinco em cinco, sobra um; porém, contando de sete em sete não

sobra nenhum. Qual o menor número possível de ovos que as galinhas haviam posto?

15) Três mulheres estão na fila da padaria , a primeira compra 5 pãezinhos, 2 litros de leite e um

pacote de pó de café gastando R$ 6,20. A segunda gasta R$ 9,80 para comprar 6 pãezinhos,

2 litros de leite e 2 pacotes de pó de café. Quanto a terceira mulher gastou para comprar 8

pãezinhos, 3 litros de leite e 2 pacotes de pó de café?

16) Sejam 3 dígitos x, y e z, diferentes entre si, valendo de 0 a 9. Qual o valor de x, y e z para que


46

valha a igualdade: xyz=x.y.z.5 Obs.: O número xyz deve ser igual ao produto do 2º membro.

17) Dois mercadores de vinho conduzindo 64 e 20 barricas respectivamente chegam à fronteira.

Como não tivessem dinheiro suficiente para pagar todo o imposto, combinaram com o

agente alfandegário o pagamento em barricas. Sabendo-se que o primeiro pagou 5 barricas

mais 40 reais e o segundo 2 barricas recebendo uma diferença de 40 reais, pergunta-se qual o

valor de cada barrica e o imposto correspondente.

18) Ao morrer uma pessoa chega numa sala com duas portas, uma que leva para o céu e outra

que leva para o inferno. Não é possível identificar qual porta leva a qual lugar, porém a

frente de cada uma delas tem um guardião. A pessoa sabe que um dos guardiões só diz a

verdade e o outro só diz mentiras e que ela tem direito a fazer uma única pergunta para

apenas um deles. Qual deve ser a pergunta para que a pessoas saiba com certeza qual porta

levará para o céu?

19) Escrevendo todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?

20) Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos.

Porém, 2 pulos de cachorro equivalem a 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois

igual a 36 pulos de cachorro, qual deve ser o número de pulos que o cachorro deve dar para

alcançar a lebre?

21) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu

tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades valerá 63. Que idades temos hoje?

22) Um homem estressado demora 28 segundos para chegar ao andar superior, subindo por uma

escada rolante. Para tanto, ele sobe 31 degraus com suas próprias pernas, como se estivesse

numa escada normal. Já uma ofegante senhora, na mesma escada, demora 35 segundos,

subindo 22 degraus com suas próprias pernas. Quantos degraus têm a escada?

23) O capim cresce no pasto com igual rapidez e espessura. Sabe-se que 70 vacas o comeriam em

24 dias e 30 vacas em 60 dias. Quantas vacas comeriam todo capim em 96 dias?

24) A revolta dos Tuaregs: os Ben Azouli, a terrível tribo dos tuaregs do Oásis de Abismalah, tem

o seu acampamento localizado a 45 km a oeste de Taqba. Os Ben Azouli estão indignados

com o governo de seu país, que decidiu construir uma ferrovia, a Trans-zadramath,

cruzando as terras dos Ben Azouli, e ligando Taqba a Mequiba, esta última cidade situada a

60 km. ao norte do Oásis de Abismalah. Achrmed Ben Achmed, o Xeique dos Ben Azouli

decide dinamitar a ferrovia e a frente de seus temíveis guerreiros, parte na calada da noite

em direção ao "caminho de ferro", seguindo a menor distância. Se os camelos dos Ben

Azouli conseguem deslocar-se no deserto a apenas 18 krn/dia, quantos dias levarão os

Tuaregs para chegar até a ferrovia e dinamitá-la?


47

25) Caio gastou todo o dinheiro que tinha no bolso em quatro lojas. Em cada uma gastou um real

a mais do que a metade do que tinha ao entrar na loja. Quanto dinheiro Caio tinha ao

entrar na primeira loja?

26) Numa sala estão 200 pessoas, das quais 99% são homens. Quantos homens devem deixar a

sala para que a percentagem de homens na sala passe a ser de 98%?

27) Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas.

Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Supondo ambas as

vazões constantes, o tanque estará vazio em quanto tempo?

28) O célebre senador romano corrupto nasceu em 1º. de abril de 45 a.C. e morreu em 1º. de

abril de 45 d.C. Qual a sua idade quando morreu?

29) Existem cinco botes numa margem de um rio; seus nomes são um, três, seis, oito e doze, porque

essas são as quantidades de minutos que cada um deles demora para cruzar o rio. Pode-se

atar um bote a outro, porém não mais de um, e então o tempo que demoram em cruzar é

igual ao do mais lento dos botes. Um só barqueiro deve levar todos os botes até a outra

margem do rio. Mostre como é possível o barqueiro atravessar os cinco botes em 29

minutos.

RESPOSTAS

01) 241 moedas; mar. 1 = 103, 2 = 76, 3 = 58 e 3 jogadas no mar e uma com o almoxarife.

02) O macaco saiu do buraco as 21 horas e 24 minutos

03) O algarismo na casa das dezenas foi o 3.

04) 24 garrafas

05) 40 anos

06) 10 irmãos, 3 filhos e 6 netos

07) 42 degraus

08) 802 folhas

09) 4 galos, 18 gal. e 78 frangos; 8 galos, 11 gal. e 81 frangos e 12 galos, 4 galinhas e 84 frangos.

10) 119

11) 1800 maneiras

12) xyz = 198

13) azul

14) 91 ovos

15) A terceira mulher gastou R$ 11,10

16) xyz = 175


48

17) Cada vale 110 reais (se obtiver 120 está errado!) – Cada barrica pagou 10 reais de imposto.

18) Se eu perguntasse ao seu colega: qual a porta do céu o que ele responderia?

19) 448

20) R. 100

21) R. Eu = 28 anos, Tu = 21 anos

22) R. 67 degraus

23) 20 vacas comerão todo o capim em 96 dias.

24) R. 36 km

25) R. 30

26) R. 100

27) R. 12 horas 28) R. 89 anos


49

10. ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS

O que é uma área? É a medida de quantas unidades-padrão (quadrado de lado 1) cabem

na figura.

Na ilustração abaixo, encontrar a área de cada figura significa saber quantos quadradinhos de uma unidade de área cabem dentro de cada uma delas.

.

Na primeira figura, vemos que há exatamente seis quadradinhos dentro dela, portanto sua

área é de seis unidades.

Já a segunda figura contém seis quadradinhos completos e outros pedaços que recortados

e colados adequadamente, formam mais quatro quadradinhos. Assim, sua área completa é de dez

unidades de área.

Finalmente a terceira figura apresenta sete quadradinhos completos e outros pedaços que

recortados e colados adequadamente, formam mais dois e meio quadradinhos. Assim, sua área

completa é de nove e meio unidades de área.

Veja que, dependendo da figura analisada, esse processo de encaixar partes e contar o

número de quadradinhos resultantes poderá ser bem complicado.

Usando a malha quadriculada de 1 cm2 e as figuras geométricas, preencha a tabela:

Figura

nº:

Nome da

Figura

A) Quantidade de quadrinhos na vertical

B) Quantidade de quadrinhos na horizontal

C) Quantidade total de quadrinhos da figura

Que nome se dá à quantidade de quadrinhos que cabem em uma figura plana?

Que relação existe entre as colunas A, B e C?


50

Abaixo vejamos as expressões das áreas de algumas figuras:

b

Retângulo Área: b.h Leitura: base x altura

Quadrado Área: L 2 Leitura: base x altura

Paralelogramo Área: b.h Leitura: base x altura

Triângulo

a) Área: 2

h.b

b) Área = )cp)(bp)(ap(p (Fórmula de Herão) p é o semiperímetro

c) Área = p.r (Fórmula: dada a circunferência inscrita)

d) Área = r.

c.b.a

4 (Fórmula: dada a circunferência circunscrita)

e) Área = 2

1.b.c. sen α (Fórmula: conhecido um ângulo α qualquer)

f) Área = 2

1.| det D | (Fórmula: dada pela geometria analítica)

D= matriz formada com as coordenadas dos pontos dos vértices do triângulo e com uma fila

composta pelo número um.

Losango Área: 2

d.D

L

h

h

b

b

h

b

d

D

v

Figura 92

Figura 93

Figura 95

Figura 96

Figura 97

Figura 94


51

Trapézio

Figura 98

Área: 2

h).bB(

Agora vejamos outra alternativa – a Fórmula de Pick, a qual mostra como calcular a

área de um polígono, isto é, uma figura plana formada por lados retos, por meio de uma

abordagem interessante.

O que Pick criou foi um modo de relacionar a área com os pontos que formam o

contorno da figura, e os que ficam no seu interior.

Assim, vamos apresentar na forma de tabela, essas características para cada figura

anterior. Depois desenhe na malha plana quadriculada que se encontra em anexo, ou então no

papel milimetrado ou no geoplano, outros polígonos, e complete a tabela.

Figura Pontos de Contorno Pontos Interiores Número de quadradinhos = Área

1 10 2 6

2 8 7 10

3 11 5 9,5

4

5

6

A idéia agora é encontrar uma conta usando os números de pontos de contorno, o

número de pontos interiores, e que nos forneça a área de cada figura. É claro que essa conta,

para se tornar uma fórmula, precisa ser sempre a mesma, mudando-se apenas os números

utilizados no cálculo de cada uma delas.

Tente descobrir a conta, ou seja, a Fórmula de Pick, por meio de tentativas e/ou

experimentações.

Também é claro que o raciocínio empregado para se encontrar essa fórmula, precisa ser

provado. Essa fórmula (teorema) foi demonstrada em 1899 pelo matemático vienense Georges

Alexander Pick. Área = (Pontos de contorno : 2) + (Pontos interiores) – 1.

Como aplicação da fórmula de Pick, temos na engenharia florestal a área de uma região

com árvores distribuídas regularmente.

Continuação das expressões das áreas de algumas figuras:

Polígono regular de n lados – a região pode ser decomposta em n regiões limitadas por

triângulos eqüiláteros. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l) e a

altura é o apótema (a) do polígono regular. Assim Área = n 2

.al =

2

nl.a

= p.a. Apótema é o raio do círculo inscrito em um polígono regular.

o a

L

b

h

B

Figura 99


52

Polígono qualquer

Para um polígono qualquer, o processo de calcular sua área consiste em

subdividi-lo em triângulos, quadriláteros, ou qualquer outras figuras cujas áreas

sabemos calcular. A área do polígono procurado será a soma das áreas das

figuras em que o compusemos.

Círculo Fórmula: π . r 2 Leitura: produto de pi pelo quadrado do raio

Elipse

Fórmula: π .a .b Leitura: produto de pi pelo produto

dos semi-eixos

Setor Circular

Fórmulas: o

2

360

.r. , sendo α em graus;

A = 2

r. 2, sendo α em radianos ou A =

2

r.l

Coroa Circular

Fórmula: π.(R 2– r 2) Leitura: produto de pi pela diferença dos

quadrados dos raios

Atividade 1: Usando dobradura mostre a área do triângulo.

Atividade 2:

Recorte 8 retângulos (base 18 e altura 12cm), 2 trapézios (base 18 e altura 12cm) e 1 triângulo

(base 18 e altura 12cm).

a) Utilizando 1 retângulo de cada vez mostrar as áreas das figuras: paralelogramo, triângulo,

losango, trapézio e quadrado.

b) Se possível, faça a atividade anterior de outra maneira.

c) Mostre que as áreas das figuras são equivalentes: Trapézio = triângulo; Trapézio = 2 triângulos;

Triângulo retângulo = retângulo.

r

α l

o

r

b

a a

b

Figura 100

Figura 101

Figura 102

Figura 103

Figura 104

R

r


53

Atividade 3: Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular para a criação de jumentos,

contando com um rio que passa na sua propriedade como um dos lados do retângulo. Para tanto,

dispõe de 180 metros de cerca. Para que se tenha a maior área possível, quais devem ser as

dimensões do terreno? Nesse caso qual a área máxima? R. 45, 90 e 4050.

Atividade 4: Pode-se construir um quadrilátero cujos lados medem a) 1, 2 , 2, 10 cm?

b)2, 2, 5 , 3 cm? Em caso positivo, ache a área. Faça no geoplano e depois algebricamente.

Atividade 5: Encontre todos os retângulos cujos lados tenham por medida números inteiros e

que tenham área e perímetro numericamente iguais.

Atividade 6: Demonstrar a Fórmula de Herão. Dica: use a lei dos cossenos.

Atividade 7: Como um fazendeiro pode dividir três quartos de seu terreno quadrado entre seus

quatro filhos de modo que cada filho receba porção de mesmo tamanho e forma?

Atividade 8: Demonstrar a Fórmula de Pick.

Atividade 9: Para medir um terreno os agrimensores usam o seguinte método:

a) atribui coordenadas a cada vértice. b) calcula a soma dos produtos cruzados

descendentes; c) calcula a soma dos produtos cruzados ascendentes;

d) calcula a semi-diferença destes produtos.

Este resultado é a área da figura. Procure uma justificação para este método. Ex.

Pontos A B C D E A 42

2331A

x 2 3 4 2 1 2

y 1 2 2 4 2 1

Atividade 10: A área de um triângulo é dada pela forma A = (a 2 + b 2) / 4 onde a e b são dois de

seus lados. Determine os ângulos do triângulo.


EVES, Howard. Introdução à história da matemática / Howard Eves; tradução Hygino H.

Domingues. – Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.

Consulta entre números da Revista do Professor de Matemática – S B M.

Notas de Aulas do Laboratório de Matemática - uesb.br · Construa uma tabela contendo nº de...

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