Optimização da localização de armazéns de redistribuição

José Luís Franco Caiado Tenório de Figueiredo

(Licenciado)

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre

em Engenharia e Gestão Industrial

Júri

Presidente: Professor Doutor Acácio Porta Nova Orientador: Professora Doutora Ana Povoa Vogal: Professora Doutora Mónica Oliveira

Dezembro 2007

2

Agradecimentos

Com o final desta tese termina uma fabulosa fase da minha vida. Os últimos cinco foram

cheios de esforço e dedicação, mas também cheios de alegria e amizade.

Queria em primeiro lugar agradecer a todos os funcionários, professores, auxiliares e

outro pessoal do Instituto Superior Técnico. Sem eles teria sido impossível fazer todo este

caminho de aprendizagem não só académica mas também pessoal.

No âmbito desta tese queria agradecer à Engª Susana Relvas pela sua paciência, ao Dr.

Hilário Vieira por toda a simpatia e apoio e muito especialmente ao Professora Ana Povoa por

toda amizade, dedicação e competência.

Queria agradecer a todos os amigos e a toda a família, especialmente nas pessoas dos

meus pais e irmãos que sempre me apoiaram imensamente.

Por fim, agradeço a Deus Nosso Senhor a graça de tudo isto me ter dado e hoje puder

olhar para o caminho percorrido e sentir que o esforço valeu a pena.

3

Resumo

Neste trabalho pretende-se desenvolver um modelo que optimize a localização de

armazéns, sendo estes postos intermediários entre a fábrica e o cliente. O trabalho surge na

sequência de uma proposta de um grupo papeleiro português no sentido de se optimizarem as

localizações dos seus portos e armazéns na zona da Europa Central, mais especificamente na

Bélgica, na Holanda, no Luxemburgo e na Alemanha.

Neste sentido é feita uma revisão bibliográfica onde se estuda o que de mais importante

foi escrito sobre o tema nas últimas décadas. Descreve-se também qual a formulação

matemática do modelo e faz-se a análise dos resultados produzidos pelo modelo.

Neste trabalho a partir de um conhecimento completo da situação e dos problemas

envolvidos constrói-se um modelo que cria uma solução óptima que minimiza os diversos custos

de transporte.

Palavras-chave – Localização de armazéns, optimização, transporte

Abstract

The objective of this work is to develop a model that optimizes the location of

warehouses. The warehouses are located between the factory and the client. This work is due to

a request by a pulp & paper portuguese group which aims to optimize the locations of their ports

and warehouses in the Central Europe area, more specifically in Belgium, Holland, Luxemburg

and Germany.

Having this in mind a review of the most important articles and works written in the past

decades is done. It is also described the model’s mathematical formulation. The analysis of

produced results is presented.

From a complete knowledge of the situation and of the existing problems an optimal

solution that minimizes the various transport costs is built.

Keywords – Warehouse location, optimization, transport

4

Índice

1 – Introdução 1.1 - Caso de estudo 7 1.2 - Estrutura e metodologia proposta 9

2 - Descrição do problema 2.1 – Introdução 11 2.2 - Caracterização da operação 12 2.3 - Restrições à operação 15 2.4 - Definição dos objectivos 16 2.5 – Conclusão 18 3 - Revisão Bibliográfica 3.1 – Introdução 19 3.2 - “Facility Location” 20 3.3 – Localização de armazéns 22 3.4 - Métodos de resolução 23 3.4.1 - Métodos exactos 24 3.4.2 - Métodos heurísticos 26 3.4.3 - Métodos meta-heurísticos 27 3.5 – Conclusão 28 4 - Formulação matemática 4.1 – Introdução 30 4.2 – Modelo 30 4.3 - Implementação do Modelo (GAMS) 35 4.4 – MIP e CPLEX 36 5 - Aplicação do modelo 5.1 – Introdução 38 5.2 - Dados iniciais 38 5.3 – Tratamento de dados 41

5.4 - Dados finais 46 6 - Apresentação e discussão dos resultados

6.1 - Introdução 53 6.2 – Resultados 54 6.3 - Resumo e conclusões 68

6.4 – Estatísticas computacionais do modelo 70 7 – Conclusões e desenvolvimentos futuros 71 Bibliografia 72 Anexos

5

Índice de figuras

Figura 1 - Mapa da localização actual de armazéns e portos 13

Figura 2 - Mapa da densidade de procura 43

Figura 3 - Curva de custo do transporte secundário em função da distância 46

Figura 2 - Mapa da densidade de procura 55

Figura 4 - Rotas actuais de transporte secundário 56

Figura 5 - Custos para as localizações actuais com procura de 2006 57

Figura 6 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário

propostos pelo o modelo para a procura de 2006 58

Figura 7 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo com procura de 2006 59

Figura 8 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e as

actuais para a procura de 2006 59

Figura 9 - Custos para as localizações actuais com procura de 2008 61

Figura 10 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário

propostos pelo o modelo para a procura de 2008 62

Figura 11 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo com procura de

2008 63

Figura 12 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e

as actuais para a procura de 2008 63

Figura 13 - Custos para as localizações actuais com procura de 2010 65

Figura 14 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário

propostos pelo o modelo para a procura de 2010 66

Figura 15 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo para a procura de

2010 67

Figura 16 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e

as actuais para a procura de 2010 68

Figura 17 - Poupanças para os diferentes custos ao longo dos anos 69

6

Índice de tabelas Tabela 1 - Previsão do aumento da procura nos vários países para 2010 12

Tabela 2 - Distribuição da procura nos vários países 14

Tabela 3 – Utilização actual dos armazéns e portos 38

Tabela 4 - Custo do transporte rodoviário para os armazéns e portos utilizados

em 2006 40

Tabela 5 - Custo do transporte rodoviário para os diversos portos 40

Tabela 6 - Custo do transporte secundário para as rotas actuais 41

Tabela 7 - Custo do transporte primário rodoviário 45

Tabela 8 - Previsão do aumento da procura para 2008 59

Tabela 1 - Previsão do aumento da procura nos vários países para 2010 64

Tabela 9 - Tabela de resumo de custos e poupanças 69

7

1. Introdução

1.1 – Caso de estudo

Esta tese debruça-se sobre um problema que nos foi apresentando por um grupo de

produção de papel português e que se caracteriza por ser um problema de localização de

armazéns para redistribuição.

No prazo de quatro anos este grupo vai instalar uma nova máquina de papel junto de

uma já existente. A instalação desta nova máquina está relacionada com a necessidade de se

fazer frente ao aumento de procura que se tem vindo a acentuar em diversos mercados, no que

diz respeito aos produtos deste grupo. Esta nova máquina vai aumentar em muito a produção de

papel, sendo assim e tendo em conta o tal aumento da procura conclui-se que as vendas deste

grupo vão aumentar substancialmente.

Um dos maiores mercados de vendas deste grupo é a Europa Central. Este trabalho vai

focar-se no mercado composto pela Bélgica, Holanda, Luxemburgo e Alemanha. Estes países

representam uma percentagem considerável das exportações desta papeleira.

Para o abastecimento de produtos nestes países actualmente utilizam-se dois meios de

transporte: os transportes rodoviários e marítimos. Transportes estes que respectivamente

entregam os produtos em armazéns e portos. Estas estruturas físicas estão localizadas numa

série de pontos estratégicos que tentam minimizar os custos quer do transporte primário (entre

Portugal e os armazéns e portos) quer do transporte secundário (entre os armazéns e portos e

os clientes).

Hoje em dia os armazéns e portos que este grupo papeleiro utiliza para abastecer estes

países estão localizados em três sítios diferentes: Moerdijk na Holanda, Frankfurt e Nuremberga

na Alemanha. Contudo este grupo está em crer que com o aumento das vendas nestes países,

que se espera acontecer nos próximos 4 anos, as actuais localizações dos armazéns precisam

de ser revistas. Teme-se que mesmo agora não estejam nas posições óptimas. Com o aumento

das vendas esta situação só se agravaria.

O objectivo deste trabalho é descobrir que localizações seriam óptimas para se

posicionarem os armazéns de modo a que os custos do transporte primário e secundário sejam

os mínimos. Para calcular estas localizações terãho que ser analisados todos os meios de

8

transporte, os seus problemas, restrições e custos. Só integrando toda esta informação se

poderá chegar a uma conclusão realista e viável sobre o posicionamento destas infra-estruturas.

Este grupo de produção de papel exporta actualmente para Bélgica, Holanda,

Luxemburgo e Alemanha cerca de 131 000 toneladas de produtos por ano. Segundo as

previsões actuais os aumentos das vendas, nos próximos 4 anos, serão em alguns pontos de

mais de 50%. Todas estas vendas têm que passar em armazéns antes de serem redistribuídas

pelos diversos clientes espalhados pelas diversas cidades destes 4 países. Não será muito difícil

para quem quer que se detenha nestes números, identificar que a localização de um armazém é

absolutamente crucial para que os custos de transporte sejam os mínimos. Só se fala de custos

de transporte pois este grupo não tem quaisquer custos fixos com os armazéns que usa, por

razões que adiante se compreenderão.

Tendo em conta que Portugal está bastante afastado destes países, que a quantidade

de clientes neles existente é muito grande e que eles estão bastante dispersos na área destes

mesmos países, percebe-se que a localização destes armazéns é fundamental para o sucesso

deste grupo papeleiro nesta zona da Europa.

Uma má localização dos armazéns e portos envolvidos na operação de entrega ao

cliente resultaria em milhares de quilómetros percorridos desnecessariamente por centenas de

camiões e barcos transportando milhares de toneladas ao longo dos anos. Para além disto, a

falta de eficiência na entrega e a perda de qualidade no transporte poderiam ser outras

consequências da tentativa de se acelerar o processo com os armazéns em localizações longe

das posições óptimas.

1.2 – Estrutura e metodologia proposta

Esta tese vai ser organizada em sete capítulos: Introdução, Descrição do problema,

Revisão bibliográfica, Formulação matemática do modelo, Aplicação do modelo, Discussão e

análise dos resultados e Conclusões e desenvolvimentos futuros.

No primeiro capítulo, apresenta-se uma breve introdução ao trabalho, descrevendo

sumariamente o caso de estudo e a metodologia proposta para o trabalho.

No capitulo da descrição do problema será descrito pormenorizadamente o problema

que nos foi apresentado. Em primeiro lugar far-se-á uma análise da operação logística que

permite levar os produtos do grupo papeleiro à Europa Central, mencionando os meios de

transporte, as estruturas físicas utilizadas e as diversas restrições. Debruçar-nos-emos depois na

definição dos objectivos técnicos da execução deste trabalho.

9

No capitulo seguinte teremos a revisão bibliográfica. Aqui tentaremos fazer em primeiro

lugar um resumo geral sobre o que se estudou nas ultimas décadas e anos sobre os diversos

problemas de localização. Seguidamente focaremos mais explicitamente os problemas da

localização de armazéns, analisando a evolução das soluções encontradas ao longo dos anos.

Os métodos de resolução dos modelos serão também estudados. Finalmente, concluiremos qual

o melhor tipo de modelo para ser construído e estudaremos de entre toda esta informação o que

é relevante neste caso.

A formulação matemática será apresentada no quarto capítulo. Neste curto capitulo

serão expostos e explicados, os conjuntos, os parâmetros, as variáveis, as restrições e a função

objectivo que definem o modelo. Apresentar-se-á também o programa onde se implementou o

modelo. Por fim, analisaremos que tipo de modelo é o proposto para que melhor possamos

decidir sobre que algoritmo de resolução do modelo usar.

A aplicação do modelo ao nosso caso de estudo, o problema da localização dos

armazéns na Bélgica, Holanda, Luxemburgo e Alemanha, será explicada no sexto capitulo. Aqui

faremos uma exposição sobre os dados que nos foram fornecidos e o seu tratamento. De

seguida, com base na formulação matemática explicaremos passo por passo toda a aplicação do

modelo ao caso em estudo.

Finalmente, no capítulo sete, apresentam-se as conclusões do trabalho e identificam-se

alguns pontos a explorar em desenvolvimentos futuros.

10

2. Descrição do problema

2.1 - Introdução

A distribuição por parte de uma qualquer indústria, dos seus produtos, pelos clientes é

uma parte fundamental de todo o negócio. A distribuição deve ser avaliada essencialmente por

três parâmetros, a qualidade de serviço, a rapidez com que se consegue colocar o produto no

cliente e o custo desta entrega.

A qualidade e a rapidez da entrega determinam a confiança que os clientes depositam

na empresa. Dificilmente um cliente confiará numa empresa que repetidamente não cumpra os

prazos de entrega, que entregue produtos danificados ao longo do processo de transporte, ou

que troque as encomendas dos clientes. Por outro lado, assegurar que o transporte não só é

rápido como seguro, pode significar custos muito elevados para a empresa.

O transporte de papel começa na fábrica onde este é produzido. Tem como destino

centenas de locais espalhados por regiões muitas vezes, distantes do local de produção. Uma

grande fábrica de papel, produz centenas de milhares de toneladas por ano e milhares de

diferentes produtos. A cada cliente é entregue exactamente o produto solicitado, na quantidade

desejada e no prazo contratado.

Para além destas variáveis há ainda outra variável importante, o tempo, ao longo do

qual as quantidades requeridas por cada cliente e os custos associados aos meios de transporte

variam. Sendo assim, todas esta variáveis fazem com que a logística de distribuição seja

complexa.

No caso de uma papeleira em Portugal, os problemas são ainda agravados. Com

efeito o facto de o país se localizar num extremo da Europa faz com que o transporte para

muitos clientes obrigue a grande deslocações. Para se concorrer com outras empresas

localizadas mais próximas dos clientes tem que se ter, entre outras coisas, uma rede de

distribuição muito competitiva.

Optimizar uma rede extensa, exigente e muitas vezes com parâmetros muito variáveis

é uma tarefa complicadíssima. Desde de há algumas décadas que investigadores nos campos

da logística e investigação operacional se empenham a descobrir métodos de optimizar este tipo

de redes ao máximo. Vários métodos que foram já estudados serão passados em revista no

capítulo da revisão bibliográfica.

11

\

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

2.2 – Caracterização da operação

A operação que vai ser estudada e modelada diz respeito à entrega de produtos

produzidos em Portugal, no norte da Europa. Mais especificamente na Bélgica, Holanda,

Alemanha e Luxemburgo. Com montagem de uma nova máquina de produção de papel,

máquina esta que estará operacional dentro de quatro anos, a produção vai aumentar

consideravelmente. Prevê-se que acompanhando este aumento de produção a procura cresça

nos já referidos mercados do norte da Europa. Associado a este aumento da procura e da

produção, terá que existir também um aumento da capacidade de transporte entre as fábricas e

os clientes.

Prevê-se que o aumento da procura nos próximos quatro anos seja, no mercado acima

indicado, o seguinte:

Tabela 1 - Previsão do aumento da procura nos vários países para 2010

Bélgica 54 % Holanda 18 %

Alemanha 56 % Luxemburgo 56 %

Actualmente o grupo papeleiro em causa utiliza três armazéns (quadrados)/portos

(triângulos) localizados nos quatro países já referidos.

Fig. 1 - Mapa da localização actual de armazéns e portos

12

Um dos armazéns situa-se no porto de Moerdijk na Holanda, os outros dois estão

localizados na Alemanha em Frankfurt e em Nuremberga. O grupo em causa admite que a

localização destes armazéns não seja óptima, especialmente tendo em conta o aumento da

procura que deve acontecer pois não reduz ao mínimo os custos de transporte entre Portugal e

estes mercados do norte da Europa.

O nosso trabalho concentrar-se-á em descobrir as localizações óptimas para os

armazéns utilizados na distribuição. Para isto teremos que estimar os diversos custos

envolvidos. Há essencialmente três tipos de custos que devem ser considerados: o custo do

transporte Portugal – armazém, o custo de utilizar o armazém e o custo do transporte armazém –

cliente. O nosso objectivo é a minimização global destes custos.

Para esta região o grupo em causa teve no ano de 2006 mais de 7000 encomendas

num total de 131 000 toneladas no conjunto de todos os seus produtos. A distribuição das

vendas por estes quatro países é a seguinte.

Tabela 2 - Distribuição da procura nos vários países

Para o transporte Portugal – armazéns podem-se utilizar meios rodoviários,

ferroviários ou marítimos. À partida põe-se de lado a hipótese ferroviária por não haver

transportadoras interessadas. Entre outras razões isto acontece por a bitola ibérica ser diferentes

da restante Europa. Resta portanto o transporte marítimo e o rodoviário como soluções a

ponderar.

Actualmente para o transporte rodoviário, este grupo papeleiro utiliza camiões que

vêm do centro, do norte ou leste Europeu com produtos importados. Ao regressarem aos seus

países de origem preferem ir carregados afim de rentabilizarem a viagem de regresso. Como a

nossa balança de comércio é deficitária, ou seja, importamos mais do que exportamos, há

Ton %

Bélgica 20018488 15.3

Alemanha 68884238 52.6

Holanda 41947141 32.0

Luxemburgo 208895 0.2

13

bastante oferta de transporte para a Europa central. Isto faz com que os custos do transporte

rodoviário sejam reduzidos.

O transporte marítimo é feito em contentores. Utiliza-se o porto da Figueira da Foz

para o carregamento e um de cinco portos no norte da Europa (Bremen, Antuérpia, Hamburgo,

Moerdijk ou Roterdão) para a descarga. Apesar deste transporte ser relativamente barato,

demora mais tempo e necessita de uma maior quantidade disponível num determinado momento

para carregar vários contentores. Isto aumenta os custos de stock quer na fábrica quer no

armazém para além de dificultar a gestão dos stocks.

. Na rede de distribuição importa referir que os armazéns não são propriedade do grupo

nem esta pretende que o venham a ser, qualquer seja a localização proposta. Os armazéns são

geridos por outra entidade à qual se paga um determinado preço por tonelada de papel

armazenado. Logo não há custos fixos como uma renda ou uma amortização pela construção de

um destes armazéns.

Por fim, admite-se que o número de armazéns de que se dispõe actualmente não seja

o número óptimo. Por isso se estudará não só qual a melhor localização para os armazéns mas

também qual o seu número óptimo.

2.3 – Restrições à operação

Para a localização dos armazéns temos que ter em linha de conta os diferentes custos

do transporte. É também essencial que se analisem as diferentes restrições que estão inerentes

a esta operação e a condicionam.

A primeira grande restrição está relacionada com a localização dos armazéns. Como

adiante será devidamente explicado e justificado, são propostas, em toda a zona que abrange a

Bélgica, a Holanda o Luxemburgo e a Bélgica, algumas dezenas de localizações possíveis para

os armazéns. A partir destas localizações possíveis o programa parte para uma optimização. O

facto de existirem à partida localizações propostas limita as opções do programa. Estas

localizações estão numa zona definida pelos seguintes limites: os paralelos 47º 15’ N - 54º 15’ N

e os meridianos 3º 00’ E - 15º 00’ E.

Outra restrição é a existência de um mínimo de tonelagem que um armazém impõem

que seja manipulada por si. Isto é, para que seja rentável o seu relacionamento com um

determinado cliente, cada armazém, determina que esse cliente use o armazém um numero

mínimo de toneladas por ano. Abaixo deste valor o armazenista considera que não é

14

interessante trabalhar com um determinado cliente. No nosso caso os armazéns impõem que

pelo menos 25 mil de toneladas por ano sejam manipuladas por cada um.

Tal como com os armazéns, o programa também só analisa, para possível utilização,

alguns portos propostos. Por sugestão do grupo papeleiro, neste trabalho apenas serão

considerados os portos de: Moerdijk, Antuérpia, Roterdão, Hamburgo e Bremen.

A obrigatoriedade de pelo menos um porto ser utilizado é também imposta, pois por

vezes existem limites pontuais na capacidade de transporte rodoviário (greves, estradas

bloqueadas, etc) e então é necessário recorrer-se ao transporte marítimo. Ora para que isso

possa acontecer com um mínimo de custos, é essencial que exista uma ligação a um

determinado porto.

Por último, as encomendas de todos os clientes têm que ser todas satisfeitas. Em

nenhuma situação o grupo põe a hipótese de uma determinada encomenda não ser satisfeita,

pelo menos no que toca ao contexto deste trabalho.

2.4 – Definição dos objectivos

Este trabalho define como grande objectivo a redução de custos no transporte,

mantendo-se a qualidade e a rapidez do serviço.

Os diferentes participantes nesta operação, têm diferentes interesses que permitem

traçar os seus objectivos. As várias entidades presentes são:

- O grupo papeleiro

- O transportador primário (Portugal – armazém)

- Os armazéns

- O transportador secundário (armazém – cliente)

O grupo papeleiro

Do ponto de vista do grupo, os objectivos para a entrega dos seus produtos aos

clientes em função das encomendas feitas são:

- Custos de transporte o mais baixo possível

- Custos de armazenamento o mais baixo possível

15

- Qualidade do serviço

- Cumprimento dos prazos

Os custos de transporte são como foi já referido o somatório dos custos de transporte

primário (Portugal-armazém) com os custos de transporte secundário (armazém-cliente). Do

ponto de vista empresarial estes custos devem ser o mais reduzidos possível. Há que se fazer

aqui um balanço, por um lado quanto mais perto de Portugal estiverem os armazéns mais barato

será o transporte primário, mas por outro lado quanto mais perto os armazéns estiverem dos

clientes mais barato será o transporte secundário.

Quanto ao armazenamento, como foi já dito, para os preços serem razoáveis as

entidades gestoras dos armazéns impõem um mínimo de toneladas de armazenamento por ano.

Neste trabalho não se equacionará o tempo de stock em cada armazém e os seus custos.

Admite-se que cada tonelada que passa num armazém tem um determinado custo e esse custo

é sempre o mesmo.

A qualidade de serviço e o cumprimento de prazos são objectivos que não serão

avaliados no nosso modelo, cujo o único objectivo é determinar a localização óptima dos

armazéns.

O transporte primário

Como já foi dito as empresas de transporte primário tem como objectivo aproveitar o

melhor possível os seus meios de transporte. Por isso a o grupo papeleiro em causa utiliza

camiões de importação para que aproveitem a viagem de volta para os seus países de origem.

Como a oferta de transporte neste tipo de situação é grande os custos tornam-se mais

reduzidos.

Os armazéns

Os armazéns têm como objectivo a melhor taxa de utilização possível. Por isso

impõem aos seus clientes um mínimo de utilização anual. No nosso caso a generalidade dos

armazéns impõem 25 mil de toneladas anuais como mínimo.

O transporte secundário

O transporte secundário tem como objectivo uma boa taxa de utilização. Para isto os

armazéns têm que estar bem colocados em relação aos clientes de maneira tal que se possam

16

construir percursos de entrega rápidos e eficientes. Este trabalho não se debruçará sobre a

questão do planeamento de rotas, tentando apenas minimizar a distância armazém-cliente.

2.5 – Conclusão

Neste capítulo, em primeiro lugar, caracterizamos a operação , explicando a situação

actual e definindo as linhas de análise do problema. Seguidamente apresentaram-se as

restrições a operação. Por fim, avaliou-se os vários objectivos das diversas entidades que

participam nesta operação de modo a se compreender melhor a situação.

No próximo capítulo faremos a revisão bibliográfica, onde serão passadas em revista

uma boa parte dos artigos e trabalhos que foram publicados. O objectivo deste capítulo é a partir

do que já foi escrito por diversos investigadores tentar perceber qual a melhor via para a

resolução deste problema.

17

3. Revisão bibliográfica

3.1- Introdução

A localização de fábricas, armazéns ou pontos de venda é um ponto crítico na estrutura

de muitas empresas, que deste modo são obrigadas a ter uma rede de distribuição alargada.

Muito depende da eficiência da rede logística de entrega do produto ao cliente. Hoje em dia, há

cada vez mais, uma maior pressão sobre estas estruturas. Tal deve-se à exigência do

consumidor no que toca à eficiência e rapidez da entrega.

Na maior parte das vezes, há grandes custos, envolvidos na distribuição de um

determinado produto, custos estes, que importa diminuir e rentabilizar ao máximo. O grande

desafio é tentar poupar, sem perder rapidez e sem perder qualidade.

A localização de uma determinada fábrica ou armazém, determina qual será a distância

a percorrer para se chegar ao cliente, e consequentemente quais serão os custos de transporte.

Nos casos em que há milhares de clientes não é simples minimizar as distâncias dos armazéns

a todos eles, e ao mesmo tempo, minimizar também a distância dos armazéns à fábrica.

Para além disso, a implementação de uma rede logística por ser algo, na maior parte

das vezes, muito complexo, comporta custos muito elevados. Devem por isto evitar-se

alterações frequentes na sua configuração, especialmente no que toca à localização das suas

estruturas físicas. Para que estas alterações aconteçam o menor número de vezes, devem fazer-

se previsões exaustivas ao nível da alteração de procura nas diferentes localizações de

abastecimento.

Diversos investigadores há já alguns anos, estudam modelos e algoritmos para tentar

optimizar ao máximo a localização destas estruturas físicas.

Pelo o facto de muitas vezes existirem centenas ou milhares de clientes, é difícil chegar

a resultados óptimos. Acresce ainda outra dificuldade, os pressupostos em que os modelos

assentam estão em constante mutação, o que conduz a cenários sempre diferentes. Até há

pouco tempo, os problemas que se conseguiam resolver eram estáticos ou determinísticos. Não

se consideravam as alterações existentes na procura, fossem elas meras flutuações ou

evoluções de carácter mais definitivo. A programação dinâmica e estocástica, tem surgido na

última década de uma forma mais consistente, permitindo que os modelos sejam mais realistas e

abarquem um horizonte mais alargado.

18

Na revisão do que foi escrito sobre este tema, vamos começar por fazer uma

aproximação generalista ao problema da “facility location ” evoluindo depois para a questão mais

concreta da “warehouse location”, que é o objecto deste trabalho.

3.2 - “Facility Location”

A localização de fábricas, armazéns ou outras estruturas físicas, dá origem a um

conjunto de problemas. A questão é, onde localizar as diferentes estruturas, em função de uma

carteira de clientes, de modo a que o custo de ligar as estruturas aos diversos clientes seja o

mínimo possível. Para isto deve-se ter em linha conta, que existem para além dos custos de

transporte os custos de construção e/ou de aluguer das instalações.

Weber (1909) iniciou a investigação sobre este tema quando desenvolveu o primeiro

modelo de localização de uma única fábrica. Este modelo apenas minimizava a distância

percorrida entre a fábrica e os vários clientes distribuídos numa determinada área.

Contudo, só quase quatro décadas mais tarde é que os investigadores se voltaram a

debruçar seriamente sobre os problemas de localização. Alguns exemplos são: a localização de

quartéis de bombeiros (Valinsky 1955), de centrais de lixo (Wersan et al. 1962), e de fábricas

(Burstall et al. 1962), entre outros.

O problema conhecido como SPLP (Simple Plant Location Problem), foi formulado por

Kuehn and Hamburger (1963). Este modelo utiliza uma heurística que tem como inputs a

localização dos clientes e os diversos locais possíveis para a implantação da fábrica. Nele,

procuram-se minimizar os custos de transporte entre a fábrica e os clientes e o custo de

construção. Isto faz com que o modelo só indique a construção de uma nova fábrica, no caso do

transporte para um determinado conjunto de clientes ser tão caro, que se justifica construir uma

fábrica junto desses clientes. Como restrições o modelo tem o facto, de obrigar a que todos os

clientes sejam satisfeitos e que cada cliente o seja, recorrendo apenas a uma fábrica.

Soland (1974), analisa a localização de armazéns ou fábricas com custos de operação e

transporte que seguem uma função côncava. Este modelo tem uma resolução exacta.

Um algoritmo exacto branch-and-bound é desenvolvido por Soland (1974) para resolver

o problema de Facility Location with Concave Costs. Este artigo cria um modelo que localiza

zonas óptimas para o posicionamento de fábricas, admitindo que os custos de operação e

construção se definem por uma função côncava.

19

A localização óptima de estruturas físicas em redes é considerado também por Kariv e

Hakimi (1979). A localização é equacionada minimizando-se a soma das distâncias e também as

distâncias máximas das estruturas aos pontos da rede.

Chvatal (1979), formula uma heurística Greedy. Esta heurística é depois utilizada por

Guha and Kuller (1998) alguns anos mais tarde, para resolver o problema UFLP (Uncapacitated

Facility Location Problem), o que implica uma optimização quer dos custos de serviço ao cliente

quer dos custos implantação da estrutura. Sultan and Fazan (1986) utilizam a meta-heurística

tabu search para resolver também o problema UFLP.

Para se resolver o problema SPLP, Goldengorin, Ghosh e Sierksma (2003) voltam a

utilizar o algoritmo branch-and-bound baseado num dual ascend method, tendo obtido resultados

surpreendentes.

O caso do problema CFLP (Capacitated Facility Location Problem), muito semelhante

no geral ao problema UFLP, tem a especificidade de ter as capacidades limitadas. Este

problema oferece grandes dificuldades para o cálculo da sua solução em situações reais. A

maioria dos modelos para este problema foram solucionados com base em algoritmos de

relaxação lagrangeana exemplos de isto são os trabalhos executados por Holmberg et al. (1999)

e Díaz and Fernandez (2001). Para estes modelos também se desenvolveram algoritmos de

decomposição primal e primal–dual como por exemplo Wentges (1996). Com Chudak e

Williamson (2004) desenvolve-se uma heurística de procura local que simplificando um algoritmo

lançado por Korupolu, Plaxton, and Rajaraman (2000) consegue soluções mais próximas do

óptimo em menos tempo.

Outro problema que a certa altura apareceu foi o Connected Facility Location Problem,

neste problema a modelação é feita por um grafo. Swamy e Kumar (2004) utilizam um algoritmo

primal-dual para resolver este problema. Utilizaram depois o mesmo algoritmo para resolver

outros problemas.

3.3 – Localização de armazéns

Facilmente se percebe que a localização de fábricas, pontos de vendas, armazéns ou

outras estruturas físicas tem muito de semelhante. Em todos os casos a localização óptima

implica minimizar os custos do transporte, quer sejam a montante ou a jusante da estrutura,

minimizando-se ao mesmo tempo o custo de construção ou aluguer da mesma. Devido a esta

proximidade, a investigação sobre a localização de armazéns está intimamente ligada com as

investigações que acima se referiram, e que não sendo objectivamente sobre a localização de

20

armazéns, nos dão informações preciosas sobre como desenvolver os modelos para a resolução

este problema.

Como já foi referido, Weber (1909), publicou um trabalho denominado Theory of the

Location of Industries. Trabalho este que lançou as bases para o estudo deste problema. Só

algumas décadas depois surge um novo artigo por Baumol and Wolfe (1958), que desenvolve

um modelo para determinar as localizações óptimas de vários armazéns. Este modelo utiliza um

algoritmo exacto, chegando portanto a uma solução óptima.

Kuehn e Hamburguer (1963), criam uma heurística para a colocação espacial de

armazéns em grande escala. Este modelo apresenta muitas vantagens em relação aos modelos

até então desenvolvidos, essencialmente algoritmos baseados em programação linear e

optimização.

Khumawala (1972) desenvolve um modelo matemático que resolve através do método

exacto branch-and-bound. Propõe uma série de regras de decisão para resolver o problema

UFLP (Uncapacitated Warehouse (Facility) Location Problem). O objectivo é seleccionar locais

onde seriam colocados armazéns, a partir da árvore branch-and-bound.

Brandeau e Chiu (1989) apresentam uma revisão onde identificam como artigos mais

relevantes na Warehouse Location os artigos já mencionados. Só com Perl e Daskin (1992) se

discute de novo o problema propondo-se uma metodologia que integra uma resolução exacta e

uma heurística. Esta metodologia divide o problema em três partes e resolve-os utilizado um

método exacto e heurístico de uma maneira sequencial.

Um novo método, baseado em simulação para resolver o problema UWLP surge com

Hidaka e Okano (1997). Este modelo lida com o problema em larga escala (no artigo simulam

uma situação com mais de 6800 clientes), procurando uma solução próxima do óptimo.

Com Krativa, Filipovie e Tosie (1998) dá-se introdução dos chamados algoritmos

genéticos, com os quais se consegue atingir bons resultados num razoável tempo de

processamento. Para além destes, a meta-heurística tabu-search é aplicada ao UWLP por

Michel e Hentenryck (2003). Os resultados são espantosos chegando-se a um resultado perto do

óptimo, muito rapidamente.

Dupont (2006), analisa a localização de armazéns, admitindo que os custos quer no

transporte quer no armazenamento seguem uma função côncava que os relaciona com a

quantidade transportada. Para isto Dupont (2006) desenvolve uma heurística aproveitando

algumas propriedades dos métodos exactos.

21

Por fim, Ghill e Bhatti (2007) criam um modelo que divide o problema da localização de

armazéns em duas partes. Capaz de resolver problemas de grande dimensão, este modelo

constrói uma matriz binária que descreve as possibilidades de a locação. Num segundo passo

calcula qual a solução óptima dentro do universo destas mesmas possibilidades.

3.4 – Métodos de resolução

Os problemas de localização, são problemas que como foi visto, são estudados há

algumas décadas por diversos investigadores. Para resolver estes problemas foram criados uma

série de métodos. Estes métodos estão essencialmente divididos em três, os métodos exactos,

métodos heurísticos e as meta-heurísticas.

Nos próximos pontos serão passados em revista os diversos métodos, sendo também

exploradas as diversas variantes dos métodos exactos e dos métodos heurísticos.

3.4.1 – Métodos exactos

Os métodos exactos dividem-se, segundo Gomes (2005) em três grandes categorias:

métodos eficientes, métodos de formulação matemática e métodos de enumeração implícita.

Neste trabalho só vamos explorar os métodos de formulação matemática, por serem

aqueles que têm relevância na resolução dos problemas de localização.

Os métodos exactos de formulação matemática podem ser descritos através de

programação linear inteira mista. Porque como veremos à frente dá a possibilidade às variáveis

para serem binárias ou contínuas.

A aplicação da programação linear inteira permite determinar qual a solução óptima para

um problema concreto. É utilizada para optimizar, maximizando ou minimizando um determinado

conjunto de variáveis relacionadas entre si, às quais se chama função objectivo. Associadas à

função objectivo existem um conjunto de restrições que são definidas por equações lineares ou

inequações.

Segundo Smith (1971) todos os problemas em programação linear têm um problema

dual que é o “contrário” do problema primal. Se no problema primal se maximiza no problema

dual minimiza-se e vice-versa. O problema dual é importante essencialmente por três razões:

1ª - Em muitos casos o problema dual é mais fácil de resolver que o primal.

22

2ª -As variáveis do problema dual dão-nos informações sobre como se altera a função

objectivo em resultado de pequenas alterações nas restrições.

3ª- Para além disto o conhecimento dos problemas duais possibilita a construção de

algoritmos para problemas mais complexos.

Jain e Vazirani (1999) e Swamy e Kumar (2004) aplicam a noção de problema dual à

resolução de problemas de localização.

Gomes (2005) refere que a programação linear inteira divide-se em métodos de

resolução exacta e de resolução aproximada. Os métodos de resolução exacta são por sua vez

dois: o método branch-and-bound (método de ramificação e corte) e o método dos planos de

corte. Os métodos de resolução aproximada são essencialmente os métodos de relaxação, de

onde se destacam a relaxação linear e a relaxação lagrangeana.

O método de branch-and-bound é segundo Drezner (1995) um método que resolve

problemas complexos, dividindo o seu domínio em sub-domínios, branching. De seguida analisa

cada um dos sub-domínios, através da função objectivo e do valor das restrições e com isto

limita o problema, ou seja faz o chamado bounding. Este método é bastante utilizado nos

problemas de localização. Alguns exemplos da sua utilização são Efroymson e Ray (1966),

Soland (1971) e Holmberg et al. (1998).

O método de planos de corte funciona partindo da resolução linear do problema e

verificando depois se a solução é inteira. Não sendo, utiliza-se um processo recursivo em que se

cria uma nova restrição que corta solução a solução as soluções não inteiras e força a procura

de uma nova solução inteira. Contudo este método segundo as nossas pesquisas praticamente

não é utilizado nos problemas de localização.

Quanto aos métodos de resolução aproximada temos como foi já dito dois métodos de

relaxação. No primeiro, o método de relaxação linear é simples. Apenas relaxa o problema de

uma forma linear diminuindo o espaço de soluções consecutivamente. No segundo método, os

investigadores debruçaram-se essencialmente no método de relaxação lagrangeana. Segundo

Drezner e Hamacker (2002) este método cria um problema lagrangeano associado ao problema

inicial e cuja a solução óptima vai criar um limite para a função objectivo do problema inicial. Isto

é feito, eliminando restrições do problema inicial e adicionado estas restrições, depois de

multiplicadas por um multiplicador langrageano, à função objectivo. Assim ter-se-á um problema

relaxado que é bastante mais fácil de resolver até ao óptimo do que o problema inicial. Um

exemplo da aplicação deste método é o artigo apresentado por Jain, Vizai e Vazirani (2001).

23

3.4.2 – Métodos heurísticos

Os métodos exactos têm o grande problema de serem por vezes muitos pesados e

extremamente vagarosos na resolução de um problema com elevado nível de complexidade. Foi

no sentido de se aumentar a velocidade da resolução de certos problemas que se criaram os

métodos heurísticos.

Um método heurístico é um algoritmo que nem sempre, mas que na maior parte das

vezes, fornece uma boa solução, próxima da solução óptima. Contudo não se pode garantir que

por vezes a solução fornecida não esteja muito distante da óptima. Estes algoritmos partem de

uma série de regras, que foram definidas pela experiência, e pelo conhecimento da situação que

proporcionam em determinados casos uma solução rápida para o problema.

Nas últimas décadas, para a resolução de problemas de localização, houve muitíssima

investigação no campo dos métodos heurísticos. Todo este esforço levou a que hoje existam

bastantes heurísticas que concorrem entre si em termos de velocidade e proximidade à solução

óptima.

O algoritmo local search é introduzido por Kuehn and Hamburguer (1963) como

ferramenta para a localização de armazéns. A ideia deste algoritmo é partir de uma solução

possível e depois ir avançando consecutivamente para a melhor solução vizinha, somando ou

subtraindo um armazém, ou mudando a sua localização. Este algoritmo foi testado e demonstrou

ter uma boa performance em experiências empíricas.

Guha e Khuller (1998) utilizam o chamado greedy algorithm para posicionar armazéns e

outras estruturas físicas de uma rede de distribuição. O algoritmo greedy funciona detectando

num determinado ponto qual o local óptimo. O processo é repetido até ao fim das iterações,

esperando-se que chegue ao resultado óptimo ou se aproxime dele. Neste artigo Guha e Khuller

(1998) combinam o algoritmo greedy com um algoritmo proposto por Shmoys, Tardos e Aardal

(1997).

Korupolu, Plaxton e Rajaraman (2000) desenvolveram o algoritmo proposto por Kuehn

and Hamburguer (1963), garantindo uma solução satisfatória com um determinado número de

iterações.

Muitas outras heurísticas foram desenvolvidas. Neste sub-capitulo apenas tivemos por

intenção salientar aquelas que nos pareceram mais relevantes.

24

3.4.3 – Métodos meta-heurísticos

Os métodos heurísticos criam-se especificamente para uma determinada situação.

Dificilmente se pode pegar num destes algoritmos e utilizá-lo noutro problema. É exactamente

aqui que estes métodos diferem dos métodos meta-heurísticos. Os métodos meta-heurísticos

são algoritmos desenvolvidos para se poderem utilizar em diversas situações.

Os métodos meta-heurísticos são algoritmos que foram desenvolvidos e que se podem

aplicar em diversos problemas independentemente da estrutura destes. A sua aplicação

necessita apenas de uma adaptação do algoritmo ao problema.

Existem vários tipo de meta-heurísticas. As mais utilizadas nos problemas de

localização, são: tabu search, algoritmos genéticos e simulated annealing.

A meta-heurística tabu-search funciona de um modo semelhante ao clássico sistema de

pesquisa local. A diferença é que com este método se pode avançar para soluções que não

melhorem a função objectivo. O objectivo é fugir aos óptimos locais, para tentar encontrar o

óptimo global mesmo quando ele está distante dos diversos óptimos locais. Para tal cria-se uma

lista tabu que memoriza os diversos movimentos que não se podem repetir, por não trazerem

melhorias à solução final. Sultan e Fawzan (1986) adaptaram esta meta-heurística ao problema

UWLP.

Os algoritmos genéticos, baseiam-se na teoria da evolução de Darwin em que as

espécies evoluem e vão sobrevivendo apenas os indivíduos resistentes. Neste algoritmo há uma

“população” de soluções que se vão combinando duas a duas (tal como progenitores) e que dão

origem a diferentes soluções que combinam características dos progenitores. Por vezes podem

também existir mutações que podem enfraquecer ou fortalecer a espécie. Quanto mais perto do

óptimo estiver uma solução, mais resistente será o individuo que ela representa. Deste modo,

tende-se a chegar à solução óptima. Hosage e Goodchild (1986) escreveram um artigo referente

à aplicação dos algoritmos genéticos aos problemas de localização.

O algoritmo simulated annealing tenta copiar a forma como um determinado material

arrefece. Primeiro a temperatura está muito alta e por isso os átomos estão numa grande

agitação. Nesta altura o algoritmo pesquisa aleatoriamente soluções para se afastar do óptimo

local. Conforme a temperatura vai diminuindo o algoritmo vai tornando-se mais criterioso (tal

como os átomos vibram menos) pesquisando numa zona já mais restrita e mais próxima da

solução óptima. A aplicação deste algoritmo aos problemas de localização foi feita por Aydin,

Yigit e Fogarty (2002).

25

3.5 – Conclusão

O modelo que será desenvolvido e devidamente explicado no capítulo seguinte, assenta

essencialmente no artigo de Ghill e Bhatti (2007). Ambos os modelos assentam na mesma ideia

minimizar custos garantindo que toda a procura é satisfeita. No modelo de Gill e Bhanti (2007)

minimiza-se o numero de armazéns enquanto no nosso modelo se minimizam os custos de

transporte. Aqui percebe-se que no modelo de Gill e Bhanti (2007) se dá uma grande

importância aos custos fixos dos armazéns enquanto no nosso caso estes custos por razões que

à frente serão melhor exploradas não são considerados. Sendo portanto modelos bastante

diferentes têm estruturas de base semelhantes.

Na primeira fase do modelo de Ghill e Bhatti (2007) cria-se também, a partir de uma

restrição de distância máxima entre o armazém e o cliente, uma tabela binária. Que depois é

utilizada para limitar as escolhas do modelo. Essa tabela tem o objectivo de criar as

possibilidades de alocação dos clientes às diversas localizações possíveis para os armazéns.

Tendo estas possibilidades o modelo minimiza o número de armazéns.

O modelo, sendo bastante diferente, segue as mesmas linhas gerais ou seja alocando

armazéns a uma determinada procura num certo cliente, garante-se que as encomendas de

todos clientes são entregues. Optimiza-se ao mesmo tempo uma função objectivo que soma os

vários custos: no nosso caso os custos de transporte e armazenamento, no caso do modelo Ghill

e Bhatti (2007), como já foi dito, os custos fixos dos armazéns.

No próximo capítulo será estudada a formulação matemática do modelo criado para

resolver este problema. Depois de uma breve introdução serão apresentados os conjuntos, os

parâmetros, as variáveis e a função objectivo deste modelo. Nos pontos seguintes far-se-á uma

breve exposição do ambiente em que o modelo foi implementado bem como do tipo de problema

e do algoritmo que foi utilizado para o resolver.

26

4. Formulação matemática

4.1– Introdução

Como foi já descrito procura-se neste trabalho modelar um sistema de distribuição com

duas fases de transporte. Uma primeira até um porto ou armazém (transporte primário) e uma

segunda do porto ou armazém para o cliente (transporte secundário). Existem assim dois meios

de transporte passíveis de serem utilizados, os meios rodoviários e os marítimos.

Depois de modelado o sistema de distribuição podemos então optimizar os custos

diminuindo os custos de transporte primário e secundário. Claro que para isto é necessário

compreender os custos envolvidos e aplicá-los. É por outro lado necessário ter em conta as

várias restrições do problema.

Os objectivos centrais do modelo a desenvolver são: calcular a localização óptima dos

armazéns a utilizar e ao mesmo tempo seleccionar que portos devemos utilizar.

O modelo é composto por conjuntos, parâmetros, variáveis, restrições e função

objectivo.

Neste curto capítulo analisar-se-á a formulação matemática, o ambiente de implantação

deste e o algoritmo de resolução. No próximo capítulo veremos a aplicação deste modelo ao

caso de estudo descrito no Capítulo 2.

4.2 – Modelo

O modelo aqui exposto tem como objectivo traduzir para linguagem matemática o

problema descrito anteriormente. Para este efeito serão explicados todos items que compõem o

modelo.

Os conjuntos

e ={armazéns}

i ={fábricas}

j ={cidades}

p ={portos}

t ={time}

27

Para além destes existem ainda, os conjuntos e1 e p1, que têm exactamente o mesmo

domínio que e e p, respectivamente.

Parâmetros

a0, a1, a2 – coeficientes polinomiais

ai - capacidade disponível na fábrica i

c1i,p- custo do transporte entre a fábrica i e o porto p

c2j,e-custo do transporte do armazém e para a cidade j por quilómetro e por tonelada

c3j,p-custo do transporte do porto p para a cidade j por quilómetro e por tonelada

CExcpj,p-custo (excepcional) por quilometro por tonelada do transporte entre o porto p e

a cidade j

d1i,e- distância entre a fábrica i e o armazém e

d2j,e- distância entre o cliente j e o armazém e

d3j,p- distância entre o cliente j e o porto p

dist2e,e1- tabela binária em que o valor 0 não permite que o armazém e e o armazém e1

sejam utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos (menos de 100 km)

dist3e,p- tabela binária em que o valor 0 não permite que o armazém e e o porto p sejam

utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos (menos de 100 km)

dist4p,p1- tabela binária em que o valor 0 não permite que o porto p e o porto p1 sejam

utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos (menos de 100 km)

Excpj,p- o custo do transporte entre o porto p e a cidade j é uma excepção à formula

geral

g-custo de transporte entre uma fábrica e um armazém por quilómetro e por tonelada

h-custo fixo por armazém por ano

h1-custo de utilização de um armazém por tonelada

MH-utilização mínima de um armazém em toneladas

pj,t- procura na cidade j no tempo t

Cálculo dos parâmetros c2 e c3

Tal como mais à frente se vai explicar detalhadamente os parâmetros c2

e c3 são calculados através das seguintes formulas:

28

2, , ,

2, , ,

2 0 2 1 2 2

3 0 3 1 3 2j e j e j e

j p j p j p

c a d a d a

c a d a d a

= × + × +

= × + × +

Nos casos excepcionais nomeados na tabela Excpj,p , c3 tem o valor definido para cada

par j,p na tabela CExcpj,p.

Variáveis do modelo

Variáveis contínuas positivas

yi,e,t-quantidade transportada entre a fábrica i e o armazém e, no tempo t

xe,j,t-quantidade transportada entre o armazém e e a cidade j, no tempo t

wi,p,t-quantidade transportada entre a fábrica i e o porto p, no tempo t

kp,j,t-quantidade transportada entre o porto p e o cliente j, no tempo t

Variáveis binárias

ne-toma o valor 1 se o armazém e for utilizado e 0 se o armazém e não for utilizado

n1p-toma o valor 1 se o porto p for utilizado e 0 se o porto p não for

Variáveis auxiliares

z1-custo do transporte para o armazéns e para os portos

z2-custo de armazenar mercadoria em armazéns ou portos

z3-custo do transporte de armazéns e portos para cidades

z4-custo fixo de se utilizar um armazém ou um porto

z-custo total em unidades monetárias

29

Restrições

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

As restrições 4.1 e 4.2 definem que um limite mínimo de utilização para cada armazém ou

porto, denominado minimum handling.

Nas restrições 4.3 e 4.4 utiliza-se o Big M para executar a condição de utilização ou não

de um armazém ou porto (relembrar que ne e n1p são variáveis binárias). Deve aqui ter-se em

conta que o valor do Big M é um valor tão grande que nunca possa ser ultrapassado pelo o

somatório de x. Mas basta que o x não seja zero para que ne ou n1p tenham o valor de 1 e ou

seja o armazém/porto ser utilizado.

A restrição 4.6 impõe que toda a procura seja satisfeita através das mercadorias

provenientes dos portos e armazéns.

Na restrição 4.5 limita-se as entregas à capacidade de produção ai. Na condição seguinte

impõem-se que toda a procura pj,t seja satisfeita.

, ,,

, ,,

, ,,

, ,,

, , , ,

, , , , ,

, , , ,

, , , ,

1

0

1 0

,

0 ,

e j t ej t

p j t pj t

e j t ej t

p j t pj t

i e t i p t ie p

e j t p j t j te p

e j t i e tj i

p j t i p tj i

x MH n e

k MH n p

x n M e

k n M p

y w a i

x k p j t

x y e t

k w

≥ × ∇

≥ × ∇

− × ≤ ∇

− × ≤ ∇

+ = ∇

+ = ∇

− = ∇

−

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

e 1 , 1

e ,

p 1 , 1

0 ,

1 1

2 1 , 11 3 1 ,

1 1 4 1 , 1

pp

e e e

p e p

p p p

p t

n

n n dist e en n dist e p

n n dist p p

= ∇

≥

+ ≤ + ∇

+ ≤ + ∇

+ ≤ + ∇

∑

∑

30

Em 4.7 e 4.8 temos as restrições que obrigam a que toda a mercadoria que dá entrada

num armazém ou porto seja utilizada na satisfação de procura.

A restrição 4.9 obriga a que pelo menos um porto seja utilizado (esta restrição existe

apenas por razões de carácter prático, o grupo papeleiro em causa exige que pelo menos um

porto seja utilizado).

Por fim, em 4.10, 4.11 e 4.12 limita-se a proximidade dos armazéns e portos, as tabelas

binárias dist inserem no modelo que armazéns/portos não podem ser utilizados ao mesmo

tempo.

Função objectivo

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

Esta função objectivo está dividida em quatro partes para melhor compreensão do

utilizador. Em 4.13 temos o cálculo de z1 ou seja o cálculo do custo do transporte primário. Na

primeira parcela multiplica-se o custo de transportar mercadoria por quilómetro e por tonelada g,

pela distância d1i,e e pela quantidade a transportar yi,e,t entre Portugal e um armazém. Na

segunda parcela calcula-se o custo do transporte entre Portugal e um porto multiplicando o custo

por tonelada c1i,p pela quantidade wi,p,t .

A equação 4.14 é o cálculo dos custos de armazenamento em que se multiplica um

custo fixo h1 pela quantidade de mercadoria armazenada.

O cálculo do custo secundário (armazéns/portos – cidades) é feito em 4.15. Na primeira

parcela multiplicando o custo por quilómetro e por tonelada c2j,e pela distância d2j,e e pela

quantidade de mercadoria xe,j,t , calcula-se o custo de transporte para os clientes a partir dos

armazéns. O custo de transporte para o cliente a partir de um porto calcula-se na 2ª parcela

multiplicando o custo por quilómetro e por tonelada c3j,p pela distância d3j,p e pela quantidade de

mercadoria yp,j,t.

, , , , , ,, , , ,

, , , ,, , , ,

, , , , , , , ,, , , ,

1 1 1

2 1 ( )

3 2 2 3 3

4 ( 1 )

1 2 3 4

i e i e t i p i p ti e t i p t

e j t p j te j t p j t

j e j e e j t j p j p p j te j t p j t

e pe p

z g d y c w

z h x k

z c d x c d k

z h n n

z z z z z

= × × + ×

= × +

= × × + × ×

= × +

= + + +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

31

Por fim, em 4.16 calcula-se o custo fixo total de se utilizar um armazém ou um porto,

multiplicam-se o número de armazéns/portos utilizados pelo o custo fixo h.

Em 4.17 calcula-se o custo total somando 4.13, 4.14, 4.15 com 4.16. É exactamente a

variável z que o modelo vai optimizar. Claro que para isso terá que optimizar também todas as

variáveis que se somam para dar origem a z.

4.3 – Implementação do modelo (GAMS)

O GAMS (General Algebraic Modeling System) é uma ferramenta que permite gerar

modelos matemáticos sob variadas bases de utilização, recorrendo a estruturas simples e

generalistas. A linguagem utilizada em GAMS é diferente da linguagem utilizada na programação

comum, dado ser um programa de modelação matemática.

Os seus inputs são conjuntos de equações matemáticas que definem um problema.

Estas equações serão resolvidas sob critérios de optimização representadas numa função

objectivo. O programa disponibiliza uma série de diferentes algoritmos matemáticos (solvers)

aplicáveis aos diferentes tipos de problemas.

O GAMS apresenta uma série de vantagens relativamente a outros programas. A sua

simplicidade de programação, a capacidade de transferências de dados entre diferentes

sistemas e utilizadores, e ainda a facilidade com que se incorporam novas actualizações (quer

novos algoritmos quer novas funções) no programa, são características do GAMS.

O procedimento usual em GAMS consiste: primeiro, em declarar os conjuntos, depois

em fornecer os parâmetros necessários, declarar as variáveis que se vão usar, declarar as

equações e finalmente escrever as equações e a função objectivo.

Existem ainda vários tipos de opções que ajustam o funcionamento do GAMS ao tipo de

modelo. Por fim, será necessário especificar o solver que se pretende que o programa utilize.

No procedimento efectuado, e no que respeita ao caso específico do problema em

estudo, estabeleceram-se inicialmente os conjuntos sobre os quais assenta todo o problema

(fábricas, armazéns, clientes, etc.). Quando se declara um conjunto, indicam-se também os itens

que o constituem e que poderão estar presentes numa determinada categoria (ex fábricas:

Setúbal, Figueira da Foz, etc.).

Na fase seguinte temos a introdução dos dados necessários ao programa, sob a forma

de parâmetros. Os parâmetros podem ser escalares, listagens ou tabelas. Os escalares são

32

valores discretos que se utilizam na descrição do problema (produção máxima – 200000 ton). Os

parâmetros compreendem também informação sob a forma de listagem (ex produção nas

fábricas: Setúbal - 100000 ton, Figueira da Foz – 150000 ton) ou sob a forma de tabelas. As

tabelas incluem informação sistematizada com dois (ou mais) conjuntos e é organizada em

linhas e colunas (o GAMS pode importar tabelas de folhas de cálculo).

As variáveis são declaradas posteriormente, para se poderem utilizar nas equações. A

cada variável é atribuído o conjunto à qual ela é indexada.

Após o estabelecimento e a explicitação das equações, é indicada a função objectivo

sob a qual se pretende optimizar o problema.

Aliada à escolha do solver está implícita a natureza do problema, bem como o ajuste de

opções do próprio algoritmo que permitem melhorar a performance do processo de resolução.

4.4 - MILP e CPLEX

Podem definir-se vários tipos de problemas quando falamos de programação

matemática. As diferenças entre estes problemas assentam no tipo de valores que se pretendem

paras as variáveis:

- Linear programming: os valores das variáveis na solução podem não ser inteiros

- Integer programming: os valores das variáveis na solução só podem ser inteiros

- Mixed integer linear programming: algumas variáveis podem assumir valores não

inteiros e outras têm que obrigatoriamente assumir valores inteiros

O nosso problema é do tipo MILP (Mixed integer linear programming), pois as variáveis n

e n1 são binárias e portanto só podem assumir o valor 0 ou 1 ou seja dois valores inteiros. O

resto das variáveis podem assumir valores não inteiros. É o facto de termos dois tipos de valores

pretendidos na solução que faz com que seja um problema MILP.

Para se resolver os diversos problemas o GAMS disponibiliza vários solvers. Cada

solver tem especificidades próprias de modo a poder lidar com os vários tipos de problemas.

Neste caso precisávamos de um solver que resolvesse o problema MILP mas que ao mesmo

tempo fosse o mais rápido possível e conseguisse lidar com problemas de grande dimensão,

como era o nosso. O solver escolhido foi o CPLEX (ILog®).

33

O solver CPLEX utiliza um algoritmo branch and cut, que resolve uma série de diferentes

problemas lineares, gerados pelo problema inteiro misto. Este algoritmo é muito robusto e rápido

mesmo para problemas muito complexos e de grande dimensão.

A implementação do CPLEX incluí uma série de algoritmos que não serão aqui

estudados e apenas os referimos por acharmos que podem ter eventualmente alguma utilidade

na compreensão do funcionamento do modelo. São utilizados o CPLEX presolve algorithm,

estratégias sofisticadas de cutting-plane como a estratégia de Gomory, o algoritmo clique and

cover, o GUB over and implied bound.

O processo de resolução tem primeiro uma fase em que o modelo relaxado é resolvido,

ou seja, as variáveis binárias que só tomam valores 0 ou 1, passam a poder tomar todos os

valores entre 0 e 1. Depois passa à fase em que só podem tomar valores inteiros, de modo a

que na solução final as variáveis binárias já só assumam os valores 0 ou 1.

34

5. Aplicação do modelo

5.1 – Introdução

Este capítulo tem como objectivo a aplicação do modelo ao caso de estudo. O caso de

estudo é, como já foi devidamente explicado, sobre a optimização das localizações dos

armazéns e portos utilizados na Europa central mais concretamente na Bélgica, Holanda,

Luxemburgo e Alemanha.

Neste capítulo, começaremos por referir os dados iniciais que nos foram fornecidos,

depois explicaremos como fizemos o seu tratamento para poderem ser aplicados no modelo, de

seguida aplicaremos ao modelo os valores dos dados.

5.2 – Dados iniciais

O grupo papeleiro, em causa neste trabalho, quando nos pediu que estudássemos este

caso, forneceu-nos toda a informação necessária para a resolução deste problema.

Em primeiro lugar, foi-nos entregue uma tabela que identifica os três pontos de

armazenamento actualmente utilizados e que indica também a que quantidade de produto que é

transportada via cada armazém ou porto (dados de 2006). As colunas da Tabela 3 identificam os

países de destino das mercadorias. Os totais são apresentados quer por armazém quer por país

de destino.

Tabela 3 - Utilização actual dos armazéns e portos

Numa primeira análise do conteúdo desta tabela, apercebemo-nos de duas informações

muito relevantes. A primeira é que a Alemanha é claramente o maior consumidor dos produtos

do grupo nesta zona da Europa. A segunda é que o porto de Moerdijk é o grande intermediário

entre os transportes primários e secundários com uma percentagem de quase 80% da

mercadoria transportada. Retira-se ainda desta tabela que mesmo para a Alemanha o armazém

Armazéns Bélgica Alemanha Luxemburgo Holanda Total

Moerdijk 20018 41285 209 41947 103460

Frankfurt 19836 19836

Nuremberg 7763 7792

Total 20018 68884 209 41947 131087

35

do porto de Moerdijk (Holanda) é mais utilizado que os de Frankfurt ou Nuremberga. Fica-se

portanto para já, com a ideia, de que o transporte marítimo deverá ser mais económico que o

transporte rodoviário no que toca ao transporte primário de mercadorias para estes países.

Para além desta tabela os dados do problema envolvem ainda uma outra com o registo

de todas as encomendas feitas no ano 2006 (Anexo 1). Estes dados estão organizados em oito

colunas cujos campos relevantes são os seguintes: porto/armazém utilizado, data da

encomenda, país de destino, cidade de destino e quantidade pedida em toneladas. Destes

dados pode-se rapidamente conferir as conclusões anteriores. Moerdijk é claramente o ponto de

armazenagem mais utilizado e a Alemanha o maior importador dos produtos do grupo papeleiro.

Verifica-se nesta tabela que ao longo do ano de 2006 houve mais de 7000 encomendas para

mais de 140 cidades espalhadas nestes 4 países. O total de todas as encomendas ultrapassa as

131000 toneladas.

Em relação ao crescimento da procura, que já referimos, no capítulo da descrição do

problema, foram-nos fornecidas para os próximos 4 anos, as previsões do aumento da procura

nestes países (Tabela 1). Daqui facilmente se concluem que a Alemanha é o país que se prevê

crescer mais, com 56% de crescimento na procura, seguido de perto pela Bélgica com uma

previsão de crescimento de 54%. A Holanda prevê-se que cresça apenas 18%. Para o

Luxemburgo apesar de não haver previsões assume-se que em termos de procura crescerá o

mesmo que a Alemanha.

Quanto aos transportes, era necessário termos acesso aos preços praticados. Foram-

nos fornecidos os valores relativos quer ao transporte primário, quer ao transporte secundário.

No respeitante ao transporte primário (de Portugal para os armazéns e portos), temos a

considerar o transporte marítimo e o rodoviário:

Tabela 4 - Custo do transporte rodoviário para os armazéns e portos utilizados

em 2006

Portos/Armazéns Custo (u.m./ton)

Moerdijk 105

Frankfurt 118

Nuremberg 130

36

Tabela 5 –-Custo do transporte marítimo para os diversos portos

Com estes valores apenas, apercebemo-nos rapidamente que o transporte marítimo,

especialmente para as faixas de consumidores junto de portos, pode ser muito competitivo. Em

relação ao transporte rodoviário, como temos apenas valores para os três armazéns existentes,

teremos que extrapolar estes valores para todas as hipóteses de armazéns que serão fornecidas

ao modelo.

É neste momento necessário dizer que neste trabalho será sempre utilizada a unidade

monetária como moeda de referência.

Aqui temos uma tabela, com os valores relevantes para o transporte secundário

(armazéns – clientes).

Tabela 6 - Custo do transporte secundário para as rotas actuais

Porto/Armazém País de destino Distância media Custo (u.m./ton.km)

Moerdijk Holanda 147 0.1

Moerdijk Bélgica 125 0.09

Moerdijk Alemanha 237 0.16

Frankfurt Alemanha 206 0.13

Nuremberga Alemanha 147 0.1

Ao analisar estes dados e especialmente se estimarmos a distância média às zonas de

destino da mercadoria, pode deduzir-se que, com excepção para o eixo Moerdijk-Alemanha, o

custo vai aumentando com a distância. A razão para que o preço do transporte de Moerdijk para

a Alemanha seja tão baixo é facilmente explicável se pensarmos no movimento de exportação

Porto Custo (u.m./ton)

Antuerpia 100

Moerdijk 100

Roterdão 100

Bremen 115

Hamburgo 110

37

alemã que há para os portos Holandeses. Esta mercadoria é quase na sua totalidade,

transportada por camiões, que depois da entregar nos portos Holandeses ficam disponíveis para

transportar novas cargas para a Alemanha. A oferta de transporte neste sentido é tão grande

que o preço dos transportes se reduz muitíssimo.

Por fim, é importante dizer que para valores de inflação assumiremos 5% para os preços

dos transportes rodoviários e 3% para os marítimos.

5.3 – Tratamento de dados

Para input do modelo, precisávamos dos dados agrupados e estruturados de uma forma

muito específica para que o modelo os conseguisse perceber e analisar. Só assim o output teria

uma solução adequada.

Em primeiro lugar, como o modelo é um modelo dinâmico (variável no tempo), foi

necessário, que a procura, para além de estar agrupada por cidades, estivesse também

organizada ao longo do tempo. Esta informação foi retirada dos registos de encomendas do ano

2006 com a ajuda de alguma ferramentas do Excel. Criou-se depois uma tabela em Excel com

as cidades nas linhas e os meses do ano nas colunas (Anexo 2).

Como nos foram também fornecidas as previsões de crescimento para 2010 nos

diversos países, uma nova tabela foi criada com a procura actualizada segundo estas previsões

(Anexo 3).

Imediatamente, a seguir à procura, o modelo precisa de conhecer a localização dos

diferentes clientes, para que através de cálculos, que serão oportunamente explicitados, se

possa decidir da localização dos armazéns e dos portos, de modo a serem optimizados os

custos do transporte.

Surge agora o seguinte problema a resolver: como conseguir que o modelo tenha a

informação relativa à localização geográfica das diversas cidades? Resolvemos criar um sistema

em que a partir de coordenadas geográficas (vulgarmente conhecidas por coordenadas GPS) o

programa conseguisse calcular as distâncias entre todas as cidades e as hipóteses de

localizações de armazéns e portos.

Para a concretização do acima mencionado, uma a uma, foram retiradas (com a ajuda

do programa Google Earth) as diferentes coordenadas geográficas de todas as cidades. (Anexo

4) Ficámos assim com a latitude e a longitude das centenas de cidades na Holanda, Bélgica,

Alemanha e Luxemburgo que são clientes do grupo papeleiro em causa neste trabalho. Na figura

38

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

que se segue usámos as coordenadas para representar a procura de cada cidade no mapa da

região:

Construímos também uma grelha que tem como limites o ponto mais a sul, do conjunto

deste quatro países, o mais a norte, o mais a oeste e o mais a leste. Desde modo definimos

como limites da nossa grelha, os paralelos 47º15’ Norte e 54º15’ Norte e os meridianos 3º Leste

e 15º Leste. Cada linha tem uma diferença de latitude de 30’ e cada coluna tem 1º de longitude .

Esta grelha apresenta uma utilização importante, a localização dos armazéns. Para a

localização de armazéns há essencialmente duas hipóteses: ou se dão várias alternativas de

localização e o modelo escolhe, uma ou várias, a partir de um determinado conjunto de regras e

pressupostos, ou o modelo admite que se pode colocar um armazém em qualquer ponto do

mapa. Esta segunda hipótese é muito mais difícil de resolver necessitando de uma capacidade

de cálculo muito superior. Pelas razões expostas escolhemos a primeira hipótese, dando como

possibilidades ao modelo para a localização de armazéns o centro de cada célula. Ficamos

assim exactamente com 168 possibilidades de localização.

Como o planeta Terra não é plano o cálculo de distâncias a partir de coordenadas, não é

linear. Com a ajuda de alguns conhecimentos náuticos desenvolvemos um método muito

aproximado de as calcular de acordo com a seguinte fórmula:

> 1000 ton < 1000 ton < 100 ton

Fig.2 – Mapa da densidade de procura

39

2 2(( 1 2) 1852) (( . 1 . 2) 1852)1.2

1000Latitude Latitude Longitude c Longitude c

Distância− × + − ×

= ×

Nesta fórmula tivemos que converter todas as coordenadas para minutos. O factor de

1852 que multiplica pelas diferenças das latitudes e longitudes corresponde ao número de

metros por cada minuto de deslocação. Os valores da longitude terão que ser corrigidos pois à

medida que a latitude aumenta um minuto de longitude representa uma distância cada vez

menor. Multiplica-se por 1.2 porque se admite que a distância por estrada é 20% maior à

distância em linha recta. Por fim, divide-se por mil para o resultado aparecer em quilómetros.

Para além deste método de calcular a distância entre as possíveis localizações de

armazéns às cidades (Anexo 5), foi preciso também calcular as distâncias de cada armazém a

Portugal, para depois se poderem calcular os custos do transporte primário rodoviário, Portugal -

armazéns. Considerámos o ponto da fronteira entre Espanha e França, onde a auto-estrada que

é utilizada para a ligação de Portugal para os países em causa neste estudo, a cruza. A partir

das coordenadas desse ponto o modelo calcula (utilizando a fórmula acima apresentada) a

distância entre esse ponto da fronteira e todas as hipóteses de localização de armazéns

enquanto as for analisando uma a uma. A este ponto da fronteira soma-se a distância entre o

ponto e Portugal.

Com todas as distâncias necessárias, impõem-se agora calcular os custos de transporte

primário e secundário para cada hipótese de localização de portos ou armazéns.

No caso do transporte primário temos, como já foi mencionado, duas hipóteses: o

transporte marítimo e o transporte rodoviário. Para o transporte marítimo é nos fornecido logo à

partida (Tabela 5) o custo (u.m./ton) de Portugal para cada porto passível de ser utilizado.

No caso do transporte rodoviário o problema é um pouco mais complexo. Depois dos

cálculos que anteriormente foram referidos ficamos com as distâncias de Portugal aos armazéns

e aos portos por via rodoviária. Contudo apenas foram fornecidos os custos (u.m./ton) para três

locais distintos (tabela 4), e que são os utilizados actualmente. Resolvemos então calcular, para

estes três locais, quais os custos em u.m./ton.km tendo em conta as distâncias entre Portugal e

cada um deles.

40

Tabela 7 - Custo do transporte primário rodoviário - médias por quilómetro

Portos/Armazéns Custo (u.m./ton) Distâncias a Portugal Custo (u.m./ton.km)

Moerdijk 105 2012 0.052

Frankfurt 118 2309 0.051

Nuremberga 130 2315 0.056

Tendo em conta o facto dos valores do custo por tonelada e por quilómetro serem

próximos decidiu-se, que o valor do custo (u.m./ton.km) a considerar seria a média dos três, ou

seja 0.053 u.m./ton.km. Assim passámos a ter possibilidade de calcular o custo do transporte por

via rodoviária para qualquer das localizações possíveis de armazéns ou portos.

Em relação ao transporte secundário como se pode ver na Tabela 6 temos o custo do

transporte em u.m./ton.km para cinco rotas. O problema que se põem, é como extrapolar, destas

cinco rotas, para todas as rotas possíveis entre as 168 localizações a estudar para localização

de armazéns e as cidades. O mesmo se passa para os 5 portos disponíveis e todas as células

que agrupam as cidades clientes por zonas. Utilizando as diversas rotas, com a excepção do

eixo Moerdijk – Alemanha que é especial por razões que já foram explicadas, criou-se um gráfico

para tentar perceber a evolução do custo ao longo da distância.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 50 100 150 200 250

Distância (km)

Cus

tos

(u.m

./ton

)

Fig. 3 – Curva de custo do transporte secundário em função da distância

Neste gráfico utiliza-se uma equação de 2º grau, que minimizasse ao máximo a distância

aos quatro pontos, para tentar extrapolar os custos para outras distâncias. A equação que

descreve a linha que se vê no gráfico é a seguinte:

41

2Custo=a0 distância 1 distância+a2a× + ×

Em que os coeficientes são:

a0 = 3.44573641E-06 a1 = 6.41193383E-04 a2 = 1.17596970E-01

Esta fórmula calcula o custo por quilómetro e por cada tonelada. Por isso se

multiplicarmos o custo que nos é dado por esta fórmula, pela distância, temos o custo total por

tonelada. Portanto, depois de calcular as distâncias entre as localizações possíveis para os

armazéns e as células, podemos com a ajuda desta fórmula saber quanto custa transportar uma

tonelada de um determinado local para outro.

Com estas informações, o modelo já tem os dados suficientes para calcular as

localizações óptimas para os armazéns.

5.4 – Dados finais

O nosso modelo, é como já foi dito anteriormente um modelo desenvolvido em GAMS. O

objectivo do modelo é a partir dos dados que já foram estudados e tendo em conta as restrições

que lhe são impostas, determinar qual a localização óptima dos armazéns.

Como já vimos, no capitulo anterior, o modelo começa com os conjuntos que estão

envolvidos no modelo:

Conjuntos

e ={1*168}

i ={fab1}

j ={cidades/clientes do grupo papeleiro}

p ={portos belgas, holandeses e alemães passíveis de serem utilizados }

t ={1*12}

No primeiro conjunto declara-se ao programa que existem 168 possibilidades de

localização de armazéns. Como já foi explicado existem 168 células com 30’ de latitude e 1º de

longitude. O centro de cada célula é considerado como uma possível localização para um

armazém.

Apesar do grupo papeleiro em causa não ter só uma fábrica, este modelo foi criado com

o pressuposto de que todas as fábricas em Portugal trabalham como se fossem uma só.

42

Especialmente por estarem bastante próximas (umas reduzidas centenas de quilómetros) umas

das outras não fazia sentido estar a especificar qual era as fábrica de que provinha determinada

encomenda.

Por existirem 139 cidades em que há clientes do grupo papeleiro, tivemos que abdicar

de as declarar todas no próprio modelo. O programa irá obtê-las a um ficheiro explicitado (Anexo

6).

Os portos que estão disponíveis para a descarga de mercadoria bem como para o seu

armazenamento são apenas cinco: Antuérpia, Moerdijk, Roterdão, Hamburgo e Bremen.

É o último Set que transforma este modelo num modelo dinâmico ou seja num modelo

que variável com o tempo. Ao longo de cada mês o modelo calcula qual o melhor sistema de

distribuição, isto é que armazéns é que fornecem que cidades. O modelo possibilita também um

sistema de localização dinâmica dos armazéns. Ou seja se um determinado fluxo de

mercadorias se alterar, o modelo têm a capacidade de mudar a localização de um armazém ou

até criar um novo armazém se a sua criação se se justificar. Contudo para o nosso caso que é

dinâmico para apenas 12 meses veremos à frente que estas alterações terão pouca

probabilidade de ocorrer.

Parâmetros

Listas

ai - capacidade disponível na fábrica i

No caso de estudo real não são consideradas restrições à capacidade de produção. Isto

porque as restrições já estavam incluídas na negociação das encomendas e na sua aceitação.

Apesar disso pareceu-nos importante que se mantivesse uma restrição de produção, pois pode

vir a ser útil no futuro. Para já, foi atribuído um valor de produção de 400 000 ton, o que tendo

em conta as encomendas actuais na ordem das 130 000 ton, é um valor que pretende ser

grande o suficiente, de modo a não ser restritivo.

Tabelas

pj,t- procura na cidade j no tempo t

Esta tabela fornece ao modelo, por mês a procura em cada cidade. Mais uma vez, por

ser uma tabela muito grande e por razões de funcionalidade e para a facilidade de alterações

43

posteriores o programa importa uma tabela Excel. A tabela tem duas variáveis j e t que como foi

explicado nos Sets são relativas respectivamente, j às cidades e t ao tempo (Anexo 3).

d1i,e- distância entre a fábrica i e o armazém e

Foi explicado acima o método de calculo da distância entre Portugal (fábrica) e os

armazéns. Este cálculo é feito numa folha de Excel, que depois é importada pelo o GAMS, para

que o modelo passe a ter esta distância entre Portugal e os armazéns como dado.

d2j,e- distância entre o cliente j e o armazém e

A distância entre cada possível localização de um armazém e as células de clientes é

fornecida a este modelo através desta tabela. O calculo foi também feito utilizando uma folha

Excell como se explica na rubrica de “Tratamento de Dados” (Anexo 5).

c1i,p- custo do transporte entre a fábrica i e o porto p

Nesta tabela é fornecido ao modelo o custo (u.m./ton) de transportar mercadorias de

Portugal para os cinco portos que são passíveis de serem utilizados: Antuérpia, Moerdijk,

Roterdão, Bremen e Hamburgo.

d3j,p- distância entre o cliente j e o porto p

Esta tabela de dados fornece ao modelo a distância entre os portos e as diversas

cidades (Anexo 7). Tal como se faz com os armazéns, faz-se com os portos para que o modelo

depois possa seleccionar se numa determinada zona é preferível usar-se um porto ou um

armazém.

Excpj,p- o custo do transporte entre o porto p e o cidade j é uma excepção à formula

geral

Para calcular o custo do transporte vai-se, como foi já explicado, recorrer a uma fórmula

que está em função da distância. Contudo para o caso, já referido, do eixo dos portos de

Moerdijk, Antuérpia e Roterdão para algumas cidades da Alemanha existe esta excepção. A

zona da Alemanha que engloba estas cidades tem como limites os meridianos 9º00’ E e 6º00’ E

e os meridianos 50º15’ N e 52º15’ N (Anexo 8). Esta zona foi definida com base nos códigos

postais, que nesta zona começam por 4 ou 5.

CExcpj,p-custo (excepcional) por quilometro por tonelada do transporte entre o porto p e

a cidade j

44

Esta tabela na continuidade da anterior define para o eixo entre os portos de Moerdijk e

Antuérpia e alguma cidades alemãs o custo de transportar as mercadorias (Anexo 9). Para este

eixo o custo é de 0.06 u.m. /ton.km.

dist2e,e1- tabela binária em que o valor 0 não permite que o armazém e e o armazém e1

sejam utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos.

dist3e,p- tabela binária em que o valor 0 não permite que o armazém e e o porto p sejam

utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos.

dist4p,p1- tabela binária em que o valor 0 não permite que o porto p e o porto p1 sejam

utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos.

As tabelas acima são compostas pelo cruzamento de todas as possibilidades de

localizações de portos e armazéns. Em cada cruzamento pode-se ter 0 ou 1. No caso de ter 0,

os armazéns e/ou portos em causa estão demasiado perto e portanto considera-se que não faz

sentido existirem os dois ao mesmo tempo, logo o modelo fica impedido de os escolher a ambos

(Anexos 10, 11 e 12).

Escalares

g-custo de transporte entre uma fábrica e um armazém por quilometro por tonelada

Aqui fornece-se ao modelo o custo que foi calculado na secção anterior de “Tratamento

de dados”. O custo é 0.053 u.m./ton.km.

h-custo fixo por armazém por ano

No caso da distribuição dos produtos do grupo papeleiro na Bélgica, na Holanda, no

Luxemburgo e na Alemanha. Os armazéns têm por custo um valor fixo por tonelada. Os

armazéns não são comprados nem alugados. Logo à partida não haverá nenhum custo fixo e

este valor escalar não faria sentido. Contudo, aliás como fizemos na restrição de produção,

resolvemos incluir este custo, com valor zero, para no caso de a situação se alterar no futuro o

modelo poder acompanhar essa mesma alteração.

h1-custo de ter uma tonelada num armazém

Este custo é o custo que referimos no paragrafo anterior e cujo valor é 12 u.m./ton. Os

armazéns têm apenas este custo variável que obviamente quando multiplicado pela quantidade

de mercadoria lá depositada num ano é o custo total de armazenamento. Talvez o leitor se

45

questione se se paga o mesmo no caso de um determinado produtor estar armazenado uma

semana ou um dia. Obviamente não. Como este modelo não trabalha com níveis de inventário,

utilizámos um valor que considera o período médio de estadia num armazém.

MH-utilização mínima de um armazém em toneladas

No caso de estudo cada armazém/porto só aceita trabalhar, com um determinado

cliente, se por cada ano houver um armazenamento de mercadorias superior a um determinado

valor. Neste caso concreto a experiência diz que a maioria dos armazéns nesta zona só aceita

fazer o armazenamento para valores superiores a 25000 ton por ano.

Por fim o valor que utilizamos para Big M é de 1 000 000. Este escalar é muito utilizado

neste tipo de problemas. Funciona como um valor quase infinito que possibilita, como se verá

mais à frente, a execução de alguma condições.

Cálculo do custo de transporte armazéns/portos para as

cidades

Tal como referido atrás o custo calcula-se através das seguintes formulas:

2, , ,

2, , ,

2 0 2 1 2 2

3 0 3 1 3 2j e j e j e

j p j p j p

c a d a d a

c a d a d a

= × + × +

= × + × +

Onde:

a0 = 3.44573641E-06 a1 = 6.41193383E-04 a2 = 1.17596970E-01

Esta função cria-se para que seja possível ao modelo minimizar os custos de transporte

entre os armazéns ou portos e os clientes. O custo do transporte secundário é calculado com

base no custo que nos foi fornecido para quatro situações distintas. Criou-se uma função de 2º

grau que estando em função da distância, fornece um custo para cada distância entre o

armazém e a cidade.

A função está divida em duas: uma, c2, para o cálculo do custo do transporte entre os

armazéns e as cidades e outra para o cálculo quando o transporte é a partir de um porto, c3.

A formulação desta função é a de uma equação de 2º grau, com os coeficientes: a0, a1

e a2.

46

A função acima descrita tinha que conter uma excepção, devido existir a excepção já

mencionada no eixo entre os portos de Moerdijk e Antuérpia, e uma determinada zona da

Alemanha.

Para se introduzir esta excepção tem em primeiro lugar que se recorrer à tabela Excpj,p

já mencionada que revela ao modelo que cidades estão dentro do eixo que vem destes portos.

Na tabela é binária, todos os destinos assinalados com um 1 são excepções (Anexo 8).

Quando se faz o calculo de c3, ou seja quando se calcula qual o custo do transporte

entre cada porto e cada cidade. O modelo considera o facto dq que a formula não serve para

alguns destinos.

Depois, é introduzido o valor a aplicar nos casos excepcionais. Este valor, como aliás já

foi referido, é de 0.06 u.m./ ton.km.

Os dados acima referidos constituem todos os dados de entrada referentes ao caso de

estudo em análise e que será resolvido através da optimização do modelo apresentado em 4.

47

6. Apresentação e discussão de

resultados

6.1 – Introdução

Chegámos agora à parte final do nosso trabalho, onde apresentamos os resultados do

nosso modelo, quando aplicados à situação real dos mercados da Bélgica, Holanda,

Luxemburgo e Alemanha.

Os resultados serão analisados da seguinte forma: em primeiro lugar manteremos o

posicionamento actual dos armazéns e portos utilizados pelo o grupo papeleiro e correremos o

modelo com essas localizações pré-seleccionadas, seguidamente deixaremos que o modelo

chegue a solução óptima propondo as localizações dos armazéns e seleccionando portos.

Depois compararemos o custo nas duas situações.

Com estas duas soluções, a solução actual e a óptima, faremos uma comparação das

localizações de armazéns e portos. A partir destas localizações analisaremos que rotas de

transporte primário e secundário são preferidas e preteridas em cada uma das situações. Para

cada uma das soluções estudaremos quais os custos envolvidos e se por ventura a proposta do

nosso modelo melhora a situação existente e se sim, em quanto.

O nosso trabalho centra-se, como já foi explicado, no calculo das localizações óptimas

dos armazéns e portos para o ano 2010, quando a nova máquina começar a produzir.

Contudo para validar o modelo, é necessário que façamos a sua verificação para o

momento actual. Isto é, com a procura actual, analisaremos quais são as diferenças em termos

de custos, de se utilizarem as localizações sugeridas pelo o modelo e de utilizar os portos e

armazéns que são os actualmente existentes. Se esta verificação for positiva, e se portanto o

nosso modelo sugerir localizações que diminuam os custos de transporte, então estaremos pelo

menos, perante um modelo fiável.

De seguida, analisaremos as localizações propostas pelo o modelo para os anos 2008 e

2010. Desta forma analisaremos a situação futura em 2010 e uma situação intermédia em 2008

comparando as alterações. Em ambas as situações teremos em conta o aumento da procura e

também dos preços, consequência da inflação.

48

Por uma questão de metodologia dividiremos este capítulo em períodos temporais. Em

primeiro lugar, como já foi dito avaliaremos a situação actual e analisaremos a proposta do

modelo para a procura actual. Em segundo, faremos a análise da proposta do modelo para o ano

de 2008, bem como a análise do que aconteceria em termos de custos se se mantivessem as

localizações actuais. Far-se-á ainda a mesma análise para o ano de 2010.

Este capítulo terminará com uma breve conclusão sobre a alteração das localizações

dos portos e armazéns e que benefícios é que trará ou não. Teremos o cuidado de quantificar

em todos os casos, os benefícios, especialmente os benefícios ao nível da redução dos custos.

6.2 – Resultados

Análise para o ano de 2006

Nesta análise, faremos em primeiro lugar, como foi já explicado, a análise da localização

actual dos armazéns e portos para a procura actual. A isto se seguirá uma comparação entre as

propostas do modelo e a situação actual.

A seguir na Fig. 1, apresentamos um mapa da procura em 2006. Numa análise muito

breve pode ver-se que a zona onde a concentração da procura é maior, localiza-se a oeste.

Apesar da Alemanha ter a maior quota de vendas, em função da área territorial, a concentração

da procura é menor.

49

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

Fig. 2 - Mapa da densidade de procura

Posicionamento Actual da Procura de 2006

Fixado o porto de Moerdijk e os armazéns de Nuremberga e Frankfurt, corremos o

modelo para que os diversos clientes fossem alocados a cada uma destas estruturas. Desta

forma obtivemos um mapa de deslocação de mercadorias entre o porto e os armazéns, e entre

os armazéns e os clientes (Figura 4). Nesta figura representam-se: a localização do porto

(triangulo) e armazéns (quadrados) e a deslocação de mercadorias (setas).

> 1000 ton < 1000 ton < 100 ton

50

\

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

Fig.4 - Rotas actuais de transporte secundário

Dadas as localizações dos portos e armazéns cada armazém redistribui para os clientes

que estão mais próximos de si. Há contudo uma excepção, como já foi referido, para o eixo entre

os portos Holandeses e a zona oeste Alemã. Aqui, zonas mais perto do armazém de Frankfurt,

do que do porto de Moerdijk são ainda fornecidas por este último.

Também a partir da visualização do mapa, correspondente à Fig. 2, podemos reparar

que eventualmente esta não será a melhor distribuição dos armazéns. Pelo o facto de a Norte

não existir nenhum armazém e logo, para se cobrir as necessidades dessa área, ser necessário

os meios de redistribuição cobrirem centenas de quilómetros a partir de Frankfurt que mesmo

assim é ainda o armazém mais próximo desta área.

O seguinte gráfico seguinte, Fig. 3, descreve os custos de transporte primário, transporte

secundário e de armazenamento:

51

Custos Para as Localizações Actuais - Procura 2006

0.E+005.E+061.E+072.E+072.E+073.E+07

Cus

to T

rans

porte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ento

Cus

to T

rans

porte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cus

tos

(u.m

.)

Fig. 5 - Custos para as localizações actuais com procura de 2006

É interessante notar, que o custo do transporte primário (transporte entre Portugal e os

armazéns ou portos) é claramente o custo mais importante. Nesta situação o custo total foi de

20,9 milhões de u.m. .

Vamos ver a seguir que proposta faz o modelo, para esta mesma procura, a procura

actual.

Posicionamento Proposto pelo Modelo para a Procura

em 2006

Corremos o modelo para a procura de 2006 sem fixar as localizações, como fizemos no

ponto anterior. O modelo optimizou portanto os custos do transporte primário e secundário.

As localizações propostas para os armazéns e os portos escolhidos estão representados

no mapa seguinte:

52

\

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

Fig. 6 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário propostos

pelo o modelo para a procura de 2006

Sem surpresa, o modelo propõe que se mantenha o porto de Moerdijk e um armazém no

sul da Alemanha. Hamburgo é o porto escolhido no Norte da Alemanha para abastecer a zona

de Berlim, Hannover e Bremen.

Evita-se assim o transporte secundário para grandes distâncias entre o sul da Alemanha

e o norte. Como este tipo de transporte é caro, os custos são minimizados com esta solução.

O armazém escolhido a sul tem as coordenadas: 49º 30’ N 9º 30’ E. Está entre as

cidades de Nuremberga e de Frankfurt.

Nesta hipótese passam pelo porto de Moerdijk mais de 80 mil toneladas e pelo o de

Hamburgo mais de 25 mil. No armazém a Sul são armazenadas exactamente 25 mil toneladas.

A exactidão deste valor resulta do facto de o minimumm handling ser 25 mil toneladas. Há

encomendas em que seria preferível a entrega ser feita através do porto de Moerdijk ou

Hamburgo, todavia são entregues por este armazém apenas para perfazer o mínimo de

tonelagem. Apesar de aparentemente ser uma contradição, faz todo o sentido, este

procedimento pois há outras encomendas que teriam custos de transporte secundário

elevadíssimos se fossem descarregadas num daqueles portos.

No gráfico seguinte mostram-se os custos principais para este conjunto de localizações.

O custo total nesta situação foi de 17.6 milhões de u.m..

53

Custos para as Localizações Porpostas pelo o Modelo - Procura 2006

0.00E+005.00E+061.00E+071.50E+072.00E+07

Cus

toTr

ansp

orte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ento

Cus

toTr

ansp

orte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cus

tos

(u.m

.)

Fig. 7 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo com procura de 2006

Comparação entre as Localizações Actuais e as

Propostas pelo o Modelo para a Procura de 2006

No gráfico seguinte, Fig. 8, comparam-se os custos do transporte primário, secundário,

de armazenamento e os custos totais para as localizações actuais e para as localizações

propostas pelo o modelo.

Comparação dos Custos para as Localizações Propostas pelo o Modelo e as Actuais - Procura 2006

0.00E+005.00E+061.00E+071.50E+072.00E+072.50E+07

Cus

to T

rans

porte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ento

Cus

to T

rans

porte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cust

os (u

.m)

Actual 2006Modelo 2006

Fig. 8 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e as

actuais para a procura de 2006

O custo do transporte primário reduz-se cerca de 400 mil u.m.. Isto deve-se ao facto de

se trocar um dos armazéns do sul da Alemanha pelo o porto de Hamburgo. Como o transporte

marítimo é mais barato que o terrestre, há aqui também uma poupança.

54

Como seria de esperar o custo de armazenamento mantêm-se, visto que a quantidade

de carga armazenada em portos ou armazéns é sempre a mesma. Isto compreende-se bem

tendo em conta que a procura é a mesma e é sempre satisfeita.

O transporte secundário torna-se bastante mais económico, uma vez que existindo um

porto a norte se torna desnecessário abastecer as cidades nessa zona a partir de armazéns

localizados a sul.

O custo total aproximadamente reduz-se 3 300 mil unidades monetárias. Admitindo que

cada unidade monetária é equivalente a 1 € temos uma redução de 3 300 000 € ou seja o

equivalente a 660 000 contos.

Conclui-se portanto, que as localizações propostas pelo o modelo diminuem os custos

do transporte primário e secundário, o que conduz a uma diminuição bastante importante do

custo total de 20,9 milhões para 17.6 milhões de u.m. .

Análise para o ano de 2008

Todo o nosso trabalho se centra na situação em 2010 quando a nova máquina, estiver

em pleno funcionamento. Contudo resolvemos estudar um cenário intermédio para estudar a

evolução das localizações dos armazéns e portos e dos custos de transporte. Assim teremos a

comparação entre as localizações actuais, e as propostas para o modelo no ano de 2008.

Foram-nos também fornecidas previsões da procura em 2008. O seguinte quadro

resume o aumento da procura:

Tabela 8 - Previsão do aumento da procura para 2008

% Bélgica 27Holanda 9Alemanha 28Luxemburgo 28

Foi-nos também indicado que os valores de inflação anual a serem considerados,

deveriam ser os seguintes: 5% - transportes rodoviários e 3% - transportes marítimos.

55

Posicionamento Actual com Procura de 2008

Fixando de novo as localizações actuais do porto e armazéns, fizemos correr de novo o

modelo, com a procura prevista para 2008, e com os custos actualizados pela infracção.

O gráfico que segue traduz esses custos:

Custos para as Localizações Actuais - Procura 2008

0.00E+005.00E+061.00E+071.50E+072.00E+072.50E+073.00E+07

Cus

to T

rans

porte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ento

Cus

to T

rans

porte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cus

tos

(u.m

.)

Fig. 9 - Custos para as localizações actuais com procura de 2008

Em relação aos custos com as localizações actuais para a procura de 2006, todos os

custos crescem. O custo que mais cresce é o custo do transporte primário, pois sendo

proporcional à carga transportada, e como é o maior custo por tonelada, também é o que cresce

mais.

Posicionamento Proposto pelo o Modelo para a

Procura de 2008

De novo sem fixar as localizações, para a procura prevista em 2008 e com os preços de

transporte actualizado, corremos o modelo.

As localizações propostas pelo o modelo, para os armazéns e para os portos estão

representadas no mapa seguinte:

56

\

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

Fig. 10 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário propostos

pelo o modelo para a procura de 2008

As localizações mantêm-se as mesmas relativamente à proposta para 2006. Não

havendo portanto, neste intervalo de tempo, necessidade de se fazerem nenhumas alterações

nos contratos feitos com as entidades dos portos e armazém.

Pelo porto de Moerdijk passam presentemente cerca de 95 mil toneladas enquanto pelo

o porto de Hamburgo passam mais de 32 mil. No armazém a Sul são armazenadas cerca de 31

mil toneladas.

Os custos envolvidos nesta situação são apresentados no gráfico seguinte:

Custos para as Localizações Propostas pelo o Modelo - Procura de 2008

0.00E+005.00E+061.00E+071.50E+072.00E+072.50E+07

Cus

to T

rans

porte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ento

Cus

to T

rans

porte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cust

os (u

.m)

Modelo 2008

57

Fig. 11 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo com procura de 2008

Tal como foi já referido todos os custos aumentam. O custo do transporte primário é o

que apresenta o aumento mais significativo.

Comparação entre as Localizações Actuais e as

Propostas pelo Modelo para a Procura de 2008

Comparam-se os diversos custos de transporte e os de armazenamento para as

localizações propostas pelo o modelo e para as existentes actualmente.

Comparação dos Custos para as Localizações Propostas pelo o Modelo e as Actuais - Procura

de 2008

0.00E+005.00E+061.00E+071.50E+072.00E+072.50E+073.00E+07

Cus

toTr

ansp

orte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ent

o Cus

toTr

ansp

orte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cust

os (u

.m.)

Actual 2008Modelo 2008

Fig. 12 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e as

actuais para a procura de 2008

A situação é muito semelhante à comparação já feita para 2006. Como a procura é

maior, a carga transportada é também maior, o facto de as localizações serem optimizadas

traduz-se ainda, em maiores poupanças. Senão veja-se: em 2006 a redução no custo do

transporte primário seria de 400 mil u.m. e a redução no transporte secundário de 2 870 mil u.m.

. Já em 2008 a redução, devido ao facto das localizações serem optimizadas, é de 700 mil u.m.

para o transporte primário e de 4 100 mil u.m. para o transporte secundário. As reduções de

custo aumentam assim fortemente.

No ano de 2008 com as actuais localizações de armazéns e portos o custo total seria de

27.8 milhões u.m., com as novas localizações passar-se-ia para 23.0 milhões de u.m.

Daqui concluímos que se a situação se mantiver como está, em 2008, e sendo 1 u.m.

igual a 1€ perder-se-ão só neste ano 4,8 milhões de euros.

58

Análise para o ano de 2010

O ano de 2010 é o ano em que se prevê que a nova máquina da Figueira da Foz esteja

em pleno funcionamento. A análise deste cenário portanto o objectivo principal deste trabalho.

Para o ano de 2010, foram-nos fornecidas as seguintes previsões de aumento da

procura, relativamente a 2006.

Tabela 1 - Previsão do aumento da procura nos vários países para 2010

% Belgica 54Holanda 18Alemanha 56Luxemburgo 56

A inflação mantém-se a 5 % ao ano para os transportes rodoviários, e a 3% ao ano para

os transportes marítimos.

Posicionamento Actual com Procura de 2010

Mais uma vez, fixámos o porto de Moerdijk e os armazéns de Frankfurt e Nuremberga e

corremos o modelo para a procura de 2010 e a preços também de 2010.

Os custos obtidos foram os seguintes:

Custo para as Localizações Actuais - Procura 2010

0.00E+005.00E+061.00E+071.50E+072.00E+072.50E+073.00E+073.50E+074.00E+07

Cus

to T

rans

porte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ento

Cus

to T

rans

porte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cust

os (u

.m.)

Fig. 13 - Custos para as localizações actuais com procura de 2010

59

Em relação ao ano de 2008 e também com as localizações actuais o custo do transporte

primário cresce 4,9 milhões de u.m., o custo do armazenamento 330 mil u.m. e o custo do

transporte secundário cerca de 2,5 milhões de u.m..

Posicionamento Proposto pelo o Modelo para a

Procura de 2010

Chegamos finalmente às localizações propostas pelo o modelo para o ano de 2010. No

mapa seguinte revelam-se estas localizações e as principais rotas do transporte secundário:

\

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

\

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

48º

49º

50º

51º

52º

53º

54º

55º

3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º

Fig. 14 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário propostos pelo o modelo para a procura de 2010

Passa a existir mais um armazém, na zona Este da Alemanha com as coordenadas 50º

30’ N 11º 30’ E junto à cidade Alemã de Plauen. Na zona Sul o armazém muda de posição para

as coordenadas 48º 30’ N 9º 30’ E, próximo da cidade de Reutlingen.

Por cada um destes dois armazéns passam anualmente 25 mil toneladas. A maneira

como é atingido este valor este valor, foi já explicada na secção do ano 2006 quando o mesmo

acontecia em relação ao único armazém então existente. O porto de Moerdijk processa cerca de

111 mil toneladas em grande parte por abastecer a Holanda, a Bélgica, o Luxemburgo e ainda

uma importante parte da Alemanha. O porto de Hamburgo que está apenas afecto ao norte da

60

Alemanha, processa apenas 26 mil toneladas, menos de um quarto do que processa o porto de

Moerdijk.

Estas alterações deverão com certeza aumentar o custo do transporte primário médio

por tonelada em relação a 2008, mas deve diminuir substancialmente o custo secundário. Como

passa a existir um armazém no leste Alemão esta zona deixa de ser fornecida pelo armazém a

Sul ou pelo porto de Hamburgo a norte.

No gráfico seguinte analisam-se os custos relativos a esta proposta de localização de

armazéns e portos:

Custos para as Localizações Propostas pelo o Modelo - Procura 2010

0.00E+005.00E+061.00E+071.50E+072.00E+072.50E+073.00E+07

Cus

to T

rans

porte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ento

Cus

to T

rans

porte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cus

tos

(u.m

.)

Fig. 15 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo para a procura de 2010

A dbiferença entre o custo do transporte primário e secundário continua a aumentar. Não

é difícil perceber qual a razão disto acontecer. O facto do novo armazém estar bastante mais

distante de Portugal que o armazém mais a Sul, (o que se utilizava em 2006 e 2008) obriga a um

aumento do custo médio do transporte primário. O modelo só prefere esta localização, porque

assim os armazéns estarão em média mais perto dos clientes, e consequentemente o custo de

transporte secundário será menor.

Comparação entre as Localizações Actuais e as

Propostas pelo o Modelo para a Procura de 2010

Demonstra-se aqui que a proposta criada pelo modelo é muitíssimo vantajosa. A

comparação entre custos para as localizações propostas pelo o modelo e para localizações

estão na Fig. 16, já a seguir:

61

Comparação dos Custos para as Localizações Propostas pelo o Modelo e as Actuais - Procura

2010

0.00E+005.00E+061.00E+071.50E+072.00E+072.50E+073.00E+073.50E+074.00E+07

Cus

to T

rans

porte

Prim

ário

Cus

toA

rmaz

enam

ento

Cus

to T

rans

porte

Sec

undá

rio

Cus

to T

otal

Cus

to (u

.m.)

Actual 2010 Modelo 2010

Fig. 16 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e as

actuais para a procura de 2010

Para a proposta do modelo o custo primário praticamente mantêm-se em relação às

localizações actuais. A grande diferença mais uma vez reside no custo secundário que para as

localizações propostas é menos de metade do que para as localizações actuais.

A resposta dada pelo modelo no essencial, está em que gastando-se praticamente o

mesmo em transportes primários, e recolocando os armazéns e portos de modo a ficarem

substancialmente mais perto dos clientes se consegue gastar muito menos em transportes

secundários.

Para o ano de 2010, e com os pressupostos já mencionados, poupar-se-iam cerca de

1.46 milhões de contos na moeda antiga.

6.3 – Resumo e conclusões

Em tom de resumo apresenta-se o seguinte quadro. Nele se pode visualizar a evolução

das diferenças de custos entre as localizações actuais e as localizações propostas pelo o

modelo para os diversos anos:

62

Tabela 9 - Tabela de resumo de custos e poupanças

Custos (u.m.) Actual 2006

Modulo 2006

Actual 2008

Modulo 2008

Actual 2010

Modulo 2010

Custom Transported Primaries 1.42E+07 1.38E+07 1.88E+07 1.81E+07 2.39E+07 2.32E+07Custom Armazenamento 1.57E+06 1.57E+06 1.92E+06 1.92E+06 2.25E+06 2.25E+06Custom Transported Secundário 5.05E+06 2.18E+06 7.13E+06 3.01E+06 9.66E+06 3.07E+06Custom Total 2.09E+07 1.76E+07 2.78E+07 2.30E+07 3.59E+07 2.85E+07Poupança Total 3.28E+06 4.82E+06 7.31E+06

Poupanças para os diferentes custos ao longo dos vários anos

0.00E+001.00E+062.00E+063.00E+064.00E+065.00E+066.00E+067.00E+068.00E+06

2006 2008 2010

Pou

panç

a (u

.m.)

Poupança noTransporte Primário

Poupança noTransporteSecundárioPoupança Total

Fig. 17 - Poupanças para os diferentes custos ao longo dos anos

Concluímos portanto, que o modelo produz soluções bastante melhores que a solução

actual. Os níveis de poupança estão nos vários milhões de unidades monetárias por ano, sendo

portanto aconselhável a implementação destas propostas o mais rapidamente possível.

Quanto ao horizonte para além de 2010 podemos deduzir que as localizações

continuarão a aproximar-se dos clientes até se estabelecer um equilíbrio entre a diminuição do

custo secundário e o aumento do custo primário.

As poupanças para os custos no transporte primário estagnarão ou poderão mesmo

diminuir. As poupanças para o transporte secundário terão sempre tendência a aumentar

enquanto os armazéns se forem aproximando dos clientes. Quando esta aproximação parar a

poupança manter-se-á sempre ao mesmo nível

63

6.4 – Estatísticas computacionais do modelo

A seguinte tabela resume as estatísticas computacionais mais importantes. O

computador usado neste trabalho é um Compaq DesKpro que utiliza um CPU Pentium III Intel

inside.

Caso Função

objectivo (u.m.)

Numero total de

variáveis

Numero de

variáveis inteiras

Numero de

restrições

Gap(%)

Numero de

iterações

Tempo de processamento

(s)

Actual 2006 2.09E+07 5048 3 1728 0.5 2488 1.9

2008 2.78E+07 5048 3 1728 0.5 2259 1.9

2010 3.59E+07 5048 3 1728 0.5 2322 1.8

Modelo 2006 1.76E+07 290818 173 33197 0.5 45544 2113.3

2008 2.30E+07 290818 173 33197 0.5 115537 5517.3

2010 2.85E+07 290818 173 33197 0.5 28834 43396.4

64

7. Conclusões e desenvolvimentos

futuros

O grande objectivo deste trabalho foi desde o princípio ajudar um grupo papeleiro

português a optimizar a sua rede de armazéns num determinado mercado. Essa optimização

permite que se diminuam os custos logísticos e consequentemente permite que se faça a

mesma coisa de uma forma mais económica.

O modelo foi desenvolvido com base em alguns artigos lidos, que foram mencionados no

capítulo da revisão bibliográfica. Apesar de já, em diversas situações, se terem criado modelos

de localização óptima de armazéns esta situação tinha bastantes especificidades que tinham que

ser modeladas.

Tendo em contas as características do mercado em específico e da zona concreta,

criamos um modelo com as restrições necessárias para ficar modelado o essencial de modo a

que o modelo fosse o mais realístico possível.

Em termos de valores, pelo os nossos cálculos, até 2010, a poupança total será de

cerca 22,2 milhões de u.m. o que (com 1€ = 1u.m.) será equivalente a 4.4 milhões de contos.

Isto dá uma poupança media de 1.1 milhões de contos por ano. Parece-nos que estes valores

merecem atenção imediata e exigem uma mudança rápida.

O modelo aqui desenvolvido é um modelo óptimo, ou seja, partindo dos pressupostos

considerados e utilizando a informação que nos foi fornecida, é impossível descobrir um outro

resultado melhor. É verdade que se partiu de pressupostos que não garantem a optimização

absoluta, como por exemplo o facto de as localizações possíveis serem discretas e não

contínuas. Parece-nos que o nível de melhoria, se todos os pontos do mapa fossem localizações

possíveis, é bastante reduzido, especialmente tendo em conta pequenos factores de erro que

existem sempre, o tempo de processamento, que seria necessário, e ainda a grande

complexidade de um modelo assim.

Em relação aos factores de erro, acreditamos que este modelo trabalha com um input

bastante fiável. Grande parte dele foi-nos fornecido directamente pelo o grupo papeleiro em

causa. A nossa preocupação vai mais para as coordenadas das cidades que retirámos do

software Google Earth. Em primeiro lugar este software tem já algum erro, e para além disto

65

como retirámos coordenadas de 139 cidades, e mesmo tendo sido feita a sua verificação, é difícil

garantir que estão absolutamente correctas.

É importante não se esquecer que o modelo não foi corrido até ao óptimo, mas até 0.5%

de distância ao óptimo. Por ser um gap pequeno não se considera que o erro que tenha levado a

nenhuma alteração essencial nas localizações escolhidas.

Por fim, resta dizer que o trabalho atingiu todos os objectivos a que se propunha,

provavelmente até os excedeu. Deixaram-se ferramentas para melhorar o modelo no futuro ou

aplicá-lo a outras zonas do globo e explicou-se pormenorizadamente tudo o que pensamos ser

necessário.

Para os desenvolvimentos futuros há, parece-nos, duas grande áreas por onde a

investigação e o aperfeiçoamento deste trabalho podem continuar. A primeira passa por uma

modelação ainda mais fina que introduza mais pormenores sobre o mercado e a área onde se

encontra. A segunda é a possível aplicação deste modelo a outros mercados e a outras áreas do

globo, o modelo está perfeitamente preparado para isso e até foram deixados alguns

instrumentos que não sendo necessários nesta situação poderão ser necessários no caso deste

modelo ser aplicado a outro contexto.

66

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69

Anexo 1 Amostra da tabela de encomendas

whse_cd ship_mthd disp_date disp_time F_dest_cd Destination market ton Month

62 3 13-09-2006 7:11 KIE DE-KIEL (24) DE .6 9

62 3 18-08-2006 8:31 FRA DE-FRANKFURT (60) DE .6 8

62 3 23-02-2006 7:28 FRA DE-FRANKFURT (60) DE .7 2

62 3 07-06-2006 8:28 HAL DE-HALLE (06) DE 1.1 6

62 3 01-11-2006 14:43 KIE DE-KIEL (24) DE 1.1 11

62 3 01-11-2006 9:19 HAM DE-HAMBURG (20) DE 1.1 11

62 3 27-07-2006 14:59 1MHM DE-MANNHEIM (68) DE 1.3 7

62 3 09-08-2006 8:11 STR DE-STUTTGART (70) DE 1.3 8

62 3 24-08-2006 6:27 TER DE-TRIER (54) DE 1.3 8

62 3 05-10-2006 7:59 MHM DE-MANNHEIM (68) DE 1.3 10

62 3 10-10-2006 8:25 KOL DE-KOELN (50) DE 1.3 10

62 3 06-11-2006 7:43 MHM DE-MANNHEIM (68) DE 1.3 11

62 3 16-02-2006 7:26 FRA DE-FRANKFURT (60) DE 1.3 2

62 3 28-09-2006 8:03 DOR DE-DORTMUND (44) DE 1.3 9

62 3 24-04-2006 7:48 KOL DE-KOELN (50) DE 1.3 4

62 3 02-11-2006 7:12 MHM DE-MANNHEIM (68) DE 1.3 11

62 3 03-08-2006 6:53 MHM DE-MANNHEIM (68) DE 1.3 8

62 3 03-08-2006 6:54 KOL DE-KOELN (50) DE 1.3 8

62 3 22-08-2006 10:44 STR DE-STUTTGART (70) DE 1.3 8

62 3 07-09-2006 7:44 MHM DE-MANNHEIM (68) DE 1.3 9

62 3 01-09-2006 7:16 FRA DE-FRANKFURT (60) DE 1.3 9

62 3 19-01-2006 8:49 TER DE-TRIER (54) DE 1.4 1

62 3 22-08-2006 7:47 KOL DE-KOELN (50) DE 1.4 8

62 3 29-03-2006 13:33 AAL DE-AALEN (73) DE 1.5 3

62 3 22-08-2006 14:34 BER DE-BERLIM (10) DE 1.5 8

Nota: A tabela inteira tem mais de 7000 linhas

70

Anexo 2 Amostra da tabela de distribuição da procura por cidades e por mês em 2006

1 2 3 4 5 6 7BE-AARSCHOT 54990 167895 BE-ANTWERPEN 9220 17582.5 36927.5 31892.5 20717.5 30842.5 15187.5BE-BRUGGE 375536.3 96620 48402.5 76753.75 32776.25 110932.5 39367.5BE-BRUXELLES 793327.5 770647.5 994492.5 415217.5 722615 427851.3 457302.5BE-CHARLEROI 26120 45637.5 24755 22800 32216.25BE-GENT 44160 34327.5 21585 35231.25 45917.5 5760 10395BE-HASSELT 4470 137415 44216.25 19092.5 144443.8 92870 9790BE-KORTRIJK 31241.25 42967.5 34127.5 2036.25 57418.75 7731.25BE-LEUVEN 75925 15378.75 55591.25 49355 31638.75BE-LIEGE 372946.3 121630 172508.8 159525 93478.75 293168.8 95362.5BE-LIER 162096.3 116990 215343.8 54067.5 100766.3 80245 119068.8BE-MALMEDY 13128.75 BE-MECHELEN 7605 1755BE-MONS 33740 3845 9612.5 BE-MOUSCRON 19361.25 4117.5 4740BE-NAMUR 26515 BE-OVERPELT BE-ROESELARE 6650 9875 18712.5BE-TIELT 490425 656201.3 671275 281228.8 562402.5 350810 137285BE-TURNHOUT 64241.25 27118.75 109431.3 56802.5 98876.25 28130 12920BE-WILRIJK 110441.3 68243.75 8775 39575 54405 DE-AACHEN 12240 24790 20570 12240DE-AALEN 180216.3 67948.75 149742.5 70310 39497.5 119267.5 90615DE-AMBERG 10537.5 4455 14437.5DE-ARNSBERG 25865 32801.25 18878.75 39593.75 25865 3695 55308.75DE-AUGSBURG 208875 43590 43152.5 24565 73490 16058.75 108510DE-BAMBERG 13887.5 6312.5 4117.5 28508.75 87407.5 12412.5 12412.5DE-BERLIM 375053.8 236272.5 158262.5 82543.75 212706.3 177426.3 300118.8DE-BIELEFELD 159027.5 66737.5 82505 36177.5 110031.3 92118.75 60765DE-BOCHOLT 6862.5 DE-BONN 12315 4125 6300DE-BRAUNSCHWEIG 16470 8235 22845 12015 8235 6300DE-BREMEN 98397.5 91575 162986.3 110200 108162.5 144821.3 116923.8DE-BREMER-HAVEN 11227.5 DE-CELLE 7481.25 7481.25 16458.75 10841.25 33888.75 7481.25DE-CHEMNITZ 58741.25 32077.5 29821.25 6237.5 58818.75 36202.5 68623.75DE-COTTBUS 10727.5 29541.25 14548.75 149118.8

2

Nota: Só até ao mês de Julho e para menos de metade das cidades clientes

71

Anexo 3

Amostra da tabela de distribuição da procura por cidades e por mês previsão, para 20103

1 2 3 4 5 6 7BE-AARSCHOT 84684.6 258558.3 0 0 0 0 0BE-ANTWERPEN 14198.8 27077.05 56868.35 49114.45 31904.95 47497.45 23388.75BE-BRUGGE 578325.8 148794.8 74539.85 118200.8 50475.43 170836.1 60625.95BE-BRUXELLES 1221724 1186797 1531518 639435 1112827 658890.9 704245.9BE-CHARLEROI 0 40224.8 70281.75 0 38122.7 35112 49613.03BE-GENT 68006.4 52864.35 33240.9 54256.13 70712.95 8870.4 16008.3BE-HASSELT 6883.8 211619.1 68093.03 29402.45 222443.4 143019.8 15076.6BE-KORTRIJK 48111.53 66169.95 52556.35 0 3135.825 88424.88 11906.13BE-LEUVEN 116924.5 23683.28 0 0 85610.53 76006.7 48723.68BE-LIEGE 574337.2 187310.2 265663.5 245668.5 143957.3 451479.9 146858.3BE-LIER 249628.2 180164.6 331629.4 83263.95 155180 123577.3 183365.9BE-MALMEDY 0 0 20218.28 0 0 0 0BE-MECHELEN 0 0 11711.7 0 0 0 2702.7

BE-MONS 0 51959.6 5921.3 0 14803.25 0 0BE-MOUSCRON 0 29816.33 0 0 0 6340.95 7299.6BE-NAMUR 0 0 40833.1 0 0 0 0BE-OVERPELT 0 0 0 0 0 0 0BE-ROESELARE 0 10241 15207.5 0 0 0 28817.25BE-TIELT 755254.5 1010550 1033764 433092.3 866099.9 540247.4 211418.9BE-TURNHOUT 98931.53 41762.88 168524.1 87475.85 152269.4 43320.2 19896.8BE-WILRIJK 170079.5 105095.4 13513.5 0 60945.5 83783.7 0DE-AACHEN 19094.4 0 38672.4 0 32089.2 0 19094.4DE-AALEN 281137.4 106000.1 233598.3 109683.6 61616.1 186057.3 141359.4DE-AMBERG 0 16438.5 0 0 6949.8 0 22522.5DE-ARNSBERG 40349.4 51169.95 29450.85 61766.25 40349.4 5764.2 86281.65DE-AUGSBURG 325845 68000.4 67317.9 38321.4 114644.4 25051.65 169275.6DE-BAMBERG 21664.5 9847.5 6423.3 44473.65 136355.7 19363.5 19363.5DE-BERLIM 585083.9 368585.1 246889.5 128768.3 331821.8 276785 468185.3DE-BIELEFELD 248082.9 104110.5 128707.8 56436.9 171648.8 143705.3 94793.4DE-BOCHOLT 0 0 0 10705.5 0 0 0DE-BONN 0 19211.4 0 6435 0 0 9828DE-BRAUNSCHWEIG 25693.2 12846.6 35638.2 18743.4 12846.6 0 9828DE-BREMEN 153500.1 142857 254258.6 171912 168733.5 225921.2 182401.1DE-BREMER-HAVEN 0 17514.9 0 0 0 0 0DE-CELLE 11670.75 11670.75 25675.65 16912.35 52866.45 0 11670.75DE-CHEMNITZ 91636.35 50040.9 46521.15 9730.5 91757.25 56475.9 107053.1DE-COTTBUS 0 16734.9 0 0 46084.35 22696.05 232625.3DE-DORTMUND 297195.6 212690.4 244309.7 179047.1 231724.4 177656.7 262043DE-DRESDEN 0 24624.6 10044.45 0 21370.05 0 1228.5DE-DUISBURG 58968 12643.8 84942 0 75115.95 28466.1 241039.5DE-DUSSELDORF 0 6575.4 42049.8 0 43787.25 40006.2 42049.8

Nota: Só até ao mês de Julho e para menos de metade das cidades clientes

72

Anexo 4 Amostra da tabela de coordenadas das diversas cidades clientes

Cidades Longitude Latitude Cidades Longitude Latitude BE-AARSCHOT 4.9 50.6 DE-KASSEL 9.5 51.2 BE-ANTWERPEN 4.4 51.1 DE-KEHL 7.8 48.3 BE-BRUGGE 3.2 51.1 DE-KIEL 10.1 54.2 BE-BRUXELLES 4.4 50.5 DE-KOBLENZ 7.6 50.2 BE-CHARLEROI 4.4 50.3 DE-KOELN 7.0 50.6 BE-GENT 3.7 51.0 DE-KONSTANZ 9.2 47.4 BE-HASSELT 5.3 50.6 DE-LANDSHUT 12.2 48.3 BE-KORTRIJK 3.3 50.5 DE-LEIPZIG 12.4 51.2 BE-LEUVEN 4.7 50.5 DE-LUBECK 10.7 53.5 BE-LIEGE 5.6 50.4 DE-M GLADBACH 6.8 49.6 BE-LIER 4.6 51.1 DE-MAINZ 8.2 50.0 BE-MALMEDY 6.0 50.3 DE-MANNHEIM 8.5 49.3 BE-MECHELEN 4.5 51.0 DE-MUNCHEN 11.3 48.1 BE-MONS 4.0 50.3 DE-MUNSTER 7.6 51.6 BE-MOUSCRON 3.3 50.4 DE-NUERNBERG 11.1 49.3 BE-NAMUR 4.9 50.3 DE-OSNABRUCK 8.1 52.2 BE-OVERPELT 5.4 51.1 DE-PFORZHEM 8.7 48.5 BE-ROESELARE 3.1 50.6 DE-PLATTLING 12.9 48.5 BE-TIELT 4.9 50.6 DE-ROSENHEIM 12.1 47.5 BE-TURNHOUT 4.9 51.2 DE-SAARBRUCKEN 7.0 49.1 BE-WILRIJK 4.4 51.1 DE-SIEGEN 8.0 50.5 DE-AACHEN 6.1 50.5 DE-STUTTGART 9.2 48.5 DE-AALEN 10.1 48.5 DE-SUHL 10.7 50.4 DE-AMBERG 10.7 48.0 DE-TRIER 6.6 49.5 DE-ARNSBERG 8.1 51.2 DE-TUBINGEN 9.1 48.3 DE-AUGSBURG 10.9 48.2 DE-ULM 10.0 48.2 DE-BAMBERG 10.9 49.5 DE-WIESBADEN 8.2 50.1 DE-BERLIM 13.4 52.3 DE-WITTSTOCK 12.5 53.1 DE-BIELEFELD 8.5 52.0 DE-WUPPERTAL 7.2 51.2 DE-BOCHOLT 6.6 51.5 DE-WURZBURG 9.9 49.5 DE-BONN 7.1 50.4 DE-ZWICKAU 12.5 50.4 DE-BRAUNSCHWEIG 10.5 52.2 LU-LUXEMBURG 6.1 49.4 DE-BREMEN 8.8 53.0 NL-ALKMAAR 4.8 52.4 DE-BREMER-HAVEN 8.6 53.3 NL-ALMELO 6.7 52.2 DE-CELLE 10.1 52.4 NL-ALMERE 5.2 52.3 DE-CHEMNITZ 12.9 50.5 NL-AMSTERDAM 4.9 52.2 DE-COTTBUS 14.3 51.5 NL-APELDOORN 5.9 52.1 DE-DORTMUND 7.5 51.3 NL-ARNHEM 5.9 52.0 DE-DRESDEN 13.7 51.0 NL-BREDA 4.8 51.3 DE-DUISBURG 6.8 51.3 NL-CULEMBORG 5.2 51.6 DE-DUSSELDORF 6.8 51.1 NL-DEN HAAG 4.2 52.1 DE-ELMSHORN 9.7 53.5 NL-DOETINCHEM 6.3 51.6 DE-EMDEN 11.3 52.1 NL-EDE 5.7 52.1 DE-ERFURT 11.0 50.6 NL-EINDHOVEN 5.5 51.3

73

Anexo 5 Amostra da tabela de distâncias entre as possiveis localizações de armazéns e as cidades

Armazéns 1 2 3 4 5 Latitude 47.5 48 48.5 49 49.5 Longitude 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5Latitude Longitude Cidades 1 2 3 4 5

450.98 4.85 BE-AARSCHOT 471.4 408.0 345.3 284.0 225.351.20 4.42 BE-ANTWERPEN 492.2 427.4 363.0 299.1 236.251.20 3.22 BE-BRUGGE 486.8 421.1 355.6 290.1 224.650.85 4.37 BE-BRUXELLES 446.1 381.4 317.2 253.7 191.650.42 4.42 BE-CHARLEROI 390.9 326.7 263.3 201.3 142.851.03 3.73 BE-GENT 464.7 399.1 333.5 267.9 202.450.92 5.30 BE-HASSELT 473.6 411.8 351.5 293.5 239.550.80 3.27 BE-KORTRIJK 434.1 368.4 302.9 237.3 171.950.88 4.70 BE-LEUVEN 455.8 392.0 328.9 267.1 207.750.63 5.57 BE-LIEGE 446.6 386.8 329.4 275.6 228.251.13 4.57 BE-LIER 485.7 421.3 357.4 294.2 232.450.43 6.03 BE-MALMEDY 439.9 383.7 330.9 283.6 244.951.03 4.45 BE-MECHELEN 471.0 406.4 342.2 278.8 216.650.43 3.97 BE-MONS 387.4 322.1 257.0 192.3 128.750.73 3.25 BE-MOUSCRON 425.4 359.8 294.2 228.7 163.450.45 4.87 BE-NAMUR 404.2 341.6 280.6 222.2 169.351.20 5.37 BE-OVERPELT 510.7 448.6 387.7 328.6 272.650.93 3.12 BE-ROESELARE 452.3 386.8 321.3 256.1 191.150.93 4.90 BE-TIELT 466.1 402.9 340.5 279.8 221.851.32 4.93 BE-TURNHOUT 515.7 452.0 389.1 327.2 267.251.17 4.38 BE-WILRIJK 487.4 422.6 358.1 294.1 231.150.77 6.08 DE-AACHEN 480.6 423.0 368.0 317.2 272.948.83 10.08 DE-AALEN 578.2 561.8 552.7 551.4 557.948.05 10.67 DE-AMBERG 604.1 599.8 602.7 612.7 629.351.38 8.07 DE-ARNSBERG 637.5 586.3 538.2 494.1 455.348.35 10.90 DE-AUGSBURG 629.3 621.0 619.7 625.2 637.549.88 10.88 DE-BAMBERG 692.8 665.7 644.1 628.7 620.052.47 13.40 DE-BERLIM 1054.7 1015.4 978.9 945.5 915.752.02 8.52 DE-BIELEFELD 727.0 674.4 624.4 577.4 534.551.83 6.62 DE-BOCHOLT 626.3 567.2 509.8 454.6 402.550.72 7.08 DE-BONN 518.3 466.2 418.1 375.3 339.9

52.25 10.52DE-BRAUNSCHWEIG 857.0 810.4 766.6 726.1 689.5

53.07 8.80 DE-BREMEN 855.5 800.0 746.2 694.5 645.3

53.53 8.57DE-BREMER-HAVEN 899.1 841.7 785.6 731.2 678.7

52.62 10.07 DE-CELLE 868.4 818.6 771.1 726.6 685.450.82 12.92 DE-CHEMNITZ 900.6 870.7 844.9 823.5 806.951.75 14.32 DE-COTTBUS 1063.7 1030.7 1001.0 974.7 952.3

Nota: A tabela toda tem 168 possibilidades de localização de armazéns e 139 cidades clientes

74

Anexo 65 Cidades clientes do Grupo Portucel Soporcel na Bélgica, Holanda, Luxemburgo e Alemanha

BE-AARSCHOT DE-BIELEFELD DE-HOF DE-TUBINGEN NL-LELYSTAD BE-ANTWERPEN DE-BOCHOLT DE-INGOLSTADT DE-ULM NL-LISSE BE-BRUGGE DE-BONN DE-KAISERLAUTE DE-WIESBADEN NL-MAARSSEN BE-BRUXELLES DE-BRAUNSCHWEIG DE-KARLSRUHE DE-WITTSTOCK NL-MAASTRICHT BE-CHARLEROI DE-BREMEN DE-KASSEL DE-WUPPERTAL NL-MEPPEL BE-GENT DE-BREMER-HAVEN DE-KEHL DE-WURZBURG NL-MOERDIJK BE-HASSELT DE-CELLE DE-KIEL DE-ZWICKAU NL-NAARDEN BE-KORTRIJK DE-CHEMNITZ DE-KOBLENZ LU-LUXEMBURG NL-NIEUWEGEIN BE-LEUVEN DE-COTTBUS DE-KOELN NL-ALKMAAR NL-NIJMEGEN BE-LIEGE DE-DORTMUND DE-KONSTANZ NL-ALMELO NL-OOSTERHOUT BE-LIER DE-DRESDEN DE-LANDSHUT NL-ALMERE NL-OSS BE-MALMEDY DE-DUISBURG DE-LEIPZIG NL-AMSTERDAM NL-PURMEREND BE-MECHELEN DE-DUSSELDORF DE-LUBECK NL-APELDOORN NL-RIJSWIJK BE-MONS DE-ELMSHORN DE-M_GLADBACH NL-ARNHEM NL-ROERMOND BE-MOUSCRON DE-EMDEN DE-MAINZ NL-BREDA NL-ROTTERDAM BE-NAMUR DE-ERFURT DE-MANNHEIM NL-CULEMBORG NL-SCHIEDAM BE-OVERPELT DE-ESSEN DE-MUNCHEN NL-DEN_HAAG NL-S-HERTOGENBOS BE-ROESELARE DE-FRANKFURT DE-MUNSTER NL-DOETINCHEM NL-TIEL BE-TIELT DE-FREIBURG DE-NUERNBERG NL-EDE NL-TILBURG BE-TURNHOUT DE-FRIEDRICHSHAF DE-OSNABRUCK NL-EINDHOVEN NL-UTRECHT BE-WILRIJK DE-GIESSEN DE-PFORZHEM NL-GOES NL-VENLO DE-AACHEN DE-GOTTINGEN DE-PLATTLING NL-GRONINGEN NL-WINTERSWIJK DE-AALEN DE-HAGEN DE-ROSENHEIM NL-HAARLEM NL-ZAANSTAD DE-AMBERG DE-HALLE DE-SAARBRUCKEN NL-HARDERWIJK NL-ZIERIKZEE DE-ARNSBERG DE-HAMBURG DE-SIEGEN NL-HEERLEN NL-ZOETERMEER DE-AUGSBURG DE-HANNOVER DE-STUTTGART NL-HILVERSUM NL-ZUTPHEN DE-BAMBERG DE-HEILBRONN DE-SUHL NL-HOORN NL-ZWOLE DE-BERLIM DE-HERFORD DE-TRIER NL-IJSSEL

Nota: Os prefixos idincam o país de cada cidade

75

Anexo 7 Amostra da tabela das distâncias entre portos e cidades

Latitude 51.20 51.65 51.92 53.07 53.53 Longitude 4.42 4.53 4.27 8.80 9.97Latitude Longitude Antuerpia Moerdijk Roterdao Bremen Hamburgo

50.98 4.85 BE-AARSCHOT 46.1072 91.52147 132.0005 429.2207 543.744151.20 4.42 BE-ANTWERPEN 0 59.93079 95.00313 441.3031 556.566951.20 3.22 BE-BRUGGE 100.4331 125.0593 128.8049 527.7547 642.772650.85 4.37 BE-BRUXELLES 46.17999 106.0415 140.4097 471.7121 586.504950.42 4.42 BE-CHARLEROI 102.93 162.3539 197.4994 505.8027 619.25651.03 3.73 BE-GENT 61.24075 105.1137 124.3572 501.2029 616.50450.92 5.30 BE-HASSELT 82.77505 115.7691 157.3069 406.9642 520.352350.80 3.27 BE-KORTRIJK 109.6645 153.9914 168.9214 550.616 665.911650.88 4.70 BE-LEUVEN 47.89276 101.7011 140.5402 447.2755 561.734750.63 5.57 BE-LIEGE 121.6883 159.1408 200.684 418.8845 529.922951.13 4.57 BE-LIER 15.3083 67.9473 105.9482 435.9689 551.098850.43 6.03 BE-MALMEDY 168.6896 203.2709 244.6476 416.3498 523.733651.03 4.45 BE-MECHELEN 22.07698 81.32961 117.0798 451.5885 566.649450.43 3.97 BE-MONS 107.55 166.7565 196.5206 532.3233 646.603650.73 3.25 BE-MOUSCRON 115.3012 161.3834 177.2493 556.5669 671.843650.45 4.87 BE-NAMUR 105.5015 160.129 199.155 476.0147 588.506251.20 5.37 BE-OVERPELT 79.50955 91.43715 131.6955 377.7995 492.162250.93 3.12 BE-ROESELARE 114.3057 151.4137 161.1179 552.1178 667.38150.93 4.90 BE-TIELT 53.51808 99.04411 139.6599 430.2572 544.552251.32 4.93 BE-TURNHOUT 45.879 55.12891 96.58654 396.9956 512.151551.17 4.38 BE-WILRIJK 5.193018 64.73891 99.03254 446.0617 561.312150.77 6.08 DE-AACHEN 150.6644 174.0721 214.3637 378.1981 487.641948.83 10.08 DE-AALEN 567.1316 593.9231 633.3576 566.5347 617.657248.05 10.67 DE-AMBERG 667.0411 698.0467 738.2811 677.4504 722.887951.38 8.07 DE-ARNSBERG 306.4325 297.7885 325.6678 229.5474 324.189748.35 10.90 DE-AUGSBURG 659.3003 686.9928 726.5384 644.2094 685.554949.88 10.88 DE-BAMBERG 568.2031 579.9459 614.8611 453.1766 485.707452.47 13.40 DE-BERLIM 770.0558 749.8078 767.8164 392.9833 319.710952.02 8.52 DE-BIELEFELD 359.5344 336.8456 355.9433 139.993 233.332351.83 6.62 DE-BOCHOLT 202.0605 176.0193 196.9861 244.2429 358.481850.72 7.08 DE-BONN 232.0451 246.148 283.612 340.5786 441.832652.25 10.52 DE-BRAUNSCHWEIG 528.8494 506.9389 524.9197 179.3265 174.799953.07 8.80 DE-BREMEN 441.3031 402.7022 408.3984 0 115.301253.53 8.57 DE-BREMER-HAVEN 463.2953 418.5604 417.9043 64.35457 117.17252.62 10.07 DE-CELLE 508.1932 480.2118 494.0642 121.388 120.740450.82 12.92 DE-CHEMNITZ 713.1822 710.13 738.2434 454.0019 434.034851.75 14.32 DE-COTTBUS 831.7191 818.9143 841.4124 493.0636 432.963751.50 7.45 DE-DORTMUND 256.9148 244.9027 271.9941 234.8286 340.221151.05 13.73 DE-DRESDEN 780.0007 774.013 800.448 490.6111 453.717751.42 6.75 DE-DUISBURG 197.351 188.0387 217.9777 276.485 387.0838

76

Anexo 8 Amostra da tabela de excepções

(as rotas marcadas a 1 estão dentro das condições de excepção)

Antuerpia Moerdijk Roterdao Bremen Hamburgo BE-AARSCHOT 0 0 0 0 0 BE-ANTWERPEN 0 0 0 0 0 BE-BRUGGE 0 0 0 0 0 BE-BRUXELLES 0 0 0 0 0 BE-CHARLEROI 0 0 0 0 0 BE-GENT 0 0 0 0 0 BE-HASSELT 0 0 0 0 0 BE-KORTRIJK 0 0 0 0 0 BE-LEUVEN 0 0 0 0 0 BE-LIEGE 0 0 0 0 0 BE-LIER 0 0 0 0 0 BE-MALMEDY 1 1 1 0 0 BE-MECHELEN 0 0 0 0 0 BE-MONS 0 0 0 0 0 BE-MOUSCRON 0 0 0 0 0 BE-NAMUR 0 0 0 0 0 BE-OVERPELT 0 0 0 0 0 BE-ROESELARE 0 0 0 0 0 BE-TIELT 0 0 0 0 0 BE-TURNHOUT 0 0 0 0 0 BE-WILRIJK 0 0 0 0 0 DE-AACHEN 1 1 1 0 0 DE-AALEN 0 0 0 0 0 DE-AMBERG 0 0 0 0 0 DE-ARNSBERG 1 1 1 0 0 DE-AUGSBURG 0 0 0 0 0 DE-BAMBERG 0 0 0 0 0 DE-BERLIM 0 0 0 0 0 DE-BIELEFELD 1 1 1 0 0 DE-BOCHOLT 1 1 1 0 0 DE-BONN 1 1 1 0 0 DE-BRAUNSCHWEIG 0 0 0 0 0 DE-BREMEN 0 0 0 0 0 DE-BREMER-HAVEN 0 0 0 0 0 DE-CELLE 0 0 0 0 0 DE-CHEMNITZ 0 0 0 0 0 DE-COTTBUS 0 0 0 0 0 DE-DORTMUND 1 1 1 0 0 DE-DRESDEN 0 0 0 0 0 DE-DUISBURG 1 1 1 0 0 DE-DUSSELDORF 1 1 1 0 0 DE-ELMSHORN 0 0 0 0 0 DE-EMDEN 0 0 0 0 0

77

Anexo 9

Amostra da tabela de custos das excepções (as rotas marcadas com um custo estão dentro das condições de excepção)

Antuerpia Moerdijk Roterdao Bremen Hamburgo BE-AARSCHOT 0 0 0 0 0 BE-ANTWERPEN 0 0 0 0 0 BE-BRUGGE 0 0 0 0 0 BE-BRUXELLES 0 0 0 0 0 BE-CHARLEROI 0 0 0 0 0 BE-GENT 0 0 0 0 0 BE-HASSELT 0 0 0 0 0 BE-KORTRIJK 0 0 0 0 0 BE-LEUVEN 0 0 0 0 0 BE-LIEGE 0 0 0 0 0 BE-LIER 0 0 0 0 0 BE-MALMEDY 0.06 0.06 0.06 0 0 BE-MECHELEN 0 0 0 0 0 BE-MONS 0 0 0 0 0 BE-MOUSCRON 0 0 0 0 0 BE-NAMUR 0 0 0 0 0 BE-OVERPELT 0 0 0 0 0 BE-ROESELARE 0 0 0 0 0 BE-TIELT 0 0 0 0 0 BE-TURNHOUT 0 0 0 0 0 BE-WILRIJK 0 0 0 0 0 DE-AACHEN 0.06 0.06 0.06 0 0 DE-AALEN 0 0 0 0 0 DE-AMBERG 0 0 0 0 0 DE-ARNSBERG 0.06 0.06 0.06 0 0 DE-AUGSBURG 0 0 0 0 0 DE-BAMBERG 0 0 0 0 0 DE-BERLIM 0 0 0 0 0 DE-BIELEFELD 0.06 0.06 0.06 0 0 DE-BOCHOLT 0.06 0.06 0.06 0 0 DE-BONN 0.06 0.06 0.06 0 0 DE-BRAUNSCHWEIG 0 0 0 0 0 DE-BREMEN 0 0 0 0 0 DE-BREMER-HAVEN 0 0 0 0 0 DE-CELLE 0 0 0 0 0 DE-CHEMNITZ 0 0 0 0 0 DE-COTTBUS 0 0 0 0 0 DE-DORTMUND 0.06 0.06 0.06 0 0 DE-DRESDEN 0 0 0 0 0 DE-DUISBURG 0.06 0.06 0.06 0 0 DE-DUSSELDORF 0.06 0.06 0.06 0 0 DE-ELMSHORN 0 0 0 0 0

78

Anexo 10 Amostra da tabela binária em que 0 identifica dois armazéns que não podem ser utilizados em

conjunto

Latitude 47.5 48 48.5 49 49.5 50 Longitude 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5Latitude Longitude Armazéns 1 2 3 4 5 6

47.5 3.5 1 1 0 1 1 1 148 3.5 2 0 0 1 1 1 1

48.5 3.5 3 1 1 1 0 1 149 3.5 4 1 1 0 0 1 1

49.5 3.5 5 1 1 1 1 1 050 3.5 6 1 1 1 1 0 0

50.5 3.5 7 1 1 1 1 1 151 3.5 8 1 1 1 1 1 1

51.5 3.5 9 1 1 1 1 1 152 3.5 10 1 1 1 1 1 1

52.5 3.5 11 1 1 1 1 1 153 3.5 12 1 1 1 1 1 1

53.5 3.5 13 1 1 1 1 1 154 3.5 14 1 1 1 1 1 1

47.5 4.5 15 0 1 1 1 1 148 4.5 16 1 1 1 1 1 1

48.5 4.5 17 1 1 0 1 1 149 4.5 18 1 1 1 1 1 1

49.5 4.5 19 1 1 1 1 0 150 4.5 20 1 1 1 1 1 1

50.5 4.5 21 1 1 1 1 1 151 4.5 22 1 1 1 1 1 1

51.5 4.5 23 1 1 1 1 1 152 4.5 24 1 1 1 1 1 1

52.5 4.5 25 1 1 1 1 1 153 4.5 26 1 1 1 1 1 1

53.5 4.5 27 1 1 1 1 1 154 4.5 28 1 1 1 1 1 1

47.5 5.5 29 1 1 1 1 1 148 5.5 30 1 1 1 1 1 1

48.3 5.5 31 1 1 1 1 1 149 5.5 32 1 1 1 1 1 1

49.3 5.5 33 1 1 1 1 1 150 5.5 34 1 1 1 1 1 1

50.3 5.5 35 1 1 1 1 1 151 5.5 36 1 1 1 1 1 1

51.3 5.5 37 1 1 1 1 1 152 5.5 38 1 1 1 1 1 1

52.3 5.5 39 1 1 1 1 1 153 5.5 40 1 1 1 1 1 1

53.3 5.5 41 1 1 1 1 1 1

79

Anexo 11 Tabela binária em que 0 identifica dois portos que não podem ser utilizados em conjunto

Latitude 51.20 51.65 51.92 53.07 53.53 Longitude 4.42 4.53 4.27 8.80 9.97 Latitude Longitude Portos Antuerpia Moerdijk Roterdao Bremen Hamburgo

51.20 4.42 Antuerpia 1 0 0 1 1 51.65 4.53 Moerdijk 0 1 0 1 1 51.92 4.27 Roterdao 0 0 1 1 1 53.07 8.80 Bremen 1 1 1 1 1 53.53 9.97 Hamburgo 1 1 1 1 1

Anexo 12 Amostra da tabela binária em que 0 identifica um porto e um armazém que não podem ser

utilizados em conjunto

Latitude 47.5 48 48.5 49 49.5 50 Longitude 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5Latitude Longitude 1 2 3 4 5 6

51.20 4.42 Antuerpia 1 1 1 1 1 151.65 4.53 Moerdijk 1 1 1 1 1 151.92 4.27 Roterdao 1 1 1 1 1 153.07 8.80 Bremen 1 1 1 1 1 153.53 9.97 Hamburgo 1 1 1 1 1 1

80

Anexo 13

Código em Gams do Modelo

Sets i canning plants /fab1/ e warehouses /1*168/ j cities /$include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\cidades.inc/ p ports /$include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\portos.inc/ t time /1*12/; Parameters a(i) capacity available to these markets in ton /fab1 400000/; Alias (e,e1); Alias (p,p1); Table tab1 (j,t) demand in every city per month $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\procura2006.inc; Table dist1 (i,e) distances between plant and warehouses $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\distanciasfw.inc; Table tab2 (j,e) distances between warehouses and cities $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\distanciaswc.inc; Table MartCosts (i,p) cost of transporting the load by sea $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\custosfp2006.inc; Table tab3 (j,p) distances between ports and cities $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\distanciaspc.inc; Table include_exceptions(j,p) exceptions to the formula for calculating the cost of transporting from ports to cities $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\excepcoes\excepcoes.inc; Table cd3exceptions(j,p) cost of transporting from ports to cities per km per ton for the exception cases $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\excepcoes\custo nas excepcoes 2006.inc; Table dist2(e,e1) distance between warehouses $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\TesePortucel\incs\Funcao2\Binárias\distanciasww_bin.inc; Table dist3(p,e) distance between warehouses and ports $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\Funcao2\Binárias\distanciaswp_bin.inc; Table dist4(p,p1) distance between ports $include D:\Zé\Zé-IST\5ºano\Tese\Tese-Portucel\incs\Funcao2\Binárias\distanciaspp_bin.inc;

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Set exception(j,p); exception(j,p)$(include_exceptions(j,p)=1)=yes; * Calculation of the cost of transporting from warehouse/ports to cities Scalar a0 polynomial coeficient /3.44573641E-06/; Scalar a1 polynomial coeficient /-6.41193383E-04/; Scalar a2 polynomial coeficient /1.17596970E-01/; Parameter cd2(j,e) cost of transporting from warehouse to cities per km per ton cd3(j,p) cost of transporting from ports to cities per km per ton; cd2(j,e) = (a0*(tab2(j,e)*tab2(j,e))+a1*tab2(j,e)+a2); cd3(j,p)$(not exception(j,p)) = (a0*(tab3(j,p)*tab3(j,p))+a1*tab3(j,p)+a2); cd3(j,p)$(exception(j,p))=cd3exceptions(j,p); Scalar g cost of transporting from plant to warehouse per km per ton /0.053/; Scalar h fix cost per warehouse per year /0/; Scalar h1 cost of having a ton in a warehouse /12/; Scalar M bigM /1000000/; Scalar MH Minimum handling in each warehouse per year in ton /25000/; Scalar Conv Conversor from kg to ton /0.001/; Variables y(i,e,t) shipment quantities plants - warehouses x(e,j,t) shipment quantities warehouses - clients w(i,p,t) shipment quantities plants - ports k(p,j,t) shipment quantities ports - clients n(e) 1 warehouse is used 0 warehouse is not used n1(p) 1 port is used 0 port is not used z1 cost of transporting load to warehouses and ports z2 cost keeping load in warehouses and ports z3 cost of transporting from warehouses and ports to cities z4 fix cost of opening a warehouse z total costs in dollars; Positive variable x,y,w,k; Binary variable n(e), n1(p); Equations cost define objective function cost1 calculate z1 cost2 calculate z2 cost3 calculate z3 cost4 calculate z4 minport makes the model choose at least one port warehouse1(e) determines if a warehouse is used supplywarehouses (i,t) observe supply limit at plant i supplyclients (j,t) observe supply limit at warehouse e balance1(e,t) equales the values of the load transported from and to a warehouse

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balance2(p,t) equales the values of the load transported from and to a port port1(p) determines if a port is used or not minimumhandlingw(e) imoses a minimum use of each warehouse minimumhandlingp(p) imposes a minimum use of each warehouse distww(e,e1) doesn´t let e exist with e1 if they are too close distwp(p,e) doesn´t let p exist with e if they are too close distpp(p,p1); doesn´t let p exist with p1 if they are too close minimumhandlingw(e).. sum((j,t),x(e,j,t)) =g= MH*n(e); minimumhandlingp(p).. sum((j,t),k(p,j,t)) =g= MH*n1(p); warehouse1(e).. sum((j,t), x(e,j,t))-n(e)*M =l= 0; port1(p).. sum((j,t), k(p,j,t))-n1(p)*M =l= 0; supplywarehouses(i,t).. sum(e,y(i,e,t)) + sum(p,w(i,p,t)) =l= a(i); supplyclients (j,t).. sum(e,x(e,j,t)) + sum(p,k(p,j,t)) =e= tab1(j,t)*conv; balance1(e,t).. sum((j),x(e,j,t)) - sum((i),y(i,e,t)) =e= 0 ; balance2(p,t).. sum((j),k(p,j,t)) - sum((i),w(i,p,t)) =e= 0 ; minport.. sum(p,n1(p))=g= 1; distww(e,e1).. n(e)+n(e1) =l= dist2(e,e1)+1; distwp(p,e).. n(e)+n1(p) =l= dist3(p,e)+1; distpp(p,p1).. n1(p)+n1(p1) =l= dist4(p,p1)+1; cost1.. z1 =e= sum((i,e,t), g*dist1(i,e)*y(i,e,t)) + sum((i,p,t),MartCosts(i,p)*w(i,p,t)); cost2.. z2 =e= h1 * (sum((e,j,t), x(e,j,t))+ sum((p,j,t),k(p,j,t))); cost3.. z3 =e= sum((e,j,t), cd2(j,e)*tab2(j,e)*x(e,j,t)) + sum((p,j,t), cd3(j,p)*tab3(j,p)*k(p,j,t)); cost4.. z4 =e= h*(sum(e, n(e)) + sum(p, n1(p))); cost.. z =e= z1 + z2 + z3 + z4; Model transport /all/; transport.OptCR=0.005; transport.optfile=1; option MIP=cplex; Option reslim=50000; solve transport minimizing z using mip; execute_unload "resultadosexp.gdx" x.L y.L w.L k.L execute 'gdxxrw.exe resultadosexp.gdx var=x.L rng= Sheet1!a1' execute 'gdxxrw.exe resultadosexp.gdx var=y.L rng= Sheet2!a1' execute 'gdxxrw.exe resultadosexp.gdx var=w.L rng= Sheet3!a1' execute 'gdxxrw.exe resultadosexp.gdx var=k.L rng= Sheet4!a1'