Números Complexos

Números Complexos

Conceito, Formas Algébrica, FormaTrigonométrica e Operações.

Prof. Ary de Oliveira

Conceito (parte I)

Os números complexos surgiram parasanar uma das maiores dúvidas queatormentavam os matemáticos: Qual oresultado da operação ?

2 1 0x + =resultado da operação ?

2 1 1x x= − ∴ = −

1 0x + =


Conceito (parte II)

Por isso, foi criado um número especial,que denominamos algebricamente como ,que elevado ao quadrado resulte em ,matematicamente:

1−i

matematicamente:

Esse novo conceito possibilitou aresolução da equação mostradaanteriormente.

2 1 1i i= − ∴ = −


Conceito (parte III)

Desse modo:

2 1 0x + =

(como )

1x = −1i = −

x i=


Conclusão do conceito

Assim, foi criado um novo conjuntonumérico denominado conjunto dosnúmeros complexos ou conjunto dosnúmeros imaginários, que representamosnúmeros imaginários, que representamospela letra .�


Relação fundamental

O conjunto dos números complexospossui, desse modo, a seguinte relaçãofundamental:

ou

2 1i = −

1i = −


Exemplos

Aplicando a relação

Aplicando a relação

2 2 ( 1)− = ⋅ − 4 4 ( 1)− = ⋅ −

relação fundamental:

relação fundamental:

2 2i− = 4 2i− =


Forma algébrica (parte I)

O número complexo possui uma parte real(a) e outra imaginária (b), onde sua parteimaginária conta com a presença do i.Assim, a Forma Algébrica de um númeroAssim, a Forma Algébrica de um númerocomplexo é:

Parte real

a + bi

Parte

imaginária


Forma algébrica (parte II)

Um número complexo que não possuiparte real (a = 0) é denominado númerocomplexo puro. Um número complexo quenão possua a parte imaginária (b = 0) énão possua a parte imaginária (b = 0) édenominado número real e os númerosimaginários que possui ambas as partessão simplesmente chamados de númeroscomplexos.


Exemplos

→ número complexo

→ número complexo

6i → número complexo puro

4 → número real

2 4i+

8 2i−

4 → número real

– i → número complexo puro

i² → número real


Conjugado de um número complexo

Um número complexo z = a + bi possui

um conjugado que é representado por z,onde:

z = a – bi

(lê-se conjugado de z)


Exemplos

Dados os números complexos, encontrar

seus respectivos conjugados:

z = 2 – 4i →z = 2 + 4i

z = i →z = –i

z = 1 + 2i →z = 1 – 2i

z = 2 →z = 2

z = –3 – 8i →z = –3 + 8i


Operações com números complexos na forma algébrica

Como os números complexos possuem aparte real (a) e a parte imaginária (b)separadas, as operações de adição,subtração, multiplicação, divisão esubtração, multiplicação, divisão epotenciação diferem um pouco dashabituais com números reais.


Adição e subtração com números complexos na forma algébrica

Para somar e subtrair números complexosdeve-se efetuar as operações na partereal e na parte imaginária separadamente,ou seja parte real (a) com parte real (c) eou seja parte real (a) com parte real (c) eparte imaginária (b) com parte imaginária(d).

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i


Exemplos

(2 + 4i) + (3 + i) = (2 + 3) + (4 + 1)i = 5 + 5i

(1 + 4i) – (2 – 7i) = (1 – 2) + (4 – 7)i

(1 + 4i) – (2 – 7i) = – 2 – 7i(1 + 4i) – (2 – 7i) = – 2 – 7i

(3 + i) – (4 + i) = (3 – 4) + (i – i) = – 1

i + (2 + 4i) = 2 + (1 + 4)i = 2 + 5i


Multiplicação com números complexos na forma algébrica

Para efetuar a multiplicação aplica-sesimplesmente a propriedade distributiva:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² ∴(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² ∴

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci – bd ∴

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i


Exemplos

(2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i – 3 (2 + 3i)(1 + i) = –1 + 5i

2 (1 + i) = 2 + 2i2 (1 + i) = 2 + 2i

(2 – i)(–3 + 2i) = –6 +4i +3i – 2i² = –4 + 7i


Divisão com números complexos na forma algébrica

Para se dividir números complexos, deve-se multiplicar ambos os números(numerador e denominador) peloconjugado do número complexo doconjugado do número complexo dodenominador.

22

21

2

1

.

.

zz

zz

z

z=


Exemplo

1

2233

1

23

)1)(1(

)1)(23(

1

23

2

2

i

iii

i

i

ii

ii

i

i

−−+−

=++

−+−+

=++

22

5

1

23

2

5

11

5

1

23

11 2

i

i

i

ii

i

i

ii

−=++

−=

+−

=++

−+


Potências de i (parte I)

Nas potências de i notam-seregularidades de quatro em quatro noexpoente:

i =0 1 i =4 1

ii

i

ii

i

−=

−=

=

=

3

2

1

1

1

ii

i

ii

i

−=

−=

=

=

7

6

5

1

1


Potências de i (parte II)

Desse modo, para encontrar o resultadode qualquer potência de i, dividimos oexpoente por 4 e resolvemos a potênciautilizando como novo expoente i o resto dautilizando como novo expoente i o resto dadivisão.


Exemplo

1047

3

4

261

i1047 = i3 = – i


Número complexo no plano de Argand-Gauss

Os números complexos podem serrepresentados num plano, onde a reta dasabscissas é denominada reta dos númerosreais (ou eixo real) e a reta das ordenadasreais (ou eixo real) e a reta das ordenadasé denominada reta dos númeroscomplexos (ou eixo imaginário). Esseplano é denominado plano de Argand-Gauss.


Exemplo

Colocar no plano de Argand-Gauss onúmero complexo z = 3 + 2i.

y (reta imaginária)

1 2 3 4

4

3

2

1

z = 3 + 2i

x (reta dos reais)


Módulo e argumento de um número complexo (parte I)

No gráfico, o módulo de um número complexo (ρ) é osegmento de reta que vai do ponto origem O (0,0) até oponto P(a, b) de um número complexo z = a + bi. Oargumento de z (θ) é o ângulo que o segmento formacom o eixo das abscissas (eixo real) medido no sentidoanti-horário.anti-horário.

z = a + bi

ρ

θ = arg(z)


Módulo e argumento de um número complexo (parte II)

22ba +=ρ

z = a + bi

ρ

a

b=

ρθsin

ρ

θ=arg(z)

b

a

b

a

=

=

θ

ρθ

ρ

tan

cos


Forma trigonométrica

Utilizando as relações dadas no slideanterior e aplicando-as à Forma Algébrica,obtemos a Forma Trigonométrica de umnúmero complexo.

b

θρρ

θ

θρρ

θ

coscos

sinsin

=∴=

=∴=

aa

bb

biaz +=

)sin(cos

sincos

θθρ

θρθρ

iz

iz

+=

+=


Exemplo

Passar para a forma trigonométrica onúmero complexo .

.( ) ==+=+= 2431312

2ρ

1 3z i= +

( )

+=∴+=

===

3sin

3cos2)sin(cos

3)arg(

2

1cos

2

3sin

ππθθρ

π

iziz

zxx


Operações com números complexos na

forma trigonométrica - Multiplicação

Para multiplicar números complexos naForma Trigonométrica utilizamos afórmula:

[ ])sin()cos( 21212121 θθθθρρ +++= izz



forma trigonométrica - Divisão

A fórmula para efetuar a divisão entredois números complexos na FormaTrigonométrica é a seguinte:

( ) ( )[ ]2121

2

1

2

1 sincos θθθθρρ

−+−= iz

z



forma trigonométrica - Potenciação

Para efetuar a potenciação entre númeroscomplexos na Forma Trigonométricautilizamos esta fórmula:

( ) ( )[ ]θθ ninzznn sincos +=



forma trigonométrica – Radiciação

De forma análoga à potenciação, paraefetuar a radiciação com númeroscomplexos na Forma Trigonométricautilizamos a formula:utilizamos a formula:

++

+=

n

ki

n

kzw n

πθπθ 2sin

2cos


Exercícios de Fixação


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