Calculo Diferencial e Integral I3a. Prova

Engenharia Eletrica29 de novembro de 2006

Nome do Aluno:

Apresente todos os calculos e justificativas

1. (2 pontos) Determine a funcao f que verifica as seguintes condicoes:

f : R→ R f ′(x) =ex

1 + exf(0) = 0.

2. Calcule:

a) (2 pontos)

∫ 1

0

√x lnx dx

a) (2 pontos)

∫ 4

−2

√9− (y − 1)2(y + 4) dy

b) (2 pontos)

∫x2 + 2x+ 3

x2 + 4x+ 13dx

3. (2 pontos) Escolha e faca apenas uma das duas questoes abaixo:

a) Corta-se um pedaco de arame de 1,50m de comprimento em duas partes.Com uma das partes forma-se um cırculo e com a outra forma-se um trianguloequilatero. Onde deve ser cortado o arame de modo que a soma das areas docırculo e do triangulo seja mınima? E maxima?

Use 1,50√

3/18

1/2π+√

3/18≈ 0, 565.

b) Use a formula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar que para todox ∈ [0, 1], ∣∣∣∣ex − (1 + x+

x2

2

)∣∣∣∣ < 1

2.

Questao Extra (0.5 ponto): Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua. Emcada ıtem abaixo, determine se a proposicao e falsa ou verdadeira. Justifique suaresposta.

a) Se∫ baf(x) dx = 0 entao f(x) = 0 para x ∈ [a, b].

b) Suponha∫ baf(x) dx = 0. Se c ∈ (a, b) e

∫ caf(x) dx = 1 entao

∫ bcf(x) dx = −1

Tabela de Primitivas (n 6= 0 e c, k constantes reais)

∫c dx = cx+ k∫ex dx = ex + k∫xα dx =

{xα+1

α+1+ k, α 6= −1

ln |x|+ k, α = −1∫cosx dx = sen(x) + k∫senx dx = − cos(x) + k∫sec2 x dx = tg(x) + k∫secx tg x dx = sec(x) + k∫secx dx = ln | sec(x) + tg(x)|+ k∫tg x dx = − ln | cos(x)|+ k∫

1

1 + x2dx = arctg(x) + k∫

1√1− x2

dx = arcsen(x) + k

2