NÚMEROS BINOMIAIS

- - 1 - -CURSO ALBERT EINSTEIN

Números binomiais

Se n e p são dois números naturais, com n ≥ p, chamamos de número binomial n sobre p, indicado por

n n n!

, ao número definido por: = Onde: n é o numerador e p é o denominador.

p p p! n - p ! Exemplos: 6 6! 6! 6.5.4! a) = = = = 15 2 2! 6 - 2 ! 2! 4! 2.1.4! 10 10! 10! 10.9.8.7.6! b) = = = = 210 6 6! 10 - 6 ! 6! 4! 6!4.3.2.1

Decorar: n n n = 1 = 2 = 1 0 1 n

1.0 Números binomiais complementares

Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados de complementares quando a soma dos denominadores for igual ao numerador. Exemplos: 9 9 a) = 126 e =126, pois 4+5= 9 4 5 10 10 b) = 252 e = 252 , pois 5+5= 10 5 5 Observação: Note que dois números binomiais complementares são iguais. Um foi 126 e outro 252.


2.0 Propriedades dos números binomiais

n n 1ª) Se = ou seja se dois números binomiais são iguais é porque os p q denominadores são iguais ou a soma dos denominadores é igual ao numerador. Exemplos: 9 9 a) = 126 e =126, pois 4+5= 9 4 5 10 10 b) = 252 e = 252 , pois 5+5= 10 5 5

Exercícios 5 5 1º) Resolver a equação = x 2 Resolução: Aplicando a primeira propriedade x=2 ou x + 2 = 5 x = 5 - 2

x = 3 Comentários : Para que esses dois números binomiais sejam iguais das duas uma ou as duas. → x=2 ou x=3 5 5 ● Se x=2 = onde 10=10 Veja que 2=2 2 2 5 5 ● Se x=3 = onde 10=10 Veja que 3+2=5 3 2 Lembrete:

O resultado do termo desconhecido tem que ser um número natural não se esqueça!!!


10 10 1º) Resolver a equação = 2x x+2 Resolução: 2x=x+2 2x+x+2=10 Comprovando: 2x-x=2 3x=8 Substituindo 2x fica 2(8/3)=16/3 x=2 x=8/3 Como 16/3 não é um número natural esta resposta não serve. S={2} 18 18 2º) Resolver a equação = 6 4x-1 Resolução: 6=4x-1 Comprovando: 4x=6+1 Substituindo 4x-1 fica 4(7/4)-1=6 4x=7 Como 6 é um número natural esta resposta serve. x=7/4 6+4x-1=18 Comprovando: 4x=18-5 Substituindo 4x-1 fica 4(13/4)-1=12 4x=13 Como 12 é um número natural esta resposta serve. x=13/4

S={7/4,13/4}

3.0 Propriedades do triângulo de pascal

P1 Em uma mesma linha dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.

Observe que os elementos iguais representam números binomiais complementares.

Lembrete: Elementos é o resultado do número binomial.


P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .

De modo geral temos:

P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

Note que se pegarmos o último

elemento da coluna e somar +1 ao numerador e +1 ao denominador

resolvemos o número binomial e descobrimos o elemento.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

1 + 4 + 10 + 20 = 35

n+1

S =

p+1

P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.


1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

P5 Relação de Stifel: A soma de dois elementos consecultivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado abaixo do segundo elemento.

Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

n n

+ = p p+1

n+1 p+1

Exercícios

m m+1 m 1º) Sabendo-se que = x e = y , então é : p p+1 p+1 Resolução : m Resposta: m m m m+1 Logo, x + = y = y - x + = p+1 p+1 p p+1 p+1


2º) Seja n um número natural tal que 10 10 11 Arrumando tanto faz 2 +3 como 3 + 2 + = 4 n +1 4 10 10 Logo n + 1 = 3

+ = n = 3 - 1 n+1 4 n = 2 11 4 3º) Qual o valor da soma 3 4 5 12 + + +...+ ? 0 1 2 9 RESOLUÇÃO: Como está em diagonal aplicamos a 4ª propriedade 13 = 715 9 4º) Quando somamos 5 6 20 + + ...+ que valor obtemos ? 3 3 3 RESOLUÇÃO: Como está em coluna aplicamos a 3ª propriedade duas vezes uma na frente da coluna e outra atrás e no final é só subtrair já que não começa do 0(zero). 21 = 5985 Aqui é na frente da coluna. 4 5 = 5 Aqui é atrás da coluna 4 Conclusão: 5985 – 5 = 5980

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