O vértice da parábola da função do 2 grau

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Fundamental, 9º AnoFunção do 2º grau conceitos iniciais

MATEMÁTICA, 9º ANOFunção 2º grau – conceitos iniciais

Vamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade

inicial de 72 km/h).

Imag

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0 G

ener

ic


A altura da bola varia em função do tempo.

Veja a tabela a seguir.

ALTURA (m)

TEMPO (s)

15 1

20 2

15 3

0 4


NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante de 4 segundos.

A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por:

h = 20t – 5t2


Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que um objeto em queda livre percorre distâncias

proporcionais ao quadrado do tempo decorrido.

t (s) h (m)

1 5

2 20

3 45

DEFINIÇÃO

Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei

da forma:

com a, b e c números reais e

Domínio

Contradomínio

Nomenclaturas:

Conjunto Imagemé o conjunto formado por todos as ordenadas y, que representam imagens das abscissas x, por meio da

função.

cbxaxxf 2


Identificação de coeficientes da função quadrática:

2x2 - 3x + 5 = 0

a = 2

b = -3

c = 5

-x2 + 4x - 3 = 0

a = -1

b = 4

c = -3

4x + 8x2 - 4 = 0

a = 8

b = 4

c = -4

3x - 6x2 = 0

a = -6

b = 3

c = 0


Zeros da função:Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de “x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0, através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara:

O Discriminante (representado pela letra grega delta), mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela fórmula abaixo:

a

acbbxcbxaxxf

2

400)(

22

∆ = b2 – 4.a.c


CONCAVIDADE DA PARÁBOLA:

Se a > 0 Se a < 0

Concavidade Concavidade para cimapara cima

Concavidade Concavidade para baixopara baixo

y = ax2 + bx + c


TERMO INDEPENDENTE

c

y

x

y = ax2 + bx + c

Exemplo :

4

y

x

y = x2 - 2x + 4

Ponto em que a reta toca no eixo y


O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas.

A ordenada do vértice admite valor mínimo ou valor máximo.

Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite

valor MÍNIMO, .

Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função

admite valor MÁXIMO, .

0

y

x

Valor mínimo

. 0

y

x

Valor máximo

.


Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c

Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por:

a

bxV 2

a

yV 4


• Achar as raízes da função

• O valor de c toca o eixo do y

• Achar o vértice da função

1 3x x

( 2) 21

2.1 2(16) 16

44.1 4

(1, 4)

V

V

X

Y

V


Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o procedimento:

•Determinam-se as raízes da função.•Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam).•Analisa-se a concavidade da parábola.•Faz-se o estudo do sinal.


+ +

-

Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆.

X1 X2

+ +. .+ + X1=X2

+ +.+

X1 X2

+- . . -

- - - . --X1=X2


Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6.

x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função);-marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade da parábola;-faz-se o estudo do sinal.

f(x) > 0, para x<2 ou x>3

f(x)=0, para x=2 ou x=3

f(x) < 0, para 2 < x < 3


ESBOÇO DO GRÁFICO

Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter :

- Concavidade

- Ponto c

- Zeros

- Vértice

y

x


Vamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações:

Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 X Y

-1 8

0 3

1 0

2 -1

3 0

4 8


X Y

-2 0

-1 3

0 4

1 3

2 0

3 -5

Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4


EM RESUMO

Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos:

1. Determinar as raízes da função( se existirem).2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.

3. Calcular o vértice da parábola e marcar no plano cartesiano. 4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados.

Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos:

1. Determinar as raízes da função( se existirem).2. Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.

3. Calcular o vértice da parábola e marcar no plano cartesiano. 4. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.5. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados.

,2 4

bV

a a



O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos, vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele

pode ser baixado gratuito no site: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

Área de trabalho do software

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http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm


Exemplos de gráficos com o Geogebra:

Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.Link: http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html / http://www.geogebratube.org

DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo: Ática, 2008.

GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002

Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov. de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>

Sites: http://hsa.zip.net/http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.phpSoftware Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.


http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf

http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php

http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm

Tabela de Imagensn° do slide

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2 Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por

Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic

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29/08/2012

23 a 26 Geogebra / software gratuito de código aberto.

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