André Luís Corte BrochiProfessor da Faculdade

Interativa COC

Resolução de problemasOficina de Matemática

Fundamental II

Conteúdo• Elementos teóricos sobre resolução de

problemas.

• Sugestões de atividades sobre resolução de problemas envolvendo operações, variações proporcionais e equações.

• Discussão sobre o ensino da matemática através da resolução de problemas.

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Construção ou memorização• O aluno procura atender às exigências do

professor.

• Se o grau de exigência está “acima” da capacidade de raciocínio/abstração, ele vai procurar memorizar alguns procedimentos que lhe permitem chegar aos resultados esperados pelo professor.

• “Treinar” não resolve o problema.

• O aluno deve estar preparado para enfrentar situações novas. 3

O papel do professor• Não deve expor suas certezas.

• Deve criar, oferecer oportunidades para que o aluno procure suas soluções (resoluções, respostas).

• Desafiar os alunos a resolverem situações novas e representarem tais resoluções utilizando esquemas, textos, desenhos, linguagem matemática.

• Motivar o aluno a procurar “novas soluções”para “antigos problemas”. 4

Construção de conceitos• Os alunos podem desenvolver habilidades de

comunicação, formulação de hipóteses, senso crítico, raciocínio lógico.

• Regras de dedução são construídas aos poucos através da interação com o meio, respeitando os conhecimentos já construídos pelo aluno.

• O aluno deve ser estimulado a:realizar experiências;estabelecer relações;construir e testar hipóteses. 5

O que é um problema?• Questão ou situação difícil de tratar.

• Aborrecimento, contrariedade, conflito.

• Disfunção, mau funcionamento.

• Questão proposta para investigação, debate ou solução, em qualquer área do conhecimento.

• Questão para ser solucionada mediante cálculos.

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Os problemas na matemática

• Muitas vezes são apresentados de forma desmotivadora.

• Geralmente são trabalhados envolvendo somente o conteúdo que acabou de ser abordado.

• Costumam envolver apenas a aplicação de operações ou técnicas.

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Como abordá-los?Discutindo alguns aspectos

• Auxiliar no desenvolvimento do senso crítico e de análise do aluno, estimulando sua capacidade de seleção das informações importantes.

• É mais importante preparar o aluno para aprender coisas novas do que lhe transmitir um grande volume de informações.

• Devem envolver apenas a aplicação de operações ou técnicas ou tem outra função?

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Como abordá-los?Discutindo alguns aspectos

• Ajudar no desenvolvimento do raciocínio autônomo do aluno, na sua capacidade de relacionar o que é tratado na escola com situações cotidianas.

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Vídeo

Conhecimento matemático

Créditos: Programa Salto Para o Futuro / TV Escola

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Objetivos da resolução de problemas (Dante, 1997)

• Fazer o aluno pensar produtivamente.

• Desenvolver seu raciocínio.

• Ensiná-lo a enfrentar situações novas.

• Oferecer oportunidades ao aluno de se envolver com as aplicações da matemática.

• Tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras.

• Proporcionar condições para que o aluno desenvolva estratégias de resolução. 11

Tipos de problemas

• Exercício de reconhecimento: tem o objetivo de fazer com que o aluno reconheça (identifique, lembre) um conceito, procedimento, fato específico, técnica etc.

Exemplos:

a)Dois quilogramas equivalem a quantos gramas?

b)O que é um número primo?12

Tipos de problemas

• Exercício de algoritmos: pode ser resolvidos passo a passo, através da utilização de certos algoritmos (adição, subtração etc); objetiva treinar habilidades na execução de algoritmos.

Exemplos:

a)Calcule o valor da expressão . . .

b)Efetue a operação 456 : 3.

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Tipos de problemas• Problema-padrão (convencional): envolve a

aplicação direta de um ou mais algoritmos (previamente aprendidos); não exige qualquer estratégia.

Exemplos:a)Maria tinha três estojos de lápis de cor com

12 lápis em cada. Como perdeu 3 lápis, com quantos ficou?

b)Meu pai tem 30 anos a mais que eu. Se somarmos nossas idades, o resultado é 42. Quantos anos tenho? 14

Tipos de problemas• Problema-processo (heurístico ou não

convencional): desenvolve no aluno a capacidade de planejar, elaborar estratégias gerais de compreensão do problema, tentar soluções e avaliar a adequação do raciocínio desenvolvido e os resultados encontrados; preocupa-se em valorizar o processo.

Exemplo:Os integrantes de um grupo contendo 6 alunos desejam se dividir em grupos de 2 para realizar um trabalho solicitado pela professora. De quantas formas diferentes eles poderão efetuar essa divisão? 15

Tipos de problemas• Problema de aplicação (situação-problema ou

problema do cotidiano): é elaborado a partir de situações do dia-a-dia dos alunos; requer a utilização de conceitos, técnicas e processos matemáticos; também preocupa-se em valorizar o processo.

Exemplos:a)Estimar o gasto a mais acarretado por um

vazamento de água na residência de determinado aluno.

b)Calcular a quantidade de tinta necessária para pintar uma parede a partir de informações sobre as dimensões dessa parede e sobre o rendimento da tinta que será utilizada.

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Problema de aplicação (cotidiano)

• Exige conhecimento específico.• Incentiva a coleta de informações e organização

dos dados.• Promove a construção e análise de

tabelas/gráficos/esquemas.• Mostra a necessidade de utilização de cálculos

envolvendo diferentes unidades de medidas.• Requer avaliação dos resultados e elaboração

de relatório com as conclusões.17

Tipos de problemasProblema de lógica: geralmente se apresenta em forma de textos como histórias e diálogos em que os dados e a solução não são numéricos; propicia que a criança desenvolva estratégias que favoreçam a leitura e compreensão, o levantamento de hipóteses, a análise dos dados e diferentes registros de resoluçãoExemplo:Tenho 10 pilhas contendo 100 tijolos cada. Todos os tijolos têm o mesmo peso, 500g, com exceção dos que estão em uma das pilhas, que pesam 100 g a mais. Utilizando uma balança uma única vez, como posso descobrir em qual das pilhas estão os tijolos mais pesados?

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Tipos de problemasProblema recreativo: é caracterizado como aquele que envolve jogos do tipo quebra-cabeças, aspectos históricos curiosos que interessam, intrigam, envolvem e desafiam os alunos; envolve a criatividade e a possibilidade de encontrar uma ou várias soluções para um único problema, odesenvolvimento de estratégias e diferentes registros.

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Vídeo

Resolução de problemas (medidas e cálculos)

Crédito: Revista Nova Escola – Editora Abril

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Interatividade(Adaptação do Program Pró-letramento do MEC)

Em uma comunidade ribeirinha, que vive praticamente da pesca, a professora propõe o seguinte problema:

“Zé Pedro pescou 3 peixes de manhã e 2 peixes no final da tarde. Quantos peixes Zé Pedro pescou?”

•Que tipo de problema é esse?•Discuta e proponha um problema para os alunos dessa comunidade.

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Vídeo

Matemática no sítio

[Matemática em toda parte]

Crédito: TV Escola – Ministério da Educação

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12540

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Interatividade• Na sua opinião, qual é a importância dos

problemas no ensino da matemática?

• Você costuma utilizar problemas em sua aula?

• Com que frequência?

• Com que tipo de problema você costuma trabalhar?

• Que avaliação você faz com relação àutilização dessa estratégia em sala de aula, no que se refere à motivação do aluno?

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Etapas de resolução de problemas

• Compreensão do problema

• Elaboração de um plano

• Execução do plano

• Realização do retrospecto ou verificação

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Problema 1(Adaptação de atividade da revista Nova Escola)

“Um campo de futebol é drenado por dois jardineiros em seis horas. Qual o tempo necessário para apenas um jardineiro drenar um terço do mesmo campo de futebol?”

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Problema 1Primeira etapa• Primeiramente, deixe que os alunos tentem

resolver o problema, em grupos.• Em seguida faça a pergunta intermediária: “Em

quanto tempo apenas um jardineiro executaria a tarefa de drenar o campo de futebol?”

• Promova discussão entre os grupos sobre as informações utilizadas e as estratégias para se chegar a elas.

• Pergunte aos alunos qual a relação entre os dois problemas propostos e qual é a vantagem de dividir a resolução em etapas. 26

Problema 1Segunda etapa• Mostre como a regra de três simples pode ser

utilizada na resolução desse problema, destacando as grandezas inversamente proporcionais tempo e número de jardineiros.

• Sabendo que um jardineiro gasta doze horas para drenar o campo inteiro, o aluno não terádificuldade para determinar quanto tempo gasta para drenar um terço do campo.

• Proponha outros problemas de regra de três composta.

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Problema 2(Enem 2009 - adaptado) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, qual foi a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado? 28

Problema 3(Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? 29

Interatividade

Que estratégia você propõe resolver esse problema?

Como você o classifica?

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Problema 4O dono de uma loja deseja distribuir um prêmio de R$ 1.000,00 entre seus dois funcionários, Celso e Enzo. O primeiro já está há 4 anos na loja e o segundo completou 18 meses. No último ano, Celso faltou 3 vezes e Enzo apenas uma vez. Se você fosse o dono dessa loja, como você dividiria esse prêmio? Explique seus motivos.

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Problema 4• Proponha aos alunos que discutam formas de

distribuição, sempre justificando os motivos da escolha.

• Estimule-os, com perguntas, a pensar em uma forma de distribuição que leve em consideração o tempo de serviço na loja e o número de faltas no último ano.

• Peça aos alunos que façam uma análise com relação à variação das grandezas envolvidas no problema (direta ou inversa).

• Desafie seus alunos a encontrarem estratégias diferentes de resolução.

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Vídeo

Matemática no transporte [Matemática em toda parte]

Créditos: TV Escola – Ministério da Educação

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Problema 5(Disponível em: http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/ed_p01.html)O inspetor Cameron entra na sala e encontra o corpo de uma mulher. Quatro pessoas estavam na sala quando as luzes se apagaram logo antes do crime. Uma destas pessoas é o assassino. No depoimento à polícia, os suspeitos declaram o seguinte: Alice: Eu sei quem a matou.Ben: Eu a matei.Carol: Ben a matou.

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Problema 5Donald: Eu sei que Ben e Carol não são culpados.A investigação revela que nenhum dos suspeitos é confiável e Cameron corretamente conclui que todos estão mentindo. De qualquer forma, o inspetor descobre o assassino. Quem matou a mulher? (Caso esse problema esteja muito fácil, tente resolvê-lo supondo que o inspetor soubesse que apenas um dos suspeitos estámentido.)

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Problema 6 Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.

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Problema 6 Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria a) manter sua proposta.b) oferecer 4 máquinas a mais.c) oferecer 6 trabalhadores a mais.d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.

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Problema 7(Enem 2009 – versão 1) Segundo a Associação Brasileira de Alumínio (ABAL), o Brasil foi campeão mundial, pelo sétimo ano seguido, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5% do que foi utilizado no mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhão de reais anuais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando assim um “emprego” e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. 38

Problema 7Essa renda, em muitos casos, serve como complementação do orçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família.Revista Conhecimento Prático Geografia, no 22 (adaptado)

Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira em torno de a) R$ 173,00 b) R$ 242,00 c) R$ 343,00 d) R$ 504,00 e) R$ 841,00

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Sugestões de links• Sugestão de aula - Netname:http://www.netname.com.br/conteudo/pagina/0,6313,E

MB-636-2632-,00.html

• Como resolver problemas matemáticos -Netname:

http://www.netname.com.br/bcoresp/bcoresp_mostra/Matematica/0,6674,EMB-972-7577,00.html

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Sugestões de links• Problemas, história e relação entre temas

matemáticos:http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/pitagoras

.html

• Matemática Recreativa e o Centenário do Almanaque Bertrand* :

http://files.fisica-interessante.com/matematica_divertida_almanaque_bertrand.pdf

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Referências BibliográficasBRASIL. Secretaria de Educação Básica. Pró-letramento: programa de formação continuada de professores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Brasília, 2007. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental.Parâmetros curriculares nacionais : matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília :MEC/SEF, 1997.

BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira: ENEM – Brasília :MEC. Disponível em: http://enem.inep.gov.br/enem.php

Referências BibliográficasBUSHAW, D.; BELL, M.; POLLAK, H.; THOMPSON, M.; USISKIN, Z. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.

DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas. 9ª

ed. São Paulo: Ática, 1997.

MACHADO, N. J. Matemática e realidade: análise dos pressupostos filosóficos que fundamentam o ensino da matemática. 4a ed. São Paulo: 1997.

TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de Matemática: como dois e dois: a construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.