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(19) 3251-1012 O ELITE RESOLVE UNIFESP 2010 - BIOEXATAS

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BIOLOGIA

QUESTÃO 01 Acidentes cardiovasculares estão entre as doenças que mais causam mortes no mundo. Há uma intricada relação de fatores, incluindo os hereditários e os ambientais, que se conjugam como fatores de riscos. Considerando os estudos epidemiológicos até agora desenvolvidos, altas taxas de colesterol no sangue aumentam o risco de infarto do miocárdio. a) Em que consiste o “infarto do miocárdio” e qual a relação entre altas taxas de colesterol e esse tipo de acidente cardiovascular? b) Considerando a relação entre os gases O2 e CO2 e o processo de liberação de energia em nível celular, explique o que ocorre nas células do miocárdio em uma situação de infarto.

Resolução a) Altas taxas de colesterol elevam o risco de infarto do miocárdio, pois o depósito de placas denominadas ateromas nas paredes internas dos vasos reduz seu calibre, o que diminui (podendo até interromper) o aporte de sangue para a musculatura cardíaca (miocárdio), levando ao infarto, que causa morte de células musculares, fazendo com que o órgão perca sua função. b) Em uma situação de infarto, as células do miocárdio recebem pouco oxigênio, e por isso o processo de liberação de energia deverá ser anaeróbio (fermentação láctica), no qual a glicose é quebrada parcialmente, não há liberação de CO2 e a produção líquida é de apenas 2 ATP por molécula de glicose (quantidade muito inferior a produzida no processo aeróbio). Desta forma, a célula morre eventualmente por produzir uma quantidade insuficiente de energia.

QUESTÃO 02 Em abril de 2005, a revista Pesquisa FAPESP reforçava a importância da aprovação da Lei de Biossegurança para as pesquisas brasileiras com células-tronco e, ao mesmo tempo, ponderava: Nos últimos anos, enquanto os trabalhos com células-tronco embrionárias de origem humana permaneciam vetados, os cientistas brasileiros não ficaram parados. Fizeram o que a legislação permitia: desenvolveram linhas de pesquisa com células-tronco de animais e células-tronco humanas retiradas de tecidos adultos, em geral de medula óssea e do sangue de cordão umbilical. (...) Não há evidências irrefutáveis de que as células-tronco adultas possam exibir a mesma plasticidade das embrionárias. (...) Menos versáteis que as embrionárias, as células-tronco adultas têm uma vantagem: parecem ser mais seguras. Nas terapias experimentais são injetadas nos pacientes células-tronco extraídas, em geral, deles mesmos.

Marcos Pivetta (www.revistapesquisa.fapesp.br Adaptado.)

Considerando o texto da revista, responda: a) O que se quer dizer ao se afirmar que as células-tronco adultas são “menos versáteis que as embrionárias”? b) Qual a vantagem de se injetar nos pacientes células-tronco extraídas deles mesmos?

Resolução a) As células-tronco adultas apresentam menor capacidade de diferenciação que as embrionárias, pois essas últimas deverão formar todos os tipos celulares do indivíduo, enquanto que as adultas já apresentam um grau de diferenciação mais avançado, uma vez que determinados genes podem ter sido ativados ou mesmo inativados. b) A vantagem de se injetar as próprias células nos pacientes, é que o processo de rejeição pode ser reduzido ou mesmo neutralizado, devido ao fato de haver compatibilidade elevada ou mesmo total entre as células extraídas e o organismo receptor.

QUESTÃO 03 No ano de 2009, o mundo foi alvo da pandemia provocada pelo vírus influenza A (H1N1), causando perdas econômicas, sociais e de vidas. O referido vírus possui, além de seus receptores protéicos, uma bicamada lipídica e um genoma constituído de 8 genes de RNA. Considerando: 1. a sequência inicial de RNA mensageiro referente a um dos genes deste vírus:

5’ 3’ AAAUGCGUUACGAAUGGUAUGCCUACUGAAU

2. a tabela com os códons representativos do código genético universal:

UUU Phe UUC Phe UUA Leu UUG Leu

UCU Ser UCC Ser UCA Ser UCG Ser

UAU Tyr UAC Tyr UAA pare* UAG pare*

UGU Cys UGC Cys UGA pare* UGG Trp

CUU Leu CUC Leu CUA Leu CUG Leu

CCU Pro CCC Pro CCA Pro CCG Pro

CAU His CAC His CAA Gin CAG Gin

CGU Arg CGC Arg CGA Arg CGG Arg

AUU IIe AUC IIe AUA IIe AUG iniciar*

ACU Thr ACC Thr ACA Thr ACG Thr

AAU Asn AAC Asn AAA Lys AAG Lys

AGU Ser AGC Ser AGA Ser AGG Ser

GUU Val GUC Val GUA Val GUG Val

GCU Ala GCC Ala GCA Ala GCG Ala

GAU Asp GAC Asp GAA Glu GAG Glu

GGU Gly GGC Gly GGA Gly GGG Gly

Abreviaturas dos aminoácidos

Phe = fenilalanina Leu = leucina IIe = isoleucina Met = Iniciar (metionina) Val = vallina Ser = serina Pro = prolina Thr = Treonina Ala = alanina Tyr = tirosina

His = histidina Gin = glutanina Asn = aspargina Lys = lisina Asp = ácido aspártico Glu = ácido glutâmico Cys = cisteína Trp = triptofano Arg = arginina Gly = Glicina

responda: a) Qual será a sequência de aminoácidos que resultará da tradução da sequência inicial de RNA mensageiro, referente a um dos genes deste vírus indicada em 1? b) Considerando os mecanismos de replicação do genoma viral, qual a principal diferença entre o vírus da gripe e o vírus que causa a AIDS?

Resolução a) Considerando que a leitura feita pelo ribossomo no RNA mensageiro é no sentido de 5’ para 3’, e que a tradução somente se iniciará quando a sequência AUG for encontrada e levando em consideração que a leitura se encerrará quando a sequência UGA, UAA ou UAG for encontrada, então a sequência de aminoácidos resultante desta tradução é:

AA AUG CGU UAC GAA UGG UAU GCC UAC UGA AU Met Arg Tyr Glu Trp Tyr Ala Tyr

descar-tado metionina arginina tirosina ácido

glutâmico triptofano tirosina alanina tirosina

Indica a parada (não

codifica amino-ácidos)

descar-tado

b) O vírus que causa a AIDS possui uma enzima denominada transcriptase reversa que produz, a partir do RNA viral original, moléculas de DNA que comandarão a síntese protéica. Já o vírus influenza A (H1N1) produz novas fitas de RNA diretamente de seu RNA original.

QUESTÃO 04 A tabela apresenta as características gerais de duas importantes classes de Angiospermas.

CARACTERÍSTICAS CLASSE I CLASSE II

Sementes com dois cotilédones Sementes com um cotilédone

Folhas com nervuras ramificadas Folhas com nervuras paralelas à nervura principal

Estruturas florais geralmente em número múltiplo de 4 ou 5

Estruturas florais geralmente em número múltiplo de 3

Sistema radicular pivotante Sistema radicular fasciculado Feixes vasculares dispostos em anel Feixes vasculares dispersos

Considerando as Classes I e II representadas na tabela, a) dê, para cada uma dessas classes, um exemplo de planta cultivada e escreva sobre sua importância econômica. b) a rotação de culturas envolvendo uma importante família de plantas pertencentes à Classe I e uma importante família de plantas



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pertencentes à Classe II, e a adubação verde são práticas agrícolas de grande relevância ecológica. Dê dois exemplos de plantas normalmente usadas na adubação verde e na rotação de culturas, e mostre qual a importância dessas práticas.

Resolução a) A classe I é a das dicotiledôneas e um exemplo de planta cultivada é a soja, que serve de base para a produção de muitos alimentos industrializados. O vestibulando poderia ter escolhido também, por exemplo, um entre os seguintes: Vitória-régia, eucalipto, abacate, rosa, morango, pêra, maçã, feijão, ervilha, goiaba, jabuticaba, algodão, cacau, limão, maracujá, cacto, mamona, mandioca, seringueira, batata, mate, tomate, jacarandá, café, abóbora, melancia, etc. Os usos são desde alimentação (casos do cacau, limão, feijão, entre outros) até biodiesel (caso da mamona), passando por exemplos utilizados na ornamentação (como a rosa). A classe II é a das monocotiledôneas e um exemplo é a cana-de-acúcar, usada como fonte para a produção de açúcares (refinado, cristal, demerara, mascavo), produção de bebidas alcoólicas e biocombustível (álcool etílico). O vestibulando poderia ter escolhido também, por exemplo:

• palmeiras em geral (que produzem cocos), alho, cebola, aspargo, abacaxi, arroz, trigo, aveia, milho, os quais são importantes fontes de alimentação;

• gengibre, utilizado na fabricação de chás; • bambu e grama: utilizados como plantas ornamentais, sendo que o

bambu também é utilizado como alimento (brotos), na fabricação de celuloses, de carvão e em móveis e artesanato.

b) As importantes famílias citadas são as leguminosas (Classe I) e as gramíneas (Classe II). A rotação de culturas consiste em alternar o plantio destas duas importantes famílias, o que melhora as características físicas, químicas e biológicas do solo; auxilia no controle de plantas daninhas, doenças e pragas; repõe matéria orgânica pela fixação do nitrogênio atmosférico pelas bactérias associadas às leguminosas e protege o solo da ação dos agentes climáticos. Exemplos de plantas normalmente usadas na rotação de culturas são: trigo com soja e milho com soja. A adubação verde promove a reciclagem de nutrientes de camadas profundas do solo para a superfície, em formas assimiláveis pelas plantas cultivadas, quando utilizadas espécies com sistema radicular profundo, pois a cultura é derrubada, mas não é colhida, permanecendo no campo. São exemplos de plantas usadas na adubação verde as leguminosas, como o Guandu (feijão guandu) e o girassol.

QUESTÃO 05 As citações: I. “A floresta Amazônica deve ser preservada a qualquer custo. Afinal ela é o verdadeiro pulmão do mundo”. II. “Diante das demandas promissoras dos mercados de carbono, algumas áreas de plantio na Amazônia têm sido abandonadas para dar lugar a uma nova dinâmica de recolonização nessas áreas”. foram extraídas, a primeira, de uma propaganda de TV de cunho ambientalista, e a segunda, de uma revista de divulgação científica. Considerando tais citações: a) pode se falar em erro conceitual, quando se faz referências a florestas maduras como a Amazônia, como “pulmão do mundo”? Justifique sua resposta. b) indique duas diferenças básicas encontradas entre comunidades de início e de final de sucessão relacionadas com a dinâmica dos processos ecofisiológicos em um ecossistema florestal.

Resolução a) Sim, pode se falar em erro conceitual, pois nas florestas maduras, que estão no final do processo de sucessão ecológica (o clímax), a produtividade líquida tende a zero, ou seja, tudo que é produzido na fotossíntese é consumido na respiração. Portanto, o O2, um dos produtos da fotossíntese, não fica disponível no ambiente para a utilização pelos demais seres vivos. É importante salientar que a floresta amazônica constitui um enorme reservatório de carbono e, quando queimada, produz dióxido de carbono, aumentando assim o “efeito estufa”, além de evitar a erosão, funciona como uma “esponja”, absorvendo substâncias trazidas pelos ventos e pelas chuvas, sob a

forma de poeira e partículas, e constitui a única massa de ar continental úmida que é importante para o regime de chuvas e para regulação climática. b) Várias diferenças encontradas entre comunidades de início e de final de sucessão são listadas na tabela abaixo:

ATRIBUTOS DO ECOSSISTEMA Início Final

Ciclo de vida curto/simples longo/complexo

Crescimento rápido, alta mortalidade

lento, maior capacidade de sobrevivência competitiva

ESTRUTURA DA COMUNIDADE

Diversidade bioquímica baixa alta

Matéria orgânica total pouca muita

ENERGÉTICA DA COMUNIDADE

Produtividade primária

bruta/Respiração >1 = 1

Produtividade primária líquida alta baixa

Cadeia alimentar linear (simples) em rede (complexa)

(Odum 1971; Margalef 1968)

QUÍMICA

QUESTÃO 06 Na queima do cigarro, há a liberação dos gases CO, CO2 e de outras substâncias tóxicas como alcatrão, nicotina, fenóis e amônia (NH3). Para a conscientização sobre a toxicidade do cigarro, a campanha antifumo do estado de São Paulo mostrava o uso do monoxímetro, “bafômetro do cigarro”, que mede a concentração de monóxido de carbono, em ppm (partes por milhão), no ar exalado dos pulmões do indivíduo. A figura representa o resultado da aplicação do teste.

(www.bhsbrasil.com.br/monoximetro.htm Adaptado.)

a) Dado que 1 ppm de CO refere-se ao teor de 1 L de CO em 106 L de ar e que a densidade do CO é 1,145 g/L nas condições do teste, qual deve ser o valor de XX, indicado no visor do monoxímetro, se dois litros de ar exalado por aquele indivíduo contêm 4,58 x 10–2 mg de monóxido de carbono? b) As moléculas de amônia e de gás carbônico apresentam formas geométricas e polaridades bem distintas. Descreva essas características.

Resolução a) O volume ocupado pela massa de CO pode ser obtido pela densidade:

554,58 10 4 10

1,145m md V V V LV d

−−×

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ×

Desta forma, existem 54 10 L−× de CO 2L de ar. Para acharmos esse valor em ppm (partes por milhão), basta encontrar qual a quantidade em volume de CO que estaria presente em 610 L de ar:



3

5

6

Ar CO

2 4 1010

L LL x

−⎧ ←⎯→ ×⎪⎨

←⎯→⎪⎩

20x ppm⇒ =

b) A molécula de amônia apresenta geometria piramidal, como é possível perceber de sua fórmula estrutural.

NHHH

Uma vez que o N é mais eletronegativo que os átomos de H, existe um dipolo resultante na molécula. Portanto a molécula de amônia é polar. A molécula de gás carbônico apresenta geometria linear como é possível perceber de sua fórmula estrutural:

C OO

Neste caso existe um dipolo entre os átomos de C e O, uma vez que o átomo de O é mais eletronegativos que o átomo de C. Entretanto, como existem dois dipolos na molécula em sentidos contrários eles acabam por se cancelar o que leva um dipolo resultante igual a zero. Como não apresenta dipolo, esta molécula é apolar.

QUESTÃO 07 Em uma aula de laboratório de química, foram realizados três experimentos para o estudo da reação entre zinco e ácido clorídrico. Em três tubos de ensaio rotulados como I, II e III, foram colocados em cada um 5,0 x 10–3 mol (0,327 g) de zinco e 4,0 mL de solução de ácido clorídrico, nas concentrações indicadas na figura. Foi anotado o tempo de reação até ocorrer o desaparecimento completo do metal. A figura mostra o esquema dos experimentos, antes da adição do ácido no metal.

a) Qual experimento deve ter ocorrido com menor tempo de reação? Justifique. b) Determine o volume da solução inicial de HCl que está em excesso no experimento III. Apresente os cálculos efetuados.

Resolução a) Solução II, pois a concentração de HCl é maior e o zinco encontra-se em pedaços ou seja, maior superfície de contato. Assim, a velocidade é maior, portanto, o tempo da reação é menor. b) Para o experimento III, temos:

2 22Zn HCl ZnCl H+ → + Como o número de mol de Zn colocado é igual a 5,0 x 10-3, o número de mols de HCl necessário para reagir completamente com o zinco deve ser o dobro ou seja, 10,0 x 10-3 mols. O volume de solução de HCl para reagir com todo zinco é:

310 104 2,5n xC V mLV V

−

= ⇒ = ⇒ =

Como foram adicionados 4 mL de solução, há um excesso de: Vexcesso = 4 – 2,5 ⇒ Vexcesso = 1,5 mL .

QUESTÃO 08

No estudo do metabolismo ósseo em pacientes, pode ser utilizado o radioisótopo Ca-45, que decai emitindo uma partícula beta negativa, e cuja curva de decaimento é representada na figura.

A absorção deficiente de cálcio está associada a doenças crônicas como osteoporose, câncer de cólon e obesidade. A necessidade de cálcio varia conforme a faixa etária. A OMS (Organização Mundial da Saúde) recomenda uma dose de 1000 mg/dia na fase adulta. A suplementação desse nutriente é necessária para alguns indivíduos. Para isso, o carbonato de cálcio pode ser apresentado em comprimidos que contêm 625 mg de CaCO3. a) Determine a meia-vida do radioisótopo Ca-45 e identifique o elemento químico resultante do seu decaimento. b) Determine o número de comprimidos do suplemento carbonato de cálcio que corresponde à quantidade de cálcio diária recomendada pela OMS para um indivíduo adulto.

Resolução a) A equação de decaimento do Ca-45 pode ser escrita como:

45 0 4520 1 21Ca X−→ β +

Consultando a tabela periódica o elemento que tem número atômico 21 é o escândio (Sc). Através do gráfico pode-se determinar a meia-vida do radioisótopo.

80 40 20t1/2 t1/2

O tempo necessário, segundo o gráfico para que a atividade caia de 80 para 20 é igual a 320 dias. Esse tempo corresponde a duas meias-vidas conforme o esquema acima. Portanto, a meia-vida do radioisótopo Ca-45 é igual a 160 dias. b) Vamos inicialmente determinar a massa de cálcio presente em cada comprimido. Seja Cam a massa de cálcio em cada comprimido e

3625CaCOm mg= a massa de CaCO3 presente no comprimido.

Supondo que não há outros compostos de cálcio no comprimido, temos:

3

3 3 3

Ca Ca CaCa CaCO

CaCO CaCO CaCO

M m Mm m

M m M= ⇒ = ⋅ ⇒

40,1 40,1625 625 250(40,1 12,0 3 16,0) 100,1Ca

g molm mg mg mgg mol

= ⋅ = ⋅ ≅+ + ×

Considerando a quantidade diária recomendada pela OMS, que é de 1000 mg, esta quantidade corresponde a 4 comprimidos.

QUESTÃO 09 O metabolismo humano utiliza diversos tampões. No plasma sanguíneo, o principal deles é o equilíbrio entre ácido carbônico e íon bicarbonato, representado na equação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )–2 2 2 3 3 CO g H O H CO aq H aq HCO aq++ +

A razão [ ]3 2 3HCO / H CO−⎡ ⎤⎣ ⎦ é 20/1.

Considere duas situações: I. No indivíduo que se excede na prática de exercícios físicos, ocorre o acúmulo de ácido lático, que se difunde rapidamente para o sangue, produzindo cansaço e cãibras. II. O aumento da quantidade de ar que ventila os pulmões é conhecido por hiperventilação, que tem como conseqüência metabólica a hipocapnia, diminuição da concentração de gás carbônico no sangue. a) O que ocorre com a razão [ ]3 2 3HCO / H CO−⎡ ⎤⎣ ⎦ no plasma sanguíneo

do indivíduo que se excedeu na prática de exercícios físicos? Justifique. b) O que ocorre com o pH do sangue do indivíduo que apresenta hipocapnia? Justifique.

Resolução a) O indivíduo que se excede na prática de exercícios físicos tem aumento de ácido lático no sangue, aumentando a concentração de H+, deslocando o equilíbrio dado para a esquerda. Assim, a concentração de HCO3

- diminui e a concentração de H2CO3 aumenta. Portanto, a razão [HCO3

-]/[H2CO3] diminui. b) A hipocapnia corresponde à diminuição da concentração de CO2 que representa, no equilíbrio dado, um deslocamento deste para o lado esquerdo. Com isso, a concentração de H+ diminui e o pH aumenta.



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QUESTÃO 10 O medicamento utilizado para o tratamento da gripe A (gripe suína) durante a pandemia em 2009 foi o fármaco antiviral fosfato de oseltamivir, comercializado com o nome Tamiflu®. A figura representa a estrutura química do oseltamivir.

Uma das rotas de síntese do oseltamivir utiliza como reagente de partida o ácido siquímico. A primeira etapa dessa síntese é representada na equação:

a) Na estrutura do oseltamivir, identifique as funções orgânicas que contêm o grupo carbonila. b) Apresente a estrutura do composto orgânico produzido na reação do ácido siquímico com o etanol.

Resolução a) Vamos identificar apenas as funções orgânicas que apresentam o grupo carbonila, ou seja, C=O. As funções carboniladas da molécula são apresentadas abaixo.

O

O

O

HN

H2N

O

Éster

Amida

b) A reação que ocorre consiste em uma esterificação entre ácido carboxílico e álcool gerando éster (composto orgânico) mais uma molécula de água de acordo com a reação abaixo.

OHOH

OH

OHO

CH3CH2OHOH

OHOH

OCH2CH3O

OH2+ +

FÍSICA

QUESTÃO 11 Em uma balança analítica eletrônica, o prato que recebe a massa M, a ser aferida, fica sobre um suporte acoplado a uma bobina quadrada de lado 5,0 cm e com 10 voltas, que se ajusta perpendicularmente às linhas de campo magnético B , uniforme e constante, de módulo igual a 2,0 T, orientado para fora do plano da figura. A corrente elétrica produzida pela célula fotoelétrica C, ao percorrer a bobina, interage com o campo magnético, resultando em uma força magnética que sustenta o prato e o suporte na posição de equilíbrio mecânico. A balança está zerada quando o nível do braço indicador D coincide com o fundo do prato vazio. Quando a massa M é colocada sobre o prato, o conjunto sai da posição de equilíbrio e tende a mover-se para baixo, desalinhando o braço indicador com o fundo do prato. Nesta situação surge uma corrente elétrica na bobina fazendo com que o fundo do prato volte à sua posição original. Considere que a balança encontra-se inicialmente zerada e o fluxo do campo magnético sobre a bobina mantenha-se constante. Dado: g = 10,0 m/s2

Determine: a) O módulo, a direção e o sentido da força magnética resultante sobre a bobina devido à massa de 10 g colocada sobre o prato. b) O módulo e o sentido (horário ou anti-horário) da corrente elétrica na bobina necessária para equilibrar a massa de 10 g, bem como a potência elétrica dissipada pela bobina nessa situação. A resistência ôhmica R equivalente da bobina é 50 Ω.

Resolução a) Ao voltar à posição de equilíbrio, a força magnética que surgiu agindo sobre o conjunto deve equilibrar o peso do corpo introduzido, assim:

210 10MagF P m g −= = ⋅ = ⋅ ⇒ 0,1 NMagF =

A direção da força magnética é vertical e seu sentido de baixo para cima, se opondo ao sentido da força peso. b) Apenas a parte inferior da bobina estará imersa no campo magnético (caso contrário a força magnética atuando no conjunto seria nula). Sendo o comprimento do segmento inferior das espiras que compõe a bobina igual a “L”, e como há 10 espiras na bobina:

10 senMagF B i L= × ⋅ ⋅ ⋅ θ

Substituindo os dados do enunciado:

( )1 210 10 2,0 5 10 sen90oi− −= × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ 0,1 Ai =

Sentido da Corrente: Usando a regra da mão esquerda, temos que na parte da bobina imersa no campo magnético a corrente tem sentido da direita para a esquerda. Assim a corrente percorrerá a bobina no sentido horário.

i

B

F

Já a potência é dada por:

2 250 (0,1)P R i= ⋅ = ⋅ ⇒ 0,5 WP =

QUESTÃO 12 No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos presenteou com um lindo gol, no qual, ao correr para receber um lançamento de um dos atacantes, o goleador fenomenal parou a bola no peito do pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s, fazendo um ângulo com a horizontal de 45º para cima. Dados: g = 10,0 m/s2 e 2 = 1,4

a) Determine a distância horizontal percorrida pela bola entre o seu lançamento até a posição de recebimento pelo artilheiro (goleador fenomenal). b) No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de distância da posição em que ele estimou que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada, corre para receber a bola. A direção do movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da bola, como mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro, para que ele alcance a bola imediatamente antes de ela tocar o gramado?



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Resolução Consideramos que, para o goleador fenomenal, ao receber a bola, o seu pé esteja no chão. O alcance é dado por:

cos45oxx v t v t= ⋅ Δ = ⋅ ⋅ ΔΔ

22

v tx ⋅ ⋅ ΔΔ =

θ x

y

V0.cos θ

0V

Δx V 0

.sen

θ

Onde v é a velocidade de lançamento. Já para determinar o tempo de vôo, fazemos:

245 45o oy oy

vv v a t v sen v sen g t tg

= + ⋅ ⇔ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇔ =

Das equações anteriores, chegamos a expressão para o alcance:

2 22 2 202 10

v v vxg g

Δ = ⋅ = = ⇔ 40 mxΔ =

b) O tempo de vôo é dado por:

2 20 1,4 2,8 s10

vtg

⋅Δ = = =

A velocidade do jogador é então dada por:

16 5,7 m/s2,8

xvt

Δ= = ≈ ⇒

Δv 20,5 km/h≈

QUESTÃO 13

Um dos brinquedos prediletos de crianças no verão é o toboágua. A emoção do brinquedo está associada à grande velocidade atingida durante a descida, uma vez que o atrito pode ser desprezado devido à presença da água em todo o percurso do brinquedo, bem como à existência das curvas fechadas na horizontal, de forma que a criança percorra esses trechos encostada na parede lateral (vertical) do toboágua.

(www.pt.wikipedia.org/wiki/Toboágua)

Sabendo que a criança de 36 kg parte do repouso, de uma altura de 6,0 m acima da base do toboágua, colocado à beira de uma piscina, calcule: Dado: g = 10,0 m/s2 a) A força normal, na horizontal, exercida sobre a criança pela parede lateral do toboágua, no ponto indicado na figura (curva do toboágua situada a 2,0 m da sua base) onde o raio de curvatura é igual a 80 cm. b) A força dissipativa média exercida pela água da piscina, necessária para fazer a criança parar ao atingir 1,5 m de profundidade, considerando que a criança entra na água da piscina com velocidade, na vertical, aproximadamente igual a 10,9 m/s, desprezando-se, neste cálculo, a perda de energia mecânica no impacto da criança com a água da piscina.

Resolução a) Para determinar a velocidade do garoto no ponto a 2,0 m do solo, usamos a conservação da energia mecânica entre esse ponto e o ponto mais alto do toboágua, de onde parte a criança:

2 20

0 2 2m v m vm g h m g h⋅ ⋅

⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⇔

2 2 2 22 2 10 (6,0 2,0) 80 (m /s )v g h v= ⋅ ⋅ Δ = ⋅ ⋅ − ⇒ =

No trecho circular a única força na direção radial é a força normal, assim ela corresponde à resultante centrípeta.

2 36 800,8cp

m vN F NR⋅ ⋅

= ⇒ = = ⇒ 3600 NN =

b) A desaceleração da criança ao entrar na água será: 2 2 2 2 22 0 10,9 2 1,5 39,6 m/sov v y= + ⋅ γ ⋅ Δ ⇒ = + ⋅ γ ⋅ ⇒ γ = −

DF

P

Entrando na água, duas forças atuam no garoto: a força peso e a força de dissipativa média, assim da segunda lei de Newton:

36 10 36 39,6RES D DF m a F P m a F= ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒

1786 NDF ≈

QUESTÃO 14 Em uma experiência de Termologia, analisou-se a variação da temperatura, medida em graus Celsius, de 100 g de uma substância, em função da quantidade de calor fornecido, medida em calorias. Durante o experimento, observou-se que, em uma determinada etapa do processo, a substância analisada apresentou mudança de fase sólida para líquida. Para visualizar o experimento, os dados obtidos foram apresentados em um gráfico da temperatura da substância como função da quantidade de calor fornecido.

Determine: a) O calor específico da substância na fase líquida e seu calor latente específico de fusão. b) Após a substância atingir a temperatura de 80 ºC, cessou-se o fornecimento de calor e adicionou-se à ela 50 g de gelo a 0 ºC. Supondo que a troca de calor ocorra apenas entre o gelo e a substância, determine a massa de água, fase líquida, em equilíbrio térmico. Dados: Calor latente de fusão do gelo: L = 80 cal/g Calor específico da água: c = 1,0 cal/(g °C)



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Resolução a) No trecho onde a substância se apresenta no estado líquido, após receber uma quantidade de calor de 400 calorias, sua temperatura sofre uma variação de 40 °C, assim:

400 100 40Q m c T c= ⋅ ⋅ Δ ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔ 0,1 cal/(g °C)c = Na mudança de fase (trecho com temperatura constante), a substância também recebe 400 calorias, logo:

400 100F FQ m L L= ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ 4,0 cal/gFL = b) Para todo gelo mudar de fase é necessária uma quantidade de calor dada por:

50 80 4000 calFQ m L= ⋅ = ⋅ = Por outro lado, para retornar a 0 °C, a substância deve perder 1000 calorias, como indicado no gráfico. Assim, não podendo ceder todo o calor que o gelo precisa para se fundir, a temperatura de equilíbrio será 0 C, com o gelo recebendo essas 1000 calorias e se fundindo em parte. Nesse caso, a massa de gelo que sofrerá fusão é dada por:

1000 80FQ m L m= ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ 12,5 gm =

QUESTÃO 15 Pelo Princípio de Arquimedes explica-se a expressão popular “isto é apenas a ponta do iceberg”, frequentemente usada quando surgem os primeiros sinais de um grande problema. Com este objetivo realizou-se um experimento, ao nível do mar, no qual uma solução de água do mar e gelo (água doce) é contida em um béquer de vidro, sobre uma bacia com gelo, de modo que as temperaturas do béquer e da solução mantenham-se constantes a 0 ºC.

(www.bioqmed.ufrj.br/ciencia/CuriosIceberg.htm)

No experimento, o iceberg foi representado por um cone de gelo, conforme esquematizado na figura. Considere a densidade do gelo 0,920 g/cm3 e a densidade da água do mar, a 0 ºC, igual a 1,025 g/cm3.

. a) Que fração do volume do cone de gelo fica submersa na água do mar? O valor dessa fração seria alterado se o cone fosse invertido? b) Se o mesmo experimento fosse realizado no alto de uma montanha, a fração do volume submerso seria afetada pela variação da aceleração da gravidade e pela variação da pressão atmosférica? Justifique sua resposta.

Resolução a) No equilíbrio do iceberg, temos o módulo da força peso igual ao da força de empuxo, ou seja:

gelo água submersoP E m g g V= ⇔ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ ⇔

0,921,025

gelogelo água submerso submerso

águaV V V V V

ρρ ⋅ = ρ ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅

ρ

0,90submersoV V≈ ⋅ Ou seja, o volume submerso corresponde a 90% do volume total do iceberg. Observamos pela demonstração que a porção submersa não depende do formato geométrico do corpo, ou seja, a fração submersa não é alterada se o cone for invertido. b) Da demonstração acima, a porção submersa não depende da aceleração da gravidade. No topo de uma montanha teremos a diminuição da pressão atmosférica, no entanto a diferença de pressão que dá origem à força de empuxo não depende da pressão atmosférica local.

MATEMÁTICA

QUESTÃO 16 Considere, num sistema ortogonal, conforme a figura, a reta de equação :r y kx= (k > 0 um número real), os pontos A 0( ,0)x e B 0 0( , )x kx (com 0x > 0) e o semicírculo de diâmetro AB.

a) Calcule a razão entre a área S, do semicírculo, e a área T, do triângulo OAB, sendo O a origem do sistema de coordenadas. b) Calcule, se existir, o valor de k que acarrete a igualdade S = T, para todo 0x > 0.

Resolução

a) O semicírculo de diâmetro AB tem raio 2 2

okxABR = = , logo, sua

área é igual a: 2 2 2

21 12 2 2 8

o okx k xS R π⎛ ⎞= π = π ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Já o triângulo OAB tem base oAO x= e altura oAB kx= , logo, sua área é igual a:

2

2 2 2o o ox kx kxAO ABT ⋅⋅

= = =

Assim, a razão pedida é igual a: 2 2

2

84

2

o

o

k xS S kT Tkx

⎛ ⎞π⎜ ⎟

π⎝ ⎠= ⇒ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Pelo item a, temos que: 41 1

4S kS T kT

π= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

π

QUESTÃO 17 Uma função :f → diz-se par quando ( ) ( )f x f x− = , para todo x ∈ , e ímpar quando ( ) ( )f x f x− = − , para todo x ∈ . a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares ou funções ímpares? Justifique sua resposta.

b) Dê dois exemplos de funções, ( )y f x= e ( )y g x= , sendo uma par e outra ímpar, e exiba os seus gráficos.



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Resolução a) De acordo com as definições, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo da ordenadas (eixo y) e o de uma função impar é simétrico em relação à origem. Assim, observando os gráficos apresentados, temos que: I – Função par; II – Função nem par, nem ímpar; III – Função par; IV – Função ímpar; V – Função ímpar. Observação: A única função :f → que é par E ímpar simultaneamente é a função identicamente nula, já que, nesse caso, para x∀ ∈ :

( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0

( ) ( )f x f x

f x f x f x f xf x f x

− =⎧⇔ = − ⇔ = ⇔ =⎨

− = −⎩

b) Para a função par, um exemplo possível seria a função

:f → dada por 2( )f x x= , cujo gráfico está representado ao lado:

Já para uma função ímpar, um exemplo possível seria a função

:f → dada por 3( )f x x= , cujo gráfico está representado ao lado:

Observações: (1) Toda função da forma ( ) nf x x= , com n ∈ , é par se n é par, e ímpar, se n é impar; apenas é necessário, caso se tenha 0n < , excluir

0x = do domínio da função. Os nomes que dão origem a essa classificação para as funções (par e ímpar) vêm exatamente daí. (2) Outros exemplos comuns que poderiam ser citados: –Funções pares: ( ) cosf x x= , ( ) secf x x= , ( ) | |f x x= , qualquer função constante. –Funções ímpares: ( ) senf x x= , ( ) tgf x x= , ( ) cotgf x x= ,

( ) cossecf x x= , qualquer função do primeiro grau passando pela origem.

QUESTÃO 18 Considere as funções quadráticas 1( )q x e 2( )q x cujos gráficos são exibidos na figura.

a) Faça o esboço de um possível gráfico da função produto

1 2( ) ( ) ( )q x q x q x= ⋅ b) Calcule o quociente do polinômio ( ) ( )h x x q x= ⋅ pelo polinômio ( ) 1k x x= + e exiba suas raízes.

Resolução a) Pelo gráfico, temos que a função quadrática 1( )q x tem raízes

1x = − e 3x = , e tem concavidade voltada pra cima. Logo, podemos escrever, na forma fatorada:

1 1( ) ( 1) ( 3)q x a x x= ⋅ + ⋅ − , com 1 0a > Já a função 2( )q x tem raízes 1x = e 4x = e tem concavidade voltada pra baixo. Logo, escrevemos:

1 2( ) ( 1) ( 4)q x a x x= ⋅ − ⋅ − , com 2 0a < Assim, a função ( )q x é dada por:

1 2( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 3) ( 4)q x q x q x a x x x x= ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − , sendo 1 2 0a a a= ⋅ < , pois 1a e 2a têm sinais contrários. Assim, temos que ( )q x é uma função polinomial de 4º grau, cujas raízes são 1x = − , 1x = , 3x = e 4x = , interceptando o eixo y no ponto (0) (0 1) (0 1) (0 3) (0 4) 12 0q a a= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − = − > . Assim, um esboço possível do gráfico de ( )q x é:

b) De acordo com o item (a), temos que:

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 3) ( 4)h x x q x a x x x x x= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − Temos que o quociente ( )f x da divisão de ( )h x por ( )k x é dado por:

( 1)( )( )( )

a x xh xf xk x

⋅ ⋅ += =

( 1) ( 3) ( 4)1

x x xx

⋅ − ⋅ − ⋅ −

+⇔

( ) ( 1) ( 3) ( 4)f x a x x x x= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − Como temos ( )f x na forma fatorada, é fácil ver que suas raízes são:

0x = , 1x = , 3x = e 4x =

QUESTÃO 19 Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das vezes em que é colocado para despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo um compromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a hora, o jovem pretende colocar os dois relógios para despertar. a) Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham a despertar na hora programada? b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois relógios desperte na hora programada?

Resolução a) Considerando os eventos independentes: A: despertador 1 funcionar B: despertador 2 funcionar Então temos que a probabilidade dos dois relógios despertarem na hora programada é:

( ) ( ) ( ) 80% 70% ( ) 56%p A B p A p B p A B∩ = ⋅ = ⋅ ⇒ ∩ = b) Sendo A e B os eventos complementares a A e B, temos que a probabilidade de que nenhum dos relógios desperte na hora programada é:

( ) ( ) ( ) (1 0,8) (1 0,7) ( ) 6%p A B p A p B p A B∩ = ⋅ = − ⋅ − ⇒ ∩ =



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QUESTÃO 20 Um jogo eletrônico consiste de uma pista retangular e de dois objetos virtuais, O1 e O2, os quais se deslocam, a partir de uma base comum, com O1 sempre paralelamente às laterais da pista e O2 formando um

ângulo x com a base, 0,2

x π⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Considere v1 e v2 os módulos,

respectivamente, das velocidades de O1 e O2. Considere, ainda, que os choques do objeto O2 com as laterais da pista (lisas e planas) são perfeitamente elásticos e que todos os ângulos de incidência e de reflexão são iguais a x.

a) Exiba o gráfico da função ( )y f x= que fornece o módulo da componente da velocidade de deslocamento do objeto O2, no sentido

do deslocamento do objeto O1, em função do ângulo, 0,2

x π⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

b) Se v1 = 10 m/s e v2 = 20 m/s, determine todos os valores de x,

0,2

x π⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, para os quais os objetos O1 e O2, partindo num mesmo

instante, nunca se choquem. Resolução

a)

O vetor velocidade v2 pode ser decomposto em duas componentes: uma ortogonal ao vetor v1, que é dada por 2v cos x⋅ , e outra paralela ao vetor

v1, que é a função ( ) 2f x v senx= ⋅ , pedida no item A.

O gráfico pedido segue abaixo (apenas a parte mais escura, um trecho da senóide):

b) Para que O1 e O2 nunca se choquem, basta que ( ) 1f x v≠ , pois então um corpo sempre se afastará do outro na direção da pista (no desenho: para cima), ou seja:

11( ) 20 sen 10 sen 302

f x v x x x≠ ⇒ ⋅ ≠ ⇒ ≠ ⇔ ≠ °

x 2 cosv x⋅

2 senv x⋅ 2v

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