OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · ... Alunos do 2º Ano do Ensino Médio ......

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2014

Título: Trabalhando Conceitos de Trigonometria por meio da História da Matemática

e de Mídias Tecnológicas.

Autor: Sirlei Vieira dos Santos

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Humberto de Campos – Ensino

Fundamental e Médio

Município da escola: Atalaia – PR

Núcleo Regional de Educação: Maringá – PR

Professor Orientador: Lucieli M. Trivizoli

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Maringá

Resumo:

Esta Unidade Didática se propõe a elaborar

atividades didáticas que abordem a inserção da

História da Matemática no ensino e aprendizagem

de conceitos da Trigonometria com apoio de Mídias

Tecnológicas, considerando a necessidade de

oferecer uma metodologia mais apropriada para o

desenvolvimento de uma compreensão mais

significativa deste tema pelo estudante. Por meio

dessas estratégias, espera-se criar condições para

que o aluno se envolva no processo de construção

dos conceitos matemáticos e que se sinta

desafiado e motivado à aprendizagem da

Trigonometria.

Palavras-chave Trigonometria; História da Matemática; Resolução

de Problemas de Trigonometria; Mídias

Tecnológicas.

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público: Alunos do 2º Ano do Ensino Médio

INTRODUÇÃO

O propósito desta Unidade Didática é apresentar atividades que envolvem os

conceitos da Trigonometria utilizando e articulando diferentes instrumentos e

tendências metodológicas que contribuam para o desafiante processo de ensino-

aprendizagem.

Não se ensina e/ou aprende matemática por meio de uma única metodologia.

O ensino-aprendizagem de matemática é muito mais rico e dinâmico. Segundo as

Diretrizes Curriculares do Paraná,

nenhuma das tendências metodológicas apresentadas nestas Diretrizes esgota todas as possibilidades para realizar com eficácia o complexo processo de ensinar e aprender Matemática, por isso, sempre que possível, o ideal é promover a articulação entre elas. (PARANÁ, 2008, p.68)

Sendo assim, dentre as Tendências Metodológicas em Educação Matemática,

serão tomados aspectos relacionados às estratégias metodológicas da Resolução

de Problemas e à História da Matemática e o apoio de Mídias Tecnológicas para

organizar as atividades nesta Unidade Didática, no intuito de tornar a Trigonometria

mais significativa, quebrando o estigma de que a Matemática é uma ciência

desvinculada da realidade do aluno. Além disso, busca-se oferecer condições para

que os alunos estabeleçam a ligação entre os conceitos matemáticos relacionados à

Trigonometria e os momentos históricos em que tais conceitos foram elaborados, na

intenção de resgatar a riqueza e a compreensão de tal tema.

OBJETIVO GERAL

Articular diferentes metodologias que auxiliem no estudo da Trigonometria,

oferecendo condições para que os alunos compreendam o seu processo de

criação/desenvolvimento, concebam a Matemática/Trigonometria como instrumento

de apoio na resolução de problemas práticos e reconheçam a sua aplicabilidade, ou

seja, se apropriem de forma significativa desse conhecimento.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Articular diferentes metodologias no estudo de Trigonometria, na intenção de

desmistificar este conhecimento que, na maioria das vezes, é apresentado de

forma estática e sem nenhum significado para os alunos;

Utilizar a História da Matemática, mais especificamente a História da

Trigonometria, para situar as necessidades que determinaram e determinam o

seu desenvolvimento, proporcionando requisitos para que os alunos elaborem

uma perspectiva crítica da Matemática como ciência em constante construção;

Utilizar a Resolução de Problemas em atividades investigativas que exijam dos

alunos a interpretação, elaboração de estratégias, validação de conjecturas e

produção de argumentos a respeito da aplicabilidade da Trigonometria, em

situações que simulem os problemas que nortearam o seu desenvolvimento.

Transpor a Trigonometria para a realidade dos alunos, utilizando situações

problemas para que eles tenham condições de compreender o caráter

instrumental e a importância desse conhecimento para o desenvolvimento de

outras ciências que são alicerçadas pela Matemática/Trigonometria;

Confeccionar e utilizar material manipulável (teodolito) que auxilie no estudo da

Trigonometria, promovendo meios que permitam aos alunos reconhecer as

aplicações da Trigonometria no cálculo de medidas inacessíveis;

Utilizar o software Geogebra para aplicar conceitos trigonométricos, em

atividades que proporcionem aos alunos a possibilidade de interagir com o

conhecimento por meio da movimentação que o software proporciona,

analisando aspectos que as figuras impressas não permitem, devido ao seu

caráter estático;

UNIDADE DIDÁTICA

Analisando a realidade dos alunos que participarão da implementação do

projeto, se faz necessária a revisão de alguns conceitos de geometria plana que são

imprescindíveis ao desenvolvimento dos conceitos trigonométricos. Além disso,

esses alunos não estudaram trigonometria no triângulo retângulo no 9º ano.

Portanto, as atividades propostas nesta Unidade Didática contemplarão desde a

definição de ângulos até o gráfico das funções seno, cosseno e tangente.

As atividades que contam com apoio do software Geogebra serão realizadas

nos computadores do projeto PROINFO do Colégio Estadual Humberto de Campos,

na cidade de Atalaia, onde o Projeto de Intervenção Pedagógica será aplicado. Tais

atividades serão fundamentadas em construções previamente elaboradas ou

solicitadas aos alunos, organizados em duplas, e estarão salvas em pastas

previamente nomeadas de acordo com os grupos, para que possam ser analisadas

posteriormente durante a avaliação do processo de ensino-aprendizagem (Exemplo:

GRUPO 1). Além disso, dentro de cada pasta, as atividades estarão salvas com

número e nome. Exemplo: ATIVIDADE 1 – ÂNGULOS: HISTÓRIA, DEFINIÇÃO,

CLASSIFICAÇÃO, REPRESENTAÇÃO E CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA.

Os conhecimentos relacionados à História da Trigonometria serão abordados

no decorrer das atividades, lembrando que descrever a cronologia da Trigonometria

não é objeto deste estudo, a intenção é trazer à luz aspectos históricos relevantes

ao desenvolvimento deste tema e que contribuam para aprendizagem da

Trigonometria.

Na atividade 7, os conceitos desenvolvidos serão aplicados em um objeto de

aprendizagem desenvolvido pela Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED),

disponibilizado pelo Ministério da Educação.

Na atividade 9, faremos uso de Applets que, na definição de Silva e Colares

Filho,

são animações produzidas por aplicativos que executam tarefas específicas e costumam ser embutidos em sistemas operacionais ou em outras aplicações (processadores de texto, gerenciadores de bancos de dados, hipertextos, etc). O termo ficou famoso com a linguagem JAVA que permite criar vários desses “programinhas” que facilitam a incorporação de animações em páginas da internet podendo torná-las mais interativas e dinâmicas. (SILVA E COLARES FILHO, 2003, p.6)

A aplicação do primeiro applet visa enriquecer o material construído, pois

relaciona a medida do ângulo central, o comprimento do arco e a medida do raio de

uma circunferência. Já o segundo, permite visualizar a medida do arco em radianos.

Estes dois aplicativos, portanto complementam o material construído na atividade 9.

ATIVIDADE 1 - ÂNGULOS: HISTÓRIA, DEFINIÇÃO, CLASSIFICAÇÃO,

REPRESENTAÇÃO E CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA.

Objetivos:

Familiarização com o software Geogebra;

Conhecer um pouco da história dos ângulos;

Explorar o conceito de ângulo encontrado nos livros didáticos, relembrar a

nomenclatura (representação) e as classificações dos ângulos;

Construir ângulos utilizando o Geogebra;

Duração: 2 horas/aula

Um pouco de história:

Segundo Mendes, os gregos concebiam a noção de ângulos da seguinte

forma:

duas pessoas apontando para uma mesma estrela, a partir de pontos diferentes da terra, cujas direções tinham um ponto em comum, a estrela. Com isso tentaram dar a exata idéia de ângulo, ou seja, cada pessoa apresentava uma orientação (direção), que tinha um ponto de convergência (a estrela), o vértice do ângulo. (MENDES, 2005, p.64).

Definição de ângulo do livro didático: “A reunião de duas semirretas distintas e de

mesma origem é um ângulo”. (IEZZI, 2005, p.103)

Figura 1: Ângulo AÔB Fonte: Elaborada pela autora

Observe a figura anterior, compare as duas definições acima e responda: O

que representa o ponto O da figura na definição grega? E os pontos A e B?

Um pouco mais de história:

De acordo com Mendes:

os babilônios antigos (4000-3000 a.C) utilizavam as noções de ângulos nas construções ligadas a sua astronomia, a sua religiosidade, bem como ao calendário das estações do ano e da época do plantio. Para isso, usaram o sistema de numeração sexagesimal no qual dividiam uma circunferência em seis partes iguais, usando o seu raio como medida padrão, seguindo-se de várias subdivisões até obter 360 partes (graus) geradas através das frações do raio e talvez até, por influência do total de dias do ano (eles consideravam o ano com apenas 360 dias) (MENDES, 2005, p.64).

Trabalhando com o

Construa: um ângulo agudo AÔB, um ângulo obtuso CÔD e um ângulo reto EÔF,

seguindo as instruções abaixo. Lembre-se: antes de iniciar cada procedimento, faça

a leitura completa do mesmo;

1) Abra a pasta correspondente ao seu grupo e o arquivo ATIVIDADE 1 PARTE

1;

2) Acima das ferramentas, em Opções, selecionar Rotular e em seguida

selecionar Apenas para os Pontos Novos, dessa forma todos os pontos

construídos receberão rótulo (nome).

3) Clique na ferramenta 3 selecione a ferramenta (semirreta definida

por dois pontos);

4) No canto superior esquerdo da Janela de Visualização faça duas semirretas

de mesma origem, cuja abertura represente um ângulo agudo;

5) Renomeie o vértice e os lados deste ângulo de acordo com o enunciado,

clicando sobre eles com o botão direito do mouse, selecionando a opção

renomear;

6) Selecione a ferramenta 8 (ângulo) e determine a medida deste ângulo,

clicando sobre os pontos A, O e B em sentido anti-horário;

7) Repita os procedimentos anteriores para construir um ângulo obtuso de

acordo com o enunciado;

8) E agora, a construção do ângulo reto. Clique na ferramenta 3 selecione a

ferramenta (semirreta) e construa uma semirreta;

9) Selecione a ferramenta 4 (reta perpendicular), clicando sobre a origem da

semirreta e sobre ela para construir uma reta perpendicular à semirreta;

10) Selecione a ferramenta 2 marque um ponto sobre a reta perpendicular;

11) Com o botão direito do mouse, clique sobre a reta perpendicular e selecione

a opção Exibir Objeto para escondê-la;

12) Selecione a ferramenta 3 (semirreta) e construa uma semirreta,

utilizando a origem da semirreta existente e o último ponto marcado;



Renomear;

14) Selecione a ferramenta 8 (ângulo) e determine a medida deste ângulo,

clicando sobre os pontos F, O e E em sentido anti-horário;

15) Salve a atividade, clicando em Arquivo e selecione Gravar;

16) Feche este arquivo e abra o arquivo ATIVIDADE 1 PARTE 2;

Agora, vamos construir ângulos GÔH, IÔJ e KÔL com medidas fixas de

30º, 45º, 60º respectivamente, seguindo as instruções a seguir:

1) Clique na ferramenta 8 e selecione a ferramenta (ângulo com

amplitude fixa);

2) No canto superior esquerdo da Janela de Visualização, clique duas vezes,

onde serão marcados dois pontos e abrirá uma janela, onde digitaremos a

amplitude do ângulo de acordo com o enunciado.

3) Clique na ferramenta 3 selecione a ferramenta (semirreta) e construa

duas semirretas com origens no ponto em que foi fixada a medida do ângulo;



Renomear;

5) Se quiser inverter as posições dos vértices para que as semirretas não

interceptem as outras semirretas, basta selecionar a ferramenta 1

(Mover) e mover os pontos que compõem cada ângulo;

6) Repita os procedimentos para construir os outros dois ângulos.

7) Salve a atividade, clicando em Arquivo e selecionando Gravar;

ATIVIDADE 2 – TRIÂNGULOS SEMELHANTES

Objetivos:

Construir triângulos semelhantes utilizando o software Geogebra;

Investigar as propriedades dos triângulos semelhantes;

Analisar o conceito de semelhança de triângulos apresentado nos livros

didáticos, confrontando-o com o dinamismo que o software oferece;



A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metrum (medir) e significa medidas do triângulo. Essas medidas, entretanto, requerem um conhecimento básico sobre ângulos de um triângulo e suas medidas. A necessidade de relacionar distâncias com ângulos levou astrônomos e topógrafos de diversos povos e períodos históricos, como os babilônios, gregos, árabes e hindus, a criarem a trigonometria (MENDES, 2005, p.64).

Trabalhando com o

1) Abra a pasta correspondente ao seu grupo e o arquivo Atividade 2;

2) Lembre-se: antes de iniciar cada procedimento, faça a leitura completa do

mesmo;


selecionar Para Todos os Objetos Novos, dessa forma todos os objetos


4) Selecione a ferramenta 5 (polígono) e construa um triângulo ABC,

clicando na janela de visualização 3 vezes para construir os pontos A, B, e C

e novamente em A para finalizar o ▲ABC.

5) Selecione a ferramenta 1 (mover) e mova os rótulos a, b e c para fora do

polígono, clicando e arrastando os rótulos dos segmentos que formam os

lados do triângulo ABC.

6) Selecione a ferramenta 2 (ponto) e marque um ponto D sobre o lado AB

do ▲ABC;

7) Clique na ferramenta 4 e selecione a ferramenta (reta paralela) e

clique sobre o ponto D e o lado BC do triângulo para construir uma reta

paralela ao lado BC e que passa pelo ponto D;

8) Clique na ferramenta 2 (ponto) e selecione a ferramenta (interseção

de dois objetos) e leve o cursor sobre a reta e o lado AB do triângulo até que

eles fiquem destacados, clicando para marcar o ponto E, ponto de interseção

da reta com o lado AB;

9) Selecione a ferramenta 5 (polígono) e construa um triângulo ADE,

clicando na janela de visualização sobre os pontos A, D, E e novamente em A

para finalizar o ▲ADE;

10) Com o botão direito do mouse, clique sobre os rótulos dos lados do triângulo

ADE para renomear as medidas de AD, DE e AE com os rótulos l, m e n

respectivamente;

11) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e ADE, clicando na

ferramenta 8 selecionado a ferramenta (distância, comprimento ou

perímetro), clique sobre os vértices A e B, para determinar a medida desse

lado, representado por c, clique sobre os vértices B e C, para determinar a

medida desse lado, representado por a, e assim sucessivamente;

12) Se necessário, mover as medidas para que elas não fiquem sobre os

triângulos: clique na ferramenta 1 e sobre as medidas dos lados e

arraste, de forma que as mesmas e os lados não fiquem sobrepostos;

13) Selecione a ferramenta 8 (ângulo) e determine as medidas dos ângulos

dos triângulos ABC e ADE, clicando sobre os vértices sempre em sentido anti-

horário, por exemplo, C, A e B para determinar a medida do ângulo Â e assim

sucessivamente;

14) Se for necessário mover as medidas, clique na ferramenta 1 e sobre as

medidas dos ângulos e arraste para que elas fiquem visíveis;

15) Acima das ferramentas, clique em Exibir e Clique em Janela de Álgebra e

observe os nomes e as medidas dos lados, também observe os nomes e as

medidas dos ângulos dos Triângulos ABC e ADE;

16) Acima das ferramentas, clique em Exibir e selecionar Campo de entrada

abrirá abaixo das janelas de álgebra e de visualização uma pequena janela

horizontal intitulada: Entrada (OBS: sempre que digitamos medidas e

operações na Entrada, temos que dar um Enter para validar o que digitamos).

17) Digite no Campo de Entrada a soma das medidas dos lados do ▲ABC: a

+b+c e observe na janela de álgebra a medida e do perímetro do ▲ABC;

18) Repita o procedimento anterior para determinar a medida f do perímetro do

▲ADE;

19) Digite no Campo de Entrada a soma das medidas dos ângulos internos do

▲ABC: α +δ +ε (para digitar as letras gregas no Campo de Entrada, utilize a

caixa de símbolos, ativada ao clicar na letra α que se encontra na

extremidade deste campo) e observe na janela de álgebra a medida δ da

soma dos ângulos internos do ▲ABC;

20) Repita o procedimento anterior para determinar a medida ε da soma dos

ângulos internos do ▲ADE. Qual é a soma dos ângulos internos de um

triângulo?__________.

21) Digite no Campo de Entrada as razões entre os lados dos triângulos ABC e

ADE (a/m; b/n; c/l) e observe na janela de álgebra os seus respectivos

valores. O que aconteceu com esses valores?

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22) Agora, digite a razão entre os perímetros dos triângulos ABC e ADE: e/f. O

que você observa?______________________________________________

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23) Selecione a ferramenta 1 e arraste o ponto D. O que você observa na

figura e na janela de álgebra?

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24) Agora, movimente os vértices do triângulo ABC e observe a figura e a janela

de álgebra.

Conclusão:____________________________________________________

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Definição de semelhança do livro didático:

Dois triângulos são semelhantes quando satisfazem ao mesmo tempo às duas condições: os lados correspondentes têm medidas proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes (DANTE, 2005, p.146).

25) Diante da definição geralmente apresentada nos livros didáticos, faça uma síntese da atividade reconhecendo ou não as potencialidades da utilização do software como recurso didático; ______________________________________________________________

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ATIVIDADE 3 – TRIÂNGULOS: SEMELHANÇA E CLASSIFICAÇÃO

Objetivos:

Revisar o conceito de semelhança de triângulos;

Classificar triângulos quanto à medida dos ângulos e quanto à medida dos

lados;

Duração: 1 hora/aula

Trabalhando com o

As figuras abaixo são as que compõem esta atividade, e estão salvas no

arquivo referente a ela.

Figura 2: Triângulos

Fonte: Elaborada pela autora



mesmo;

3) Determine a medida de cada lado do triângulo, selecionando a ferramenta 8

e a opção (distância, comprimento ou perímetro), clicando nas

extremidades dos lados dos triângulos;

4) Classifique os triângulos quanto à medida dos lados;

a) ▲ABC _____________________

b) ▲DEF _____________________

c) ▲GHI _____________________

d) ▲JKL______________________

e) ▲STV______________________

5) Determine a medida de cada ângulo do triângulo, selecionando a ferramenta

8 , clicando nos vértices dos triângulos no sentido anti-horário;

6) Classifique os triângulos quanto à medida dos ângulos;

a) ▲ABC _____________________

b) ▲DEF _____________________

c) ▲GHI _____________________

d) ▲JKL______________________

e) ▲STV______________________

7) Identifique os triângulos semelhantes;

ATIVIDADE 4 – Triângulo retângulo e Aplicação do Teorema de Pitágoras

Objetivos:

Construir um triângulo, utilizando o software Geogebra;

Classificar o triângulo construído quanto à medida dos lados e dos ângulos;

Demonstrar o Teorema de Pitágoras;


Trabalhando com o

1) Abra o arquivo Atividade 4;


mesmo;

3) Observe que nesta atividade vamos utilizar a malha quadriculada;


selecionar Para Todos os Objetos Novos;

5) Clique na ferramenta 3 e selecione a ferramenta (Semirreta) e clique

duas vezes na janela de visualização para construir uma semirreta de origem

A e que passa pelo ponto B. Procure clicar sobre os vértices dos

quadradinhos da malha de forma que a distância entre esses dois pontos seja

igual a quatro unidades;

6) Com o botão direito do mouse clique sobre os pontos A e B e os renomeie, o

ponto A deverá ser nomeado B e vice-versa;

7) Selecione a ferramenta 4 (Reta Perpendicular) e clique sobre o ponto A e

a semirreta para construir uma reta perpendicular à semirreta e que passa por

A;

8) Selecione a ferramenta 2 (Ponto) e construa um ponto C sobre a reta

perpendicular que coincida com o vértice do quadradinho da malha e que

esteja 3 unidades distante de A;

9) Selecione a ferramenta 5 (Polígono) e clique sobre os pontos A, B, C e A

para construir o ▲ABC;

10) Clique com o botão direito do mouse sobre a reta perpendicular e selecione

Ocultar Objeto;

11) Faça o mesmo com a semirreta;

12) Clique com o botão direito do mouse sobre os segmentos que constituem os

lados do ▲ABC de forma que o rótulo de cada um seja a letra minúscula do

vértice oposto;

13) Clique na ferramenta 8 selecione a ferramenta (Distância,

Comprimento ou Perímetro) e determine as medidas dos lados do ▲ABC;

14) Selecione a ferramenta 8 (Ângulo) e determine a amplitude dos ângulos

internos do ▲ABC;

15) Como é classificado este triângulo:

Quanto às medidas dos lados?_______________________________

Quanto às medidas dos ângulos?_____________________________

16) Selecione a ferramenta 4 (Reta Perpendicular) e clique em B e no lado

BC, depois em C e no lado BC, para construir 2 retas perpendiculares ao lado

BC e que passem pelos vértices B e C;

17) Selecione a ferramenta 6 (Círculo dados centro e um de seus pontos),

que funciona como compasso, clique sobre o ponto B e C e depois em C e B,

serão construídas duas circunferências de raio igual a BC;

18) Clique na ferramenta 2 e selecione a ferramenta (Ponto de

Interseção entre dois Objetos), e clique sobre as circunferências e as retas

perpendiculares, construindo os pontos D e E de interseção entre elas;

19) Selecione a ferramenta 5 (Polígono) e clique sobre os pontos B, C, D, E

e B para construir um quadrado BCDE que tem um lado em comum com o

▲ABC;

20) Selecione a ferramenta 1 (Mover);

21) Clique com o botão direito do mouse sobre as circunferências e selecione

Exibir Objeto. Atenção: procure clicar nas circunferências em regiões externas

ao triângulo e ao quadrado, para não ocultar esses polígonos;

22) Repita o procedimento anterior com as retas perpendiculares;

23) Repita os procedimentos 16 até 22 para construir outros dois quadrados

sobre os outros dois lados do ▲ABC;

24) Selecione a ferramenta 10 (Texto) e clique sobre a área do quadrado

BCDE e insira o texto P1; sobre a área do quadrado ABHI, o texto P2 e, sobre

a área do quadrado ACFG, o texto P3. A ferramenta 10 deve ser selecionada

em cada texto a ser inserido.

25) Clique com o botão direito do mouse sobre cada medida dos lados dos

quadrados e selecione Exibir Rótulo. Atenção às medidas comuns ao

triângulo ABC devem permanecer.

26) Se preferir, mude a cor dos quadrados construídos, clicando com o botão

direito do mouse e selecionando Propriedades, abrirá uma caixa de

propriedades, selecione Cor, escolha a cor de sua preferência e em seguida

feche a caixa das propriedades;

27) Acima das ferramentas, clique em Exibir e selecione Janela de Álgebra;

28) Clique na ferramenta 8 e selecione a ferramenta (Distância,

Comprimento ou Perímetro) e clique sobre os vértices do ▲ABC para

determinar as medidas dos seus lados;

29) Clique na ferramenta 8 e selecione a ferramenta (Área) e clique

sobre cada quadrado construído, para indicar a área desses polígonos.

Observe a figura e a Janela de Álgebra na parte referente a quadrilátero.

Registre suas observações:

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30) Selecione a ferramenta 1 (Mover) e arraste os vértices do ▲ABC.

Sugestão: arraste o vértice B de modo que o lado AB adquira medida igual a

10 cm, em seguida, arraste o vértice C do triângulo de modo que o lado AC

adquira medida igual a 8 cm. Observe a medida do lado AC e as medidas das

áreas dos quadrados. O que podemos concluir?

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ATIVIDADE 5 – TRIÂNGULO RETÂNGULO, SEMELHANÇA E MEDIDA DE

ALTURAS

Objetivos:

Construir triângulos retângulos semelhantes, utilizando o software Geogebra;

Aplicar as propriedades dos triângulos semelhantes;

Medir alturas inacessíveis em atividade prática, utilizando semelhança de

triângulos;


Um pouco da história:

Segundo Naracato et. al. (2014), “A trigonometria, provavelmente, surgiu a

partir da semelhança de triângulos retângulos devido à necessidade de se medir

distâncias inacessíveis” (2014, p. 01). Esta ideia é reforçada pelo relato de um

conhecido episódio, comentado por Mendes:

Através da determinação da razão de semelhança entre triângulos retângulos, os Gregos efetivaram concretamente a medição da altura dos objetos a partir de sua sombra. Tal experiência tem sua prática narrada historicamente através de um dos feitos atribuídos a Tales de Mileto. Aproximadamente por volta de 600 a.C. ele se encontrava no Egito e foi abordado pelos escribas egípcios (estudiosos da época), para que, em nome do Faraó, calculasse a altura de uma pirâmide de base quadrangular (MENDES, 2005, p.68).

De acordo com este autor, Tales teria aceitado o desafio e, aplicando seus

conhecimentos geométricos,

procurou igualar a medida da sombra à medida da vara que fincou no solo para relacionar tudo com a pirâmide e a sua sombra (...), Tales mostrou que a altura da pirâmide é igual à medida da sombra mais a metade da medida da aresta da base (MENDES, 2005, p.68).

Figura 3: Tales e as Pirâmides Fonte: EDAD, Enseñanza Digital a Distancia (website)1

Agora vamos transpor a situação vivida por Tales no passado em uma

atividade prática.

1 Disponível em:

<http://www.edu365.cat/eso/muds/matematiques/edad/eso4A/4quincena7/index_7.htm>. Acesso em: 01 Dez. 2014

Material:

Estacas de madeira de 1m de comprimento;

Base de madeira com furo no centro para fixar as estacas verticalmente;

Trena ou fita métrica;

Caderno e lápis para fazer anotações;

Calculadora

Procedimentos:

Esta atividade será realizada em grupos de 4 alunos.

Utilizando o material acima e de forma análoga à situação vivida por Tales há

2615 anos, escolham objetos no pátio e determine a altura desses objetos,

utilizando os conceitos relativos à semelhança de triângulos e as suas

respectivas sombras.

Faça um desenho esquemático dessa atividade, e registre as estratégias

utilizadas para desenvolvê-las.

Agora determine a medida da altura dos componentes do grupo, utilizando o

mesmo raciocínio, registrando as conclusões e as dificuldades encontradas.

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Trabalhando com o



mesmo;

3) Acima das ferramentas, em Opções, selecione Rotular e em seguida

selecione Para todos os objetos novos, dessa forma todos os objetos


4) Selecione a ferramenta 3 (reta) e construa uma reta que passa pelos

pontos A e B, clicando na janela de visualização 2 vezes;

5) Clique a ferramenta 3 e selecione a ferramenta (segmento) e clique

sobre os pontos A e B, construindo o segmento AB chamado de b;

6) Selecione a ferramenta 4 (Reta perpendicular) e construa uma reta

perpendicular ao segmento AB que passa pelo ponto B, clicando no

seguimento e no referido ponto;

7) Selecione na ferramenta 3 (segmento), clique sobre o ponto B e na reta

perpendicular construindo o segmento BC chamado de d;

8) Selecione na ferramenta 3 (segmento), clique sobre o ponto C e sobre o

ponto A, construindo o segmento AC chamado de e;


selecione Menos os para objetos novos, dessa forma todos os próximos

objetos construídos não receberão rótulo (nome).

10) Selecione a ferramenta 5 (Polígono) e clique sobre os pontos A, B, C e A

para construir o ▲ABC;


selecione Para todos os objetos novos, dessa forma todos os objetos


12) Selecione a ferramenta 2 e clique sobre o segmento AB, construindo o

ponto D;

13) Selecione a ferramenta 4 (Reta perpendicular) clique sobre o segmento

AB e sobre o ponto D, construindo uma reta perpendicular ao segmento AB

que passa pelo ponto D;

14) Clique na ferramenta 2 e selecione a ferramenta (interseção de dois

objetos) e leve o cursor sobre a reta e o lado AC do triângulo até que eles

fiquem destacados, clicando para marcar o ponto E, ponto de interseção da

reta com o lado AC;

15) Selecione a ferramenta 5 (Polígono) e clique sobre os pontos A, D, E e A

para construir o ▲ADE;

16) Clique com o botão direito do mouse sobre os rótulos das medidas dos lados

e selecione Exibir Rótulo, para que estes rótulos deixem de ser exibidos. Com

este procedimento será exibido o rótulo pol1 (polígono 1);

17) Clique com o botão direito do mouse sobre o rótulo pol1 e selecione

Propriedade e cor, selecionando a cor desejada para este polígono;

18) Clique com o botão direito do mouse sobre o rótulo pol1, quando abrir a

caixa, logo abaixo de Triângulo pol1: Polígono A, B, C e clique em Selecione

um Outro e clique em Triângulo pol2: Polígono A,D,E e em seguida clique em

Propriedade e cor, selecionando a cor desejada para este polígono;

19) Clique com o botão direito do mouse sobre as três retas construídas e

selecione Exibir Objeto, para que estes objetos deixem de ser exibidos;

20) Selecione a ferramenta 8 (Ângulo) e determine as medidas dos ângulos

dos triângulos ABC e ADE, clicando sobre os vértices sempre em sentido anti-

horário;

21) Clique na ferramenta 8 (Ângulo) selecione a ferramenta (distância,

comprimento ou perímetro) e determine as medidas dos lados dos triângulos

ABC e ADE;

22) O que você observa em relação aos ângulos dos ▲ABC e ▲ADE?

_________________________________________________________________

__________________________________________________________

23) Clique em Exibir e selecione Campo de Entrada;

24) Clique em Exibir e selecione Janela de Álgebra;

25) Digite na Entrada: AB/AD e Enter e observe a Janela de Álgebra. Repita este

procedimento, digitando BC/DE e Enter e em seguida digite AC/AE;

26) O que podemos concluir em relação aos ▲ABC e ▲ADE?

_________________________________________________________________

__________________________________________________________

27) Selecione a ferramenta 1 (Mover) e movimente os vértices B e D,

observando a figura e a Janela de Álgebra e anote abaixo suas conclusões:

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

ATIVIDADE 6 – TRIÂNGULO RETÂNGULO, CLASSIFICAÇÃO, TEOREMA DE

PITÁGORAS E RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS.

Objetivos:

Construir um triângulo retângulo com as ferramentas do Geogebra, que

permita por meio da movimentação classificar esse triângulo quanto à medida

dos lados;

Analisar o triângulo retângulo construído e os seus elementos na Janela de

Álgebra, para relacionar esses elementos com o Teorema de Pitágoras;

Observar a movimentação dos elementos do triângulo construído e suas

representações algébricas, relacionando as medidas desses elementos com

as regularidades determinadas pelas suas razões;

Duração: 3 horas/aula;


Na antiguidade, o grande objeto de estudo era a Astronomia, era necessário

conhecer os astros e a influência dos mesmos nos fenômenos naturais. Segundo

Souza et al. (2011), o desenvolvimento da Matemática foi primordial para o

desenvolvimento da astronomia e de muitas outras ciências, e consequentemente

para o desenvolvimento humano. O autor ainda ressalta:

Desde os tempos antigos, os povos vêm olhando para o céu tentando encontrar respostas para os seus anseios terrestres e entender os corpos celestes que nos aparecem à vista. Assim, talvez, a Astronomia possa ter sido a primeira ciência a adotar o estudo de ângulos para uma aplicação da matemática (SOUZA et al.,

2011, p. 46).

Figura 4: Astronomia e Matemática

Fonte: O baricentro da mente (website)2

Trabalhando com o



mesmo;


selecione Para Todos os Objetos Novos, dessa forma todos os objetos


4) Selecione a ferramenta 11 (Controle Deslizante) e clique na Janela de

Visualização, aparecerá a caixa Controle Deslizante, onde estarão

selecionadas as opções Número e Nome, use m para o nome. Ainda nesta

caixa definir intervalo min: 0 e Max: 10 e incremento: 1 e Aplicar;

5) Clique na ferramenta 3 e selecione a ferramenta (segmento com

comprimento fixo), em seguida clique na janela de visualização, aparecerá um

ponto A e a caixa Segmento com Comprimento Fixo, em comprimento digite

m e clique em Ok, vai aparecer um segmento AB;

2 Disponível em: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2013/02/o-surgimento-do-grau-na-

circunferencia.html. Acesso em 01 Dez. 2014.

6) Selecione a ferramenta 1 (Mover), mova m e observe o segmento AB.

Construímos, portanto, um segmento deslizante, cujo comprimento varia de

0cm à 10cm;

7) Inverta as posições dos pontos A e B, clicando com o botão direito e

selecionando a opção Renomear;

8) Continuando a construção, vamos construir um ângulo deslizante;

9) Selecione a ferramenta 11 (Controle Deslizante) e clique na Janela de

Visualização, logo abaixo do segmento deslizante já construído, aparecerá

uma caixa: Controle Deslizante. Selecione a opção Ângulo, no nome

aparecerá α, que deverá ser mantido. Nesta mesma caixa, defina intervalo

min: 0º e Max: 60º e incremento: 1º e aplicar;

10) Clique na ferramenta 8 (ângulo) e selecione a ferramenta (Ângulo

com Amplitude Fixa). Clique sobre A e depois em B, aparecerá uma caixa:

Ângulo com Amplitude Fixa. Em Ângulo, apague a amplitude que aparece e

clique em α para selecionar as letras gregas, selecione α, mantenha o sentido

anti-horário e clique em OK, na Janela de Visualização aparecerá o ângulo e

o ponto A’;

11) Selecione a ferramenta 1 (Mover) e mova α e observe o ângulo da

figura. Construímos, portanto, um ângulo deslizante, cuja amplitude varia de

0º à 60º;

12) Agora selecione a ferramenta 4 (Reta Perpendicular), clique sobre o

ponto A e sobre o segmento AB para construir uma reta perpendicular à AB e

que passa por A;

13) Clique na ferramenta 3, que neste momento aparece , a última

ferramenta usada, e selecione a ferramenta (Semirreta), clique em B e

depois em A’, construindo uma semirreta de origem em B, que passa por A’ e

que intercepta a reta perpendicular;

14) Clique na ferramenta 2 , selecione a ferramenta (Interseção de Dois

Objetos) e clique na interseção da reta perpendicular e a semirreta , elas

deverão mudar de cor e ficar mais espessas, construindo o ponto C;

15) Clique na ferramenta 3, que neste momento aparece , a última

ferramenta usada, e selecione a ferramenta (Segmento), clique em B e C,

construindo o segmento BC sobre a semirreta, e clique em A e C, construindo

o segmento AC sobre a reta perpendicular;

16) Selecione a ferramenta 1 (Mover), leve o cursor sobre a reta

perpendicular (fora do triângulo) até que ela fique mais espessa e azul, clique

com o botão direito do mouse e selecione a opção exibir objeto, dessa forma

a reta perpendicular deixa de ser exibida;

17) Repita o procedimento anterior com a semirreta, com o ponto A’;

18) Construímos, portanto, o triângulo ABC;

19) Selecione a ferramenta 8 (Ângulo), clique sobre B, C e A, nesta ordem, e

observe a figura. Depois clique em C, A e B;

20) Em relação aos ângulos, que tipo de triângulo construímos?

______________________________________________________________

21) Todos os ângulos sofrem variação na sua amplitude quando movimentamos

α? Por quê?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

22) Clique na ferramenta 8 (Ângulo), selecione a ferramenta (Distância,

comprimento ou perímetro) e clique nos vértices do ▲ABC: AB; BC e CA;

para indicar as medidas dos lados;

23) Selecione a ferramenta 1 (Mover) e mova as medidas para que não

fiquem sobrepostas aos lados ▲ABC;

24) Renomeie as medidas dos lados do ▲ABC, para que d, e e a sejam

nomeados a, b e c respectivamente. Para isso, basta clicar sobre cada

medida com o botão direito do mouse e selecionar Renomear;

25) Acima das ferramentas, clique em Exibir e selecione Janela de Álgebra.

26) Selecione a ferramenta 1 (Mover), mova o segmento deslizante e

observe as medidas dos lados do ▲ABC e a Janela de Álgebra. Agora, mova

o ângulo deslizante e observe as medidas dos ângulos do ▲ABC e a janela

de Álgebra. O que podemos observar nas duas janelas disponíveis?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

27) Selecione a ferramenta 1 (Mover) e mova a medida α até a amplitude

45º. O que podemos concluir ao analisar os ângulos e lados do ▲ABC?

Como é classificado este triângulo em relação às medidas dos lados?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

28) Acima das ferramentas clique em Exibir e selecione Campo de entrada,

abrirá abaixo das janelas de álgebra e de visualização uma janela intitulada:

Entrada (OBS: sempre que digitamos medidas e operações na Entrada,

temos que dar um Enter para validar o que digitamos).

29) Digite no Campo de Entrada o quadrado da medida do lado BC, da seguinte

forma: a^2, dê um Enter e observe a Janela de Álgebra. Qual é o novo

número que aparece?___________

30) Agora digite: b^2+c^2 e observe a Janela de Álgebra. O que acontece com o

novo número que aparece nessa janela? Compare os números d e e? O que

eles representam?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

31) Escreva a expressão algébrica que representa a relação existente entre d e

e. Como ela é conhecida?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

32) Mova m de modo que o lado AB tenha medida igual a 8 cm;

33) Mova α de modo que o ângulo β tenha medida igual a 30º;

34) Digite na entrada: b/a e observe o número f na Janela de Álgebra;

35) Repita os procedimentos com as demais medidas dos lados do ▲ABC, da

seguinte maneira: c/a e b/c, observando respectivamente os números g e h;

36) Agora movimente m e observe na Janela de Álgebra o que acontece com os

números f, g e h e descreva abaixo, anotando cada uma das medidas;

Para β= 30º temos;

f = b/a=

g=c/a=

h=b/c=

______________________________________________________________

______________________________________________________________

37) Mova α gradativamente e observe novamente os números f, g e h, conforme

realiza os movimentos. O que acontece com esses números?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

38) Mova α de modo que o ângulo β tenha medida igual a 45º, observe os

números f, g e h e anote suas medidas abaixo:


f = b/a=

g=c/a=

h=b/c=

39) Agora movimente m e observe na Janela de Álgebra. Os números f, g e h,

sofrem alterações?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

40) Mova α de modo que o ângulo β tenha medida igual a 60º e observe os

números f, g e h e anote suas medidas abaixo:


f = b/a=

g=c/a=

h=b/c=

41) Agora movimente m e observe na Janela de Álgebra. Os números f, g e h,

sofrem alterações? Por quê?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

42) Compare as medidas registradas nos procedimentos de números 36 e 40 em

relação aos ângulos de 30º e 60º. O que podemos concluir?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

43) Os números f, g e h, representam as razões trigonométricas, as quais

recebem nomes especiais que conheceremos na próxima atividade.

ATIVIDADE 7 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Objetivos:

Nominar as Razões Trigonométricas;

A construção geométrica elaborada no Geogebra será apresentada aos

alunos, pois nesta atividade o objetivo é nominar as Razões Trigonométricas,

explorar e registrar essas razões para os ângulos de medidas 30º, 45º e 60º.



De acordo Souza et al. (2011), os hindus sucederam os gregos na história da

matemática. A partir do século V d.C., estabeleceram a razão hoje conhecida como

seno, definindo-a como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, a qual

chamavam de jiva.

Trabalhando com o


2) Nesta atividade, vamos analisar as razões trigonométricas que agora

receberão seus respectivos nomes e que contam com um importante recurso

desse software que é a animação;

3) Selecione a ferramenta 1 (Mover) e mova m e observe as razões obtidas

quando alteramos as medidas dos lados do triângulo sem alterar as medidas

dos ângulos α e β; O que acontece com as medidas dos ângulos? E as

razões sofrem alterações?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

4) Agora utilizando a mesma ferramenta, mova γ e observe as razões obtidas

quando alteramos as medidas dos ângulos α e β; O que acontece com as

medidas dos ângulos? E as razões sofrem alterações?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

5) O que podemos concluir a partir das observações realizadas nos dois últimos

procedimentos?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

6) Agora posicione γ nas medidas 30º, 45º e 60º respectivamente e observando

as medidas dos lados, complete as razões abaixo analisando seus

respectivos nomes:

seno30º=catetooposto

hipotenusa

cosseno30º =catetoadjacente

hipotenusa

tangente30º=catetooposto

catetoadjacente

seno45º =catetooposto

hipotenusa


hipotenusa


catetoadjacente

seno60º =catetooposto

hipotenusa


hipotenusa


catetoadjacente

7) Clique nos controles deslizantes m e γ com o botão direito do mouse,

selecione animar e observe a figura e as razões que aparecem nos textos;

8) Para parar a animação dos objetos, basta clicar com botão direito do mouse e

selecionar Animar;

9) Registre aqui as conclusões sobre as razões trigonométricas:

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Para aplicar os conceitos desenvolvidos nesta atividade, vamos acessar uma

aplicação da trigonometria no link:

RIVED-UFOP, Projeto. Uma Aplicação da Trigonometria em um Jogo de

Bilhar. 2006. Disponível em:

<http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria/aplicacoes/sinu

ca.html>. Acesso em: 06 dez. 2014.

ATIVIDADE 8 – CONSTRUINDO O TEODOLITO PARA DETERMINAR MEDIDAS

VERTICAIS E HORIZONTAIS

Esta atividade é uma adaptação de uma atividade prática apresentada no

PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional) à SEED-PR em 2007, disponível

em:

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pd

e/2007_unioeste_mat_md_mari_luci_santin_pietrobon.pdf, acesso em 12/11/2014, e

também do material apresentado no Blog

LabProfMat, disponível no endereço: http://labprofmatfafidam.blogspot.com.br/,

acesso em 12/11/2014.

Esta atividade consiste na construção de um teodolito caseiro e na utilização

deste teodolito para determinar medidas verticais e horizontais usando as razões

trigonométricas. Pode- se montar um ou mais teodolitos, mas a proposta é de

trabalho em grupos (cinco ou seis pessoas) tanto para construção quanto para a

utilização do teodolito.

Objetivos:

Construir um teodolito;

Utilizar o teodolito para determinar medidas horizontais e verticais, aplicando

as razões trigonométricas;



A necessidade de medir alturas inacessíveis promoveu o desenvolvimento

das ciências e de muitos instrumentos.

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2007_unioeste_mat_md_mari_luci_santin_pietrobon.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2007_unioeste_mat_md_mari_luci_santin_pietrobon.pdf

http://labprofmatfafidam.blogspot.com.br/

Figura 6: Medindo Alturas Inacessíveis Fonte: Origem do Sistema (website)3

Materiais:

3 estacas de madeira de madeira de 1,5m de comprimento;

1 recorte de madeira na forma de hexágono que servirá de tampo da mesa de

apoio do teodolito, com 10cm de lado;

1 recorte de madeira na forma de um quadrado de 20cm de lado;

3 dobradiças;

12 parafusos pequenos;

1 pino de 12cm ;

Chave de acordo com os parafusos, que podem ser de fendas;

1 pote de plástico limpo, seco e sem rótulo,pode ser um copo de requeijão,

achocolatado, pode ser um pote de batata frita( aquele de papelão e fundo de

metal) que não tenha tampa de rosca e que permita girar o pote;

30 cm de arame grosso para servir de “ponteiro” que marcará o ângulo obtido

no transferidor;

30 cm de tubo de alumínio (pedaço de antena de rádio) para servir de mira;

Fita crepe;

Cola instantânea;

Régua;

Transferidor de 360º;

Xérox do transferidor;

Lápis; 3 Disponível em: http://origemdosistema.blogspot.com.br/2013/06/um-pouco-da-historia-da-

trigonometria.html. Acesso em 01 Dez. 2014.

Trena;

Caderno para anotações;

Calculadora;

Para saber um pouco mais sobre o instrumento que vamos construir, vamos

acessar o website MAST, Museu de Astronomia e Ciências Afins, disponível em:

http://www.mast.br/multimidia_instrumentos/teodolito_historico.html, acesso em: 06

dez. 2014, e responder as questões:

a) O que é um teodolito?

b) Por que este instrumento foi importante na exploração do território brasileiro?

c) Este instrumento é utilizado nos dias atuais?

Um pouco mais de história:

Os instrumentos criados para satisfazer as necessidades do passado,

evoluíram e fazem parte do presente.

Figura 7: Astrolábio no passado/ Teodolito eletrônico no presente Fonte: Infoescola (website)4

Procedimentos:

1) Determine o centro do recorte de madeira na forma de quadrado, utilizando a

régua, transferidor e o lápis;

2) Cole sobre o recorte o xérox do transferidor utilizando a cola branca, tomando

cuidado para que os centros coincidam;

4 FEITOSA, Ailton. Trigonometria. 2014. INFOESCOLA. Disponível em:

<http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/>. Acesso em: 06 dez. 2014.

http://www.mast.br/multimidia_instrumentos/teodolito_historico.html

3) Cole a tampa do pote no centro do xérox do transferidor, usando a cola

instantânea;

4) Fure o pote (próximo da boca) com o arame grosso, de forma que ele

ultrapasse o pote e se necessário fixe-o com um pouco de cola instantânea;

5) No fundo do pote, fixe o tubo de alumínio, no mesmo sentido do arame, de

forma que os dois coincidam com a mesma medida em graus no transferidor;

6) Encaixe o pote na sua tampa que foi colada no recorte de madeira;

7) A parte construída até esta etapa é o teodolito propriamente dito e que

permite determinar distâncias no sentido horizontal (largura da rua, por

exemplo), quando apoiado horizontalmente, e que permite determinar alturas,

quando posicionado verticalmente;

8) Agora vamos montar a mesa de apoio para o teodolito;

9) Determine o centro do recorte de madeira hexagonal com auxílio da régua e

do transferidor;

10) Repita o procedimento com o verso desse recorte;

11) Fixe o parafuso maior no centro desse recorte de forma que a extremidade

(rosca) fique para cima;

12) Fixe as 3 estacas no recorte de madeira hexagonal, utilizando as dobradiças

e com o auxílio de chave apropriada ao tipo de parafuso escolhido, afim de

obter uma “mesa de três pés”;

13) Encaixe verticalmente o teodolito na mesa utilizando o parafuso grande para

obter um teodolito que permite determinar distâncias verticais (alturas);

Para determinar alturas:

14) Escolha o objeto que pretende medir e siga os procedimentos abaixo:

15) Posicione o teodolito à frente do objeto a uma distância que seja possível

visualizar o ponto mais alto do objeto;

16) Aponte a “mira” do teodolito para o topo do objeto e sem movimentá-la

observe o ângulo marcado pelo ponteiro no transferidor e anote-o no caderno;

17) Determine a medida linear da base do teodolito à base do objeto a ser

medido com o auxílio da trena e anote-a no seu caderno;

18) Faça em seu caderno um desenho que represente esta situação;

19) Agora, observe o desenho e as medidas estabelecidas e responda;

20) Qual das razões trigonométricas estudadas pode ser utilizada para

determinar a altura do objeto?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

21) Determine a altura do objeto escolhido e anotem os cálculos no caderno;

22) Você considerou a altura do teodolito? Essa altura muda alguma coisa em

relação à altura do objeto escolhido?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

23) Compare as medidas que o seu grupo determinou com as medidas dos

demais grupos;

Para determinar medidas horizontais:

24) Escolha o objeto que pretende medir, pode ser, por exemplo, uma calçada,

uma parede, o pátio da escola ou uma rua desde que esta esteja impedida

previamente para garantir a segurança dos alunos, feita a escolha, siga os

procedimentos abaixo:

25) Posicione-se de um lado da rua, por exemplo, e escolha um objeto que está

do outro lado da rua, pode ser uma árvore e marque um ponto alinhado ao

objeto e o chame de ponto A;

26) Agora marque um ponto B alinhado ao ponto A;

27) Determine a distância entre os pontos A e B com auxílio da trena e anote

esta medida no seu caderno;

28) Desencaixe o teodolito da mesa;

29) Vire a mesa de forma que o parafuso fique agora voltado para baixo;

30) Utilize a mesa para apoiar horizontalmente o teodolito;

31) Posicione o teodolito em B e determine a medida do ângulo formado em B,

apontando a “mira” do teodolito para o objeto escolhido e que esta do outro

lado da rua, anotando essa medida no caderno;

32) Faça em seu caderno um desenho que represente esta situação;

33) Agora, observe o desenho, as medidas estabelecidas e responda;

34) Qual das razões trigonométricas estudadas pode ser utilizada para

determinar a largura da rua?_______________________________________

35) Meça a largura da rua utilizando da trena e compare com os seus cálculos.

Anote as suas conclusões. Compare também com os cálculos obtidos pelos

outros grupos.

36) Registre as conclusões e as dificuldades encontradas nesta atividade.

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

ATIVIDADE 9 – CONSTRUINDO O CICLO TRIGONOMÉTRICO E UM

TRANSFERIDOR GRADUADO EM GRAUS E RADIANOS.

Esta atividade é uma adaptação das atividades apresentadas VII Semana da

Matemática da UFF – Niterói-RJ, no período de 16 a 18 de outubro de 2014,

disponível em

http://alexlaier.org/semana2014/COM18CO_GRAZIELLE_SALES.PDF, acesso em

12/11/14, e também do material apresentado no Blog

LabProfMat, disponível no endereço: http://labprofmatfafidam.blogspot.com.br/,

acesso em 12/11/2014.

Esta atividade será realizada em duplas. Primeiramente, vamos construir o

Ciclo Trigonométrico e, em seguida, o Transferidor Graduado em Graus e Radianos.

Nesta atividade, serão abordadas as razões seno, cosseno e tangente.

Objetivos:

Construir o ciclo trigonométrico e, a partir das etapas da construção,

desenvolver os conceitos trigonométricos;

Construir um conversor de graus em radianos para que os alunos se

apropriem desta nova unidade de forma concreta;



Quanto à utilização do círculo na Trigonometria, Mendes (2005, p. 73)

ressalta que “não se sabe bem quando penetrou na matemática o uso sistemático

do círculo de 360°, mas parece dever-se em grande parte a Hiparco (180 – 125

a.C.)”. Assim como Mendes, Souza et al. (2011) considera que,

evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos astronômicos. As principais contribuições à Astronomia, atribuídas a Hiparco, se constituíram na organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar (...) duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclíptica e finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios (SOUZA et al., 2011, p. 53).

Segundo Souza et al. (2011), Hiparco, por suas contribuições na astronomia,

é considerado o maior astrônomo da antiguidade e pai da trigonometria, o que

reforça mais uma vez a ideia de que a Trigonometria se desenvolveu para garantir o

desenvolvimento da astronomia. Em outras palavras, o grande astrônomo

primeiramente foi um grande matemático.

Figura 8: Hiparco, maior astrônomo da antiguidade e pai da trigonometria.

Fonte: Biografias y vidas (website)5

O desenvolvimento da Trigonometria se deve a diferentes povos em

diferentes momentos históricos. Segundo Souza et al. (2011), a contribuição árabe

acontece “entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani adotou a trigonometria

hindu, introduzindo uma preciosa inovação – o círculo de raio unitário – surgiu o

nome da função seno” (SOUZA et al., 2011, p. 61).

Figura 9: Al-Battani Fonte: Astromía (website)6

Construção do Ciclo trigonométrico

Materiais:

Recorte de papelão de forma quadrada de 30 cm de lado (pode ser um

recorte de isopor com as mesmas medidas);

1 folha de papel milimetrado;

1 folha de transparência de retro-projetor;

Lápis;

Canetas coloridas (vermelha, azul, verde e preta);

Compasso;

Compasso com suporte para caneta;

Transferidor;

Régua;

Tesoura;

5 Disponível em: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/hiparco.htm. Acesso em 01 Dez. 2014.

6 Disponível em: http://www.astromia.com/biografias/albattani.htm. Acesso em 01 Dez. 2014.

Prego tipo “percevejo”.

Procedimentos:

1) Construa um sistema de coordenadas cartesianas sobre o papel milimetrado

e divida os eixos em unidades que medem 5 cm a partir da origem, tanto no

sentido positivo quanto no sentido negativo, registrando nessas marcas os

números 0,5;1;1,5... no sentido positivo e os números -0,5;-1;-1,5... no

sentido negativo (Utilize inicialmente o lápis e depois a caneta preta para

fazer os eixos e o registro dos números);

2) Com auxílio do compasso, faça uma circunferência de 10 cm de raio no papel

milimetrado, procure fixar a ponta seca do compasso na origem do sistema, a

circunferência deve, portanto, interceptar os eixos nos pontos (1,0);(0,1);(-1,0)

e (0,-1);

3) O raio da circunferência, mesmo tendo medida de 10 cm, nesta atividade

assumirá a medida de 1 unidade;

4) Amplie os eixos por toda extensão horizontal e vertical da folha com a caneta

preta;

5) Utilizando o transferidor marque sobre a circunferência arcos de 15º, 30º,

45º..., respeitando intervalos de 15º em 15º até completar toda a

circunferência;

6) A partir da origem, com o lápis, destaque o arco de 30º e projete esse arco

com uma pontilhada sobre o eixo das abscissas e das ordenadas;

7) Analise as medidas dos segmentos cujas extremidades são a origem do

sistema e o ponto de interseção das projeções com os eixos. Essas medidas

têm alguma relação com as razões seno e cosseno de 30º determinadas na

atividade 7? Registre suas conclusões:

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

8) Analise também outros arcos e suas respectivas projeções;

9) Existe alguma relação entre essas projeções e os triângulos retângulos

formados pelas mesmas?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

10) Diante dessas relações o eixo das abscissas projeta que razão

trigonométrica? E o eixo das ordenadas?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

11) Nomeie o eixo das abscissas como eixo dos cossenos (cos x) e o eixo das

ordenadas como eixo dos senos (sen x), onde x representa cada arco da

circunferência;

12) Construa um segmento de reta paralelo ao eixo central e que passa pelo 0º e

assim como fez nos eixos das abscissas e ordenadas divida-o em unidades

de 5 cm e 5cm e registre sobre essas unidades os números 0,5;1;1,5...no

sentido positivo e os números -0,5;-1;-1,5...no sentido negativo;

13) A partir da origem, com o lápis, destaque o arco de 45º, projetando este arco

sobre o último eixo construído. O ponto de interseção desta projeção com o

referido eixo está sobre qual número?______________________________

14) Existe alguma relação entre esse número e a razão chamada de tangente e

determinada na atividade 7? Registre suas conclusões:

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

15) Nomeie este último eixo construído de tangente (tg x);

16) Reforce os segmentos e as marcações com canetas coloridas e, para facilitar

o trabalho futuro, vamos padronizar as cores do eixo do seno com a cor

vermelha, do cosseno com a cor azul e da tangente com a cor verde escuro;

17) Reserve esta folha;

18) Divida o menor lado da transparência ao meio, fazendo duas pequenas

marcas inicialmente e com a régua e a caneta preta trace o segmento que a

divide;

19) Sobreponha a transparência no papel milimetrado de forma que esse

segmento coincida com o eixo do seno, segurando firme a transparência para

que ela não se mova;

20) Marque na transparência um ponto que coincida com o centro do ciclo

trigonométrico construído no papel milimetrado;

21) A partir desse ponto marque outro ponto numa distância 10 cm do centro

marcado no procedimento anterior;

22) Por este último ponto deve passar um segmento de reta perpendicular ao

primeiro, utilize o transferidor e a régua para determinar esse segmento;

23) Marque o ponto médio do segmento formado pelo ponto de interseção dos

dois segmentos construídos e o centro do ciclo trigonométrico anteriormente

marcado na transparência;

24) Este ponto médio deve ser o centro de uma circunferência que você deve

fazer com o auxílio de um compasso com suporte para caneta, essa

circunferência deve passar pelo ponto de interseção dos segmentos traçados

sobre a transparência que servirá de ponteiro posteriormente;

25) Cole o papel milimetrado no papelão;

26) Sobreponha a transparência sobre o ciclo trigonométrico de forma que o

centro do ciclo coincida com a extremidade do diâmetro da circunferência da

transparência, prenda a transparência com o prego de forma que permita

movimentá-la;

Reconhecendo a construção realizada:

27) Gire a transparência de forma que o ponto de interseção dos segmentos

fique sobre a marca dos 30º;

28)Observe os pontos onde a circunferência da transparência fica sobreposta no

eixo do seno, do cosseno;

29) Compare esses pontos com a representação decimal dos valores das razões

seno e cosseno obtidos na atividade 7;

30) Agora, com o ponteiro apontando para o ângulo de 30º, observe onde o

segmento da transparência “intercepta” o eixo da tangente e compare com o

valor da tangente de 30º na forma decimal, também obtido na atividade 7;

31) Aponte para outros ângulos para explorar mais o material que construímos;

32) O que podemos concluir?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Construção do Transferidor Graduado em Graus e Radianos:

Material:

Xérox do transferidor de 360º;

2 recortes de papelão de 30cmx30cm;

Recorte de isopor de 20cmx20cm pode ser o fundo de embalagem de frios ou

de apoio de pizza, que é mais fino e apresenta superfície mais lisa que

permite escrita com caneta;

Cola branca;

Cola de isopor;

Tesoura;

Lápis;

Compasso com suporte para caneta;

Pregos tipo “percevejo”;

Canetas de escrever em CD de escrita fina de cores preta e vermelha;

Barbante;

Fita crepe;

Procedimentos:

1) Recorte o xérox do transferidor;

2) Desenhe sobre o papelão uma circunferência do mesmo tamanho do xérox e

recorte;

3) Cole o xérox no papelão com cola branca;

4) Com o auxílio do compasso desenhe no isopor uma circunferência que possa

ser sobreposta no xérox sem cobrir os seus números e recorte;

5) Apóie o círculo de isopor no recorte de papelão que sobrou e marque dois de

seus diâmetros com uma caneta preta, você pode fixá-lo no papelão com os

pregos;

6) Em uma das extremidades de um dos diâmetros do círculo de isopor prenda a

extremidade do barbante com a fita crepe;

7) Puxe o barbante sobre o círculo de isopor e faça marcações no barbante que

coincidam com a medida do raio e do diâmetro;

8) Estique o barbante e faça outras marcações em sua extensão, você pode

utilizar a régua para fazer tais marcações;

9) Contorne a circunferência do círculo de isopor com o barbante, dividindo-a em

medidas que coincidam com as medidas feitas no barbante, cada uma dessas

medidas coincide com uma unidade de medida conhecida como radiano,

reforce as marcações de cada radiano com a caneta vermelha;

10) Utilizando o transferidor, régua e a caneta vermelha, divida o círculo de

isopor a partir do ponto onde está fixado o barbante em arcos de 15º (mas

não registre as medidas em graus);

11) Desprenda o círculo de isopor do papelão e mantenha o barbante preso nele;

12) Sobreponha o círculo de isopor no xérox de forma que seus centros

coincidam, prenda-os com o prego de forma que permita movimentá-los;

Responda:

13) Quantos radianos inteiros têm a circunferência?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

14) Gire o círculo de isopor sobre o transferidor e determine em graus a medida

do arco que equivale a um radiano?

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

15) Fixe o círculo de isopor com outros pregos de forma que uma de suas

marcas coincida com o 0º do transferidor, contorne o círculo de isopor com o

barbante até a medida de 180º, estique e, com a régua, determine sua

medida, anote essa medida no caderno e com a calculadora divida essa

medida pela medida do radiano. Qual valor encontrado? Compare essa

medida com o número ?

16) Escreva suas conclusões e compare com as conclusões dos demais grupos.

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

17) Acesse os links a seguir para visualizar os conceitos desenvolvidos acima em

applets de geometria dinâmica.

http://tube.geogebra.org/student/m49499 (Fonte: Geogebra)

http://tube.geogebra.org/student/b100663#material/102547 (Fonte: Geogebra)

Agora vamos comparar os conceitos desenvolvidos nesta aula com os que

são apresentados no livro didático:

Radiano “é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência

correspondente” (IEZZI et al., 2013, vol. 2, p.10).

Equivalência de graus e radianos:

Como sabemos, o comprimento C de uma circunferência de raio r é

igual a 2 r. Isso significa que o raio “cabe” 2 vezes nesse comprimento (aproximadamente 6,28 vezes)(...) então um arco de

comprimento 2 r (volta completa) mede 2 rad. Concluímos, desse

modo, que as medidas 2 rad e 360º são equivalentes(...) A relação

“rad equivalem a 180º” servirá de base para efetuarmos as conversões de unidades de medidas de arcos,(...). (IEZZI et al., 2013, p.10-11).

18) Faça a conversão das unidades de medidas de grau para radianos, para os

seguintes arcos: 15º, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º, 105º, 120º e assim

sucessivamente, até o arco de 360º, respeitando a variação de 15º em 15º.

Podemos utilizar a regra de três para fazer as conversões, seguindo a relação

“rad equivalem a 180º” supracitada;

http://tube.geogebra.org/student/m49499

http://tube.geogebra.org/student/b100663#material/102547

19) Registre nele a medida do arco em radiano encontrada na relação acima,

utiliza a caneta vermelha.

20) Está pronto nosso transferidor graduado em graus e radianos para ser

utilizado em atividades futuras que exigem essas conversões.

21) Utilizando tanto o Ciclo trigonométrico quanto o Transferidor construídos,

complete a tabela abaixo:

X em graus 0º 30º 45º 60º 90º

135º 180º 225º 270º 315º 360º

X em

radianos

sen x

cos x

tg x

Agora responda:

22) Vocês conseguiram completar toda a tabela?________________________

23) Quais valores não encontraram?__________________________________

24) Discuta com o seu grupo e depois com os demais grupos porque isso

acontece e registre as conclusões abaixo:

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

ATIVIDADE 10 – ANÁLISE DOS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES SENO, COSSENO E

TANGENTE A PARTIR DO CICLO TRIGONOMÉTRICO

Objetivos:

Analisar o Ciclo Trigonométrico Dinâmico construído previamente no

Geogebra;

Ativar, na construção, a exibição dos gráficos da Função Seno, Cosseno e

Tangente gradativamente para que possam ser analisados;

Analisar a movimentação dinâmica de arcos no ciclo juntamente com os

gráficos das Funções;

Completar uma tabela com os elementos e características de cada uma das

funções;



Souza et al. (2011) afirmam que, “a trigonometria toma a sua forma atual

quando Euler adota a medida do raio de um círculo igual à unidade e define funções

aplicadas a um número e não mais a um ângulo como se fazia até então, em 1748”

(SOUZA et al., 2011, p. 63).

Figura 10: Euler - “O MAIS PRODUTIVO DOS MATEMÁTICOS” Fonte: Os maiores da humanidade (website)7

Trabalhando com o


2) Na Janela de Álgebra clique sobre o ponto P com o botão direito do mouse e

selecione Animar;

3) O que o segmento OP representa? E o segmento OM?

7 Disponível em: http://osmaioresdahumanidade.blogspot.com.br/2013/03/os-donos-dos-numeros-

leonhard-euler.html. Acesso em 01 Dez. 2014.

______________________________________________________________

______________________________________________________________

4) Qual a cor do segmento que representa os valores de sen α?E a dos

segmentos que representam cos α e tg α?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

5) Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto S e selecione Habilitar

Rastro. O que o “rastro” deste ponto representa?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

6) Clique na caixa sen α para exibir o gráfico da Função Seno, e complete a

tabela abaixo:

FUNÇÃO SENO

Quadrantes

Ι Q ΙΙ Q

ΙIΙQ

ΙV Q

ARCOS EM

GRAUS

ARCOS EM

RADIANOS

SINAL

VARIAÇÃO

7) Agora responda:

Qual o domínio da função f(x)=sen x?__________________________

Qual a imagem da função f(x)=sen x?__________________________

Qual a amplitude dessa função?______________________________

Qual o período dessa função?________________________________

8) Desabilite o gráfico da Função Seno, clicando na caixa sen α;

9) Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto S e selecione Habilitar

Rastro, para desabilitá-lo;

10) Habilite o rastro do ponto C. O que ele representa?

______________________________________________________________

11) Clique na caixa cos α para exibir o gráfico da Função Cosseno e complete o

quadro abaixo:

FUNÇÃO COSSENO

Quadrantes

Ι Q ΙΙ Q

ΙIΙ Q

ΙV Q

ARCOS EM

GRAUS

ARCOS EM

RADIANOS

SINAL

VARIAÇÃO

12) Agora responda:

Qual o domínio da função f(x) =cos x?__________________________

Qual a imagem da função f(x) =cos x?__________________________

Qual a amplitude dessa função?______________________________


13) Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto C e selecione Habilitar

Rastro, para desabilitá-lo;

14) Habilite o rastro do ponto T. O que ele representa?

______________________________________________________________

15) Clique na caixa tg α para exibir o gráfico da Função Tangente e complete o

quadro abaixo:

FUNÇÃO TANGENTE

Quadrantes

Ι Q ΙΙ Q

ΙIΙ Q

ΙV Q

ARCOS EM

GRAUS

ARCOS EM

RADIANOS

SINAL

VARIAÇÃO

16) Agora responda:

Qual o domínio da função f(x) =tg x?__________________________

Qual a imagem da função f(x) =tg x?____________________________


ATIVIDADE 11 – CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DAS FUNÇÕES: SENO,

COSSENO E TANGENTE;

Objetivos:

Construir e analisar gráficos das Funções: Seno, Cosseno e Tangente;

Determinar período, domínio e imagem dessas funções a partir dos gráficos

construídos;


Trabalhando com o

Procedimentos:

Abra a pasta correspondente ao seu grupo, e o arquivo Atividade 11;

1) Selecione a ferramenta 11 (Controle Deslizante),clique na Janela de

Visualização, selecione Número, escolha o Intervalo min. -5, max.5,

incremento 0,5 e clique em Aplicar;

2) No campo de Entrada digite: f_1(x) =sin x e dê Enter;

3) Clique com botão direito do mouse em propriedades selecione uma cor e em

Estilo aumente a espessura do gráfico;

4) No campo de Entrada digite: f_2(x) = - sin x e dê Enter;

5) Clique com botão direito do mouse em Propriedades, selecione uma cor e em


6) Analise os dois gráficos, o que você observa?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

7) No campo de Entrada digite: f_3(x) = a+sin x e dê Enter;

8) Clique com botão direito do mouse em Propriedades, selecione uma cor e em


9) O que você observa em relação ao primeiro gráfico?

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

10) Movimente o controle deslizante a e observe o gráfico, anotando abaixo o

domínio e a imagem das seguintes funções: f(x) = 5+ sin x; f(x) = -3+sin x;

11) Na Janela de Álgebra clique com o botão direito do mouse sobre cada função

e selecione Exibir Objeto, para deixá-los invisíveis;

12) No campo de Entrada digite: f_4(x) =cos x e dê Enter;

13) Clique com botão direito do mouse em propriedades selecione uma cor e em


14) No campo de Entrada digite: f_5(x) = - cos x e dê Enter;

15) Faça um comparativo entre os dois gráficos e registre abaixo:

16) No campo de Entrada digite: f_6(x) = a+cos x e dê Enter;

17) Movimente o controle deslizante a e observe o gráfico, anotando abaixo o

domínio, a imagem das seguintes funções: f(x) = 2+ cos x; f(x) = -4+cos x ;

REFERÊNCIAS

Astromía. Disponível em: http://www.astromia.com/biografias/albattani.htm. Acesso em 01 Dez. 2014. Biografias y vidas. Disponível em:

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/hiparco.htm. Acesso em 01 Dez. 2014. DANTE, Luiz Roberto. Tudo è Matemática. 2. Ed. São Paulo: Ática, 2005. EDAD – Enseñanza Digital a Distancia. Disponível em: <http://www.edu365.cat/eso/muds/matematiques/edad/eso4A/4quincena7/index_7.htm>. Acesso em: 01 Dez. 2014

FEITOSA, Ailton. Trigonometria. 2014. INFOESCOLA. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/>. Acesso em: 06 dez. 2014. FULY,M.N.; TRINDADE,G.A.B.; SOUZA,G.S.O. Ensino de Funções Trigonométricas: Uma Contribuição do PIBID UFF para a Escola Básica. In: VII Semana da Matemática da UFF, 2014. Disponível em <http://alexlaier.org/semana2014/COM18CO_GRAZIELLE_SALES.PDF>. Acesso em 12 de Nov. 2014. GEOGEBRA: Materiais. Disponível em: <http://tube.geogebra.org/student/m49499>.

Acesso em 01 de Dez. 2014. GEOGEBRA: Materiais. Disponível em: <http://tube.geogebra.org/student/b100663#material/102547>. Acesso em 01 de Dez. 2014. IEZZI, Gelson et al. Matemática Ciência e Aplicações. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2013. IEZZI, Gelson et al. Matemática e Realidade. 5. ed. São Paulo: Atual Editora, 2005.

LABPROFMAT - O Laboratório para a Formação de Professores de Matemática

- FAFIDAM. Disponível em: http://labprofmatfafidam.blogspot.com.br/. Acesso em 12 de Nov. 2014. MENDES, I. A. Atividades históricas para o Ensino da Trigonometria. In: BRITO, A. J.; MIGUEL, A.; CARVALHO, D. L.; MENDES, I. A. (orgs.) História da Matemática em atividades didáticas. Natal: Editora da UFRN, 2005.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. RIVED - Rede Interativa Virtual de Educação.

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