1. FICHA DE IDENTIFICAÇÃO – TURMA – PDE/2012

TÍTULO: O ensino de Geometria Fractal por meio da utilização do software geogebra:

Descobertas e construções.

AUTOR Adriana Fernandes de Matto

DISCIPLINA/ÁREA (ingresso no PDE) Matemática

ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO DO

PROJETO E SUA LOCALIZAÇÃO

Colégio Estadual José de Anchieta-Ensino

Fundamental e Médio.

MUNICÍPIO DA ESCOLA Quedas do Iguaçu

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO Laranjeiras do Sul

PROFESSOR ORIENTADOR Maria Regina C. M. Lopes

INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR UNICENTRO-GUARAPUAVA

RESUMO A Unidade Didática proposta visa verificar a

viabilidade do estudo da Geometria Fractal

na educação básica, utilizando o software

geogebra. Este conteúdo recente faz parte

das geometrias não-euclidianas e está

previsto nas Diretrizes Curriculares da

Educação Básica, para ser trabalhado nas

salas de aula, nos ensinos Fundamental e

Médio. Nesse sentido, será proposta uma

oficina pedagógica no laboratório de

informática do Colégio Estadual José de

Anchieta-EFM, localizado em Quedas do

Iguaçu, para um público alvo de

aproximadamente 20 professores da área

de Matemática, totalizando 32h/a, onde

serão abordados os fundamentos da

Geometria Fractal; a construção de fractais

famosos utilizando a malha quadrangular e

as primeiras iterações de alguns fractais

famosos no software geogebra, bem como a

exploração dos cálculos da dimensão,

perímetro e área de cada figura.

PALAVRAS-CHAVE Geometria Fractal; Conteúdos Matemáticos;

Geogebra.

FORMATO DO MATERIAL DIDÁTICO Unidade Didática

PÚBLICO ALVO DO MATERIAL DIDÁTICO Professores de Matemática da rede pública

de Quedas do Iguaçu

UNIDADE DIDÁTICA

O ENSINO DE GEOMETRIA FRACTAL POR MEIO DA UTILIZAÇÃO DO

SOFTWARE GEOGEBRA: DESCOBERTAS E CONSTRUÇÕES.

2. APRESENTAÇÃO

O presente trabalho tem a finalidade de verificar junto aos professores de

matemática da educação básica de Quedas do Iguaçu se consideram possível

inserir na sua prática pedagógica o estudo da Geometria Fractal, utilizando o

software geogebra. Para essa pesquisa o formato do material didático escolhido é a

unidade didática, que tem como característica desenvolver o tema, e aprofundá-lo

de forma teórica e metodológica.

A Geometria Fractal da qual se refere à pesquisa surgiu para representar

formas da natureza que não se enquadram nos padrões da geometria clássica,

possibilitando a compreensão dessas formas em termos de dimensão e

complexidade. As figuras fractais são objetos geométricos que podem ser divididos

em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original.

Esse conteúdo novo da área das Geometrias surgiu nas escolas porque as

Diretrizes Curriculares (2008, p. 56-57) preveem que o aluno deva compreender a

noção de Geometria Fractal desde o Ensino Fundamental, e no Ensino Médio deve-

se aprofundar os estudos das noções de geometrias não-euclidianas, sendo que na

parte específica da geometria dos fractais pode-se explorar: “ o floco de neve e a

curva de Koch; triângulo e tapete de Sierpinski, conduzindo o aluno a refletir e

observar o senso estético presente nessas entidades geométricas, estendendo para

as suas propriedades,... ”

Para Salvador, (2009, p. 3)

“Além das conexões e possibilidades de estudos de modelos mais realistas dos elementos da natureza do que a Geometria Euclidiana e as Geometrias não-Euclidianas, a Geometria Fractal não dispensa os conhecimentos delas, mas pode complementá-las tornando-as mais ricas e interessantes. Com a beleza gerada pelos fractais, nasce o despertar para a surpresa, para o desenvolvimento da criatividade e para o envolvimento da arte possibilitando investigações de conjecturas e uma aprendizagem significativa de muitos conceitos matemáticos.”

Para tanto, a geometria dinâmica representada pelos softwares na área é um

recurso interessante para o aprendizado da geometria dedutiva. Nas construções

pode-se, portanto, levantar conjecturas, verificar propriedades, demonstrar

teoremas, tudo pela experimentação e criação de objetos geométricos.

Sobre o programa geogebra, Geraldes (2006) citado por Macedo reforça que

...é um software de geometria dinâmica, criado por Markus Hohenwarter, com o objetivo educacional e que possibilita o trabalho com a geometria, álgebra e cálculo. Este programa registra os procedimentos realizados durante a construção, mostra representações que seriam impossíveis pelo método tradicional utilizando o quadro e o giz. É um instrumento muito rico e deve ser explorado pelos professores de Matemática uma vez que já o temos implantado nos computadores das Escolas Públicas do Paraná. (MACEDO, 2008, p.3).

A Geometria Fractal, portanto, será abordada, utilizando o software geogebra

em uma oficina pedagógica a ser realizada com professores do Colégio Estadual

José de Anchieta e demais professores de Matemática do município de Quedas do

Iguaçu que estejam interessados no assunto, perfazendo um total de 32 h/a. Esta

oficina terá como objetivos: embasar os fundamentos sobre Geometria Fractal;

inserir nas práticas pedagógicas alternativas simples para construção de fractais,

como uso da malha quadrangular; construir as primeiras iterações dos fractais

famosos no software educacional geogebra: Conjunto de Cantor, Curva de Peano,

Curva de Koch, Floco de Neve de Koch, Quadrado de Koch, Triângulo de Sierpinski

e Tapete de Sierpinski; e motivar os professores com estratégias de ensino para

desvendarem os conhecimentos matemáticos que as estruturas fractais possibilitam,

tais como, cálculo da dimensão, perímetro e área.

Outras observações podem ser evidenciadas e aprofundadas com os fractais

como, a propriedade de auto-similaridade e o grau de complexidade gerado pelas

sucessivas iterações, características que fazem dos fractais objetos que denotam

curiosidade e encantamento. No caso da Geometria Fractal “O despertar e

desenvolver do senso estético pode muito bem ser cuidado e aproveitado com o

tema Fractais, quer apreciando o belo irradiante, quer observando a regularidade

harmoniosa nas suas próprias irregularidades”. (BARBOSA, 2005, p.14). E claro,

além da estética, os fractais têm uma grande aplicabilidade na área Matemática e

em outras áreas do conhecimento.

Como visto a unidade didática a seguir usará metodologias diferenciadas

como o software geogebra, vídeos, aplicativos da internet e material manipulável, o

que permitirá aos professores e alunos à comprovação prática, uma efetiva

participação, e o despertar do campo das emoções através da criatividade, do

espírito inventivo e do desenvolvimento do senso estético. Espera-se que estas

estratégias metodológicas viabilizem transformações positivas nas aulas de

Matemática e contribuam de forma prática e inovadora para a efetiva aquisição do

conhecimento.

3. MATERIAL DIDÁTICO

A) ATIVIDADE 1

Inicialmente será sugerido um questionário investigativo, com 5 questões para

coleta de dados referente à: metodologia utilizada nas aulas de geometria;

conhecimento e utilização do software geogebra; conhecimento sobre as geometrias

não-euclidianas, em especial a Geometria Fractal; e verificação junto aos

professores se estes conteúdos são trabalhados durante o ano letivo; e em caso

afirmativo, que metodologias são utilizadas para explorar a geometria fractal.

1) Algumas áreas da Matemática são mais apaixonantes e ricas, como é o caso da

geometria que por meio de suas representações, comprovações, teoremas, postulados e

axiomas exploram a visualização e à constatação através da prática, todos subsídios

condicionantes para facilitar o processo de aprendizagem.

Nesse sentido, que metodologia(s) você utiliza nas suas aulas para ensinar

geometria euclidiana de forma dinâmica?

( ) Desenhos utilizando régua e compasso

( ) Construção das figuras com material manipulável

( ) Vídeos do portal Dia a Dia

( ) Tecnologias e multimeios

( ) Software. Qual?___________________________

( ) Outra. Qual?______________________________

2) A geometria dinâmica representada pelos softwares na área é um recurso interessante

para o aprendizado da geometria dedutiva. Nas construções podem-se levantar conjecturas,

verificar propriedades, demonstrar teoremas, tudo pela experimentação e criação de objetos

geométricos.

Você professor conhece e utiliza nas suas aulas de geometria o software livre

geogebra?

( ) Conheço e utilizo

( ) Conheço, mas não utilizo

( ) Desconheço

3) No final do século XVIII e início do século XIX o conhecimento geométrico foi expandido

pelos estudos de Bolyai, Lobachevsky, Riemann e Gauss, surgiram então, as geometrias

não-euclidianas que compreendem a “ geometria projetiva (pontos de fuga e linhas do

horizonte); a geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança,

conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e a geometria dos fractais”. (PARANÁ,

2008, p.56).

Dentre os conteúdos das geometrias não-euclidianas, assinale os que são

trabalhados durante o ano letivo:

( ) geometria projetiva

( ) geometria topológica

( ) geometria dos fractais

( ) nenhuma das geometrias não-euclidianas

4) Inserida no conteúdo estruturante Geometrias, as Diretrizes Curriculares (2008, p. 56-57)

preveem que o aluno deva compreender a noção de Geometria Fractal desde o Ensino

Fundamental, aprofundando-a no Ensino Médio em nível de abstração mais complexo.

Você professor conhece e trabalha o conteúdo Geometria Fractal em suas aulas?

( ) Desconheço o assunto e não trabalho em sala

( ) Conheço o assunto, mas não trabalho em sala

( ) Conheço o assunto e trabalho em sala

5) Caso trabalhe durante o ano letivo o conteúdo Geometria Fractal, que

metodologia(s) você utiliza em suas aulas?

( ) Desenhos utilizando régua e compasso

( ) Construção das figuras com material manipulável

( ) Vídeos do portal Dia a Dia

( ) Tecnologias e multimeios

( ) Software. Qual?___________________________

B) ATIVIDADE 2

Para iniciar a oficina pedagógica será proposto aos professores a introdução

do tema Geometria Fractal, através do vídeo selecionado no Portal Dia a Dia

Educação “Fractales y Caos” 1 (Adicionado em 28/04/2009), com duração de

11min46seg, o vídeo original é em espanhol, porém em 2008 foi feita a narração em

língua portuguesa pelo acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática

Alexandre Pereira Salgueirinho. Esse vídeo faz uma análise das irregularidades de

alguns elementos da natureza, que não se enquadram nas formas da geometria

clássica; apresenta a introdução da Geometria Fractal, e a define como uma nova

ferramenta para interpretar e explorar a natureza; demonstra a propriedade da auto-

similaridade, e as diferenças entre as dimensões da geometria euclidiana e as

obtidas na geometria fractal; explica os cálculos para se obter a dimensão fractal;

demonstra o processo de iteração através da construção do Floco de Neve de Koch

e do Triângulo de Sierpinski; destaca a função complexa que gera o Conjunto de

Julia, e fundamenta a construção do Conjunto de Mandelbrot.

Na sequência, abordar sobre a Geometria Fractal, seu processo histórico,

definições, características, exemplos de fractais primitivos e aplicação dos fractais

no campo científico. Será usada como metodologia a apresentação em slides.

Abaixo seguem os conteúdos que serão abordados:

1 O link para acesso do vídeo é http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.

php?id=13047

GEOMETRIA FRACTAL

Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (2008, p.55) por volta

de 300 a.C., Euclides (325-265 a.C.) sistematizou o conhecimento geométrico

produzido até então na sua obra Elementos, dando cientificidade à Matemática,

constitui-se então, a chamada Geometria Euclidiana que engloba as geometrias

plana e espacial, bases fundamentais para estudo até os dias atuais.

Ao longo do tempo surgiram dúvidas sobre sua consistência, relacionadas em

grande parte ao quinto postulado de Euclides, de acordo com os estudos de Valim

(2008, p.1). Os matemáticos que buscaram demonstrar este postulado verificaram

através de seus estudos que o quinto postulado poderia ser rejeitado e substituído,

definindo as bases fundamentais para o surgimento de novas geometrias. Sendo

assim, as Diretrizes Curriculares (2008, p. 55-56) apontam que no final do século

XVIII e início do século XIX o conhecimento geométrico foi expandido pelos estudos

de Bolyai, Lobachevsky, Riemann e Gauss, surgiram então, as geometrias não-

euclidianas que compreendem a geometria projetiva (pontos de fuga e linhas do

horizonte); a geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira,

vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e a geometria dos

fractais.

A Geometria Fractal surgiu da necessidade de se representar os fenômenos

que envolvem a natureza, bem como suas formas que não se enquadram nos

padrões da Geometria Euclidiana. Essa Geometria busca definir padrões em meio a

irregularidades fragmentadas, para calcular as medidas dessas figuras que diferem

da dimensão topológica tradicional. Nesse sentido, os estudos de Barbosa (2005,

p.9) reafirmam que a Geometria Fractal está intimamente ligada a uma nova ciência

conhecida como CAOS, que busca padrões definidos e regulares em sistemas a

princípio aleatórios e caóticos, como é o caso das estruturas fractais.

O rápido aprimoramento das técnicas computacionais impulsionaram os

estudos de Benoit Mandelbrot e o levaram em 1975 a publicar seu livro intitulado

“Les objects fractals, forme, hassard et dimension” considerado o marco inicial para

essa teoria. As figuras complexas de suas pesquisas, conhecidas até então por

“monstros matemáticos” passaram a se chamar fractais, “... baseando-se no latim,

do adjetivo fractus, cujo verbo frangere correspondente significa quebrar, criar

fragmentos irregulares, fragmentar”. (BARBOSA, 2005, p.9).

Como afirma BARBOSA (2005, p.45-46), Pierre Fatou (1878-1929) e Gaston

Julia (1893-1978) foram dois franceses que separadamente realizaram trabalhos em

sistemas dinâmicos complexos, com o estudo de iterações de funções. Focaram

seus estudos na função f(z) = z2 + c (z complexo inicial e c complexo constante),

realizaram um trabalho fabuloso, numa época em que não existia tecnologia

desenvolvida, contribuindo dessa forma com as bases matemáticas para que

Mandelbrot construísse em 1980 com o auxílio da computação gráfica seu famoso

Conjunto de Mandelbrot (figura 1) e os famosos Conjuntos de Julia (figura 2).

As figuras fractais são tão complexas e abrangentes que as definições que

existem até agora sobre fractais ainda são consideradas pelos próprios matemáticos

como incompletas, Barbosa (2005, p.18-19) compila as principais em:

Barbosa (2005, p.18-19) compila as principais definições para fractais, mesmo

que ainda não se tenha uma definição considerada completa pelos estudiosos:

Para Mandelbrot “um fractal é, por definição, um conjunto para o qual a

dimensão Hausdorff - Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica”.

J. Feder (1988) em sua obra complementa que “um fractal é uma forma cujas

partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos”.

K.J. Falconer sugere em suas obras (1985 e 1990) que um conjunto F é fractal

se, por exemplo:

- “F possui alguma forma de “auto-similaridade” ainda que aproximada ou

estatística”;

- “A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão

topológica”;

Figura11: Imagem do Conjunto de Julia

Figura 1: Imagem do Conjunto de Mandelbrot Figura 2: Imagem do Conjunto de Julia

Fonte: http:/matimage.blogspot.com Fonte:http://commons.wikimedia.org/

Figura11: Imagem do Conjunto de Julia

- “O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou

iterativo”.

De acordo com as definições apresentadas, os fractais possuem três

particularidades próprias, a primeira e mais importante é a da auto-similaridade, ou

seja, cada ínfima parte que forma o fractal é semelhante ao todo, são repetições de

si próprio. De modo análogo Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986, p.10)

denotam que “Uma forma que se repete dentro de si mesma de maneira semelhante

e independente de proporção ou escala é denominada auto-similar”.

Para Almeida; Martinelli; Rodrigues; Silva (p.3) “A auto-similaridade

aproximada ou estatística refere-se principalmente a objetos da natureza que não

são fractais exatos, mas podem ser muito bem descrito por eles, como por exemplo,

a estrutura da couve-flor”. Na figura 3 está ilustrada uma folha de samambaia, outro

exemplo de auto-similaridade encontrada na natureza, retirada do trabalho de

Salvador (2009, p. 4).

Figura 3: Os níveis fractais em cada ramo de uma Pteridófita.

Fonte: Salvador, 2009.

A segunda peculiaridade de acordo com o Guia do Professor – Fractais

(2010) é que

A dimensão dos fractais, ao contrário do que sucede na geometria euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira. Com efeito, ela pode ser uma quantidade fracionária. A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade. (PARANÁ, 2010, p.4).

Observa-se na dimensão fractal que o número encontrado é usualmente

fracionário e está relacionado a questões como “... aspereza, espessura, densidade,

textura etc.” (BARBOSA, 2005, p.66), diferenciando-se da classificação euclidiana

onde a dimensão espacial é sempre igual à topológica, e sendo definido de forma

padronizada: 0 para ponto, 1 para reta, 2 para superfícies planas e 3 para figuras

espaciais.

Quanto à terceira propriedade, a da complexidade dos fractais, Serra e Karas

(1997, p.19-20) apontam que esta se acha intrincada com a ideia de caos. Quando

um objeto denota a princípio um padrão de desordem e irregularidade, dizemos que

é caótico, parecendo que não há lógica na formação da estrutura observada, como

ocorre com os fractais gerados por sistemas dinâmicos complexos. Na verdade,

estes são totalmente determinísticos, pois suas órbitas provêm primeiro, de uma

função que governa o sistema e segundo, do valor inicial que a variável assume.

As estruturas fractais devido às propriedades estudadas, importância e

aplicabilidade em diversas ciências se tornaram amplamente difundidas. Por

exemplo, as aplicações dos fractais na área da Educação Matemática vão desde a

simples apreciação das magníficas estruturas, motivando assim a busca pelo

conhecimento inerente a elas, até o desenvolvimento do raciocínio lógico, através da

exploração dos conceitos básicos da Geometria Euclidiana, do cálculo de dimensão,

perímetro e área, logaritmos, números complexos, sequências, porcentagem,

utilização de fórmulas e funções, noção de intervalos e conjuntos entre outros.

Os autores, Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986, p.7) referenciam

as aplicações dos fractais em outras ciências, como por exemplo, na meteorologia

para previsão de tempo; em mineralogia – prospecção de petróleo; na cristalografia;

na metalurgia para melhoramento das ligas; na fisiologia para detecção de

problemas cardíacos, intestinais, pulmonares; na geografia para estudo dos litorais,

correção de fronteiras entre países; na hidrologia – bifurcação de rios; nas artes,

podendo ser no cinema, através de efeitos especiais ou, na música como recurso

para composição e análise de peças eruditas.

Os autores afirmam ainda que os sistemas dinâmicos complexos, que geram

fractais por meio de processos iterativos na computação gráfica, são modelos

matemáticos que podem descrever vários fenômenos como: o movimento dos

planetas em torno do sol; as variações de temperatura, direção e velocidade do

vento; a pressão barométrica; quantidade de precipitação; reações químicas;

turbulência de fluídos; fenômenos ópticos; flutuações da bolsa de valores; preveem

o comportamento de conexões interindustriais; as vibrações de um avião em pleno

ar; a propagação de epidemias; além da compressão de arquivos de imagens.

C) ATIVIDADE 3:

CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL

Para entendermos a dimensão fractal, precisamos relembrar que na

geometria euclidiana, a dimensão espacial é sempre igual à topológica. Enquanto

que, na estrutura fractal, a dimensão espacial excede a topológica e o número

encontrado é usualmente fracionário.

Souza (2010, p.61) citado por SILVA (2011, p.87), salienta que a dimensão

fractal pode ser obtida através de diferentes métodos como: Dimensão de homotetia

ou de auto-similaridade; Dimensão de contagem de caixas ou de cobertura e

Dimensão de Hausdorff-Besicovitch. Souza e Barbosa (2005, p.66) optaram em

detalhar apenas o primeiro método.

Será apresentado a seguir os cálculos da dimensão de fractais geométricos2,

2 O processo de desenvolvimento e os cálculos foram adaptados do livro “Noções de Geometrias não

Euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais”, de Karolina Barone Ribeiro da Silva (p.86-89).

possíveis pelo método de homotetia ou de auto-similaridade, como sugere SILVA

(2011, p.87), que embasa os desenvolvimentos a seguir.

Considere um segmento de reta de comprimento x e divida-o em p partes

iguais (congruentes). Usaremos como exemplo p = 3:

a) O segmento é dividido em 3 partes iguais, n = 3 e a razão de semelhança é r = ⅓

.

Qual a relação entre o número de partes obtidas e a razão de semelhança?

b) Para que o aluno entenda o que é dimensão e seu processo de cálculo, sugere-se

que a sequência seja demonstrada na reta, na figura plana e na figura espacial.

Considere um quadrado de lado l e divida cada lado em p partes iguais.

Qual a relação entre o número de quadrados e a razão de semelhança?

16 = 1 , ou seja, n = 1

¼ r2

x/3 x/3 x/3

x

x

Cada parte tem razão de

semelhança r = ⅓.

.

3 = 1 , ou seja , n = 1

⅓ r

Nesse caso usar p = 4.

Observe que são obtidos n = 16 quadrados,

tendo como razão de semelhança r = ¼ .

2

c) Considere um cubo de aresta A e divida cada aresta em p partes iguais.

Nesse caso usar p = 2.

São obtidos 8 cubos iguais com razão de semelhança

r = ½ .

Qual a relação entre o número de cubos obtidos e a razão de semelhança?

8 = 1 , ou seja, n = 1

½ r3

O expoente das razões de semelhança representa a dimensão de cada figura.

n = 1

rD

Aplicando logaritmo nos dois membros temos,

log n = log 1

rD

log n = log 1 – log rD

log n = 0 – D. log r

Lembrando-se que n (nº de partes que foi dividida a figura ) com nível ≠ 0 e r

(razão de semelhança de cada parte ).

Esta fórmula será usada para calcular a dimensão fractal das figuras

propostas nesta unidade didática.

3

log n = - D

log r

D = - log n

log r

D) ATIVIDADE 4: CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DE CANTOR E DA CURVA

DE PEANO NA MALHA QUADRANGULAR

Serão construídos na malha quadrangular do geogebra dois fractais que

surgiram antes da computação gráfica, o Conjunto de Cantor e a Curva de Peano, e

explorados os conteúdos matemáticos referentes a eles. Como sugestão de

atividade extraclasse será sugerida a construção da Curva de Hilbert.

Fazendo um resgate histórico dos fractais primitivos, temos segundo Silva

(2011, p.76), que o conjunto chamado “Conjunto de Cantor” ou “Poeira de Cantor”,

considerado um “monstro matemático”, foi construído em 1883, por Georg Cantor

(1845-1918), matemático russo que se naturalizou alemão.

Outro matemático o italiano Giuseppe Peano (1858-1932) publica em 1890 a

sua curva, com dimensão fractal igual a dois, o que nos leva a duas afirmações

segundo Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986, p.28), “A primeira é que a

curva cobre completamente o plano e a segunda diz que precisa haver uma

infinidade de pontos nos quais ela se intercepta.” Essa auto interceptação torna

impossível a determinação do caminho que a Curva de Peano percorre.

A construção do Conjunto de Cantor, e os cálculos referentes a ele, bem

como a construção da Curva de Peano serão embasadas no vídeo do Portal Dia a

Dia Educação “Fractais” 3 (Adicionado em 28/11/2011) referente ao Projeto

Prodocência 2006 - MEC/UFPR e CEMAFOP. As construções no vídeo são feitas

em papel quadriculado, uma sugestão é utilizar a malha quadrangular do geogebra

para que os alunos se familiarizem com as ferramentas que serão usadas nas

próximas construções. Sendo assim, segue abaixo na figura 4 a tela inicial do

geogebra - versão 4.2, com os ícones necessários e sua nomenclatura de acordo

com a opção do menu Ferramentas.

3 O endereço online para acesso ao vídeo é: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/

debaser/genre.php?genreid=45&letter=F&start=10 .

Figura 4: Ferramentas do geogebra

CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DE CANTOR NO GEOGEBRA

1. Vamos construir o Conjunto de Cantor seguindo os passos abaixo relacionados:

a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para

isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em

Movimento – Mover

Pontos – Novo ponto

Retas, segmentos, semirretas e vetores – Reta definida por Dois Pontos

Retas Especiais e Lugar Geométrico – Reta Perpendicular

Polígonos – Polígono

Círculos e Arcos – Círculo dados Centro e Um de seus Pontos

Cônicas – Elipse

Medidas – Ângulo

Transformações – Reflexão em Relação a uma Reta

Objetos Especiais – Inserir Texto

Interface Gráfica – Controle Deslizante

Gerais – Mover Janela de Visualização

eixos. Para exibir a malha no geogebra ir à Ferramenta – Exibir - na parte superior

da tela e clicar em malha;

b) Escolher no ícone referente a retas, segmentos, semirretas e vetores - segmento

com Comprimento Fixo4 - clicar na área de visualização marcando o ponto A e na

janela que se abre digitar 27 que será a medida usada para o segmento, sugestão

do vídeo para facilitar a construção;

c) Para fazer o nível 1, dividir o segmento inicial de 27cm em três partes iguais, de

9cm cada e retirar a parte central. E assim, sucessivamente para cada novo

segmento (figura 5);

Figura 5: 3 primeiros níveis do Conjunto de Cantor

4 “Se considerarmos uma reta r e sobre ela marcarmos dois pontos, A e B, distintos, o conjunto de

pontos formado pelo ponto A, pelo ponto B e por todos os pontos da reta que estão entre A e B é chamado segmento de reta”. (GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.125).

CÁLCULOS RELACIONADOS AO CONJUNTO DE CANTOR

Na tabela 1 estão relacionados os cálculos referentes ao Conjunto de Cantor:

Iteração Comprimento de cada segmento para l = 1m

Número de segmentos

Comprimento total

0 1 ou ⅓ 0 1 ou 20

1

1 1/3 ou ⅓ 1 2 ou 21

2.1/3 ou 0,67cm

2 1/9 ou ⅓ 2 4 ou 22

4.1/9 ou 0,44cm

3 1/27 ou ⅓ 3 8 ou 23

8.1/27 ou 0,30cm

4 1/81 ou ⅓ 4 16 ou 24

16.1/81 ou 0,20cm

n ⅓ n 2n

2n. (1/3)n

Tabela 1: Cálculos referentes ao Conjunto de Cantor

Observações:

Se continuássemos indefinidamente as iterações, teríamos no último nível

uma poeira, por isso o nome do fractal “Poeira de Cantor”;

O número de segmentos aumenta após cada iteração tendendo ao infinito,

enquanto a soma tende a zero.

CONSTRUÇÃO DA CURVA DE PEANO NO GEOGEBRA

1. Vamos construir a Curva de Peano seguindo os passos abaixo relacionados:

a) Retirar os eixos, caso apareçam e exibir a malha quadriculada;

b) Escolher no ícone referente a retas, segmentos, semirretas e vetores - segmento

com Comprimento Fixo - clicar na área de visualização marcando o ponto A e na

janela que se abre digitar 27 que será a medida usada para o segmento, sugestão

do vídeo para facilitar a construção;

d) O nível 1 consiste em tomarmos a terça parte média do segmento e construir

sobre ele 2 quadrados. Como o segmento mede 27cm, os quadrados terão lados

iguais a 9cm. Para isso selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar na

área de visualização demarcando os pontos C e D e na janela que se abre digitar 4

para indicar um quadrado5. Repetir o processo e clicar sobre os pontos na ordem

inversa, ou seja, D e C, e na janela que se abre digitar 4 ( figura 6);

Figura 6: Nível 1 da Curva de Peano

e) O nível 2 consiste em dividir cada um dos 9 segmentos novamente determinando

sua terça parte média, e construir novos quadrados sobre elas, e assim,

sucessivamente para os demais níveis ( figura 7);

5 “Quadrado é um quadrilátero que possui os quatro ângulos e os quatro lados de mesma medida”.

(GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.137).

Figura 7: Nível 2 da Curva de Peano

CÁLCULOS RELACIONADOS À CURVA DE PEANO

Na tabela 2 estão os cálculos referentes à Curva de Peano:

Iteração Comprimento de cada segmento para l = 1m

Número de segmentos

Comprimento total

0 1 ou ⅓ 0 1 ou 90 1

1 1/3 ou ⅓ 1 9 ou 91 9.1/3 ou 3 cm

2 1/9 ou ⅓ 2 81 ou 92 81.1/9 ou 9 cm

3 1/27 ou ⅓ 3 729 ou 93 729.1/27 ou 27 cm

4 1/81 ou ⅓ 4 6561 ou 94 6561.1/81 ou 81 cm

n ⅓ n 9n 3n

Tabela 2: Cálculos referentes à Curva de Peano

E) ATIVIDADE 5: CONSTRUÇÃO DA CURVA DE KOCH NO GEOGEBRA6

Helge Von Koch foi um matemático polonês que apresentou em seus

trabalhos de 1904 e 1906 a Curva de Koch, sem tangente e passível de

modificações. Esta curva deve ter influenciado o trabalho de Mandelbrot, pois se

assemelha a uma linha costeira, como sugere BARBOSA (2005, p. 38).

1. Vamos construir a Curva de Koch seguindo os passos abaixo relacionados:

a) Remover o plano cartesiano;

b) Escolher no ícone referente a retas, segmentos, semirretas e vetores - segmento

definido por dois pontos - criar na área de visualização um segmento de reta ,

como mostra a figura 8;

c) Será necessário dividir o segmento de reta em três partes iguais, para isso

usaremos a divisão pelo processo da circunferência7. Na construção do Floco de

Neve de Koch, na sequência, usaremos uma metodologia diferente, a divisão pelo

Teorema de Tales, dando oportunidade para o professor explorar diferentes

conteúdos da geometria euclidiana.

Para tanto, selecionar no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio – clicar

no ponto A e quando abrir a janela pedindo o raio, digitar a/3, o que significa que o

raio será à ⅓ parte do segmento AB (figura 9);

6 O processo de construção da Curva de Koch foi embasado no vídeo http://www.youtube.com/

watch?v=Zd EhqhSpTG4. Acesso em 15/11/12.

7 “... uma circunferência é uma linha fechada em um plano, em que todos os seus pontos estão a uma

mesma distância de um ponto fixo, chamado centro. Já um círculo é formado pela circunferência e por todos os pontos de seu interior”. (RIBEIRO, 2010, p.129).

AB

Figura 8: Nível 0 da Curva de Koch

d) Clicar no ponto B e quando abrir a janela pedindo o raio, digitar a/3 novamente;

e) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – e nos pontos de

encontro do círculo com o segmento AB marcar os pontos C e D, clicando sobre

eles;

f) Escolher no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e um de seus pontos -

criar um círculo clicando no ponto C e raio até o ponto A. Criar outro círculo clicando

no ponto D e raio até o ponto B;

g) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar o ponto E que é

o ponto de encontro dos dois círculos do item anterior, sobre o segmento este

ponto será o vértice do triângulo equilátero8 CED (figura 10);

8 “Triângulo equilátero: quando possui os três lados com a mesma medida”. (GIOVANNI;

CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.136).

AB,

es,,

Figura 9: Círculo com raio ⅓

Figura 10: Divisão do segmento

h) Escolher no ícone referente a gerais – exibir/esconder objeto – clicar sobre os

quatro círculos e o segmento (que ficarão em negrito), ir ao primeiro ícone e

clicar sobre a flecha (mover), deixando na área de visualização apenas os pontos A,

B, C, D e E (figura 11);

i) Escolher no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido por

dois pontos – criar os segmentos ;

j) Clicar sobre o segmento com o botão direito do mouse, e na janela que se

abre clicar em propriedades cor branco fechar. Esse processo fará com

que a base do triângulo fique oculta (figura 12);

O geogebra possibilita a criação de uma nova ferramenta que repete todo o

processo de construção, o que chamamos de iteração (repetição), ou seja, uma

macro construção.

AB

AC,

es,,

CE,

es,,

ED,

es,,

CD

;,

DB,

es,,

CD

;;,

CD

;;,

Figura 11: Pontos Curva de Koch

Figura 12: Nível 1 da Curva de Koch

k) Para realizar esse processo selecionar na parte superior da tela, no ícone

ferramentas – criar uma nova ferramenta – no quadro que se abre aparecerá –

Objetos Finais – será preciso inserir todos os objetos da construção. Para isso, clicar

sobre cada objeto na área de visualização, ou selecioná-los na lista de objetos, são

eles os pontos C, D, E e os segmentos b, g, h, i, j .

l) Clicar em próximo e aparecerão automaticamente nos Objetos Iniciais, os pontos A

e B;

m) Clicar em próximo e aparecerá um quadro para nominar a ferramenta, como

sugestão pode ser Curva de Koch. Depois clicar em concluído. A nova ferramenta

aparecerá como sendo o décimo terceiro ícone da parte superior;

n) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta Curva de Koch e em

seguida sobre os pontos A e C, aparecerá a curva novamente. É preciso esconder o

segmento p, para isso repetir o processo do passo j, já mencionado;

o) Repetir o processo do passo n para os segmentos (figura 13);

Para se obter o fractal, as iterações seguem infinitamente, mas no geogebra elas

são limitadas. O fractal Curva de Koch será representado até a terceira iteração.

ED, CE, DB

Figura 13: Nível 2 da Curva de Koch

p) Seguindo o passo n, aplicar a ferramenta Curva de Koch nos segmentos

assim a terceira iteração como mostra a figura 14.

CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DA CURVA DE KOCH9

Nível 0 Nível 1

No nível 1 o segmento é dividido em 4 partes, n = 4 e a razão de

semelhança é r = ⅓. Usando a fórmula da dimensão, temos,

9 Os cálculos sobre dimensão fractal das figuras abordadas neste material foram embasados no livro

Noções de Geometrias não Euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais, de Karolina Barone Ribeiro da Silva, p.86-89.

AF,

es,,

FH,

es,,

HG,

es,,,

GC , CI,

es,,,

IK,

es,,

KJ,

es,,

JE,

es,,

EL,

es,,

LN,

es,,

NM,

es,,,

MD,

es,,,

DO,

es,,,

OQ,

es,,,

QP,

,

PB,

es,,

obtendo - se

Figura 14: Nível 3 da Curva de Koch

D = - log n D = - 2. log 2

log r - 0,4771

D = - log 4 D = - 0,602

log ⅓ - 0,4771

D = - log 22 D = 1,262

log 1 – log 3

OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS À CURVA DE KOCH10

A tabela 3 refere-se aos cálculos da Curva de Koch:

Nível da Curva Quantidade de

segmentos

Comprimento da

Curva para c =1m

Comprimento

total para c =1m

0 1 ou 40 ⅓ 0 = 1 1. ⅓ 0 = 1

1 4 ou 41 ⅓ 1 = 0,33 4. ⅓ 1 = 1,333

2 16 ou 42 ⅓ 2 = 0,111 16. ⅓ 2 = 1,777

3 64 ou 43 ⅓ 3 = 0,0041 64. ⅓ 3 =2,37

n 4n ⅓ n 4n. ⅓ n= ⅓ n

Quando n tende ao infinito o número de segmentos também tende ao infinito.

O comprimento total da figura no nível n será o número de segmentos neste nível,

ou seja, 4n , sendo que cada um mede ⁄ n, portanto, CT = ⁄ n .

10 Os cálculos referentes a Curva de Koch foram embasados no trabalho de Julia Satiko Kawamoto

Macedo, intitulado Fractais – uma abordagem em sala de aula com o auxílio de softwares geométricos.

4

Tabela 3: Cálculos da Curva de Koch

F) ATIVIDADE 6: CONSTRUÇÃO DO FLOCO DE NEVE DE KOCH NO

GEOGEBRA11

Se iniciarmos o fractal a partir de um triângulo equilátero, obteremos o

famoso “Floco de Neve”, recebendo esta denominação por se assemelhar segundo

Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986) a flocos de gelo, sendo que estes

graciosos cristais mostram um contorno irregular e serrilhado, análogo ao da curva

criada por Koch.

1) Vamos construir o Floco de Neve de Koch seguindo os passos abaixo

relacionados:

a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para

isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em

eixos;

b) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular12 – clicar na área de

visualização demarcando os pontos A e B e na janela que se abre digitar 3 para

indicar um triângulo ( figura 15);

11 O processo de construção do Floco de Neve de Koch foi embasado no trabalho de Julia Satiko

Kawamoto Macedo, intitulado Fractais – uma abordagem em sala de aula com o auxílio de softwares geométricos.

12 “Um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes entre si e todos os seus

ângulos são congruentes entre si”. (BIANCHINI, 2006, p. 212).

Figura 15: Nível 0 do Floco de Neve de Koch

c) Será preciso refazer o processo de construção da Curva de Koch, nesse

momento será usada outra metodologia, a divisão pelo Teorema de Tales13. No

ícone retas, segmentos, semirretas e vetores selecionar – segmento definido por

dois pontos – criar o segmento , fora do triângulo e um outro segmento em

tamanho menor, que será a nossa unidade posterior para o raio ( figura 16);

d) Na opção retas, segmentos, semirretas e vetores selecionar – semirreta definida

por dois pontos – criar uma semirreta14 que parta de D e forme um ângulo agudo15

com o segmento (figura 17);

13 “Se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos

quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra”. (IEZZI, 2010, p. 246).

14 “A semi-reta é uma parte da reta, tem origem e é infinita num só sentido”. (GIOVANNI;

CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.125).

15 “Denominamos ângulo agudo todo ângulo cuja medida é menor que a medida de um ângulo reto”.

(GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.189).

FG DE

s,,,

DE

Figura 16: Passo I de construção da Curva de Koch

e) Agora dividiremos o segmento em três partes iguais, para isso selecionar no

ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio – clicar no ponto D e quando

abrir a janela pedindo o raio, digitar 1,54 cm, valor do segmento que representa

o valor do raio a ser utilizado;

f) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar o ponto I que é o

ponto de encontro do círculo com o segmento . Refazer o processo do passo

anterior para encontrar o círculo com centro em I e com centro em J, demarcando

pela intersecção o ponto K (figura 18);

DE

s,,,

FG,

DH

.

Figura 17: Passo II de construção da Curva de Koch

Figura 18: Passo III de construção da Curva de Koch

g) Na opção retas, segmentos, semirretas e vetores selecionar – semirreta definida

por dois pontos – criar uma semirreta que ligue os pontos E e K. Na opção retas

especiais e lugar geométrico selecionar – reta paralela16 – clicar sobre o segmento

Arrastar o mouse e clicar no ponto J, e depois no ponto I, definindo as paralelas que

cortam o segmento

No ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar os pontos L e M que é o

ponto de encontro das paralelas com o segmento . (figura 19);

h) Escolher no ícone referente a gerais – exibir/esconder objeto – clicar sobre os três

círculos, as duas paralelas, o segmento o segmento , o segmento e os

pontos I, J, K, ir ao primeiro ícone e clicar sobre a flecha (mover), deixando na área

de visualização apenas o triângulo ABC, o segmento e os pontos D, E, H, L e M

(figura 20);

16 “Duas retas, r e s, são paralelas se, e somente se, são coplanares e não têm ponto comum”.

(RIBEIRO, 2010, p. 44).

EK.

DE.

DE

DE, DH

,

EK,

FG,

Figura 19: Passo IV de construção da Curva de Koch

i) Selecionar no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido

por dois pontos - ligar os pontos e .

Agora será necessário construir um triângulo equilátero nos pontos M e L, para isso,

selecionar no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e um de seus pontos –

clicar no ponto M, arrastar o mouse até o ponto D e clicar sobre ele. Da mesma

forma, clicar no ponto L, arrastar o mouse até o ponto E e clicar sobre ele. Escolher

no ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar o ponto N que é o ponto de

encontro do círculo p com o círculo q e será o vértice do triângulo (figura 21);

DM LE

Figura 20: Passo V de construção da Curva de Koch

Figura 21: Passo VI de construção da Curva de Koch

j) Selecionar no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido

por dois pontos - ligar os pontos e . Escolher no ícone referente a gerais –

exibir/esconder objeto – clicar sobre os círculos p e q, e clicar sobre o ícone

movimento, selecionando – mover (figura 22).

k) O geogebra possibilita o processo de macro construção para repetir todas as

etapas anteriores para cada segmento do triângulo. Para realizar esse processo

selecionar na parte superior da tela, no ícone ferramentas – criar uma nova

ferramenta – no quadro que se abre aparecerá – Objetos Finais – será preciso

inserir alguns objetos da construção. Para isso, clicar sobre cada objeto na área de

visualização, ou selecioná-los na lista de objetos, são eles os pontos L, M, N e os

segmentos r e s .

l) Clicar em próximo e aparecerão automaticamente nos Objetos Iniciais, os pontos

D, E e H;

m) Clicar em próximo e aparecerá um quadro para nominar a ferramenta, como

sugestão pode ser Floco de Neve de Koch. Depois clicar em concluído. A nova

ferramenta aparecerá como sendo o décimo terceiro ícone da parte superior;

n) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta Floco de Neve de Koch e

em seguida sobre os pontos ACB, aparecerá à curva sobre o segmento AC.

MN LN

Figura 22: Passo VII de construção da Curva de Koch

Clicar sobre os pontos CBA e aparecerá à curva aplicada sobre o segmento BC.

Clicar sobre os pontos BAC e aparecerá à curva sobre o segmento AB (figura 23).

o) Repetir o processo para cada novo segmento. Lembrando que para se obter o

fractal Floco de Neve de Koch as iterações seguem infinitamente, porém, no

geogebra elas serão limitadas até a terceira iteração. Abaixo estão a segunda e

terceira iterações (figura 24 e 25).

Figura 23: Nível 1 da Curva de Koch

Figura 24: Nível 2 da Curva de Koch

CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DO FLOCO DE NEVE DE KOCH

Nível 0 Nível 1

No nível 1 cada segmento foi substituído por quatro novos segmentos, nesse

caso n= 4 e cada segmento tem razão de semelhança igual a

, portanto, r = ⅓ .

D = - log n D = - 2 log 2

log r 0 – 0,4771

Figura 25: Nível 3 da Curva de Koch

D = - log 4 D = - 2. 0,3010

log ⅓ - 0,4771

D = - log 22 D = 1,262

log 1 – log 3

OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS AO FLOCO DE NEVE

DE KOCH17

Na tabela 4 e 5 estão os cálculos referentes ao Floco de Neve de Koch:

Nível do Fractal

Números de segmentos

Comprimento do lado

Perímetro do fractal Perímetro para c= 1

0 3 C P= 3.c P = 3

1

3.4 = 12

c. ⅓ 1

P= 3. ⁄ 1 . c

P= 3. ⁄ . c

P = 4

2

3.42 = 48

c. ⅓ 2

P= 3. ⁄2 . c

P= 3. ⁄2 . c

P= ⁄ = 5,33

3

3.43 = 192

c. ⅓ 3

P= 3. ⁄3 . c

P= 3. ⁄3 . c

P= ⁄ = 7,11

4

3.44 = 768

c. ⅓ 4

P= 3. ⁄4 . c

P= 3. ⁄4 . c

P= ⁄ = 9,48

n

3.4n

c. ⅓ n

P= 3. ⁄n . c

P=

17 Os cálculos referentes ao perímetro e área ao Floco de Neve de Koch foram adaptados do livro

“Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula” de BARBOSA e do livro “Fractais - Uma breve introdução” de CARVALHO; SILVA; BOCCIA; RIBEIRO; BOGGIO.

Tabela 4: Cálculos referentes ao Floco de Neve de Koch

Nível do Fractal

Nº de triângulos

Área de cada triângulo

Área total do fractal

Área do fractal para l =1

0 1 A =

√

A =

√

A =

√

A= 0,433

1

3

A= . √

A=3. . √

A= . √

A = √

+ .

A= 0,5773

2

12

A= . √

A= 12 . . √

A= . √

A = √

+ .

+ .

3

48

A= . √

A= 48. . √

A= . √

A = √

+ .

+ .

+ .

N

3.4 n-1

A= . √

A= . √

A = √

+ . + ...

.

√

√

√

√

√

√

√

√

Tabela 5: Cálculos referentes ao Floco de Neve de Koch

Observação:

O perímetro e a área do Floco de Neve de Koch aumentam infinitamente.

G) ATIVIDADE 7: CONSTRUÇÃO DO QUADRADO DE KOCH NO GEOGEBRA

Se iniciarmos a figura fractal com um quadrado, obteremos o Quadrado de

Koch.

1. Vamos construir o Quadrado de Koch seguindo os passos abaixo relacionados:

a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para

isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em

eixos;

b) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar na área de visualização

demarcando os pontos A e B e na janela que se abre digitar 4 para indicar um

quadrado (figura 26);

c) Será necessário dividir cada segmento de reta que forma o quadrado em cinco

partes iguais, para isso usaremos a divisão pelo processo da circunferência.

Selecionar no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio – clicar no ponto A

e quando abrir a janela pedindo o raio, digitar a/5, o que significa que o raio será à

⁄ parte do segmento AB. Da mesma forma clicar no ponto B e quando abrir a janela

pedindo o raio, digitar a/5 novamente (figura 27);

Figura 26: Nível 0 do Quadrado de Koch

d) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – e nos pontos de

encontro dos círculos com o segmento AB marcar os pontos E e F, clicando sobre

eles;

f) Escolher no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio - criar um círculo

clicando no ponto E e raio a/5. Criar outro círculo clicando no ponto F e raio a/5;

g) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar o ponto G,

encontro do círculo com o segmento da mesma forma marcar o ponto H, ponto

de encontro do círculo com o segmento (figura 28);

AB

es,,

AB,

es,,

Figura 27: Passo I para divisão do segmento

Figura 28: Passo II para divisão do segmento

h) Proceder da mesma forma com os outros três lados do quadrado, demarcando

após as intersecções dos círculos com os segmentos, os pontos I, J, K, L, M, N, O,

P, Q, R, S e T. Para ocultar os círculos, selecionar no ícone referente a gerais –

exibir/esconder objeto – clicar sobre todos os círculos e no primeiro ícone clicar

sobre a flecha (mover) como mostra a figura 29;

i) Selecionar no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido

por dois pontos - ligar os pontos que dividem cada lado do quadrado inicial, obtendo

assim 25 quadrados menores (figura 30);

Figura 29: Passo III para divisão do segmento

Figura 30: Passo IV para divisão do segmento

j) Agora será preciso delimitar os 25 quadrados como figuras individuais.

Para o desenho não ficar “sobrecarregado” pelos vértices novos selecionar no

menu superior da tela o ícone opções - rotular - menos para os objetos novos, isso

fará com que nos quadrados novos não apareçam as letras correspondentes aos

novos vértices.

Em seguida selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar nos

pontos A e E e na janela que se abre digitar 4 para formar o quadrado que será a

figura 2. Clicar sobre os pontos E e G e na janela que se abre digitar 4 para formar o

quadrado que será a figura 3. Clicar sobre os pontos G e H e na janela que se abre

digitar 4 para formar o quadrado que será a figura 4 e proceder assim para os

demais quadrados (figura 31).

k) Será preciso ocultar alguns quadrados anteriores, para criarmos a figura geradora

do fractal Quadrado de Koch. São eles os polígonos 2, 3, 5, 6, 7, 11, 17, 21, 22, 23,

25, 26. Para isso, clicar duplamente sobre cada um dos polígonos citados acima (na

janela de álgebra), e no quadro que se abre clicar em propriedades - definir a cor

branca e na opção estilo padronizar a transparência para 100%.

Para ocultar as letras dos vértices, clicar com o botão direito do mouse

sobre o ponto e no quadro que se abre clicar em exibir rótulo. Da mesma forma

podem ser ocultados todos os pontos fora da figura (figura 32);

Figura 31: Passo V para divisão do segmento

l) Agora para criar a ferramenta que fará as próximas iterações, selecionar na opção

do menu (parte superior da tela) – criar uma nova ferramenta - no quadro que se

abre aparecerá – Objetos Finais – será preciso inserir todos os polígonos da figura

geradora, para isso, clicar sobre cada um deles na área de visualização, ou

selecioná-las na lista de objetos, são eles os polígonos 3, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15,

17, 18, 19, 23;

m) Clicar em próximo e aparecerão automaticamente nos Objetos Iniciais, os pontos

A e B;

n) Clicar em próximo e aparecerá um quadro para nominar a ferramenta, como

sugestão pode ser Quadrado de Koch. Depois clicar em concluído. A nova

ferramenta aparecerá como sendo o décimo terceiro ícone da parte superior;

o) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta Quadrado de Koch e em

seguida sobre os vértices que formam cada polígono (figura 33);

Figura 32: Nível I do Quadrado de Koch

p) Repetir o processo para cada novo quadrado. Lembrando que para se obter o

fractal Quadrado de Koch as iterações seguem infinitamente, no geogebra, porém,

elas serão limitadas até a terceira iteração (figura 34).

Figura 33: Nível 2 do Quadrado de Koch

Figura 34: Nível 3 do Quadrado de Koch

CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DO QUADRADO DE KOCH

Nível 0 Nível 1

No nível 1 temos 13 quadrados válidos, nesse caso n= 13 e a base foi dividida

em 5, tendo razão de semelhança igual a

, portanto, r = ⁄ .

D = - log n D = - 1,1139

log r 0 – log 5

D = - log 13 D = - 1,1139

log ⁄ - 0,6989

D = - 1,1139 D = 1,5937

log 1 – log 5

OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS AO QUADRADO DE

KOCH

Na tabela 6 e 7 estão os cálculos referentes ao Quadrado de Koch:

Nível do Fractal

Nº de quadrados válidos

Comprimento de cada lado

Perímetro de cada figura

Perímetro do fractal para c=1

0 1 ou 130 c P= 4.c

P = 4

1

13 ou 131

P= 13. 4.

P =

P =

P = 10,4

2

169 ou 132

P= 169. 4.

P =

P=

P= 27,04

3

2197 ou 133

P= 2197. 4 .

P =

P=

P = 70,304

n

13n

P= 13n . 4 .

P = 4 .

. c

P= 4 .

n

Tabela 6: Cálculos referentes ao Quadrado de Koch

n

Nível do Fractal

Nº de quadrados

válidos

Área de cada quadrado

Área do fractal Área do fractal para l =1

0 1 ou 130

A = A = A = 1

1

13 ou 131

A=

.

A= 13 . .

A= .

A =

A = 0,52

2

169 ou 132

A= .

A= 169 . .

A= .

A =

A = 0,2704

3

2197 ou 133

A= .

A= 2197 . .

A= .

A =

A = 0,1406

n

3n

A= .

A= .

A=

n

Tabela 7: Cálculos referentes ao Quadrado de Koch

n

Observações:

O perímetro do Quadrado de Koch é aproximadamente (160%) maior que

o perímetro do fractal do nível anterior.

A área do Quadrado de Koch é aproximadamente (52%) menor que a

área do fractal do nível anterior. Portanto, a área tende a zero.

O perímetro aumenta e a área diminui.

H) ATIVIDADE 8: CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO DE SIERPINSKI NO

GEOGEBRA18

De acordo com SILVA (2011, p.81) o matemático polonês Waclaw Sierpinski

(1882-1969), apresentou em 1916, seu famoso “monstro matemático”, a Curva de

Sierpinski. Se continuarmos a construção da Curva, com novas iterações “...

verificar-se-á que vão sendo cobertos sucessivamente triângulos equiláteros dos

sucessivos 3 cantos, excetuando-se os triângulos equiláteros centrais; segue,

então, o que é denominado Triângulo de Sierpinski”. (BARBOSA, 2005, p. 42).

1. Vamos construir o Triângulo de Sierpinski seguindo os passos abaixo

relacionados:

a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para

isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em

eixos;

b) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar na área de visualização

demarcando os pontos A e B e na janela que se abre digitar 3 para indicar um

triângulo equilátero (figura 35);

18 A construção do Triângulo de Sierpinski no geogebra e o seu desenvolvimento foram adaptados do

site www.youtube.com/v/jk5_zhNHre8&fs=1&source=uds&autoplay=1.

c) Agora será criada a ferramenta que fará as iterações para a construção do

Triângulo de Sierpinski. Na opção do menu (parte superior da tela) selecionar no

ícone ferramentas – criar uma nova ferramenta – irá abrir uma janela para digitar os

objetos finais, que deverão ser selecionados na lista ou apenas clicando sobre eles:

* segmentos a, b, c; pontos A, B e C e triângulo polígono 1, depois clicar em

concluído.

Na opção objetos iniciais aparecerá automaticamente os pontos A e B, clicar em

concluído. Na opção nomear a ferramenta, como sugestão pode ser Triângulo de

Sierpinski e novamente clicar em concluído. Após criar a ferramenta esta aparecerá

no menu superior como décimo terceiro ícone;

d) Antes de aplicar a nova ferramenta, é preciso definir os pontos médios de cada

lado do triângulo, para isso selecionar no ícone pontos – ponto médio19 ou centro - e

clicar sobre os vértices A e C, B e C e A e B ou sobre os segmentos de cada lado

(figura 36);

19 “Um ponto M, interno a um segmento AB é denominado ponto médio do segmento AB se M divide

AB em dois segmentos congruentes”. (GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.185).

Figura 35: Nível 0 do Triângulo de Sierpinski

Figura 36: Pontos médios dos lados do triângulo

e) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta criada Triângulo de

Sierpinski e em seguida sobre os pontos D e F (sentido anti-horário);

f) Para mudar a cor de ambos os triângulos, clicar sobre cada um deles com o botão

direito do mouse, na janela de visualização ou na janela de álgebra, no quadro que

se abre clicar em propriedades, escolher a cor e no estilo o tom da cor

(transparência) como mostra a figura 37;

g) O próximo passo é definir os novos pontos médios entre cada novo segmento,

são eles: (figura 38);

h) Usar a ferramenta Triângulo de Sierpinski e fazer a segunda iteração, clicando

nos pontos M e H, I e J, K e L. Para mudar a cor dos novos triângulos seguir o passo

f anterior (figura 39);

AF, FB, BE, EC, CD e DA

Figura 37: Nível 1 do Triângulo de Sierpinski

Figura 38: Pontos médios dos segmentos

i) Determinar os pontos médios de cada novo segmento e usar a ferramenta

Triângulo de Sierpinski para fazer a terceira, quarta e quinta iterações (figuras 40,

41, 42);

Figura 39: Nível 2 do Triângulo de Sierpinski

Figura 40: Nível 3 do Triângulo de Sierpinski

Figura 42: Nível 5 do Triângulo de Sierpinski

Figura 41: Nível 4 do Triângulo de Sierpinski

CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DO TRIÂNGULO DE SIERPINSKI

Nível 0 Nível 1

Nível 0 Nível 1

No nível 1 temos 3 triângulos válidos e a base foi dividida em 2 partes,

portanto, r = ½

D = - log n D = - 0,4771

log r 0 – 0,3010

D = - log 3 D = - 0,4771

log ½ - 0,3010

D = - log 3 D = 1,585

log 1 – log 2

OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS AO TRIÂNGULO DE

SIERPINSKI 20

Na tabela 8 e 9 estão os cálculos referentes ao Triângulo de Sierpinski:

20

Os cálculos referentes ao perímetro e área do Triângulo de Sierpinski foram adaptados do livro

“Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula” de BARBOSA.

Nível do Fractal

Nº de triângulos válidos

Comprimento de cada lado

Perímetro de cada figura

Perímetro do fractal para c=1

0 1 ou 30 c P= 3.c P = 3

1

3 ou 31

P= 3. 3.

P =

P =

P = 4,5

2

9 ou 32

P= 9. 3.

P =

P=

P= 6,75

3

27 ou 33

P= 27. 3.

P =

P=

P = 10,12

4

81 ou 34

P= 81. 3.

P =

P=

P = 15,18

N

3n

P= 3n . 3 .

P = 3 .

. c

P= 3 .

n

n

Tabela 8: Cálculos referentes ao Triângulo de Sierpinski

Nível do Fractal

Nº de triângulos válidos

Área de cada triângulo

Área do fractal Área do fractal para l =1

0 1 ou 30

A = √

A =

√

A =

√

1

3 ou 31

A= . √

A=3. . √

A= . √

A = .

A =

2

9 ou 32

A= . √

A= 9 . . √

A= . √

A = .

A =

3

27 ou 33

A= . √

A= 27 . . √

A= . √

A = .

A =

4

81 ou 34

A= . √

A= 81. . √

A= . √

A = .

A =

N

3n

A= . √

A= .

√

A=

√

√

2

√

√

3

√

√

4

√

√

n

√

n

Tabela 9: Cálculos referentes ao Triângulo de Sierpinski

Observações:

O perímetro do Triângulo de Sierpinski é aproximadamente (50%) maior

que o perímetro do fractal do nível anterior.

A área do Triângulo de Sierpinski é aproximadamente (75%) menor que a

área do fractal do nível anterior. Portanto, a área tende a zero.

O perímetro aumenta e a área diminui.

I) ATIVIDADE 9: CONSTRUÇÃO DO TAPETE DE SIERPINSKI NO GEOGEBRA

O Tapete ou Carpete de Sierpinski é obtido pela remoção do quadrado

central.

1. Vamos construir o Tapete de Sierpinski seguindo os passos abaixo relacionados:

a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para

isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em

eixos;

b) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar na área de visualização

demarcando os pontos A e B e na janela que se abre digitar 4 para indicar um

quadrado (figura 43);

c) Selecionar no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio – clicar no ponto

A e quando pedir o valor do raio digitar a/3, o que significa que o raio será a ⅓ parte

do segmento AB;

es,,

Figura 43: Nível 0 do Tapete de Sierpinski

d) Clicar no ponto B e digitar a/3 no valor do raio novamente. Seguindo o processo,

clicar no ponto D e digitar no valor do raio d/3. Clicar no ponto C e digitar no valor do

raio b/3 (figura 44);

e) Selecionar no ícone pontos – intersecção de dois objetos – clicar sobre os pontos

de encontro dos círculos com os segmentos que formam o quadrado, sendo

definidos os pontos E, F, G, H, I, J, K, L;

f) Selecionar no ícone referente a gerais – exibir/esconder objeto – clicar sobre os

quatro círculos e no primeiro ícone clicar sobre a flecha para mover (figura 45);

Figura 44: Passo I para construção do Tapete de Sierpinski

Figura 45: Passo II para construção do Tapete de Sierpinski

g) Selecionar no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido

por dois pontos - ligar os pontos (figura 46);

h) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar no quadrado central

demarcando os pontos M e N e na janela que se abre digitar 4, definindo o quadrado

que será o polígono 2;

i) Clicar duplamente sobre o polígono 2 (na janela de álgebra), no quadro que se

abre clicar em propriedades - definir a cor e na opção estilo padronizar a

transparência para 100%, se quiser a cor na íntegra;

j) Para mudar a cor do polígono 1, seguir o passo i como mostra a figura 47;

LG;

es,,

KH;

es,,

EJ e

es,,,

FI

es,,

Figura 46: Passo III para construção do Tapete de Sierpinski

Figura 47: Nível 1 do Tapete de Sierpinski

k) Agora para criar a ferramenta que fará as próximas iterações, selecionar na opção

do menu (parte superior da tela) – criar uma nova ferramenta - no quadro que se

abre aparecerá – Objetos Finais – será preciso inserir todos os objetos da

construção, para isso, clicar sobre cada objeto na área de visualização, ou

selecioná-los na lista de objetos, são eles os pontos C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N,

O, P, os segmentos a, b, c, d, i, j, k, l, m, n, p, q e os polígonos 1 e 2;

l) Clicar em próximo e aparecerão automaticamente nos Objetos Iniciais, os pontos A

e B;

m) Clicar em próximo e aparecerá um quadro para nominar a ferramenta. Como

sugestão usar Tapete de Sierpinski e depois clicar em concluído. A nova ferramenta

aparecerá como sendo o décimo terceiro ícone da parte superior;

n) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta Tapete de Sierpinski e em

seguida sobre os pontos A e E, E e F, F e B, e assim sucessivamente. Para mudar

a cor do polígono 1, seguir o passo i. No ícone gerais, pode-se clicar em –

exibir/esconder rótulo – e apagar todos os pontos que aparecem para melhorar a

visualização. Para mudar a cor do quadrado central de cada um, refazer o passo i

já citado (figuras 48 e 49).

Figura 48: Nível 2 do Tapete de Sierpinski

CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DO TAPETE DE SIERPINSKI

Nível 0 Nível 1

No nível 1 temos 8 quadrados válidos e a base foi dividida em 3, portanto, r = ⅓.

D = - log n D = - 3. log 2

log r - 0,4771

D = - log 8 D = - 0,903

log ⅓ - 0,4771

D = - log 23 D = 1,893

log 1 – log 3

Figura 49: Nível 3 do Tapete de Sierpinski

OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS AO TAPETE DE

SIERPINSKI

Nas tabelas 10 e 11 estão os cálculos referentes ao Tapete de Sierpinski:

Nível do

Fractal

Número de

quadrados

válidos

Comprimento

de cada lado

Perímetro de cada

figura

Perímetro do fractal

para c=1

0 1 ou 80 C P= 4.c P = 4

1

8 ou 81

P= 8. 4.

P =

P =

P = 10,67

2

64 ou 82

P= 64. 4.

P =

P=

P= 28,44

3

512 ou 83

P= 512. 4.

P =

P=

P = 75,85

N

8n

P= 8n. 4.

P = 4. n. c

P= 4. n

Tabela 10: Cálculos referentes ao Tapete de Sierpinski

Nível do

Fractal

Nº de quadrados

válidos

Área de cada

quadrado

Área do fractal Área do fractal

para l =1

0 1 ou 80 1 A = l2 A = 1

1

8 ou 81

A= 8. . l2

A= . l2

A =

A = 0,89

2

64 ou 82

A= 64 . . l2

A= . l2

A =

A = 0,79

3

512 ou 83

A= 512. . l2

A= . l2

A =

A = 0,70

N

8n

A= 8n. . l2

A= . l2

A= n

Observações:

O perímetro do Tapete de Sierpinski é aproximadamente (166%) maior

que o perímetro do fractal do nível anterior.

A área do Tapete de Sierpinski é aproximadamente (88%) menor que a

área do fractal do nível anterior.

O perímetro aumenta e a área diminui.

n

n

1

2

3

Tabela 11: Cálculos referentes ao Tapete de Sierpinski

J) ATIVIDADE 10: APLICAÇÃO CIENTÍFICA DOS FRACTAIS

Os fractais representam uma grande descoberta para a Matemática e

nessas poucas décadas de existência se propagaram rapidamente não só pelo

visual excêntrico das suas formas, mas também pela diversidade de aplicações em

inúmeras outras ciências.

Nessa ênfase, serão apresentadas aos professores na sequência das

atividades da oficina pedagógica algumas aplicações dos fractais através da

apresentação em slides.

Por exemplo, na área da Medicina, a dimensão fractal é muito importante para

o estudo dos órgãos, tecidos e sistemas do corpo humano, além do diagnóstico de

algumas doenças. Como se refere Diniz (2006), citado por Fernandes (2007), a

dimensão fractal pode ajudar na

“...identificação de alguns tipos de câncer de boca, a geometria fractal ajuda a medir a tortuosidade da borda que o tumor se encontra. Utilizando o método de contagem de caixas, é possível descobrir o grau de infiltração da doença, quanto mais agressivo, mais infiltrativo será seu crescimento. Logo a linha de fronteira entre os tecidos ocupa um espaço mais denso, pois quanto mais rugoso maior a dimensão, essa avaliação indica as chances de a doença evoluir para um estágio mais grave. Este estudo é muito importante, já que um prognóstico, ou seja, antecipação desenvolvimento da doença, aumentaria consideravelmente as chances de recuperação do paciente, lembrando que o câncer bucal é um dos que apresenta maior dificuldade de diagnóstico”. (FERNANDES, 2007, p.31)

Na amostra de tecido bucal da figura 50, de acordo com Fernandes (2007),

“sua dimensão fractal será maior que 1 o que pode ser considerado um tumor

malígno, pois a fronteira é mais tortuosa e ocupa um número grande de caixas”.

Fonte: Monografia “Fractais: Uma nova visão da Matemática”, de Jaqueline Aparecida Fernandes.

Conforme Barreto (2001), citado por Fernandes (2007) outra aplicação dos

fractais, é referente a um estudo feito pela Universidade Federal do Rio de Janeiro,

que associa Biologia e geometria na tentativa de “medir o contorno de habitats, para

a partir disto, saber como a irregularidade influencia determinadas espécies na

escolha do local para viver, oferecendo abrigo e proteção contra predadores e

variações climáticas”.

Como visto a aplicação dos fractais tanto na medicina quanto na Biologia

busca contribuir para a melhoria da qualidade de vida das diferentes espécies

animais.

Em relação à área da Física no site “Prisma - À luz da Física”, criado pelo

CFTC - Centro de Física Teórica e Computacional, pode-se observar várias

aplicações dos fractais, como é o caso das antenas para aparelhos celulares

móveis, segundo eles, as antenas fractais, diferem dos modelos tradicionais, pois,

funcionam muito bem em várias frequências simultaneamente. “Esta

característica faz das antenas fractais uma excelente alternativa para aplicações

de banda larga”. De acordo com isso, o site enfatiza que a Motorola anunciou que

as antenas fractais são 25% mais eficientes do que o tradicional pedaço de fio

condutor.

Figura 50: Contagem de caixas utilizado no prognóstico do câncer de boca

Figura 51: Antena fractal

Fonte: cap.ufrgs.br

Outra aplicação dos fractais, segundo o site “Prisma - À luz da Física”,

criado pelo CFTC - Centro de Física Teórica e Computacional, diz respeito ao

empacotamento apropriado de fibras ópticas, o que produz guias de ondas com

muito baixa distorção e um melhor contraste de imagem. “Lee Cook da Galileo

Electro-Optics Corp. mostrou, através do uso de pavimentações recursivas, que os

melhores empacotamentos de fibras ópticas são aqueles que têm bordas fractais”.

Abaixo está representado um empacotamento, pelo processo recursivo,

segundo o site, esta tecnologia foi adquirida pela Incom em 1994.

Figura 52: Feixe de fibras ópticas fractais

Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico6.php

Segundo o site “Prisma - À luz da Física”, criado pelo CFTC - Centro de

Física Teórica e Computacional, Marc-Olivier Coppens da Universidade Técnica de

Delft, realizou estudos com misturadores inspirados na forma fractal dos pulmões,

desenvolvendo “um sistema para a mistura de dois fluidos que diminui a

turbulência indesejada e normalmente associada ao transporte, mistura e

distribuição”, um exemplo está representado na figura 55.

Figura 55: Misturador fractal tridimensional

Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico6.php

As propriedades fractais podem ser observadas e contribuem para várias

áreas da geologia, astrofísica e cosmologia, a seguir são citados exemplos que

foram retirados do texto digitalizado por H. Moysés Nussenzveig, tendo como

referência o livro "Complexidade e Caos" (p. 51-82): No crescimento de estruturas,

sejam elas cristais, ou a penetração de um fluido em outro material apresentam

propriedade de auto-similaridade; a rocha na qual o petróleo reside é um meio

poroso com propriedades fractais; a dimensão fractal auxilia no estudo dos

fenômenos de corrosão e no processo de erosão; os fractais contribuem para o

estudo dos meandros dos rios e contornos das formações geológicas; existe simetria

de escala nos “tamanhos de fragmentos de rochas, falhas geológicas, terremotos,

erupções vulcânicas e depósitos minerais e de petróleo”; na distribuição das

galáxias no Universo, por exemplo, “que é mais ou menos isotrópica, atribuem um

valor aproximado de 1,2 para sua dimensão fractal, pelo menos dentro de domínios

menores que 100 milhões de anos-luz”.

O trabalho do Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ), Matemática, beleza e

aplicações: “A ordem na desordem”, trás contribuições para a importância dos

fractais: na computação gráfica para representar elementos da natureza e criar

efeitos especiais para filmes; na biologia para o estudo da influência da superfície

irregular das proteínas nas iterações moleculares; na geografia é usado para

descrição e caracterização de falhas sísmicas, estudo sobre terremotos e vulcões e

usados para criação de modelos de crescimento demográficos; na computação são

usados para geração de terrenos e atmosfera com modeladores gráficos e criação

de softwares de compactação de imagens (zipadores), criptografia, codificação e

decodificação de áudio e vídeo; na área da medicina várias patologias cardíacas são

diagnosticadas pela falta de regularidade nas batidas do coração, como é o caso da

taquicardia e fibrilação, esses estudos contribuem para a criação de equipamentos

desfibriladores mais eficientes.

De acordo com Wangenheim, em seu trabalho “Técnicas de Análise de

Imagens utilizando Fractais”, a dimensão fractal pode ser aplicada com o objetivo de

analisar o crescimento de tumores cerebrais in vitro; na detecção de patologias na

textura da pele; pode-se realizar a análise fractal do contorno ósseo e contorno

dental através de imagens radiográficas; além de outras investigações fractais

através de imagens de ressonância magnética, ultrassom, doppler e tomografia

computadorizada.

K) ATIVIDADE 11: CONSTRUÇÃO DE FRACTAIS COM MATERIAL

MANIPULÁVEL

Como sugestão para o professor trabalhar com as séries finais do Ensino

Fundamental, propiciando aos alunos a noção de Geometria Fractal através de uma

atividade prática, será proposta a construção de alguns fractais famosos com

material manipulável, papel, latas de alumínio, bolas de isopor, entre outros.

Figura 56: Árvore Fractal Figura 57: Triângulo de Sierpinski

Fonte: acontecendonasescolas.blogspot.com Fonte: alornacre.blogspot.com

Figura 58: Triângulo de Sierpinski Figura 59: Esponja de Menger

Fonte Figura 58: http://dc184.4shared.com/doc/S3F5ElPX/preview.html. Fonte Figura 59: http://pt.wikipedia.org/wiki/Esponja_de_Menger

Figura 60: Fractal Triminó Figura 61: Fractal Heptaminó

Fonte: Trabalho de Margareth Pangoni Vejan

L) ATIVIDADE 12: QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO DA OFICINA PEDAGÓGICA

Para encerrar a oficina pedagógica será proposto um questionário com 3

questões abertas para avaliação do trabalho e considerações importantes que os

professores participantes queiram pontuar.

1) A proposta da Unidade Didática foi realizar uma oficina pedagógica no laboratório de

informática do Colégio Estadual José de Anchieta com o tema “O ensino de Geometria

Fractal por meio da utilização do software geogebra: Descobertas e construções”, para os

professores de matemática da educação básica de Quedas do Iguaçu.

Dê a sua opinião sobre a oficina pedagógica realizada (contribuições,

apontamentos, metodologias, aplicabilidade, relevância, entre outros).

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2) Uma forma de promover a investigação geométrica pela experimentação é mediante o

uso das mídias tecnológicas. De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica

“Os recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da

Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e potencializado

formas de resolução de problemas.” (PARANÁ, 2008, p.65).

Nesse enfoque, e após participar da oficina pedagógica você considera

possível inserir na sua prática pedagógica o estudo da Geometria Fractal, utilizando

o software geogebra? Justifique sua resposta.

( ) Sim, considero possível ( ) Não, considero impossível

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3) Inserida no conteúdo estruturante Geometrias, as Diretrizes Curriculares (2008, p. 56-57)

preveem que o aluno deva compreender a noção de Geometria Fractal desde o Ensino

Fundamental, aprofundando-a no Ensino Médio em nível de abstração mais complexo.

Em sua opinião, justifica-se o estudo da Geometria Fractal em sala de aula?

E de que forma esse conteúdo proposto nas Diretrizes e abordado nesta oficina

pedagógica, pode contribuir para o enriquecimento da aprendizagem do aluno?

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5. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Em relação à aprendizagem dos alunos Gravina e Santarosa (1998), citados

por Fuzzo; Santos; Ferreira (2011)

“...nos dizem que o conhecimento matemático possui caráter estático e com isso dificulta a abstração de um determinado conceito a uma situação que não é semelhante ao apresentado no livro didático ou pelo professor. Desse modo, com a utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC), as mesmas autoras afirmam que as TIC apresentam evidencias físicas em que a representação passa a ter caráter dinâmico, refletindo no processo de aprendizagem, particularmente, no que diz respeito às concretizações mentais. (FUZZO; SANTOS; FERREIRA; 2011, p.3)

Com o intuito de dinamizar as aulas de matemática, em especial no que se

refere às geometrias não-euclidianas e melhorar a qualidade de ensino e

aprendizagem, esta unidade didática, como visto, utilizará o programa geogebra

para construção de figuras fractais. Pois, conforme Zullato (2002) e Constantino

(2006) citados por Fuzzo; Santos; Ferreira (2011, p.6) “...ao se desenvolver

atividades em ambientes de geometria dinâmica, elas possibilitam ao aluno fazer

descobertas, conjecturas, explorações, investigações, contribuindo para um ensino

significativo,...”.

Dessa forma as atividades buscam estratégias metodológicas diferenciadas

para o estudo da geometria fractal, em sala de aula, o que possibilita ao professor a

exploração de conhecimentos novos, como é o caso do cálculo da dimensão fractal,

fazer uma revisão dos conceitos básicos da geometria euclidiana, além de cálculos

que envolvem perímetro, área, logaritmos, sequências, progressões, porcentagem,

utilização de tabelas, fórmulas e funções, noção de intervalos e conjuntos entre

outros.

A unidade didática foi estruturada de forma a apresentar a sequência das

atividades a serem realizadas na oficina pedagógica, com os professores de

Matemática da educação básica de Quedas do Iguaçu, perfazendo um total de 32

horas/aula. Inicialmente será sugerido um questionário investigativo, para um

levantamento sobre o conhecimento dos professores no tocante as geometrias não-

euclidianas, em especial a Geometria Fractal, e se estes conteúdos são trabalhados

durante o ano letivo. Em seguida, será apresentado um embasamento teórico sobre

a Geometria Fractal através de vídeos e slides. No Laboratório de Informática

Paraná Digital do Colégio Estadual José de Anchieta serão construídos no software

livre geogebra, os fractais: Conjunto de Cantor, Curva de Peano, Curva de Koch,

Floco de Neve de Koch, Quadrado de Koch, Triângulo de Sierpinski e Tapete de

Sierpinski. Para auxiliar nas construções serão feitas apostilas com os passos

referentes a cada figura e posteriormente demonstrados os cálculos da dimensão

fractal, perímetro e área.

Como sugestão para o professor trabalhar com as séries finais do Ensino

Fundamental, propiciando a eles a noção de Geometria Fractal, de forma prática e

atrativa, construir alguns fractais famosos com material manipulável: papel, latas de

alumínio, bolas de isopor, entre outros.

Para finalizar a oficina, será proposto um novo questionário para verificar

junto aos professores participantes se consideram possível inserir na sua prática

pedagógica o estudo da Geometria Fractal, utilizando o software geogebra.

Os dados obtidos nos questionários, o desenvolvimento da oficina e a

participação dos professores contribuirão para a elaboração do artigo final, que

fundamentará essa pesquisa.

5. REFERÊNCIAS

ACONTECENDO NAS ESCOLAS DO GUARÁ. Árvore Fractal. Disponível em: acontecendonasescolas.blogspot.com. Acesso em: 28 nov. de 2012.

ALMEIDA, Theodoro Becker de; MARTINELLI, Rodiane Ouriques; RODRIGUES, Virgínia Maria; SILVA, Ana Maria Marques da. Fractais no Ensino Fundamental: explorando essa nova geometria. PUCRS. 18p.

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal – para a sala de aula. 2 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática - 9º ano - 6 ed. São Paulo: Moderna, 2006.

CARVALHO, M.C.C.S.; SILVA, A.A.; BOCCIA, D.C.M.S.; RIBEIRO, J.F.P.; BOGGIO, S.A. Fractais: uma breve introdução. 1 ed. São Paulo: Ed. da Faculdade São Judas, 1986.

CENTRO DE FÍSICA TEÓRICA E COMPUTACIONAL - CFTC - “Prisma - À luz da Física”. Disponível em: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4 /topico6.

php .Acesso em: 08 nov. de 2012.

CENTRO DE RECURSOS EDUCATIVOS. Triângulo de Sierpinski. Escola EB 2,3 Marquesa de Alorna. Disponível em: http://alornacre.blogspot.com.br/2011/06/ triangulo-de-sierpinski.html Acesso em: 13 nov. de 2012.

CURVA DE KOCH-FRACTAIS. Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Zd EhqhSpTG4 . Acesso em: 15 nov. de 2012.

ESPAÇO VIRTUAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Fractais - uma abordagem do ensino médio. Disponível em: http://www.cap.ufrgs.br/matweb

/abordagem%20fractais.html. Acesso em: 13 nov. de 2012.

FERNANDES, Jaqueline Aparecida. Fractais: Uma nova visão da Matemática. Trabalho de Conclusão de Curso (Matemática). Universidade de Lavras - UNILAVRAS, Minas Gerais, 2007, 46p.

FUZZO, Regis Alessandro; SANTOS, Talita Secorun dos; FERREIRA, Luciano. Fractais e o Geogebra: Construindo a curva de Koch. Universidade Estadual do Paraná–Campo Mourão. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.

GIOVANNI, J.R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JÚNIOR, J.R. A conquista da matemática: a + nova. 5ª série. São Paulo: FTD, 2002.

____________. A conquista da matemática: a + nova. 7ª série. São Paulo: FTD, 2002.

IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. de. Matemática - Ciência e Aplicações. Volume 1 - Ensino Médio. 6 ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

LUIZ, Celço. Triângulo de Sierpinski. Disponível em: www.youtube.com/v/jk5 _zhNHre8&fs=1&source=uds&autoplay=1. Acesso em: 28 nov. de 2012.

MACEDO, Julia Satiko Kawamoto. Fractais – Uma abordagem em sala de aula com o auxílio de softwares geométricos. Universidade Estadual de Maringá. Projeto de Intervenção Pedagógica – PDE, 2008, 27p.

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