Numeração
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Numeração
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Princípios
Determinação de símbolos para representar números: sem preocupar-se das eventuais grandezas
associadas, com regras (algoritmos) de cálculo, capaz de representar qualquer numero.
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Cardinal
Associação de um símbolo à unidade e reprodução do símbolo o número de vezes necessário.
Complicado para a representação de números grandes.
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Ordinal
Associação de cada número a um símbolo.
Complicado porque precisa de uma quantidade ilimitada de símbolos.
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Base
Agrupamento das unidades em coleções. Para economizar a quantidade de símbolos e simplificar a escrita de número grande, usamos agrupamentos.
A base 10 (sistema decimal) é hoje a mais divulgada, mas existem e são usadas várias outras bases: 2 (binário), 5, 12, 20, 60.
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Base 5
Indianos Ainda hoje, em certas
regiões da India, os dedos da mão são usados da forma seguinte: uma mão para as unidades, uma mão para as coleção de cinco unidades.
Romanos I, V, X, L, C, D, M
Outro exemplo
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Base 12
Uma das explicações da base 12 é ligada a um princípio de contagem usando as falanges para representar as unidades e o polegar para enumerar.
Uma das avantagens da base 12 é que 12 tem muitos divisores. Ele tem mais divisores que qualquer número minor que ele.
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Base 20
A base 20 foi usada como base de numeração pelos Astecas e Maias. Ainda hoje, os povos celticos na formação literal dos numeros usam a base 20.
Uma explicação da aparição da base 20 é de origem antropomórfica: temos 20 dedos (pés e mãos).
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Base 60
A base 60 era usada pelos Sumérios e Babilônios. Existe hoje vestígios dessa numeração: o tempo (60
segundos=1 minuto, 60 minutos=1 hora),
Ângulos (graus)
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Base 10
A numeração decimal é também de origem antropomórfica: temos dez dedos.
Usamos os algarismos árabes. De um outro lado, a base 10 é muito pouco
eficiente para a representação dos números (não é um número primo, tem poucos divisores).
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Numeração de posição
A numeração de posição constitua uma revolução, no mesmo tempo por sua economia de símbolos e sua potência: dez símbolos (em base 10), representação de qualquer numero inteiro.
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Primeira notação de posição
O sumérios usavam uma notação de posição dos números: a posição dos símbolos são associados com as potencias da base.
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Notação de posição
O principio da notação de posição (base b), os an são sempre inferiores a b: caso inteiro
N é caso geral (com fração)
N é
1 1 01 1 0...n n
n nN a b a b a b a b
1 0 11 0 1... ...n n m
n n mN a b a b a b a b a b
1 0...n na a a
1 0 1... , ...n n ma a a a a
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Princípios da evolução
A evolução da numeração é baseada sobre: Princípios de economia (símbolos, memoria,
etc). Disponibilidade de sistema de representação
(pedras, mão, cordas, escrita, etc). Determinação de algoritmos de cálculo.
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Limitações
Certos números não são representáveis. Irracionais, transcendente, etc números representáveis com uma base não são
representáveis com uma outra. Infinito
Ambigüidades: 0,999... = 1 ?
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Representação com computador
Binário O computador conserva e manipula a informação
a partir de tensão de sinais (alta e baixa). Internamente, os números são representados em base 2 (a partir de 0 e 1).Exemplo:
como escreve-se 53 (notação em base 10) em base 2 Como escreve-se 12,5 em base 2
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Representação com computador
Outras base de representação dos números são também usados Octal: os bits são agrupados por grupo de 3 (base
8) Hexadecimal: bits agrupados por grupo de 4
(base 16).
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Algoritmo de conversão
O número a converter é dividido por 2, em seguida o quociente é dividido por 2 e assim sucessivamente ate obter um quociente de 1.
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Algoritmo de conversão
Para a parte fracionaria, ela é sucessivamente multiplicado por 2 ate obter uma parte fracionaria do resultado igual a 0.
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Aplicações
Conversão de 26,75 ; 12,09375 ; 1,1 em base 2
Verificar que um número fracionario tem uma representação finita em base 2 se ele é da forma p/q, com q potencia inteira de 2.
Escrever algoritmos de conversão de números decimais em números em base 2, 8 ou 16.
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Representação com computador
O computador trabalho por grupo de bits (palavra) . Em geral, essas palavras são de 16 ou 32 bits, e hoje existem computador manipulando palavra de 64 bits.
Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT). O bit de maior peso é usado como sinal do número (0 positivo e 1 negativo).
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Inteiros
O tamanho dos inteiros são: 2 bytes para um short: como um bit reservado
para o sinal, são representaveis números de –215 (-32768) a 215-1 (32767). –1 é representado 1s111111111111111 e não 1s000000000000001.
4 bytes para um long: são representaveis numeros de –231 (-2147483648) a 231-1 (2147483647)
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Floating point number
Floating point number (Norma IEEE): No caso dos reais, diversas partes das palavras
são usadas com sentidos diferentes. Um número é em geral representado da forma seguinte:
Um bit é reservado para o sinal, um grupo de bit (característica) representa o exponente e um grupo representa os algarismos significativos (mantissa).
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Floating Point Number
Para poder representar com a característica, exponente positivo e negativo, um “bias” é usado: exponente=característica -”bias”.
Para precisão simples, a repartição é a seguinte:
Tabela de repartição dos bits em função da precisão
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Floating Point Number
Precisão simples: a característica tem um valor de 1 a 254 (0 e 255 são
reservados). a mantissa tem os digitos significativos, considerando um
bit “escondido”: o número representado, escecendo a parte do exponente e do sinal, é da forma 1.M.
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Número especiais
No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números específicos: - e , para os infinitos. NaN (not-a-number), para representar resultados
de operações como 0/0, - , 0x, -0, definido com o inverso de -.
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Binary Decimal Codification
Outro tipo de codificação usada pelas calculadoras: BCD (Binary Decimal Codification).
O formato BCD, mais caro em termo de memória, é mais perto da notação decimal (0,1 tem uma representação finita em BCD). Os algarismos em notação decimal são representados por grupo de 4 bits (0 a 9 são representados com bits que podem representar número ate 15).
S E E D1 D2 D3 D4
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Binary Decimal Codification
Nesse sistema, un número é assim representado:
S E E D1 D2 D3 D4
S E-16384N=(-1) .10 .D1,D2D3D4...
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Conclusão
A representação dos números depende do suporte material para representar e calcular (binário com o computador).
O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita dependendo da base:
10
1
3em base 10 ou base 12, 100,1 em base 10 ou base 2
O computador usa representação finita, ele não pode representar de forma exata os números reais.