3 2 RE U NI O A NU A L DE

PA V I MENT A O

B R A S I L I A -D F

O U T U B R O D E 2 00 0

OS "MDULOS" DE MECNICA DOS SOLOS

A U T O R E S :

E N G . C I V . T H O M A S U L F N I L S S O N

E ST E IO E N G E N H A R I A E A E R O L E V A N T A M E N T O S S/ A

T E L : (0 41 ) 33 2 42 99

E - M A I L : T H O M A S @ E S T E I O . C O M . B R

E N G . C I V I L L C I A R E G I N A A S S U M P O M O N T A N H I N I

U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D O P A R A N

T E L : (0 41 ) 36 1 32 24

E - M A I L : D E P T R A N S @ C C E . U F P R . B R

OS MDULOS DE MECNICA DOS SOLOS

A u t o r e s : E n g . C i v . T h o m a s U l f N i l s s o n

E n g . L c i a R e g i n a A . M o n t a n h i n i

1. RESUMO

M eto do l o g i as con sagr ad as p a r a an l i s e s de d e f o r m a es e s t o b as eadas

em t eo r i as d e s en vo l v i da s p a r a m at e r i a i s h omo gn eos e co ns equ en t em en te

d e com po r t amen t o l i n ea r . O equ ac i onam en to m at em t i co m a i s ad eq uado

p a r a a r e l a o t enso /d e fo rm ao d e m at e r i a i s no l i n ea r e s a t r av s u ma

eq u ao n o l i n ea r . A ap l i c ao d e t eo r i a s l i n ea r es p a r a s o lo s , cu jo

c o mp or t am en to co mp r ov adam ent e no l i n ea r , um a f o r m a ap rox im at iva

e s e adeq uav a a s con d i es t ecno l g i cas v i gen t es a t d u as d cadas

p a s s ad as . P a r a o a tu a l e s t ado da a r t e , co m o s r ecu r so s d i s po n v e i s p a r a o

ex e r c c i o d a en gen h a r i a , a u t i l i z ao d e c r i t r i os l i n ea r e s p a r a

d e t e r min ao d e f en m eno s n o l i n ea r e s n o m ai s s e j u s t i f i c a . P o r m, a

o p o p o r con ce i tu a es t eo r i c amen t e m ai s p rec r i a s co n t i nu a s endo

m ui t o com um em M ecn i ca do s S o l os , o q ue em co ns eq u n c ia a t i n ge a

r ea d e p av im en t ao .

E s t e t r ab a l h o p r e t en d e mo s t r a r a d iv e r s id ad e d e m du los d e e l as t i c id ad e

p r op os tos n a t eo r i a e u t i l i z ado s em Mecn i ca d os So los e P av im en t ao .

E , n a co n c l us o , p r e t en d e p r op o r u m co n ce i t o d e m du lo d e e l a s t i c id ade

t e cn i cam en te m ai s ad equ ado aos p r o ce s so s t en s o / d e fo rm ao em s o lo s e

p av im en t os .

2. INTRODUO

A p r im ei r a r e l a o d o cu m ent ad a en t r e f o ra e d e f o rm ao d ev e - s e ao

i n g l s R ob e r t H ook e ( 16 35 - 17 03 ) que em 16 60 r e l a t ava : U t t en s i o , s i c v i s ( D a f o r a , t a l d e f o rm ao ) . U m fa t o no t v e l qu e Ho o ke v iv eu , a s s im co mo Is aac N ewt on ( 16 42 - 17 27 ) e Bla i se P a s ca l (1 62 3 -1 6 26 ) , du r an t e um

s cu lo c r u e lm en t e m a r cad o p e l a Gu e r r a d os Tr in t a A no s ( 1 61 8 -1 64 8) . Bem

an t es es t a po ca , em qu e o s e r h uman o a i nd a en con t rav a - se l im i t ad o

t cn i cas e f e r ram en t as p r im i t i v as , o comp o r t am en t o m ecn i co dos

m at e r i a i s d e cons t ru o e ra co ns id e r ado l i n ea r e f a cc io n ad o en t re

co mp r es s o e t r a o .

O us o d e m a te r i a i s d e ca r ac t e r s t i c as b em d ef in i d as , ( co mo o t i j o l o , a

m ad e i r a e o m et a l ) v em desd e t emp os an t i gos . Ch ine s e s e rom anos

av en t u r a r am -s e ao u so d e m a t e r i a l com po s t o . C h in es e s com o so lo

r e f o r ad o a t r av s d e b am bu e r om ano s com c im en t o p ozo l an o . Es t as

t cn i cas m a i s so f i s t i c ad as nu n ca ag r ad a r am a g r an d e m ai o r i a q u e , v i v endo

d en t ro d e m ol du r as l im i t ad as , s emp re p r e f e r i u v e r o m un do r e s t r i t o a

h o r i zo n t e s p e r cep t v e i s . Com i s to o s com p s i t os f o r am e sq u ec id os ,

v o l t a r am o s ma te r i a i s s im pl es e r s t i co s , m ai s co e r en t es com a

m en t a l i d ad e r e in an t e . Pa u e pedr a par a a co ns t ru o , p o e c i r co p ar a o

p o vo . . .

N o s cu l o XX , d e ce r t a fo rm a o m und o r ep e t iu o c e n r io d o s cu lo X V II .

A s t eo r i as e a t ecn o l o g ia , g r aas a e s f o r os acumu l ado s de c i en t i s t a s e

p e sq u i sado r e s , p r in c ip a l m en t e o r iu nd os d a a r i s t oc r ac i a , apo i ad os p or

cu l tu r a d es env o l v i s t a gov e r n am en ta l o b t iv e r am um a ace l e r ao d e f o r ma

ex po n en c i a l p r op i c i and o a p os s e d e um ampl o es p ec t ro d e p oss ib i l i dad es .

E n qu an to a t e cn o lo g i a ap r es en t ad a f r u t o d e e s f o r o s co ncen t r ad os de

p o ucos , o s u su r i os n o de t en t o r es do en t en d im en to d es t a t e cno l o g i a es t o

em q u an t id ad e mu i t o su p e r io r . A m d ia e com r c io i nd i ca o c ami n h o . Com

i s to , co n t r ib u i - s e co m m ai s u m e l em en to ao g r and e r eg r e s so s o c i a l a tua l

q u e v em con duz in do o co mp o r t am en to h um an o a v o l t a a i d ad e d as p edr a s .

A n te s d e in g r e s sa r n a t em t i ca d es t e t r ab a l ho , q u e t en t a m os t r a r q u e a

f o rm ul ao m a tem at i cam en t e ad equ ad a p a r a r e l a c i on a r t en s o / d e fo rm ao

p a r a m at e r i a i s n o l i n ea r es a t rav s um a eq u ao n o l i n ea r , o

en t en d im en to d o rac i oc n io hu m an o f az - s e nece ss r i o p a r a qu e s e po ssa

en t en de r po r qu e em bo r a a t e cno l o g ia o f e r ea s o lu es e o po r tu n id ades

s o f i s t i c ad as , o m e rcad o con t in u e d eman d an do s imp l i c i dad e :

O p en sam en t o d o h om em gen r i co po d e s e r t i p i f i c ado com o l in ea r . A

p e r cep o n o - l i nea r d os ho mens c r i a t i vo s , s b i os , ex p er i en t es e d o t ad as a

co n cen t r ao m en ta l t o rn a - s e , p o r t an to , p ou co c l a ra p a r a a m ai o r i a

f a zend o qu e s e j a de s e j v e l a l i n ea r i zao d os f en m enos . A ap l i c ao d a

c i nc i a po r t an t o t em s id o l ev ad a pe l as l e i s d e m er cad o , em bo r a a n a tu r eza

ex po nh a u m f en men o N O LIN E A R es t e f en m en o t em s i do i n t e rp r e t ado

d e m od o LIN E A R .

V a l e r e s s a l t a r qu e o p en do r p e l a r ep r e s en t ao d e t end n c i a n o l i n ea r

a t r av s de u m a l i nh a r e t a , con duz a r e f l ex o d e ap en as a p a r ce l a d e um a

f u n o . Es t a l i n h a r e t a , ob t id a a t r av s d a t an gen t e o u s ecan t e fu n o que

ex p r es s a o f enm en o , ap en as v l id a s ob co nd i es es pec f i c as , n un ca d e

ap l i c ao gen r i ca .

N o f u g in do a e s t a i d i a , o m d u l o de e l a s t i c id ad e d e so lo s , v i s i v e lm en te

n o - l i n ear , v em s end o f o rm ul ad o d e m an e i r as s im pl i f i c ad as , s em

ap r e sen t a r a com ple t i t u d e e com pl ex id ad e n ece ss r i a s .

S em o i n t u i t o d e c r i t i c a r a s im pl i f i ca o m as s im mo s t r a r q ue a op o p e l a

s im pl i f i c ao e r a p e r t i n en t e n um m om ento on d e e ra v igen t e a f a l t a de

r ecu rs os t e cno l g ico s . A en genh a r i a m od e rn a d i s po ndo d e f o rmu l a es

ad equ ad as a f en m en os co mpl ex os e d e e f i c az es r e cu rs os p a ra

p r o cess am en t o de s t e s a l go r tm os n o po d e a j us t a r - s e ao m er cado

p e rm i t i nd o qu e a c i n c i a d i l ua - s e s p e r i f e r i as do m esmo mo do q ue

d e s ap a r eceu o c im en to rom ano .

3. OS DIFERENTES MDULOS

D ad a a h e t e r o gen e i d ad e do s o l o a ap l i c ao do m du lo d e e l a s t i c i d ad e e

co e f i c i en t e d e Po i s so n p a r a u m so lo n a r ea l i d ad e u m p ro ced im en to

ap r ox im ad o po i s a t eo r i a de e l a s t i c i dad e fo i i n t eg r a lm en t e e s tu d ad a p a ra

m at e r i a i s l i nea r es . O m du lo d e e l a s t i c i dad e p a ra um m at e r i a l l i n ea r

e l s t i co d ep end e ex c lus iv am en t e d o m at e r i a l , en qu an t o p a r a um so lo

d ep en d e do e s t ado d e t ens es . M esm o a s s i m, a t eo r i a d e e l a s t i c i d ad e ,

ap l i c ad a em cer to s t i p os d e s o l os , f o r nece r e su l t ad os co e ren t es a r e ca l qu es

m ed id os .

E m t e r mo s ge r a i s , o m du lo d e e l as t i c id ad e de u m m at e r i a l n o l i n ea r

d ep en d e d o m to do d e ap l i c ao d as t en s es , m agn i tu d e d a s t ens es ,

v e lo c i d ad e d e ap l i c ao , d o vo l um e e d a f o rm a e do e s t ado d e s a tu r ao

d a amo s t r a o q u e ex i ge s em pr e a e s p ec i f i c ao d o m t odo em pr egad o p e l a

av a l i a o do m d u lo , s e j a ens a i o i n s i t u ou d e l ab o r a t r i o , emp r egado co mp r es s o , s s mi ca , c i s a lh an t e e t c . . .

A s egu i r l i s t amo s a l gu ns d os m du los m ai s emp r egado s em mecn i ca de

s o l os e p av im en t ao . A no m en c l a t u r a em p r egad a u t i l i z a a l gu m as s i g l as

em su bs c r i t a s qu e p o dem va r i a r con fo r me p a s e l i t e r a tu r a d e o r i gem. P o r

ex empl o , a s i g l a 1 , u t i l i z ado p ar a a d i reo p r i n c i p a l , ge r a l m en t e em

geo t ecn i a em p r egad o com o z o u v (d i r eo d es cend en t e o u v e r t i c a l ) .

O b s er v ao : N es t e t r aba lh o , em ca so s gen r i co s o u am b gu os , o t e rmo

m od u lo d e e l as t i c id ad e se r u t i l i z ado .

3 . 1 . E

O m du lo de e l a s t i c i d ad e , ou m d u lo d e Y ou n g , o m d u lo c l s s i co d o

l e i d o H oo ke , d e f in id o med i an t e ensa i os d e p r en sa s ou d e m qu in as de

t r a o . N es t e en s a io a t ens o a ap l i c ad a no s ex t r em os d a amos t ra s em a

p r e s en a d e t ens es co n f in an t es e a d e f o rm ao m en su r ada co m o o p e r cen tu a l d e u m co mp r i m en t o .

3 . 2 . E V

E v , o m du lo d e d e fo rm a o , n a p r t i c a d e d e f l ex o (a l .

V er f o r mu n gsmo du l ) ob t id o p e lo en sa i o de p l aca ( e s t t i c a ) ap r e s en t ado co m v r io s su bs c r i t o s ;

1vE = m d u l o d a d e f l ex o ca l cu l ado d a cu r v a d o p r im ei ro

ca r r egam en to ;

2vE = m du lo d a d e f l ex o ca l cu l ado d a cu rv a d o s egu nd o

ca r r egam en to ;

RESvE = m du lo d a de f l ex o r es i l i en t e , c a l cu l ad o d a cu r v a do

d e s car r egam en t o ;

3 . 3 . E O E D

E o e d o m d u l o d e com p r ess o co n f i nad o o b t i do a t r av s en s a io de

o ed m et ro ou d e en s a io d e com p re ss m et r o . R epr e s en tad o t am b m p e l a

l e t r a M .

3 . 4 . E D Y N , G D Y N

O s m du lo s d in m ico s d e e l a s t i c i d ad e ( E d y n ) e d e c i s a l h am en to ( G d y n ) s o

d e t e r min ado s m ed ian t e a emi s s o d e o n das p r od uz i da s p o r eq u i p am en tos

geo f s i co s . A emis s o d e o n d a P p e rm i t e a d e t e r min ao d o m d u lo

d in m i co d e e l as t i c i d ad e - E d y n e , com a emis s o d e o nd a S , d e t e rmi n a - se

o m du lo d in m i co d e c i s a l ham en t o , G d y n . O s d o i s m du lo s s o m x imos

p o i s s o o b t i do s de d e fo rm aes mn im as , ex pr e s s os e m m .

3 . 5 . M R

A s s im como o m du lo d e Y ou n g , o m d u lo d e re s i l i n c i a e s t r e l a c i on ado

a d e f o rm a es d e n a tu r ez a r ecup e r ve l . O em pr ego d es t e t e r mo ob j e t i va

d i fe r en c i a r m at e r i a i s su j e i t o s a g r an des de f o rm a es , co mo os s o lo s , de

m at e r i a i s po u co d ef o rm v e i s . N es t a l t im a ca t ego r i a p od emo s c i t a r como

ex empl o o s m at e r i a i s emp r egado s em e s t r u tu r a s ( con c r e t o , a o , m ad e i r a ) ,

q u e ex ib em m du lo s 1 00 a t 10 .0 0 0 v ez e s m ai o r e s d o q u e o s s o l os . O

en gen h e i ro H v eem r e l evo u es t a d i f e r en a , d es t acand o q u e ca r a t e r s t i cas

r e s i l i en t es em s o l os g r an u l a r es no c im en t ad os no p od e r i am s e r

t i p i f i c ad as a t rav s d a e l as t i c i d ad e .

A d i f e r en a en t r e o s d o i s co nce i to s , m d u l o d e e l as t i c id ad e e m du lo de

r e s i l i n c i a , p ro v m d o mo do em q u e cad a m d u l o av a l i ad o . O m du lo d e

e l as t i c i d ad e ob t id o a t r a v s d a cu r va d e ca r r egam en t o , en q u an t o qu e o

m d u l o de r es i l i nc i a m ed i do a t r avs d a cu rv a d e d e sca r ga .

S i mi l a rm en t e ao co mp o r t am en to do m d u l o d e e l as t i c id ad e p a r a m at e r i a l

n o l i n ea r , o m d u lo d e r es i l i nc i a t am b m v ar i a d i r e t am en t e co m a t ens o

co n f in an t e e s en do t am b m f un o d a t en s o p r i nc ip a l , g ran u l om et r i a , t eo r

d e v az i os , umi d ad e , f r eq u en c i a e v e lo c i d ad e d a ca rga e n m er o de

r ep e t i es .

3 . 6 . E F W D

E s t e m du lo , o b t i do a t r av s d o en s a io d in m ico d e p l aca , r e su l t ad o d e

m ed id as ao l on go da b ac i a d e d e f l ex o r e l a t i v am en t e de f l ex o cen t r a l .

3 . 7 . K

O m d ul o k t em seu u so con s agr ad o p a r a p ro j e tos d e pav im en to r g i do .O

m d u l o do su b l e i to , k , f o i o r i g i n a lm en t e d es env o l v ido po r Wi nk l e r . O

ex p e r im en to , q u e p e rm i t i u o d e s en vo lv im en to d o mo de l o t e r i co , fo i

co n ceb i d o so b re um a v i ga r g id a as sen t e so b r e um l e i to d e mo la s . Es t a

co n cep o qu e p r op i c i a s ua ap l i c ao p ar a s im ul ao d e t r i l h o co l o cado

s ob r e do r men t es o u p ar a p on t e s f l u tu an t es . Bu rmi s t e r e W es t e r gaa rd

u t i l i z a r am e s t e md u l o na f o rm ul ao d e s en vo lv id a p a r a p av i m en t o r g i do

em s ub l e i to . S egu nd o Y od e r , p a r a a de t e rmi n ao d o m d u l o do s ub le i to

em um p ro j e to d e pav im en to r g i do d ev e - s e u t i l i z a r um a p l aca d e 76 0 mm.

N i l s O d em ark p ro p s u m a p l aca d e 80 0 mm , p r o v av e l m en t e p a r a

a r r edo nd a r e ad equa r a m ed id a o r i g in a l men t e em po l egadas .

3 . 8 . E 0 , G 0 , M R 0

o m du l o d ef i n id o a t r av s da t an gen t e o r i gem d a cu rv a

t ens o /d e fo r mao .

3 . 9 . E 5 0 , G 5 0 , M R 5 0

o m du lo d e t e rm in ad os p e l a r e t a s ecan t e d e f in id a en t r e a o r i gem d a

cu r v a t ens o /d e f o rm ao e o p on t o co r re sp on d en te a 5 0% d a t en s o

m x im a ( t en so d e e s co am en to ) .

3 . 10 . O U T R O S

O m d ulo d e v o l um e ( ou d e com p r es s o a g r an e l ) , u m p a r m et r o que

t eo r i c am en te ap ro p r i ad o p a r a m at e r i a i s q u e e s t o su bm et id os a t en s es

i so t r p ica s , po r ex empl o o b j e t os s ub m er so s em l qu i do s . R ep re s en tado

m ui t a s v eze s com a s i g l a K e p od end o s e r d e t e rmi n ado em ens a io s t r i -

ax i a i s , a t r av s d a av a l i a o d a v a r i ao d e v o lu m e d a am os t r a em f un o

d a t ens o i so t r p ica e f e t iv a . A i s o t r o p i a r e s t r i n ge a ap l i c ao p r t i c a

d e s t e m du lo em geo t ecn i a o u em p av i men t ao .

E p o m d u l o p r e s s i om t r i co , o b t id o em en s a io s a t r av s d e s t e

eq u i p am en to .

G o m du l o d e c i s a lh amen t o , ge r a lm en t e ens a i ad o n a f o rm a G d y n (v i de

i t em an t e r io r ) . E l e t r ad uz a r e l a o en t re a t en so c i s a lh an t e ap l i c ad a e a

m ud an a d e n gu lo em p ro ces so s d e c i sa lh am en t o .

O u t r os n d i ces e co e f i c i en t e s r e l a c ion ado s a r e ca lq u es s o fo rm ul ados em

m ecn i ca d os so l os e com ap l i c ab i l i d ad e co ns agr ad a p r i nc ip a l m en t e em

geo t ecn i a . In f e l i zm en t e m ui t os d es t e s p a r m et ro s s o p o uco ap r op r i ados

em o u t ro s r am os d a en genh a r i a . Ex em pl os d e s t es t em -s e :

a v C o ef i c i en t e d e co mp r e ss i b i l i d ade ( ad i m en s io n a l )

m v co e f . de co mp r es s ib i l i d ad e v o lu m t r i ca ( m /k N )

C c nd i ce d e com p r esso ( ad i m en s io n a l )

C n nd i ce d e recom pr es s o ( ad i m en s io n a l )

C s nd i ce d e ex p ans o ( ad i m en s io n a l )

P a r a ev i t a r co n fu so e m el ho r com un icab i l i d ad e en t r e mecn i ca d os so l os

e o u t r as c i n c i a s , j u l gamo s m ai s i n t e r e s s an t e ex p re s s a r d e f o rm a es

a t r av s m d u l os po r m , s emp r e s a l i en t an do o t i p o e p r o ced i m en t o de

o r i gem do m du lo . Po r ex emp lo , m d u l o d e e l as t i c id ad e r e f e r i nd o - s e a

m ud an a d e com p r i men t o , m d u l o d e co mp r es so r e f e r in d o - s e a mu dan a

d e v o l um e e m d u lo de c i sa lh am en t o re f e r in do -s e a m ud an a d e f o rm a .

4. FRMULAS PARA OBTENO DOS MDULOS

N a s equ nc i a l i s t am os a no m en c l a t u ra u t i l i z ad a ne s t e t r ab a lh o p e rm i t i ndo

a i d en t i f i c ao d e d i f e r en t es p a r me t ro s , s eu s i gn i f i cad o e r es p ec t iva

u n i d ad e :

a 0 = co ef . d e d e f l ex o ( m )

a 1 = co ef . d e d es l o cam en to d a cu r va d e t ens o / d e f l ex o ( m/ MP a) a 2 = co ef . d e cu rv a t u ra d a cu r v a d e t ens o / d e f l ex o ( m/ MP a )

h = e sp essu r a d a camad a s up e r i o r

k = M du lo d e su b l e i t o ( MP a /m )

r = r a i o d a p l aca ( m )

s = d e f l ex o (d e s l ocam en to v e r t i c a l ) ( m )

v = v e l oc id ad e de o nd a s sm ica ( m/ s )

E = M du lo d e e l as t i c i d ad e ( MP a)

E d y n = M du lo d i n mi co d e e l a s t i c id ade ( MP a)

E o e d = M d ul o d e e l a s t i c i d ad e av a l i ado p e lo en s a i o

o edo m t r i co ( MP a)

E s = M du lo d e e l as t i c i d ad e do s ub l e i t o o u d o cam ad a

i n fe r io r ( MP a)

E v = M du lo d e d e f l exo ( MP a)

F = Ca r ga v er t i c a l r ep e t id a ap l i c ad a d i am et r a l m en t e n o

co r po d e p ro v a ( k N )

G d y n = M du lo d i n mi co d e c i s a l h am en to ( MP a)

H = a l tu r a d o co r po da p ro v a ( m )

M R = M du lo d e r e s i l i n c i a ( MP a)

= d e fo rm ao e l s t i c a o u r es i l i en t e ( % )

1 = d e fo rm ao p r i n c i p a l ( % )

t = d e fo rm ao em fu n o d e t r a o ( % )

r = A d e fo rm ao r es i l i en t e n a d i r eo p r i nc ip a l ( % )

z = d e fo rm ao v e r t i c a l ( % )

= d en s i dad e ap ar en t e ( k g /m )

= co ef . d e Po i s s on ( ad i m. )

= t en so ap l i c ad a ( MP a)

z = t en so e f e t iv a v e r t i c a l ( MP a)

t = t r a o ( MP a)

1 = A t en s o p r i n c ipa l ( MP a)

3 = A t en s o co nf in an t e ( MP a)

4 . 1 . E

E ( 1 )

4 . 2 . E V

S egu nd o O d em ark , a p a r t i r da f r m ul a d e Bou ss ine s q , a d e f l ex o

r e s u l t an t e d a ap l i cao d e um a t en so so br e um a p l aca c i r cu l a r em um

s emi - es pao ho mo gn eo , s em i - in f i n i t o , l i n ea r e l a s t i co e i s o t r p i co , :

E

rs

)1(2 2 ( 2 )

In t e r p r e t an do o md u l o d e d e f o rm ao E com o E v , t em -s e :

s

rEv

)1(2 2 ( 3 )

A t r av s en s a io s de p l aca , an a l i s and o a s cu r v as t ens es /d e f l ex es , a

d e f l ex o s p o d e s e r a ju s t ad a a um a equ ao d e 2 . g r au , t a l q u e :

s = a 0 + a 1 + a 2 2 ( 4 )

p o dend o , os co e f i c i en t es a 0 , a 1 , a 2 , s e r em ob t i dos a t r av s de c l cu lo

m at r i c i a l d a cu rv a t ens o /d e fo r mao .

S ub s t i t u i nd o a d e f l ex o s em (3 ) com ( 4 ) , r e s u l t a :

21

0

2 )1(2

aaa

rEv ( 5 )

Lan an d o os d ad os o b t id os d o en s a io d e p l aca a p a r t i r d a o r i gem (z e ro ) ou

t r an sp on do o e i x o d os cu rv a d os d ad os ob t id os ao p on t o , a 0 = 0 , a equ ao

r e s u l t an t e :

21

2 )1(2

aa

rEv ( 6 )

4 . 3 . E O E D

z

zoedE

' ( 7 )

O m du l o E o e d po de s e r r e l a c i on ad o a E a t r av s d a segu in t e eq uao :

)21()1(

)1(

EEoed ( 8 )

4 . 4 . E D Y N , G D Y N

2

Pdyn vE ( 9 )

2

Sdyn vG ( 1 0 )

4 . 5 . M R

rRM

31 ( 1 1 )

4 . 6 . E F W D

O m d ul o d e e l a s t i c i d ad e p ar a o su b le i t o , an a l i s ad o a pa r t i r d e d e f l ex es

m ed id a s com FWD p od e , s egun do U l l id t z , s e r c a l cu l ad o a t rav s da

f rm ul a :

)(

)1( 202

xs

rEFWD

( 1 2 )

em q u e x a d i s t n c i a en t r e o c en t r o d a ca r ga e a d e f l ex o m ed i d a . A

d e t e r min ao d es t a d i s t n c i a d ep en d e d a e sp es su r a eq u i v a l en te do

p av im en t o (d a s upe r f c i e en s a i ad a a t o t o po do su b l e i t o ) . O c l cu lo d a

e s p es su r a equ i v a l en t e po d e s e r c a l cu l ad o a t r av s da m e to do lo g i a de

O d em ar k .

L D j r f , v e r i f i co u q u e a ap l i c ao d es t a f rmu l a t en d i a a s up e r es t im a r o

m od l o e , a t r av s en s a i os em t r echo s ex p e r im en t a i s com fo r a d in mi ca de

5 0 k N, p a r a d i f e r en t e s t i p os d e pav im en to s em d i fe r en t e s su b l e i t os ,

d e s en vo lv eu a s egu i n t e f rmu l a em p r i c a :

50,1

90052000

sEFWD ( 1 3 )

em qu e s = a d e f l ex o m ed i d a 9 0 0 mm d o cen t ro d a ca r ga . N es t a

f rm ul a , s dev e s e r u t i l i z ad o em m .

4 . 7 . K

sk

( 1 4 )

S egu nd o Od emar k , o v a l o r d e p a r a ens a io s em cam adas g r an u l a r es em p av im en t os d ev e se r d e ap r ox imad am ent e 1 00 kP a . P a r a o s ub l e i t o , a

t ens o p a r a 1 mm de d ef l ex o ( s ) d e t e rm in an t e . Ass im, o v a l o r d e k i gu a l a mi l v ez e s a t ens o ap l i c ad a p ar a d e f l ex o d e 1 mm . Os ens a i os de

O d em ar k f o r am r ea l i z ado s em p l a ca d e 80 0 m m d i m et r o ( A 0 , 50 m ) , co m pr eca r r egam en t o .

4 . 8 . E 0 , G 0 , MR 0

1

31

0

)(

E

( 1 5 )

4 . 9 . E 5 0 , G 5 0 , M R 5 0

1

31

50

)(

E ( 1 6 )

4 . 10 . C O R R E L A E S A T R A V S CB R

C om a c r e s cen t e ace s s ib i l i d ad e a m to d os m ecan i s t i cos , m u i to s do s qu a i s

p r e s c in d em d o m d u lo d e d e f o r m ao o u d e e l as t i c i d ad e p a r a sua

e l abo r ao , c r es ce t amb m o uso d e eq u a es d e co r r e l ao d e s t es

m d ul os com o v a lo r d e C BR . A ad o o d e s t e p r o ced i m en to d eve s e r f e i t a

co m mui to c r i t r i o v ez q ue o en s a i o d e C BR u m ens a i o de

p u nc io n am en to . C o r r e l a es , t i po "10" CBRE , "65"65,0CBRE o u

"6,17" 64,0CBRE d ev e r i am se r co ns id e r ad as apen as em cas os com p at ve i s co m o am bi en t e nos q u a i s es t as f rmul a s fo r am m od e l ad as .

U m p r o ced i men t o r ecom end v e l p a r a co r r e l ac i on a r v a lo r d e C BR a E v

s e r i a an a l i s a r a t r av s d a m od e l agem de e l em en t os f i n i t os ( FE M ) . P r o ced e -

s e a s i mul ao FEM m edi an t e a de f o r m ao da am os t r a n o ens a i o C BR , e

e s t im and o - s e o md u l o d e e l as t i c id ade ca l cu l a - s e a t en so a t u an t e . A ss im,

co mp a r an do e s t a t en s o c om a t ens o d e t e r min an t e do en s a io d o C BR, o

m d u l o d e e l a s t i c i d ad e s e r i a a ju s t ado e um a eq u ao c r i ad a ,

co r r e l ac i on and o o E v co m o C BR . Lem br amo s qu e o us o d e s t a equ ao

d ev e s e r l i mi t ad a a an t ep r o j e t os e ap rox i ma es .

4 . 11 . O B T E N O D E E A T R A V S D O R A I O D E C U R V A T U R A

P a r t i nd o d a r ep r esen t ao m a tem t i ca d e u m v i ga s imp l es , co m r a io d e

cu r v a tu r a R , m du lo d e e l a s t i c id ade E e mom ent o d e in rc i a I e s ub m et i da

ao m om en to M:

EI

M

R

1

( 1 7 )

C o r r e l ac io nand o e s t a eq uao eq uao d a l i nh a e l s t i c a

2

3

2 ))'(1(

"1

s

s

R

( 1 8 )

C on s id e r and o d e fo r ma es mui to p eq uen as ou s e j a i gu a l an do o

d eno min ado r d a equ ao( 18 ) u n id ad e , e f i n a lm en t e co mb in an do ( 17 ) e

( 1 8 ) ob t emo s (1 9 ) :

"sI

ME

( 1 9 )

D an do no vo a r r an jo a f rm ul a ( 19 ) : "sEIM . E , ap s d u a s d e r i va es s u ces s iv a s po d emos d e t e r min a r a i n t ens i d ad e d a ca r ga , o u a t ens o

d i s t r i b u d a (k Pa /m ) : )""( sEI ( 2 0 )

E s t a eq u ao d e t en s o d i s t r i b u d a a equ ao d a l i n h a e l s t i ca p a r a u ma

v i ga E u l e r - Be rn ou l l i . A ca r ac t e r s t i c a p r in c ip a l d e s t a v i ga e s t

r e l a c i on ad a com a co n s er v ao d o co mp r i men t o d a l i nh a cn t r i c a . O

ac r s c im o do comp r im en to d a face t r a c i on ada d es t a v i ga i d n t i co a

r ed u o o co r r i d a na f ace op os t a q u e so f r e com pr e ss o .

A ap l i c ao d a f r mul a ( 1 9 ) i nd i cad a p a r a v i ga . P a r a o c a so d e

p av im en t o co ns t i t u d o d e du as cam ad as , b a s e e sub l e i t o a equ ao

p e r t i n en t e :

FEr

RE s

4

3

( 2 1 )

o n de F fu n o d e h / r e E / E s (O d em ark ) .

C om o no r ma lm en t e , o p av im en t o t em m ai s d o q u e 2 camad as , e a fu n o

F s e r a i nd a m ai s co mp lex a .

5. CONCLUSES

Q u ai s m d u l os de e l a s t i c i d ad e d ev em s e r us ado s em p ro j e to s de

p av im en t ao?

H o je , n o ex i s t em n o r mas qu e im p eam qu e i nd i s c r imi n ad am ent e s e j a

u t i l i z ado q u a l qu e r u m do s m du l os d e e l as t i c id ad e l i s t ado s n es t e t r ab a lh o .

M as i s t o n o s i gn i f i c a q u e es t a p r a t i c a d ev a s e r e t e r n i z ada .

O d im ens io nam en to d e um p av im en to env o lv e m ui t o m ai s p a r m et ro s e

e s t i nv es t i do d e com pl ex id ad e mai o r qu e a ex i g id a em um p r o j e t o

e s t r u t u ra l . As s im sen do , d ev er amo s n o m n im o co n t emp l a r o p ro j e to de

p av im en t ao co m a m esm a s e r i ed ad e co m qu e s e e l ab o r a um p ro je to

e s t r u t u ra l mul t i p l i can do es f o ros e i n su mo s . Is t o i n f e l i zm en t e n o o co r re ,

t a l v ez as so c i ado ao r i s co env o l v id o . En q uan t o u m a f a lh a em um a e s t ru tu ra

p o de ge r a r co ns equ n c i as f a t a i s , um p r o b l em a em u m p av im en t o ap enas

i n f lu i no o r am en to p b l i co e i s t o n o n o t c i a . O d e s t aq u e qu e a m d ia

d c a t s t r o f es p on tu a i s c l a r am en t e d i s t i n t o d aqu e l e qu e en f o ca o l en to

a f o gam en to d a econ om ia .

S e o v o l um e d e t r f ego n o fo i co r r e t am en t e e s t i mado , s e n o se p r ev o

co n t ro l e do ex cesso d e ca r ga s , s e a d i s t r i bu i o d o t r f ego qu an t o aos

t i p os d e v e cu l o n o f o i d e t e r min ad a , s e a p r es s o d os pn eus n o

co n t ro l ad a no s en sa i os r e a l i z ado s e a in d a m a i s um s r i e d e o u t ro s d e t a lh es

i mp or t an t e s , po d em os d i z e r q u e a es co l ha d o m d u lo n eg l i gen c i v e l .

C on f i a r q ue os e r r o s a cumu l ad os , po s i t i v os e n ega t ivo s , ch egu em um

eq u i l b r i o s a t i s f a t r i o , n o co nv m a en gen h a r i a .

V im os qu e a f o rm ul ao d e E , M R , ou qu a l ou t r a r e l a o en t re

t ens o /d e fo r mao p a r a so lo s e m at e r i a i s g r an u l a r e s co ns i d e rando

co mp or t am en to hom o gn eo e l i n ea r u m p r o ced i m en t o q u e co n t r i bu i a m

i n t e rp r e t ao d as l e i s d a n a tu r ez a e qu e a m an e i r a m at em at i cam en te m ai s

co r r e t a d e r e l a c i on a r t ens o /d e f o r mao pa r a m at e r i a i s n o l i n ea r es

a t r av s d e um a equao n o l i n ea r .

C om o s o l os e pav i men t os t em com po r t am en t o n o l i nea r , r e com en d a -se

q u e o m d u l o d e e l as t i c i d ad e s e j a fo r mul ado m ed ian t e eq u ao d e 2 .

gr au , qu e n a ma io r i a d o s cas os s e a j us t a ao de s en vo lv i m en to d e um a cu r va

t ens o /d e fo r mao .

E , f i n a lm en t e ap re s en t am os c omo su ges t o a eq u ao d o m d u l o q ue

a t end e t a i s co nd ies :

2

210

aaa

nEv

o n de ,

rn )1(2 2

cu jo v a l o r v a r i a d e n=1 , 5 r p a ra so lo s co es i vo s a t 1 ,8 r p a r a so l os

g r an u l a r es . O u r esp ec t iv amen t e , de n = 0 , 2 25 a t 0 , 27 0 c o m a ap l i c ao

d a p l aca p ad ro d e r a i o i gu a l 15 0 mm , qu e a s s umi nd o : a 0 = 0 e n = 0 , 25

( v a l o r md i o ) ;

)(4

1

21

aaEv

6. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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