Otimizacao de Portfolio Utilizando Perıodo deRebalanceamento Endogeno

Guilherme do Livramento Demos∗

Thomas Henrique Schreurs Pires†

Guilherme Valle Moura‡

17 de marco de 2014

Resumo

Gestores de carteira usualmente rebalanceiam seus portfolios deacordo com criterios temporais ad hoc. Uma vez que novas informacoespodem gerar mudancas nos momentos das distribuicoes de ativos fi-nanceiros e, portanto, variando os pesos do portfolio otimo, rebalan-ceamentos frequentes sao desejaveis. Porem, custos de transacoes im-plicam em um trade-off entre atualizacao dos pesos otimos da carteirae custos de transacao. O artigo propoe uma estrategia endogena base-ada em graficos de controle para deteccao do momento propıcio para orebalanceamento de carteiras. Os pesos otimos da carteira sao moni-torados diariamente. Caso sejam identificadas alteracoes significativasa carteira e rebalanceada, caso contrario, os pesos sao mantidos cons-tantes evitando custos de transacao. O desempenho desta estrategiae comparado a rebalanceamentos periodicos atraves de medidas comoTurnover e ındice de Sharpe. Conclui-se que estrategias baseadas emdeteccoes sequenciais de quebras nos pesos otimos superam as demais,proporcionando ganhos economicos para o investidor.Palavras-chave: Portfolio de Variancia Mınima Global (PVMG);Controle Estatıstico de Processos, Graficos de controle.Codigo JEL: G; C02; C63.

∗Programa de Pos-Graduacao em Economia, UFSC. Email: gdemosg@gmail.com†PPGE, UFSC. Email: thsfc@gmail.com‡PPGE, UFSC. Email: guilherme.moura@cse.ufsc.br

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1 Introducao

A abordagem de portfolio iniciada por [18] implica o calculo dos pesos otimosdos ativos de um portfolio ao inıcio de cada perıodo. Os pesos otimos de-pendem dos parametros da distribuicao dos retornos que, alem disso, estaosujeitos a quebras estruturais imprevisıveis. O processo de estimacao dosparametros esta sujeito a erros de estimacao, os quais afetam a selecao doportfolio otimo, de forma que o benefıcio advindo da otimizacao de carteira eafetado negativamente (ver, entre outros,[16], [20]). A consideracao de amos-tras maiores e retornos historicos possibilita a reducao do erro de estimacao,porem, aumentando a amostra aumenta-se tambem a chance de ocorrenciade quebras estruturais nos parametros. Obviamente, ao afetar retornos es-perados, suas variancias e covariancias, tais quebras tendem a modificar aproporcao otima de cada ativo no portfolio. Como a data de ocorrencia destasquebras estruturais e desconhecida, uma forma de minimizar seu efeito sobreo portfolio e rebalancea-lo diariamente com a chegada de novas informacoes.Entretanto, o rebalenceamento implica em custos de transacao que acabampor inviabilizar a estrategia na pratica.

Portanto, a rapida deteccao de quebras estruturais e uma tarefa de sumaimportancia para o investidor, auxiliando na escolha otima entre erro deestimacao, vies e custos de transacao [9]. [11] desenvolveram ferramentasvisando o monitoramento dos pesos otimos do portfolio, onde sinais advin-dos de suas estatısticas indicam a ocorrencia de possıveis quebras estruturaisna composicao otima de uma carteira. O presente artigo, baseado em [11],quantifica o efeito economico da estrategia de investimento baseada no moni-toramento sequencial da carteira e compara-o com o de estrategias baseadasem criterios puramente exogenos de rebalancemaento.

Uma vez que dificilmente consegue-se prever retornos esperados de ati-vos [19], considera-se aqui um investidor preocupado somente com a mini-mizacao da volatilidade do retorno fora da amostra. O investidor escolhe aoinıcio de cada perıodo de investimento o portfolio de variancia mınima global(PVMG), eliminando assim erros de estimacao advindos da abordagem base-ada nos retornos esperados. O PVMG e um portfolio benchmark popular queatrai tanto a atencao da comunidade academica como de investidores profis-sionais (cf. [4]) e seus pesos dependem puramente da matriz de covarianciados retornos dos ativos, cuja precisao por ser tida com relativa acuracia.

A presenca de agrupamentos de volatilidade no retorno diario de ativosfinanceiros indica que a volatilidade condicional e no mınimo parcialmente

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previsıvel. Existem inumeras abordagens que visam a modelagem da volati-lidade condicional, seus agrupamentos e fatos estilizados. As mais popularessao: GARCH [2]; volatilidade estocastica [13]; modelo de fatores [5]; sua-vizacao exponencial nao parametrica [8] e o estimador amostral. [5] sugeremganhos economicos ao aplicar diferentes estimadores da matriz de covarianciapara o calculo de PVMG usando dados do S&P100. [5] tambem apontamganhos na utilizacao de diferentes estimadores da matriz de covariancia paracalculo de PVMG composto por ativos listados na Bovespa.

Porem, Existem evidencias de quebras estruturais na matriz de covarianciaincondicional (ver, por exemplo, [23] e [17]) e estas quebras podem ser vis-tas como eventos aleatorios imprevisıveis, ocorrendo em t = τ onde τ e umvalor desconhecido. Para sua modelagem segue-se a abordagem localmenteconstante proposta por [14], onde a matriz de covariancia esta sujeita a (1)mudancas de nıvel ou (2) se mantem constante. Tal abordagem permite umamelhor modelagem de todos fatos estilizados observados em series de retornosdiarias [15]. Pode-se entender a abordagem como um modelo de mudanca deregime com um numero muito grande de regimes [10]. As mudancas de nıvelnos elementos da matriz de covariancia tendem a alterar os pesos do PVMGe, com isso, sua deteccao e de grande importancia para o investidor. Elenecessita decidir a cada instante do tempo se ocorreu ou nao uma quebra, deforma a atualizar ou nao o seu portfolio. Do ponto de vista estatıstico, essatarefa difere da deteccao ex-post de quebras estruturais em series de tempocomo em [1], uma vez que a deteccao no presente contexto deve ser feitasequencialmente.

Deteccoes sequenciais de mudancas subitas no processo de interesse e onucleo do chamado controle estatıstico de processos (CEP) e suas principaisferramentas sao os graficos de controle denotados por (GC). O investidortoma sua decisao em termos do vetor de pesos do portfolio, fazendo comque a natureza do monitoramento seja multivariada. [11] desenvolveram osgraficos de controle (GC) de media movel exponencial (EWMA) para cap-tar mudancas nos pesos do PVMG. Eles discorrem sobre a formulacao dosgraficos de controle e comparam suas performances em um extenso estudo desimulacao. Portanto, no presente artigo busca-se explorar nao so a aplicabi-lidade do procedimento de [11] para dados brasileiros, mas tambem utilizaros sinais emitidos pelos graficos de controle visando um aprimoramento naestimacao da matriz de covariancia dos retornos, evitando quebras estrutu-rais na amostra utilizada. A informacao fornecida pelo GC, por sua vez, eutilizada para reduzir a variancia fora da amostra do PVMG. Introduz-se

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assim, a estrategia de portfolio com uma janela variante no tempo para amatriz de covariancia, reduzindo o risco do uso de amostras contendo que-bras estruturais que possivelmente levariam a estimativas viesadas. Caso umsinal seja emitido pelo processo de controle, uma menor janela e escolhida.Caso contrario, expande-se o tamanho da janela de estimacao. Tal aborda-gem visa encontrar o trade-off otimo entre erro de estimacao e vies devidoas quebras estruturais.

Os resultados economicos do processo de monitoramento dos pesos doPVMG sao avaliados em um estudo empırico na secao 4. O portfolio demınima variancia e construıdo usando o retorno diario dos 61 ativos commaior volume negociado no Indice Bovespa, de Janeiro 2000 a Dezembro de2010 e a abordagem sequencial e aplicada visando a deteccao de mudancas nospesos otimos do PVMG. A estrategia de monitoramento endogena propostae comparada com estrategias de investimentos baseadas em regras ad-hocpuramente temporais para rebalanceamento do PVMG, sendo estas diaria,semanal, mensal, semestral e anual. Alem disso, utiliza-se tambem pesosconstantes onde os pesos otimos sao escolhindos no inıcio do perıodo e man-tidos constantes ao longo das N observacoes fora da amostra. A varianciafora da amostra do portfolio e usada como criterio de performance, junta-mente com retorno medio, ındice Turnover e de Sharpe. Conclui-se que aestrategia baseada no monitoramento sequencial dos pesos do PVMG so-brepujou as demais alternativas, reforcando a utilidade para o investidor docontrole dos pesos otimos. Assim, os GC propostos representam uma ferra-menta util para o monitoramento da volatilidade do portfolio aprimorandoa estimacao da matriz de covariancia dos retornos e gerando carteiras commelhores caracterısticas em termos de diversos indicadores.

Para isso, estrutura-se o presente artigo da seguinte maneira. Alem destaintroducao, uma segunda secao e responsavel por descrever o problema en-frentado pelo investidor ante a decisao de investir, alem da formulacao dosgraficos de controle propostos por [11]. A Secao 3 e responsavel por ex-plicitar as diferentes estrategias de investimentos e seus criterios para a re-balanceamento do PVMG. A secao subsequente se preocupa em construiros parametros responsaveis pela avaliacao da performance portfolio globalde variancia mınima. Apos discutir os metodos e dados utilizados, a secao 4apresenta os resultados obtidos para as diferentes estrategias e ambos graficosde controle. O artigo se encerra com algumas conclusoes e consideracoes fi-nais.

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2 Monitoramento sequencial do portfolio otimo

2.1 O problema do investidor

O investidor minimiza a variancia fora da amostra dos retornos do PVMG,com uma restricao de que os pesos otimos dos ativos da carteira igualem-sea 1. Em outras palavras, o investidor preocupa-se puramente em minimizara volatilidade de seu portfolio de ativos.

min. w′tΣtwt. s.a. w′tι = 1, (1)

onde wt e um vetor coluna contendo os pesos dos portfolios, ι e um vetorcomposto por numeros uns, enquanto Σt e a matriz de covariancia estimada1.Os pesos wt do PVMG que solucionam o problema de minimizacao em (1)sao dados conforme:

wt =Σ−1t ι

ι′Σ−1t ι

, (2)

tal que a variancia desse portfolio de mınima variancia sera:

Vmin = [1

ι′Σ−1ι]. (3)

Como (2) depende somente da estimativa Σ, quando a matriz de co-variancia Σ sofrer mudancas, estas mudancas poderao levar a alteracoes nospesos otimos do portfolio wt e, com isso, o investidor devera rebalancear seuportfolio. Sugere-se entao que o investidor selecione nao so o perıodo de re-balanceamento do PVMG de acordo com o monitoramento sequencial de wt,mas tambem a janela de dados usada para calcular Σ.

2.2 Monitoramento sequencial dos pesos

A hipotese de normalidade para a serie diaria de retornos de ativos financeirose fortemente rejeitada. Sua distribuicao apresenta caudas grossas, assimetriae agrupamento de volatilidade. Estes conhecidos fatos estilizados podem sermodelados por diferentes tipos de abordagens, como modelos de distribuicao

1Detalhes dos estimadores da matriz de covariancia dos retornos sao apresentados nasecao 2.4

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estaveis [21], GARCH [3] e modelos de volatilidade estocastica [14] e [15].Todas abordagens apresentam seus pros e contras. Distribuicoes estaveisgeralmente nao possuem segundo momento, sendo difıcilmente aplicaveis aestrategias de minimizacao de volatilidade. O numero desconhecido de es-tados complica a aplicacao de modelos de mudanca de regime nas financasempıricas [10]. O GARCH multivariado, por outro lado, frequentemente sofrecom problemas de dimensionalidade [2].

A abordagem de modelos constantes localmente de [14] assume que o re-torno dos ativos sao misturas Gaussianas com mudancas imprevisıveis nosparametros da distribuicao. Baseado em tal hipotese, o investidor minimiza-dor de volatilidade esta diretamente interessado na deteccao sequencial dasalteracoes ocorridas na mistura Gaussiana que caracteriza o retorno dos ati-vos, pois estas mudancas podem alterar significativamente a composicao doportfolio otimo. Portanto, ele deve checar ao inıcio de cada perıodo se houveou nao uma quebra estrutural responsavel por afetar a matriz de covarianciados ativos e, consequentemente, os pesos otimos do portfolio.

Controle estatıstico de processos sugere o uso de graficos de controle parao monitoramento de quebras estruturais em processo de interesse. Graficosde controle sao usados principalmente em engenharia (ver [22]), mas vemsendo aplicados ultimamente a processos economicos. [11] propuseram GCpara controle do peso otimos de portfolios, derivam alguns GC e investigama capacidades destes em detectar quebras estruturais em diversas simulacoes.No presente artigo, pretende-se aplicar esta abordagem de [11] a dados bra-sileiros e quantificar o ganho economico do monitoramento sequencial dospesos otimos.

2.3 Graficos de controle

Um grafico de controle consiste em uma estatıstica de controle e uma regiaode aceitacao. Caso a estatıstica de controle saia desta regiao de aceitacao, ografico emite um sinal ou um alarme indicando que alguma mudanca ocorreuno processo estatıstico sob monitoramento. O grafico e normalmente iniciado(ou reiniciado) sob a hipotese de que os momentos da estatıstica de controlesao conhecidos e permanecerao constantes ate o proximo sinal.

No presente caso, o vetor de pesos estimados wt e o processo de interessee o investidor monitora as alteracoes no vetor de pesos otimos de formasequencial. Isso significa que ele decide a cada perıodo de tempo t se ospesos que ele considera otimos ainda podem ser considerados otimos. As

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hipoteses neste caso sao:

H0,t : E(wt,n) = E0(w). (4)

H1,t : E(wt,n) 6= E0(w), (5)

onde E0(w) denota os pesos otimos esperados “sob controle”, ou seja, os pe-sos otimos fixados antes do inıcio do processo de monitoramento. Como osretornos vem de uma mistura Gaussiana, o estado “sob controle” e equiva-lente a uma distribuicao Gaussiana para os retornos dos ativos. Dessa forma,como mostrando em [11], wt,n e um estimador nao enviesado para w, ou sejaE0(wt,n) = w, onde w e o peso otimo verdadeiro, calculado segundo (2) masusando o verdadeiro valor de Σ.

A hipotese nula e rejeitada se a estatıstica de controle Zt > c, onde c eum valor crıtico caracterizando a area de aceitacao. Na tradicional teoriade testes de hipoteses a probabilidade de erro tipo I determina o valor de c.Entretanto, em controle estatıstico de processos c depende de outros criterioscomo o comprimento medio das corridas, ou average run length (ARL), de-finido como o tempo medio para um determinado grafico de controle dar oprimeiro sinal.

Se a estatıstica de controle cai na area de rejeicao pela primeira vez, umsinal e emitido indicando a rejeicao da hipotese nula. O tempo ate estaocorrencia (Run Length) e denotado por L ≥ 0 . L e uma variavel aleatoriadefinida para o GC como:

L = inf [t ∈ N : Zt � c], (6)

o que deixa claro que L depende de c, isto e: L = L(c). A distribuicao de L eo valor mais importante para o desenvolvimento do GC. Um bom grafico decontrole nao fornece sinal por longos perıodos se nada efetivamente ocorrer,tal que o processo esteja sempre sob controle. Nesse caso o tempo ate oprimeiro sinal deve ser grande. Alternativamente, um GC deve prover umarapida sinalizacao apos o ponto de ruptura t = τ . Neste caso, a distanciaL− τ dado L � τ deve ser a menor possıvel. O ARL e denotada por Eτ (L)para um dado perıodo de quebra estrutural τ . Assumindo que τ = ∞, oARL sob controle E(L) denota o tempo medio ate a ocorrencia do primeiroalarme falso. Entretanto, no estado fora de controle, E1(L), assume-se umamudanca ja em τ = 1 de forma a encontrar o tempo medio que o GC levapara sinalizar corretamente a mudanca.

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O valor crıtico c e obtido segundo a distribuicao sob controle de L (E(L))para cada grafico de controle. Assim, cada GC e calibrado segundo suadistribuicao sob controle (ou seja, sob a hipotese nula), tal que c e obtidoimplicitamente atraves de:

E(L(c)) = ξ. (7)

O valor de ξ denota o numero medio de perıodos anteriores a ocorrencia doprimeiro alarme falso. Geralmente ξ = 500 e utilizado para fins de engenharia[22] enquanto em financas, um ξ menor e escolhido para decisoes diarias. Istoe, ξ ∈ (140 : 150) dias ou aproximadamente 6 meses de observacoes [12].

[11] introduzem dois graficos de controles baseados em medias moveis ex-ponenciais (EWMA): Mahal Mod e Mahal Dif. Ambos GC sao construıdosusando a distancia de Mahalanobis entre o vetor de interesse e sua contra-partida no estado sob controle e uma subsequente suavizacao via EWMAunivariada com parametro λ ∈ [0, 1].

O primeiro GC a ser apresentado e o Mahal Mod, o qual e baseado emuma famılia de graficos de controle desenvolvidos para lidar com processosautocorrelacionados. Ele usa diretamente o vetor de pesos estimados w∗t,n,onde ∗ indica que apenas os k − 1 primeiros elementos do vetor precisamser usados, uma vez que a restricao w′t,nι = 1 torna o ultimo elemento dovetor de pesos redundante. A distancia de Mahalanobis Tt,n e uma medidada diferenca entre o peso estimado no perıodo (E(wt,n)) e seu valor inicialsob controle (E0(w)). Sua representacao e dada por:

T mt,n = (w∗t,n − E0(w∗))′ Cov0 (w∗t,n)−1 (w∗t,n − E0(w∗)). (8)

A matriz sob-controle (K − 1)x(K − 1) denotada por Cov0 (w∗t,n) e discutidaem detalhes na secao 2.3.1. A estatıstica de controle, Zm

t,n, do GC e obtidaatraves da suavizacao exponencial:

Zmt,n = λT m

t,n + (1− λ) mt−1,n, Zm

0,n = E0(T mt,n) = k − 1. (9)

Em (9) λ e um parametro de memoria responsavel por determinar a im-portancia da inovacao na estatıstica de controle. Valores pequenos de λ in-dicam forte memoria enquanto λ = 1 significa a nao existencia de memoria.Os desvios padroes da janela de estimacao m, sao observados em funcao dediferentes valores de λ2.

2Vide anexo

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Zt,n representa a estatıstica de controle no perıodo subsequente. Seuestado sob controle e denotado por Z0,n, onde k − 1 e o traco da matriz decovariancia Cov0 (w∗t,n). Caso Zt,n > c, o estado caracteriza-se como fora decontrole e um sinal e emitido. Caso contrario, o processo continua ate quea estatıstica de controle supere o valor crıtico. Isto e, Z � c. Sua principalvantagem consiste na deteccao de pequenas mudancas nos pesos otimos doportfolio. Porem, sua reacao tende a ocorrer com um atraso significativo3.

O grafico de controle Mahal Dif por sua vez, baseia-se na primeira dife-renca dos pesos otimos estimados, eliminando a auto-correlacao presente noprocesso de estimacao dos pesos otimos do portfolio (wt,n).

∆∗t,n = w∗t,n − w∗t−1,n. (10)

Para a estatıstica de teste, [11] sugerem a distancia

T dt,n = ∆∗,′t,n Cov0(∆∗t,n) ∆∗t,n, (11)

onde Cov0 (∆∗t,n) e uma matriz (K−1)x(K−1) de controle dos pesos otimos.Sua obtencao e discutida na secao subsequente (2.3.1). Modificando 11atraves de uma suavizacao exponencial, obtem-se:

Zdt,n = λT dt,n + (1− λ)Zd

t−1,n, Zd0,n = E(T dt,n) = K − 1. (12)

Uma das principais vantagens do Mahal Dif consiste na independencia doGC frente a E0(w∗) (esperanca dos pesos otimos sob-controle), tal que errosem sua estimacao nao influenciam a performance do procedimento. Este GCdetecta mudancas grandes rapidamente, porem tende a falhar na deteccaodas relativamente pequenas.

2.3.1 Matriz de covariancia dos pesos de PVMG sob controle

Partindo de 12, a matriz de covariancia dos retornos e os pesos do PVMGsao dados por:

Σt,n = (n− 1)−1

t∑j=t−n+1

(xj − xt,n)(xj − x′t,n), wt,n =Σ−1t,nι

ι′Σ−1t,nι

, (13)

3Resultado obtido por Golosnoy(2007) para dados advindos do ındice alemao DAX

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com xt,n = n−1∑t

j=t−n+1 xj. Okhrin e Schmid (2006) derivam a matriz decovariancia dos pesos estimados wt,n assumindo normalidade i.i.d. multiva-riada para os retornos dos ativos

Cov0(wt,n) =1

n− k − 1

(Σ−1 − Σ−1ιι′Σ−1

ι′Σ−1ι

)/(ι′Σ−1ι), (14)

onde Σ e a verdadeira matriz de covariancia dos retornos. [11] fornecem amatriz de covariancia assintotica da primeira diferenca ∆t,n = wt,n − wt−1,n,denotada por:

Cov0(∆t,n) =2

(n− k − 1)2

(Σ−1 − Σ−1ιι′Σ−1

ι′Σ−1ι

)/(ι′Σ−1ι). (15)

3 Estrategias baseadas em monitoramento se-

quencial

As estatısticas Zmt,n e Zd

t,n sao calculadas com base em n observacoes passadasde retornos para cada GC, mas o controle estatıstico de processos (CEP) re-quer o conhecimento dos valores sob controle E0(w) e Cov0(w). Esta hipotesenao e satisfeita, porem e possıvel usar estimativas consistentes de E0(w) eCov0(w). Com isso, utiliza-se uma janela de tamanho mt ≥ n, onde mt variacom o tempo, para estimar estes parametros, similar ao proposto por [6].

Para selecionar o tamanho da amostra mt usada para estimar E0(w) eCov0(w) utiliza-se sinais do grafico de controle. No perıodo inicial de analiset = 1, uma janela de estimacao pequena mt=1 = m e selecionada. Se noperıodo t = 1 nenhum sinal for encontrado, entao pode-se aumentar a amos-tra em mais uma observacao pois nao ha evidencia de mudancas nos momen-tos da distribuicao dos retornos, logo mt=2 = mt=1 + 1 = m + 1. Portanto,se nao ha sinal do GC nos proximos l perıodos, a janela de estimacao seramt=l+1 = m+l, o que aumenta a precisao das estimativas de E0(w) e Cov0(w).Se um sinal e emitido em t + τ , e necessario reiniciar o grafico de controlee definir mt+τ = m, pois agora ha evidencias significativas de uma mudancana distribuicao dos retornos.

Isto implica o possıvel uso de observacoes advindas de distribuicoes di-ferentes para estimar os parametros sob controle. Entretanto, o uso de ob-servacoes oriundas de uma distribuicao falsa pode ser justificada pelo trade-off entre vies e erro de estimacao (ver [24])

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A mesma janela amostral variante e usada para calcular a matriz decovariancia amostral dos retornos que sera usado no calculo dos pesos doPGMV pois a estimacao da matriz de covariancia tambem gera um trade-offentre erro de estimacao e vies, uma vez que amostras maiores tendem a gerarestimativas mais precisas pelo argumento da consistencia do estimador, masaumenta a chance da ocorrencia de quebras estruturais, o que enviesara asestimativas. Dessa forma, a estrategia de otimizacao de portfolio pode serresumida da seguinte maneira: no ponto inicial de avaliacao do portfolio,t = 1, o investidor ja possui uma amostra inicial, mt=1 = m que foi utilizadapara estimar os pesos do PVMG, E0(w) e Cov0(w), que serao necessariospara calcular as estatısticas Zt,n e Zd

t,n, que por sua vez, sao baseadas emuma amostra menor de n ≤ mt observacoes; A partir deste ponto, o tama-nho da amostra mt e aumentada recursivamente ate o proximo sinal, quandomt voltara a ser reduzida para mt = m, minimizando o efeito de quebrasestruturais nas estimativas. Com isso, a esperanca dos pesos sob controle ecalculada com base em mt, enquanto as estatısticas Zt,n e Zd

t,n sao calcula-das baseadas em amostras menores de tamanho n. Para implementar essaabordagem, o investidor deve escolher ARL0 = ξ, o tamanho da janela deestimacao n das estatısticas de controle Zt,n e Zd

t,n, o tamanho mınimo dajanela de estimacao m para E0(w) e o parametro de memoria λ.

4 Criterios de avaliacao da performance do

portfolio

O posicionamento do investidor e sugerido na estrategia EFETIVA. Nessaestrategia a re-ponderacao do PVMG e efetuada de acordo com informacoesadvindas do processo de monitoramento sequencial, isto e, atraves dos sinaisemitidos pelos GC.

As demais estrategias de re-balanceamento consistem em mudancas diarias,semanais, mensais, trimestrais, semestrais e anuais dos pesos otimos doPVMG, assim como pesos constantes. A estrategia constante estima os pesosotimos do PVMG em um primeiro momento e os mantem constante ate o finalda amostra. A estrategia otima (diaria) tem os pesos otimos do portfolio re-ponderados diariamente, entretanto esta estrategia apresenta alto turnover.A performance do portfolio sera mensurada em termos da media e varianciados retornos juntamente com os ındices Turnover e de Sharpe.

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Responsavel por captar custos de transacoes como corretagens e impos-tos, o ındice Turnover penaliza a re-estruturacao do portfolio, fornecendo emtermos percentuais o numero de vezes em que houve re-ponderacao. Formal-mente, o Turnover e igual a soma do valor absoluto dos custos advindos dastrocas de re-balanceamento do portfolio ao longo dos N ativos disponıveis emT-t-1 perıodos de transacao, normalizado para o numero total de datas emque houve transacao [7].

Suas estatısticas sao computadas conforme:

µ =1

T − 1

T−1∑t=1

(w′tRt+1), (16)

σ2 =1

T − 1

T−1∑t=1

(w′tRt+1 − η)2, (17)

Turnover =1

T − τ − 1

T−1∑t=τ

∑j = 1N(|wij,t+1,−wij,t+|). (18)

SharpeRatio =E[Ra −Rb]

σ=

E[Ra −Rb]√var[Ra −Rb]

, (19)

onde wij,t denota o peso do ativo j escolhido em t sob a estrategia i, wij,t+ o pesodo mesmo ativo no perıodo subsequente na ausencia de um re-balanceamentoe wij,t+1 capta o peso desejado do ativo em t+ 1 pos-balanceamento.

µ representa o retorno medio do portfolio de mınima variancia, enquantoσ2 capta a variancia dos retornos.

A equacao 19 conhecida como ındice de Sharpe, fornece um indicativoda relacao risco x retorno de um investimento. Um maior valor do ındicerepresenta uma melhor relacao de retorno x risco. Quanto menor seu valor,mais arriscado e o investimento frente a seu retorno esperado.

4.1 Dados e Metodo

Sao usados dados historicos de acoes negociadas na BM&F Bovespa. A basede dados e composta por observacoes diarias dos precos de 61 acoes que

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fizeram parte do ındice Ibovespa de Janeiro de 2000 a Dezembro de 2010,perfazendo um total de 2722 observacoes diarias. Os retornos sao calculadoscomo a diferenca dos logaritmos dos precos. Os dados foram obtidos doEconomatica.

A estrategia de investimento proposta (Estrategia EFETIVA), baseadano monitoramento de forma sequencial dos pesos otimos do PVMG, seracomparada as demais estrategias que baseiam-se em criterios periodicos paraa re-ponderacao do PVMG. A carteira tera os pesos otimos dos ativos re-ponderados de acordo com os sinais emitidos pelos GC. Caso Z � c um sinale emitido e a matriz de covariancia dos retornos e re-estimada tal que osnovos pesos otimos dos ativos do PVMG sao obtidos. Nao obstante, dadoa diferenca matematica na construcao dos graficos de controle, sera testadoqual GC apresentou um melhor desempenho emitindo de forma mais precisaos sinais de quebras estruturais.

Os criterios adotados pelas demais estrategias para a re-ponderacao sao:re-estruturacao diaria, semanal, mensal, trimestral, semestral, anual e pon-deracao constante onde os pesos otimos iniciais sao mantidos constantes ateo final do perıodo. A estrategia diaria e responsavel por deter uma varianciaotima em todos os perıodos (estrategia otima), isto e, os pesos otimos doPVMG sao re-ponderados diariamente. Assim, todas as estrategias com ex-cessao da proposta pelos autores, serao baseadas em fatores exogenos ouperıodicos para a re-ponderacao dos pesos otimos do PVMG ao inves decriterios endogenos.

Para o primeiro passo, foi necessario a obtencao do valor crıtico c. Atravesde uma simulacao de Monte Carlo para as equacoes 6 e 7 e baseado naliteratura4, o valor crıtico condizente deveria encontrar-se ξ ∈ (100 : 500).Tais valores de ξ denotam o primeiro sinal do ARL ocorrendo no intervalode t = (100 : 500), onde t e o tempo. Assim, testando empiricamente osresultados obtidos pela simulacao, obteu-se um limite crıtico c = 140 tantopara o GC Dif como para o GC Mod. O resultado e robusto com respeito aliteratura apesar de diferir do obtido por [11].

Apos a obtencao do valor crıtico c, foi necesario a escolha de λ e o tamanhoda janela de estimacao, para entao confeccionar a estatıstica de controle Z.O impacto de informacoes passadas na estıstica de controle (λ) podem serobservadas nas tabelas (2) (3) e (4) do apendice. Foram testados diferentesvalores para λ ∈ (0:1) na estimacao do PVMG e sua escolha foi baseada no

4Golosnoy e Schmid (2007)

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desempenho relativo aos criterios de performance utilizados. O resultado foiobtido para uma memoria, i.e. um valor de λ ∈ (0,0 - 0,30).

O proximo passo foi a escolha da janela otima de estimacao. Para ajanela em expansao, alem de λ e necessario a obtencao de r, definido comoo numero de observacoes anteriores consideradas para a estimacao da novajanela apos a ocorrencia de um sinal. Assim, a janela aumenta r + α onde αrepresenta o numero de dias corridos apos o rompimento do valor limite c econtinua ate que uma nova violacao ocorra. Assim, caso um sinal tenha sidoemitido pelo GC, isto e, Z � c, um novo tamanho da janela de estimacao eutilizada. A escolha da janela de estimacao otima deu-se conforme a escolhade λ. I.e. segundo o desempenho do PVMG para os criterios de avaliacao deperformance (µ, σ2, Turnover e Sharpe) sugeridos.

Por fim, baseada na distancia Mahalanobis (T)5 entre observacoes sob efora de controle, Z e computado segundo a matriz de covariancia amostraldos ativos (responsavel por fornecer os pesos otimos do (PVMG)), a distanciaEuclidiana (T) e pelo parametro de memoria λ. Seu comportamento captaa distancia dinamica entre os pesos otimos em t e t− 1 para o GC (Dif). Japara o GC (Mod), (T) fornece a distancia entre o peso otimo e o peso do ativox no portfolio, observado em t. Sua distribuicao de frequencia se comportouconforme uma chi-quadrada na grande maioria dos casos, enquanto comouma normal para os demais.

Com a escolha do tamanho otimo da janela em expansao, do recuo (r) edo parametro λ, estimou-se o PVMG para as estrategias com e sem monitora-mento sequencial. Os resultados sao avaliados para as diferentes estrategiase evidenciados pela tabela 1.

5 Resultados

5.1 Avaliacao da Performance do Portfolio

Baseado no metodo proposto, estimou-se os GC Mahal Mod e Mahal Dif

para diferentes valores de λ, tamanhos de janela m ∈ [63, 150 e 252] e r ∈[63, 150 e 252], afim de obter o melhor desempenho do PVMG segundo oscriterios de avaliacao de performance6.

5Vide equacoes 8 e 96vide tabelas apendice

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Figura 1: Retorno acumulado do PVMG

Nota: Eixo Y representa o Retorno acumulado em termos percentuais (%) ao longo de todo perıodo.

Comecando pelo GC Dif os melhores resultados dizem respeito a: r =252, λ = 0,25 e c = 140. Para o Mod: r = 252, λ = 0,25 e c = 140. Osresultados apontam unanimidade para o tamanho otimo da janela (m =252), assim como para o tamanho amostral utilizado para re-estimar a janela(r), uma vez emitido o sinal pelo GC. O valor crıtico assumiu o mesmo valorpara ambos graficos de controle. O mesmo ocorre para o tamanho otimoda memoria do processo (λ) onde ambos GC Mod e Dif apresentam melhorperformance com uma memoria longa de (λ = 0,25).

Para os demais valores de m e λ, parece haver uma reducao gradual davariancia na medida em que o tamanho da janela de estimacao aumenta.Nao obstante, o mesmo acontece para o retorno medio, Turnover e ındice deSharpe. Tais fatos corroboram com o esperado e com o obtido por [11].

Munidos com o valor crıtico, janela otima de estimacao e demais parametrosotimos para cada grafico de controle, foi computado o retorno acumulado doPVMG para cada estrategia proposta de reponderacao dos pesos otimos (videfigura 1).

Ao analisar a figura e possıvel observar a superioridade do PVMG da es-trategia EFETIVA com monitoramento sequencial de seus pesos otimos viasinais emitidos pelos GC. Todas as demais estrategias, que apesar de apresen-tarem valores proximos, tem o retorno acumulado de seu portfolio inferior aoobtido pela estrategia proposta pelos autores. Os melhores resultados nesse

15

Figura 2: Frequencia de reponderacao (Turnover) do PVMG.

Nota: Reponderacao diaria possui um Turnover = 1. Eixo Y representa o Turnover em termos percentuais

(p.p. %) ao longo de todo perıodo. Exclui-se do grafico a estrategia de re-ponderacao diaria (Turnover =

100%), e semanal (Turnover = 22%), para uma melhor visualizacao.

criterio foram obtidos pelo GC Mahal Dif seguido pelo GC Mahal Mod.Tendo em vista a necessidade de mais criterios de avaliacao para quanti-

ficar ganhos economicos, a figura 2 apresenta as frequencias de reponderacaodo PVMG para as estrategias com e sem monitoramento sequencial.

Na figura 2 observa-se o turnover em termos percentuais anualizado doPVMG segundo cada estrategia de investimento. Uma estrategia plausıvel,deveria residir no intervalo contido entre os extremos da reponderacao diariae da reponderacao anual. Conforme esperado, tal fato pode ser observadoempıricamente. Em termos de performance, o GC Dif foi superado ape-nas pelo GC Mod e pela reponderacao anual. O GC Mod teve seu Turnoverigualado pela estrategia de reponderacao semestral, sinalizando que a correta-gem paga pelo investidor que utiliza monitoramento sequencial, asemelha-seaquele que repondera seu portfolio aproximadamente a cada seis meses.

Analisando a frequencia de reponderacao da estrategia EFETIVA segundosinais de ambos GC, ocorreu uma maior troca na proporcao dos ativos retidospelo investidor em momentos de maior volatilidade dos mercados7 (quebrasestruturais) contidas entre Abril de 2008 e Agosto de 2009. As primeiras

7Sub-Primes.

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Tabela 1: Desempenho do PVMG para as diferentes estrategias.

Estrategias µ σ2 Turnover Sharpe

Estrategia EFETIVA com Janela em Expansao e criterios otimos

Mahal MOD 0,104 0,540 0,007 0,462

Mahal DIF 0,097 0,495 0,009 0,457

Demais Estrategias sem monitoramento sequencial.

Constante 0,086 1,621 0,000 0,290Diario 0,090 0,426 1 0,330Mensal 0,090 0,442 0,047 0,322Trimestral 0,089 0,481 0,015 0,324Semestral 0,091 0,549 0,007 0,276Anual 0,096 0,668 0.004 0,302

Notas: Criterios otimos para janela em expansao: Dif com m = 252, r = 252, λ = 0,25 e c = 140. Mod

com m = 252, r = 252, λ = 0,25 e c = 140. Turnover’s igualam-se a zero no portfolio de pesos constantes

pois nao ha reponderacao ao longo do perıodo utilizado. Os melhores resultados encontram-se destacados

em negrito.

ponderacoes ocorreram em n = 400 (Janeiro de 2000) para ambos GC e aten = 2471 (Dezembro de 2010) distintos foram os momentos em que a repon-deracao foi sugerida, deixando explıcito a eficiencia do processo de monitora-mente sequencial em captar quebras estruturais frente a metodos puramenteexogenos.

Para fins de organizacao, foi elaborada a tabela 1. Nela observa-se asperformances das diferentes estrategias para a reponderacao do PVMG utili-zadas, incluindo a estrategia EFETIVA proposta. A superioridade da ultimasobre as demais, deve-se principalmente a dois fatores; o primeiro (1) dizrespeito a sua natureza endogena de reestruturacao do PVMG frente a que-bras estruturais, diminuindo o risco incorrido pelo investidor e aumentando

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relativamente seu retorno8. Ja o segundo, (2) deve-se ao seu turnover. I.e.a reponderacao dos pesos otimos nao e feita de maneira a se tornar econo-micamente inviavel (1 dia), nem de maneira muito lenta (1 ano) tal que acomposicao otima dos ativos esteja a muito defasada.

As demais estrategias de reponderacao, anual, semestral, trimestral, men-sal, diaria e pesos constantes apresentaram uma performance satisfatoria,porem, inferior a obtida via estrategias baseadas nos sinais dos GC, emcriterios chave como os ındices turnover e de Sharpe. O pior desempenhoem termos de frequencia de reponderacao foi observado para a estrategiadiaria (Turnover’s = 100%). Entretanto, essa estrategia apresenta a menorvariancia observada a cada perıodo devido justamente a sua frequencia dereponderacao de maneira com que ganhos economicos sejam bastante preju-dicados.

A melhor relacao risco x retorno (ındice de Sharpe) para as estrategiasde reponderacao exogenas foi obtida pela diaria com um ındice de Sharpe= 0,330, seguida pela trimestral (0,324) e mensal (0,322) enquanto as de-mais apresentam performances ainda mais decrescentes. Ja para a estrategiaEFETIVA, o monitoramento apresentou uma relacao risco x retorno signifi-cantemente superior e com valores bastante similares entre os GC.

Tratando das estrategias de rebalanceamento do PVMG segundo criteriosendogenos, algumas assertivas sao necessarias devido as distintas performan-ces do portfolio frente aos graficos de controle utilizados.

Para estimacoes com janela expansiva, a performance superior foi obtidapelo GC Mahal Mod em: SR (Sharpe Ratio) = 0,462, Turnover = 0,7 % e re-torno medio = 0,104. Infere-se que, apesar de apresentar uma maior varianciafrente ao GC Dif, (diferenca (∆) de apenas 0,045), os sinais do esquema demonitoramento dos pesos otimos do portfolio, emitidos pelo GC Mod com ja-nela em expansao, recuo (r) = 252, c crıtico = 140 e parametro de memoriaalto (λ = 0,25) apresentaram maiores ganhos de eficiencia do que seu con-corrente (GC Mahal Dif) e sobre as demais estrategias sem monitoramentosequencial.

Apesar das similaridades de desempenhos, o GC Mahal Mod parece destacar-se como estrategia otima de monitoramento dos pesos otimos do PMVG. Aescolha deve-se justamente a superioridade do GC em obter a melhor relacaorisco x retorno (0,462) e o maior retorno medio com um Turnover de apenas0,7 %.

8Vide ındice de Sharpe

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Assim,observa-se uma vantagem para o investidor em monitorar de formasequencial seu portfolio. Nao obstante, dada as caracteristicas propriasda formulacao de cada GC responsaveis por captar movimentos abruptos(Dif), ou mudancas na tendencia de longo-prazo (Mod), deu-se continuidadea analise empırica e elaborou-se as figuras 3, 4, 5, e 6 visando reforcar aescolha otima de monitoramento do PVMG baseada somente em um GC ouatraves da combinacao de ambos, mensurando mais precisamente a vantagemincorrida em monitorar o PVMG.

5.2 Escolha da estrategia otima de monitoramento se-quencial

Figura 3: Variancia: portfolio com re-ponderacao diaria e PVMG (Efetivo)segundo GC Dif e Mod.

Nota: Eixo Y capta a variancia em termos % (p.p.).

Conforme evidenciado na tabela 1, as estrategias baseadas nos sinais emi-tidos pelos GC apresentaram melhor desempenho frente as estrategias des-providas de monitoramento sequencial. Afim de reforcar a escolha da melhorestrategia de monitoramento, foi analisado globalmente a performance dasdistintas estrategias de reponderacao (GC DIf e Mod segundo os criterios deavaliacao propostos.

Com relacao a variancia do PVMG (Figura 3), a superioridade ficou coma estrategia de reponderacao diaria. Porem, como visto anteriormente, isso e

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Figura 4: Retorno (acima) e variancia (abaixo) do PVMG segundo sinaisemitidos pelo GC Mahal Dif (esquerda) e Mahal Mod (direita).

Nota: Eixos verticais destacados em vermelho significam a emissao de um sinal pelo GC sugerindo a

reponderacao do PVMG. Figura superior capta a evolucao do retorno do PVMG com estrategia de mo-

nitoramento sequencial. Figura inferior representa a evolucao da variancia do portfolio. Eixo Y capta o

valor em termos percentuais.

explicado pois apesar de ser o portfolio de variancia otima em cada perıodo,problemas surgem na sua implementacao empırica devido a seu elevado tur-nover. Assim, a reponderacao diaria foi utilizada na figura 3 como bench-mark, i.e. para fins de comparacao, pois a variancia observada por ambosGC Dif e Mod e bastante proxima a obtida pela estrategia diaria, entretantoseu turnover e significantemente inferior. Assim, excluindo o PVMG comreponderacao diaria, o GC Dif superou o Mod.

Quanto ao Turnover, a estrategia segundo sinais emitidos pelo GC Mahal

Mod superou em apenas (0,002%) a sua concorrente Dif. Desta forma, consi-derando o desempenho superior em 0,005 pontos na relacao risco x retorno,conclui-se que a melhor estrategia de monitoramento sequencial consiste efe-tivamente no GC Mod com janela expansiva de m = 252.

20

Figura 5: Evolucao da estatıstica Z-Dif (esquerda superior) e Z-Mod (direitasuperior) com seu limite crıtico c. Spread entre variancias do portfolio Efetivoe portfolio Otimo (figura inferior).

Nota: Em vermelho, sinais advindos dos GC com janela em expansao. Momentos em que houve uma

reponderacao do PVMG (Z � c) onde c = 140 encontram-se destacados em pontos vermelhos para a

figura superior e em eixos verticais vermelhos para o grafico inferior.

Assim, com o proposito de demonstrar a eficacia do monitoramento se-quencial e para observar sua dinamica, foram elaboradas com base nas es-trategias de monitoramento (Mahal Dif e Mod) as figuras 4, 5 e 6.

Ao analisar os graficos que captam a evolucao do retorno medio e varianciade ambos graficos de controle (figura 4), assim como aqueles que descrevemestatıstica de controle Z e o e spread de variancias (Figura 5), fica latente osincronismo entre os sinais emitidos pelo GC e grandes oscilacoes em deter-minados perıodos como por exemplo, a crise dos sub-primes ocorrida final de2008.

Este sincronismo reflete bem o mecanismo de funcionamento do ferra-mental de monitoramento sequencial dos GC. Ao passo que a distanciaMahalanobis entre os portfolios otimos aumenta, assim tambem o faz a es-

21

Figura 6: Fronteira (movel) de eficiencia do PMVG com GC Mahal-Mod.

Nota: Eixos Y e Z representam o retorno e variancia (respectivamente) em termos percentuais (%).

tatıstica de controle Z e o spread de variancias entre o portfolio efetivo e oportfolio otimo9.

Apesar de grande similaridade entre os resultados obtidos pelos graficosde controle, a figura 5 e interessante pois explicita a performance dinamicado PVMG segundo os sinais dos diferentes graficos de controle. Assim epossıvel observar o menor turnover obtido pelo Mahal Mod (linhas vermelhas)frente ao Dif, fazendo com que a estrategia de investimento caso colocadaem pratica, seja mais factıvel.

Outros pontos surgem ao analisar o obtido. A estatıstica Z por exemplo,e muito mais volatil para o GC Dif do que para o Mod. Isso deve-se as cara-terısticas proprias da calibragem de cada GC10. Seus valores crıticos tambem

9Elevacoes no spread de variancias refletem em grande medida as ascencoes da varianciado PVMG. Porem, as mesmas podem advir de uma queda mais acentuada da varianciaotima com relacao a efetiva.

10Vide equacoes 9 e 12

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sao distintos, conforme a equacao 7 em que o valor da distancia media corridae funcao do c crıtico.

Dando continuidade a analise da figura 5, a partir do momento em queocorre um distanciamento entre os portfolios otimos (vide equacao 9 do GCMahal Dif) tal que a estatıstica Z supere a regiao crıtica, um sinal e emitidopelo GC indicando uma quebra estrutural. O sinal indica que houve umaalteracao significativa na combinacao dos pesos otimos do portfolio sendoos GC responsaveis por sugerir sua reponderacao. Este rebalanceamente namaioria dos casos, resulta numa queda gradual da estatıstica Z e do spreadde variancia.

Entretanto, houveram momentos em que apesar dos sinais emitidos, areponderacao nao incorreu em queda gradual da estatıstica de controle nem(consequentemente) nas demais variaveis. Assim outro sinal teve de ser emi-tido sugerindo uma nova reponderacao.

Por fim, a fronteira de eficiencia do PVMG monitorado pelo GC Mahal

Mod e fornecida pela figura 6 onde e possıvel observar o comportamentodinamico ao longo do perıodo amostral entre retorno x variancia do portfolio,reponderado segundo os sinais emitidos pelo GC Mahal Mod.

6 Conclusao

Mesmo com performances heterogeneas entre os GC (Mahal-Dif e Mahal-Mod)estrategias responsaveis por reponderar os pesos otimos do PVMG atraves domonitoramento sequencial sobrepujaram as baseadas em criterios puramenteperiodicos de forma a aprimorar a estimacao da matriz de covariancia.

A estrategia que apresentou-se superior as demais segundo os criteriospropostos, i.e. (σ2, µ, turnover e ındice de Sharpe) foi a EFETIVA commonitoramento dos pesos otimos segundo sinais emitidos pelo GC Mahal

Mod com janela de estimacao em expansao, recuo (r) = 252 dias, c crıtico =140 e parametro de memoria elevado (λ = 0,25).

Por apresentar um retorno frente ao risco superior as demais estrategiasde monitoramento (Dif em expansao) optou-se pela utilizacao dos sinaisemitidos pelo GC Mod para a reponderacao do PVMG. Ademais, a estrategiaapresentou uma frequencia de reponderacao ao longo do perıodo de apenas0,07 %, uma variancia = 0,540 e retorno medio de 10,4 %.

Em suma, as estrategias de controle baseadas no GC se mostraram su-periores quando comparadas com estrategias de reponderacao periodica e de

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pesos constantes, comumente utilizadas no mercado, tanto no que tange oobjetivo central da estrategia (obter uma carteira com baixa volatilidade),quanto no criterio de maior retorno acumulado, que apesar de nao ser osupra-sumo para a avaliacao de performance, consiste em um dos objetivosdo investidor.

Outros graficos de controle como o CUSUM11 ao serem aplicados paraos dados brasileiros podem levar a resultados interessantes devido as carac-terısticas proprias contidas em sua formulacao.

Alem dos criterios classicos para avaliacao da performance do portfoliocomo µ e σ2, outros como os ındices Turnover e de Sharpe foram funda-mentais para a escolha otima das janelas de estimacao e dos paramentros dememoria λ, levando a um maior controle da carteira.

11Cumulated Sum ou somatorio acumulado

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Apendice:

Escolha otima da janela de estimacao e parametro λpara o PVMG

Tabela 2: Performance do PVMG via estrategia EFETIVA com diferentestamanhos de janela m = (63,126 e 252), λ ∈ (0, 1) e GC Mahal Mod.

Grafico de controle Mahal MOD

Tamanho Janela λ µ σ2 Turnover Sharpe

λ ∈ (0, 00− 0, 30) 0,133 0,083 0,174 0,241m = 63 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,129 0,094 0,157 0,213

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,120 0,098 0,142 0,181λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,115 0,089 0,140 0,174

λ ∈ (0, 00− 0, 30) 0,084 0.010 0,015 0,236m = 126 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,086 0,009 0,015 0,258

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,084 0,010 0,016 0,241λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,086 0,010 0,016 0,255

λ ∈ (0,00 - 0,30) 0,100 0,0049 0,0073 0,561m = 252 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,098 0,0050 0,0085 0,527

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,093 0,0043 0,0076 0,484λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,091 0,0042 0,0080 0,470

Notas: Os valores otimos escolhidos encontram-se destacados em negrito. O valor crıtico e c=140.

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Tabela 3: Avaliacao do PVMG Frente a Diferentes Estrategias com JanelaExpansao

Grafico de controle Mahal MOD

Janela λ µ σ2 Turnover Sharpe

Expansao λ ∈ (0, 00− 0, 1) 0,098 0,001 0,413 1,415

Grafico de controle Mahal DIF

Janela λ µ σ2 Turnover Sharpe

Expansao λ ∈ (0, 00− 0, 1) 0,091 0,050 0,969 0,131

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