NÚMEROS COMPLEXOS

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de ∆ ( b² - 4ac) na

resolução de equação de 2º grau, nos deparamos com

um valor negativo (∆<0). Neste caso, sempre dizemos

que não existe solução no campo dos números reais.

Uma equação que tirou o sono de muitos matemáticos do

século XV, foi a equação x² +1 = 0, uma vez que não

existe no campo dos reais raiz quadrada de número

negativo (x = √-1).

Para que as equações sempre fosse possíveis, houve a

necessidade de ampliar o universo dos números.

Criou-se, então, um número cujo quadrado é -1.

Introdução

Esse número, representado pela letra i, denominado

unidade imaginária, é definido por:

i² = -1

A partir dessa definição, surge um novo conjunto de

números, denominado conjunto dos números

complexos, que indicamos por C.

• Dados dois números reais a e b , define-se o

número complexo z como sendo:

z = a + bi

• onde i = √-1 é a unidade imaginária .

Potencias de i

i 0 = 1 , pois todo número ou letra elevando

à zero é um.

i 1 = i , pois todo número elevado a 1 é ele

mesmo.

i 2 = -1

i 3 = i2 . i = -1 . i = - i

i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1

i 5 = i4 . i = 1 . i = i

i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.

i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i.

• Quando o expoente do “i” for maior do que 4, podemos

dividir esse expoente por 4 e tomar o resto como expoente

Exemplo:

5 i³ - 9 i² - 3 i 0

5. (-i) – 9.(-1) – 3

-5 i + 9 – 3

6- 5i

Conjugado:

Adição e subtração :

Basta somar a parte real de um com a parte real do outro

e proceder da mesma forma com a parte imaginária.

Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1

+ 2i e z3 = 2 – 3i, calcule:

a) z1 + z2 =

(5 + 8i) + (1 + 2i)

(5 + 1) + (8 + 2)i =

6 + 10i

b) z2 + z3 =

(1 + 2i) + (2 – 3i)

(1 + 2) + (2 – 3)i

3 – i

Multiplicação:

A multiplicação de dois números complexos se dá de

acordo com a regra de multiplicação de binômios e

lembrando que i²=1,temos:

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci – bd

(a+bi)(c+di)=(ac – bd)+(ad+bc)i

Ex:

(2+4i)(1+3i)=2+6i+4i+12i²

(2+4i)(1+3i)=2+6i+4i - 12

(2+4i)(1+3i)=(2-12)+(6+4)i

(2+4i)(1+3i)= -10+10i

Divisão :

A divisão de dois números complexos pode ser

obtida escrevendo-se o quociente sob a forma de

fração; a seguir, procedendo-se de modo análogo

ao utilizado na racionalização do denominador de

uma fração, multiplicam-se ambos os termos da

fração pelo número complexo conjugado do

denominador.

Exemplo:

= =

Nomes :

Isabela Garcia

Luana Cristina

Victor Ramos

Jack Pontes