OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE

PARTÍCULAS APLICADA AO

PROBLEMA GERAL DE

DIMENSIONAMENTO DE LOTES E

PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO

Claudio Fabiano Motta Toledo (ufla)

claudio@yahoo.br

Thiago Fialho de Queiroz Lafitá, (ufla)

fialhot@hotmail.com

Márcio da Silva Arantes (ufla)

marcio@comp.ufla.br

Renato Resende Ribeiro de Oliveira (ufla)

renatorro@comp.ufla.br

Paulo Morelato França (unesp)

paulo.morelato@gmail.com

O presente artigo propõe um método baseado em Otimização por

Enxame de Partículas (OEP) associado à programação matemática

para resolução do Problema Geral de Dimensionamento de Lotes e

Programação da Produção (PGDLPP). A OEP fixa as variávveis

binárias do modelo enquanto um método exato é utilizado na

determinação das variáveis contínuas. O PGDLPP estudado também

considera penalização para demandas não atendidas, onde uma

formulação matemática é apresentada para essa variante do problema.

Instâncias são solucionadas por uma ferramenta de modelagem

matemática cujas soluções servem para avaliação do desempenho da

OEP proposta. A OEP também é comparada a um AG anteriormente

utilizado para resolver o mesmo problema. Os resultados revelam o

melhor desempenho obtido pela OEP proposta.

Palavras-chaves: Programação da Produção, Dimensionamento de

Lotes, Enxame de Partículas, Otimização

XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente.

São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de 2010.

2

1. Introdução

O presente artigo propõe um método baseado em Otimização por Enxame de Partículas (OEP)

associado à programação matemática para resolução do Problema Geral de Dimensionamento

de Lotes e Programação da Produção (PGDLPP). A OEP fixa as variáveis binárias do modelo

enquanto um método exato é utilizado na determinação das variáveis contínuas. O PGDLPP

estudado também considera penalização para demandas não atendidas, onde uma formulação

matemática é apresentada para essa variante do problema. Instâncias são geradas para o

PGDLPP estudado seguindo os critérios propostos por Haase (1996) para o mesmo problema.

Todas as instâncias geradas são solucionadas usando a ferramenta de modelagem matemática

AMPL/CPLEX. As soluções obtidas servem como ponto de partida na avaliação de

desempenho da OEP proposta. Além disso, os resultados obtidos são comparados aqueles

encontrados pelo Algoritmo Genético com estrutura hierárquica de indivíduos proposto em

Toledo et al (2009) para o mesmo problema. Estudos considerando o PGDLPP com máquinas

paralelas são descritos em Kang et al. (1999) e Meyr (2002). O primeiro trabalho trata o

PGDLPP com máquinas paralelas usando um método baseado em geração de coluna e branch

& bound. O segundo trabalho utiliza a metaheurística simulated annealing para determinar as

variáveis binárias (atribuição de produtos às linhas e períodos) do PGDLPP e um algoritmo

exato para determinar as variáveis contínuas (dimensionamento de lotes e definição dos

estoques). O dimensionamento de lote e a programação da produção com restrição de

capacidade é um problema de otimização NP–Difícil (BITRAN E YANASSE, 1982). O

problema de dimensionamento de lotes e programação da produção multi-item também é um

problema NP-Difícil (CHEN e THIZY, 1990). A complexidade desse problema faz com que

sejam propostas heurísticas ou metaheurísticas como método de resolução. Jans e Degraeve

(2007) apresentam uma revisão da literatura considerando o uso de metaheurística na

resolução de problemas de dimensionamento de lote e programação da produção.

A otimização por Enxame de Partícula (OEP) foi introduzida por Kennedy & Eberhart (1995)

que propuseram uma abordagem baseada no comportamento de enxames de abelhas,

cardumes de peixes ou bando de pássaros quando procuram por alimentos (CHEN, T. & CHI,

T., 2010). Ali e Kaelo (2008) e Siarry et al (2007) utilizam OEP na otimização de funções

multi-modais. Chen & Zhao (2009) propõe uma OEP adaptativa, onde o tamanho da

população varia segundo uma função do tipo escada. O método é aplicado na otimização de

funções e no treinamento de redes neurais. Algoritmos Genéticos (AG) são métodos de

computação evolutiva que simulam processos biológicos (Holland, 1975). Goren et al (2008)

apresenta uma revisão da literatura para problemas de dimensionamento de lotes considerando

o uso de Algoritmos Genéticos. Um algoritmo genético multi-populacional foi utilizado por

Toledo et al (2009) para solucionar o mesmo PGDLPP aqui apresentado. Os autores

utilizaram uma representação em árvore ternária, onde indivíduos são separados em clusters

com uma ordem de hierarquia entre os indivíduos. O AG proposto foi capaz de encontrar boas

soluções, obtendo melhor desempenho em instâncias do PGDLPP com máquinas paralelas. A

próxima seção descreve o modelo matemático para o PGLDPP estudado neste trabalho. A

Seção 3 apresenta a OEP proposta. Os resultados computacionais são descritos na Seção 4. As

conclusões obtidas neste trabalho estão na Seção 5.

2. Modelo matemático para o PGDLPP

Toledo et al (2009) apresentaram o modelo matemático para o PGDLPP considerando

máquinas paralelas e penalização das demandas não atendidas. Esse modelo será detalhado

3

P1

Macro-período 2 Macro-período 1

0 1 3 5 6 9 Tempo

P1 P2 P3 P2 L1 s1 s2 s4 s5 s3

P1

10

s6

nesta seção. A formulação proposta segue a modelagem descrita por Meyr (2002) para o

PGDLPP com máquinas paralelas. A principal diferença está na inserção de variáveis que

acumulam as demandas não atendidas para cada produto. Essas variáveis são incluídas na

equação de balanço de estoque no primeiro período de produção e também são penalizadas na

função objetivo do modelo.

O problema é modelado dividindo o horizonte de planejamento em T macro-períodos. Por sua

vez, cada macro-período t possui um número fixo de micro-períodos S. Um aspecto

interessante neste tipo de modelagem é que o tamanho de cada micro-período s varia de forma

proporcional ao tamanho do lote do produto a ele atribuído. Assim, as variáveis de

dimensionamento dos lotes e de atribuição de produtos às linhas e períodos estão indexadas

por produtos e micro-períodos. O modelo assume que um único produto é atribuído e

produzido em cada micro-período.

A Figura 1 apresenta um exemplo dessa situação, supondo três produtos e três micro-

períodos em cada macro-período em uma linha L1. O tamanho dos micro-períodos s1, s2, s3,

s4, s5 e s6 varia de forma proporcional à quantidade produzida. Por exemplo, o lote em s2 de

P2 é maior que o lote de P2 em s4 na Figura 1. Assim, os micro-períodos s1, s4 e s6 ocupam 1

unidade de tempo, s2 ocupa 2 unidades e s5 ocupa 3 unidades de tempo.

Figura 1 – Variação dos micro-períodos (Toledo et al, 2009).

Um total de J produtos e L linhas são considerados. Abaixo são listados os demais parâmetros

do problema

Ct: Capacidade em unidades de tempo disponível no macro-período t.

TPl,j: Tempo de processamento do produto j na linha l.

Minj: Lote mínimo do produto j.

Hj: Custo de estoque do produto j.

CTij: Custo de troca do produto i para o produto j.

Dit: Demanda do produto i no macro-período t.

Ij0: Estoque inicial do produto j no início do horizonte de tempo.

Yl,j,0: 1, se o produto j está ajustado inicialmente para a linha l; 0 caso contrário.

M: Penalização por unidade de demanda não atendida.

As variáveis do modelo são apresentadas a seguir:

Ijt ≥ 0: Estoque do produto j ao final do macro-período t.

qljs ≥ 0: Quantidade do produto j produzido no micro-período s da linha l.

q0

j ≥ 0: Quantidade de demanda do produto j que não foi produzida.

4

yl,j,s : 1 Se o produto j é atribuído à linha l no micro-período s; 0 caso contrário.

zlijs ≥ 0: zlijs = 1 se há troca do produto i para j no micro-período s da linha l; zijs = 0,

caso contrário.

O modelo matemático para o PGLDPP com máquinas paralelas e penalização de demandas é

descrito a seguir:

A função objetivo minimiza os custos de estoque e os custos de troca envolvendo produtos.

Os custos de troca foram considerados como dependentes da sequência dos produtos, mas

independentes das linhas. As demandas não atendidas são acumuladas nas variáveis q0j e

penalizadas na função objetivo. O estoque de cada macro-período é determinado pelas

equações (2a) e (2b). Observe que a demanda não atendida é acumulada na equação de

balanço de estoque do primeiro período (2a). Isso permite que as demandas não atendidas nos

demais períodos continuem satisfazendo a restrição de balanço de estoque já que são

acumuladas em q0j. Considera-se que essas demandas foram produzidas em um período t=0

com capacidade ilimitada. A restrição (3) garante que a capacidade disponível dentro do

período t não seja violada. A capacidade disponível por macro-período é a mesma para todas

as linhas, mas cada linha pode ter diferentes tempos de processamento por produto (TPl,j). O

tamanho máximo do lote de um produto em um micro-período é dado pela restrição (4). Essa

restrição também impõe que nada seja produzido, caso não ocorra atribuição do produto ao

micro-período (yl,j,s = 0). A restrição (5) assegura que um lote mínimo será produzido

quando ocorre efetivamente a atribuição de um novo produto a um micro-período (yl,j,s = 1).

Por outro lado, se o mesmo produto é atribuído a dois micro-períodos consecutivos, não

necessariamente haverá produção na segunda atribuição. A equação (6) permite que somente

um produto seja produzido em um micro-período. As trocas de produtos são determinadas

pela restrição (7).

3 Otimização por Enxame de Partícula

3.1 Representação das soluções

A representação utilizada é a mesma proposta por Toledo et al (2009) para o Algoritmo

Genético (AG). Trata-se de uma extensão para máquinas paralelas da representação proposta

em Fleischmann e Meyr (1997) para o PGDLPP com uma única máquina. Essa representação

consiste em uma lista de máquinas ou linhas de produção, onde cada linha armazena uma

5

matriz com informações sobre sua seqüência de produtos. Trata-se de uma matriz do tipo t x

n, onde t é o número de macro-períodos e n é o número de micro-períodos (Figura 2).

Figura 2 – Matriz de seqüência.

Cada entrada (t,n) corresponde ao produto que ocupa determinado micro-período dentro de

um macro-período. Duas entradas consecutivas não podem ser ocupadas pelo mesmo produto.

A única exceção ocorre para a última entrada de um macro-período e a primeira entrada do

macro-período seguinte que podem ser idênticas. Também não pode haver uma entrada sem

produto entre duas entradas ocupadas em um mesmo macro-período. Suponha uma instância

do problema com duas linhas, quatro produtos e dois macro-períodos divididos em quatro

micro-períodos cada.

A Figura 3 exemplifica a representação de uma possível solução ou partícula na OEP

proposta. Observe que a linha L1 possui três produtos alocados no macro-período T1 e dois

alocados em T2. A ordem dos produtos em cada período representa a sequência em que serão

produzidos. Na linha L2, um único produto será produzido em T1 e três produtos em T2.

Figura 3 – Exemplo da representação da solução.

3.2 Decodficação da representação da solução.

A avaliação de uma solução consiste no cálculo do valor da função objetivo (equação 1)

apresentada na seção 2. Esse processo exige a determinação dos custos de troca, estoque e a

penalização por demanda não atendida. Os custos de troca são calculados a partir da

sequência de produtos existentes em cada linha na representação da solução. Os custos de

estoque e a penalidade por demanda não atendida exigem a determinação do

dimencionamento dos lotes a partir das informações codificadas na representação da solução.

Esse dimensionamento é feito através do método apresentado no pseudocódigo a seguir

(Figura 4). Esse método é baseado no algoritmo greedy-mod proposto em Fleischmann &

Meyr (1997) para o PGDLPP com máquinas simples. O método de decodificação é

determinístico e define o tamanho dos lotes, minimizando o custo de estoque. Os parâmetros

do algoritmo são descritos abaixo:

Xljt - armazena o lote do produto j produzido na linha l no macro-período t.

Yljt - número de lotes do produto j no macro-período t na linha l.

6

Dj – demanda acumulada (total) do produto j.

ACjt - demanda acumulada do produto j até o macro-periodo anterior ao t.

LSjt - limite superior estimado considerando que toda a capacidade disponível fosse

utilizada para produzir o produto j em períodos anteriores ao t.

para t=1 e para t>1

Xljs – lote do produto j produzido na linha l no micro-período s.

Qj – quantia de demanda do produto j não alocada pelo metodo de decodificação.

Método de dimensionamento de lotes t=T

Enquanto (t≥1) faça

//-----Garantindo lote mínimo------

Para toda linha l

Para todo produto com (Yljt>0)

p = Mínimo( Minj * Yljt ; Dj - ACjt ); //Calcula a parcela a ser produzida

Atualiza Xljt, Klt, Dj;

Se Klt < 0 então Penalizar capacidade violada

//-----Evitando infactibilidades--------------

Para todo produto j

Q = Dj - LSjt;

Para toda linha l com (Yljt>0 e Q > 0)

p = Mínimo( Dj - ACjt ; Klt/TPlj ; Q );

Atualiza Xljt, Klt, Dj;

//------Distribui em uma ordem gulosa-----

Para toda linha l e produto j com (Yljt > 0 ) em ordem decrecente de Hj/TPlj

p = Mínimo( Dj - ACjt ; Klt/TPlj );

Atualiza Xljt, Klt, Dj;

t = t-1

fim Enquanto

Qj = Dj, para todo j.

//----Distribui as demandas dos macro-período para os micro-períodos-----

Para todo l,j,t e s pertencente a St

Se Yljt > 0 então

Xljs = Xljt / Yljt;

Senão Xljs = 0;

fim do método.

Figura 4 – Pseudo-código Método de Decodificação.

O algoritmo trabalha preenchendo as quantias dos lotes em ordem decrescente de macro-

período. Primeiro aloca o lote mínimo para os produtos atribuídos a micro-períodos na matriz

de sequência das linhas. Em seguida, dimensiona os lotes para produtos que, se não forem

produzidos no macro-período corrente, não haverá capacidade disponível para sua produção

ou o produto não aparecerá em outra posição na matriz de sequência das linhas. O objetivo é

evitar infactibilidades. Por último, todos os produtos alocados na matriz de sequencia das

linhas têm seus lotes redimensionados, seguindo a ordem decrescente do quociente Hj/TPlj. A

Figura 5 abaixo demonstra como são atualizadas as quantias Xljt, Klt e Dj pela parcela p de

demanda que será produzida.

7

Atualiza Xljt, Klt, Dj dada uma parcela de demanda p calculada

Xljt = Xljt + p; //Adiciona a parcela, a quantia a ser produzida

Klt = Klt - p * TPlj; //Subtrai a capacidade para produzir a quantia p.

Dj = Dj - p; //Nova demanda do produto que deverá ser atendida.

Figura 5 – Atualizar Xljt, Klt, Dj

3.3 Algoritmo OEP

A Figura 6 e 7 apresentam o pseudocódigos para a OEP proposta. Uma partícula pode assumir

diversas representações da solução durante a execução do método. Neste contexto, cada

representação da solução de uma partícula é a posição assumida por esta no espaço de busca.

No pseudocódigo, Pi é o conjunto com a posição (representação da solução) atual das

partículas i. Mi é o conjunto que armazena a melhor posição onde as partículas Pi já

estiveram. O pseudo-código força que essa melhor posição seja reinicializada após um certo

número de iterações. O objetivo é não ficar preso a uma mesma melhor posição durante todo

o código. Pg é a melhor posição alcançada pelo enxame de partículas. Prand é uma partícula

aleatória, que pode ser totalmente aleatória ou gerada pela recombinação de partículas

existentes através de mudanças aleatórias. Pesos(j) define a probabilidade de escolher a

partícula j para recombinação. A atualização dos pesos é dinâmica, ou seja, fica variando

entre um valor mínimo e máximo. Essa variação é ditada pelo parâmetro d(j) que determina a

quantia adicionada ou subtraída de Peso(j):

o PesoMáximo(j) ≥ Pesos(j) ≥ PesoMínimo(j)

OEP

Inicializa as particulas Pi, Mi.

Pg = Melhor(Pi);

Enquanto critério não for atingido

Escolhe um tipo Prand usada na recombinação.

Restarta Mi

Para cont=1 até 20

Pi = Ocila(Pi,Mi,Pg, Prand); // para toda partícula

Atualiza Pg e Mi;

Atualiza os pesos(j) dos vetores de recombinação.

Fim OEP

Figura 6 – Pseudocódigo para OEP

Ocila(Pi)

m = Reconbinação(Pi, Mi, Pg, Prand); //para toda partícula

Para cont = 1 até 40

aux = Reconbinação(Pi, Mi, Pg, Prand); //para toda partícula

Se avaliação(aux) < avaliação (m) //para toda partícula

m = aux; //armazena partícula com melhor valor em Pi

Retorne m;

Fim Ocila

Figura 7 – Pseudocódigo para o método Oscila

Cada partícula oscila em torno de um ponto antes de efetuar um movimento. O objetivo é

garantir que seu próximo movimento tenha um ganho significativo ou garantir pelo menos

que o movimento não piore muito a posição atual da partícula. Para efetuar o movimento de

uma partícula, o método proposto utiliza uma recombinação envolvendo quatro vetores que

armazenam posições (representações da solução) de partículas. O primeiro vetor armazena a

posição atual das partículas (Pi), o segundo vetor armazena a melhor posição alcançada pelas

partículas (Mi), o terceiro vetor armazena a melhor posição já obtida por todo o enxame (Pg)

e o quarto vetor armazena uma posição aleatória (Prand). A recombinação gera novas

posições para as partículas baseada em sequências de produtos herdadas das representações

8

armazenadas nos quatro vetores (Figura 8). A seleção de qual vetor irá contribuir segue uma

probabilidade de escolha definida como:

Probabilidade de escolher o vetor j.

Recombinação(Pi, Mi, Pg, Prand)

Para cada partícula

Para cada linha-l

Para cada macro-periodo-t

Seleciona um vetor j de acordo com Probabilidade(j).

Preeche uma nova particula com a sequencia em l e t do vetor selecionado..

Atualiza particula em Pi com nova partícula;

Retorna Pi com partículas atualizadas.

Fim Recombinação

Figura 8 – Pseudocódigo para recombinação

Duas abordagens são propostas para execução da OEP. A primeira chamada OEP1 permite

que os valores dos pesos Pesos(j) variem no decorrer da execução do método. Para isso,

valores máximos e mínimos são ajustados para cada peso. Também são ajustados o valor

inicial dos pesos e a taxa de decréscimo ou acréscimo relacionada. Durante a execução, os

pesos irão aumentar ou diminuir sem ultrapassar os valores máximos e mínimos

estabelecidos. Na segunda abordagem chamada OEP2, não há variação dos pesos e o método

é executado com o valor inicialmente atribuído a cada Peso(j).

4. Resultados computacionais

Os testes computacionais foram executados em instâncias do PGDLPP com máquina simples

e máquinas paralelas. As instâncias são as mesmas definidas e solucionadas em Toledo et al

(2009). No PGDLPP com máquinas simples, os autores utilizaram um total de 4 conjuntos

com 10 instâncias cada com os parâmetros apresentados na Tabela 1. Os valores dos

parâmetros foram estabelecidos por Haase (1996) na resolução do PGDLPP com máquinas

simples, onde U(%) é a porcentagem de utilização da capacidade disponível. Todos os demais

parâmetros do problema também foram ajustados pelos mesmos valores utilizados por Haase

(1996): djt{0,1,...,100}, Hj=1,TP1j=1, CTij{100,...,200} para i≠j e CTij=0 para i=j,

M=10000 e Minj = 1. O modelo matemático da seção 2 e as instâncias geradas foram

codificados utilizando o pacote computacional AMPL e solucionados pelo solver CPLEX

11.0 com tempo de execução de 1 hora.

Conjuntos Macro-Períodos (T) Micro-Períodos (S) Produtos (J) Capacidade (Ct) U(%)

S1 6 4 4 200 80

S2 6 4 4 200 90

S3 5 4 4 200 90

S4 5 5 5 250 90

Tabela 1 – Conjuntos de Instâncias para o PGDLPP com uma única máquina.

Os resultados obtidos pela OEP são comparados aos retornados pelo AMPL/CPLEX e pelo

Algoritmo Genético (AG) também apresentados em Toledo et al (2009). O AG foi executado

utilizando uma população com 13 indivíduos, 2,5 de taxa de crossover e 0,7 de taxa de

mutação. OEP1 foi executada com 30 partículas, onde o vetor com a posição atual foi

ajustado com peso inicial 0, taxa de crescimento 0,8 e limitante superior para o valor do peso

em 10. O vetor com a melhor posição da partícula recebeu peso inicial 90, taxa de decaimento

9

1,6 e limitante inferior 0. O vetor com a melhor posição de todo o enxame recebeu peso

inicial 0, taxa de crescimento 0,8 e limitante superior 80. O vetor aleatório recebeu valor

inicial 10 e era ajustado durante a execução de forma que a soma dos pesos resultasse em 100.

OEP2 foi executada todo o tempo com o mesmo valor inicial atribuído aos pesos da OEP1.

Todos os testes foram realizados em um processador Intel Corel 2 Duo, 2,66 GHz e 1,95 GB

RAM. As metaheurísticas executaram 10 vezes em cada uma das 10 instâncias de cada

conjunto. O tempo de execução por instância foi limitado a 0,5h, ou seja, metade do tempo

dado ao método exato. As Tabelas 2 e 3 apresentam os resultados para os quatro conjuntos de

instâncias do PGDLPP com máquinas simples.

S1 AMPL AG OEP1 OEP2 S2 AMPL AG OEP1 OEP2

S1-0 1658* 1658 1658 1658 S2-0 1729* 1746 1729 1729

0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0

S1-1 1421* 1421 1421 1421 S2-1 1758* 1758 1758 1758

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

S1-2 1700* 1700 1703 1703 S2-2 2162* 2162 2162 2162

0.0 0.2 0.2 0.0 0.0 0.0

S1-3 1459* 1459 1471 1471 S2-3 1747* 1748,2 1747 1747

0.0 0.8 0.8 0.1 0.0 0.0

S1-4 1543* 1551,4 1543 1543 S2-4 1638* 1638 1638 1638

0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

S1-5 1402* 1402 1402 1402 S2-5 1534* 1534 1539 1539

0.0 0.0 0.0 0.0 0.3 0.3

S1-6 1477* 1486,5 1480 1480 S2-6 1533* 1533 1533 1533

0.6 0.2 0.2 0.0 0.0 0.0

S1-7 1463* 1463 1463 1463 S2-7 1822* 1833,8 1822 1822

0.0 0.0 0.0 0.6 0.0 0.0

S1-8 1480* 1487 1487 1487 S2-8 1863* 1864,7 1863 1863

0.5 0.5 0.5 0.1 0.0 0.0

S1-9 1626* 1633,4 1628 1628 S2-9 1751* 1751 1751 1751

0.5 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0

Tabela 2 – Resultados obtidos para o PGDLPP com uma única máquina em S1 e S2.

S3 AMPL AG OEP1 OEP2 S4 AMPL AG OEP1 OEP2

S3-0 1269* 1269 1279 1279 S4-0 1833 1861,5 1833 1833

0,0 0.8 0.8 1,6 0.0 0.0

S3-1 1491* 1491 1491 1491 S4-1 1986 1989,6 1986 1986

0,0 0.0 0.0 0,2 0.0 0.0

S3-2 1338* 1338 1338 1338 S4-2 1825 1827,2 1805 1806,9

0,0 0.0 0.0 0,1 -1.1 -1.0

S3-3 1530* 1530 1530 1530 S4-3 1674 1681,8 1779 1779

0,0 0.0 0.0 0,5 6.3 6.3

S3-4 1663* 1667 1663 1663.4 S4-4 1974 1974 1974 1974

0,3 0.0 0.02 0,0 0.0 0.0

S3-5 1542* 1542 1542 1542 S4-5 1994 2011,3 1994 1995,5

0,0 0.0 0.0 0,9 0.0 0.1

S3-6 1553* 1553 1553 1553 S4-6 1790 1793,3 1790 1790

0,0 0.0 0.0 0,2 0.0 0.0

S3-7 1518* 1532,1 1518 1518 S4-7 1786 1784,8 1777 1777

0,9 0.0 0.0 -0,1 -0.5 -0.5

S3-8 1526* 1526 1526 1526 S4-8 2150 2195,4 2139 2139

10

0,0 0.0 0.0 2,1 -0.5 -0.5

S3-9 1441* 1441 1441 1441 S4-9 1782 1788,7 1782 1782

0,0 0.0 0.0 0,4 0.0 0.0

Tabela 3 – Resultados obtidos para o PGDLPP com uma única máquina em S3 e S4.

As Tabelas 2 e 3 listam os resultados obtidos pelo AMPL/CPLEX e o valor médio da solução

final obtida nas 10 execuções das metaheurísticas. Também é apresentado o desvio

Desv(%)=100*(Z-Z*)/Z*, onde Z é o valor médio da solução final obtida pela metaheurística e

Z* é o valor da solução final retornada pelo AMPL/CPLEX. Os valores na coluna AMPL

sinalizados com * indicam solução ótima. AMPL/CPLEX retornou a solução ótima ao final

de todas as execuções em S1, S2 e S3. No conjunto S4, o AMPL/CPLEX retornou a melhor

solução factível encontrada após 1 hora de execução. OEP1 e OEP2 foram capazes de

encontrar a solução ótima na maioria das instâncias em S1, S2 e S3. Os valores negativos de

alguns desvios em S4 indicam que as metaheurísticas retornaram em média soluções melhores

que aquelas encontradas pelo AMPL/CPLEX. O AG também apresenta soluções melhores

que o AMPL/CPLEX. Todavia, OEP1 e OEP2 superam os resultados médios do AG em 3

instâncias no conjunto S1, sendo um desses resultados (S1-3) com valor médio no ótimo

(Desv(%)=0.0). Nas instâncias do conjunto S2, OEP1 e OEP2 superam os resultados do AG

em 4 instâncias com 4 médias no valor ótimo (S2-0, S2-3, S2-7 e S2-8). O AG supera OEP1 e

OEP2 em apenas 1 instância tanto em S1 quanto em S2. Nos demais resultados os métodos

obtiveram os mesmos resultados. OEP1 e OEP2 superam AG em S3 com 2 resultados (S3-4 e

S3-7) no valor ótimo. O AG obtém o melhor resultado em 1 instância no conjunto S3. Não há

instâncias com solução ótima no conjunto S4, onde OEP1 e OEP2 superam AG em 7

instâncias. AG supera esses métodos novamente em uma única instância. Todos os 7 melhores

resultados obtidos por OEP1 e OEP2 são iguais ou melhores que aqueles obtidos pelo

AMPL/CPLEX. A Figura 9 apresenta os desvios total médio obtidos por cada método

considerando os conjuntos de instâncias. Observe que OEP1 e OPE2 apresentam praticamente

o mesmo desvio em todos os conjuntos e superam o desempenho médio do AG.

Figura 9 – Desvio médio em S1, S2, S3 e S4.

O PGDLPP com máquinas paralelas foi solucionado usando os mesmos três conjuntos de

instâncias (P1, P2 e P3) apresentados em Toledo et al (2009). Os parâmetros utilizados na

geração dessas instâncias foram T=6, S=4, J=4, Ct=200, onde apenas o número de linhas

variou com L=2 em P1, L=3 em P2 e L=4 em P4. Os demais parâmetros permaneceram como

antes, exceto TPlj e U. Agora TPlj [0,1] passa a variar por produto e linha e a taxa de

11

utilização foi fixada em U= 80%. Um total de 5 instâncias foi gerado para cada um desses

conjuntos. O AMPL/CPLEX também foi utilizado na resolução exata dessas instâncias com

tempo de execução de 1 hora. As metaheurísticas foram executadas por 0,5h; Assim com nas

maquinas simples, tiveram metade do tempo destinado ao método exato. As Tabela 4 e 5

apresentam os resultados obtidos.

P1 AMPL AG OEP1 OEP2 P2 AMPL AG OEP1 OEP2

P1-0 5819,8 4869,1 4241,3 4291,4 P2-0 5730,2 4711,4 3793 3811,4

-16.3 -27.1 -26.3 -17.8 -33.8 -33.5

P1-1 5561,0 4653,4 4169,6 4245,2 P2-1 5364,3 4913,7 3899,6 3900,4

-16.3 -25.0 -23.7 -8.4 -27.3 -27.3

P1-2 4371,5 4052,3 3650,5 3673,7 P2-2 6375,3 5183,6 4244,8 4302

-7.3 -16.5 -16.0 -18.7 -33.4 -32.5

P1-3 5043,8 4380,5 3998,4 4019,9 P2-3 7045,4 5326,4 4091 4126

-13.1 -20.7 -20.3 -24.4 -41.9 -41.4

P1-4 4536,9 4411,8 4153,3 4161,4 P2-4 6666,0 5552,1 4186,1 4258,9

-2.7 -8.5 -8.3 -16.7 -37.2 -36.1

Tabela 4 – Resultados obtidos para o PGDLPP com máquinas paralelas em P1 e P2.

P3 AMPL AG OEP1 OEP2

P3-0 5679,6 4711,4 3711,8 3797,7

-17.0 -34.6 -33.1

P3-1 7713,1 4913,7 3726,5 3863,3

-36.3 -51.7 -49.9

P3-2 7806,1 5183,6 3695,3 3865,9

-33.6 -52.7 -50.5

P3-4 7836,7 5552,1 3798,7 3973,4

-29.2 -51.5 -49.3

P3-5 7130,8 5530,8 3690,5 3771,9

-22.4 -48.2 -47.1

Tabela 5 – Resultados obtidos em P3.

O AMPL/CPLEX não foi capaz de retornar soluções ótimas ao final de 1 hora de execução

em P1, P2 e P3. Por outro lado, as metaheurísticas propostas superaram os valores das

soluções finais obtidas pelo AMPL/CPLEX na maioria das instâncias. OEP1 e OEP2 superam

o AG em todas as instâncias do PGDLPP com máquinas paralelas. OEP1 obtém os melhores

resultados em todos os conjuntos.

A Figura 10 apresenta os resultados médios em cada conjunto. O desempenho médio de OEP1

não é muito diferente do obtido por OEP2. Isso indica que a abordagem de ajuste dos pesos,

durante a execução, representou uma pequena melhoria no desempenho do método OEP1. Por

outro lado, as duas abordagens mativeram desempenho bastante superior ao AG.

12

Figura 10 – Desvio médio em S1, S2, S3 e S4.

5. Conclusões

O presente trabalho propôs métodos de resolução para o Problema Geral de

Dimensionamento de Lotes e Programação da Produção (PGDLPP) com e sem máquinas em

paralelo, e com penalização por demandas não atendidas. Um modelo matemático foi

apresentado e duas abordagems baseadas em otimização por enxame de partículas foram

propostas. A primeira utiliza um ajuste dinâmico dos pesos dos vetores de posição das

partículas (OEP1). A segunda é executada todo o tempo com os mesmos pesos. Um total de 7

conjuntos de instâncias são solucionados e comparados aos resultdados obtidos pelo

AMPL/CPLEX e por um algoritmo genético com estrutura hierarquica de indivíduos. Nas

instâncias do PGDLPP com máquinas simples, tanto OEP1 quanto OEP2 apresentam desvios

abaixo de 0.5% em relação ao AMPL/CPLEX. Os métodos superam ou igualam a maioria dos

resultados obtidos pelo AG. Não há uma diferença relevante de desempenho médio entre

OEP1 e OEP2 nessas instâncias. Isso se repete durante a resolução dos conjuntos de instâncias

do PGDLPP com máquinas paralelas. OEP1 consegue melhores resultados que OEP2 na

maiora das instâncias, mas a diferneça desses resultados na média de cada conjunto é

pequena. Dessa forma, o ajuste de pesos durante a execução melhorou o desempenho do

método mas não de forma expressiva. Os resultados obtidos permitem concluir que as duas

abordagens baseadas em otimização por enxame de partícula conseguem melhores resultados

que o AG, anteriormente proposto para o mesmo problema. Além disso, o desempenho médio

de OEP1 e OEP2 foi bastante superior ao AG principalmente nos conjuntos de instâncias mais

complexos.

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