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PARANÁ GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
VERA LUCIA FIALHO
MATERIAL DIDÁTICO PEDAGÓGICO
CASCAVEL – PR
2012
VERA LUCIA FIALHO
NÚMEROS INTEIROS: Sinal do número ou da operação
Produção Didático-pedagógica apresentada como requisito parcial para a certificação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE 2012, Secretaria de Educação – SEED em parceria com a Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE.
Orientadora: Profª Dra. Rosangela Villwock
CASCAVEL – PR
2012
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICA – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: Números Inteiros: Sinal do número ou da operação
Autor Vera Lucia Fialho
Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização
Colégio Estadual Professor Victório Emanuel Abrozino.
Jardim Cristal, Rua Francisco Bartinick, nº2147.
Município da escola Cascavel - Pr
Núcleo Regional de Educação Cascavel - Pr
Professor Orientador Dra Rosangela Villwock
Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Relação Interdisciplinar
(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)
Resumo
(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)
Esta produção didática pedagógica busca apresentar maneiras alternativas para viabilizar o processo de ensino e aprendizagem das operações (adição e subtração) no Conjunto dos Números Inteiros, discutindo formas de trabalhar o sinal do número e o sinal da operação. Utilizando-se de jogos e material manipulável, além de apresentar o conteúdo de forma contextualizada, a intervenção visa transformar a aprendizagem de matemática em uma atividade mais prazerosa e atraente. Justifica-se está produção pelo grande número de alunos que apresenta dificuldades em situações que envolvem as operações com números inteiros, ou seja, não compreendem como operar com tais números e, por isso, demonstram desinteresse pela matemática como um todo, pois, praticamente todos os conteúdos que envolvem a matemática, a partir deste conteúdo, necessitam da compreensão das operações com números inteiros. A cada unidade serão apresentados jogos, material manipulável e atividades contextualizadas, com exercícios de verificação.
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) Números Inteiros, jogos, material manipulável, Resolução de Problemas.
Formato do Material Didático Unidade didática
Público Alvo (indicar o grupo para o qual o material didático foi desenvolvido: professores, alunos,
Alunos do 7º ano do ensino fundamenta.l
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 5
UNIDADE 01 – NÚMEROS MENORES QUE ZERO ............................................................. 8
ATIVIDADE 01 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .................................................................... 8
ATIVIDADE 02 – JOGO “OS OPOSTOS SE ATRAEM” .......................................................... 11
ATIVIDADE 03 – DESENVOLVENDO CONCEITOS ............................................................... 14
ATIVIDADE 04 – PARA LEITURA ............................................................................................... 21
ATIVIDADE 05 - VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM .......................................................... 23
UNIDADE 02 – REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA...................... 24
ATIVIDADE 01 – PROBLEMAS ................................................................................................... 25
ATIVIDADE 02 – A RETA NUMÉRICA ....................................................................................... 27
ATIVIDADE 03 – DESENVOLVENDO OS CONCEITOS ........................................................ 32
ATIVIDADE 04 - VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM .......................................................... 35
UNIDADE 03 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS ............................................... 36
ATIVIDADE 01 - COTIDIANO ...................................................................................................... 36
ATIVIDADE 02 – JOGO “BRINCANDO COM AS IMAGENS” ................................................ 38
ATIVIDADE 03 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS UTILIZANDO MATERIAL
MANIPULÁVEL ............................................................................................................................... 40
ATIVIDADE 04 – VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM ......................................................... 47
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 49
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 51
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INTRODUÇÃO
A matemática está presente de maneira direta ou indireta na vida das
pessoas e, em quase todos os momentos do cotidiano e em praticamente em todas
as áreas do conhecimento, exercita-se os conhecimentos matemáticos. De acordo
com Paraná (2008), nos últimos 30 anos, tanto no Brasil quanto em outros países,
pesquisas educacionais realizadas mostraram que os processos envolvidos no
ensino e na aprendizagem são muito mais complexos do que se acredita e concluiu-
se que a matemática está ligada à compreensão e não apenas a conteúdos
decorados.
Apesar disso, nem sempre é fácil mostrar aos alunos, através de problemas
contextualizados, aplicações que despertem seu interesse ou que possam motivá-
los.
A presente proposta pedagógica abordará os Números Inteiros, baseando-
se no que propõem os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1998),
partindo da certeza de que os materiais manipuláveis auxiliam os alunos na
compreensão das operações, porém considerando-se que, para que a construção
do conhecimento matemático ocorra efetivamente, o professor deve interceder no
momento em que ocorre a interação com os objetos, levantando questionamentos
que estimulem o aluno a formular hipóteses e conclusões sobre o conceito
aprendido.
De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), os estudiosos, no século XIX, já
defendiam o uso dos materiais manipuláveis como subsídio para o ensino, sendo
que, para eles, a educação deveria, primeiramente, basear-se na percepção de
objetos concretos, com a realização de experimentações e observações. Em 1920,
no Brasil, deu-se início ao debate sobre a utilização de materiais manipuláveis no
ensino da matemática, no entanto, somente em meados de 70 é que concretizou a
importância desses materiais para a construção do conhecimento dos alunos.
Pesquisadores em Educação Matemática propõem vários instrumentos
metodológicos para que os professores possam utilizar em suas atividades didáticas.
A utilização desses instrumentos pode auxiliar o professor, de tal maneira que o
estudante compreenda os conteúdos matemáticos (LORENZATO, 2006).
6
De acordo com as Diretrizes para o Ensino da Matemática (PARANÁ, 2006),
um dos desafios do ensino desta disciplina é a abordagem de conteúdos para
resolução de problemas, enfatizando a necessidade de uma metodologia através da
qual o estudante tenha oportunidade de aplicar os conhecimentos matemáticos
adquiridos em novas situações, de modo a resolver a questão proposta.
Neste sentido, Smole (2007) salienta a importância de destacar para os
alunos que os mesmos são capazes de construir conhecimentos matemáticos, bem
como cultivar a própria autoestima e o respeito ao trabalho dos colegas.
No que se refere aos Números Inteiros, para Pommer (2010), a regra de
sinais pode ser considerada um dos fatores importantes na matemática, no entanto,
para entender como ela funciona, é necessário ter bem assimilado como funcionam
as quatro operações básicas desta disciplina.
Segundo Bordim (2011), a escola está mudando com relação às
possibilidades de ensino, diferenciando-se daquela centrada no professor como
único árbitro, permitindo ao aluno a construção do conhecimento por meio da
interação, utilizando-se para isso, como recursos didáticos, materiais concretos.
Tendo consciência desta afirmação, este trabalho deseja desenvolver
atividades, com a utilização de jogos e materiais manipuláveis, como recurso
didático, para amenizar as dificuldades, que os alunos do ensino fundamental
apresentam quando resolvem operações de adição e subtração com Números
Inteiros. Essas atividades incentivam o aluno a interagir e a participar das
discussões, a fim de construir o conhecimento, diferentemente de quando o
conhecimento é apresentada de forma pronta e estruturada.
Soares (2008) afirma que os jogos constituem uma forma interessante de
propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e
favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de
soluções, bem como, possibilitam a construção de uma atitude positiva perante os
erros, uma vez que as situações sucedem rapidamente e podem ser corrigidas de
formal natural, no decorrer do jogo.
Para Fiorentini e Miorin (1993), a introdução dos jogos nas aulas de
matemática é a possibilidade de diminuir os bloqueios apresentados por muitos dos
alunos que temem a matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la.
Afirmam ainda que, na situação de jogo, muitas vezes, o critério de certo ou errado é
7
decidido pelo grupo. Assim, a prática do debate permite o exercício da
argumentação e a organização do pensamento.
Rêgo e Rêgo (2000) destacam que é de extrema importância a introdução
de jogos na metodologia de ensino que visa o aluno como sujeito da aprendizagem,
levando-se em consideração o contexto e os aspectos recreativos e lúdicos das
motivações próprias da idade, a curiosidade e o desejo por realizar atividades em
grupo.
Gandro (2000) ressalta que o jogo propicia o desenvolvimento de estratégia
para resolução de problemas, pois possibilita a investigação ao explorar o conceito
através da estrutura matemática subjacente ao jogo e que pode ser vivenciada, pelo
aluno ao jogar, elaborando estratégias e testando-as buscando vencer o jogo.
Segundo Borin (1998), “à medida que os alunos vão jogando, estes
percebem que o jogo não tem apenas o caráter lúdico e que deve ser levado a sério
e não encarado como brincadeira”.
Assim, como já foi dito anteriormente, este material didático- pedagógica
vem propor uma estratégia metodológica para auxiliar no processo de ensino e
aprendizagem dos alunos do ensino fundamental na resolução das operações de
adição e subtração de Números Inteiros, associando-se resolução de problemas, a
utilização de jogos e materiais manipuláveis. Tendo também como objetivos
específicos: repensar as práticas pedagógicas empregadas nas aulas de
Matemática para trabalhar com os Números Inteiros; elaborar estratégias para
focalizar o ensino dos Números Inteiros, com vistas a superar as dificuldades e
descrever propostas que auxiliem os educadores no ensino dos Números Inteiros.
8
UNIDADE 01 – NÚMEROS MENORES QUE ZERO
As atividades da unidade 01 têm como objetivo perceber a necessidade da
ampliação do Conjunto dos Números Naturais e apresentação dos Números Inteiros.
ATIVIDADE 01 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Na atividade 01, dois ou três problemas serão propostos aos alunos, os
mesmos resolverão sem a intervenção da professora. Após a leitura dos problemas,
os alunos devem resolvê-los seguindo os seguintes passos: compreender o
problema, elaborar um plano/ estratégia, executar o plano, verificar depois de
encontrar a solução.
Esta atividade tem o objetivo de apresentar situações do cotidiano com
números menores que zero. A duração prevista para a atividade é de duas horas de
aula.
Problema 1 – Pedro Henrique está contente com seu trabalho. Ele é ascensorista no
Piery Hotel. Observe o painel do elevador e responda:
7 8
5 6
3 4
1 2
0
-1 -2
-3 -4
Emergência
] [ [ ]
9
A) Qual o número que indica o térreo?
Resposta: O zero.
B) Quais botões do painel indicam números de andares acima do térreo?
Resposta:+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7 e +8.
C) E quais indicam os andares abaixo do térreo (subsolo)?
Resposta: -1, -2,-3 e -4.
Problema 2 – Maria saiu para passear e observou que o termômetro da cidade
marcava – 3º C. O que significa – 3º C?
Fonte: http://1.bp.blogspot.com/-L7MlKyVNRhY/ TWW7eG0WKuI/AAAAAAAAAVo/-BRt_tWZ5iE/
Resposta: Significa que a temperatura está três graus abaixo de zero.
Problema 3 – Na figura, um tipo de termômetro usado para controlar a temperatura
em ambientes fechados, como em uma estufa, por exemplo. Nestes ambientes a
temperatura é controlada por sistemas de ar condicionado. Para o cultivo de flores é
necessário manter o ambiente com temperaturas altas. Ao contrário, para o cultivo
de uvas, a temperatura deve se manter baixa. Em que tipo de ambiente está o
termômetro da esquerda (frio ou quente)? Ele indica um ambiente controlado para o
cultivo de uvas ou flores?
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Fonte: http://ec.comps.canstockphoto.com/can-stock-photo_csp3495549.jpg
Resposta: O termômetro da esquerda está em um ambiente frio, próximo a – 10º C (10 graus abaixo de zero). Neste caso, o ambiente é recomendado para o cultivo de uvas. Cabe neste momento observar que, em várias ocasiões, as cores vermelha e azul são utilizadas para representar quente e frio, respectivamente.
Resolvidas às questões, suas respostas serão analisadas e verificadas as
possíveis dificuldades encontradas pelos mesmos. Em caso de dificuldades, aplicar-
se-ão as atividades que seguem.
11
ATIVIDADE 02 – JOGO “OS OPOSTOS SE ATRAEM”
Abaixo, descreve-se uma sugestão de jogo para introduzir o conceito de
números inteiros, os questionamentos e os registros vão facilitar a compreensão das
ideias relacionadas com os números, com o objetivo de proporcionar o
desenvolvimento e a aplicação dos conceitos de números inteiros e desenvolver
autoconfiança, organização, concentração e raciocínio lógico. A duração prevista
para a atividade é de cinco horas de aula.
Material utilizado no jogo: 01 baralho.
Participantes: 04 alunos.
Desenvolvimento:
Fazer uma apresentação do baralho (tipos de baralho, quantidade de cartas,
curinga, naipes, figuras, etc.).
Disponível em: http://www.brasilescola.com/curiosidades/baralho.htm. Acesso em 28/12/12.
O baralho é um conjunto de cartas que é utilizado em jogos variados, de
acordo com a preferência dos jogadores. Normalmente, o baralho possui 52 cartas,
distribuídas em quatro grupos chamados de naipes, os quais possuem 13 cartas de
valores numéricos diferentes. Os valores numéricos vão de 2 a 10, além de um “Ás”,
que corresponde a um, um valete (representado pela letra J, vale 11), uma Rainha
(letra Q, vale 12) e um Rei (letra K, vale 13).
Os naipes (símbolos) do baralho são: espadas (♠), paus (♣), copas (♥) e
ouro (♦). Acredita-se que o baralho foi criado pelo francês Jacquemin Gringonneur,
sob encomenda do rei Carlos VI de França. Assim, Gringonneur teria criado o
12
baralho para representar as divisões sociais da França através dos naipes. Copas
representaria o clero; o ouro, a burguesia; a espada, os militares; e o paus, os
camponeses.
As cartas do baralho têm um lado com diversas cores e símbolos, chamado
de face, e o outro com um padrão comum a todas as cartas, além disso, existe a
carta curinga (joker), que possibilita vantagens especiais a quem fica com ela.
Os jogos de baralho ficaram famosos na Idade Média, onde os senhores
feudais começaram a apostar terras e escravos, promovendo a riqueza de alguns e
a pobreza de outros, de forma quase instantânea e iniciando a compulsão pelos
jogos de azar.
Para o jogo, retiramos os curingas do baralho convencional, embaralhamos
as cartas restantes e distribuímos cinco cartas para cada participante.
As demais cartas são deixadas no centro da mesa. Cada participante poderá
utilizar cinco destas cartas, retirando uma carta por vez. Ao retirar uma carta, o
participante poderá ficar com ela ou deixá-la sobre a mesa.
Quando tiver duas cartas do mesmo valor e de naipes diferentes, o
participante poderá reservá-las ao seu lado na mesa.
Quando um participante rejeitar uma carta, qualquer outro participante
poderá declarar interesse pela mesma.
Caso não seja sua vez de jogar, deverá solicitar licença aos que jogarão
antes. Se a tomada da carta for autorizada, o participante poderá ficar com ela.
Quando mais de um participante tiver interesse em uma mesma carta,
segue-se a ordem de jogadas.
Ao final da quinta rodada, todos deverão preencher o seguinte quadro:
Descrição das Cartas pretas
Descrição das Cartas vermelhas
Descrição dos Pares de cartas
Quadro 01 – Qual é sua carta?
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Procedimentos e questionamentos:
1) Verificar se algum aluno ficou sem cartas e por que isto ocorreu.
2) Se isto não ocorreu, o que fazer para verificar quem ganhou o jogo?
Após ampla discussão, devesse fazer as seguintes conclusões:
Os participantes devem perceber que podem reservar duas cartas de
mesmo valor, porém de cores diferentes, isto é, podem cancelar cartas. Então, pode-
se convencionar positivo e negativo para cartas de cor preta e vermelha,
respectivamente.
3) Verificar com os participantes se existe alguma estratégia para ganhar o jogo.
Sim, podem-se descartar sempre as cartas vermelhas (-).
4) E se tiver só cartas pretas? O que descartar?
As cartas pretas de menor valor.
5) É vantagem ter vários pares de cartas abaixados?
Não, pois os pares não marcam ponto.
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ATIVIDADE 03 – DESENVOLVENDO CONCEITOS
Número é um objeto da matemática usado para descrever: quantidade,
ordem ou medida. O conceito de número provavelmente foi um dos primeiros
conceitos matemáticos assimilados pela humanidade no processo de contagem.
Para isto, os Números Naturais eram um bom começo. O trabalho dos
matemáticos nos levou a descobrir outros tipos de números (BRASIL, 1998).
Nesta atividade, vamos formular a ideia de números menores que zero com
objetivo de conferir significado às quantidades negativas, apresentando alguns
exemplos de envolvimento de números negativos em nosso cotidiano, a duração
prevista para esta atividade é de oito horas de aula.
Números menores que zero
O zero é o menor número que existe?
Muitas pessoas acreditam que o zero é o menor número que existe. Mas
existem outros números menores do que zero e você já deve ter visto um.
Procure lembrar-se de situações nas quais nos deparamos com números
menores que zero. Por exemplo, você já observou números acompanhados do sinal
(–)?
Abaixo, será apresentado um exemplo de envolvimento de números
negativos em nosso cotidiano, a duração prevista para esta atividade é de oito horas
de aula.
1) Fuso horário
Os fusos horários servem para padronização das horas conforme o
movimento de rotação da Terra e a incidência solar; facilitam as comunicações nas
diversas partes do mundo; facilitam a programação das viagens nacionais e
internacionais; possibilitam a integração de empresas transnacionais e mercados de
valores no mundo; entre outros.
Os fusos horários são cada uma das áreas em que se divide a Terra na
direção dos meridianos, tendo por base seu movimento de rotação, que leva cerca
de 24 horas para ser realizado. Todos os lugares situados no mesmo fuso seguem a
mesma definição de tempo, isto é, o mesmo horário.
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Os fusos horários estão centrados nos meridianos das longitudes, que são
múltiplos de 15º (-12h a +12h), resultado obtido da divisão dos 360º da
circunferência da Terra pelas 24 horas que, aproximadamente, nosso planeta leva
para completar o movimento de rotação.
Todos os horários são definidos em relação ao fuso do Meridiano de
Greenwich (fuso zero), ele é o referencial para o cálculo dos diferentes horários na
Terra. Os lugares situados a leste desse fuso terão a hora adiantada; aqueles
situados a oeste dele terão a hora atrasada.
Fonte: http://progeomarisa.blogspot.com.br/2012/08/exercicio-fusos-horarios.html. Acesso em 22/10/12.
Observe a cidade de Brasília, capital brasileira. A cidade localiza-se em um
fuso a oeste de Greenwich, no ponto C. O que você pode dizer a respeito do horário
de Brasília em relação ao referencial?
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O horário é atrasado em relação ao referencial. Observe que Brasília situa-
se no terceiro fuso a oeste do de Greenwich. Logo, o horário da capital do Brasil
será atrasado em três horas em relação ao referencial.
A cidade da Austrália, capital de Camberra, seu horário será adiantado em
relação a Greenwich?
Sim, pois se localiza a leste do meridiano de referencial de horas, no ponto
M. Como Austrália está no nono fuso a leste de Greenwich, isso significa que o
horário é adiantado em nove horas em relação ao de Greenwich.
Algumas conclusões:
* Em cidades que estão no fuso –2 (ponto L), os relógios marcam 2 horas a
menos do que nas cidades do fuso zero.
* Em cidades que estão no fuso +2 (ponto F), os relógios marcam 2 horas a
mais do que nas cidades do fuso zero.
* Em duas cidades de um mesmo fuso horário, os relógios marcam as
mesmas horas. Assim, por exemplo, um relógio acertado para Moscou ponto X na
Rússia, também mostra corretamente as horas em Nairóbi ponto T, na África.
A seguir um novo exemplo:
O saldo de gols é a diferença entre o número de gols marcados e o número
de gols sofridos por uma equipe em um torneio. Quando o número de gols marcados
é maior do que o de gols sofridos, dizemos que a equipe apresenta um saldo de gols
positivo.
Por exemplo, a equipe do Fluminense fez 53 gols (GP) e levou 24 gols (GC),
portanto, seu saldo de gols é 29 gols (positivos porque fez mais gols que levou).
Se o número de gols marcados for menor que o número de gols sofridos,
dizemos que a equipe apresenta um saldo de gols negativo.
Por exemplo, a equipe do Atlético (GO) fez 31 gols (GP) e levou 56 gols
(GC), portanto, seu saldo de gols é -25 gols (negativos porque sofreu mais gols do
que fez).
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2) Classificação dos times pelo saldo de gols.
Brasileirão 2012 P J V E D GP GC SG
1 Fluminense 69 32 20 9 3 53 24 29
2 Atlético-MG 63 32 18 9 5 54 28 26
3 Grêmio 59 32 17 8 7 46 27 19
4 São Paulo 55 32 17 4 11 48 30 18
5 Vasco 50 31 14 8 9 38 34 4
6 Internacional 45 31 11 12 8 40 30 10
7 Botafogo 44 31 12 8 11 45 41 4
8 Corinthians 44 32 11 11 10 39 34 5
9 Cruzeiro 43 32 12 7 13 38 41 -3
10 Coritiba 42 32 12 6 14 45 49 -4
11 Santos 42 32 10 12 10 39 40 -1
12 Náutico 41 32 12 5 15 38 47 -9
13 Ponte Preta 40 32 10 10 12 35 42 -7
14 Flamengo 40 32 10 10 12 32 41 -9
15 Portuguesa 39 32 9 12 11 35 35 0
16 Bahia 36 32 8 12 12 31 36 -5
17 Sport 33 32 8 9 15 30 49 -19
18 Palmeiras 32 32 9 5 18 31 41 -10
19 Figueirense 28 31 7 7 17 36 59 -23
20 Atlético-GO 23 32 5 8 19 31 56 -25
Fonte: http://www.gazetadopovo.com.br/ acesso em 22/10/12
Para interpretar a tabela acima, considere a seguinte legenda: P – número
de partidas; J - jogo disputados; V – vitória; E – empate; D – derrota; GP – gols pró;
GC – gols contra e SG – saldo de gols.
Números Inteiros
No conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é
possível.
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Exemplos:
a) 5 - 3 = 2 (possível: dois é um número natural)
b) 9 - 9 = 0 (possível: zero é um número natural)
c) 3 - 5 =? (impossível nos números naturais)
Para tornar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números
inteiros.
{-1, -2, -3,...}
Lê-se: menos um ou um negativo
Lê-se: menos dois ou dois negativos
Lê-se: menos três ou três negativos
Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o
conjunto dos números inteiros, que é representado por Z.
Z = {... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...}
Importante: os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de
+. O zero não é positivo nem negativo, não precisa estar acompanhado de sinal.
Sugestões de Exercícios:
1) Fábio trabalha em um banco, ajude-o a registrar a movimentação do seu caixa,
usando números positivos ou negativos:
No extrato bancário a letra (C) significa crédito, ou seja, é um depósito (entrada de
dinheiro) e a letra (D) significa débito, ou seja, retirada de dinheiro (por pagamento
de: conta, cheque, etc.).
A) Depósito de R$623,00.
Resposta: + R$623,00.
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B) Retirada de R$ 456,58.
Resposta: -R$456,58.
C) Saque no cartão R$236,00.
Resposta: -R$236,00.
D) Cheque compensado R$1230,00.
Resposta: -R$1230,00.
E) Pagamento conta de luz R$83,57.
Resposta: -R$83,57.
2) Observe os números e diga:
-15, +6, -1, 0, +54, +12, -93, -8, +23, -72, +72
a) Quais os números inteiros negativos?
R: -15, -1, -93, -8, -72.
b) Quais são os números inteiros positivos?
R: +6,+54,+12,+23,+72.
3) Qual o número inteiro que não é nem positivo nem negativo?
R: É o zero
4) Escreva a leitura dos seguintes números inteiros:
a) -8 = (R: oito negativos)
b) +6 = (R: seis positivos)
c) -10 = (R: dez negativos)
d) +12 = (R: doze positivos)
20
e) +75 = (R: setenta e cinco positivos)
f) -100 = (R: cem negativos)
5) Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?
a) +4 = 4 = (V)
b) -6 = 6 = (F)
c) -8 = 8 = (F)
d) 54 = +54 = (V)
e) 93 = -93 = (F)
6) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números
positivos e as temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a
seguinte situação com números inteiros relativos:
a) 5° acima de zero (R: + 5)
b) 3° abaixo de zero (R: - 3)
c) 9°C abaixo de zero (R: - 9)
d) 15° acima de zero (R: + 15)
21
ATIVIDADE 04 – PARA LEITURA
Desde a antiguidade, os homens desenvolveram linguagens variadas para
representar sons e números e isso dependia de uma civilização para outra,
conforme suas condições materiais e culturais.
Em matemática, há um conjunto de símbolos comumente utilizado nas
operações. Uma vez que os matemáticos estão familiarizados com estes símbolos,
eles não são explicados a cada vez que são usados.
Na atividade 04, iremos trabalhar, um pouco, com a história da origem dos
sinais (+) e (-), no intuito de analisar os porquês das permanências e transformações
dos mesmos.
Esta atividade tem o objetivo de incentivar os alunos a fazerem leituras de
textos diversos e fazer a relação entre o passado e o presente, constante na
Matemática. A duração prevista para a atividade é de duas horas de aula.
Imaginando a história
Retirado de Lellis, Jakubovic e Imenes (1992).
Quem foi que inventou os números negativos?
Vamos responder contando uma história. É uma história imaginária sobre
pessoas simples que, em suas ações do dia-a-dia, acabaram inventando os
números negativos. Teria sido assim?
O desenvolvimento do comércio influenciou muito o desenvolvimento da
Matemática. Quanto mais as relações comerciais se tornavam complexas, mais os
matemáticos precisavam descobrir fórmulas que permitissem e facilitassem, aos
comerciantes, o cálculo de suas contas.
Era uma vez um porto...
As caixas no armazém do cais deviam conter certo número de peças e um
funcionário as conferia. Por exemplo: quando faltavam 2 peças na caixa, o
funcionário nela escrevia: minus 2. Quando havia excesso de 3 peças, ele escrevia:
plus 3.
22
Em latim Minus é menos e Plus significa mais!
Com o tempo, minus teria sido abreviado para m. Com a correria do dia-a-
dia, o m teria descambado para , e, finalmente, para –. Assim, – 3 indicava a
falta de três peças.
Da mesma forma, plus teria se transformado em p, depois em , e,
finalmente, em +. Assim, +5 indicava a presença de cinco peças a mais.
Teriam os números negativos surgidos assim ou de forma semelhante? Ao
certo, não se sabe. Mas, mesmo que seja só uma lenda, passe essa história adiante,
tá?
Agora que você já conhece historias e até lendas sobre os números
negativos, responda às próximas perguntas.
Numa caixa o funcionário escreveu – 4. Depois disso, foram colocadas nas
caixas mais três peças e, por isso, o funcionário completou a inscrição, deixando-a
assim: – 4 + 3. Uma caixa com a indicação – 4 + 3 têm mais ou menos peças do que
devia? Quantas a mais ou a menos?
Resposta: uma peça a menos.
E uma caixa com a indicação – 2 – 1?
Resposta: três peças a menos.
Deste modo, os primeiros sinais usados para representar as operações
matemáticas surgiram da observação prática diária de alguns comerciantes, que
colocavam:
Um traço (-) na frente do número que indicava a quantidade de
mercadorias vendidas;
Um traço (+) na frente do número que indicava a quantidade de
mercadorias repostas.
Esta solução encontrada pelos comerciantes, o número acompanhado de
um sinal passou a ser utilizado pelos matemáticos em diversas situações, passando
a simbolizar as operações de adição e subtração, além de indicar dívidas, prejuízo,
crédito, lucro, etc.
23
ATIVIDADE 05 - VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM
Para verificar se houve efetiva aprendizagem, os problemas propostos no
início desta unidade serão reaplicados. Além disso, novos problemas podem ser
formulados, utilizando uma hora de aula. Abaixo algumas sugestões. A duração
prevista para esta atividade é de uma hora de aula.
1) Em alguns edifícios as garagens ficam em pisos abaixo do nível da rua.
Escreva o número que indica cada uma das seguintes situações e pinte no visor de
cada painel o número que indica a resposta:
a) a garagem do
apartamento 123 fica no
segundo piso abaixo do
nível da rua.
R: - 2
b) a garagem do
apartamento 324 fica no
terceiro piso abaixo do
nível da rua.
R: - 3
c) Sandra foi ao shopping
trocar uma blusa, a loja
Linda Moça fica no terceiro
andar, assinale em que
andar o elevador parou?
R: + 3
d) Vinicius tem um cartão
de visita, observe:
Dr. João Paulo, cirurgião
dentista, sala 09, 5°andar.
Assinale no painel o botão
que Vinícius deve acionar
para ir ao consultório.
R: + 5
2) As temperaturas de algumas cidades brasileiras em um determinado dia estão representadas no termômetro abaixo. Use números inteiros, positivos ou negativos, para escrever a temperatura registrada!
24
a) Curitiba: +2
b) Salvador: +27
c) Gramado: -2
d) São Paulo: +9
e) Rio de Janeiro: +21
f) São Joaquim: -6
UNIDADE 02 – REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA
25
As atividades da unidade 02 têm como objetivo construir uma reta numérica
e nela representar os números inteiros. Será importante os alunos concluírem que
retas numéricas têm o zero como referência de números negativos e números
positivos e sempre estão numa ordem crescente da esquerda para a direita.
Portanto, os alunos poderão verificar que sempre o número da direita é maior que o
número da esquerda, podendo desenvolver o conceito de distância.
Nas atividades 01 e 02, serão propostos problemas aos alunos em que o
objetivo será identificar um ponto de referência a partir do qual vai se definir dois
sentidos. A duração prevista para as atividades é de dez horas de aula.
ATIVIDADE 01 – PROBLEMAS
Nesta atividade, teremos um exercício de distâncias que permite a
investigação matemática, pois a busca, a seleção e interpretação de informações,
relativas ao problema, favorece a análise dos resultados.
Extraído de: Grasseschi, Andretta e Silva (1999).
Problema 1 – Na cidade em que Rosa mora, a prefeitura foi construída na avenida
principal onde já existem a escola e algumas casas de comércio, como farmácia,
supermercado, lojas de roupas, lojas de ferragens, padaria etc. Ajude Rosa a
desenhar um esquema representando estes locais, considerando o prédio da
prefeitura como marco zero, ou seja, onde Rosa está posicionada de frente para a
rua.
Prefeitura: zero
Ferragens: direita180
Escola: esquerda120
Mercado: direita70
Padaria: direita140
Lanches: esquerda40
Farmácia: direita120
Roupas: esquerda180
26
Observe o seu esquema e determine as distâncias:
A) Da lanchonete à prefeitura. R: 40 m.
B) Da farmácia à prefeitura. R: 120 m.
C) Da padaria ao mercado. R: 70 m.
D) Da escola a loja de roupas. R: 60 m.
E) Da loja de roupas à farmácia. R: 300 m.
F) Da loja de roupas à loja de ferragens. R: 360 m.
27
ATIVIDADE 02 – A RETA NUMÉRICA
Na atividade 02, o trabalho com a reta numérica deve preparar os alunos
para a representação geométrica de situações-problemas, facilitando sua
compreensão e permitindo que se observem formas práticas para efetuar e
compreender operações com números inteiros.
Vamos verificar os recursos utilizados pelo homem para representar
números em determinada sequência e conhecer alguns instrumentos de medições.
Esta atividade tem o objetivo localizar na reta numérica um número inteiro
quando é dada a sua abscissa e verificar que cada ponto da reta é a imagem
geométrica do número.
Abaixo alguns instrumentos para medições de comprimento, temperatura e
tempo, e para orientação. Ilustre-os.
Régua graduada Trena Bússola
Fita métrica de
costureira
Termômetro Relógio
A sequência dos números inteiros pode ser representada em uma reta
numérica. Vamos construir a reta numérica, seguindo os passos descritos abaixo,
fazendo um paralelo com o problema.
1º passo
Em uma tira de cartolina, desenhamos uma reta r e escolhemos um ponto O
(origem) qualquer da reta, ao qual associamos o número 0 (zero).
28
O
r 0
2º passo
Escolhemos outro ponto da reta, à direita do ponto O, e a esse ponto
associamos o número1. Determinamos assim uma unidade de comprimento (por
exemplo, o cm) e o sentido positivo da reta.
O
r 0 +1
3° passo
Partindo de O, marcamos essa unidade de comprimento, repetidas vezes,
da esquerda para a direita, ao longo da reta, determinando, assim, a localização dos
pontos associados aos números positivos +2, +3, +4, +5, etc.
O
r 0 +1 +2 +3 +4
4º passo
Usando a mesma unidade de comprimento, medimos distâncias à esquerda
do zero e localizamos o número -1, o número -2, e assim por diante, determinando o
sentido negativo da reta.
O
r -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
29
A reta obtida é denominada Reta Numérica Inteira e permite representar
geometricamente qualquer número inteiro.
Cada ponto da reta é a imagem geométrica do número correspondente, e
cada número é chamado abscissa do ponto correspondente.
Vamos fazer outras aplicações da reta numérica, fazendo um paralelo com o
problema.
1) A reta numérica indica posições de um avião (os intervalos são de 100 km.) em
relação à cidade de Brasília. O avião voou na rota oeste-leste. Os números positivos
são usados para indicar distâncias a leste de Brasília e os negativos, para designar
distâncias a oeste de Brasília. Veja:
Brasília
-300 -200 -100 0 +100 +200 +300 +400
Indique na reta a posição do avião 350 km a leste de Brasília.
2) A reta pode representar altitudes e profundidades em relação ao nível do mar. Os
números positivos são usados para as altitudes e os números negativos são usados
para indicar as profundidades. Neste caso os intervalos são de 50m.
. +200
+150
+100
+50
zero nível do mar
- 50
- 100
-150
-200
30
Localize na reta um mergulhador que está a 150 metros de profundidade.
3) Observe na reta numérica que cada ponto está associado a um número. Cada
ponto é chamado Imagem Geométrica do número inteiro. Assim:
O ponto A é a imagem geométrica do número +1.
O ponto P é a imagem geométrica do número -3.
Reciprocamente, cada número inteiro é chamado Abscissa do ponto
correspondente. Assim:
O número +2 é a abscissa do ponto B.
O número -4 é a abscissa do ponto Q.
De acordo com a reta responda:
a) Qual é a abscissa do ponto R?
Resposta: o número- 5.
b) Qual é a imagem geométrica do número 0?
Resposta: o ponto O.
Exercícios
1)Vamos traçar uma reta e marcar o ponto zero. À direta do ponto zero, com certa
unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos números
positivos e à esquerda de zero, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos
que correspondem aos números negativos.
R Q P N M O A B C D E
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
31
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8
Agora, observe a reta e responda.
a) Quantas unidades você tem que andar para ir do – 8 ao +1? R: nove unidades
b) Quantas unidades você tem que andar para ir do +6 ao – 2? R: oito unidades
c) Quantas unidades você tem que andar para ir do – 5 ao +4? R: nove unidades
d) Escreva os números inteiros compreendidos entre 1 e 7. (R: 2, 3, 4, 5,6)
e) Escreva os números inteiros compreendidos entre -3 e 3 (R: -2, -1,0,1,2)
f) Escreva os números inteiros compreendidos entre -4 e 2 (R: -3, -2, -1, 0, 1)
g) Escreva os números inteiros compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3).
h) Escreva os números inteiros compreendidos entre -5 e -1 (R: -4, -3, -2)
i) Escreva os números inteiros compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)
2)Você sabia que no território brasileiro há quatro fusos horários?
Cascavel está no fuso -3, e Teerã no fuso +4. Então percebo que, de -3 para
+4, preciso somar sete. Isso significa que os relógios de Teerã marcam 7 horas a
mais que os de Cascavel.
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Eu estou escrevendo esta frase às 20h18min de uma terça-feira. Agora, em
Teerã, não deve ter ninguém olhando no relógio, pois são 3h18min da madrugada
de uma quarta feira.
Efetuamos: 20h18min+7h=27h18min.
27h18min-24h=3h18min.
32
ATIVIDADE 03 – DESENVOLVENDO OS CONCEITOS
Na atividade 03, os alunos compreenderão certos conceitos–chave como
fonte de informação indispensável ao processo de ensino aprendizagem das
operações com números inteiros. Serão abordados conceitos de Antecessor e
Sucessor de um número inteiro, para auxiliar o reconhecimento do mesmo em
diferentes contextos. A duração prevista para a atividade é de três horas de aula.
Para esta atividade será distribuído um cartão para cada dois alunos, os
quais eles terão que fixá-los no quadro.
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -9 -8 8 1 2 3 4 5 6 7
A princípio não colocaremos o zero. Peça para que os alunos organizem os
números no quadro a maneira que quiserem. Depois, com a intervenção da
professora, acrescentará o zero. Será verificado o procedimento dos alunos, será
explorada a reta numérica e após, serão trabalhados os conceitos.
Antecessor e Sucessor de um número inteiro
Antecessor de um número inteiro é o que vem imediatamente antes dele na
sequência dos números inteiros.
Para encontrar o antecessor de um número inteiro, basta subtrair 1 deste
número.
Exemplos:
Número -1 Antecessor
-15 -15-1 -16
-2 -2-1 -3
+6 +6-1 +5
+237 +237-1 +236
0 0-1 -1
Sucessor de um número inteiro é o que vem imediatamente depois dele na
sequência dos números inteiros.
33
Para encontrar o sucessor de um número inteiro, basta adicionar 1 a este
número.
Exemplos:
Número +1 Sucessor
-28 -28+1 -27
-5 -5+1 -4
0 0+1 +1
+9 +9+1 +10
+439 +439+1 +440
Observe:
Antecessor (-1) Número Sucessor (+1)
-57 -56 -55
-20 -19 -18
-1 0 +1
+12 +13 +14
+68 +69 +70
Agora responda:
a) Qual é o sucessor de +8? (R: +9)
b) Qual é o sucessor de -6? (R-5:)
c) Qual é o sucessor de 0 ? (R: +1)
d) Qual é o antecessor de +8? (R: +7)
e) Qual é o antecessor de -6? (R: -7)
f) Qual é o antecessor de 0 ? (R: -1)
Abaixo, sugestões de exercícios envolvendo estes conceitos.
1) Escreva em Z o antecessor e o sucessor dos números:
34
Antecessor Número Sucessor
+3 +4 +5
-5 -4 -3
53 54 55
-69 -68 -67
-800 -799 -798
+999 +1000 +1001
2) João Paulo está no banco, o painel mostra o número 325, mas tem uma pessoa
antes dele, qual é a senha de João Paulo?
Painel Uma pessoa João Paulo
325 326 327
A senha de João Paulo é o número 327.
35
ATIVIDADE 04 - VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM
Para verificar se houve efetiva aprendizagem, os problemas iniciais serão
reaplicados e serão formulados novos problemas para verificação da aprendizagem.
Abaixo, algumas sugestões de problemas. A duração prevista para a atividade é de
uma hora aula.
Problema 1 – Os termômetros da cidade de Curitiba mostravam uma temperatura de
– 2°C às 2 horas da manhã; às 8 horas, a temperatura já havia subido 9°C graus.
Qual foi a temperatura às 8 horas?
Variação de 9ºC
-2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
Resposta: A temperatura de Curitiba à tarde foi +7°C.
Problema 2 – Deolinda saiu de manhã para ir à escola e observou que o termômetro
da rua marcava 16°C. Na volta para casa, na hora do almoço, observou que o
mesmo termômetro marcava 25°C. Calcule a variação de temperatura observada
por Deolinda.
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Resposta: A variação de temperatura foi 9°C
36
UNIDADE 03 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
Na unidade 03, vamos apresentar sugestões de atividades, que possibilitem
ao processo ensino-aprendizagem, realizar de forma natural a adição e subtração de
números inteiros.
O objetivo é permitir ao aluno compreender o significado dos números
positivos e negativos e realizar corretamente as operações de adição e subtração
envolvendo números inteiros.
ATIVIDADE 01 - COTIDIANO
Na atividade 01, serão exploradas situações problemas para efetuar cálculos
com números inteiros. O objetivo é interligar o estudo da matemática com seu
cotidiano, mostrando sua presença em tudo que fazemos. A duração prevista para a
atividade é de três horas de aula.
Problema 1 – O saldo de uma conta bancária indica quanto o cliente tem no
banco. Quando se faz um depósito, o saldo é acrescido deste valor e, portanto,
aumenta. Quando se faz uma retirada, do saldo é diminuído este valor e, portanto,
cai.
Existem contas especiais para as quais o banco permite a retirada de
quantias superiores ao saldo do cliente. Nesse caso, o banco está emprestando
dinheiro para o cliente, que fica com o saldo negativo (o cliente fica devendo para o
banco). Observe a sequência de movimentações financeiras abaixo e informe o
saldo da conta bancária em cada movimentação.
A) O cliente tem R$60,00 e fez um depósito de R$30,00. Seu saldo atual é
de R$ 90,00.
Resposta: 60,00+30,00 = 90,00
B) O cliente tem R$90,00 e fez uma retirada de R$50,00. Qual o seu
saldo?
37
Resposta: 90,00-50,00=40,00 R$40,00.
C) O cliente tem R$40,00 e fez uma retirada de R$110,00. Qual é o seu
saldo atual?
Resposta: 40,00 - 110,00= - 70,00 R$ 70,00 (devedor).
Conclusão: Neste caso, o saldo ficou negativo em R$ 70,00 ou - R$ 70,00.
Isto significa que o cliente está devendo para o banco R$ 70,00.
Problema 2 – Maria Isabel e Afonso verificavam o que ainda restava de suas
mesadas. Maria Isabel chegou à seguinte conclusão: além de não ter mais nenhum
dinheiro, estava devendo R$ 32,00 para sua mãe. Afonso, mais econômico, verificou
que não tinha nenhuma dívida e ainda havia conseguido guardar R$ 17,00.
A) Registre, de algum modo, a situação financeira de Maria Isabel e Afonso.
Resposta: Maria Isabel –R$32,00 e +Afonso R$17,00
B) Afonso teria dinheiro suficiente para saldar as dívidas de Maria Isabel?
( ) Sim. Sobraria algum dinheiro?
(X) Não. Quanto faltaria?
Afonso tem R$17,00 e Maria Isabel deve R$32,00, faltaria R$15,00, ou seja,
ele pagaria R$17,00 e ainda restaria R$15,00 da divida de Maria Isabel.
38
ATIVIDADE 02 – JOGO “BRINCANDO COM AS IMAGENS”
Abaixo se descreve uma sugestão de jogo para explorar o conceito de
números inteiros, os questionamentos e os registros vão facilitar a compreensão das
ideias relacionadas com os números, com objetivo de promover habilidade metal
com organização, contribuindo para o desenvolvimento da linguagem e criatividade.
A duração prevista para a atividade é de dez horas de aula.
Material utilizado no jogo (por equipe): 28 cartões, sendo: 02 com figuras
coloridas, 02 com figuras pretas e brancas, 10 numerados na cor azul de 1 a 10, 10
numerados na cor vermelha de 1 a 10 e 4 em branco.
Participantes: Quatro alunos em cada equipe.
Desenvolvimento:
Pedir para os alunos escolherem dois cartões por equipe. Após, deverão
produzir uma frase relacionando as figuras e a palavra MATEMÁTICA no seu
contexto. Estas frases serão verificadas por alguns professores (artes, português e
matemática).
Em grupo, com os cartões todos na mesa, cada aluno escolherá sete, sendo
a escolha feita um cartão por vez.
Após, cada participante deverá fazer o registro de seus cartões no caderno
(relacionando o cartão com sua descrição). Abaixo, exemplo de quadro para o
registro.
Cartão Figura
colorida
Figura
preta e
branca
Número em
azul
Número em
vermelho
Cartão em
branco
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
Quadro 02 – Minhas imagens.
39
Neste momento, atribuir uma pontuação para cada cartão. Por exemplo:
Cartão com figura colorida: cinco pontos positivos
Cartão com figura preta e branca: cinco pontos negativos
Cartão em branco: zero ponto
Cartão numerado de 1 a 10 de cor azul: pontos positivos, de acordo
com o número do cartão.
Cartão numerado de 1 a 10 de cor vermelha: pontos negativos, de
acordo com o número do cartão.
Na sequência, solicitar a cada equipe que verifique:
A. A pontuação de cada aluno da equipe. Cada aluno deve ainda escrever
por extenso sua pontuação positiva, negativa e total.
B. Em ordem crescente, os pontos dos alunos da equipe.
Abaixo, sugestões de questionamentos que podem ser feitas aos alunos.
A. Qual o máximo de pontos que alguém poderia obter?
B. Qual o mínimo de pontos que alguém poderia obter?
C. Se um participante tem 28 pontos negativos, quais foram os cartões
que ele pegou?
D. Quais são as possibilidades de um participante obter 37 pontos?
40
ATIVIDADE 03 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS UTILIZANDO
MATERIAL MANIPULÁVEL
Para podermos explorar a adição e a subtração com números inteiros,
vamos usar a reta numérica, esse material permite a visualização de quantidades
positivas e negativas, utilizando cores diferentes. A duração prevista para a atividade
é de dez horas aulas.
Confeccionando a reta numérica
Confeccionar duas tiras de cartolina, numeradas de 0 a 30 centímetros, na
cor azul, para representar os números positivos.
Confeccionar duas tiras de cartolina, numeradas de 0 a 30 centímetros, na
cor vermelha, para representar os números negativos.
Confeccionar uma tira de cartolina, numerada de -30 a 30 centímetros, na
cor preta, para ser utilizada como guia, na qual se verifica o resultado final das
operações.
Abaixo, um exemplo para utilização deste material.
Vamos calcular o saldo final de gols de cada equipe, num torneio de
futebol disputado entre Brasil, Argentina, México e Estados Unidos.
Para calcular o saldo final, basta adicionar os saldos dos 1º e 2º turnos do
torneio.
País 1º Turno 2° Turno
Brasil +5 gols +3 gols
Estados Unidos -3 gols -7 gols
Argentina +5 gols -2 gols
México -6 gols +4 gols
41
BRASIL
Usaremos as duas tiras positivas e a tira guia, já que os saldos de gols
nos 1º e 2º turnos são positivos.
Operação: (+5) + (+3) =+8
Logo o saldo de gols final do Brasil foi oito gols.
1ª tira 2ª tira
0 1 2 3 4 5 1 2 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tira guia
A operação é realizada da seguinte forma: posiciona-se a primeira tira com o
0 coincidindo com o 0 da tira guia. Em seguida, posiciona-se a segunda tira com o 0
coincidindo com o primeiro termo da soma na primeira tira. O resultado da soma é
observado na tira guia. Usando a reta numérica (tira guia) podemos verificar que o
deslocamento final é de 8 unidades no sentido positivo: +8.
ESTADOS UNIDOS
Usaremos as duas tiras negativas e a tira guia, já que os saldos de gols
no 1º e 2º turnos são negativos.
Operação: (-3) + (-7) =-10
Logo o resultado final dos Estados Unidos: -10 gols
2ª tira 1ª tira
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -3 -2 -1 0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Tira guia
42
A operação é realizada da seguinte forma: posiciona-se a primeira tira com o
0 coincidindo com o 0 da tira guia. Em seguida, posiciona-se a segunda tira com o 0
coincidindo com o primeiro termo da soma na primeira tira. O resultado da soma é
observado na tira guia. Usando a reta numérica (tira guia) podemos verificar que o
deslocamento final é 10 unidades no sentido negativo: -10.
ARGENTINA
Usaremos uma tira positiva, uma negativa e a tira guia.
.
Operação: (+5) + (-2) =+3
Logo o resultado final da Argentina:+3gols.
1ª tira
0 +1 +2 +3 +4 +5
-2 -1 0*
0 +1 +2 +3 +4 +5
Tira guia
* 2° tira
A operação é realizada da seguinte forma: posiciona-se a primeira tira com o
0 coincidindo com o 0 da tira guia. Em seguida posiciona-se a segunda tira com o 0
coincidido com o primeiro termo da soma na primeira tira. O resultado da soma é
observado na tira guia, verificando a posição que coincide com o segundo termo da
soma na segunda tira. Usando a reta numérica (tira guia) podemos verificar que o
deslocamento final é de 3 unidades no sentido positivo: +3.
MÉXICO
Usaremos uma tira positiva, uma negativa e a tira guia.
43
Operação: (-6) + (+4) =-2
Logo o resultado final do México:- 2 gols.
1ª tira
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
*0 +1 +2 +3 +4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Tira guia
* 2º tira
A operação é realizada da seguinte forma: posiciona-se a primeira tira com o
0 coincidindo com o 0 da tira guia. Em seguida, posiciona-se a segunda tira com o 0
coincidindo com o primeiro termo da soma. O resultado da soma é observado na tira
guia, verificando a posição que coincide com o segundo termo da soma na segunda
tira. Usando a reta numérica (tira guia) podemos verificar que o deslocamento final é
de duas unidades no sentido negativo: -2.
DESENVOLVENDO CONCEITOS – Módulo de um número
Podemos dizer que o módulo é o mesmo que distância de um número ao
número zero, pois módulo de um número surgiu da necessidade de medir a
distância de um número negativo ao zero (GIOVANNI JR. e CASTRUCCI, 2009).
Ao medirmos a distância de um número negativo qualquer ao zero, percebe-
se que a distância fica negativa e como não é usual dizer que uma distância ou
comprimento é negativo foi criado o Módulo de um número que torna o valor positivo
ou nulo (GIOVANNI JR. e CASTRUCCI, 2009).
O módulo de um número é, por definição,
O próprio número, se ele for positivo.
O seu simétrico (oposto), se ele for negativo.
A representação de um módulo ou valor absoluto de um número é feita por
duas barras paralelas.
44
Observe o módulo ou valor absoluto de números:
O módulo de -4 é 4, e indica-se: -4= 4.
O módulo de +6 é 6, e indica-se: +6= 6.
O módulo de 0 é 0, e indica-se: 0= 0
B O A
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
A distância de -4 ao zero são quatro unidades de afastamento.
A distância de +6 ao zero são seis unidades de afastamento.
A distância de zero ao zero é zero unidade, não ocorre o
deslocamento.
Analisando as situações a respeito da adição com números inteiros, temos
dois casos a considerar:
1º Caso: Os números têm o mesmo sinal.
* Quando os dois números são positivos, a soma é um número positivo.
Veja o exemplo: Brasil
Mesmo sinal das parcelas.
(+5) + (+3) =+8
Soma dos módulos +5 + +3 = 8
45
* Quando os dois números são negativos, a soma é um número negativo.
Veja o exemplo: Estados Unidos
Mesmo sinal das parcelas.
(-3) + (-7) = -10
Soma dos módulos -3 + -7 = 10
O módulo do resultado é igual à soma dos módulos das parcelas.
2º Caso: Os números têm sinais diferentes.
* Quando dois números não opostos têm sinais diferentes, o sinal do resultado
corresponde ao sinal do número que está mais distante da origem, ou seja, do
número que tiver maior módulo.
O módulo do resultado é igual à diferença positiva entre os módulos das
parcelas.
Veja o exemplo: Argentina
O resultado será positivo, pois o módulo de +5 é maior que o módulo de -2.
(+5) + (-2) = +3
Diferença entre os módulos +5 - -2 = 5-2= 3
46
Veja o exemplo: México
O resultado será negativo, pois o módulo de -6 é maior que o módulo de +4.
-6= +6 e +4= +4.
(-6) + (+4) = -2
Diferença entre os módulos das parcelas -6 - +4 =6-4=2
47
ATIVIDADE 04 – VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM
Para verificar se houve efetiva aprendizagem, os problemas iniciais serão
reaplicados e serão formulados novos problemas para verificação da aprendizagem.
A duração prevista para a atividade é de três horas aulas.
Abaixo algumas sugestões de problemas.
Problema 1 – Os números negativos também são utilizados para representar
temperaturas.
Existem diversas escalas termométricas, a mais utilizada no Brasil para
medir a temperatura é a Celsius (ºC). Nessa escala, as temperaturas são medidas
acima e abaixo de zero. Represente um termômetro marcando 5°C (cinco graus
Celsius) e depois responda:
A) Qual a temperatura marcada no termômetro se a temperatura diminuir 3
graus?
Resposta: 5-3=2 2°C
B) Qual a temperatura marcada no termômetro se a temperatura diminuir 5
graus?
Resposta: 5-5=0 0°C
C) Qual a temperatura marcada no termômetro se a temperatura diminuir 7
graus?
Resposta: 5-7=-2 -2°C
Problema 2 – João Pedro tem um saldo de R$650,00 no banco. Qual será o saldo
de João Pedro, se ele pagar uma conta de R$720,00 e, depositar R$180,00 e, em
seguida depositar R$180,00? Use números positivos ou negativos para indicar esse
saldo.
Resposta: 650-720=-70 -R$70,00
-70+180=+110 +R$110,00
O saldo de João Pedro será R$110,00 (positivo).
48
Agora é com você, usando sua reta numérica represente as seguintes
situações:
A) Valquíria esta devendo R$ 3,00 para sua amiga. Hoje recebeu R$10,00
de sua mesada e pagou sua dívida. Quanto ainda resta a Valquíria?
Deve 3 ( - 3).
Recebeu 10 (+10)
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
-3 -2 -1 0
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
O resultado da soma é observado na reta numérica (tira guia), podemos
verificar que o deslocamento final é de 7 unidades no sentido positivo (+7).
Portanto, resta para Valquíria R$7,00.
B) Um prédio possui 12 andares acima do térreo. A partir do térreo, o
elevador sobe 6 andares e, a seguir, desce 4 andares. Em que andar o elevador
parou?
Sobe 6 andares acima do térreo (+6)
Desce 4 andares (-4)
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
0 -1 -2 -3 -4
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
O resultado da soma é observado na reta numérica (tira guia), podemos
verificar que o deslocamento final é de 2 unidades no sentido positivo (+2).
Portanto, o elevador parou no 2° andar.
49
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta produção didático-pedagógica apresenta uma reflexão teórica sobre o
uso de jogos, material manipulável e Resolução de Problemas no cálculo de
operações com números inteiros, suas possibilidades como estratégias de ensino,
em que possam ser utilizados com o objetivo de construir conhecimentos, treinar
habilidades já estudadas, aprofundar questões e desenvolver estratégias de
raciocínio lógico.
Espera-se que, com a realização deste trabalho, a utilização de material
concreto possibilite aos alunos uma melhor compreensão e assimilação das
operações. Além disso, espera-se que os alunos consigam compreender e construir
conceitos através da resolução de situações problemas que envolvam as operações.
Um dos objetivos deste material é proporcionar os alunos a oportunidade de
integração entre teoria e a prática, a partir de um trabalho com materiais simples,
como forma de aprofundamento dos conhecimentos.
Quando o aluno compreende algo através da manipulação e observação de
materiais concretos ele está sendo agente de sua aprendizagem, está construindo
seus próprios saberes e não sendo apenas mero telespectador de sua
aprendizagem.
A inserção dos jogos no contexto escolar aparece como uma possibilidade
altamente significativa no processo de ensino-aprendizagem, por meio da qual, ao
mesmo tempo em que se aprecia a ideia de aprender brincando, gerando interesse
e prazer, contribui-se para o desenvolvimento cognitivo dos alunos. No movimento
de aproximação da criança com situações e ações adultas, no enfrentamento de
situações vivenciadas ou simuladas no jogo, as quais demandam refletir, analisar e
criar estratégias para resolver problemas, estabelece-se um caminho para o
desenvolvimento do pensamento abstrato.
A exploração de jogos no contexto educativo das aulas de matemática
apresenta-se como um dos caminhos para o desenvolvimento de atividades de
Resolução de Problemas, pois impulsionam o processo de ensino-aprendizagem
matemático (SMOLE, 2007).
50
Para Dante (2005), na resolução de problemas, o aluno participa da
construção dos conceitos e cálculos, não é um mero expectador de resultados
produzidos pelo professor. Assim, o aluno, incentivado pelo professor, formula suas
próprias ideias. A construção do conhecimento pelo aluno leva ao desenvolvimento
do raciocínio e do pensamento crítico, que possibilitam a resolução mais dinâmica
de situações problemas, as quais abrangem conteúdos das diversas disciplinas
trabalhadas no colégio. Portanto, este trabalho também contribui na formação de
cidadãos mais conscientes.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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