NÚMEROS COMPLEXOS

ORIGEM E EVOLUÇÃO

Por: Rosa Canelas

NAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Os Babilónios em 1700 AC já conheciam regras para

resolver equações do 2º grau.

Os gregos demonstraram essas regras e conseguiram,

por processos geométricos, obter raízes irracionais.

Na Itália do século XV (1494) Luca Pacioli ensinou em

verso a regra para resolver equações do 2º grau e afirma

que não há regras para resolver as do 3º grau.

Cronologia I

Nos séculos XVI e XVII ainda não eram considerados números os negativos e os irracionais.

Menos ainda os números complexos.

NAS EQUAÇÕES DO 3º GRAU

Scipione Ferro (cerca de 1515) descobriu uma regra

para resolver as equações do 3º grau. Mas não

publicou.

Fiore desafia Tartaglia para uma disputa matemática

onde inclui problemas do 3º grau.

Tartaglia descobre uma fórmula e vence Fiore.

FÓRMULA DE CARDANO

Cardano atrai Tartaglia a Milão e aí, mediante

promessa de guardar segredo, Tartaglia, em verso, dá-

lhe a fórmula mas não a demonstração.

Em 1542, Cardano e Ferrari visitaram Bolonha e

obtiveram de Della Nave permissão de examinar os

manuscritos deixados por Ferro.

COMO SURGEM OS NÚMEROS COMPLEXOS?

Os algebristas antigos (gregos, hindus e árabes) já

tinham percebido o caso embaraçoso de b2-4ac ser

negativo, mas sempre que isso acontecia os

problemas não tinham solução.

Mas é ao usarem a fórmula para resolver as equações

do 3º grau que surgem, em passos intermédios raízes

de números negativos em problemas com solução.

UM EXEMPLO

Seja v o volume dum cubo de aresta x e v´ o de

um paralelepípedo rectângulo cuja área da base

é 3 e cuja altura é igual à aresta do cubo;

determine x de modo tal que v = v´ + 1.

Como v = x3 e v´= 3x, o problema leva à

equação x3 = 3x +1.

RESOLVENDO O EXEMPLO

Pela fórmula de Cardano:

x = 3 ½ + - ¾ + 3 ½ - - ¾

A resolução depende do cálculo de – ¾ , que não existe, mas o problema não é impossível.

POR QUE RAZÃO NÃO É IMPOSSÍVEL?

Quando x é pequeno v é

menor que v´+1, mas à

medida que x aumenta, v

aproxima-se de v´+1 e

ultrapassa-o, logo deve

haver uma solução para a

equação x3 = 3x+1.

Observe a tabela ao lado.

x v = x3 v´+1=3x+1

1 1 4

2 8 7

Cronologia II

Gaspar Wessel em 1797 faz a representação geométrica dos números complexos

Jean Robert Argand em 1806 apresentou a mesma ideia que Wessel e ficou com o seu nome ligado ao plano complexo.

Cronologia III

Em 1629 Girard utiliza o símbolo Em 1794 Euler usa o símbolo i pela 1ª

vez. Em 1637 Descartes usa os termos real e

imaginário. Em 1832 Gauss introduz a designação

“número complexo”.

1

Número complexo

Número complexo:

Conjunto dos números complexos:

z a bi, a,b e i 1

z : z a bi, a,b ,i 1