1

2 32 1 10 3 2

0

3.

4 32

a aa

e

Osciladores Anarmônicos e Caos Ferreira Rocha B.

18 Novembro 2011

Resumo- as oscilações anarmônicas são caracterizadas por

uma força elástica não linear, o que resulta num movimento

periódico e limitado, porém não harmônico. Aumentado a

dimensão do sistema estudado de para mais de uma dimensão,

ele se torna caótico e a consequente perda da integrabilidade.

Palavras-chave- oscilador anarmônico, caos determinístico,

integrabilidade, secções de Poincaré, mapa de Poincaré.

INTRODUÇÃO

As oscilações anarmônicas serão expostas de diversas

formas sendo que a equação de movimento será mostrada de

forma analítica para o caso unidimensional. Trataremos ainda

da energia envolvida no caso de um unidimensional sob a ação

de forças conservativas. Expressando o resultado no

formalismo hamiltoniano estenderemos este para duas

dimensões e a fim de mostrar o efeito do caos analisaremos,

com uso do mapa de Poincaré, o teorema de Poincaré-Birkhoff

no caso de dois osciladores acoplados.

OSCILADOR ANARMÔNICO

Em sistemas físicos reais, como um sistema massa mola, o

movimento harmônico simples é apenas uma solução

aproximada, falhando em descrever um movimento cujo

deslocamento não é suficientemente pequeno. Sendo que um

deslocamento x é considerado pequeno se os temos com

ordem superior a x³ na expansão de Taylor são desprezíveis.

Caso contrário o movimento passa a ser governado

por uma equação do tipo

22 3

2... (1.01)

d xm kx mx mxdt

onde m é a massa, k, α e β são os coeficientes dos três

primeiros termos. O movimento resultante é periódico e

limitado, mas deixam de ser harmônicos recebendo a

denominação de anarmônicos.

Soluções numéricas são facilmente obtidas quando somente

os termos x³ e x4 são retidos na equação, nesse caso a solução

de integrais do tipo:

2 3 4

2 3 4x

kx m x m xE dx

que têm seus valores tabelados. Caso α e β sejam pequenos,

soluções aproximadas podem ser obtidos. Um deles consiste

em considerar os termos não lineares como termos de não

homogeneidade em equações da forma[1]

22 302

, (1.02)d x

x xdt

onde α=0.

A solução não homogênea da equação (1.02) pode ser

escrita como a função de Green,

0

0,( , ) (1.03)

sin ( ),

tG t

t t

a solução da equação (1.02) é da forma

30

0

( )sin ( )( ) . (1.04)

d x tx t

Como se trata de um movimento periódico a solução pode ser escrita

como uma expansão de Fourier para x(τ), sendo:

1 1( ) cos (1.05)ax

uma primeira aproximação, substituindo a (1.05) na (1.04) e

resolvendo chega-se ao resultado

1 3cos cos , (1.06)( ) t a tx t a

onde onde

Melhores aproximações podem ser obtidas considerando a equação

(1.06) uma nova aproximação para x(τ) e levando à equação (1.04).

ENERGIA DE UM OSCILADOR ANARMÔNICO

Estudaremos aqui um caso particular mais simples de ser

analisado de um sistema em movimento unidimensional de uma

partícula sob a ação de uma força conservativa dada pelo potencial

4 3 2

( ) .4 3 2

ax bx cxV x dx e

A equação acima pode ser simplificada eliminando a constante e,

uma vez que não modifica a força F; o termo dx pode ser

desprezado fazendo com que x x e escolhendo um ε

conveniente; fixando a = 1, reescalonando a variável x. Obtém-se

então a expressão simplificada 4 3 2

( ) . (1.07)4 3 2

x bx cxV x

Os pontos onde '( ) 0dV

V xdx

são aqueles em que o sistema está em

equilíbrio, pois F nestes pontos é nula. A estabilidade do sistema é

dada por V’’(x): sendo estável se V’’(x) < 0 (mínimo da energia

potencial), e instável se V’’(x) > 0 (máximo da energia potencial).

Os pontos de equilíbrio são dados por

2

0

40, (1.08)

2 2

b b cx x

0

22

,

(1.09)1 4( 4 ) ,

2 2

"( )c se x x

b b cb c se x x

V x

os

pontos x só existem quando b²>4c.

Figura 1. Função potencial, com respectivamente: b=3,15 e c=2; b=3,15 e c=0;

b=0; c=2;

MOVIMENTO ANARMÔNICO NO FORMALISMO HAMILTONIANO

Para estudar o caos conservativo em um oscilador anarmônico

será utilizado o formalismo Hamiltoniano, para isto utilizaremos

uma equação de energia potencial bastante simplificada, 2 2 4

( ) (1.10)2 4

m x xV x

onde é geralmente pequeno[2]. Para esse potencial as equações de

Hamilton ficam:

2

2 3

(1.11)

dx p

dt mdp

m x xdt

A trajetória descrita no plano (x,p) será aproximadamente

elíptica, pois o termo x³ é pequeno. Para amplitudes maiores

o período do movimento diminui. Para uma dada órbita está

associado um período T(E) que varia conforme a órbita é

mudada. Essa relação é da forma

2 4

2 3( ) 1 (1.12)

4

ET E

m

SECÇÕES DE POINCARÉ E OSCILADORES ANARMÔNICOS EM

DUAS DIMENSÕES

Fundamentalmente parte do fato de que o espaço de fases

tem 4 dimensões, mas como a energia é conservada, o

movimento ocorre numa região de dimensão 3 (superfície de energia), pois o vínculo H(x,y,px,py) = E deve ser

obedecido. Escolhemos agora uma superfície dentro desse

espaço tridimensional e marcamos as sucessivas intersecções

das trajetórias com essa superfície. A superfície onde os

pontos são marcados é a secção de Poincaré e intersecções

sucessivas geram o mapa de Poincaré, que substitui o fluxo contínuo das trajetórias por um conjunto discreto de pontos.[3]

Analisando agora um sistema de mola anarmônica bidimensional, a hamiltoniana é do tipo

22 2 2 4 2 2 41 1 2 2 , (1.13)

2 2 4 2 2 4yxpp m x x m y y

Hm m

onde os termos dentro dos parêntesis são constantes de

movimento. Definida uma energia total fixa E, que pode ser

dividida de várias maneiras entre E1 e E2. O período de

oscilação em cada direção dependerá dessa partição de E.

Escolhendo E1 como parâmetro que variará ente zero e E e chamando de τx e τy os períodos em cada direção, sendo que

yx

y x

é uma função contínua de E1. Caso λ1 e λ2 são

pequenos é possível a partir da (1.12) obter explicitamente

1 1

2 4

1

2 1

2 4

2

1 1 2 1 1 22 4 2 4 4

2 2 2 2 2

31

4

3 ( )1

4

3 31 (1.14)

4 4x

y

E

m

E E

m

E E

m m

De modo que ao variar E1 obtemos uma infinidade de

valores, racionais ou irracionais, para a razão entre ω1 e ω2.

Na secção de Poincaré, no plano (x,px), cada vez que y = 0,

dependendo da trajetória escolhida na superfície de energia,

as órbitas podem se fecharem ou não após um número finitos

de cruzamentos com a secção.

CAOS E INTEGRABILIDADE

O caso anterior é um caso atípico onde não há

acoplamento entre os dois graus de liberdade. Além disso,

sistemas com dois graus de liberdade não são em geral

integráveis.

A Integrabilidade está relacionada com a capacidade de

conhecer as propriedades globais do sistema a ponto de poder

caracterizar seu comportamento ao longo do tempo[3]. Esse

conhecimento global está associado com a invariância de

algumas quantidades.

Para um sistema hamiltoniano de n graus de liberdade ser

integrável devem existir n funções Fi(q,p) independentes que

são constantes de movimento, ou seja,

Fi(q(t),p(t))=fi=constante. Pelo teorema de Arnold-Liouville,

equações

integráveis de sistemas hamiltonianos podem ser resolvidas por

operações algébricas e quadraturas. A energia se encaixa nessa

categoria. Para n > 1, podem existir outras constantes de

movimento independentes da energia.

Sistemas não integráveis implicam na inexistência de uma

fórmula fechada geral para soluções, a partir de condições iniciais,

o que implica na imprevisibilidade do sistema, condição associada

ao caos. A adição de acoplamentos á sistemas causa mudanças no comportamento das trajetórias, levando ao aparecimento do

chamado caos determinístico, fenômeno ligado à instabilidade das

soluções do sistema.

MAPA DE POINCARÉ, ACOPLAMENTO E TEOREMA E POINCARÉ-

BIRKHOFF

A introdução de acoplamentos entre as coordenadas x e y do

oscilador anarmônico altera o mapa de Poincaré.

Dado o mapa de Poincaré construído no apêndice, vamos

considerar o produto mω1 = 1 e introduzir coordenadas polares no plano (x,px) por

2 2

(1.15)arctan

x

x

p x p

p

x

o mapa do oscilador anarmônico pode ser escrito como

1 0 0 0

1 0 0 0

( , )(1.16)

2 ( , )

f

g

ou, mais formalmente

1 0

01 0

(1.17)T

onde o sub-índice ‘0’ indica o mapa antes do acoplamento. Dessa forma as curvas fechadas do mapa tornam-se círculos e o de rotação α depende do raio do círculo. Também se considera que a derivada de α em relação ao raio é negativa, ou seja, a velocidade de rotação diminui á medida que o raio aumenta. Os círculos são invariantes as variações de α. Para acoplar as duas dimensão, será adicionado o termo εx²y à

Hamiltoniana (1.13), o que não implica uma menor generalidade

dos resultados

1 0 0 0

1 0 0 0

( , )(1.18)

2 ( , )

f

g

ou, formalmente

1 0

01 0

(1.19)T

onde ε será inicialmente considerado pequeno.

Analisado a dinâmica do mapa nas vizinhanças de um toro

racional não perturbado T0 e o que ocorre quando se realiza o

acoplamento. Para isso iremos considerar que ’ é um raio de

círculo tal que (’) = r/s. O mapa T0 será iterado s vezes, o que

significa que uma trajetória ira interseccionar a secção s vezes, resultando em

0

' ' ' ', (1.20)

2 ( ) 2sT

r r

todos os pontos do circulo ρ=’ voltam sobre si mesmos sendo

pontos fixos do mapa T0s. Como

0d

d

, os círculos externos têm

3

<('). Implicando em um atraso dos círculos vizinhos em relação ao ponto

inicial passando a serem mapeados a direita dele. Agora será realizado o acoplamento εx²y, para um ε convenientemente pequeno. Assim espera-se que as órbitas externas continuem girando para a direita, mas não sobre círculos e não uniformemente. Vamos fixar um ângulo θ0 e analisaremos o sentido de rotação dos com θ = θ0 a diferentes distâncias da origem pela ação do mapa Tε

s[4]. Sabendo que os pontos internos a órbita considerada giram para a esquerda e os externos para a direita, deve existir uma distância ρ(θ0) tal que o ponto(θ0,ρ(θ0)) não sofra rotações. Repetindo o processo para cada θ0 encontraremos uma curva Cε que não roda com a rotação de Tε

s , ainda que os

pontos tenham movimento radial. Se ε→0, então Cε tende ao círculo Repetindo o processo para cada θ0 encontraremos uma curva Cε que não roda com a rotação de Tε

s , ainda que os pontos tenham movimento radial. Se ε→0, então Cε tende ao círculo

ρ=’. Mapeando cada ponto da curva Cε de acordo com Tεs

gera-se uma curva C’ε tal que C’ε= Tεs Cε. Sedo que a área

envolvida pelas duas curvas são iguais (ver apêndice). Desta forma se em alguns pontos Cε encolhem ao aplicar Tε

s outros

devem esticar de forma que Cε e C’ε se intersectam em um número par de vezes. Estes pontos de intersecção são os pontos fixos do mapa, pois não rodam e não transladam. Assim eles correspondem às órbitas periódicas do sistema. [5]

Figura 2. Curva C’ε obtida pelo mapeamento da vizinhança dos pontos dos pontos de Cε, as setas indicam a direção do fluxo.

Continuando a análise, na figura 2, se observa que em torno

dos pontos A e C circula o fluxo da vizinhança, logo, estes as

órbitas correspondentes são estáveis uma vez que as órbitas vizinhas assim permanecem. Paradoxalmente as órbitas

correspondentes aos pontos B e D são instáveis, pois o fluxo da

vizinhança tende a afastar as órbitas vizinhas.

Por estarmos iterando o mapa s vezes cada órbita aparece na

secção como uma sequência de s pontos.

Quando perturbamos um sistema, nesse caso realizando um

acoplamento, os toros racionais cobertos por órbitas periódicas

são substituídos por um número par de órbitas metade estáveis

e metade instáveis. Dessa análise resulta o teorema de Poincaé-

Birkhoff que pode ser resumido assim: a ação de uma

perturbação genérica sobre um sistema integrável causa o desaparecimento de quase todas as (infinitas) órbitas periódicas

ali existentes. Sobrevivem, no entanto, um número par dessas

órbitas, sendo metade delas instáveis e metade estáveis.

CONCLUSÃO

A partir do estudo do comportamento do potencial do oscilador anarmônico, sob a ação de forças conservativas, expresso nas

equações hamiltonianas é possível estudar mais facilmente o que

acontece em um sistema bidimensional de dois osciladores

acoplados.

Construindo o mapa de Poincaré, analiticamente, para simplificar a

superfície de energia e assim poder visualizar, teorema de Poincaré-

Birkhoff, de forma simplificada o efeito do caos conservativo nesses

sistemas foi um dos objetivos desse trabalho.

Dessa análise, é possível garantir que, mesmo perdendo a

integrabilidade, quando perturbamos um sistema, por exemplo,

acoplando dois osciladores, quase todas as suas infinitas órbitas

serão destruídas, permanecendo um número par delas, das quais metade é estável e as demais são instáveis.

REFERÊNCIAS

[1] Santiago, A.J., Rodrigues, H., Efeitos de amortecimento sobre um

oscilador X³, Revista Brasileira de Ensino de Física; volume 27, número 2,

páginas 245-249. Junho 2005

[2] AGUIAR A. M., Tópicos de Mecânica Clássica (Ed. Livraria da Física), 1ª edição, p.14.

[3] Marcus A.M. de Aguiar, Caos em sistemas clássicos conservativos,

Revista Brasileira de Ensino de Física; volume 16, número(1-4) , páginas 3-

20. Maio 1994

[4] Marcus A.M. de Aguiar, Caos em sistemas clássicos conservativos,

Revista Brasileira de Ensino de Física; volume 16, número(1-4) , páginas 3-

20. Maio 1994

[5] Marcus A.M. de Aguiar, Caos em sistemas clássicos conservativos,

Revista Brasileira de Ensino de Física; volume 16, número(1-4) , páginas 3-

20. Maio 1994

4

APÊNDICE

CONSTRUINDO UMA SECÇÃO DE POINCARÉ PARA UM

OSCILADOR HARMÔNICO BIDIMENSIONAL

Para exemplificar uma secção de Poincaré iremos construir

uma para um oscilador harmônico bidimensional, esse objeto

trata-se da secção (x,px) construída escolhendo y = 0. Os dois

vínculos H = E e y = 0, quando considerados isoladamente

restringem o movimento a 3 dimensões, sendo que a

intersecção destas duas superfícies restringe o movimento a 2

dimensões e é a secção de Poincaré. Para construir a secção

observaremos a evolução tempo de um sistema de energia E.

Toda vez que y, que está variando, for nula será marcado um

ponto no plano (x,px) definido pelo valor das coordenadas x(t) e px(t) no instante em y = 0. Repetiremos esse passo para um de

um novo instante de tempo em que y será novamente nulo. O

resultado é o mapa de Poincaré para a trajetória escolhida. Ao

fazer isto novamente para outras trajetórias de mesma energia

E, obteremos o mapa para esse valor E fixo. Como as

trajetórias furam a secção nos dois sentidos consideramos

apenas aqueles pontos que estão no sentido em que py > 0.

Aplicando isto à situação de um oscilador harmônico temos

uma superfície de energia constante H = E que pose ser

descrita como 22 2 2

2 21 2

1 (1.01)2 2 2 / 2 /

yxpp x y

mE mE E m E m

que é a superfície de um elipsoide em 4 dimensões. Como a

Hamiltoniana é soma de dois osciladores desacoplados, a

energia em cada direção é conservada individualmente,

valendo as expressões 2 2 2

11

(1.02)2 2xp m x

Em

e 2 2 2

22

. (1.03)2 2yp m y

Em

As equações (1.02) e (1.03) definem duas elipses nos planos

(x,px) e (y,py) , logo, a trajetória se move sobre uma superfície que é o produto direto delas. Essa superfície é chamada toro

(figura1), cada um dos circuitos 1 e 2 é projetado em uma das

elipses.

Figura 1. Superfície toroidal no espaço de fases.

Variar E1 e E2 equivale a mudar os semieixos das elipses, ao

variar E1 de zero a E varremos todas as possíveis elipses e toros

de dimensão 2.

Na figura2 sobre a superfície de energia Σ são projetados os toros como um volume delimitado pro um elipsoide. Os

cilindros degeneram-se na reta x = px =0 quando E = E2 ou

ainda na elipse máxima desenhada no plano y= 0 quando E =

E1. O circuito γ1 corresponde a dar uma volta no cilindro

mantendo y constante. O circuito γ2 é obtido partido do menor

valor de y, ymin, até o valor máximo, ymax, e voltar a ymin

mantendo x e px constantes.

Continuando, fixa-se uma órbita, cada vez que y passar por

zero coloca-se um ponto na posição (x,px). Como as

coordenadas x(t) e px(t) pertencem somente à elipse, a

sequência de pontos obtida está sobre a elipse.

Se 1 2/ for irracional o ponto inicial (x0,px0), o primeiro da

secção, nunca se repetirá e a elipse será preenchida uniformemente

ao longo do tempo. Se α for racional do tipo , então após s furos

o ponto inicial será repetido.

Mudando agora de trajetória variando E1 E2, mas mantendo E,

obteremos pontos sobre outras elipses, que são superfícies

transversais dos toros da superfície de energia E, figura1.3. Todas

elas se movem com velocidade angular média dada por 2πα.

Para simplificar o mapa de Poincaré pode ser obtido

analiticamente. A solução geral do movimento harmônico bidimensional

é dada por

0

0

0

0( ) (1.04)xx

y y

xx

yyA t

pp

p

onde

1 11

2 22

1 1 1

2 2 2

1cos 0 sin 0

10 cos 0 sin( ) (1.05)

sin 0 cos 0

0 sin 0 cos

t tm

t tA tm

m t t

m t t

A partir da (1.04), fazendo y(0) = y0=0 com py0 positivo, o ponto

inicial (x0,y0) está sobre a secção de Poincaré. De modo que

0

22

( ) sin (1.06)yp

y t tm

e y(t) será zero e com py 0 quando t=2π ω2. Nesse instante

obteremos o próximo ponto na secção de Poincaré:

1 0 0

1 0 0

1

1

1cos2 sin2

(1.07)sin2 cos2x x x

x x xm P

p p pm

Essa expressão conecta duas intersecções sucessivas de uma

trajetória com a secção de Poincaré. Como a matriz Pα não depende de x0 nem de px0 a posição do k-ésimo ponto é dada por

0 0

0 0

0 0

`

0 0

1

1

...

1cos2 sin2

(1.08)sin2 cos2

k k

x xxkk vezes

kx x

x xxP P P

p pp

x xk km P

p pm k k

Esse mapa corresponde a uma rotação ao longo da elipse no plano

(x,px) por um ngulo 2πα. Se α = r s, o s-ésimo ponto (com k = s)

será igual ao ponto inicial. O determinante do mapa Pα é um o que implica na preservação

das áreas: se propagarmos todos os pontos dentro de uma curva

fechada C com qualquer área interna A, os pontos propagados cairão

numa nova curva C’ com a mesma área A.

Figura 2. Projeção da superfície de energia no sistema(x,y,px), tem a aparência de um esferoide decomposto em cilindros, ou toros achatados.