Numeros de Fermat

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NÚMEROS DE FERMAT (Pedro H. O. Pantoja, Universidade de Lisboa, Portugal) Intrudução: O matemático francês Pierre de fermat (1601-1665) é famoso pelo seu extensivo trabalho em teoria dos números. Suas principais contribuições são o pequeno teorema de Fermat, o último teorema de fermat (demonstrado por A. Wiles), números de fermat, entre outros. Nesse trabalho vamos explorar algumas propriedades elementares dos números de Fermat. Para aprofundar os conceitos aqui introduzidos, recomendamos a excelente obra ሾͳሿǤ Um número de Fermat é um número da forma ܨ ʹ ͳ Para ൌͲǡͳǡʹǡǥ Fermat conjecturou que esses números eram todos primos, de fato, para ൌͲǡͳǡʹǡ͵ǡͶ dão realmente números primos 3, 5, 17, 257, 65537. Entretanto Euler mostrou que ܨé divisível por 641. O argumento usado abaixo é devido a Kraïtchik. Note que Ͷͳൌʹ ͷ ͷȉʹ ͳ daí ʹ ʹ ଷଶ ʹ ȉʹ ሺͶͳെ ͷ ʹ ؠെͷ ȉʹ ሺͷȉʹ ሺͶͳെͳሻ ؠെͳሺͶͳሻ Logo 641 divide ʹ ͳǤ Atualmente os únicos números primos de Fermat conhecidos, são aqueles apresentados pelo próprio Fermat. Proposição: A fórmula ܨ ܨ ȉ ܨȉǥȉ ܨ ȉǥȉ ܨʹ é verdadeira para todo ͳ e ൏Ǥ Prova: Por indução, ൌͳ temos que ܨ ܨ ʹൌ͵ʹൌͷ que é verdadeiro. Suponhamos que a expressão é válida para m, daí ܨାଵ ʹൌʹ శభ ͳൌ ൫ʹ ͳ൯൫ʹ ͳ൯ൌ ܨ ൫ʹ ͳ൯ൌሺ ܨ ȉǥȉ ܨʹሻሺ ܨ ʹሻൌ ܨ ȉǥȉ ܨ Ǥ Corolário: ܥܦܯ ܨ ǡ ܨ ሻൌͳ, para Ǥ Prova: Suponhamos que ܨ ܨ tenham um fator primo p, então pela proposição anterior, ܨ ܨ ȉ ܨȉǥȉ ܨ ȉǥȉ ܨʹ

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NÚMEROS DE FERMAT (Pedro H. O. Pantoja, Universidade de Lisboa, Portugal)

Intrudução:

• O matemático francês Pierre de fermat (1601-1665) é famoso pelo seu extensivo trabalho em teoria dos números. Suas principais contribuições são o pequeno teorema de Fermat, o último teorema de fermat (demonstrado por A. Wiles), números de fermat, entre outros. Nesse trabalho vamos explorar algumas propriedades elementares dos números de Fermat. Para aprofundar os conceitos aqui introduzidos, recomendamos a excelente obra ���� Um número de Fermat é um número da forma

�� � � � � Para � � � �� �� � Fermat conjecturou que esses números eram todos primos, de fato, para � � � �� �� �� � dão realmente números primos 3, 5, 17, 257, 65537. Entretanto Euler mostrou que �� é divisível por 641. O argumento usado abaixo é devido a Kraïtchik.

Note que ��� � �� � �� � � � �� � � daí �� � �� � �� � �� � ���� ������ � ��� � �� � ��� � ���� � ����� � ��� � ���� !"����� Logo 641 divide �� � �� Atualmente os únicos números primos de Fermat conhecidos, são aqueles apresentados pelo próprio Fermat. Proposição: A fórmula �# � �$ � �% � � � �� � � � �#&% � � é verdadeira para todo ' � e � ( � Prova: Por indução, � � temos que �% � �$ � � � � � � � � que é verdadeiro.

Suponhamos que a expressão é válida para m, daí �#)% � � � �*+, � � �-�* � �.-�* � �. � �#-�* � �. � ��$ � � � �#&% � ����# � �� � �$ � � ��#� Corolário: /01��#�� ��� � �, para 2 �� Prova: Suponhamos que �#�3���� tenham um fator primo p, então pela proposição anterior, �# � �$ � �% � � � �� � � � �#&% � �

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Como p divide ambos �#�3���� p deverá dividir 2, ou seja, p é igual a 1 ou 2. Não pode ser 2, pois �# �3���� são ímpares. Em particular, esse corolário mostra que existem infinitos números primos( vide [2] ). Pode-se também provar que /01��#�� � � � para m maior ou igual a 1. É muito conhecido que 4� � � para 4 5 � é composto (devido a Sophie Germain). De fato, 4� � � � �4 � �4 � ���4 � �4 � ��� Fazendo

4 � �*67 para ' �, encontramos 4 � � � �#&%�� 4� � � � �# e portanto

�# � � � ��#&% � ��#& � ����#&% � ��#& � ��� Exemplo 1: Para � ' � o dígito das unidades de �� é 7. Solução: Para � ' ��� �� é múltiplo de 4 então existe k inteiro tal que �� � �8 daí

�� � � � � � ����9 � � � � � � � �� !"��� e como �� � �� !"��� o dígito das unidades é 2 ou 7, não pode ser 2 pois �� não pode ser par. Em particular, esse exemplo mostra que nenhum número de Fermat pode ser quadrado perfeito. Com efeito, é bem conhecido que o dígito das unidades de um quadrado perfeito é 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, e como �$ � ��� �% � � e para � ' � �� é 7, uma contradição. Mais geralmente é fácil provar que nenhum número de fermat é uma potência perfeita. O caso de cubo perfeito foi proposto na Baltic Way. Exemplo 2: (Baltic Way) Prove que nenhum dos números

�� � � � ���Para � � � �� �� � :�!�cubo de um inteiro. Solução:

Assuma que exista um inteiro K tal que � � � � 8� , k ímpar e

� � 8� � � � �8 � ���8 � 8 � �� daí 8 � � � �;� e 8 � 8 � � � �< para alguns s,r inteiros positivos com soma igual a ��. Agora, �= � �; � �8, contradição pois o lado esquerdo é par e o direito ímpar. Exemplo 3: Cada número de Fermat maior do que 3 é da forma �� � �� Solução: É suficiente provar que 6 divide �# � � para ' �� com efeito,

�# � � � �$ � � � �#&% � � � ���% � � � �#&% � �� E o número entre parênteses é par. Exemplo 4: Resolva a equação diofantina

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�� � � � � � � �>� �* �� Solução:

Temos que � � � � � �>� �* � � � � � � �>� -�*6,. fazendo

? � �*6, e portanto

�� � ?�? � ����? � ��

� � -�*6,&%. �? � ����? � ���

Como o último fator é sempre inteiro, concluímos que �� é par, absurdo. Assim a equação proposta não possui solução em inteiros. Exemplo 5: Prove que existem infinitos inteiros positivos n tais que �� � � não é primo. Solução: Vamos mostrar que �9)% � ��:� @ABCDA!�"3�E� F!B3�?G3� �% � � � E�� �� � � � ��H, são múltiplos de 7. Agora para � � � �� �� ����

� � �� �� �� �� � � !"�E� "4I�D4J4���I D4J � � � � � � � � � � � � �� !"�E�� Os números de Fermat podem ser generalizados. Define-se

KL�#�4� � 4L*+, � �4L* � �

Onde p é primo, 4 ' ��3� ' o qual generaliza tanto os números de Fermat �# � K�#���� M! ! os números de Mersenne /L � KL�$��� � �L � �� Vamos

estudar alguns casos como, por exemplo,

K��#��� � ��* � ��3�K��#�E� � E�* � ��

Exemplo 6: Prove que para todos os inteiros positivos n, o número �� � � é produto de pelo menos �� � � (não necessariamente distintos) primos. Solução: Por indução, o caso � � � é evidentemente verdadeiro. Como

��+, � � � -�� � ��.-��� � �� � �. Então é suficiente provar que ��� � �� � � é composto , já que por hipótese

de indução �� � � tem �� � � fatores primos. Claramente,

-�� � ��. � N��)% O

� N�� � � � ��

)% O N�� � � � ��

)% O�

!�que completa a prova por indução.

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Exemplo 7: (USAMO-2007) Prove que para todos os inteiros não-negativos n, o

número E� � � é produto de pelo menos �� � � (não necessariamente distintos) primos. Solução:

Por indução, o caso � � é trivial pois E�P � � � ��� ComoE� é ímpar,

E� � � � � para algum inteiro m, agora E�+, � � � -E�.� � � � Q� � �

onde Q � E#&%� Portanto é suficiente provar que Q� � �Q � �

É composto, pois consequentemente Q� � � terá pelo menos dois fatores primos a mais do que Q � �� Assim

RS)%R)% �

�R)%�S&T�R)%�S&-RS)%.UR)% � �Q � ��V � �R-R�)�RW)�RX)�R7)�R)%.

R)% ��Q � ��V � EQ�Q� � �Q� � �Q � �Q � �� � �Q � ��V � E#�Q � Q � �� �-�Q � ��� � E#�Q � Q � ��.-�Q � ��� � E#�Q � Q � ��.. O primeiro fator é maior do que 1. Para o segundo,

�Q � ��� � E#�Q � Q � �� � �Q � ��� � YEQ�Q � Q � ��' �Q � ��� � Q�Q � Q � �� � �Q � �Q � � ' ��� 5 �

D!CZ� YEQ [ Q� a prova está completa.

Exercícios: 1) Prove que para qualquer � [ �# � � �� divide �\* � ��

2) (USAMO-1991) Mostre que, para qualquer inteiro fixo � ' �� a sequência

�� �� �7 � �77 � � � !"��� é eventualmente constante.

3) (Iran-2009) Seja 4 um número natural fixo. Prove que o conjunto dos

divisores primos de � � 4 , para � � �� �� ���é infinito. 4) (China-2010) Suponhamos que �3�8 são inteiros não-negativos, e

D � �* � � é um número primo. Prove que:

a) �*+,L] � �� !"�D9)%�^ b) �#)%D9 é o menor inteiro positivo n que satisfaz a equação de

congruência �� � �� !"�D9)%�

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REFERÊNCIAS

[1] MICHAL K. , F. LUCA, L. SOMER, 17 LECTURES ON FERMAT NUMBERS, CANADIAN MATHEMATICAL SOCIETY. [2] RIBENBOIM, P. THE BOOK OF PRIME NUMBERS RECORDS, SPRINGER, 1991. [3] DUBRER, H. GENERALIZED FERMAT PRIMES, J. RECREATIONAL MATH. 1985.