OS TERMOS NÃO LINEARES DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO

ORIGEM DOS TERMOS

A equação do movimento da coordenada x é:

..... maré F. atrito F..cos2.2

wvsenx

P

dt

du

Por agora vamos esquecer as forças de maré. Com base em evidências

experimentais verifica-se que para escoamentos não turbulentos, as forças de

atrito estão relacionadas com derivadas espaciais da velocidade (hipótese

colocada por Newton e verificada), por exemplo, 2

2

y

u

, multiplicado pelo

coeficiente de viscosidade, que é uma propriedade do fluido. O termo de atrito

na equação acima pode tomar a forma:

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u , onde é o

coeficiente da viscosidade cinemática, (S,T,P). Um valor típico de para a

água é 10 –6 m 2/s.

A obtenção dos termos de atrito por esta forma foi feita por Navier e

Stokes e a equação do movimento incluindo estes termos são chamadas as

equações de “Navier - Stokes”. Representam uma parte importante da

mecânica dos fluidos.

- Outra não linearidade aparece através do termo dt

du!!!

Consideremos um caso geral. Seja a propriedade A, que varia com a

posição (x, y, z) e com o tempo (t), ou seja: A = A (x, y, z, t). Então a derivada

“total” de A, dt

dA, escreve-se:

z

Aw

y

Av

x

Au

t

A

dt

dA

Fisicamente, isto quer dizer que a propriedade A varia com o tempo

t

Ana posição (x, y, z) e também varia conforme o fluido se move desse

ponto para outro ponto zz ; yy ; xx . O termo

t

Aé chamado

derivada “local” e os outros são os termos “advectivos”, porque estão

relacionados como as componentes do escoamento, u, v e w (advecção).

Consideremos um estado estacionário do escoamento: o valor de A não

varia com o tempo em todos os pontos do domínio (escoamento).

Matematicamente temos que 0z

A

. No entanto, A pode variar com a

posição. Assim, o fluido que se move através do campo de velocidades vai

sofrer variações da sua propriedade A e portanto 0dt

dA , a menos que o valor

de A seja o mesmo em todo o escoamento.

t

A

é a derivada Euleriana: descreve-nos o comportamento da

propriedade A do fluido em cada instante em diferentes pontos.

dt

dA é a derivada Lagrangeana: descreve-nos o comportamento da

propriedade A do fluido à medida que vai percorrendo a trajectória.

Na representação Lagrangeana estamos a representar “linhas de

corrente”, que são tangentes aos vectores velocidade da representação

Euleriana.

Na equação do movimento que escrevemos, os termos no 2º membro

estão escritos na forma Euleriana, mas o 1º membro está escrito na forma

Lagrangeana. É mais fácil passar o 1º membro a Euleriano, que o 2º membro a

Lagrangeano (o que também se pode fazer, mas não é tão cómodo!). Podemos

escrever:

movimento ao devido advectiva variação de taxas

localvariação

da taxa

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

du

Os termos advectivos são “não-lineares”, porque as suas velocidades

ocorrem “ao quadrado” (por exemplo: x

u

2

1

x

uu

2

) ou produtos entre

diferentes componentes da velocidade e suas derivadas (por exemplo: y

uv

).

Por causa destes termos não lineares, uma pequena perturbação pode

crescer e tornar-se uma grande flutuação. Estes termos podem causar

instabilidade e serem responsáveis pela presença de turbulência, que ocorre

sempre que estes termos são suficientemente grandes quando comparados

com os termos de atrito, os quais tendem a fazer diminuir as diferenças

espaciais de velocidade.

NÚMERO DE REYNOLDS

Para analisar se os termos não lineares advectivos são grandes ou não,

analisamos a razão:

atrito) de termo o sobre linear não (termo x

u

x

uu

2

2

Se considerarmos que quer u quer u são da ordem de U (velocidade

típica no oceano) e x da ordem de L (distância típica em que a velocidade

varia de U), esta razão é do ordem de:

UL

L

U

L

U2

2

que é chamado “número de Reynolds” (Re) para o escoamento de um fluido.

Mede a razão entre os termos não lineares e os termos de atrito.

Este processo de “filtragem” das equações é muito utilizado em

mecânica de fluidos porque não conseguimos resolver as equações completas.

Podemos assim descobrir que podemos desprezar alguns termos, facilitando a

solução.

O Número de Reynolds (Re) não tem dimensões. O valor de Re dá-nos a

indicação se o escoamento é turbulento ou laminar. Um escoamento não

deverá ser turbulento enquanto Re < 1. Dai para cima, depende da geometria

do escoamento e da estabilidade inicial. Re > 105 ou 106, indica escoamento

turbulento, embora dependendo da geometria. Os termos não lineares são

maiores que os termos de atrito.

Utilizando a Corrente do Golfo como exemplo:

U 1 m.s-1 ; L 100 Km = 10 5 m ; 10 –6 m 2 /s

logo Re 1011 , logo a corrente do Golfo deve ser turbulenta.

Deste exemplo verificamos que os efeitos não lineares são muito fortes

comparados com o atrito. De facto podemos ignorar o atrito no oceano aberto.

Ele só se torna importante muito perto de fronteiras sólidas ou como uma forma

de remover energia de um escoamento turbulento em escalas pequenas,

impedindo que elas cresçam infinitamente. Isto é, o atrito só é importante para

pequenos valores de Re que ocorrem com valores baixos de U e/ou L.

Nota: apesar do atrito molecular poder ser desprezado em muitas

situações de dinâmica do oceano, devemos ter em conta a existência de forças

que se opõem ao movimento e que originam a redistribuirão da energia e

outras funções de estado dos fluidos em escoamento.

Quando o movimento é turbulento, isto é, nele ocorrem flutuações

rápidas que se adicionam ao movimento médio, então os termos não lineares

originam termos na equação do movimento que têm as características dos

termos de atrito, com veremos mais à frente (originam também termos

similares nas equações de conservação de calor e sal). São chamadas

“Tensões de Reynolds” (Reynolds Stresses) que aparecem nas equações do

movimento médio de um fluido em escoamento turbulento.

AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO MÉDIO

Devido à natureza do escoamento turbulento não parece sensato

resolver as velocidades associadas a este escoamento. Procuremos antes

equações para o movimento médio. A média será tomada no tempo, durante

um período apropriado ao fenómeno que pretendemos estudar (alguns minutos

a vários meses...). Seguindo Reynolds que sugeriu esta aproximação, as

variáveis, u, v, w e são divididas numa parte média e numa flutuação, ou

seja: 'uuu , onde u é a média e 'u é a flutuação em torno da média. Por

definição 0'u . Apliquemos então esta aproximação às equações do

movimento (equações de Navier – Stokes).

Atenção: equação do movimento como:

Atrito.FCoriolis.Fx

P

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

A média de t

u

será:

T

)0(u)T(udt

t

u

T

1

t

u T

0

onde T é o período sobre o qual é feito a média. Quanto maior for o período T,

mais negligível é este termo.

Consideremos o gradiente da pressão. Virá:

Em geral, qualquer termo que contenha

uma única flutuação é nulo quando se acha a

média. O termo x

'P'

não desaparece porque

' e P’ não são independentes.

Regra: 'B'ABAAB este termo só é nulo se A e B não forem

correlacionaveis (E(xy)=E(x)E(y)-cov(x,y)).

Contudo, as variações de no oceano são muito pequenas comparadas

com e por isso x

'P'

é negligível quando comparado com x

P

x

P de grandeza da ordem da é

x

P.

Consideremos o termo de Coriolis:

)'vv(sen2)'vv(sen2 , pois a média de uma soma é igual à

soma das médias e sen2 é constante. Mas 'v = 0, logo o termo fica:

vsen2 . O outro termo de Coriolis será, por semelhança: wcos2 ,

quando achamos a média (em geral até é desprezado porque w é muito

pequeno).

O termo de atrito virá:

A diferença em cada instante entre a linha observada da grandeza A e a

linha Aé a flutuação A’.

x

P

x

P

x

P

x

P

x

PP

porque

porque

x

P

'''

'''

0'0

0P'

0'

2

2

2

2

2

2

2

2

x

u

x

'u

x

u

x

)'uu(

porque 'u =0 e será idêntico para os outros termos.

Consideremos agora os termos advectivos:

z

uuww

y

uuvv

x

uuuu

)'(

')'(

')'(

'

Quando achamos a média deste termo temos:

z

'u'w

y

'u'v

x

'u'u

z

uw

y

uv

x

uu

Os termos que continham apenas uma flutuação são nulos, mas os

termos com duas flutuações não, como já vimos atrás. Os primeiros três

termos, combinados com t

u

, podem ser escritos como dt

ud, a derivada total do

movimento médio. Reparemos que se juntarmos todos estes termos, temos:

z

'u'w

y

'u'v

x

'u'u

z

'u

y

'u

x

uwcos2vsen2

x

P

dt

ud2

2

2

2

2

2

Ou seja, a equação de Reynolds para u é idêntica à equação do

movimento para as quantidades totais, substituindo estas por quantidades

médias e mais três novos termos que envolvem as flutuações da velocidade.

Estes novos termos devem representar o efeito das flutuações da velocidade

(ou seja, da turbulência) no movimento médio. Notemos que estes termos têm

origem nos termos não lineares da equação de Navier-Stokes. A natureza não

linear das equações e a possível existência de turbulência e os seus efeitos de

atrito no movimento médio não são independentes. Quando especificamos os

termos de atrito, temos também que especificar os termos de turbulência, pois

ai também está “contido” atrito!

Mas neste momento complicámos as coisas!!! Com a aproximação “à

Reynolds” mostrámos como os termos não lineares originam turbulência no

movimento médio. Inclusive obtivemos expressões para esses termos em

função das flutuações da velocidade. Mas acabámos de acrescentar mais três

incógnitas às nossas equações (u’, v’ e w’).

Bom, podemos tentar observar estas grandezas. Na verdade isto é

possível experimentalmente mas com grande grau de dificuldade.

O “fecho” das equações, contendo o atrito e os termos advectivos,

continuam a ser um problema no estudo da turbulência! Há sempre mais

incógnitas que equações!

Há agora que utilizar conhecimentos obtidos através da observação e

intuição física para encontrar uma forma para “fechar” o problema.

A seguir vamos tentar um esquema de fecho, simples, através de

analogia com os efeitos do atrito molecular.

TENSÕES DE ÕES DE REYNOLDS E VISCOSIDADE TURBULENTA

(EDDY VISCOSITY)

Vamos introduzir os conceitos de “eddy viscosity” ou “turbulent viscosity”

por analogia com o atrito molecular, mas de magnitude muito maior que este.

Notemos que, em princípio, no movimento médio, ou seja, no movimento

descrito “à Reynolds”, os termos não lineares não devem ser dominantes. Se

conseguirmos mostrar utilizando a analogia com o atrito molecular, que o atrito

turbulento ou “eddy viscosity” tem poucos efeitos, talvez consigamos “resolver”

as equações ignorando o atrito e mesmo assim poder esperar resultados

realistas.

Em princípio, quando um escoamento entra em turbulência, as

derivadas espaciais do movimento médio sofrem uma redução porque o

movimento linear é homogeneizado. Assim as equações do movimento médio

deverão apenas ser “ligeiramente” não lineares.

Se conseguirmos, por esta forma, “fechar” as equações podemos

esperar resolver as equações por métodos numéricos, recorrendo a um

computador, embora a solução analítica não seja única e seja difícil de

conseguir. Consideremos a equação da continuidade para um fluido

incompressível:

0z

w

y

v

x

u

Ou seja 0V. ou 0Vdiv .

Decompondo em escoamento médio + flutuação:

0

z

'ww

y

'vv

x

'uu

0z

'w

y

'v

x

'u : logo , 0

z

w

y

v

x

u :Como

, ou seja, 0V'. . Logo,

quer a velocidade total, quer a velocidade média, quer a velocidade perturbada,

satisfaz a equação da continuidade.

Se adicionarmos V. u' aos termos turbulentos da equação de

Reynolds, o seu valor não se altera, apenas altera a forma matemática porque

0V. u' .

Para a componente em x, por exemplo, temos:

w'u'z

v'u'y

u'u'xz

w'yv'

xu'

u'zu'

w'yu'

v'xu'

u'

0

e a equação de Reynolds para a componente x da velocidade, u , vem:

w'u'z

v'u'y

u'u'xz

uyu

xu

wΦcos2 -vsenΦdxP

αdtud

2

2

2

2

2

2

ν2

O termo

2

2

x

upode ser escrito como

x

u

x. Notemos que

x

u

é

a tensão (força por unidade de área) segundo x devido ao atrito molecular e à

existência do gradiente x

u

.

área de unidade por força uma é que ms

Kg.m

sm

m

s

m

m

Kg

x

uρ 22

2

3ν

Notemos que -u’u’ também é uma tensão e que pode ser identificada

como tensão devida à turbulência. As derivadas espaciais destas tensões

produzem forças num elemento de volume de um fluido

volume de unidade por força é 'u'ux

.

Os mecanismos das tensões devido ao atrito molecular e devido à

turbulência são similares, pois ambos proporcionam a troca de momento linear

entre partes do fluido, embora as escalas sejam muito diferentes: os

deslocamentos e as massas envolvidas são muito maiores nas tensões

turbulentas.

As tensões como -u’u’; -u’v’; -u’w’ ou os termos idênticos para os

outros componentes (-v’u’; -v’v’; -v’w’ para a componente em y e -w’u’; -

w’v’; -w’w’ para a componente em z) são as chamadas tensões de Reynolds

(Reynolds stresses).

Por analogia com o atrito molecular, podemos admitir que estas tensões

estão relacionadas com os gradientes da velocidade média por uma espécie de

viscosidade: a “eddy viscosity” ou viscosidade turbulenta. Assim (por exemplo):

zu

Aw'u' ;yu

Av'u' ;xu

Au'u' zyx

Os coeficientes Ax, Ay e Az são as “eddy viscosity” ou viscosidades

turbulentas (cinemáticas se multiplicados por teremos os coeficientes

dinâmicos, como veremos).

Ao contrário do atrito molecular, aqui usamos diferentes valores da

“eddy viscosity” para cada direcção, uma vez que devem ser diferentes, em

particular entre as direcções horizontais e a vertical, por causa da estabilidade

estática.

Reparemos que as tensões de Reynolds não são simétricas:

x

vA'u'v e

y

uA'v'u xy

não são necessariamente iguais. Mas isto é outro problema que deixamos para

o futuro.....

zw

Aw'w' ;yw

Av'w' ;xw

Au'w'w

zv

Aw'v' ;yv

Av'v' ;xv

Au'v'v

:w e v em equação a para

zyx

zyx

Então, um termo como:

x

uA

x virá 'u'u

x x . É comum colocar Ax

fora da derivada baseado no argumento que x

u

x

A x

é mesmo importante... e

por analogia com o atrito molecular. Além do mais desprezar a variação

espacial dos A’s em relação a outros termos é uma aproximação tão válida

como outras que já fizemos. Por isso não há razão para não a fazer.

Assim, os termos de atrito turbulento na direcção x, virão:

2

2

z2

2

y2

2

xz

uA

y

uA

x

uA

Os A’s têm unidades m2/s, por analogia com a viscosidade molecular.

Reparemos que estes termos têm dimensões de força por unidade de

massa, ou seja, aceleração (m/s2). Temos que multiplicar por os A’s para

termos força por unidade de volume, tal como consta das equações de

Reynolds. Temos neste caso a viscosidade turbulenta dinâmica e não a

cinemática.

Os coeficientes da viscosidade turbulenta são estranhos!!! Ao contrário

da viscosidade molecular, não são constantes para um dado fluido,

temperatura, salinidade e pressão, mas variam de local para local e de instante

para instante e com o tipo de movimento. Os A’s são propriedade do

escoamento e não propriedade do fluido! Os seus valores chegam a atingir 1011

vezes o valor da viscosidade molecular! Muitas tentativas têm sido feitas para

expressar os A’s como função da velocidade média, sua derivadas, etc... mas

não têm obtido resultados aplicáveis!

A representação da turbulência através dos “eddy viscosity” é possível

até que percebamos esta característica do escoamento de fluido

suficientemente bem para o podermos representar de forma mais exacta e,

certamente, mais correcta.

De qualquer forma, a aproximação através dos “eddy viscosity” dá bons

resultados em alguns casos: o escoamento do oceano junto ao fundo costuma

ser tratado através desta forma.

Introduzindo os “eddy viscosity” e incluindo neles a viscosidade

molecular, as equações do movimento para a componente x e y vêm:

2

2

z2

2

y2

2

x z

uA

y

uA

x

uAwcos2vsen2

x

P

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

du

2

2

z2

2

y2

2

xz

vA

y

vA

x

vAusen2

y

P

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

dt

dv

e para componente vertical:

2

2

z2

2

y2

2

x z

wA

y

wA

x

wAgucos2

z

P

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

dt

dw

onde u, v, w, e são quantidades medias. Assumimos que o que

representamos são quantidades medias e por isso omitimos a “barra”.

MAGNITUDE DOS TERMOS DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO:

NÚMERO DE ROSSBY E DE EKNAM

Já tinhamos feito a filtragem das equações do movimento na disciplina

de Oceanografia Física. Na altura tínhamos apenas dito que os termos

relacionados com o atrito eram pequenos comparados com outros termos das

equações. Vejamos melhor agora a sua magnitude: os valores estimados para

Ax e Ay variam entre 10 e 10 5 m2/s. Para Az as estimativas vão de 10-5 a 10 –1

m2/s. Verificamos por estas estimativas que as “eddy viscosity” variam muito.

Isto deve-se ao facto da “eddy viscosity” ser uma propriedade do escoamento e

não do fluido e também à forma como os A’s são obtidos. Podemos estimar

este termo como termo residual das equações do movimento. Podemos ajustar

o termo tão bem quanto possível a observações realizadas.

Uma aproximação simples e possivelmente correcto, pelo menos num

factor de 100, é considerar os termos não lineares da mesma ordem de

magnitude da viscosidade turbulenta, tal como já tínhamos dito antes.

Assim uma vez que os termos não lineares tem dimensões:

exemplo por , dx

duu temos

L

U2

, temos: 2z2y2x

2

L

UA

L

UA

L

UA

L

U Logo:

x2

2

zyx AL

HA e ULAA . Com x

6z

3 A10A vem 10L

H . O facto de

Az<<Ax ou Ay deve-se à estabilidade estática causada pela estratificação inibir a

turbulência vertical e forçar o escoamento a ser quase horizontal (ou seja, a

mesma razão porque W<<U e que provoca circulações onde H<<L).

Notemos que Ax (ou Ay) = UL é equivalente a dizer que o número de

Reynolds (termos não lineares sobre termos de atrito) baseado na viscosidade

turbulenta é da ordem de 1. Com U = 0.1 m/s (10 –1 m/s) e L = 10 6 m temos Ax

e Ay = 10 5 m2/s, o limite superior de estimativa destes valores. Só devem

ocorrer valores mais baixos que estes porque a circulação associada à

turbulência são de menor escala (quer L quer U) ou têm um número de

Reynolds baseado no “eddy viscosity” maior que 1.

Verifiquemos as magnitudes dos termos não lineares:

8

3

148

6

11 10

10

1010

dz

duwu ; 10

10

1010

dx

duu

e por ai fora… Verificamos que são pequenos quando comparados com outros

termos, por exemplo, a Força de Coriolis.

Verifiquemos as magnitudes dos termos de “eddy viscosity”:

Por exemplo:

u em s,horizontai equações das termos

101010

10zu

A

101010

10xu

A

wem vertical, equação da termos

101010

10zw

A

101010

10xw

A

86

11

2

2

z

812

15

2

2

x

116

41

2

2

z

1112

45

2

2

x

(estamos a utilizar as maiores estimativas para os A’s!)

Verificamos assim que para escoamentos de larga escala no oceano

interior, quer os termos não lineares quer os termos de viscosidade turbulenta,

são muito pequenos quando comparados, por exemplo, com os termos do

gradiente de Pressão e de Coriolis. Mas atenção! Noutras regiões podem ser (e

são...) importantes!

Para classificar o escoamento noutras regiões é útil considerar as

razões entre os termos não lineares e o termo de Coriolis e entre os termos de

atrito e o termo de Coriolis: (números adimensionais)

0

2

RfL

U

fU

1

L

U

Coriolis de termo

linear não termo ,

que é chamado Número de Rossby (R0).

z2z

y2

yx2

x2x E

fH

A ou E

fL

A ou E

fL

A

fU

1

L

UA

Coriolis de termo

atrito de termo

que são os chamados Números de Ekman.

No oceano interior Ex Ey, é por vezes chamado EH.

No oceano interior R0 ≤ 10 –3 e Ez EH ≤ 10 –3. Noutras regiões estes

números são maiores, mas o seu limite superior é 1 para circulação de larga

escala (ou seja, os termos não lineares e de atrito nunca são superiores ao

termo de Coriolis, para circulação de larga escala).

ESTABILIDADE DINÂMICA; NÚMERO DE RICHARDSON

O que é que determina que o escoamento se torne instável e evolua

para movimentos de pequena escala cujos efeitos de atrito são muito maiores

que os efeitos do atrito molecular? (os efeitos do atrito turbulento são cerca de

107 a 1011 vezes maiores que os do atrito molecular nas componentes

horizontais e 10 a 105 vezes maiores na componente vertical).

Consideremos um fluido com estabilidade estática neutra: não há efeito

de “flutuação” (buoyancy) porque qualquer parcela de água que seja deslocada

tem a mesma densidade do que as águas vizinhas. Isto corresponde a dizer

que a salinidade e temperatura potencial são constantes no domínio

considerado, ou que, por exemplo, a salinidade é uniforme mas a temperatura

e a densidade aumentam em profundidade o que será um exemplo realista.

Neste caso simples será o Número de Reynolds que determina a

estabilidade dinâmica (Re = termos não lineares / atrito molecular). Se Re > 10 6

é provável o escoamento ser turbulento. Suponhamos U = 0.01 m/s (1 cm/s),

uma velocidade será relativamente baixa. Se tomarmos μ = 10 –6 m2/s, a

distância característica para que Re = 10 6 é L = 100 m.

Uma vez que a escala de distância nos oceanos é bem maior, tudo leva

a crer que o regime turbulento deve acontecer por todo o lado (Re = U.L / μ).

Contudo não é isso que se verifica, logo um Número de Reynolds elevado não

é suficiente para fazer a turbulência crescer, ainda que a possa gerar!

Para que a turbulência cresça, ou seja, para que as perturbações na

velocidade cresçam, é necessário que exista uma fonte de energia! E não

haverá fontes de energia se não houver gradientes no escoamento!

Se o campo da velocidade for muito uniforme, não há fonte de energia

para “fazer crescer” as perturbações e o atrito molecular (viscosidade

molecular) acaba por “alisar” as perturbações.

Claro está que junto às fronteiras sólidas, onde a velocidade é nula, há

gradientes de velocidade e por isso é muito provável que a turbulência ocorra

de preferencia junto às fronteiras.

Outra hipótese que inibe a turbulência, assumindo que o número de Reynolds

seja grande (10 7 ou maior) é um tipo de escoamento tal que os termos não

lineares sejam pequenos e, por isso, a “passagem” para a turbulência não

ocorre.

Variações da densidade aumentam ou diminuem, por exemplo, a

velocidade vertical. A estabilidade estática mede isso: se for positiva implica

estabilidade, logo w diminui; se for negativa implica instabilidade, logo w

aumenta. A turbulência tende a misturar o fluido, logo, a diminuir a variação

vertical da densidade. Ao fazer isto faz subir fluido “mais pesado” e descer

fluido “mais leve”. Logo, o centro de gravidade da parcela de fluido sobe, logo a

energia potencial gravitica aumenta (trabalho realizado contra a força de

gravidade). Este aumento da energia potencial vem da energia cinética da

turbulência (energia cinética das perturbações), que por sua vez vem da

energia cinética do escoamento médio.

. O fluido turbulento também perde alguma energia para energia interna,

através da viscosidade molecular. Se a taxa de perda de energia turbulenta é

maior que o ganho, a turbulência morre! Também, se a estabilidade estática for

grande, a turbulência envolvendo a coordenada vertical não será possível.

Como podemos estabelecer um critério para avaliar a importância

relativa da estabilidade estática e a tendência para a instabilidade dada pelos

termos não lineares?

Para isto construiu-se um outro número adimensional, o Número de

Richardson:

2

2

i

z

u

NR

Onde N é a frequência de Brunt-Väisälä

z

σ

ρ

1-E com gE,N t2 , que

é uma medida da estabilidade estática, como já vimos. Usa-se 2

z

u

em vez

de z

u

porque a turbulência não depende do sinal de z

u

, mas sim da sua

existência e da sua magnitude. Com o quadrado tiramos o efeito do sinal.

Se Ri < 0, as variações de densidade amplificam a turbulência. Se Ri > 0

tendem a reduzi-la. Se apenas ocorre variação vertical da velocidade

horizontal, Ri torna-se bastante grande e a turbulência não é possível: o efeito

estabilizador da distribuição da densidade ultrapassa a instabilidade potencial

devido aos termos não lineares.

O valor “critico” exacto de Ri é determinado experimentalmente para

cada escoamento. No entanto, com Ri > ¼ é muito difícil gerar turbulência.

Notemos que, em todas as equações que temos usado, o efeito das

variações de densidade, em particular na vertical, é indirecto: actua sobre a

turbulência modificando a “eddy viscosity”, mas não actua directamente no

escoamento médio.

De facto, não há derivadas de ρ (ou σt ou α) nas equações de Reynolds,

e desprezamos os termos que continham α’

x

'' exemplo, por quando

deduzimos as equações de Reynolds!

A razão disto é que as variações da densidade são pequenas, quer as

variações dos valores médios quer as flutuações.

Esta aproximação é aquilo que se chama “aproximação de Boussinesq”.

Ou seja: se as variações da densidade são pequenas, numa primeira

aproximação podemos desprezar o seu efeito na “massa” do fluido, mas

manter o seu efeito no “peso”. Ou seja ainda: temos que manter o efeito das

variações de densidade na “flutualidade” (buoyancy), através da estabilidade

estática, por exemplo, mas podemos despreza-los nas acelerações laterais

geradas por forças devidas a variações laterais de densidade (ou seja ainda:

temos que considerar as variações de densidade quando estão associadas a

“g” peso!).

Assim, nas equações do movimento horizontal podemos usar uma

densidade média da região considerada, mas na equação em z temos de usar

os valores verdadeiros da densidade! (porque ela reduz-se à equação da

equação hidrostática).

CORRENTES COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO

A circulação no Atlântico Norte é no sentido dos ponteiros do relógio

(Ciclónico) e no Atlântico Sul é no sentido contrario (Anticiclónico). Este facto é

conhecido desde o tempo dos descobrimentos! Até que ponto esta circulação

pode ser atribuída ao vento? Até finais do século XIX era assim que se

pensava.

A transferência de momento do vento para a água do oceano é um

processo muito lento, caso não ocorra turbulência. Ou seja, se o escoamento

induzido pelo vento for considerado laminar, utilizando então o coeficiente de

viscosidade molecular, verifica-se que modificações na circulação na camada

superior do oceano (tipicamente dezenas de metros) induzidas pela acção do

vento demoram meses!!!

No entanto o que se observa é que estas modificações ocorrem em

horas ou poucos dias e não meses! Isto deve-se ao facto de o escoamento no

oceano ser quase sempre turbulento e, neste tipo de escoamento, a

transferência vertical de momento e energia ocorre a uma taxa na ordem de

centenas ou milhares de vezes superiores à transferência que ocorre através

da viscosidade molecular. Nos escoamentos turbulentos temos que utilizar a

viscosidade turbulenta, ou seja o “eddy viscosity” que já tínhamos visto ser

muito (muitíssimo!!!) superior à viscosidade turbulenta.

Quer os efeitos causados pelo vento quer as variações de densidade

lateral do oceano são muito importantes para definir a circulação oceânica. O

vento é muito importante nos 1000 m superiores.

No final do século XIX (1898) Nansen verificou que os icebergs no

Árctico derivam não na direcção do vento, mas sim para a direita da direcção

do vento à superfície. Porque seria? Solução de Nansen:

Ft

FC

FC

inicial

VENTO

cubo de água do oceano

Fb

força tangencial induzida pelo vento

V0

direcção do movimento no estado estacionário

força de Coriolis que aparece mal o cubo entra em movimento (estado inicial)

força de Coriolis depois de atingido o estado estacionário

força de atrito entre as faces submersas do cubo e a água do oceano

Fgrad.P FCoriolis

Fatrito

O cubo começa por acelerar na direcção do vento, mas assim que entra em

movimento roda para a direita por acção da Força de Coriolis. O estado

estacionário é atingido quando bCt F e F,F

entram em balanço e nessa altura a

velocidade 0V

é constante (estado estacionário) e para a direita da direcção do

vento.

A determinação da direcção exacta do movimento relativamente ao

vento, seria feita mais tarde (entre 1905 e 1932) por Ekman, com base em

argumentos quantitativos, ao contrário de Nansen que utilizou apenas

argumentos qualitativos. Ekman teve de recorrer à matemática! ( Nansen era

biólogo... )

AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO COM ATRITO INCLUÍDO

Se pegarmos nas equações do movimento para o equilíbrio geostrófico

e incluirmos o atrito, temos:

Fyy

Pu.f

dt

dv

Fxx

Pv.f

dt

du

onde Fx e Fy são as componentes do atrito por unidade de massa. No estado

estacionário:

0y

PFyu.f

0x

PFxv.f

(Coriolis + atrito + Grad P = 0)

ou vectorialmente: a resultante é nula!

Assim, caso haja atrito, o Gradiente de Pressão e a Força de Coriolis já

não são directamente opostas! O movimento será “ageostrófico”.

Temos pois que encontrar soluções para estas equações (tal como já

tínhamos feito para o caso do equilíbrio geostrófico). Foi isso que Ekman fez!

A primeira coisa a fazer será escrever expressões para os termos Fx e

Fy. Vejamos os argumentos qualitativos: se duas partes de um fluído se

moverem relativamente uma à outra, deve ocorrer atrito. Estas duas partes

podem mover-se em direcções opostas ou na mesma direcção com

velocidades diferentes.

Neste caso ocorre “shear” na velocidade. A quantificação do “shear” faz-

se: z

uzz/uu 3434

ou no limite

z

u

.

Para um fluído Newtoniano, classe a que pertence a água do oceano, a

tensão de atrito, , definida como uma força por unidade de área paralela ao

escoamento, é dada por:

z

u

z

u

conforme utilizemos o coeficiente dinâmico de viscosidade molecular

( 113 s.m.Kg10 ) ou o coeficiente cinemático de viscosidade molecular

( 126 s.m10 ).

A utilização do coeficiente dinâmico de viscosidade vai fazer com que as

forças de atrito venham em Força / Unidade de volume. O coeficiente de

viscosidade cinemático faz as forças virem em Força / Unidade de massa, que

tem sido o que temos utilizado nas equações de Navier-Stokes já escritas.

Estes são os valores “moleculares” que se usam nos escoamentos

laminares, ou seja, escoamentos suaves, de pequeno diâmetro, com baixos

números de Reynolds ( 310 ). No entanto, no oceano o movimento é em

geral turbulento e o valor efectivo da viscosidade cinemática é a “eddy

viscosity” cinemática, que já vimos, e que são Ax, Ay e Az, com Ax e Ay com

valores até 125 sm10 para o “shear” horizontal (por exemplo, ...etc;x

v;

y

u;

x

u

)

e Az com valores até 121 sm10 para o “shear” vertical (por exemplo, z

vou

z

u

).

As tensões de atrito turbulento (eddy friction stress, também chamado

em português “tensões de corte”) escrevem-se portanto, por exemplo:

z

uA zxz

ou

y

uA yxy

e expressam a força que uma camada de fluído faz numa área da camada

vizinha, acima ou abaixo. Para substituir na equação do movimento

necessitamos dessa força mas feita na massa do fluído vizinho:

Na figura acima há “shear” segundo z. A força que actua no cubo é:

12 na direcção x.

Como zz12

, logo: Vz

szz

s12

, onde V é o

volume do cubo. No limite s e z 0, logo V 0.

Portanto, z

representa uma força por unidade de volume. Para ser por

unidade de massa, virá:

z

uρA

zα

zα

zρ

1z

ττ

utilizamos Az porque estamos a tratar “shear” vertical. No entanto, isto é válido

para o “shear” em qualquer direcção.

Se assumirmos que Az não varia com a profundidade:

perfil da velocidade:

Força de atrito turbulento por unidade de massa 2

2

zz

uA

(Sabemos tão pouco sobre Az, que limitar a nossa análise ao caso de Az igual a

uma constante em profundidade não será grande erro!!!)

Verifiquemos que já tínhamos obtido esta expressão quando estudámos

as “eddy viscosities” e tínhamos feito a decomposição “à Reynolds”: uma parte

média mais uma parte perturbada.

Também assumimos que uma variação de ρ com a profundidade é

pequena comparado com z

uA z

! É uma aproximação consistente com a

aproximação de Boussinesq.

Então os termos Fx e Fy podem ser escritos:

2

2

zy

y

2

2

zx

x

z

vA

zF

z

uA

zF

e as equações do movimento horizontal:

y

P

z

vAfu

x

P

z

uAfv

2

2

z

2

2

z

A equação em z reduz-se ao equilíbrio hidrostático.

Tínhamos visto que estes termos de atrito eram desprezáveis no oceano

interior. Para que estes termos sejam significativos, eles têm que ter uma

magnitude aproximada, por exemplo, ao termo de Coriolis, ou seja:

UfH

UA

2z

Por exemplo, com s/m10A 21z

e 14 s10f , temos

m 30Hm1010

10

f

AH 23

4

1z2

; com m100H o termo de atrito será ainda

10% do termo de Coriolis. Estamos, pois, à espera de ter que entrar em linha

de conta com os termos de atrito dentro destas distâncias, quer do fundo quer

da superfície. Isto corresponde a dizer que, dentro destas distâncias da

superfície ou do fundo, o número de Ekman vertical

2z

zfH

AE deve ser da

ordem da unidade.

A SOLUÇÃO DE EKMAN

A dificuldade com estas equações é que ficamos com duas causas para

o movimento: a distribuição da massa (ou seja, a densidade) que dá origem ao

termo do Gradiente de Pressão e o termo do Atrito, que na solução de Ekman é

o atrito do vento.

Podemos separar estas duas acções forçadoras e resolver

separadamente a influência do vento e a influência do gradiente de pressão e

depois juntá-las. Esta separação só é possível se assumirmos que as

expressões são lineares. Se os efeitos não lineares se tornarem importantes

esta separação já não pode ser feita (tivemos um exemplo disso quando

fizemos a decomposição “à Reynolds”, em que, ao achar medias de

perturbações não pudemos considerar nulos os termos que continham o

produto de duas perturbações não independentes!).

Mas enfim, são lineares!!!! Uff!!!!

Então podemos fazer:

2

2

zEgz

uA

x

Pvvffv

onde: x

Pfv g

gv é a velocidade geostrófica e

2

2

zEz

uAfv

Ev é a

velocidade de Ekman, associada ao “shear” vertical.

A solução de Ekman é para Ev apenas, ou seja, admitiu 0v g , ou seja,

admitir a não existência de declive da superfície livre do oceano.

Para facilitar o problema, Ekman admitiu ainda:

- não existência de fronteiras no oceano;

- um oceano de profundidade infinita (para evitar o atrito no fundo, ou seja,

limitou-se a estudar o efeito da tensão do vento);

- Az constante em profundidade;

- um vento estacionário soprando durante um período longo;

- 0x

P

e 0y

P

, ou seja, condições barotrópicas.

As equações de Ekman são, então:

0z

vAfu

0z

uAfv

2

2

z

2

2

z

ou seja, Coriolis + Atrito = 0

E agora a matemática (um passe de mágica!) !!!

Se o vento soprar segundo a direcção y (não esquecer), mostra-se que

a solução para as equações de Ekman são:

zD

π

E0

zD

π

E0

E

E

e.zD

π

4

πsenvv

e.zD

π

4

πcosvu

(sinal + para o Hemisfério Norte, sinal – para o Hemisfério Sul)

onde f..D/..2v Ey0 é a corrente à superfície, com f sendo o módulo

de f, y a magnitude de tensão do vento na superfície do oceano e

f

A2D z

E a profundidade de Ekman, ou seja, a profundidade até onde a

influencia do atrito à superfície se faz sentir.

Podemos agora interpretar as soluções:

- À superfície, 0z , temos: )º45cos(vu 0 e )º45(senvv 0 ou seja,

a corrente à superfície flui fazendo

um ângulo de 45º para a direita da

direcção para onde sopra o vento

(para a esquerda no H. Sul).

- A velocidade da corrente à

superfície é proporcional à tensão

do vento à superfície, y , e

depende também inversamente da

latitude, densidade da água e do

coeficiente de viscosidade de turbulento (“eddy viscosity”), Az (Está incluído na

definição de ED ).

- A magnitude da corrente diminui exponencialmente com o aumento da

profundidade (z cada vez mais negativo!). A corrente total é: z

D0

Eev

, a que

depois se acrescenta o cos (...) ou o sen (...) para achar a projecção u ou v.

Logo, a magnitude decresce exponencialmente com a profundidade.

- A velocidade roda linearmente para a direita com o aumento de

profundidade (z cada vez mais negativo...) no Hemisfério Norte (para a

esquerda no Hemisfério Sul), ou seja, roda segundo os ponteiros do relógio no

H. Norte, ou seja, anticiclónicamente.

A tangente do ângulo entre a velocidade da corrente e o eixo dos x é

dada por: Z)D

πTg(45º

u

v

E

. Com a profundidade a aumentar (z cada vez mais

negativo), a tangente é cada vez menor, logo o ângulo cada vez menor, ou

seja, o vector velocidade vai rodando para a direita. (se fosse no Hemisferio Sul

existiria um sinal (-) atrás da Tg…).

A diminuição da velocidade em

profundidade em conjunto com a

rotação para a direita (no H. Norte)

forma a espiral de Ekman (figura

abaixo).

- À profundidade z = DE:

uDE = V0 e- π cos (45º- π)

vDE = V0 e- π sen (45º- π)

A esta profundidade a velocidade diminuiu para e- π (0.04=1/23) daquilo

que era à superfície (u= V0 cos 45º e v= V0 sen 45º) e é oposta do que era à

superfície ( pois cos(45º- π) = - cos45º e sem (45º- π)=-sen45º).

Neste modelo, a velocidade tende assintóticamente para zero quando

z mas de longe os efeitos mais importantes estão circunscritos à camada

superficial à espessura DE. Ekmam chamou DE a “profundidade de influência do

atrito (“depth of frictional influence”). Também se chama frequentemente

“camada de Ekman” (Ekman layer) a esta camada.

y

x

vento

v

u

V0

z

EDπ45

velocidade à superfície

É curioso notar que DE não depende do atrito do vento (y), embora

aumente com viscosidades turbulentas crescentes e latitudes decrescentes.

No equador D , logo o modelo de Ekman falha nessas regiões (ou

melhor, as condições do modelo não se verificam, pois nesta região nem num

oceano infinitamente profundo se verifica u = 0 e v = 0 para z .

Para sucessivos valores de z verificamos que o vector velocidade, além

de diminuir de intensidade vai rodando para a direita no Hemisfério Norte

(esquerda no Hemisfério Sul). A extremidade dos vectores forma assim uma

espiral logarítmica, conhecida como a “espiral de Ekman”.

corrente à superfície

direcção do vento

Pro

fun

did

ade

(-z)

Espiral de Ekman

Analisar exemplos do Pond e Pickard, pag. 88-89

ESTIMATIVAS PARA A RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE DA

CORRENTE À SUPERFICIE, V0, A VELOCIDADE DO VENTO, W, E

PROFUNDIDADE DA CAMADA DE EKMAN, DE:

dimensão) sem 101,4( coef." drag" C

ventodo e velocidadW

)Kg/m 1,3(ar do densidade ρ

WCρτ3-

D

3a

2Daη

Logo: :e W101,41,3τ 23η

m/sfD

W100,79

f1025D

W101,8π2V

E

25

mar doágua da ρ

E

23

0

As observações mostram que a seguinte estimativa é válida para fora

das regiões equatoriais ( fora de +/- 10º latitude):

sen

0127.0

W

V0

Se substituirmos na expressão acima:

sen

W3.4DE

Então se medirmos a velocidade do vento, W, e sabendo a latitude,

temos uma estimativa de DE e dai podermos estimar a velocidade da corrente à

superfície, V0, e depois a qualquer profundidade abaixo da superfície.

Reparemos que na equação acima DE depende do W ( mas na solução

das equações de Ekman não dependia de !). Como na solução das equações

de Ekman DE depende de Az (DE = f

Az2 ), logo, em princípio, Az aumenta

com W… Bom, se tivermos medições de DE podemos estimar Az.

Valores numéricos (do Pond e Pickard):

10º 45º 80º

V0 / W 0,030 0,015 0,013

W = 10 m/s DE 100 m 50 m 45 m

W = 20 m/s DE 200 m 100 m 90 m

Analisar estes valores!!!!

NOTA: Reparemos que substituímos DE na expressão da V0 obtemos:

fAρfρf

Aπ2

π2

fρD

π2V

z

η

z

η

E

η0

Problema: Para um vento de 18 Km/h que sopre sobre o oceano a 40ºN,

qual a velocidade da corrente induzida à superfície.

→ Fazer pela estimativa

→ Fazer pelas equações assumindo: CD= 1.4x10-3; Az = 10-1 kg/ms

ρar = 1.3 kg/m3; ρágua =103 kg/m3

Comparar os valores!

→ Qual a velocidade induzida pelo vento a 50m de profundidade?

Comentários:

→ Muitas vezes compara-se (e por vezes confunde-se) a camada de mistura

com a camada de Ekman, o que não é correcto na maioria das vezes:

- a camada de mistura depende da história passada do vento no local.

- a camada de Ekman depende da velocidade do vento na altura.

- a camada de mistura depende da estabilidade da água subjacente, dos

perfis de salinidade e temperatura.

→ A teoria de Ekman assume Az constante em profundidade e que o vento é

constante, sabe-se que nenhuma destas premissas se verifica! Embora os

resultados fundamentais desta teoria sejam para levar a sério, (como o desvio

para a direita da camada superficial relativamente ao vento, ou o seu

decréscimo exponencial em profundidade) os pormenores da teoria não são

para levar a sério!

Ainda hoje há poucas medições para confirmar a teoria de Ekman!!!

(embora os resultados fundamentais estejam correctos e confirmados).

→ Também há uma camada de Ekman atmosférica e ai há mais medições a

confirmar a teoria.

O problema com a teoria de Ekman tem sobretudo a ver com efeitos que

dependem das variações temporais tais como o vento.

TRANSPORTE E AFLORAMENTO

A corrente de Ekman induzida pelo vento é máxima à superfície e

decresce em profundidade à medida que vai rodando para a direita no

Hemisfério Norte! Vamos ver que o transporte integrado na camada de Ekman

faz-se com 90º para a direita relativamente à direcção do vento.

Na ausência de gradiente de pressão, uma das formas das equações do

movimento, que já tínhamos escrito, era:

yy

xx

dρfudz0z

ρfu

dρfvdz0z

ρfv

ττ

ττ

Analisemos o que significa ρvdz : representa a massa que flui por

unidade de tempo na direcção y através de uma área de profundidade dz e

largura uma unidade (1 metro...) na direcção x, perpendicular ao escoamento

→ o mesmo para !!!ρudz

Logo

0

z

vdz será a massa total passa desde a profundidade –z até à

superfície numa “unidade de largura” do escoamento, perpendicular a esse

escoamento, ou seja, é a massa total transportada por unidade de largura na

direcção y. Se escolhermos a profundidade -z bem funda, então o transporte irá

incluir toda a corrente induzida pelo vento. Seja então –z = -2DE, onde a

velocidade da corrente será 002.0e 2 , da corrente à superfície, logo

virtualmente nula. Então os transportes de Ekman (ou seja, os transportes

induzidos pelo vento), serão:

)ED2(sup

EE

)ED2(sup

EE

yy

0

D2

y

0

D2

XE

xx

0

D2

x

0

D2

yE

dudzffM

dvdzffM

Mas )ED2(x

e )ED2(y

serão aproximadamente nulos porque à profundidade -2DE,

as velocidades e consequentemente as tensões, serão quase inexistentes.

Logo supsup xyEyXE fM e fM ou em transporte de volume em vez de

massa : yEyExEXE QM e QM , temos: supsup xyEyxE Qf e fQ .

Continuando a considerar o vento soprando segundo y, então:

0M e 0 yExsup , mas 0MXE porque 0

supy , mostrando que o transporte

total induzido pelo vento faz-se para a direita e com um ângulo de 90º em

relação à direcção de onde sopra o vento! (vice-versa no Hemisfério Sul).

Notas: “upwelling”

A equação da continuidade impõe que haja substituição de água que

é transportada para a direita relativamente à direcção do vento. Essa água terá

então que vir da esquerda (isto tudo no Hemisfério Norte). Contudo, se o vento

soprar paralelamente a uma linha de costa, deixando a costa à esquerda (no

Hemisfério Norte) de onde virá a água? ( para o oceano infinito de Ekman isto

não seria problema!!). O que ocorre na natureza é que essa água de

substituição vem das camadas subsuperficiais. Este comportamento é

conhecido como “afloramento costeiro” ou “upwelling” em inglês. As regiões de

upwelling são por isso regiões de divergência. Este fenómeno ocorre com

frequência ao longo das fronteiras Este dos oceanos. No Hemisfério Norte, o

vento tem que soprar para Sul ao longo da costa, o que ocorre com frequência

em especial no Verão, devido ao estabelecimento de baixas pressões de

origem térmica. No Hemisfério Sul o transporte é para a esquerda em relação

ao vento e o vento tem que soprar para Norte ao longo de fronteira Este para

ocorrer upwelling (o que ocorrer com frequência).

Ou seja, o upwelling ocorre quando o vento sopra para o Equador ao

longo de uma fronteira Leste do oceano ou para o Pólo ao longo de uma

fronteira Oeste (situação muito menos comum…)

De que profundidades vêm as águas afloradas? Não mais de 200 -

300 m de profundidade.

O upwelling tem grandes implicações biológicas.

”Downwelling”: o vento sopra deixando a linha de costa à direita (no

Hemisfério Norte).

Correntes geostróficas asociadas ao Upwelling / Downwelling:

Estas correntes ao longo da costa têm em geral velocidades muito

maiores que as correntes para o largo ou para a costa induzidas directamente

pelo vento, via teoria de Ekman, tornando estas ultimas muito difíceis de medir.

Muitas vezes estas correntes geostróficas associadas ao upwelling não

são “bem” geostróficas!: perto das costas e/ou em águas pouco profundas, o

atrito no fundo pode ser importante e o balanço entre o gradiente de Pressão e

a Força de Coriolis não funciona!

A um dado nível, perto da superfície, a água junto à costa será mais

densa que a água ao largo. Esta diferença de densidades vai diminuindo em

profundidade, logo a corrente geostrófica associada ao afloramento vai

diminuindo em profundidade, sendo portanto baroclínica. Por vezes há uma

“sobre compensação” e o gradiente de pressão muda de sinal, gerando-se uma

“ undercurrent” (corrente de sub-superfície) para o Pólo (para norte no

Hemisfério Norte).

UPWELLING E DOWNWELLING LONGE DAS COSTAS

A teoria de Ekman assume que o vento é uniforme, o que não é

verdade. Por exemplo, se considerarmos um vento que é constante na

direcção e sentido, mas varia na intensidade, irá gerar zonas de convergência

e de divergência, que serão acompanhadas de movimentos de “downwelling” e

“upwelling” respectivamente, nas camadas superficiais do oceano:

Nesta situação há convergência, logo “downwelling”

Caso do Atlântico Norte: Nas altas latitudes o vento sopra para leste e nas

baixas latitudes para oeste:

“Ekman pumping”: Assim regiões de convergência são regiões de subida do

nível do mar (regiões de downwelling). Regiões de divergência são regiões de

descida do nível do mar (regiões de upwelling) logo “Ekman pumping”:

Subida

Upwelling Equatorial:

Um vento a soprar para oeste ao longo da região equatorial irá causar

divergência e upwelling no equador, porque o transporte será para a direita no

hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul (assumindo que a teoria

de Ekman funciona no equador...).

ATRITO NO FUNDO E EFEITOS PARTICULARES EM ÁGUAS

POUCO PROFUNDAS:

Quando a corrente flui junto ao fundo do oceano, o atrito induz uma

espiral de Ekman de fundo, de forma análoga espiral induzida pelo vento, com

a diferença que as espirais são opostas!

A demonstração matemática pode ser vista no Pond e Pickard!!!!

Vejamos os resultados e a análise qualitativa:

A corrente roda da sua direcção geostrófica para a esquerda de um

ângulo de 45º enquanto a velocidade se torna zero no fundo:

Análise qualitativa

Longe do fundo a corrente é geostrófica → força de Coriolis, equilíbra a

força do gradiente de pressão, com a força de Coriolis a actuar para a direita e

a força do gradiente de pressão para a esquerda da corrente geostrófica.

Com a aproximação do fundo, a corrente diminui de velocidade devido

ao atrito. Logo a força de Coriolis diminui, porque é proporcional à velocidade.

Então a força do gradiente de pressão não é compensada e o escoamento

roda para a esquerda até que haja balanço entre a força de Coriolis, a força do

gradiente de pressão e a força de atrito no fundo, o que ocorre quando a

velocidade rodou 45º para a esquerda. Mas também nessa altura a velocidade

é nula!! Por isso não chega a rodar 45º...

Coisas interessantes:

→ Esta mesma solução aplica-se ao vento, ou seja à interface

Atmosfera – Terra (ou Oceano). Assim o vento à superfície, no hemisfério

Norte, sopra 45º para a esquerda do vento geostrófico e a corrente de

superfície é 45º para a direita do vento à superfície.

Assim, a corrente à superfície terá a mesma direcção do vento

geostrófico, ou seja, do vento acima da camada de Ekman atmosférica.

Contudo, estes resultados não são para ser levados muito a sério,

porque fizemos muitas aproximações ao escolher a forma de Az.... Assim, o

que se verifica na prática é que o vento à superfície roda menos que 45º , em

geral entre 10º e 20º, isto também porque o vento não sopra de forma

constante, é dependente do tempo e também a factores de estabilidade. Da

mesma forma, a corrente à superfície induzida pelo vento também não chega a

rodar 45º para a direita em relação ao vento à superfície, mas neste caso

aproxima-se bastante.

→ A 10 m de altitude o vento é cerca de 60 a 70% do vento geostrófico.

A redução para vento igual a zero ocorre muito perto da superfície. A

espessura da camada de Ekman atmosférica é tipicamente 10 vezes a do

oceano.

→ Se olharmos para o oceano real, verificamos que é possível pensar

na seguinte combinação: uma corrente geostrófica devido a um forçamento

velocidade geostrófica

rodou para a esquerda

fundo do mar

Fatrito

Fgrad.P

FCoriolis

corrente

equilíbrio perto do fundo

termohalino, uma espiral de Ekman nas camadas superiores, uma espiral de

Ekman no fundo que se sobreporá à da superfície se o oceano for pouco

profundo (junto à costa, sobre a plataforma) e ainda uma corrente de maré. A

descrição do movimento torna-se assim muito complicada. Por isso é muito

difícil analisar o movimento nas suas três componentes: geostrófica, induzida

pelo vento e de maré, em particular se todas estiverem a variar no tempo.

→ À medida que a água se torna pouco profunda, na ordem de DE ou

menos, as espirais de Ekman de superfície e de fundo sobrepõem-se. As duas

espirais tendem a cancelar-se e o transporte total dá-se sobretudo na direcção

do vento à superfície e não perpendicularmente a ele. Quando a profundidade

decresce para cerca de DE/10, o transporte dá-se na direcção do vento, sendo

o efeito de Coriolis “abafado” pelo atrito → é o que acontece nas praias.

LIMITAÇÕES DA TEORIA DE EKMAN:

A teoria de Ekman é bem fundamentada, é bonita, mas na realidade

nunca ninguém observa uma espiral de Ekman bem desenhada no oceano! O

que não quer dizer que a teoria esteja errada!

A espiral de Ekman é bem observada em laboratório, onde a

viscosidade é molecular e não turbulenta. E há evidencia que os seus efeitos

integrados ocorrem, como é o caso do upwelling. Contudo, o problema

resolvido por Ekman é ideal:

- Não existem fronteiras: não é realista, mas não é uma má aproximação

longe da costa e as consequências junto ás costas suportam a solução obtida.

- Oceano de profundidade infinita: não é exacto mas é uma pequena

fonte de erro: DE ≈ 100 – 200 m e a profundidade média do oceano é ≈ 4000

m.

- Az constante → O mais certo é não ser verdade, mas o nosso

conhecimento sobre isto é tão pouco que não se sabe se é ou não uma grande

fonte de erro.

- Vento estacionário, o que leva a uma solução apenas para o estado

estacionário → Provavelmente a maior fonte de erro, pois nem o vento nem o

oceano são estacionários.

- Água homogénea (o que implica condições barotrópicas) → Não é

manifestamente verdade. Sverdrup tentou corrigir esta “falha” na teoria de

Ekman, como veremos a seguir.

A SOLUÇÃO DE SVERDRUP PARA A CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO

VENTO

As equações do movimento para um movimento uniforme e desprezado

o atrito devido aos gradientes horizontais da velocidade, são:

zfv

y

P

zfv

x

P

y

x

(F.grad P = F. Coriolis + F. Atrito)

Ekman assumiu um oceano “horizontal” e por isso ignorou os termos à

esquerda

y

P e

x

P. Aqui apenas estamos a ignorar os gradientes

horizontais da velocidade num movimento uniforme. Ou seja, a solução que

vamos encontrar não será própria para descrever movimentos onde esses

gradientes sejam importantes (nas correntes muito fortes!).

O que Sverdrup fez foi fazer constar da equação os gradientes de

pressão e abandonou qualquer tentativa de descrever o comportamento da

velocidade em profundidade. Ou seja, apenas procurou descrever o transporte

total nas direcções x e y em toda a camada afectada pelo vento (ou seja, Mx e

My em termos de transporte de massa).

Assim, integrou as equações desde z = - h, que será uma profundidade

onde o efeito do vento já não se faz sentir. Por isso h >> DE. Logo:

supsup

supsup

xxx

0

h

0

h

xyx

0

h

0

h

fMfudzdzy

P

fMfvdzdzx

P

Lembrar que: 2

1

z

z

ρvdz , é o transporte de massa na direcção y entre as camadas

z1 e z2 (My).

2

2

z z

uA

2

2

z z

vA

supsup yx e representam a tensão do vento à superfície (quando

integramos os limites – h e 0 o valor da tensão do vento em –h é nula. Como o

valor do integral é determinado pela diferença entre o valor da função nos dois

limites só fica o valor da função à superfície, ou seje supsup yx e ).

Se construirmos o “eliminante” entre as duas equações, derivando a

primeira em ordem a y e a segunda em ordem a x, temos:

xx

MfM

x

fdz

yx

P

yy

MfM

y

fdz

yx

P

sup

sup

yxx

0

h

xyy

0

h

Subtraindo as duas equações:

0xyy

fM supsup yx

y

pois 0x

f

porque f não varia com x (é constante ao longo de um paralelo) e

0x

M

y

Mf xy

pela equação da continuidade (na horizontal....).

Logo o transporte de massa é descrito pelas equações:

0x

M

y

M

yxy

fM

xy

xy

ysupsup

O interessante nestas equações é que o que aparece são os gradientes

horizontais da tensão do vento à superfície e não a tensão do vento ela

mesmo! A expressão x

M

y

Mxy

é a componente vertical do rotacional da

tensão do vento supsupzrot .

kyx

jxz

izyzyx

kjisupsupsupsupsupsup

supsupsup

xyzxyz

zyx

sup

Esta última componente é a única não nula para o vento horizontal.

Sverdrup pretendeu determinar o escoamento como resposta à tensão

do vento e ao gradiente de pressão horizontal, sacrificando a descrição vertical

do movimento, procurando apenas fluxos integrados na vertical.

Assim: supzy rotM é a equação de Sverdrup.

oaproximaçã a vimos já como y

f

reparemos que o que gera “rotacional” é

o “shear” da tensão do vento: Tensão

segundo y a variar com x e tensão segundo

x a variar com y.

A equação de Sverdrup mostra que só há transporte norte – sul quando

há rotacional da tensão do vento.

As quantidades My e Mx (que se obtém pela equação da continuidade a

partir de My) são os transportes totais de massa na camada de influenciada

pelo vento:

0

h

y

0

h

x vdzM e udzM

Dividindo no transporte de Ekman e nos transportes geostróficos:

geostE

geostE

yyy

xxx

MMM

MMM

Podemos escrever:

0

h

0

h

geosty

x

0

h

Ey

dzx

PdzvfM f

dzvffM

geost

supE

E o mesmo para Mx.

Sverdrup mostrou que o transporte total meridional no oceano é

proporcional ao rotacional da tensão ao vento:

supzy rot1

M

mas a constante da proporcionalidade não é constante, é , ou seja, a taxa

de variação meridional do parâmetro de Coriolis. y

f1

rot < 0 rot > 0

tensão do vento

(solução de Ekman)

k

Mais tarde Stommel “aperfeiçoou” a teoria de Sverdrup e explicou a

intensificação das correntes nas fronteiras oeste dos oceanos, como é o caso

da corrente do Golfo.

VORTICIDADE

VORTICIDADE RELATIVA

“Vorticidade” em cinemática de fluidos quer expressar a tendência de

uma porção de fluido para rodar. Está directamente associada com a

quantidade, “shear da velocidade” (como aliás vimos na equação de Sverdrup).

Neste caso, a “rotação do fluido”, ou seja a vorticidade, é medida por

y

u

. Quando a vorticidade é medida relativamente à Terra é a “Vorticidade

Relativa” (). Quando é medida relativamente a um sistema de eixos fixos é a

“Vorticidade Absoluta” ( + f).

No caso geral, a vorticidade relativa no plano horizontal, ou seja a

componente vertical da vorticidade (que é um vector!) é dada por:

ky

u

x

vVrot z

VORTICIDADE PLANETÁRIA

Para um objecto sólido a rodar, a vorticidade

é duas vezes a velocidade angular. Assim, devido à

rotação da Terra, qualquer ponto à superfície do

planeta tem 2sen de vorticidade em torno do

0y

u

0y

u

0y

u

> 0 (ciclónica)

< 0 (anticiclónica)

= 0 (ñ há vorticidade relativa porque não há shear da velocidade do fluido)

sen

eixo da Terra, pois a velocidade angular de cada ponto é sen. Assim, “ f ”

(2sen) é a “vorticidade planetária”. Qualquer partícula de água imóvel

relativamente ao planeta, tem esta vorticidade. Reparemos que esta vorticidade

planetária varia com a latitude, logo qualquer partícula de água que se mova

meridionalmente varia a sua vorticidade planetária.

VORTICIDADE ABSOLUTA ( + f)

As equações para o movimento horizontal, não considerando o atrito,

são:

y

Pfu

dt

dvx

Pfv

dt

du

Vamos construir o “eliminante” dos termos da gradiente de pressão,

fazendo a derivação cruzada das equações: (desprezando as derivadas de

em x e y aproximação de Boussinesq)

fvy

fuxdt

dv

xdt

du

yfu

dt

dv

xfv

dt

du

y

O segundo membro é: y

vf

y

fv

x

uf

, pois f não varia com x. Será

então : y

fv

y

v

x

uf

. Mas

000

z

fw

y

fv

x

fu

t

f

dt

df :pois ,

dt

df

y

fv

Logo o segundo membro será: dt

df

y

v

x

uf

Vejamos agora o primeiro membro:

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

xz

uw

y

uv

x

uu

t

u

ydt

dv

xdt

du

y

Os termos z

uw

e z

vw

são claramente desprezáveis, porque w é muito

pequeno e também não estamos a considerar o “shear” vertical. Temos então:

y

vv

xx

vu

xt

v

xy

uv

yx

uu

yt

u

y

e fazendo as derivadas:

y

v

xv

y

v

x

v

x

v

xu

x

v

x

u

t

v

xy

u

yv

y

u

y

v

x

u

yu

x

u

y

u

t

u

y

e agora reordenando os termos para que possamos entender alguma coisa,

após termos alterado a ordem da diferenciação em alguns termos, o que é

possível porque todos são derivadas locais e dada a natureza das funções a

derivar:

321

y

v

x

v

x

v

x

u

y

u

y

v

x

u

y

u

y

v

xv

x

v

xu

x

v

ty

u

yv

x

u

yu

y

u

t

y

v

x

u

y

v

x

u

y

u

x

v3 ;

x

v

dt

d2 ;

y

u

dt

d1

Temos então que o primeiro membro é:

y

v

x

u

dt

dζ

y

v

x

u

y

u

x

v

dt

d

y

v

x

u

x

v

dt

d

y

u

dt

d

ζ

ζζζ

Reconstruindo agora a equação e notando que y

v

x

u

não é mais que a

divergência da velocidade horizontal, HH V. ou Vdiv :

H

HH

Vdiv)f()f(dt

d

:seja ou,dt

dfVfdivVdiv

dt

d

(+f) é a soma da vorticidade relativa com a vorticidade planetária e é a

“vorticidade absoluta”. Esta equação expressa o Principio da conservação da

Vorticidade Absoluta.

Numa região de divergência, 0Vdiv H , logo a magnitude de

vorticidade absoluta, (+f), diminui. Numa região de convergência acontece o

contrário.

No Hemisfério Norte “ f ” é positivo e, em geral, “ f ” é bem maior que “”,

por isso os valores de (+f) são em geral positivos no Hemisfério Norte.

Assim, com 0)f(dt

d 0f)( e 0Vdiv H ,logo (+f) diminui com

o tempo, mas se 0)( fdt

d 0f)( , ou seja, (+f) vai-se tornando cada

vez menos negativo, ou seja, diminui em magnitude. Sugere-se que seja feita a

análise para o caso de haver convergência.

Imaginemos um cilindro de água, no Hemisfério

Norte, parado relativamente à Terra, portanto

apenas com vorticidade planetária, f: se o fluido

começa a convergir para o centro, o cilindro tem

que se alongar e encolher para conservar o

volume. Mas como há convergência, 0Vdiv H ,

logo a vorticidade absoluta tem que aumentar

( 0)f(dt

d ). Como o cilindro está na mesma

posição à superfície da Terra, “f” = cte, logo a

água vai adquirir vorticidade relativa, , positiva.

Na situação oposta, há divergência. Se a

vorticidade inicial for apenas “f”, como )f(dt

d

tem que ser < 0, logo vai ser gerada vorticidade negativa, ou seja, vorticidade

anticiclónica.

VORTICIDADE POTENCIAL

D

fζ

Consideremos uma camada do oceano onde ocorram condições

barotrópicas. Seja “D” a espessura dessa camada. Esta camada pode ser, por

exemplo, a camada de mistura ou a camada desde a base da picnoclina até ao

fundo (mas não a camada da picnoclina, porque ai as condições não são

barotrópicas, pois a densidade não é uniforme!)

Mostra-se que a equação da continuidade do volume para esta camada

é:

0y

v

x

u

dt

dD

D

1

convergência

f+ζ

f no início, antes de “esticar”

no final, depois de “esticar”

vista lateral

vista de topo

“esticar” produz “+ζ”

divergência

f

f-ζ no final depois de “achatar”

no início, antes de “achatar”

vista lateral

vista de topo

“achatar” produz “-ζ”

Acreditemos... mas podemos ver que fisicamente não é absurdo:

quando há convergencia ( 0y

v

x

u

) a espessura tem que aumentar

( 0dt

dD ).

Se combinarmos a equação da conservação da vorticidade absoluta

com a equação da continuidade, construindo o eliminante de HdivV , temos:

0dt

dD

D

f)f(

dt

d

dt

dD

D

1)f(

dt

d

)f(

1

multiplicando por D

1: 0

dt

dD

D

f

D

1)f(

dt

d

D

1

ou:

0D

f

dt

d

DdtdD

ff)(dtd

D

2

ζζζ

(...relembrar a regra da derivação de um

quociente...)

Logo: cteD

f

para o movimento de uma massa de água, desde que

não haja adição de vorticidade do exterior, por exemplo do vento ou outro

atrito.

À quantidade

D

f chama-se vorticidade potencial.

Podemos assim saber o que ocorre à vorticidade quando uma massa de

água se desloca no oceano:

Se D = cte, se a partícula se mover zonalmente, não ganha nem perde

vorticidade. Se se mover meridionalmente para o pólo Norte, f aumenta e

diminui, ou seja adquire vorticidade anticiclónica (negativa). Se se mover para o

pólo Sul, f diminui e aumenta, logo adquire vorticidade ciclónica (positiva).

Se D aumenta, (+f) aumenta se inicialmente o seu valor for positivo. Neste

caso se f = cte (movimento zonal), aumenta; se f aumenta (movimento para o

polo Norte) e pode ter qualquer valor; se f diminui (movimento para o polo

Sul) aumenta.

E se inicialmente (+f) for negativo? Ver...

Se D diminui, (+f) diminui se o seu valor inicial for positivo...etc. Podemos

então fazer uma série de interpretações e explicar muitos dos movimentos

observados no oceano.

No oceano interior, longe das fronteiras, é negligivel quando

comparado com f. Podemos então dizer que cteD

f no oceano interior. Assim,

se uma coluna de água advectada passar sobre uma montanha submarina, D

diminui e f tem que diminuir, logo a água desloca-se para o equador. “Vice-

versa” quando passa num vale.

À “deplecção” causada no escoamento devido à conservação da

vorticidade potencial chama-se “control topográfico” (topographic steering).

INTENSIFICAÇÃO DA CIRCULAÇÃO NA FRONTEIRA OESTE DOS

OCEANOS – EXPLICAÇÃO ATRAVÉS DA CONSERVAÇÃO DA VORTICIDADE POTENCIAL

Vamos considerar o Hemisfério Norte. Consideremos que a

profundidade da circulação, D, é constante, logo (+f) = constante.

O padrão do vento no Hemisfério Norte é para Oeste a Sul e para Leste

a Norte. Logo, a circulação na camada superficial será no sentido dos ponteiros

do relógio (velocidade angular negativa).

No lado Oeste do oceano, a circulação será para Norte perca de

vorticidade relativa, porque (f + ) = constante e f , logo e há também

perca de vorticidade relativa devido à tensão do vento, que fornece vorticidade

negativa, no sentido dos ponteiros do relógio. Logo há perca de vorticidade

relativa.

-p- < 0

No lado Este do oceano, o escoamento á para Sul, logo há ganho de

vorticidade relativa, porque (f + ) = constante e perca de vorticidade relativa

devido à tensão do vento (+ p ; - ) e + p - 0. Assim, para completar a

devido a (ζ+f)=cte devido ao vento

circulação será necessário “fornecer” vorticidade, para fazer face à perca de

vorticidade a oeste, e manter a vorticidade total constante.

A maneira de o fazer é “introduzir” atrito na fronteira oeste, de tal forma

que a perca de vorticidade relativa devido a (f + ) = constante e devido ao

vento é compensado pelo ganho de vorticidade devido ao “shear” lateral devido

às correntes. Assim - p - + shear - 0.

Para que este balanço no oceano é necessário que ocorram correntes

fortes com muito “shear” a oeste do oceano e correntes fracas com pouco

“shear” a leste.

ventos de oesteventos de oeste

ventos de leste ventos de leste

p p

p p

escoamento com “shear” vorticidade imposta pelo “shear”, que equilíbra as vorticidades negativas da tensão do vento () e planetária (p)

A leste a vorticidade planetária (p) e da tensão do vento () equilíbram-se, mas a oeste não.

Tem que ocorrer “shear” no lado oeste para induzir vorticidade para ocorrer o balanço.

ONDAS NO OCEANO

Associamos as ondas no oceano à ondulação de superfície do mar ou

de um lago. Menos evidente é a ocorrência de ondas abaixo da superfície do

oceano, em regiões de interface. Essas não as vemos, mas são muito

importantes (podem ser um perigo para os submarinos!).

As principais classes de ondas, associadas às suas causas, são:

“ripples” (mareta?), ondas de vento (wind waves) e “swell” (ondulação

de largo) – devem-se aos efeitos do vento na interface ar-água.

ondas internas – ocorrem quando há fortes variações verticais de

densidade. Têm várias causas, como “shear” na corrente, perturbações à

superfície.

“tsunamis” – devido a perturbações sísmicas no fundo marinho.

ondas giroscópicas de gravidade – que podem ser de superfície ou

internas, de período longo de tal forma que a força de Coriolis é importante.

Têm várias causas, como por exemplo, variações na pressão atmosférica ou

na tensão do vento.

ondas planetárias ou de Rossby – ondas de larga escala e longo

período, que são detectáveis nas variações temporais das correntes. Têm

várias causas, como variações temporais da tensão do vento e instabilidade

das baroclínicas e barotrópicas, talvez ...?

ondas de maré – devido à flutuação das forças gravitacionais do Sol e

da Lua.

Em mecânica de fluidos consideram-se as ondas sinusoidais. Mas o que

observamos nos oceanos raramente é sinusoidal. Isto porque o que

observamos é a composição de diversas ondas. A análise do espectro, permite

distinguirmos diversas ondas presentes. Se representarmos o quadrado da

amplitude das ondas (que é proporcional à é energia) contra a frequência,

temos o espectro da energia da onda. Somando os diversos espectros, temos

o “comportamento” da superfície do oceano e vice-versa.

A velocidade de propagação de uma onda é:

T

L

período

.o.d.cc

Exemplo de períodos e c.d.o na classificação das ondas:

período c.d.o

0 – 0,2 s cm “ripples”

0,2 – 9 s até 100 m ondas de vento

9 – 15 s centenas de m “swell”

15 – 30 s mtas centenas de

m “swell” longo

30 s – horas até milhares de Km ondas de longo

período

12,5 h, 25 h,

etc... milhares de Km ondas de maré

As ondas são energia em movimento. É energia que é transmitida

através de movimentos cíclicos (ou sinusoidais). O meio onde as ondas se

propagam não se move na direcção da energia que passa através de si! As

partículas do meio oscilam num movimento para a frente e para trás ou para

cima e para baixo, ou num movimento orbital transmitindo a energia de

partícula para partícula. Temos assim as ondas progressivas:

Longitudinais ondas de “puxa-empurra” na direcção da propagação. Há

compressão – expansão.

Transversais as partículas vibram numa direcção e a energia propaga-se

perpendicularmente à vibração.

As ondas longitudinais e transversais são muitas vezes chamadas

“ondas de corpo” pois propagam-se através de um corpo de matéria. Quando

as ondas se propagam na interface entre dois corpos, como por exemplo na

interface oceano/atmosfera, têm características de ambos os tipos de onda e

são “ondas orbitais” ou ondas de interface. Ocorrem também entre dois fluidos

de densidades diferentes, dois líquidos ou dois gases.

Se a profundidade for superior à base da onda

L

temos “ondas de

água profunda”. Assim, na propagação destas ondas não há interferência do

fundo. A velocidade de propagação é encontrada pelo c.d.o.

Temos “ondas de água pouco profunda” quando a profundidade é menor

que 1/20 do c.d.o. (por vezes chama-se também “ondas longas”). Neste caso a

onda “toca o fundo” ou rente ao fundo” no movimento orbital.

O movimento orbital das partículas nestas ondas é quase plano e a

orbita aproxima-se da horizontal.

A componente vertical da orbita decresce com a profundidade. A

velocidade da propagação da onda é controlada pela profundidade.

As “ondas de transição ”ocorrem quando 2

Ldeprofundida

20

L . A sua

velocidade de propagação é controlada parcialmente pela profundidade e

parcialmente pelo c.d.o.

No que respeita à circulação oceânica, as ondas de longo c.d.o. e

período são as mais importantes. Destas, vejamos as ondas de Kelvin e de

Rossby.

As ondas de Kelvin são ondas de grande c.d.o. e período que são

“guiadas” por uma fronteira. Imaginemos uma perturbação que se move para

Norte no Hemisfério Norte, com uma fronteira à sua direita. Se o c.d.o. e

período forem grandes, a força de Coriolis actua puxando a perturbação para a

direita, ou seja contra a costa (fronteira). A água acumula-se contra a costa

originando um gradiente horizontal de pressão para fora (esquerda), que

equilibra a força de Coriolis. A costa actua assim como um guia para estas

ondas, chamadas de Kelvin. Estas ondas podem ser de superfície

(barotrópicas) ou baroclinicas, distorcendo o campo vertical da densidade

(evolução ondulatória de uma perturbação da picnoclina ou termoclina).

Propagam-se deixando a costa à direita, no Hemisfério Norte (à

esquerda no Hemisfério Sul).

As ondas de Kelvin são ondas de gravidade: a força restauradora do

movimento é a gravidade. Mas estas ondas têm a sua amplitude máxima junto

à costa, decaindo exponencialmente para o largo. São por isso ondas

“aprisionadas” (trapped) dentro de uma certa distância junto à costa. A

distância a partir da qual já não se faz sentir a onda de Kelvin é a chamada

“Raio de Rossby de disformação” que se calcula como: f

cRR , sendo f o

parâmetro de Coriolis e c a velocidade de propagação de onda. Para uma onda

de Kelvin a propagar-se na Termoclina, c é tipicamente entre 0.5 e 3 m/s. Nas

latitudes médias RR 25 Km.

Outro tipo de ondas de c.d.o. muito

longo são as ondas de Rossby. São ondas

de planetárias que se propagam

zonalmente com c.d.o. na ordem de

algumas centenas de Km. São geradas

devido ao facto da vorticidade potencial precisar de ser conservada.