Paradoxos&Interpretação
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5/12/2018 Paradoxos&Interpretação - slidepdf.com
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Interpretação de Textos e Probabilidade
Terminei de ler o livro Randomness de Deborah J.
Bennett. O livro conta a história da probabilidade,
desde os antigos jogos de tabuleiros egípcios até ageração de números pseudo-randômicos nos
computadores modernos, passando pelo princípio
de Monte Carlo, pelo Teorema de Bayes
, a
distribuição t-student e o livro de números
randômicos de Leonard Tippett . O livro é bem
interessante e fácil de ler. Há uma versão em português: Aleatoriedade. Recomendo
para todos os apaixonados por números.
No último capítulo, a autora apresenta os principais paradoxos da teoria daprobabilidade. Deborah explica que muitas teorias físicas e matemáticas possuem
paradoxos, mas estes só são identificados num nível bastante sofisticado. No caso da
probabilidade, há muitos paradoxos na parte simples da teoria. Nem tanto da
matemática em si, mas da formalização matemática de um problema real, que nada
mais é do que interpretação de textos. A gramática de uma linguagem natural, sua
interpretação e a teoria da probabilidade estão fortemente ligados. Talvez por isso, esta
teoria não seja bem compreendida por uma parte dos matemáticos.
Vejamos um exemplo bem simples de paradoxo. Leia com atenção: Dado que numa
família há duas crianças e que pelo menos uma é menina, qual é a probabilidade que
haja duas meninas na família? Este problema, contado de maneira diferente tem
respostas diferentes. Vejamos:
1. Você faz uma nova amiga e pergunta se ela tem filhos. Ela responde: sim, dois. Você
pergunta: alguma menina? Ela responde que sim. Qual a probabilidade de ambas
serem meninas? Resposta: 1/3.
2. Você faz uma nova amiga e pergunta a ela se tem algum filho. Ela responde: sim,
dois - com seis e dez anos de idade. Você pergunta: a mais velha é menina? Sim,
responde ela. Qual é a probabilidade de ambas as crianças serem meninas?
Resposta: 1/2.
3. Você faz uma nova amiga e pergunta se ela tem filhos. Ela responde: sim, dois.
Alguma menina? Sim. No outro dia você a vê com uma garota e pergunta: esta é a
sua filha? Sim, ela responde. Qual é a probabilidade dos dois filhos dela serem
meninas? Resposta: 1/2.
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Note que a primeira e a última história são bem parecidas, mas a resposta não é igual. A
diferença entre os problemas é a informação de ordem dos eventos, que tem que ser
captada na interpretação do texto. Na primeira estória você não sabe se a menina é o
primogênito ou não, mas você sabe que há uma menina, portanto há três chances:
Menina-Menino, Menino-Menina, Menina-Menina. Como os eventos são equiprováveis,
e apenas um deles é verdade, a resposta é 1/3.
O segundo e terceiro caso, você sabe que a filha mais velha ou a que está na sua frente é
a menina, logo somente o outro filho é a dúvida. Assim, as possibilidades são: Menina-
Menino, Menina-Menina. Como só uma delas pode acontecer, a resposta é 1/2.
Este é um problema bem simples. Há outros em que a interpretação é de extrema
importância para formalização do problema, por exemplo:
Um taxi atropelou uma pessoa a noite e fugiu. Uma testemunha identificou o taxi como
sendo Azul. A perícia testou a fiabilidade da testemunha e concluiu que, nas mesmas
condições do evento, ela consegue identificar a cor do carro corretamente em 80% dos
casos. Sabendo que 85% dos carros da cidade são verdes, e apenas 15% são azuis, qual
a probabilidade do carro ser realmente azul?
Há várias maneiras de interpretar esse problema, mas apenas uma é a correta:
1. A primeira é pensar que a probabilidade do carro ser realmente azul é a
probabilidade de um carro azul acontecer de fato e da testemunha acertar o
palpite. Assim, teríamos 0.8 * 0.15 = 0.12. Apesar do raciocínio fazer sentido,
intuitivamente podemos ver que a probabilidade final ficou muito baixa, afinal a
testemunha acerta em 80% dos casos.
2. A segunda solução é pensar que não importa a distribuição de carros na cidade. Se
alguém acerta em 80% dos casos, e este alguém falou que o carro era azul, a
probabilidade de ele acertar é 80%. No entanto, se pensarmos que há muito mais
carros verdes do que azuis rodando, os 20% de erro desta pessoa deveriam
aumentar, diminuindo a probabilidade final.
3. A solução correta é aplicar o teorema de Bayes. A probabilidade do carro ser
realmente azul, dado que a testemunha disse que ele era azul é igual a:
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1. Pr(dizer azul|foi azul) * Pr(foi azul)
2. ----------------------------------------------------------------------------------
3. (Pr(dizer azul|foi azul) * Pr(foi azul) + Pr(dizer azul|foi verde) * Pr(foi verde) )
Em outras palavras:
1. Pr(acertar a acusação) * Pr(foi azul)
2. ----------------------------------------------------------------------------------
3. (Pr(acertar na acusação) * Pr(foi azul) + Pr(errar na acusação) * Pr(foi verde) )
1. 0.8 * 0.15
2. ------------------------
3. 0.8 * 0.15 + 0.2 * 0.85
1. 0.12
2. ------- = 0.414
3. 0.29
Muito mais complexo do que as duas maneiras de pensar iniciais. Chegar a essa
conclusão não é fácil e este não pode ser considerado um problema difícil. Imagine os
problemas realmente difíceis. Me diverti muito descobrindo que a minha intuição não
levava ao lugar certo ao ler estes problemas. Fica a dica de um livro que vai fazer você
pensar bastante.
PS: Preciso de um editor de fórmulas no Priki. Alguma idéia?
Posted in Dec 4, 2008 by Vitor Pamplona - Edit - History