Otimizacao de Portfolio: controle estatıstico deprocessos e pesos do (GMVP).

Guilherme do Livramento Demos∗

Thomas Henrique Schreurs Pires†

3 de abril de 2013

Resumo

Movidos pela escolha do perıodo otimo de re-balanceamentode uma carteira de ativos, propoem-se uma estrategia de investimentobaseada no processo sequencial de monitoramento dos pesos otimos doGMVP atraves de graficos de controle (CC): Mahal Mod e Mahal Dif.Seu desempenho e comparado ao de estrategias beaseadas em criteriosexogenos como: re-balanceamento diario, semanal, mensal, trimestral,semestral, anual e pesos iniciais constantes. A performance e mensu-rada em termos de: (µ, σ2, Turnover e Indice de Sharpe). Conclui-se que estrategias baseadas em deteccoes sequenciais de quebras nospesos otimos do GMVP sobrepujam as demais. Sinais advindos doesquema de monitoramento sequencial do processo proporcionaramganhos economicos para o investidor e aprimoraram a estimacao damatriz de covariancia. O CC Mahal Dif com janela em expansaoapresentou a melhor performance sobre os demais. Nao obstante, acombinacao das distintas ferramentas de controle e sugerida devidoas suas complementariedades na emissao de sinais frente a quebrasestruturais.

Palavras-chave: Portfolio Global de Variancia Mınima (GMVP); SPC,Graficos de controle (Control Charts).

∗Programa de Pos-Graduacao em Economia, UFSC. Email: gdemosg@gmail.com†PPGE, UFSC. Email: thsfc@gmail.com

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1 Introducao

A abordagem de portfolio iniciada por Markowitz (1952) implica na com-putacao dos pesos otimos dos ativos de um portfolio ao inıcio de cada perıodo.Os pesos otimos dependem da distribuicao desconhecida dos retornos dosparametros, sujeitos a quebras estruturais imprevisıveis. O processo de es-timacao dos parametros tende a incorrer em risco de estimacao na selecao deportfolio, tal que o benefıcio advindo do investimento seja prejudicado (cf.Klein and Bawa 1976, Michaud 1998). Considerando os retornos historicospara fins de estimacao, e possıvel reduzir o erro de estimacao, porem, simul-taneamente incorre-se em vies devido a quebras estruturais nos parametros.Ademais, tais quebras tendem a modificar a proporcao otima de cada ativono portfolio.

Rapida deteccao de quebras estruturais consiste em uma tarefa desuma importancia ao investidor por sua capacidade de escolha no trade-offotimo existente entre erro de estimacao e vies (Foster e Nelson 1996). Golos-noy e Schmid (2007) desenvolveram ferramentas visando o monitoramentodos pesos otimos do portfolio. Sinais advindos de suas estatısticas indicama ocorrencia de possıveis quebras estruturais na composicao otima da car-teira. O presente artigo, baseado em Golosnoy e Schmid (2007) quantifica oefeito da estrategia de investimento baseada no monitoramento sequencial dacarteira e compara-o com o de estrategias baseadas em criterios puramenteexogenos.

A abordagem baseada nos retornos esperados dos ativos apresentaproblemas devido a sua imprevisibilidade (Merton 1980) e sua capacidade re-lativamente pequena de fornecer alguma informacao preciosa. Assim considera-se um investidor preocupado puramente com a minimizacao da volatilidadedo retorno fora da amostra. O portfolio global de variancia mınima (GMVP)e escolhido ao inıcio de cada perıodo de investimento, eliminando assim pro-blemas advindos da abordagem baseada nos retornos esperados. O GMVPe um portfolio benchmark popular que atrai tanto a atencao da comunidadeacademica como de investidores profissionais (cf. Busse 1999). Os pesosdo GMVP dependem puramente da matriz de covariancia dos retornos dosativos.

A presenca de clusters de volatilidade no retorno diario de ativos fi-nanceiros indica que a volatilidade condicional e no mınimo previsıvel. Exis-tem inumeras abordagens que visam a modelagem da volatilidade condici-onal, seus clusters e fatos estilizados. As mais populares delas, GARCH

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(Bauwens et al. 2006), volatilidade estocastica (Harvey et al. 1994), modelode fatores assim como suavizacao exponencial nao parametrica (RiskMetricsnao obstante o classico estimador amostral. Chan et al. (1999), Fleming etal. (2001, 2003) sugerem ganhos economicos ao aplicar diferentes estimadoresda matriz de covariancia para procedimentos de portfolio.

Existem evidencias de quebras estruturais na matriz de covarianciaincondicional1. Essas quebras podem ser vistas como eventos aleatorios im-previsıveis, ocorrendo em t = τ onde τ e um valor desconhecido. Para suamodelagem segue-se a abordagem locally constant (localmente constante)proposta por Hsu et al. (1974), onde a matriz de covariancia esta sujeita a(1) mudancas de nıvel ou (2) se mantem constante. Tal abordagem permiteuma melhor modelagem de todos fatos estilizados observados em series deretornos diarias (Kim e Kon 1999). Pode-se observar a abordagem comoum modelo de mudanca de regime com um numero muito grande de regimes(Franses e van Dijk 2000). As mudancas de nıvel na entrada da matriz decovariancia tendem a alterar os pesos do GMVP. Assim, sua deteccao e deimensa importancia para o investidor. Ele necessita decidir a cada instantedo tempo se ocorreu ou nao, uma quebra, tal que mudancas sejam detectadassequencialmente. Do ponto de vista estatıstico, essa tarefa difere da deteccaoex-post de quebras estruturais em series de tempo. (Banerjee e Urga 2005).

Deteccoes sequenciais de mudancas subitas no processo de interessee o nucleo do chamado processo de controle estatıstico (SPC) e suas princi-pais ferramentas sao os graficos de controle denotados por (CC). O investidorportanto, toma sua decisao em termos dos pesos do portfolio, fazendo comque a natureza do monitoramento seja multivariada. Golosnoy e Schmid(2007) desenvolveram os graficos de controle (CC) de media movel expo-nencial (EWMA) para captar mudancas nos pesos do GMVP. Eles discorremsobre a formulacao dos graficos de controle e comparam suas performances emum extenso estudo de simulacao. Portanto, no presente artigo busca-se explo-rar os sinais emitidos pelos graficos de controle visando um aprimoramentona estimacao da matriz de covariancia dos retornos. A informacao fornecidapelo CC por sua vez, e utilizada para reduzir a variancia fora da amostra doGMVP. Introduz-se assim, a estrategia de portfolio com uma janela varianteno tempo para a matriz de covariancia. Caso um sinal seja emitido pelo pro-cesso de controle, uma menor janela e escolhida. Caso contrario, expande-seo tamanho da janela de estimacao. Tal abordagem visa encotrar o trade-off

1(cf. Schwert 1989, Eraker et al. 2003, Maheu and McCurdy 2004).

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otimo entre erro de estimacao e vies devido as quebras estruturais.Os resultados economicos do processo de monitoramento dos pesos

do GMVP sao avaliados em um estudo empırico na secao 4. O portfolio demınima variancia e construido usando o retorno diario dos 61 ativos commaior volume negociado no Indice Bovespa, de Janeiro 2000 a Dezembro de2010 e a abordagem sequencial e aplicada visando a deteccao de mudancasnos seus pesos otimos. A estrategia de monitoramento endogena propostae comparada com estrategias de investimentos baseada em fatores exogenospara a re-ponderacao do GMVP, sendo estes diario, semanal, mensal, semes-tral, anual e pesos iniciais constantes onde os pesos otimos sao otimizadosno inıcio do perıodo e mantidos constantes ao longo das N observacoes. Avariancia fora da amostra do portfolio e usada como criterio de performance,juntamente com retorno medio, ındice Turnover e de Sharpe. Conclui-seque a estrategia baseada no monitoramento sequencial dos pesos do GMVPsobrepujou as demais alternativas, reforcando a utilidade para o investidordo controle da volatilidade. Assim, os (CC) propostos representam uma fer-ramenta util para o monitoramento da volatilidade do portfolio aprimorandoa estimacao mais precisa da matriz de covariancia dos retornos.

Para isso, estrutura-se o presente artigo da seguinte maneira. Umaprimeira secao responsavel por descrever o problema enfrentado pelo investi-dor ante a decisao de investir, seguido pela formulacao dos graficos de controle(EWMA) proposta por Golosnoy e Schmid (2007). A matriz de covarianciae o foco da secao 2.4. O capıtulo 3 e responsavel por explicitar as diferentesestrategias de investimentos e seus criterios para a re-ponderacao do GMVP.A secao subsequente se preocupa em construir os parametros responsaveispela avaliacao da performance portfolio global de variancia mınima. Por fim,apos discutir os metodos e dados utilizados, a secao 4 fornece de maneira cri-teriosa os resultados obtidos para as diferentes estrategias e ambos graficosde controle.

2 Desenvolvimento

2.1 O problema do investidor

O investidor minimiza a variancia fora da amostra dos retornos do GMVP,com uma restricao de que os pesos otimos dos ativos da carteira igualem-sea 1, ou (100%). Em outras palavras, o investidor preocupa-se puramente em

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minimizar a volatilidade de seu portfolio.

min. w′tΣtwt. s.a. w′tι = 1. (1)

wt e o vetor contendo os pesos dos portfolios, ι e um vetor compostopor numeros uns (1) enquanto Σt e a matriz de covariancia estimada2. Os

pesos Wt do GMVP sao obtidos via:

Wt =Σ−1t ι

ι′Σ−1t ι

. (2)

sendo um problema de minimizacao com uma restricao de igualdade, viaLagrange chega-se em (2), tal que a variancia desse portfolio de mınimavariancia sera: Vmin = [ 1

ι′Σ−1ι].

Para fins de escolha durante o processo de monitoramento sequencial,o investidor incorre no seguinte teste de hipoteses, onde E0(W ) representa

a expectativa sob controle dos pesos otimos estimados e E(Wt,n), fornece ospesos otimos estimados para o perıodo subsequente.

H0,t : E(Wt,n) = E0(W ). (3)

H1,t : E(Wt,n) 6= E0(W ). (4)

Em H0 a variacao dos pesos otimos frente a quebras estruturais naofoi o suficiente para sua re-ponderacao, de forma que o sistema encontra-se sob controle e nada acontece. Caso a observacao no perıodo subsequentedivirga do estado sob controle, aceita-se H1 e uma nova matriz de covarianciae estimada. Consequentemente, novos pesos otimos do GMVP sao obtidos.

2.2 Monitoramento sequencial dos pesos do GMVP

Sob a otica de um investidor, deve-se detectar ao longo do tempo um desco-nhecido e nao aleatorio ponto de inflexao (t = τ) na trajetoria otima esperadado processo em questao. Isto e, quando a media dos pesos otimos do GMVPdesvia de sua trajetoria presumida (Golosnoy e Schmid, 2007).

O SPC sugere graficos de controle no intuito de lidar com problemasde decisoes sequenciais. O desenho do (CC) consiste em uma estatıstica

2Detalhes dos estimadores da matriz de covariancia dos retornos e pesos do GMVP saoapresentados na secao 2.4

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de controle denotada por Zt e um valor limite (c) que fornece a area derejeicao. Baseado Golosnoy e Schmid (2007) os sinais emitidos pelos graficosde controle de media movel exponencial (EWMA) sao utilizados para:

• Aprimorar a estimacao da matriz de covariancia do (GMVP) frente aquebras estruturais

• Escolher a Janela de estimacao otima para a matriz de covariancia

• Aprimorar a escolha do trade-off otimo entre o erro de estimativa evies advindo de quebras estruturais.

Se a estatıstica de controle cai na area de rejeicao pela primeira vez,um sinal e emitido indicando a rejeicao da hipotese nula. A distancia corrida(Run Length = L) ≥ 0 do CC e o tempo ate a ocorrencia do primeiro sinal.L e uma variavel aleatoria definida para o CC como:

L = inf [t ∈ N : Zt � c]. (5)

E possıvel observar que L depende de c, isto e: L = L(c). A distri-buicao de L e o valor mais importante para o desgin do CC. Um bom graficode controle nao fornece sinal por longos perıodos se nada efetivamente ocorre,tal que o processo esteja sempre sob controle. Nesse caso a distancia corridadeve ser grande. Alternativamente, um CC deve prover uma rapida sina-lizacao apos o ponto de ruptura t = τ . Neste caso, a distancia L − τ dadoL � τ deve ser a menor possıvel. A average run length (ARL) e denotadapor Eτ (L) para um dado ponto de inflexao τ . Assumindo que τ =∞, o ARLsob controle E(L) denota o tempo medio ate a ocorrencia do primeiro alarmefalso. Entretando, no estado fora de controle do ARL (E1(L)) assume-se umamudanca ja em τ = 1 de forma a igualar o tempo medio de ocorrencia doprimeiro sinal correto.

A estatıstica de controle c e obtida segundo a distribuicao sob con-trole de L (E(L)) para cada grafico de controle. Assim, cada CC e calibradosegundo sua distribuicao sob controle, tal que c e obtido atraves de:

E(L(c)) = ξ. (6)

O valor de ξ denota o numero medio de perıodos anteriores a ocorrenciado primeiro alarme falso. Geralmente ξ = 500 e utilizado para fins de enge-nharia (Montgomery, 2005) enquanto em financas, um ξ menor e escolhidopara decisoes diarias. Isto e, ξ ∈ (140 : 150) dias ou aproximadamente 6meses de observacoes (Golosnoy et al., 2008).

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2.3 Graficos de Controle (EWMA): Mahal-Mod e Mahal-Dif

Responsavel por captar processos auto-correlacionados, o CC Mahal Mod con-sidera os 2 primeiros momentos da estatıstica de controle como constantes enao mutaveis ate o primeiro alarme. Tt,n fornece a distancia entre o peso es-timado no perıodo (E(wt,n)), de seu valor considerado sob controle (E0(w)).Sua representacao e dada por:

Tt,n = (w∗t,n − E0(w∗))′ Cov0 (w∗t,n)−1 (w∗t,n − E0(w∗)). (7)

A estatıstica de controle (Z) do CC e responsavel por fornecer a areade aceitacao ou rejeicao do estado otimo quando comparada a estatıstica c.

Zt,n = λTt,n + (1− λ)Zt−1,n, Z0,n = E0(Tt,n) = K − 1. (8)

Em (8) λ e um parametro de memoria responsavel por determinar aimportancia da inovacao na estatıstica de controle. Valores pequenos de λindicam forte memoria enquanto λ = 1 significa a nao existencia de memoria.Os desvios padroes das escolhas otimas da janela de estimacao m sao obser-vados em funcao de diferentes valores de λ3.

Zt,n representa a estatıstica de controle no perıodo subsequente. Seuestado sob controle e denotado por Z0,n, onde K − 1 e o traco da matriz.Caso Zt,n > c, (1) o estado caracteriza-se como fora de controle e um sinale emitido. Caso contrario (2), o processo continua ate que a estatıstica decontrole supere o valor crıtico. Isto e, Z � c. Sua principal vantagem consistena deteccao de pequenas mudancas nos pesos otimos do portfolio. Porem,sua reacao frente as mesmas tende a ocorrer com um atraso significativo4.

O grafico de controle Mahal Dif por sua vez, baseia-se na primeiradiferenca dos pesos otimos estimados, eliminando a auto-correlacao presenteno processo de estimacao dos pesos otimos do portfolio (wt,n).

∆∗t,n = w∗t,n − w∗t−1,n. (9)

Para a estatıstica de teste, Golosnoy e Schimd (2007) sugerem viasuavizacao exponencial:

Zdt,n = λT dt,n + (1− λ)Zd

t−1,n, Zd0,n = E(T dt,n) = K − 1. (10)

3Vide anexo4Resultado obtido por Golosnoy(2007) para dados advindos do DAX

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Uma de suas principais vantagens consiste na independencia do CCfrente a E0(w∗) (Esperanca dos pesos otimos sob-controle), tal que errosem sua estimacao nao influenciam a performance do procedimento. Naoobstante, detecta grandes mudancas rapidamente, porem tende a falhar nadeteccao das relativamente pequenas.

2.4 A matriz de covariancia dos retornos do GMVP

A hipotese de normalidade para a serie diaria de retornos de ativos financei-ros e fortemente rejeitada. Sua distribuicao apresenta caudas grossas, assi-metria e clusters de volatilidade. Estes conhecidos fatos estilizados podemser modelados por diferentes tipos de abordagens, como modelos de distri-buicao estaveis (Mittnik e Rachev 2000), GARCH (Engle 1982, Bollerslev1986) e modelos de volatilidade estocastica (Hsu et al. 1974, Kim e Kon1999). Todas abordagens apresentam seus pros e contras. A distribuicaoestavel geralmente nao possui segundo momento sendo dificilmente aplicavela estrategias de minimizacao de volatilidade. O numero desconhecido de es-tados complica a aplicacao de modelos Markov switch nas financas empıricas(Franses e van Dijk 2000). O GARCH multivariado frequentemente sofrecom problemas de dimensionalidade (Bauwens et al. 2006).

Assim, utiliza-se a abordagem de volatilidade localmente constanteproposta por Hsu et al. (1974), onde a matriz de covariancia esta sujeita a(1) mudancas de nıvel ou (2) mantem-se constante. Tal abordagem permiteuma melhor modelagem dos fatos estilizados observados em dados diariosde ativos financeiros (Kim and Kon 1999). Nao obstante, os modelos lo-calmente constantes assumem que o retorno dos ativos sejam mistos (i.i.d.)e normalmente distribuıdos, com mudancas nos parametros de distribuicaodesconhecidas e imprevisıveis, tal que o investidor se torne puramente mini-mizador de volatilidade checando ao inıcio de cada perıodo se houve ou naouma quebra estrutural responsavel por afetar a matriz de covariancia dosativos e consequentemente, os pesos otimos do portfolio.

Assim, partindo de (11), a matriz de covariancia dos retornos e com-putada para o CC Mahal Mod (12) e Mahal Dif (13) conforme:

Σt,n = (n− 1)−1

t∑j=t−n+1

(xj − xt,n)(xj − x′t,n), wt,n =Σ−1t,n1

1′Σ−1t,n1

, (11)

com xt,n = n−1∑t

j=t−n+1 xj. Okhrin e Schmid (2006) derivam a matriz de

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covariancia dos pesos estimados wt,n assumindo normalidade i.i.d. multiva-riada para os retornos dos ativos

Cov0(wt,n) =1

n− k − 1

(Σ−1 − Σ−111′Σ−1

1′Σ−11

)/(1′Σ−11), (12)

onde Σ e a verdadeira matriz de covariancia dos retornos. Golosnoy e Schmid(2007) fornecem a matriz de covariancia assintotica das primeiras diferencas∆t,n = wt,n − wt−1,n, denotada por:

Cov0(∆t,n =2

(n− k − 1)2

(Σ−1 − Σ−111′Σ−1

1′Σ−11

)/(1′Σ−11). (13)

3 Estrategias e criterios de avaliacao da per-

formace do portfolio

Baseado em benchmarks da literatura, propoem-se uma estrategia de inves-timento como superior as demais. A (1) Estrategia EFETIVA onde o po-sicionamento do investidor e sugerido. Nessa estrategia a re-ponderacao doGMVP e efetuada de acordo com informacoes advindas do processo de mo-nitoramento sequencial, isto e, atraves dos sinais emitidos pelos CC Mahal

Mod e Mahal Dif.As demais estrategias de re-balanceamento consistem em mudancas

diarios, semanais, mensais, trimestrais, semestrais e anuais dos pesos otimosdo GMVP, assim como pesos constantes. A estrategia constante estima ospesos otimos do GMVP em um primeiro momento e os mantem constanteate o final de N. A estrategia otima (diaria) tem os pesos otimos do portfoliore-ponderados diariamente. A performance do portfolio sera mensurada emtermos da media e variancia dos retornos juntamente com os ındices Turnovere de Sharpe.

Responsavel por captar custos de transacoes como corretagens e im-postos, o ındice Turnover penaliza a re-estruturacao do portfolio, fornecendoem termos percentuais o numero de vezes em que houve re-ponderacao. For-malmente, o Turnover e igual a soma do valor absoluto dos custos advindosdas trocas de re-balanceamento do portfolio ao longo dos N ativos disponıveisem T-t-1 perıodos de transacao, normalizado para o numero total de datasem que houve transacao (DeMiguel 2009).

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Suas estatısticas sao computadas conforme:

µ =1

T − 1

T−1∑t=1

(w′tRt+1). (14)

σ2 =1

T − 1

T−1∑t=1

(w′tRt+1 − η)2 (15)

Turnover =1

T − τ − 1

T−1∑t=τ

∑j = 1N(|wij,t+1 − wij,t+|). (16)

SharpeRatio =E[Ra −Rb]

σ=

E[Ra −Rb]√var[Ra −Rb]

. (17)

Onde wij,t denota o peso do ativo j escolhido em t sob a estrategia i,wij,t+ o peso do mesmo ativo no perıodo subsequente na ausencia de umre-balanceamento e wij,t+1 capta o peso desejado do ativo em t + 1 pos-balanceamento.

A equacao (17) conhecida como ındice de Sharpe, fornece um indi-cativo da relacao risco x retorno de um investimento. Um maior valor doındice representa uma melhor relacao de retorno dado uma taxa livre derisco. Quanto menor seu valor, mais arriscado e o investimento frente a seuretorno esperado.

µ representa o retorno medio do portfolio de mınima variancia, en-quanto σ2 capta a variancia dos retornos.

3.1 Dados e Metodo

Sao utilizados os log retornos das 61 acoes com maior volume de negociacaodo ındice Bovespa, amostradas diariamente durante o perıodo que englobaJaneiro 2000 a Dezembro de 2010, totalizando n = 2471 observacoes.

A estrategia de investimento proposta, (1) Estrategia EFETIVA, ba-seada no monitoramento de forma sequencial dos pesos otimos do GMVP,sera comparada as demais estrategias que baseiam-se em criterios periodicospara a re-ponderacao do GMVP. A carteira tera os pesos otimos dos ativos

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re-ponderados de acordo com os sinais emitidos pelos CC Mahal Dif e/ouMahal Mod. Caso Z � c um sinal e emitido e a matriz de covariancia dosretornos e re-estimada tal que os novos pesos otimos dos ativos do GMVPsao obtidos. Nao obstante, dado a diferenca matematica na construcao dosgraficos de controle, sera testado qual o CC que apresentou um melhor de-sempenho emitindo de forma mais precisa os sinais de quebras estruturais.Dado sua importancia no desempenho do GMVP, as janelas de estimacao(expansao e movel) tambem serao comparadas entre sı visando criterios deeficiencia.

Os criterios adotados pelas demais estrategias para a re-ponderacaosao: re-estruturacao diaria, semanal, mensal, trimestral, semestral, anual eponderacao constante onde os pesos otimos iniciais sao mantidos constantesate n = 2471. A estrategia diaria e responsavel por deter uma variancia otimaem todos os perıodos (estrategia otima), isto e, os pesos otimos do GMVPsao re-ponderados diariamente. Assim, todas as estrategias com excessao daproposta pelos autores (1) Estrategia EFETIVA, serao baseadas em fatoresexogenos e/ou perıodicos para a re-ponderacao dos pesos otimos do GMVPao inves de criterios endogenos e/ou estatısticos.

Para o primeiro passo, foi necessario a obtencao do valor crıtico c.Visando nao incorrer em um extenso processo de simulacao via Monte carlo,devido a dificuldade matematica em solucionar as equacoes (5) e (6), optou-se baseado na literatura5, por utilizar um ξ ∈ (100 : 150) devido ao caraterfinanceiro dos dados. Tais valores de ξ denotam o primeiro sinal do ARLocorrendo no intervalo de n = (100 : 150), resultando em um limite crıtico c= 140 para ambos CC (DIF e MOD).

Munidos do valor limite c, passou-se a confeccao da estatıstica decontrole Z. Baseada na distancia Mahalanobis (T)6 entre pontos sob e forade controle, Z e computado levando em consideracao a matriz de covarianciaamostral dos ativos (responsavel por fornecer os pesos otimos do GMVP),distancia (T) e do parametro de memoria λ. Seu comportamento representaa distancia dinamica entre os pesos otimos em t e t− 1 (Dif) e entre o pesootimo e o peso do portfolio efetivo (Mod). Sua distribuicao de frequenciase comportou conforme uma chi-quadrada na grande maioria dos casos, en-quanto como uma normal para os demais.

Uma vez obtida a estatıstica Z, o proximo passo foi a escolha da

5Golosnoy e Schmid (2007)6Vide equacoes (7) e (9)

11

janela otima de estimacao. Para a janela movel foram estimados valores dem (tamanho da janela de estimacao) ∈ [63, 126 e 252] e diferentes parametrosde memoria λ ∈ [0,1].

Para a janela em expansao, alem de λ e necessario a obtencao der. Seu valor representa o numero de observacoes anteriores consideradaspara a estimacao da nova janela apos a ocorrencia de um sinal. Assim, ajanela aumenta r + α onde α representa o numero de dias corridos apos orompimento do valor limite c e continua ate que uma nova violacao ocorra.Assim, para ambos os casos, caso um sinal tenha sido emitido pelo CC, istoe, Z � c, uma nova janela de estimacao e utilizada.

A escolha da janela de estimacao otima deu-se segundo o desempenhodo GMVP para os criterios de avaliacao de performance (µ, σ2, Turnover eSharpe) sugeridos.

Com a escolha do tamanho otimo da janela movel, do recuo (r) dajanela em expansao e dos parametros λ para cada caso, estimou-se o GMVPpara as estrategias com e sem monitoramento sequencial. Os resultados saoavaliados para as diferentes estrategias e evidenciados pela tabela 1.

4 Resultados

4.1 Avaliacao da Performance do Portfolio

Baseado no metodo proposto, estimou-se os CC Mahal Mod e Mahal Dif paradiferentes valores de λ, tamanhos de janela m ∈ [63, 150 e 252] e r ∈ [63, 150e 252], afim de obter o melhor desempenho do GMVP segundo os criteriosde avaliacao de performance7. Atraves das tabelas localizadas no apendice,observou-se o melhor desempenho do portfolio estimado com janela movel detamanho (m) = 252, c = 140 e uma memoria longa, isto e, um λ ∈ (0,00 -0,30) para ambos CC Mod e Dif.

Para os demais valores de m e λ, parece haver uma reducao gradualda variancia na medida em que o tamanho da janela de estimacao aumenta.Nao obstante, o mesmo acontece para o retorno medio, Turnover e ındice deSharpe. Tais fatos corroboram com o esperado e com o obtido pela literaturavigente.

Uma vez escolhido λ e o tamanho otimo da janela movel de estimacao(m) para os CC Mahal Mod e Mahal Dif, deu-se continuidade ao proposto

7Tabelas 2,3 e 4 do apendice

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Figura 1: Retorno acumulado do GMVP segundo o CC Mahal Dif (acima)e Mahal Mod (abaixo) com janela movel.

visando a obtencao dos parametros (λ, r e c) para a janela em expansao.Comecando pelo CC Dif os melhores resultados dizem respeito a:

r = 252, λ = 0,15 e c = 140. Para o Mod: r = 252, λ = 0,75 e c = 140.Os resultados apontam unanimidade para o tamanho otimo da janela (m =252), assim como para o tamanho amostral utilizado para re-estimacao (r)da janela, uma vez emitido o sinal pelo CC. Porem, divergencias aparecem aotratar do parametro de memoria. Enquanto o CC Mod apresenta melhor per-formance com uma memoria media-baixa (λ = 0,75), o CC Dif se comporta

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Figura 2: Retorno acumulado do GMVP segundo o CC Mahal Dif (acima)e Mahal Mod (abaixo) com janela em expansao.

melhor ao utilizar memoria longa de λ = 0,15.Munidos com ambas janelas otimas de estimacao e seus respectivos

parametros otimos para cada grafico de controle, foi computado o retornoacumulado do GMVP para cada estrategia de re-ponderacao dos pesos otimos(figura 1 e 2).

Tanto na figura (1) como na figura (2) e possıvel observar a superi-oridade do GMVP da estrategia EFETIVA com monitoramento sequencialde seus pesos otimos via sinais dos CC. Todas as demais estrategias tem o

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Figura 3: Frequencia de re-ponderacao (Turnover) do GMVP com ja-nela movel segundo CC Mahal Dif (acima), Mahal Mod (meio) e re-balanceamente semanal (abaixo)

OBS: Re-ponderacao diaria possui um Turnover = 1.

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Figura 4: Frequencia de re-ponderacao (Turnover) do GMVP para estrategiaEFETIVA com janela em expansao segundo CC Mahal Dif (acima) e Mahal

Mod (abaixo).

OBS: Re-ponderacao diaria possui um Turnover = 1.

retorno acumulado de seu portfolio inferior ao obtido pela estrategia sugerida.Visando a escolha do melhor tipo de janela de estimacao (expansao

ou movel), do melhor grafico de controle e a necessidade de mais criteriosde avaliacao para quantificar ganhos economicos, as figuras 3 e 4 apresentamas frequencias de re-ponderacao do GMVP para as estrategias com e semmonitoramento sequencial em ambas janelas de estimacao.

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Analisando as figuras 3 e 4 e possıvel observar o turnover em ter-mos percentuais anualizado do GMVP segundo cada estrategia de investi-mento. Enquanto a estrategia de re-ponderacao diaria apresentou a maiorfrequencia, seguida pela semanal, a estrategia que re-pondera anualmente osativos apresentou a menor. Conforme esperado, a estrategia otima desejadadeveria residir no intervalo contido entre os dois extremos. Representadapela linha azul escura, ao observar a frequencia de re-ponderacao da es-trategia (1) EFETIVA, ocorreu uma maior troca na proporcao dos ativosretidos pelo investidor em momentos de maior volatilidade dos mercados8

(quebras estruturais) contidas entre Abril de 2008 e Agosto de 2009. As pri-meiras ponderacoes ocorreram em n = 400 para todos CC e ate n = 2471distintos foram os momentos em que a re-ponderacao foi sugerida. de n =2000 ate o final do perıodo conforme explicitado, a maioria dos sinais foramemitidos sugerindo a re-ponderacao do GMVP, deixando explicito a eficienciado processo de monitoramente sequencial em captar quebras estruturais.

Afim de organizar os resultados obtidos para fins de escolha, foi ela-borada a tabela (1). Nela e possıvel observar a superioridade da estrategiaEFETIVA com monitoramento sequencial tanto para a janela em expansaocomo para a janela movel. A estrategia proposta apresentou superioridadeas demais devido a sua natureza endogena de re-estruturacao (sinais dos CC)do GMVP e por nao re-ponderar os pesos otimos de forma a se tornar eco-nomicamente inviavel (1 dia), nem de maneira muito lenta (1 ano) tal que acomposicao otima dos ativos esteja a muito defasada.

As demais estrategias de re-ponderacao, anual, semestral, trimestral,mensal, semanal, diaria e pesos constantes apresentaram um desempenhosatisfatorio porem inferior ao obtido via estrategias baseadas nos sinais dosCC. Nao obstante, o pior desempenho foi observado para as estrategias diariae semanal (Turnover’s = 1 e 0,2 respectivamente) apesar da baixa variancia,em conjunto com a estrategia que nao modifica os pesos otimos iniciais.

Para as estrategias de re-ponderacao sem monitoramento sequencial,a superioridade no retorno medio ficou com as re-ponderacoes diarias e sema-nais. A melhor variancia tambem foi obtida para ambas estrategias (diaria esemanal). Para a frequencia de re-ponderacao, desconsiderando a estrategiade pesos constantes por motivo de nao haver re-ponderacao, os menores va-lores foram obtidos conforme esperado para as estrategias Anual e Semestralrespectivamente. Ao passo que os piores valores adviram das estrategias:

8Sub-Primes.

17

Figura 5: Retorno acumulado pela estrategia Efetiva segundo os CC Dif e

Mod para diferentes janelas de estimacao: Expansiva e movel.

Nota: Quadrado destacado em negrito amplia o final do perıodo para melhor visualizacao. Eixo x tem-se

o numero de perıodos enquanto o eixo Y traz o retorno em % p.p.

diaria e semanal.

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Tabela 1: Desempenho do GMVP para as diferentes estrategias.

Estrategias µ σ2 Turnover Sharpe

Estrategia EFETIVA com Janela Movel e criterios otimos.

Mahal MOD 0,100 0,0049 0,007 0,561

Mahal DIF 0,092 0,0038 0,108 0,513

Estrategia EFETIVA com Janela em Expansao e criterios otimos

Mahal MOD 0,104 0,022 0,008 0,516

Mahal DIF 0,097 1,1e−06 0,008 0,451

Demais Estrategias sem monitoramento sequencial.

Constante 0,089 0,011 0,000 0,273Diario 0,096 9, 86e−07 1 0,355

Semanal 0,096 1, 01e−06 0,200 0,355Mensal 0,092 0,004 0,047 0,489

Trimestral 0,093 0,004 0,015 0,462Semestral 0,088 0,006 0,007 0,350

Anual 0,092 0,007 0.004 0,378

Notas: Criterios otimos para janela em expansao: Dif com m = 252, r = 252, λ = 0,15 e c = 140. Mod

com m = 252, r = 252, λ = 0,75 e c = 140. Criterios otimos para janela movel: DIF e Mod com m

= 252, λ = 0, 95 e c = 140. Turnover’s igualam-se a zero no portfolio de pesos constantes pois nao ha

re-ponderacao ao longo do perıodo utilizado. Os melhores resultados encontram-se destacados em negrito.

19

Por fim, a melhor relacao risco x retorno para as estrategias de re-ponderacao exogenas foi obtida pela Mensal com um Sharpe Ratio = 0,489.

Ao tratar das estrategias de re-balanceamento endogenas, algumasassertivas sao necessarias devido as diferentes performances do GMVP deacordo com a janela de estimacao e grafico de controle utilizados. Escolher omelhor CC e a melhor janela de estimacao sao tarefas complexas. Comece-mos pela janela movel.

Com performance superior do CC Mahal Mod em: SR (Sharpe Ratio)= 0,561, Turnover = 0,7 % e retorno medio = 0,100. Infere-se que, apesarde apresentar uma menor variancia frente ao CC Dif, (diferenca (∆) deapenas 0,0011), os sinais do esquema de monitoramento dos pesos otimos doGMVP via CC Mod com janela movel de tamanho m = 252, c crıtico = 140e parametro de memoria alto (λ = 0,25) apresentaram maiores ganhos deeficiencia.

Para a janela em expansao com c = 140 e r = 252 os resultados apre-sentam certas divergencias, principalmente pelo fato do CC Dif apresentaruma variancia equivalente a 1,1e−06. Os demais criterios de performances (µe Turnover) apresentaram valores similares para ambos CC. Porem, um SR= 0,516 sugere uma melhor relacao de retorno frente ao risco via grafico decontrole Mahal Mod. Com uma memoria media-baixa (λ = 0, 75), o CC Mod

superou o Dif tambem na janela em expansao. Acredita-se que o fato doındice de Sharpe nao incorporar a menor variancia apresentada pelo CC Difem expansao deve-se em grande medida, a seu baixo retorno medio. Assim,ao dividir pelo desvio-padrao da carteira as diferencas de retorno (risco xlivre de risco)9, obtem-se o ındice de Sharpe equivalente a 451.

Apesar das similaridades de desempenhos intra CC e intra janelas deestimacao, escolhe-se como estrategia otima de monitoramento o CC Mahal

Dif com janela em expansao. A escolha deve-se justamente as similaridadesde performance em µ, Turnover e SR as demais estrategias e principalmentea sua superioridade em σ2.

Apesar variancias similares, seu turnover e significativamente inferior(0,8%) quando comparado com as estrategias de re-balanceamento diario e se-manal (100% e 20% respectivamente). Nao obstante, dado as caracteristicasproprias da formulacao de cada CC em captar movimentos abruptos (Dif),ou mudancas na tendencia de longo-prazo (Mod), elaborou-se as figuras 5,6, 7, 8 e 9 visando re-forcar a escolha otima de monitoramento do GMVP

9Vide equacao (17)

20

baseada somente em um CC ou atraves da combinacao de ambos.

Figura 6: Variancia do GMVP da estrategia Efeitva para as diferentes janelasde estimacao e diferentes graficos de controle.

Note: Figura superior apresenta a var para os CC (Mahal Dif e Mod com janela movel e Mod com janela

em expansao. Figura inferior apresenta o melhor desempenho via CC Dif com janela em expansao. Eixo

Y capta a variancia em termos % (percentuais).

21

Figura 7: Frequencia de re-ponderacao (Turnover) do GMVP da estrategiaEfetiva segundo sinais dos CC Mahal Mod e Mahal Dif para ambas janelasde estimacao: em expansao e movel.

Nota: Em vermelho, Turnover do GMVP segundo CC Mod e janela movel. Verde representa o Turnover

do CC Dif com janela movel. Para a janela em expansao, a linha preta capta o Turnover do CC Mod

enquanto a linha azul e responsavel pela frequencia de re-ponderacao do CC Mahal Mod.

4.2 Analise da estrategia de monitoramento sequencialotima

Conforme evidenciado na tabela 1, as estrategias com monitoramento apre-sentaram melhor desempenho frente as estrategias desprovidas de monito-ramento sequencial. Afim de re-forcar a escolha da melhor estrategia demonitoramento sequencial, foi analisado conjuntamente a performance dasdistintas estrategias de re-ponderacao (CC DIf e Mod com janelas de es-timacao movel e em expansao) segundo os criterios de avaliacao propostos.

Para o criterio de retorno acumulado (figura 5), todas estrategiasapresentaram desempenhos similares, contudo, a estrategia Mod movel apre-sentou superioridade, seguida pelas estrategias Dif movel e Dif em expansao.

Ja com relacao a analise da variancia do portfolio (Figura 6), a supe-rioridade da estrategia Dif em expansao ficou mais latente, uma vez que sua

22

Figura 8: Sinais emitidos pelo CC Mahal Dif com janela em expansao parao retorno medio do portfolio Efetivo (Figura superior) e para a variancia doportfolio Efetivo (figura inferior).

Nota: Eixos verticais destacados em vermelho significam a emissao de um sinal do CC Mahal Dif para

a re-ponderacao do GMVP. Figura superior capta a evolucao do retorno medio do portfolio efetivo com

estrategia de monitoramento sequencial. Figura inferior representa a evolucao da variancia do portfolio

Efetivo.

variancia e muito menor que as concorrentes. As demais estrategias possuemvariancias bastante similares.

Por fim, para o Turnover (Figura 7), a estrategia Mod em expansao

23

Figura 9: Evolucao da estatıstica Z e seu limite crıtico c (figura superior).Spread entre variancias do portfolio Efetivo e portfolio otimo (figura inferior).

Nota: Em vermelho, sinais advindos do grafico de controle Mahal Dif com janela em expansao. Momentos

em que houve uma re-ponderacao do GMVP (Z � c) encontram-se destacados em pontos vermelhos para

a figura superior e em eixos verticais vermelhos para o grafico inferior.

apresentou ligeira superioridade a Dif tambem em expansao. Desta forma,considerando o desempenho nos tres criterios, conclui-se que a melhor es-trategia de monitoramento sequencial consiste no CC Dif com janela expan-

24

siva.Assim, com o proposito de demonstrar a eficacia do monitoramento

sequencial e para captar o impacto economico da re-ponderacao do portfoliosobre sua variancia e retorno, foram elaboradas com base na estrategia demonitoramento vencedora, as figuras 8 e 9.

Ao analisar as figuras, fica latente o sincronismo entre os sinais emi-tidos pelo CC e as oscilacoes do processo em questao, especialmente nosgraficos que representam a variancia (Figura 8), spread de variancias e es-tatıstica de controle Z (Figura 9). Este sincronismo reflete bem o mecanismode funcionamento do ferramental de monitoramento sequencial dos CC. Aopasso que a distancia Mahalanobis entre os portfolios otimos aumenta, as-sim tambem o faz a estatıstica de controle Z e o spread de variancias entre oportfolio efetivo e o portfolio otimo10.

A partir do momento em que ocorre um distanciamento entre osportfolios otimos11 (Mahal Dif) tal que a estatıstica Z supere a regiao crıtica,um sinal e emitido pelo CC indicando uma quebra estrutural. Ou seja, houveuma alteracao significativa na combinacao dos pesos otimos do portfolio e osCC sugerem sua re-ponderacao. Este re-balanceamente na maioria dos casos,resulta numa queda gradual da estatıstica Z (Figura 9), da variancia (Figura8) e do spread (Figura 9). Porem, houveram momentos em que apesar dossinais emitidos, a re-ponderacao nao incorreu em queda gradual da estatısticade controle nem (consequentemente) nas demais variaveis. Assim outro sinalteve de ser emitido sugerindo uma nova re-ponderacao.

5 Conclusao

Mesmo com performances heterogeneas entre os CC (Dif e Mod) e as janelasde estimacao, estrategias responsaveis por re-ponderar os pesos otimos doGMVP atraves do monitoramento sequencial sobrepujaram as baseadas emcriterios puramente periodicos e/ou aleatorios, aprimorando a estimacao damatriz de covariancia.

Baseado nos criterios propostos, a estrategia que apresentou-se su-perior as demais foi a EFETIVA com monitoramento dos pesos otimos do

10Elevacoes no spread de variancias refletem em grande medida as ascencoes da varianciado GMVP. Porem, as mesmas podem advir de uma queda mais acentuada da varianciaotima com relacao a efetiva.

11Vide equacao 9).

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GMVP segundo sinais emitidos pelo CC Mahal Dif e janela de estimacaootima em expansao, com r = 252 dias, c crıtico = 140 e parametro de memoriaelevado (λ = 0,15).

A escolha da estrategia otima de re-ponderacao dos pesos otimos doportfolio nao foi uma tarefa facil devido as similaridades obtidas nos resul-tados dos criterios de performance12. Assim, por apresentar uma varianciabastante inferior as demais estrategias de monitoramento (Mod movel e emexpansao e Dif movel) optou-se pelo CC Dif em expansao. A estrategiaapresentou uma frequencia de re-ponderacao ao longo do perıodo otima deapenas 0,8 %, um Sharpe Ratio = 0,451 e retorno medio de 9 % p.p.

Apesar da melhor performance, algumas limitacoes surgem do ferra-mental CC. Conforme explicitado por (Chou 2001) sobre a normalidade dadistribuicao das estatısticas de controle, observou-se uma sobrepujanca dedistribuicoes chi-quadradas sobre distribuicoes normais. Assim, a maneiraclassica de desenvolver os CC pode levar a uma reducao em sua capacidadede sinalizacao de quebras estruturais.

Cada grafico de controle possui sua performance propria devido a suaformulacao caracterıstica. Enquanto o CC Mahal Dif responde rapidamentea quebras estruturais (Z� c), falha em captar tendencias/mudancas de longo-prazo subjacentes no processo. Ja o CC Mahal Mod capta de maneira maislenta tais mudancas abruptas (quebras estruturais) enquanto eimite sinaiseficientes para as quebras da tendencia de longo-prazo na estatıstica de con-trole. Desta forma, o ideal seria o monitoramento conjunto do portfolio viaambas estrategias, tal que as mudancas de longo-prazo nao captadas peloMahal Dif sejam pelo Mahal Mod.

Em suma, as estrategias de controle baseadas no CC se mostraramsuperiores quando comparadas com estrategias de reponderacao periodica ede pesos constantes, comumente utilizadas no mercado, tanto no que tangeo objetivo central da estrategia (obter uma carteira com baixa volatilidade),quanto no criterio de maior retorno acumulado, que apesar de nao ser omelhor criterio para a avaliacao de performance, consiste tambem em umdos objetivos do investidor.

Outros graficos de controle como o CUSUM13 ao serem aplicadospara os dados brasileiros podem levar a resultados interessantes devido ascaracterısticas proprias contidas em sua formulacao.

12Vide tabela 113Cumulated Sum ou somatorio acumulado

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Alem dos criterios classicos para avaliacao da performance do port-folio como µ e σ2, outros como os ındices Turnover e de Sharpe foram fun-damentais para a escolha otima das janelas de estimacao e dos paramentrosde memoria λ, levando a um maior controle da carteira.

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Apendice:

Escolha otima da janela de estimacao e parametro λpara o GMVP

Tabela 2: Performance do GMVP via estrategia EFETIVA com janela movelm = (63,126 e 252), λ ∈ (0, 1) e CC Mahal Mod.

Grafico de controle Mahal MOD

Tamanho Janela λ µ σ2 Turnover Sharpe

λ ∈ (0, 00− 0, 30) 0,133 0,083 0,174 0,241m = 63 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,129 0,094 0,157 0,213

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,120 0,098 0,142 0,181λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,115 0,089 0,140 0,174

λ ∈ (0, 00− 0, 30) 0,084 0.010 0,015 0,236m = 126 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,086 0,009 0,015 0,258

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,084 0,010 0,016 0,241λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,086 0,010 0,016 0,255

λ ∈ (0,00 - 0,30) 0,100 0,0049 0,0073 0,561m = 252 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,098 0,0050 0,0085 0,527

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,093 0,0043 0,0076 0,484λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,091 0,0042 0,0080 0,470

Notas: Os valores otimos escolhidos encontram-se destacados em negrito. O valor crıtico e c=140.

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Tabela 3: Performance do GMVP via estrategia EFETIVA com janela movelm = (63,126 e 252), λ ∈ (0, 1) e CC Mahal Dif.

Grafico de controle Mahal DIF

Tamanho Janela λ µ σ2 Turnover Sharpe

λ ∈ (0, 00− 0, 30) 0,086 0,044 0,009 0,106m = 63 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,129 0,082 0,009 0,230

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,136 0,101 0,008 0,228λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,137 0,106 0,007 0,225

λ ∈ (0, 00− 0, 30) 0,098 0,009 0,057 0,393m = 126 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,098 0,009 0,064 0,385

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,087 0,010 0,078 0,266λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,087 0,010 0,089 0,260

λ ∈ (0,00 - 0,30) 0,092 0,003 0,108 0,513m = 252 λ ∈ (0, 30− 0, 60) 0,093 0,003 0,118 0,514

λ ∈ (0, 60− 0, 90) 0,093 0,004 0,127 0,506λ ∈ (0, 90− 0, 99) 0,092 0,003 0,130 0,504

Notas: Os valores otimos escolhidos encontram-se destacados em negrito. O valor crıtico e c=140.

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Tabela 4: Avaliacao do GMVP Frente a Diferentes Estrategias com JanelaExpansao

Grafico de controle Mahal MOD

Janela λ µ σ2 Turnover Sharpe

Expansao λ ∈ (0, 00− 0, 1) 0,098 0,001 0,413 1,415

Grafico de controle Mahal DIF

Janela λ µ σ2 Turnover Sharpe

Expansao λ ∈ (0, 00− 0, 1) 0,091 0,050 0,969 0,131

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