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O TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS DEMONSTRAÇÕES EM SALA

DE AULA

1 Rodrigo Amaral Leal2

Rondineli dos Anjos Nunes3

Wildson Pombo Sousa4

RESUMO

Este artigo científico tem objetivo relatar sobre o contexto histórico e a vida de um dos personagens que atualmente é uma das referências no campo do conhecimento matemático, Pitágoras. Que ao seu tempo observou e revolucionou não só a matemática, mas também a filosofia por meio de estudos e pesquisas investigativas. Pitágoras aprofundou seus estudos em diversas regiões e países como: Egito, Babilônia e talvez a Índia. Pouco se sabe sobre a origem do Teorema, que o qual institui seu nome. No entanto, há registros pelas antigas civilizações em tabletes de barros no qual se utilizavam como meio de escritas naquela época. Nestas escritas existem algumas formas que há relação com o Teorema de Pitágoras. O Teorema de Pitágoras, o mais famoso da geometria plana, tem muitas e variadas demonstrações. Um exemplo das demonstrações encontram-se em O livro The Pythagorean Proposition de Elisha S. Loomis, 2ª edição, 1940, classificou 367 demonstrações do teorema de Pitágoras. Nessa perspectiva propomos uma abordagem deste teorema em sala de aula onde incluem os materiais didáticos manipuláveis que fortalecem a motivação do aluno para a aprendizagem, aumentam a autoconfiança e a concentração e contribuem no desenvolvimento das competências cognitivas e lógicas.

Palavras-chave: O Teorema de Pitágoras. Demonstrações. Aplicações.

1 Professor Orientador Steve Wanderson Calheiro de Araujo – Universidade Federal do Amapá

(UNIFAP). e-mail: Steve@unifap.br

2Acadêmico da Universidade Federal do Amapá – (UNIFAP). E-mail: rodrigoamaral@gmail.com

3Acadêmico da Universidade Federal do Amapá – (UNIFAP). E-mail: rodinelinunesl@gmail.com

4Acadêmico da Universidade Federal do Amapá – (UNIFAP). E-mail: wilpsousa@yahoo.com.br

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1. INTRODUÇÃO

O Teorema de Pitágoras é através

deste trabalho que propomos apresentar a

vivencia de Pitágoras em busca do

conhecimento e algumas demonstrações e

propostas de aplicações do Teorema de

Pitágoras para alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental da Escola Municipal Raimunda

Rodrigues Capiberibe em Laranjal do Jari,

estado do Amapá. Partindo do

desenvolvimento de materiais que sejam

atrativos e lúdicos aos alunos. Por meio de

métodos alternativos como atividades na forma de oficina que podem ser utilizadas

tanto por docentes quanto discentes em aulas sobre o Teorema de Pitágoras. A

ideia dessas oficinas é familiarizar o aluno com esse resultado através da resolução

de problemas.

Quando se fala de Pitágoras viajamos na linha do tempo, voltamos à

história principalmente da Matemática no qual atribuí o Teorema de Pitágoras.

Segundo Baroni e Nobre (1994), afirmam que a história é também uma área de

conhecimento, e não pode ser deixada de lado:

[...] apesar da História da Matemática estar ganhando destaque no meio acadêmico- educacional e se destacando como instrumento para propostas didático-pedagógicas, bem como a Modelagem Matemática, a Etnomatemática, a Informática, entre outras, não se deve esquecer que antes de tudo a História da Matemática é uma área do conhecimento matemático, um campo de investigação e, portanto, não pode ser analisado simplesmente como um instrumento metodológico (BARONI; NOBRE, 1994; p.129).

Deste modo, propomos aos alunos uma atividade em que, ele é

convidado a decompor os quadrados construídos sobre os catetos em alguns

pedaços e depois reagrupar essas peças exatamente sobre o quadrado construído

sobre a hipotenusa. Ao final do trabalho apresentaremos algumas atividades

interessantes para chamar a atenção de que demonstração matemática não pode

Figura 1. Pitágoras de Samos

Fonte: http://www.mundodafilosofia.com.br

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ser dada exclusivamente através da interpretação de uma ilustração. Por exemplo,

somente as atividades de recortar e colar, apresentados nas oficinas propostas, não

constituem demonstrações completas para o Teorema de Pitágoras. Veremos que é

realmente importante demonstrar que as peças se encaixaram perfeitamente e que

não existe alguma falha ou sobreposição de peças.

2. O CONHECIMENTO DOS BABILÔNIOS DO TRIÂNGULO 3, 4 e 5

Há provas que os babilônios antigos, antes mesmo de Pitágoras, já

conheciam então o que seria o famoso Teorema de Pitágoras. Muitos tabletes de

barro datados do período de 1800 a 1600 a.C. foram encontrados, decifrados e hoje

se encontram em diversos museus. Um deles, chamado Plimpton 322 está na

Universidade de Columbia e o fragmento que foi preservado mostra uma tabela de

15 linhas e 3 colunas de números. Os pesquisadores descobriram que esta tabela

continha ternos pitagóricos, ou seja, lados de um triângulo retângulo. Há relatos

históricos que estes pedaços que restaram de um tablete deveriam fazer parte de

um conjunto de tabletes, não se sabe como esses números foram encontrados. Mas,

uma pista é evidente de que os babilônios conheciam alguma forma de encontrar

esses números, o tablete encontra-se guardado hoje no Museu Britânico. Nesse

tablete está escrito o seguinte:

4 é o comprimento

5 é a diagonal

Qual é a altura?

4 vezes 4 dá 16

5 vezes 5 dá 25

Tirando 16 de 25 o resto é 9

Quanto vezes quanto devo tomar para ter 9?

3 vezes 3 dá 9

3 é a altura

Segundo Lima ET at (2006) outro tablete que merece atenção está no

museu da Universidade de Yale. É o único que contém figuras: um quadrado e suas

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diagonais. Neste fragmento de tablete que se pode ver na figura 2, o lado do

quadrado é tomado como igual a 30 e o comprimento da diagonal aparece como 42,

25, 35.

Isto nos leva a pensar que os babilônios tinham conhecimento da relação

entre os lados de um triângulo retângulo. Não há nenhuma demonstração,

naturalmente, pois isto ainda estava longe de ser uma preocupação dos

matemáticos da época. Eles conheciam receitas que davam certo e, com elas,

resolviam inúmeros problemas.

Como os babilônios escreviam os números na base 60, o comprimento da

diagonal é, na nossa notação decimal,

24+

Isto, dividido por 30, dá 1,414213..., uma aproximação excepcional para

com seis casas decimais corretas.

Figura 2. Tablete de barro de 1800 a 1600 a.C

Fonte: http://www.mundodafilosofia.com.br

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3. ORIGEM E A VIDA DE PITÁGORAS

Figura 3. Localização de Samos

Fonte: http://portugues.vacationstogo.com

Pitágoras nasceu na ilha de Samos, na costa da Ásia Menor, por volta do

ano 572 a.C. Samos nessa época, era uma rica cidade-estado mercantil, mas, talvez

justamente por isso, sua vida intelectual era muito limitada, apesar de viverem ali

muitos homens de talento. Esse fato, aliado ao duro regime político sob o qual

Samos vivia, deve ter sido o motivo que levou Pitágoras, que sempre revelara

pendores místicos e filosóficos, a deixar a cidade. Assim, aos 18 anos de idade ele

mudou para a ilha de Lesbos, onde por dois anos estudou filosofia. Depois disso

seguiu para Mileto, possivelmente para usufruir os ensinamentos de Tales, que era

mais velho do que ele cerca de cinquenta anos. Talvez aconselhado por Tales,

rumou então para o Egito, para tentar aprender o saber local, concentrado nas mãos

das ordens sacerdotais. Segundo Asger Aaboé (2002) :

Pitágoras de Samos, que atingiu seu ápice produtivo em torno de 530 e de seus seguidores os pitagóricos. Suas realizações foram em ciências, particularmente na matemática, e na religião, e seus preceitos religiosos eram fortemente condimentados por ingredientes dos matemáticos ou místicos numéricos. Seus gostos em matemática tendem para aritmética e a álgebra, é obvia uma forte influencia babilônica. Em verdade, diz-se que Pitágoras visitou o Egito e a Babilônia, e embora lenda conte que ele aprendeu sua matemática no Egito e suas crenças místicas na Babilônia, é claro que foi na Babilônia que obteve suas inspirações matemáticas. (p. 42).

Depois de vencer duras provas acabou sendo aceito como aluno em

Tebas, na Grécia, onde permaneceu por cerca de vinte anos. Depois disso Pitágoras

voltou a Samos, onde pretendia se dedicar ao ensino. Mas, confirmando talvez o

desinteresse dos Samios pelo saber, Pitágoras só conseguiu um aluno e, assim

mesmo, tendo de pagar-lhe para que ele assistisse às suas aulas. Esse fato,

somado à situação da política de Samos, levou-o a emigrar mais uma vez, indo

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estabelecer-se agora na colônia grega de Crotona, no sul da Itália. Nessa cidade

fundou uma escola que, apesar de seu misticismo, iria ter uma influência muito

grande nos rumos da filosofia e da ciência, especialmente da matemática.

Pitágoras não apreciava o isolamento e acabou subornando um menino para ser seu primeiro aluno. A identidade do garoto e incerta, mas alguns historiadores sugerem que ele também se chamaria Pitágoras [...] Pitágoras, o mestre, pagava ao seu aluno três ébolos para cada aula a que ele comparecia. Logo percebeu que, à medida que as semanas se passavam, a relutância inicial do menino em aprender se transformava em entusiasmo pelo conhecimento. Para testar seu pupilo, Pitágoras fingiu que não podia mais pagar o estudante e que teria de interromper as aulas. Então o menino se ofereceu para pagar por sua educação. O pupilo tornara-se discípulo. Infelizmente este foi o único adepto que Pitágoras conquistou em Samos. Ele chegou a estabelecer temporariamente uma escola conhecida como o Semicírculo de Pitágoras, mas suas ideias de reforma social eram inaceitáveis e o filosofo foi obrigado a fugir com sua mãe e seu único discípulo. (SINGH, 2008, p.30).

Pitágoras é considerado o pai da matemática e da música, e é

considerado também um dos mais importantes filósofos daquela época, como

menciona o filósofo Bertrand Russel, que classificou Pitágoras como “um dos

homens mais importantes de todos os tempos no plano intelectual”. Por volta do ano

500 a.C., quando a escola estava no auge de seu esplendor, foi fechada sob a

acusação de apoiar a aristocracia, contrária ao governo. Pitágoras teve então de se

refugiar em Metaponto, cidade em que ficaria até morrer, por volta do ano 497 a.C.

Mas durante quase dois séculos seus ensinamentos continuaram a serem

transmitidos por seus discípulos, que se espalharam por diversas regiões.

De acordo com Russel e Strathern (1998, p.7):

O primeiro matemático, o primeiro filósofo e o primeiro a praticar a metempsicose. E isso, não por ter sido a primeira pessoa a usar números, a primeira a buscar uma explicação racional para o mundo ou a primeira a acreditar que numa vida anterior sua alma havia habitado uma planta, um faraó ou algo do gênero. Foi ele quem inventou, ou usou pela primeira vez as palavras; matemático, filósofo e metempsicose nos sentidos hoje aceitos e logo aplicou a si mesmo. Também inventou a palavra cosmos, que aplicava ao mundo. Em grego, Kosmo significa ordem e Pitágoras usou o termo para designar o mundo por causa de sua perfeita harmonia e ordenação.

4. A ESCOLA PITAGÓRICA

Durante suas passagens por diversos países em busca de conhecimento,

Pitágoras fundou em Crotona a Escola Pitagórica. Esta escola era politicamente

conservadora e mantinha um princípio de conduta muito rígido, ou seja, era uma

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irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias, nenhum dos seus

discípulos jamais violou a regra até mesmo depois da morte de Pitágoras e do fim da

escola. Além disso, a escola era totalmente vegetariana, aceitando assim a doutrina

da metempsicose, ou seja, transmigração das almas. Todas as proibições

estabelecidas por Pitágoras em sua religião na escola eram seguidas com muito

rigor. Era uma espécie de escola com caráter duplo, pois se dedicava a questões

espirituais e, além disso, aos estudos de Matemática, Astronomia e Música.

(BOYER, 1996).

Pitágoras também foi o responsável pela formalização da escala musical que usamos hoje.

O instrumento mais importante da antiga musica helênica era o tetracordio, ou lira de quatro cordas. Antes de Pitágoras, os músicos tinham percebido que certas notas, quando soavam juntas, criavam um efeito agradável e afinavam suas liras de modo que ao tocarem duas cordas pudessem produzir tal harmonia. Contudo, os antigos músicos não compreendiam por que certas notas, em especial, eram harmônicas e não tinham nenhum meio preciso de afinar seus instrumentos. Eles afinavam suas liras pelo ouvido, até conseguirem um estado de harmonia – um processo que Platão chamava de torturar as cravelhas. (SINGH, 2008, p.35)

Pitágoras observou que quando os comprimentos das cordas estavam em

algumas proporções, elas soavam de forma harmônica. Ele notou que se uma corda

produzia uma nota qualquer, outra corda com o dobro do tamanho produziria a

mesma nota em uma oitava abaixo. Este mesmo princípio e utilizado hoje em harpas

e pianos. Pitágoras formalizou as notas musicais que conhecemos da seguinte

forma: dada uma corda que produzia um Do, uma corda com o dobro do

comprimento levaria a um Do uma oitava abaixo e de forma ascendente, uma corda

com 16:9 de seu tamanho produziria um Ré, 8:5 para Mi, 3:2 para Fá, 4:3 para Sol,

6:5 para La e 16:15 para Si.Todas estas descobertas fizeram com que a escola

pitagórica ganhasse notoriedade na Grécia antiga, porem junto com este prestigio

muita inveja também era atraída.

Cyrino (2006, p. 52) diz: “Da mesma maneira que os pitagóricos

conseguiram ascensão política, os inimigos surgiram. Um dos senhores mais ricos

de Crotona, chamado Cilon, empreendeu um ataque a uma casa onde se reuniam

os pitagóricos e muitos foram assassinados. Pitágoras foi para Tarento e dai, para

Metaponto, onde perdeu a vida, aproximadamente, em 500 a.C.”

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Pitágoras e os pitagóricos foram pessoas que deixaram um legado

matemático e filosófico muito grande, porém esta historia importante da Matemática

e envolta em muitas lendas, pelo fato de muitas de suas descobertas ficarem em

segredo, além da perda da maioria dos documentos. Há uma lenda que diz que,

neste ataque aos pitagóricos, toda a casa foi incendiada, queimando os registros de

Pitágoras e sua escola.

Os pitagóricos tinham por costume atribuir todas as descobertas ao

fundador, por isso hoje é tão difícil saber se foi realmente Pitágoras que fez estas

descobertas ou se foram outros membros que na época eram chamados de seus

seguidores. (EVES, 1997).

Ainda segundo Eves (1997), afirma que os pitagóricos em seus estudos,

chegaram à conclusão de que “tudo é número”. Eles acreditavam que toda uma

série de realidades e fenômenos naturais são traduzível por relações numéricas,

como por exemplo, os fenômenos musicais, a periodicidade do movimento celeste e

os fenômenos da vida, deduzia-se que os elementos dos números eram os

elementos da realidade:

A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa última das várias características do homem e da matéria são os números inteiros. Isso levava a uma exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da aritmética (no sentido de teoria dos números), junto com a geometria, a música e a astronomia, que constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico. Esse grupo de matérias tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual se acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma pessoa educada. (EVES, 1997, p. 97).

Para entrar na escola o candidato era submetido a rudes provas, tanto

psicológicas como físicas e se fosse aprovado nestes testes era chamado de

“acusmático”, ou seja, era obrigado a passar um período de cinco anos de

contemplação, guardando perfeito silêncio.

O pentagrama ou pentágono estrelado era o símbolo da Escola

Pitagórica, que representava o sigilo e companheirismo entre os pitagóricos e

segundo Pitágoras o pentagrama possui muitas propriedades interessantes.

Boyer (1996), diz que este pentagrama é obtido traçando as diagonais de

um pentágono regular. Através das intersecções dos segmentos da diagonal se

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obtém um novo pentágono regular, que é proporcional ao original pela razão áurea

ou secção áurea:

Se começarmos com um polígono regular ABCDE (Fig. 2) e traçarmos as cinco diagonais, essas diagonais se cortam em pontos A’B’C’D’E’, que formam outro pentágono regular. Observando o triângulo BCD’, por exemplo, é semelhante ao triângulo isósceles BCE e observando também os muitos pares de triângulos congruentes no diagrama, não é difícil ver que os pontos A’B’C’D’E’ dividem as diagonais de um modo notável. Cada um deles divide uma diagonal em dois segmentos desiguais, tais que a razão da diagonal toda para o maior é igual à deste para o menor. Essa subdivisão das diagonais é a bem conhecida “secção áurea” de um segmento [...]. (BOYER, 1996, p. 34).

Eves (1997) nos diz sobre o fim da escola: “[...] com o tempo, a influência

e as tendências aristocráticas da irmandade tornaram-se tão grandes que forças

democráticas do sul da Itália destruíram os prédios da escola fazendo com que a

confraria se dispersasse. [...]”. Foi neste período que Pitágoras então foi expulso de

Crotona e fugiu para Metaponto. Vários nomes que fizeram parte da escola

pitagórica, entre eles alguns foram destaque:Filolaus de Tarento que nasceu por

volta de 470 a.C. e morreu 390 a.C.; Arquitas de Tarento nasceu em 428 a.C. e

Hipasus de Metapontum que viveu por volta de 400 a.C..Alguns séculos mais tarde,

a Escola Pitagórica voltou a reviver e seus membros passaram a ser chamados

então de neo-pitagóricos, um destes membros que mais se destacou foi Nicômaco

de Gerasa, que viveu em torno do ano 100. Há relatos históricos que a Escola

Pitagórica tenha existido por mil anos uma das grandes contribuições da escola

pitagórica à matemática foi organizar algumas partes da geometria das paralelas,

por meio do método demonstrativo, ou seja, por meio de teoremas. Mas apesar de

sua importância, nenhum escrito sobre a escola pitagórica sobreviveu, as

informações que conhecemos vieram de fontes indiretas muito posteriores.

5. O ENUNCIADO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Seja em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é

a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados

cada um dos catetos.

Se a é a medida da hipotenusa e se b e c são as medidas dos catetos, o

enunciado do Teorema de Pitágoras nos afirma que a² = b²+c²

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Figura 4. Prova do Teorema de Pitágoras através de quadriculações

A figura do triângulo retângulo acima mostra que as áreas dos quadrados

construídos sobre os catetos é igual à área da hipotenusa.

6. DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Nas ciências naturais, uma demonstração e algo que pode ser observado

e repetido uma grande quantidade de vezes, e tomado como verdade, claro que

muitas vezes de forma não absoluta. As descobertas cientificas na maioria das

vezes, foram feitas desta forma.

Em 1927 (quando já era professor universitário), Loomis publicou A proposição pitagórica, livro contendo 230 provas; em 1940, então aos 87anos, Loomis publicou uma segunda edição, com 370 provas. [...] A última frase de sua segunda edição e: “E ainda não chegamos ao fim”. Loomis estava certo; não era o fim. O site Guinness World Records, sob o titulo “Maior quantidade de provas do teorema de Pitágoras”, recentemente apontou um grego que diz ter descoberto 520 provas distintas. (CREASE, 2011, p. 24 e 25).

Uma conjectura e proposta e verificada muitas vezes, para o maior

número de casos, até que seja considerada verdadeira. Mas na Matemática, uma

conjectura só e considerada verdadeira quando for demonstrada com argumentos

lógicos, sem deixar qualquer margem de duvida. Ou seja, realizar testes com casos

particulares, por maior que seja a quantidade destes testes, não serve como

demonstração ou prova de qualquer afirmação matemática.

“...Em matemática o conceito de prova e muito mais rigoroso e poderoso do que o que usamos em nosso dia-a-dia e até mesmo mais preciso do que o conceito de prova como entendido pelos físicos e químicos. A diferença entre prova científica e prova matemática e ao mesmo tempo sutil e profunda. Ela e crucial para

Fonte. http://www.lume.ufrgs.br

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que possamos entender o trabalho de cada matemático, desde Pitágoras. A ideia de demonstração matemática clássica começa com uma série de axiomas, declarações que julgamos serem verdadeiras ou que sejam verdades evidentes. Então, através da argumentação lógica, passo a passo, e possível chegar a uma conclusão. “Se os axiomas estiverem corretos e a lógica for impecável, então a conclusão será inegável”. (SINGH, 2008,p.41).

6.1 Demonstração Clássica do Teorema de Pitágoras

A demonstração clássica nos mostra que um triângulo retângulo de

hipotenusa a e catetos b e c, cujo lado é b + c.

Observe o quadrado: Tem a mesma área, já que o lado de cada quadrado

mede (b + c) seguinte forma:

Cancelamos 2bc, obtemos:

6.2 Demonstração pelo caso de congruência

Considere um quadrado ABCD de lado. Sobre os lados desse quadrado

marque pontos, M, N, P, Q como na figura a seguir, de modo que:

AM = BN =CP = DQ =b MB= NC = PD = QA =c

Fonte: Obra de Eduardo Wagner “Teorema de Pitágoras e Áreas”

Figura 5. Demonstração Clássica do Teorema de Pitágoras

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Pelo caso de congruência LAL os triângulos retângulos QAM, MBN, NCP

e PDQ são congruentes ao triângulo retângulo da hipótese. Daí segue que MN = NP

= PQ = QM = α. Isso implica que o quadrilátero MNPQ é um losango. Vamos mostrar

que, de fato, ele é um quadrado. Suponhamos que os ângulos agudos do triângulo

de hipótese sejam: α e β

Pela congruência dos triângulos QAM, MBN, NCP e PDQ descritos acima,

os ângulos agudos destes triângulos retângulos medem α e β , de acordo com a

figura acima.

Como α + β = 90º segue que cada ângulo interno do quadrilátero MNPQ deve ser

reto. Isso demonstra que MNPQ é um quadrado de lado α.

Daí a área do quadrado de lado b +c é igual à soma da área do quadrado

de lado α com a área de quatro triângulos retângulos de catetos b e c.

Isto é:

, como queríamos

demonstrar.

6.3 Demonstração por semelhança de triângulos

Este próxima demonstração faz uso da semelhança de triângulos, é mais

freqüente em livros didáticos. A partir de um triângulo ABC, retângulo em A,

Figura 6. Congruência dos Triângulos Retângulos

Fonte: Obra de Eduardo Wagner “Teorema de Pitágoras e Áreas”

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traçamos a altura AH e verificamos que os triângulos AHB e AHC são semelhante ao

triângulo ABC.

Figura 7:

Semelhança de

triângulos

A figura acima nos mostra que a semelhança do ABC AHC

Da semelhança do ABC ABH

Logo;

Esta demonstração é bastante frequente em livros didáticos e aplicado

nas escolas, isso porque permite um esclarecimento, mas detalhado e simples do

Teorema de Pitágoras aos alunos, como também encontrar as relações importantes

do triângulo retângulo. Além das duas relações, que deram origem à demonstração

do teorema, obtemos a relação bc = ah, que também se interpreta com o conceito de

Fonte: Obra de Eduardo Wagner “Teorema de Pitágoras e Áreas”

29

área, e h² = mn, que revela o importante fato de que a altura é média geométrica

entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

6.4 A demonstração de Perigal

Em 1873 Henry Perigal, um livreiro em Londres, publicou a demonstração

que se pode apreciar na figura abaixo. Trata-se da forma mais evidente de mostrar

que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos preenchem o

quadrado construído sobre a hipotenusa.

Na sua demonstração, Henry Perigal, faz uso de cortes do quadrado

construído sobre o maior cateto por duas retas passando pelo seu centro, uma

paralela à hipotenusa do triângulo e outra perpendicular, dividindo esse quadrado

em quatro partes congruentes. Essas quatro partes e mais o quadrado construído

sobre o menor cateto, preenchem completamente o quadrado construído sobre a

hipotenusa.

7. APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS EM SALA DE AULA

Com as constantes mudanças que há no cenário educacional, cabe ao

professor se adaptar às mesmas, e buscar sempre a melhorar transposição didática

do conteúdo desejado aos seus alunos. E quando se trata do conhecimento sobre o

Teorema de Pitágoras, muitos alunos sentem dificuldade em solucionar o X da

questão. Então, foi com essa proposta, de quebrarmos essa barreira, que levamos

Figura 8: Demonstração Perigal

Fonte: Obra de Eduardo Wagner “Teorema de Pitágoras e Áreas”

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aos alunos do 9º ano do ensino fundamental da Escola Municipal Raimunda

Rodrigues Capiberibe, com a autorização da direção da escola e do professor de

matemática, a proposta de aplicação do Teorema de Pitágoras e relacioná-lo com a

realidade vivida e praticá-las em situações do seu cotidiano. De acordo com o

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998).

“A Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, e diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento.” (BRASIL, PCN de Matemática, 1998).

Durante as duas primeiras semanas de agosto com início no dia 03 e

término no dia 14 de agosto de 2015, estivemos no período vespertino na Escola

Municipal Raimunda Rodrigues Capibaribe, localizada em Laranjal do Jarí, no sul do

estado do Amapá, com o objetivo de realizarmos o trabalho de campo, onde

propomos aos alunos do 9º ano da turma D, o conhecimento sobre o Teorema de

Pitágoras e suas aplicações. O trabalho de demonstração do teorema de Pitágoras

foi desenvolvido por meio práticos usando figuras geométricas, desenhos e recortes.

No período em que estivemos em sala de aula com os discentes,

especificamente na primeira semana de agosto do referido ano, propomos aos

alunos o contexto dos fatos históricos do conhecimento sobre a vida de Pitágoras e

também sobre o triângulo retângulo. Assim como, suas viagens em busca do

conhecimento por várias regiões do mundo antigo, como: Egito, Babilônia e Grécia.

Falamos sobre a Escola Pitagórica, que foi fundada em Crotona, hoje atual sul da

Itália, onde a mesma pregava uma rígida doutrina similar ao militarismo, com

obrigações a cada membro da escola que obedecia ao seu mestre.

Após a explicação de todo esse contexto histórico sobre Pitágoras,

aplicamos um exercício por meio de perguntas e respostas entre os alunos e nós

acadêmicos, com o objetivo de verificarmos o que os alunos assimilaram da

explicação. Colocamos os alunos em círculo e cada aluno em sua carteira e

iniciamos o debate. As perguntas dirigidas foram do tipo: Onde nasceu Pitágoras?

Qual foi sua contribuição para a área da matemática? Quais os lugares onde

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Pitágoras andou em busca do conhecimento?...etc. As respostas da turma foram

bastante satisfatória para nós, pois, pudemos perceber o quanto assimilaram o

conteúdo repassado. Isto nos proporcionou uma motivação a mais para

continuarmos o trabalho em sala de aula.

Na segunda semana procuramos demonstrar o Teorema de Pitágoras

através de oficinas, mas antes, explicamos o que é um triângulo retângulo.

Mostramos a demonstração de Perigal, semelhança de triângulo, demonstração

clássica, a demonstração por meio de quadriculações, e assim, provamos que a

soma dos quadrados dos catetos é igual a hipotenusa.

A resposta da turma foi surpreendente, no começo da explicação os

alunos não sabiam identificar a hipotenusa no triângulo retângulo, após a explicação

e aplicação, através das oficinas, puderam perceber a relação das medidas dos

lados do triângulo retângulo. Assim, provamos na prática da veracidade do teorema

de Pitágoras aos alunos.

8. PRÁTICAS EM SALA DE AULA ABORDANDO O TEOREMA

Nas imagens abaixo, foi demonstrado aos alunos o teorema de Pitágoras

por meio de peças quadriculadas feitas em madeira, onde convidamos a

participarem da construção. Foi dada aos alunos uma folha em branco A4, e

pedimos que os mesmos desenhassem um triângulo retângulo de hipotenusa

medido 5 e catetos 3 e 4. Logo após a construção e montagem das peças pedimos

que explicassem quem era a hipotenusa e os catetos. E resumissem o que

entenderam sobre o desenvolvimento da atividade.

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Figura 9: Quadriculações

Fonte: Acervo pessoal

Fonte: Acervo pessoal

Figura 10: Acadêmicos e alunos desenvolvendo atividade

33

Fonte: Pitagoras-upt.tripod.com

Figura 11: Exercício de aplicação do Teorema de Pitágoras

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Figura 13: Fotos durante a aplicação em sala de aula

Fonte: Acervo pessoal

Figura 12: Exercício desenvolvido pelos alunos em sala de aula sobre “Teorema de Pitágoras”

Fonte: Acervo pessoal

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Durante o período de aplicação do Teorema de Pitágoras em sala de aula

na turma do no 9º ano do ensino fundamental, tivemos a certeza que estávamos no

caminho certo na construção do conhecimento. Pois, as demonstrações do Teorema

de Pitágoras foram abordadas por meios lúdicos, para facilitar o processo de

compreensão dos alunos. Assim como, buscamos por meio interativos, o

desenvolvimento da capacidade cognitiva.

Portanto, as demonstrações do Teorema de Pitágoras, propostas em sala

de aula, foram tratadas de forma mais simples possível proporcionando condição de

aprendizado aos discentes. Como por exemplo, nas tarefas extraclasses, maneiras

de incorporar as relações de medidas de um triângulo retângulo, suas medidas de

lados, lado maior, e lado menor, preparando o discente para receber o conteúdo

matemático sobre a geometria plana e dinamizando o processo de aprendizagem do

assunto, principalmente aquele que exige mais atenção, mas tempo para se

trabalhar em sala de aula, como a Geometria em geral.

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REFERÊNCIAS

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