OtimizacaoAtividade1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAISInstituto de Informática

Curso: Sistemas de InformaçãoDisciplina: Otimização de Sistemas de Informação

Professor: Soraia Lúcia da SilvaLista de Exercícios 122 de março de 2011

Modele as questões abaixo:

1. Uma empresa que trabalha com mármores e granitos fabrica soleiras e peitoris. Ela repassa para os revendedores tendo um lucro de $7,00 por soleira e $8,50 por peitoril. Cada soleira tem 0,6m2 de área e cada peitoril tem área de 0,8m2 . A empresa dispõe de 16m2 de granito diariamente para fazer as peças e tem 5 funcionários que trabalham 6 horas por dia. Na confecção de uma soleira gastam-se 24 minutos e na confecção do peitoril, 20. Sabendo que toda a produção é absorvida pelo mercado, construa o modelo matemático de produção diária que maximiza o lucro da empresa.

Lucro $ Área m2 Tempo Minutos gasto na confecção

Soleiras 7,00 0,6 24Peitoris 8,50 0,8 20Disponibilidades 16 5x360min = 1800

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 7X1 + 8,5X2)

Variável de decisão:X1 = quantidade de SoleirasX2 = quantidade de Peitoris

Sujeito a:0,6X1 + 0,8X2 <= 1624X1 + 20X2 <= 1800

Restrição de não negatividade:X1 >= 0, X2 >= 0

2. A empresa Ciclo S.A. faz montagem de dois tipos de bicicletas: a do tipo Padrão e a do tipo Clássico. Ela recebe as pecas de outras empresas e a montagem passa por duas oficinas. A montagem de uma bicicleta tipo Padrão requer uma hora na oficina I e duas horas e meia na oficina II. A montagem de uma bicicleta modelo Clássico requer uma hora e meia na oficina I e duas horas e meia na oficina II. A oficina I tem disponibilidade de 20 funcionários que trabalham 8 horas por dia, e a oficina II tem disponibilidade de 32 funcionários que trabalham, também, as mesmas 8 horas diariamente cada um. A demanda diária de bicicleta tipo Clássico é de 40 pecas. Sabendo que a bicicleta modelo Padrão dá uma contribuição para o lucro de $38,00 e a modelo Clássico da $49,00, determine o modelo de programação linear que maximiza o lucro da empresa.

Oficina 1 Oficina 2Demanda diária

Contribuição para o Lucro $

Padrão 1h 2h30min - 38,00Clássico 1h30min 2h30min 40 49,00

Disponibilidades

20 funcionários

8h/dia

32 funcionários

8h/dia

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Oficina 1 Oficina 2Demanda diária

Contribuição para o Lucro $

Padrão 60min 150min - 38,00Clássico 90min 150min 40 49,00

Disponibilidades20x480min

= 960032 x480min

= 15360

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 38x1 + 49x2)

Variável de decisão:X1 = quantidade de bicicletas padrãoX2 = quantidade de bicicletas clássicas

Sujeito a:60x1 + 90x2 <= 9600150x1 + 150x2 <= 15360x2 = 40


3. Uma fábrica de brinquedos vai produzir três novos tipos de jogos para crianças: Plim, Plam e Plum. Esses brinquedos são montados a partir de pecas de encaixes fabricados por outra empresa, nos modelos A, B e C. Na montagem do modelo Plim, são utilizadas duas pecas do modelo A e três pecas do modelo C; na montagem do modelo Plam são utilizadas quatro peças do modelo B e três pecas do modelo C e na montagem do modelo Plum, duas pecas de modelo A, duas pecas do modelo B e quatro pecas do modelo C. Na montagem do modelo Plim gastam-se três minutos, do modelo Plam três minutos e meio e do modelo Plum cinco minutos. A empresa dispõe, diariamente, de 3.000 pecas do modelo A, 5.400 pecas do modelo B e 8.100 do modelo C. No departamento de montagem existem 16 funcionários que trabalham seis horas por dia. A fábrica comercializa, diretamente, esses jogos em sua loja aos preços de $4,80, $5,10 e $6,00 os modelos Plim, Plam e Plum, respectivamente. Construa o modelo para esse problema de programação linear.

A B C Tempo gasto em minutos Preço $Plim 2 0 3 3 4,80Plam 0 4 3 3,5 5,10Plum 2 2 4 5 6,00Disponibilidades 3000 5400 8100 16x360min = 5760

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 4,80x1 + 5,10x2 + 6,00x3)

Variável de decisão:X1 = quantidade de PlimX2 = quantidade de PlamX3 = quantidade de Plum

Sujeito a:2X1 + 0X2 + 2X3 <= 30000X1 + 4X2 + 2X3 <= 54003X1 + 3X2 + 4X3 <= 81003X1 + 3,5X2 + 5X3 <= 5760

Restrição de não negatividade: X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0

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4. Uma loja representante de uma grande empresa de tintas faz misturas de tintas, a pedido, para seus clientes, na cor azul em três tonalidades diferentes. Como está na moda tom-sobre-tom, a procura tem sido muito grande e o dono da loja quer saber a produção que vai lhe proporcionar o maior lucro. A loja dispõe, para composição das três tonalidades, 55,5 unidades de tinta azul escura, 16 unidades de solventes, 35,5 unidades de tinta branca e 23 unidades de base. Sabe-se que o material gasto para fazer uma unidade de cada tonalidade é o constante na tabela abaixo:

Para cada unidade de tinta vendida o lucro para as tonalidades I, II e III e de $12,00, $13,80 e $14,50, respectivamente. Faca a modelagem do problema, onde se deve calcular a quantidade de tinta de cada modalidade que deve ser produzida para que a loja obtenha lucro máximo.

Tinta azul-escura Tinta branca Solvente BaseTonalidade I 0,40 0,30 0,15 0,15Tonalidade II 0,45 0,25 0,10 0,20Tonalidade III 0,50 0,15 0,10 0,25Disponibilidades 55,5 35,5 16 23

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 12x1 + 13,80x2 + 14,50x3)

Variável de decisão:X1 = quantidade de tinta de Tonalidade IX2 = quantidade de tinta de Tonalidade IIX3 = quantidade de tinta de Tonalidade III

Sujeito a:0,40X1 + 0,45X2 + 0,50X3 <= 55,50,30X1 + 0,25X2 + 0,15X3 <= 35,50,15X1 + 0,10X2 + 0,10X3 <= 160,15X1 + 0,20X2 + 0,25X3 <= 23

Restrição de não negatividade:X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0

5. Uma fabrica de móveis para escritórios produz estantes e mesas para computadores. Cada estante gasta 2,5m2 de madeira, 14 parafusos, 0,40 kg de cola, 8 puxadores e 6 dobradiças e cada mesa para computador gasta 2,0m2 de madeira, 18 parafusos, 0,22 kg de cola, 2 puxadores e 4 dobradiças. A empresa tem 18 empregados que trabalham oito horas por dia e sabe-se que uma estante gasta entre corte de madeira e o seu término quatro horas e meia e a mesa para computador, três horas. A loja dispõe, diariamente, de 90m2 de madeira, 7 caixas de parafusos contendo, cada uma, 100 parafusos, 12 quilos de cola, 15 caixas de puxadores, cada uma contendo 12 pecas e 17 caixas de dobradiças, cada uma contendo 12 pecas. No mercado a empresa obtém um lucro de $45,00 por cada estante vendida e $36,00 por cada mesa para computador. O mercado impõe uma demanda máxima de 16 estantes e 25 mesas. Determine o modelo matemático para esse problema que maximiza o lucro da empresa.

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madeira m2

parafuso

Cola kg

puxadores dobradiçasTempo gasto

Lucro $

Demanda máxima

Estantes2,5 14 0,40 8

6 4h30min

45,00 16

Mesas 2,0 18 0,22 2 4 3h 36,00 25Disponibilidades 90 7x100 12 15x12 17x12 18x8h

madeira m2

parafuso

Cola kg

puxadores dobradiçasTempo gasto

Lucro $

Demanda máxima

Estantes 2,5 14 0,40 8 6 270min 45,00 16Mesas 2,0 18 0,22 2 4 180min 36,00 25

Disponibilidades 90 700 12 180204 7680mi

n

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 45x1 + 36x2)

Variável de decisão:X1 = quantidade de EstantesX2 = quantidade de Mesas

Sujeito a:2,5x1 + 2,0x2 <= 9014x1 + 18x2 <= 7000,40x1 + 0,22x2 <= 128x1 + 2x2 <= 1806x1 + 4x2 <= 204270x1 + 180x2 <= 7680x1 <= 16 x2 <= 25

Restrição de não negatividade: X1 >= 0, X2 >= 0

6. Uma fabrica de confecções produz camisetas, bonés e calções. Cada camiseta gera uma contribuição para o lucro de $4,56, cada boné $3,50, e cada calção de $4,60. Na confecção de uma camiseta gastam-se 1,10 m de tecido, em cada boné 0,45 m e em cada calção 1,20 m. A fabrica conta com 25 costureiras que trabalham 6 horas por dia na confecção desses artigos. Cada camiseta leva 14 minutos para ser confeccionada, um boné 11 minutos e um calção 10 minutos. O mercado demanda ate 500 camisetas, não mais que 100 calções e no mínimo 60 bonés. Sabendo que a fabrica dispõe de 748 metros de tecido, diariamente, monte o modelo de produção que maximiza o lucro da empresa.

Lucro $ Tecido metros Tempo confecção minutos DemandaCamisetas 4,56 1,10 14 500Bonés 3,50 0,45 11 Menos que 100Calções 4,60 1,20 10 Mínimo 60Disponibilidades 748 25x6h = 9000min


Variável de decisão:X1 = quantidade de CamisetasX2 = quantidade de BonésX3 = quantidade de Calções

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Sujeito a:1,10x1 + 0,45x2 + 1,20x3 <= 74814x1 + 11x2 + 10x3 <= 9000x1 <= 500x2 <= 100x3 >= 60


7. Uma fábrica de sapatos produz três tipos de modelos diferentes: básico, colegial e de luxo. No modelo básico são necessários 55 cm de couro e uma fivela; o modelo colegial utiliza 60 cm de couro e modelo de luxo utiliza duas velas e 70 cm de couro. A fábrica emprega 100 pessoas na confecção dos sapatos, que trabalham 8 horas por dia. Sabe-se que o modelo básico gasta 20 minutos na sua confecção, o colegial 28 minutos e o luxo 36 minutos. A disponibilidade diária de couro e de 1.000 metros e a de fivelas e de 2.400 unidades.Sabendo que o modelo básico produz um lucro de $9,76, o colegial $10,50 e o luxo $15,50, determine o modelo de produção diária que maximiza o lucro da empresa.

Couro cm Fivela Tempo confecção minutos Lucro $Básico 55 1 20 9,76Colegial 60 0 28 10,50Luxo 70 2 36 15,50Disponibilidades 1000m 2400 100x8h

Couro cm Fivela Tempo confecção minutos Lucro $Básico 55 1 20 9,76Colegial 60 0 28 10,50Luxo 70 2 36 15,50Disponibilidades 100000cm 2400 48000min


Variável de decisão:X1 = quantidade de Sapatos básicosX2 = quantidade de Sapatos colegialX3 = quantidade de Sapatos luxo

Sujeito a:55x1 + 60x2 + 70x3 <= 1000001x1 + 0x2 + 2x3 <= 240020x1 + 28x2 + 36x3 <= 48000


8. Uma pequena manufatura produz três artigos: A1, A2 e A3. No comercio local vende seus produtos obtendo uma receita unitária de $58,50 para A1, $67,00 para A2 e $73,50 para A3. Para confecção de A1 são gastos 2m de tecido padronizado, 0,94m2 de couro e é empregado 1H/h; em A2 são gastos 1,80m de tecido padronizado, 1,1m2 de couro e 1,15 H/h; e, na confecção de A3 2,10m de tecido padronizado, 1,20m2 de couro e 1,25 H/h.

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Para confecção diária desses artigos a empresa dispõe de 600 m de tecido padronizado, 400m2 de couro e 320 H/h. Considerando os dados expostos, construa o modelo que maximiza a receita da empresa.

Tecido padronizado (m) Couro (m2) Homem/Hora Lucro $A1 2 0,94 1 58,50A2 1,80 1,1 1,15 67,00A3 2,10 1,20 1,25 73,50Disponibilidades 600 400 320

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 58,50x1 + 67x2 + 73,50x3)

Variável de decisão:X1 = quantidade de A1X2 = quantidade de A2X3 = quantidade de A3

Sujeito a:2x1 + 1,8x2 + 2,10x3 <= 6000,94x1 + 1,1x2 + 1,20x3 <= 4001x1 + 1,15x2 + 1,25x3 <= 320


9. Uma fábrica de móveis fabrica camas, cadeiras e armários para banheiros. O Departamento de Produção forneceu os seguintes dados por unidade fabricada.

As disponibilidades diárias de madeira e verniz são, respectivamente, de 60m2 e 25 litros. A fábrica tem oito funcionários que trabalham oito horas por dia. Na venda dos produtos aos revendedores locais são obtidos os lucros unitários de $40,00, $50,00 e $120,00 para cama, cadeira e armário, respectivamente. Admitindo-se que toda a produção e absorvida pelo mercado, quais são as quantidades diárias desses três artigos que devem ser fabricadas para que a empresa maximize o lucro? Modele este problema de programação linear.

Madeira (m2) Verniz (L) Homem/Hora Lucro $Camas 1,3 0,3 1 40,00Cadeiras 1,0 0,4 1,5 50,00Armários 2,1 1,0 2 120,00Disponibilidades 60 25 8*8h = 64

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 40x1 + 50x2 + 120x3)

Variável de decisão:X1 = quantidade de camasX2 = quantidade de cadeirasX3 = quantidade de armários

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Sujeito a:1,3x1 + 1,0x2 + 2,1x3 <= 600,3x1 + 0,4x2 + 1,0x3 <= 251x1 + 1,15x2 + 2x3 <= 64


10. A colônia de Pescadores Mar Azul tem uma frota de barcos de pesca que atua diariamente nas águas territoriais de determinado país. A pesca tem restrições legais e, para evitar a pesca indiscriminada e predatória, a colônia recebeu permissão do órgão controlador para capturar, mensalmente, o máximo de 3000 toneladas de badejo, o máximo de 1200 toneladas de vermelho e 900 toneladas de cação. O órgão governamental também determinou que o máximo que a empresa pode pescar não deve ultrapassar 4600 toneladas. Devido a problemas surgidos em uma câmara fria, a quantidade de badejo a ser pescada não pode ser maior que o dobro da quantidade de vermelho. Sabendo-se que essa colônia repassa aos postos de venda da região o badejo ao preço de $8,50 o quilo, o vermelho a $9,00 e o cação a $9,60, quais quantidades devem ser pescadas de cada espécie para que a receita da empresa pesqueira seja máxima? Construa o modelo de PL para este problema.

Qnt máxima permitida (toneladas) Lucro $ (kg)Badejo 3000 < = que 2*vermelho 8,50Vermelho 1200 9,00Cação 900 9,60Disponibilidades 4600

Qnt máxima permitida (toneladas)Lucro $

(toneladas)Badejo 3000 < = que 2*vermelho 8500,00Vermelho 1200 9000,00Cação 900 9600,00Disponibilidades 4600


Variável de decisão:X1 = quantidade de badejoX2 = quantidade de vermelhoX3 = quantidade de cação

Sujeito a:x1 + x2 + x3 <= 4600x1 <= 3000x2 <= 1200x3 <= 900x1 <= 2x2


11. Uma empresa de informática tem em seu quadro de pessoal 25 engenheiros e 40 técnicos. Ela venceu uma concorrência para instalar todo o sistema de computação de um edifício inteligente e está preparando as equipes para trabalharem nessa obra. Dos estudos realizados para o emprego da mão-de-obra chegou-se a conclusão de que haveria viabilidade para empresa trabalhar com três tipos de equipes com as seguintes composições:

• Tipo I: 2 engenheiros e 6 técnicos

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• Tipo II : 4 engenheiros e 8 técnicos • Tipo III: 3 engenheiros e 9 técnicos

O emprego de cada equipe do Tipo I, diariamente, dá uma receita para a empresa no valor de $2.000,00; da equipe Tipo II, $3.000,00; e da equipe III, $2.800,00.

Qual deve ser a quantidade a ser empregada de cada tipo de equipe na obra para que a receita da empresa de informática seja máxima? Modelo este problema de programação linear.

Engenheiros Técnicos Lucro $Tipo I 2 6 2.000,00Tipo II 4 8 3.000,00Tipo III 3 9 2.800,00Disponibilidades 25 40


Variável de decisão:X1 = quantidade de equipe Tipo IX2 = quantidade de equipe Tipo IIX3 = quantidade de equipe Tipo III

Sujeito a:2x1 + 4x2 + 3x3 <= 256x1 + 8x2 + 9x3 <= 40


12. Uma empresa produz dois tipos de reboques: luxo, que e utilizado em carros de passeio, e comercial, para ser acoplado em camionetes. Na produção dos reboques são utilizados os departamentos de montagem e de pintura, os quais têm a seguinte matriz tecnológica:

A empresa tem 15 funcionários do departamento de montagem e 8 no departamento de pintura, que trabalham 8 horas, diariamente. Sabendo-se que um reboque de luxo da contribuição para o lucro de $360,00 e um do tipo comercial $285,00, qual deve ser a produção da empresa que lhe proporcionara o maior lucro possível? Monte o modelo matemático para esse problema.

Montagem Pintura Lucro $Luxo 5 4 360,00Comercial 2 1 285,00Disponibilidades 15*8h = 120 8*8h = 64

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 360,00x1 + 285,00x2)

Variável de decisão:X1 = quantidade de reboque LuxoX2 = quantidade de reboque Comercial

Sujeito a:5x1 + 2x2 <= 120

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4x1 + 1x2 <= 64


13. Uma empresa de transporte recebeu a proposta de transportar trabalhadores de uma indústria para uma nova fábrica que está sendo inaugurada. São 600 funcionários que deverão ser transportados de uma só vez. A empresa dispõe de 8 ônibus de tamanho G que comportam 60 pessoas cada e 12, de tamanho P, com 40 lugares. Cada ônibus G custa para a fábrica, por viagem, $190,00 e cada ônibus de tamanho P, $140,00. A empresa transportadora, devido a outros contratos assinados anteriormente, dispõe de 13 motoristas. Como poderá ser realizado esse transporte pelo mínimo custo? Modele este problema.

Capacidade (pessoas) Quantidade de ônibus Custo $Ônibus G 60 8 140,00Ônibus P 40 12 190,00Disponibilidades 600 13 motoristas

Minimização de custoZ = Min (f(x) = 140,00x1 + 190,00x2)

Variável de decisão:X1 = quantidade de ônibus GX2 = quantidade de ônibus P

Sujeito a:60x1 + 40x2 <= 600x1 + x2 <= 13x1 <= 8x2 <= 12


14. Uma empresa de engenharia irá construir uma estrada em determinada região do país. Para isso, necessita retirar um grande volume de terra onde será construído um viaduto. Ela dispõe de caminhões com capacidade de carregamento de 20 toneladas e 30 metros cúbicos de volume e caminhões com capacidade de 15 toneladas e 24 metros cúbicos de volume. A quantidade de terra a ser transportada foi calculada em 9200 toneladas e o volume em 14.004 metros cúbicos. Os caminhões maiores têm um custo, por viagem, de $65,00, e cada caminhão de capacidade menor, $56,00. Quantas viagens devem ser feitas para que o custo da empresa seja mínimo? Modele este problema de PL.

toneladas m3 Custo $Caminhão maior 20 30 65,00Caminhão menor 15 24 56,00

Disponibilidades 9200 14.004

Minimização de CustoZ = Min (f(x) = 65,00x1 + 56,00x2)

Variável de decisão:X1 = quantidade de caminhão maiorX2 = quantidade de caminhão menor

Sujeito a:20x1 + 15x2 <= 9200

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30x1 + 24x2 <= 14.004


15. Uma empresa da área agrícola dispõe de 2000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. A diretoria da empresa resolveu, na repartição da área, que as plantações de cana e laranja devem, juntas, ocupar uma área de, no mínimo, 800 hectares, e que a de milho não deve ser menor do que 20% e milho e soja juntas, não devem ultrapassar 50% da área. Sabe-se que um hectare de cana dá uma contribuição para o lucro de 140,00 unidades monetárias, de laranja, 80,00, de milho, 75,00 e de soja, 160,00 unidades monetárias. Como deve ser dividida a área para que seja cumprida a determinação da diretoria da empresa de forma a ser obtido o lucro máximo? Modelo este problema.

Área (hectares)

Lucro $

Cana No mínimo 800

140,00Laranja 80,00

MilhoMaior ou igual 20% 75,00Menor ou igual 50%Soja 160,00

Disponibilidades 2000

Área (hectares)

Lucro $

Cana No mínimo 800

140,00Laranja 80,00

MilhoMaior ou igual 400 75,00Menor ou igual 1000Soja 160,00

Disponibilidades 2000

Maximização de LucroZ = Max (f(x) = 140,00x1 + 80,00x2 + 75,00x3 + 160,00x4)

Variável de decisão:X1 = quantidade de canaX2 = quantidade de laranjaX3 = quantidade de milhoX4 = quantidade de soja

Sujeito a:x1 + x2 + x3 + x4 <= 2000x1 + x2 >= 800x3 >= 400x3 + x4 <= 1000

Restrição de não negatividade:X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0, X4 >= 0

16. Uma fábrica de móveis deseja programar sua produção semanal. A fábrica produz 3 conjuntos de estofados, Royal, Palace e Luxor. Seu lucro por conjunto são $20, $8 e $3 respectivamente. Os 3 conjuntos utilizam as 3 principais seções da fabrica que são a montagem, estofamento e acabamento. Para a montagem, são utilizados 4 Homens/hora para o estofado Royal e 1 (H/h) para o Luxor. Para o estofamento, são necessários respectivamente

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4(H/h) para o Royal, 2(H/h) para o Palace e a mesma quantidade para o Luxor. Quanto ao acabamento, somente os conjuntos Royal e Palace necessitam passar pelo acabamento e gastam respectivamente 3(H/h) e 4(H/h). As seções dispõem das seguintes capacidades semanais de trabalho, respectivamente: 240 Homens/hora, 320(H/h) e 480(H/h). Formule o problema de Programação Linear acima, maximizando seu lucro para a próxima semana, utilizando o método simplex.

MontagemH/h

EstofamentoH/h

AcabamentoH/h

Custo $

Royal 4 4 3 20,00Palace 0 2 4 8,00Luxor 1 2 0 3,00Disponibilidades 240 320 480


Variável de decisão:X1 = quantidade de estofado RoyalX2 = quantidade de estofado PalaceX3 = quantidade de estofado Luxor

Sujeito a:4x1 + 1x3 <=2404x1 + 2x2 + 2x3 <=3203x1 + 4x2 <=480


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