張 亜

中間試験

電気電子工学科学習支援室

２０１９．１２．１３（金）

時間：９０分点数：４０点範囲：１2．６まで講義内容

図1

図1のような、単振り子を考える。おもりの質量をｍ、紐の長さをl、紐と鉛直線のなす角をθ（右向きを正とする）、重力加速度をg、空気の粘性抵抗係数をCとする。時刻t = 0とき、θ = 0、おもりは速さV0で右向きに動いていたとする。θは十分小さいとして（sin θ ≈θ）、m, l, θ, g,

C, V0, tのうち適切な記号を用いて以下の各問に答えよ。(1)おもりの運動方程式を答えよ。

(2) C＝0時、時刻t（t > 0）のθを求めよ。

(3)この単振り子が臨界減衰となる時の粘性抵抗係数Cをm, l, gを用いて表せ。

小テスト

図1

(1)おもりの運動方程式を答えよ。

小テスト

mg

S

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

,

sin

sin 0,sin

0

ma mg CV

d dV l a l

dt dt

d dml mg Cl

dt dt

d C d g

dt m dt l

d C d g

dt m dt l

ma F

図1

(2) C＝0時、時刻t（t > 0）のθを求めよ。

小テスト

mg

S

2

2

0

00

0

0

cos sin

0, (0) 0,

0, ,

sin

d g

dt l

g gA t B t

l l

dt l V

dt

VgA lB V B

l gl

V gt

lgl

図1

(3)この単振り子が臨界減衰となる時の粘性抵抗係数Cをm, l, gを用いて表せ。

小テスト

mg

S

2

20

d c d g

dt m dt l

特徴方程式

臨界減衰となる時2

4 0, 4 2c g g g

c m mm l l l

2

2

1,2

0

( ) 4

2

c g

m l

c c g

m m l

減衰振動について練習

問題 図のように、なめらかな水平な床の上で一端を固定したばね定数kのばねに質量mのおもりを繋いだ。ばねを自然長からaだけ伸ばして初速度０で静かに手を離した。おもりの変位をｘ、空気粘性抵抗をCとする。ばねは自然長であるとき、ｘ=0として、以下の各問に答えよ。

（１） 変位はxに比例した復元力は（ ）である。

速度vに比例した粘性抵抗力は（ ）である。

おもりの運動方程式は（ ）

m

Ｘ

k

O

a

減衰振動について練習

問題 図のように、なめらかな水平な床の上で一端を固定したばね定数kのばねに質量mのおもりを繋いだ。ばねを自然長からaだけ伸ばして初速度０で静かに手を離した。おもりの変位をｘ、空気粘性抵抗をCとする。ばねは自然長であるとき、ｘ=0として、以下の各問に答えよ。

（１） 変位はxに比例した復元力は（ -kx ）である。

速度vに比例した粘性抵抗力は（ -CV ）である。

おもりの運動方程式は（ ）

m

Ｘ

k

O

a

dt

dxCkx

dt

xdm

2

2

減衰振動について練習

（１） 変位はxに比例した復元力は（ -kx ）である。

速度vに比例した粘性抵抗力は（ -CV ）である。

おもりの運動方程式は（ ）

この方程式は正方向とは関係がない

(a) 右方向は正方向、x=a (a>0)

ばねの力が左に（負）-ka

m

Ｘ

k

O

a

dt

dxCkx

dt

xdm

2

2

減衰振動について練習

（１） 変位はxに比例した復元力は（ -kx ）である。

速度vに比例した粘性抵抗力は（ -CV ）である。

おもりの運動方程式は（ ）

この方程式は正方向とは関係がない

(b) 左方向は正方向、x=a (a<0)

ばねの力が左に（正）-ka

m

Ｘ

k

O

a

dt

dxCkx

dt

xdm

2

2

減衰振動について練習

（１） 変位はxに比例した復元力は（ -kx ）である。

速度vに比例した粘性抵抗力は（ -CV ）である。

おもりの運動方程式は（ ）

粘性抵抗力も正方向とは関係がない

おもりが右向き

(a) 右向きは正方向、v>0

粘性抵抗力が左に(-)-CV

(b)左向きは正方向、 v<0

粘性抵抗力が左に(+)-CV

m

Ｘ

k

O

a

dt

dxCkx

dt

xdm

2

2

今週の宿題

電気電子工学科学習支援室

点数：５点教科書：永田一清著「新・基礎力学」（サイエンス社）p76 第4章演習問題 [8]、[9]、 [10]p93 第5章演習問題 [4]

A4レポート用紙（複数枚の場合は左上をホチキス止め）に解答せよ。

解答後、巻末の演習問題解答を見て自己採点し、間違えた問題は赤字で正しい解答をレポート用紙に書き加えよ。

提出期限：11月２９日（金）講義の時（前或は後）

７. 角運動量とその保存則

７．１ ベクトルのベクトル積

７．２ 力のモーメント

７．３ 角運動量

７．４ 運動方程式の角運動量積分

７．５ 惑星の運動ケプラーの法則

７．２ 力のモーメント

問題 体重90 kgのF君と体重50 kgのN君が年甲斐もなくシーソーで遊んでいる。シーソーの板は長さ6 m、質量60 kgの一様な材質で出来ている。以下の各場合についてシーソーがつり合うときのシーソーの支点とF君との距離を求めよ。(1) シーソーの支点は板の中央にあり、F君が中央に近づく場合

(2) 2人は板の両端に座り、シーソーの支点を中央からずらす場合

７．２ 力のモーメント

問題 体重90 kgのF君と体重50 kgのN君が年甲斐もなくシーソーで遊んでいる。シーソーの板は長さ6 m、質量60 kgの一様な材質で出来ている。以下の各場合についてシーソーがつり合うときのシーソーの支点とF君との距離を求めよ。(1) シーソーの支点は板の中央にあり、F君が中央に近づく場合

d

35090 gdg )(3

5md

力のモーメントのつり合い

90g(N)50g(N)

3(m)

７．２ 力のモーメント

問題 体重90 kgのF君と体重50 kgのN君が年甲斐もなくシーソーで遊んでいる。シーソーの板は長さ6 m、質量60 kgの一様な材質で出来ている。以下の各場合についてシーソーがつり合うときのシーソーの支点とF君との距離を求めよ。(2) 2人は板の両端に座り、シーソーの支点を中央からずらす場合

)3(60)6(5090 dgdgdg

d

)(5

12md

90g 60g 50g

6-d

3-d

力のモーメントのつり合い

７．２ 力のモーメント

原点Oのまわりの力のモーメント（トルク）

定義： FrN

1 2 1 2

sin

0 0

( )

r F r F e

r F F r

r F

r F F r F r F

ベクトルの外積

Or

F

θ

sinr F e

７．２ 力のモーメント

原点Oのまわりの力のモーメント（トルク）

定義： FrN

zyx FFF

zyx

kji

eFrFr

sin

ベクトルの外積

kji ,, ：x, y, z方向の単位ベクトル

Or

F

θ

sinr F e

７．２ 力のモーメント

sin

( ) ( ) ( )

x y z

y z x yz x

z y x z y x

x y z

F F F

y z x yz x

F F F FF F

yF zF zF xF xF yF

r F r F e

i j k

i j k

i j k

e

kji ,, ：x, y, z方向の単位ベクトル

：ｒからFへ向かって右ねじが進む向きの単位ベクトル

Or

F

θ

sinr F

７．２ 力のモーメント

原点Oのまわりの力のモーメント（トルク）

O

r

F

Or

F

O

F

r

FrN

θ

Fsinθ

物体を原点Oのまわりに回転させる能力を表す物理量

FrN

sinFrN

0N

７．３ 角運動量

原点Oのまわりの角運動量（運動量のモーメント）

定義： vrprL m

O r

p

zyx ppp

zyx

kji

eprpr

sin

ベクトルの外積

θ

psinθ

e

kji ,, ：x, y, z方向の単位ベクトル

：ｒからPへ向かって右ねじが進む向きの単位ベクトル

７．３ 角運動量

問題 質量mの質点が以下の運動をしているとき、原点O

のまわりの角運動量を求めよ。(1) xy平面内で直線y= C（定数）に沿って、x軸方向に速度vで運動している。(2) yz平面内で原点Oを中心にx軸の正側から見て時計回りに半径Rの円周上を角速度ωで円運動している。(3) x軸に沿って原点Oから速度vで離れている。

TA

y

xO

C

v

r

z

O

yx

r v

R

y

xO

C

vr

７．３ 角運動量

(1) xy平面内で直線y= C（定数）に沿って、x軸方向に速度vで運動している。

0,,)( 0 Cvtxt r

0,0,)()( mvtmt vp

y

xO

C

v

r

位置ベクトル

運動量ベクトル

角運動量ベクトル

Cmvttt ,0,0)()()( prL

直線運動していても角運動量はゼロとは限らない

TA

７．３ 角運動量

(2) yz平面内で原点Oを中心にx軸の正側から見て時計回りに半径Rの円周上を角速度ωで円運動している。

)sin(),cos(,0)( 00 tRtRtr

)cos(),sin(,0

)()(

00

tmRtmR

tmt vp

位置ベクトル

運動量ベクトル

角運動量ベクトル

0,0,)()()( 2mRttt prL

z

O

yx

r v

R

座標軸の取り方に注意

TA

７．３ 角運動量

(3) x軸に沿って原点Oから速度vで離れている。

0,0,)( 0 vtxt r

0,0,)()( mvtmt vp

y

xO

C

vr

位置ベクトル

運動量ベクトル

角運動量ベクトル

0,0,0)()()( ttt prL

rベクトルとpベクトルが平行なので角運動量はゼロ

TA

７．４ 運動方程式の角運動量積分

運動方程式： Fp

Fv

Fr

dt

d

dt

dm

dt

dm ,,

2

2

NFrp

r dt

d

両辺に位置ベクトルｒを掛けてベクトル積をつくると、

力のモーメント

prL ここで、角運動量 の時間微分を考える

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d prp

rpr

L

７．４ 運動方程式の角運動量積分

Npr

prL

dt

d

dt

d

dt

d

右辺第1項： 0vvpvpr

mdt

d

従って、 が成り立つ。d

dt

LN 回転の運動方程式

角運動量の時間変化の割合は力のモーメントに等しい

に似ている。Fp

dt

d

2 dm ml

dt

m C

L r p r v e

N r g r v

７．４ 運動方程式の角運動量積分

振り子の運動方程式が角運動量で考えればどうなるか

の向きと の向きは反平行r p

r p

mgmr g

e: rからPへ向かって右ねじが進む向きの単位ベクトル

図1

2

2

22 2

2

2

2

( sin )

( sin )

sin

dm ml

dt

dm C mgl cl

dt

d d dml mgl cl

dt dt dt

d g c d

dt l m dt

L r p r v e

N r g r v e

LN e e

７．４ 運動方程式の角運動量積分

振り子の運動方程式が角運動量で考えればどうなっているか

d

dt

LN と は等価である。F

p

dt

dは一致する

７．４ 運動方程式の角運動量積分

問題 長さaの質量の無視できる細い棒の一端を原点Oに固定し、もう一方のはしに質量mのおもりを取り付け、XY

平面内を自由に回転できるようにした。原点Oのまわりの力のモーメントN = (0, 0, N)をおもりに5秒間与えたときのおもりの（線）速度vを求めよ。ただし、はじめおもりは静止していたとする。

NL

dt

dprL

７．４ 運動方程式の角運動量積分

問題 長さaの質量の無視できる細い棒の一端を原点Oに固定し、もう一方の端に質量mのおもりを取り付け、XY平面内を自由に回転できるようにした。原点Oのまわりの力のモーメントN = (0, 0, N)をおもりに5秒間与えたときのおもりの（線）速度vを求めよ。ただし、はじめおもりは静止していたとする。

N

r F

Ｚ

O

N = r×F

a

７．４ 運動方程式の角運動量積分

問題 長さaの質量の無視できる細い棒の一端を原点Oに固定し、もう一方の端に質量mのおもりを取り付け、XY平面内を自由に回転できるようにした。原点Oのまわりの力のモーメントN = (0, 0, N)をおもりに5秒間与えたときのおもりの（線）速度vを求めよ。ただし、はじめおもりは静止していたとする。

N

r F

Ｚ

O

N = r×F

NL

dt

d

Ndt

dL

dt

dL

dt

dL zyx ,0

Nmva 5Lma

Nv

5

00 L より、5秒後の角運動量は

NLLL zyx 5,0

a

回転の運動方程式

７．４ 角運動量保存則

0L

dt

d

角運動量保存則

d

dt

LN回転の運動方程式

力のモーメントは０の場合、 、角運動量Lは時間に依らず一定である。

依って、 角運動量Lは時間に依らず一定

７．４ 角運動量保存則

0L

dt

d

力のモーメント

角運動量保存則

Fが中心力のとき：r

rfr

F )(

r方向の単位ベクトル

スカラー量

0r

rFrN r

rf )(

Fとｒが常に平行または反平行

７．４ 角運動量保存則

問題 ポテンシャルエネルギーV(x, y, z)が次のように与えられた時、位置座標(x, y, z)にある質量mの質点に働く力F

および原点Oのまわりの力のモーメントNを求め、角運動量保存則が成り立つか否か調べよ。(1) V(x, y, z) = -kxy ただしkは定数(2) V(x, y, z) = -C/r ただしrは原点Oと(x, y, z)との距離、C

は定数

, ,V V V

Vx y z

F

７．４ 角運動量保存則

問題 ポテンシャルエネルギーV(x, y, z)が次のように与えられた時、位置座標(x, y, z)にある質量mの質点に働く力Fおよび原点Oのまわりの力のモーメントNを求め、角運動量保存則が成り立つか否か調べよ。(1) V(x, y, z) = -kxyただしk≠0は定数

0,,,, kxkyz

V

y

V

x

VV

F

22,,

0

kykxkzykzx

kxky

zyx

kji

FrN

0N より、角運動量は保存しない。

N

L

dt

d

７．４ 角運動量保存則

問題 ポテンシャルエネルギーV(x, y, z)が次のように与えられた時、位置座標(x, y, z)にある質量mの質点に働く力Fおよび原点Oのまわりの力のモーメントNを求め、角運動量保存則が成り立つか否か調べよ。(2) V(x, y, z) = -C/rただしrは原点と(x, y, z)との距離、C≠0は定数

zyxr

C

z

V

y

V

x

VV ,,,,

3

F

0FrN

角運動量は保存する。

rとFが平行（中心力）ならば、角運動量は保存する。

このような力を中心力という。

万有引力は中心力である。

そして保存力である。

ポテンシャルエネルギーは

F a r r

3

MmF G r

r

MmU G

r

2

2 3

d r MmF m G r

dt r

７．４ 角運動量保存則

次回：惑星の運動 ケプラーの法則

原点Ｏを振り子の支点に取る。

sin , cos ,0 r l l

θ

mg

l

Ｘ

Y

O

cos , sin ,0

d dp ml ml

dt dt

20,0,

L r p

dml

dt

７．４角運動量とその保存則

振り子が振動している時の原点Oに回る角運動量

・角運動量はｚ成分のみである。・振り子は往復振動するから、

は時間変化する。

だから振り子の角運動量は保存しない。

20,0,

L r p

dml

dt

d

dt

θ

mg

l

Ｘ

Y

O

７．４角運動量とその保存則

重力のモーメント

だから振り子の力のモーメントは

角運動量の時間変化は

両者は確かに一致する。

0,0, sin N r F mgl

0, ,0 F mg

θ

mg

l

Ｘ

Y

O

sin , cos ,0 r l l

2

2

20,0, 0,0, sin

d L dml mgl

dt dt

７．４角運動量とその保存則

振り子を振る力は鉛直下方向き。支点から質点までの位置ベクトルとは一致しない。よって振り子にとって重力は中心力ではない。力のモーメントが発生し、角運動量は変化する。

20,0,

dL r p ml

dt

θ

mg

l

Ｘ

Y

O

0,0, sin N r F mgl

７．４角運動量とその保存則

から振り子を振り出すとしよう。

初期角度は

さらにm=1, g=9.8, l=1としよう。

2

lH

03

3.13 2cos 1d

dt

~ 3.13

g

l

20,0, 0,0,3.13 2cos 1

dL ml

dt

0,0, 9.8sin N r F

θ

mg

l

Ｘ

Y

O

７．４角運動量とその保存則

m=1, g=9.8, l=103

θ

mg

l

Ｘ

Y

O

N

L

７．４角運動量とその保存則

m=1, g=9.8, l=103

θ

mg

l

Ｘ

Y

O

N

L

θ

７．４角運動量とその保存則