Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 36, n. 4, 4308 (2014)www.sbfisica.org.br

Osciladores classicos com massa dependente da posicao(Classical oscillators with position-dependent mass)

J.P.G. Nascimento1 e I. Guedes1,2

1Departamento de Fısica, Universidade Federal do Ceara, Fortaleza, CE, Brasil2Seara da Ciencia, Universidade Federal do Ceara, Fortaleza, CE, BrasilRecebido em 20/2/2014; Aceito em 26/6/2014; Publicado em 3/10/2014

Neste trabalho estudamos osciladores classicos com massa dependente da posicao (OMDP). A correspondenciaentre as solucoes do OMDP e do oscilador com massa constante (OMC) e obtida atraves do metodo de fatoracaodo hamiltoniano. Os resultados sao ilustrados para o sistema com m(x) = m0(x

2 + a2), onde analisamos astrajetorias no espaco de fase.Palavras-chave: oscilador harmonico, massa dependente da posicao, espaco de fase.

In this work we study from the classical point of view the position-dependent mass (PDM) oscillators. The cor-respondence between the solutions of the PDM and the constant mass (CM) oscillator is obtained by means of thefactorization of the Hamiltonian. The results are illustrated by considering the system with m(x) = m0(x

2+a2),where we analyze its phase space trajectories.Keywords: harmonic oscillator, position dependent-mass, phase space.

1. Introducao

Nos livros basicos de fısica, o estudo do oscila-dor harmonico e feito considerando a massa (m) dapartıcula independente tanto do tempo quanto daposicao. Entretanto, existem diversos sistemas quepara serem adequadamente descritos, a massa deve de-pender do tempo ou da posicao. Sistemas onde a massadepende do tempo, ou de forma mais geral, sistemasdescritos por hamiltonianos dependentes do tempo apa-recem em diversas areas da fısica como, por exemplo:otica quantica, fısica molecular, quımica quantica, teo-ria quantica de campos, e fısica de plasmas [1-5]. Sis-temas onde a massa depende da posicao sao utilizadosno estudo das propriedades eletronicas de semicondu-tores [6], cristais homogeneos [7], pontos [8] e lıquidosquanticos [9].

Do ponto de vista da mecanica quantica, ao estudar-mos sistemas onde a massa depende da posicao devemoster cuidado ao escrever o operador energia cinetica (T ),haja visto que, agora, a massa e o operador momentumnao comutam. De acordo com vonRoos [10], para queo hamiltoniano que descreve o sistema seja hermitiano,o operador energia cinetica deve ser escrito como

T =1

4

(mαpmβpmγ +mγpmβpmα

), (1)

onde m = m(x), p = −i~d/dx e α, β e γ satisfazem a

relacao de vınculo

α+ β + γ = −1. (2)

O operador hamiltoniano para um sistema commassa dependente da posicao e dado por

H = T (x) + V (x), (3)

onde T (x) e o operador energia cinetica dado pelaEq. (1) e V (x) e o termo de potencial. A equacao deSchrodinger independente do tempo (ES) para estadosestacionarios e dada por

Hψ(x) = Eψ (x) . (4)

Considerando por simplicidade α = γ = 0 e β = −1,obtemos

T =1

2

(pm−1p

). (5)

Substituindo as Eqs. (5) e (3) na Eq.(4), e conside-rando o sistema de unidades no qual ~2 = 2 , obtemosa seguinte ES para o operador energia cinetica genera-lizado

d2ψ

dx2− m′

m

dψ

dx+m (E − V (x))ψ = 0, (6)

ondem′ = dm/dx Agora, considerando atransformacao

2E-mail: guedes@fisica.ufc.br.

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4308-2 Nascimento e Guedes

ψ (x) =√m(x)φ(x), (7)

encontramos

d2φ

dx2+

[m

′′

2m− 3

4

m′2

m2+m (E − V (x))

]φ = 0, (8)

que e a ES para uma partıcula de massa constante epotencial efetivo

Vef (x) =

[V (x)− m

′′

2m2+

3

4

m′2

m3

], (9)

ou seja, o problema de uma partıcula com massa de-pendente da posicao em um potencial V (x) pode sertransformado atraves da Eq. (7), no problema de umapartıcula com massa unitaria em um potencial efe-tivo, Vef .

E do ponto de vista da mecanica classica, que mu-dancas devem ocorrer ao escrevermos o hamiltoniano dosistema? Considere o caso mais simples do movimentode uma partıcula com massa unitaria que desliza soba acao da gravidade e sem atrito em um fio parabolico[11]. Escolhendo x como a coordenada generalizada e

da equacao da parabola y = x2

2 , temos que a lagrangi-ana e dada por

L =1

2

(x2 + y2

)− gy =

1

2

(1 + x2

)x2 − g

2x2.

Como a energia cinetica esta na forma quadraticaem x2, o hamiltoniano (H = T + V ), e dado por

H =p2

2(1 + x2)+g

2x2. (10)

Observe que na expressao da energia cinetica apa-rece um termo de “massa”, m (x) = (1 + x2), e, nessecaso, o momento canonico e dado por p = (1 + x2) x.

Devido ao vınculo y = x2

2 o potencial torna-se pa-rabolico. A Eq. (10) e interpretada como a hamiltoni-ana de uma partıcula com massa dependente da posicaomovendo-se em um potencial harmonico. A Eq. (10)indica que nao ha problema em escrever a expressao

para a energia cinetica como T = p2

2m(x) . Mas, de uma

maneira geral, dada uma distribuicao de massa (m(x))como obter uma expressao para o potencial V (x)?

A resposta foi dada por Cruz y Cruz, Negro e Ni-eto. [12, 13] que utilizaram o metodo de fatoracao dohamiltoniano do sistema em consideracao para encon-trar a seguinte relacao

V (x) =1

2

(x

∫√m (y)dy +X0

)2

, (11)

onde X0 e uma constante de integracao.

Estes autores estudaram, tanto classicamentequanto quanticamente, tres sistemas com massa depen-dente da posicao, a saber [12]: (i) m1 (x) = m0

1+(λx)2 ,

(ii) m2 (x) = m0

(1+λx)2 , e (iii) m3 (x) =(

m0

(1−(λx)2)2

).

Pouco tempo depois, estes mesmos autores [13] apre-sentaram um estudo similar para os seguintes oscila-

dores: (i) m1 (x) = m0

(1+λ+(ax)2

1+(ax)2

), (ii) m2 (x) =

m0 tanh2 (λx), e (iii) m3 (x) =

(m0

1−(λx)2

).

Nosso objetivo neste trabalho e utilizar o metodode fatoracao apresentado nas Refs. [12, 13] no sistemaonde m (x) = m0(x

2 + a2) e estudar suas trajetoriasno espaco de fase (x(t),p(t)) Esta dependencia e im-portante nao apenas do ponto de vista teorico, mastambem do ponto de vista pratico, pois pode ser uti-lizada na modelagem de heteroestruturas abruptas ousuaves [14, 15]. Na secao 2 discutimos o metodo defatoracao apresentado nas Refs. [12, 13], na secao 3apresentamos e discutimos os resultados, e, por fim, nasecao 4 apresentamos alguns comentarios finais.

2. O metodo de fatoracao

Nosso objetivo e encontrar a correspondencia entreos hamiltonianos do oscilador harmonico com massaconstante (OMC) e com massa dependente da posicao(OMDP). Inicialmente vamos desenvolver o metodo defatoracao para o OMC. Considere o seguinte hamilto-niano para o OMC

H =P 2

2+X2

2, (12)

onde X e P (= X) sao, respectivamente, as variaveiscanonicas de posicao e momentum. Observe que aoescrevermos a Eq. (12) utilizamos um sistema de uni-dades no qualm = ω = 1 . Atraves das relacoes

a± =1√2(X ∓ iP ) , (13)

H pode ser fatorado nas formas

H = a+a− = a−a+, (14)

onde (a−)∗ = a+. As novas variaveis canonicas a− ea+ obedecem a algebra de Heisenberg com os parentesesde Poisson [14], a saber

i{a−, a+

}= 1, (15)

i{H, a±

}= ±a±. (16)

Podemos obter as integrais primeiras de movimentodefinindo as variaveis

Q± = a±e∓it =1√2(X ∓ iP )e∓it, (17)

Osciladores classicos com massa dependente da posicao 4308-3

com isto H = Q+Q−. No presente caso, a energiacinetica e uma funcao puramente quadratica da velo-cidade e a funcao energia potencial independe da velo-cidade. Sendo assim, a hamiltoniana H e igual a ener-gia mecanica total do sistema, H = E, que e conser-vada. Escrevendo Q± =

√Ee±iφ, onde φ e uma fase

a ser determinada pelas condicoes iniciais, e utilizandoas Eqs. (17) e (13), obtemos as expressoes usuais paraX e P a saber

X (t) =√2Ecos(t+ φ), (18)

e

P (t) = −√2Esin(t+ φ). (19)

Agora considere que de forma geral o hamiltonianopara um OMDP escreve-se

H =p2

2m(x)+ V (x), (20)

onde m(x) e uma funcao arbitraria da posicao e V (x)e o potencial a ser determinado a partir da forma dem(x). O metodo utilizado por Cruz y Cruz, Negro eNieto [12, 13] supoe que o hamiltoniano dado pela Eq.(20) tambem possa ser fatorado da mesma forma quefoi feito para o OMC. Assim, considerando que

A± (x, p) = ∓i p√2m (x)

+W (x), (21)

obtemos

H = A+A− = A−A+ =p2

2m(x)+W 2(x), (22)

ou seja, V (x) = W 2(x). O proximo passo e considerarque as variaveis A+ e A− tambem obedecam a algebrade Heisenberg, isto e

i{A−, A+

}=

2W ′(x)√2m(x)

= 1, (23)

i{H,A±} = ± 2W ′(x)√

2m(x)A±, (24)

ondeW ′ = dW/dx. Da Eq. (23) encontramos a seguinterelacao

W (x) =1√2

(x

∫√m (y)dy +X0

), (25)

onde X0 e uma constante a ser determinada. Usual-mente considera-se X0 = 0, de forma que V (0) = 0.Como V (x) =W 2 (x), temos

V (x) =1

2

(x

∫√m (y)dy +X0

)2

, (26)

e o hamiltoniano classico para o OMDP passa a serescrito como

H =p2

2m(x)+

1

2

(x

∫√m (y)dy +X0

)2

. (27)

Ao compararmos as Eqs. (12) e (27), vemos que

X(x) =x

∫√m (y)dy +X0, (28)

e

P (x, p) =dX

dt=

p√m (x)

. (29)

Das Eqs. (28) e (29) podemos obter as trajetoriasno espaco de fase x(t) e p(t) a partir das relacoes

x (t) = X−1(√2E cos (t+ φ)), (30)

p (t) = −√2m(x (t))Esen(t+ φ), (31)

onde X−1 e a funcao inversa de X obtida a partir daEq. (28).

3. Resultados e discussao

Suponha que a massa dependa da posicao de acordocom a relacao m (x) = m0 (x2 + a2) Substituindo a ex-pressao para m (x) na Eq. (26) e considerando m0= 1

e X0 = −a2 ln a2 , obtemos a seguinte expressao para H

(ou E)

H =p2

2(x2 + a2)+

1

8

(x√x2 + a2+

a2 ln∣∣∣x+

√x2 + a2

∣∣∣− a2 ln a)2

. (32)

Poderıamos obter as trajetorias no espaco de faseutilizando as equacoes de Hamilton, mas nao e difıcilperceber que as equacoes para p e x obtidas a partirda Eq. (32) sao equacoes nao lineares cujas solucoessao nao-triviais. Por exemplo, para a partıcula commassa unitaria que desliza sob a acao da gravidade esem atrito em um fio parabolico (veja Eq. (10)) asequacoes de Hamilton sao expressas por

x = − p

(1 + x2), (33)

p = −x( p2

(1 + x2)2 − g). (34)

De outra forma, poderıamos tentar utilizar asEqs. (30) e (31). Entretanto obter X−1 neste caso etambem complicado em face da expressao de m (x).Assim, vamos analisar as trajetorias no espaco de faseutilizando diretamente a Eq. (32).

Nas Figs. 1(a)-(d) mostramos o grafico de V (x)para o OMC (m(x) = 1)e para o OMDP com a = 0,a = 0, 25 e a = 1, 0, respectivamente. Observe queV (x) ∝ x4 para o OMDP.

4308-4 Nascimento e Guedes

Figura 1 - Graficos de V (x)para: (a) OMC (m(x) = 1), (b) OMDP com a = 0 , (c) OMDP com a = 0, 25 e (d) OMDP com a = 1, 0.

Nas Figs. 2(a)-(d) mostramos o diagrama de fasepara o OMC (m(x) = 1) e para o OMDP (a = 0) paraalguns valores de E. Devido ao sistema de unidadesutilizado (m = ω = 1) as trajetorias de fase para oOMC sao circunferencias concentricas, ao inves de elip-ses. Ja para o OMDP com a = 0 , observamos que astrajetorias de fase sao deformadas proximo a origem etendem a zero, evidenciando o fato que neste limite amassa tende a zero, e, por conseguinte, o momentumcanonico, p = m(x)x

O comportamento mostrado na Fig. 2(b) e muitosemelhante ao exibido pelo OMDP com m2 (x) =tanh2 (λx) estudado por Cruz y Cruz e Negro e Nieto.[13], onde as trajetorias no espaco de fase sao obtidasda equacao

H =1

2

p2

tan2(λx)+

1

2λ2ln2(cosh (λx)). (35)

As trajetorias no espaco da fase para a = 0, 25 ea = 1, 0 sao mostradas nas Fig. 2(c) e 2(d), respec-

tivamente. Nestes casos a massa nao vai a zero parax = 0. As trajetorias mostradas na Fig. 2(c) ainda saodeformadas, mas nao tendem a zero quando x → 0 .Na Fig. 2(d) as trajetorias nao sao mais deformadas.A velocidade da partıcula em todos os casos so se anulanos pontos de retorno.

4. Comentarios finais

Neste trabalho mostramos o procedimento de fatoracaodo hamiltoniano que deve ser seguido quando estuda-mos sistemas com massa dependente da posicao. Esteprocedimento desenvolvido por Cruz y Cruz e Negro eNieto. [12, 13] consiste em decompor o hamiltonianoem termos de duas variaveis a+ e a− que satisfazem aalgebra de Heisenberg. Admitindo que a decomposicaopossa ser feita tanto no OMDP quanto no OMC, vemosque a correspondencia entre os sistemas e dada pelastransformacoes canonicas expressas pelas Eqs. (28) e(29).

Osciladores classicos com massa dependente da posicao 4308-5

Figura 2 - Trajetorias no espaco de fase para E = 0, 3, 0, 7 e 1,1. (a) OMC. (b) OMDP com a = 0 . (c) OMDP com a = 0, 25 . (d)OMDP com a = 1, 0.

Em particular investigamos o sistema com m (x) =m0 (x2 + a2) . Obtivemos as trajetorias no espaco defase a partir da Eq. (32) para a = 0, 0,25 e 1,0. Obser-vamos que para a = 0 as trajetorias de fase sao defor-madas proximo a origem devido ao fato que m(x) → 0quando x → 0. Para a = 0 , a deformacao dimi-nui e praticamente desaparece para a = 1, 0 . Mos-tramos assim que para sistemas nos quais as solucoesdas equacoes de Hamilton fiquem muito complicadas ounao possamos obte-las a partir das Eqs. (30) e (31), aanalise das trajetorias no espaco de fase fornece umaboa descricao da dinamica do sistema em consideracao.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq pelo auxılio financeiro.

Referencias

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