Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares

• Matrizes:

Uma matriz de tipo m×n e uma tabela com mn elementos, denomina-dos entradas, e formada por m linhas e n colunas. A matriz identidadede ordem 2, por exemplo, e uma matriz de tipo 2× 2 representada por

I2 =

[1 00 1

].

• Igualdade: [2 13 x+ 1

]=

[2 13 5

]⇔ x = 4

• Adicao: [2 1−1 0

]+

[−4 32 2

]=

[−2 41 2

]• Multiplicacao por Escalar:

2

[2 3 41 3 1

]=

[4 6 82 6 2

]A subtracao e definida por meio da adicao e da multiplicacao por escalarcomo

A−B = A+ (−B)

• Produto:

Se A = [aij]m×p e B = [bij]p×n, entao AB = [cij]m×n possui entradasdefinidas por

cij =

p∑k=1

aikbkj.

[1 2 42 6 0

] 4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2

=

[12 27 30 138 −4 26 12

]

1

• Transposta:

Linha vira coluna e coluna vira linha, ou seja,

At = [aji]⇔ A = [aij].

At =

[2 1 53 4 6

]⇔ A =

2 31 45 6

Transposta do produto: (AB)t = BtAt.

• Traco:

tr(A) =m∑i=1

aii

tr

[3 2−1 −8

]= (3) + (−8) = −5

• Inversa:

B = A−1 e a inversa de A se

AB = BA = I,

onde I e a matriz identidade. Essa condicao nem sempre e satisfeitade modo que existem matrizes nao nulas que nao admitem inversa; taismatrizes sao denominadas singulares.

Para se encontrar a inversa da matriz A, efetuamos operacoes elementa-res sobre a matriz [A|I] a fim de obtermos [I|A−1]. Quando a matriz Afor singular, o algoritmo de inversao nao podera ser completado porqueuma linha nula no lado esquerdo aparecera no meio do processo (indi-cando que a matriz A nao pode ser reduzida a identidade por operacoeselementares).

Para a matriz A =

[1 21 3

], temos

[1 2 | 1 01 3 | 0 1

]→[

1 2 | 1 00 1 | −1 1

]→[

1 0 | 3 −20 1 | −1 1

]2

Logo, A−1 =

[3 −2−1 1

].

Inversa do produto: (AB)−1 = B−1A−1.

• Sistemas Lineares:

Um sistema linear consiste num conjunto finito de equacoes lineares,do tipo que definem uma linha reta ou um plano, tendo a forma geral:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

Quando temos b1 = b2 = ... = bm = 0, dizemos que o sistema linear ehomogeneo.

• Solucoes:

Uma solucao de um sistema linear com n incognitas e o lugar geometricono Rn que satisfaz todas as condicoes impostas pelas equacoes do sis-tema.

Todo sistema linear possui zero, uma ou infinitas solucoes, nao existindooutras possibilidades.

O que foi dito acima pode ser exemplificado pelos sistemas linearesabaixo:

(A)

{x− y = 12x+ y = 6

}(B)

{x+ y = 4

3x+ 3y = 6

}(C)

{4x− 2y = 116x− 8y = 4

}Os sistemas acima sao formados por equacoes lineares que representamlinhas retas no plano. As solucoes de cada sistema correspondem aolugar geometrico obtido pela interseccao de duas retas no plano.

(A) Possui uma unica solucao, pois as retas sao concorrentes e se in-terceptam num unico ponto.

(B) Possui zero solucoes, pois as retas sao paralelas (e distintas) naopossuindo nenhum ponto comum.

(C) Possui infinitas solucoes, pois as retas sao coincidentes.

3

• Representacao Matricial:

O sistema lineara11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

pode ser representado pela sua matriz aumentada

a11 a12 ... a1n = b1a21 a22 ... a2n = b2...

......

...am1 am2 ... amn = bm

.Podemos alterar a matriz aumentada de um sistema linear a fim deobter um sistema linear equivalente, pois tera o mesmo conjunto desolucoes que o sistema original. Esse tipo de transformacao matricialque preserva as solucoes do sistema linear e chamada de operacao ele-mentar. Sao elas:

1. Trocar duas linhas da matriz.

2. Multiplicar uma linha da matriz por um escalar nao nulo.

3. Adicionar uma linha da matriz a outra.

• Forma Escada:

Podemos resolver um sistema linear (nao importando seu tamanho)por meio da reducao da matriz aumentada do sistema original a umamatriz escalonada (ou em forma escada), caracterizada pelas seguintespropriedades:

1. Todas as linhas nulas estao agrupadas no fim da matriz.

2. O primeiro numero nao nulo de uma linha nao nula e 1 (chamadode pivo).

3. O pivo de uma linha nao nula sempre ocorre numa coluna anteriorao pivo da linha nao nula seguinte (daı o nome forma escada).

4

Uma matriz escalonada se diz reduzida caso obedeca tambem a condicaoabaixo:

4. Toda coluna que contem o pivo (um numero 1, portanto) de umacerta linha nao nula possui zeros no resto.

Considere a matriz na forma escalonada (reduzida) 1 0 3 −10 1 −4 20 0 0 0

.O sistema linear correspondente e{

x + 3z = −1y − 4z = 2

}.

Chamamos de variaveis condicionadas aquelas correspondentes aos pivosde cada linha (no caso, x e y), e de variaveis livres as demais (no caso,z). A solucao do sistema e dada por x

yz

=

−120

+ t

−3−41

,significando uma linha reta no R3 que passa pelo ponto (−1, 2, 0) e tema direcao do vetor (−3,−4, 1).

• Gauss-Jordan:

Pode ser mostrado que a aplicacao de operacoes elementares a matrizaumentada de um sistema linear nao altera o conjunto solucao dessesistema. O metodo de Gauss-Jordan consiste em efetuar tais operacoesa fim de escalonar a matriz aumentada de um sistema linear dado,obtendo um sistema equivalente de solucao facil atraves de uma matrizescalonada reduzida1.

Considere a matriz 0 0 −2 0 7 122 4 −10 6 12 282 4 −5 6 −5 1

.1Toda matriz admite uma unica forma escalonada reduzida.

5

Passo 1 - Escolher Coluna. Localize a coluna nao nula mais a esquerda. |0| 0 −2 0 7 12|2| 4 −10 6 12 28|2| 4 −5 6 −5 1

Passo 2 - Trocar o Zero. Troque linhas, se necessario, a fim de deixaruma entrada nao nula na coluna escolhida no Passo 1. |2| 4 −10 6 12 28

|0| 0 −2 0 7 12|2| 4 −5 6 −5 1

Passo 3 - Criar o Pivo. Multiplique a primeira entrada da coluna emdestaque no Passo 2 pelo seu inverso a fim de obter um pivo. |1| 2 −5 3 6 14

|0| 0 −2 0 7 12|2| 4 −5 6 −5 1

Passo 4 - Zerar Abaixo. Adicione multiplos da linha superior as demaisa fim de zerar todas as entradas abaixo do pivo. |1| 2 −5 3 6 14

|0| 0 −2 0 7 12|0| 0 5 0 −17 −29

Passo 5 - Excluir e Repetir. Repita os passos anteriores para a matrizresultante, excluindo a linha superior. Continue ate que a matriz estejana forma escalonada. |1| 2 −5 3 6 14

|0| 0 1 0 −72−6

|0| 0 0 0 1 2

Passo 6 - Zerar Acima. A partir da ultima linha nao nula, trabalhepara cima adicionando multiplos de cada linha as linhas acima a fimde introduzir zeros acima dos pivos. Continue ate que a matriz estejana forma escalonada reduzida. |1| 2 0 3 0 7

|0| 0 1 0 0 1|0| 0 0 0 1 2

6

• Matrizes Diagonais:

Uma matriz diagonal e toda matriz quadrada da forma

D =

d1 0 . . . 00 d2 . . . 0...

......

0 0 . . . dn

.Nao e difıcil de mostrar que a matriz diagonal D acima e invertıvel se esomente se seus elementos diagonais sao todos nao nulos. Sua inversae dada por

D−1 =

d−11 0 . . . 00 d−1

2 . . . 0...

......

0 0 . . . d−1n

.Da mesma forma, qualquer potencia inteira positiva de uma matrizdiagonal e facilmente expressa por

Dk =

dk1 0 . . . 00 dk2 . . . 0...

......

0 0 . . . dkn

.O resultado acima continua valido para k < 0 se D for invertıvel.

• Matrizes Triangulares:

Uma matriz triangular superior e toda matriz quadrada cujas entradasabaixo da diagonal principal sao zero. Essa condicao pode ser descritapela formula

aij = 0 se i > j.

Exemplo:

2 1 1 30 2 8 40 0 3 10 0 0 1

7

Uma matriz triangular inferior e toda matriz quadrada cujas entradasacima da diagonal principal sao zero. Essa condicao pode ser descritapela formula

aij = 0 se i < j.

Exemplo:

2 0 0 01 2 0 01 8 3 03 4 1 1

Observacao 1. Como os dois exemplos anteriores revelam, a transpostade uma matriz triangular superior e uma matriz triangular inferior, evice-versa.

Observacao 2. Uma matriz triangular (superior ou inferior) e invertıvelse e somente se suas entradas diagonais sao nao nulas.

• Matrizes Simetricas e Antissimetricas:

Uma matriz quadrada A e simetrica se

At = A⇔ aji = aij.

Exemplo:

1 4 54 3 65 6 7

Uma matriz quadrada A e antissimetrica se

At = −A⇔ aji = −aij.

Exemplo:

0 −4 54 0 −6−5 6 0

Observacao 3. Como pode ser facilmente verificado pela definicao, todamatriz antissimetrica tem diagonal principal nula.

• Matrizes Nilpotentes:

Uma matriz quadrada A e dita nilpotente se Ak = 0 para algum inteiropositivo k, onde 0 e a matriz nula. O menor k para o qual a condicaode nilpotencia se verifica e denominado ındice de nilpotencia da matriz.

8

Exemplo: A matriz A =

0 2 10 0 30 0 0

e nilpotente com ındice de nil-

potencia 3, pois

A2 =

0 0 60 0 00 0 0

A3 =

0 0 00 0 00 0 0

• Matrizes em Blocos:

Toda matriz pode ser transformada numa matriz em blocos por meioda separacao de linhas e colunas especıficas. Em especial, uma ma-triz diagonal em blocos e aquela matriz formada por blocos diagonaiscompostos por matrizes quadradas e por matrizes nulas no resto:

D =

D1 0 . . . 00 D2 . . . 0...

......

0 0 . . . Dk

,onde as matrizes D1, D2, . . . , Dk sao quadradas.

A inversa de uma matriz diagonal em blocos, quando existe, e dada por

D =

D−1

1 0 . . . 00 D−1

2 . . . 0...

......

0 0 . . . D−1k

.• Determinantes:

O determinante de uma matriz quadrada A = [aij]n×n e definido comoa soma alternada de produtos elementares2

det(A) =∑

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n),

2Combinacoes de n entradas da matriz, nao sendo permitido duas entradas provenientesda mesma linha ou da mesma coluna.

9

onde a soma se da ao longo de todas as permutacoes σ dos numeros{1, 2, . . . , n} e a funcao sinal sgn(σ) e definida por

sgn(σ) =

{+1 se σ par−1 se σ ımpar

}.

• Expansao em Cofatores:

O numero Cij = (−1)i+jMij e chamado cofator da entrada aij da matrizA, n×n, onde o termo Mij e definido como o determinante da submatrizresultante da eliminacao da i-esima linha e da j-esima coluna da matrizA.

O determinante de uma matriz A, n × n, pode ser calculado multipli-cando as entradas em qualquer linha (ou coluna) pelos seus respectivoscofatores e somando os produtos resultantes.

1. Expansao em cofatores ao longo da j-esima coluna:

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + . . .+ anjCnj

2. Expansao em cofatores ao longo da i-esima linha:

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + . . .+ ainCin

• Matriz Adjunta:

Define-se a adjunta de uma matriz A, n× n, como sendo a transpostada matriz dos cofatores de A.

Se A e invertıvel, entao podemos calcular sua inversa A−1 por meio damatriz adjunta atraves da formula

A−1 =1

det(A)adj(A).

• Regra de Cramer:

Se A~x = ~b e um sistema linear de n equacoes em n incognitas, entaoo sistema tem uma solucao unica se e somente se det(A) 6= 0, sendo asolucao dada por

xj =det(Aj)

det(A), j = 1, . . . , n,

onde Aj e a matriz que resulta quando a j-esima coluna de A e subs-

tituıda por ~b.

10

• Propriedades dos Determinantes:

Se A e uma matriz quadrada com uma linha ou uma coluna de zeros,entao det(A) = 0.

Se A e uma matriz triangular ou diagonal, entao det(A) e dado peloproduto das entradas da diagonal principal.

Pode ser mostrado que se uma matriz quadrada M e colocada numaforma triangular em blocos como

M =

[A 0C B

]ou M =

[A C0 B

]onde A e B sao quadradas, entao det(M) = det(A)det(B).

Como cada produto elementar tem um fator de cada linha e um decada coluna da matriz A, existe uma simetria entre linhas e colunasque e inerente a definicao de determinante. Tal simetria se manifestano fato de que det(At) = det(A).

• Operacoes Elementares:

Seja A uma matriz n× n.

1. Se B e a matriz que resulta quando uma unica linha ou coluna deA e multiplicada por um escalar k, entao det(B) = k det(A).

2. Se B e a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunasde A sao trocadas, entao det(B) = −det(A).

3. Se B e a matriz que resulta quando um multiplo de uma linha(ou coluna) de A e somado a uma outra linha (ou coluna), entaodet(B) = det(A).

Decorre diretamente do resultado acima que:

1. se A tem duas linhas (ou colunas) identicas, entao det(A) = 0;

2. se A tem duas linhas (ou colunas) proporcionais, entao det(A) = 0;

3. det(kA) = kn det(A), para k ∈ R e A matriz n× n.

• Produto de Matrizes:

Sejam A e B matrizes quadradas. Entao

11

1. det(AB) = det(A) det(B)

2. A invertıvel ⇔ det(A) 6= 0

3. det(A−1) =1

det(A)

4. det(Ak) = [det(A)]k

Exercıcios

1. Encontre os valores de a e b que satisfazem a equacao matricial 3 0−1 21 a+ b

+ 2

2 1−3 1

2a− b 0

=

7 2−7 49 1

2. Encontre os valores de a e b que satisfazem a equacao matricial[

2a+ b 03 −1

]−[

5a+ b 1−3 3

]=

[7 −16 −4

]3. Considere as matrizes

A =

[1 4 23 1 5

]B =

1 5−3 21 0

Calcule:

(a) At

(b) Bt

(c) (AB)t

4. Considere as matrizes

A =

[1 2 3 43 0 −1 2

]B =

0 5−1 1−1 04 −2

Calcule:

12

(a) At

(b) Bt

(c) (AB)t

5. Considere as matrizes

A =

3 −2 76 5 40 4 9

B =

6 −2 40 1 37 7 5

Calcule:

(a) tr(A)

(b) tr(At)

(c) tr(AB)− tr(A)tr(B)

6. Considerando as matrizes do exercıcio anterior, calcule:

(a) tr(B)

(b) tr(Bt)

(c) tr(BA)− tr(B)tr(A)

7. Encontre todos os valores de k, se existirem, que satisfazem a equacao

[k 1 1

] 1 1 01 0 20 2 −3

k11

= 0

8. Encontre todos os valores de k, se existirem, que satisfazem a equacao

[2 2 k

] 1 2 02 0 30 3 1

22k

= 0

9. Determine se a equacao e linear (k e uma constante nao nula).

(a) x1 + 5x2 −√

2x3 = 1

(b) x−21 + x2 + 8x3 = 5

13

(c) x1 − x2 + x3 = sin(k)

10. Determine se a equacao e linear (k e uma constante nao nula).

(a) x1 + 3x2 + x1x3 = 2

(b) kx1 −1

kx2 = 9

(c) xk1 + 7x2 − x3 = 0

11. Determine se o vetor e solucao do sistema linear2x1 − 4x2 − x3 = 1x1 − 3x2 + x3 = 1

3x1 − 5x2 − 3x3 = 1

.

(a) (3,−1, 1)

(b) (3, 1, 1)

12. Determine se o vetor e solucao do sistema linearx1 + 2x2 − 2x3 = 33x1 − x2 + x3 = 1−x1 + 5x2 − 5x3 = 5

.

(a) (5

7,8

7, 1)

(b) (5

7,8

7, 0)

(c) (5, 8, 1)

13. Para quais valores da constante k o sistema linear nao possui solucao?E uma unica solucao? E infinitas solucoes?{

x − y = 32x − 2y = k

}14. Para quais valores da constante k o sistema linear nao possui solucao?

E uma unica solucao? E infinitas solucoes?{x1 + 4x2 = 13x1 + 12x2 = k

}

14

15. Ache

(a) a matriz aumentada do sistema linear

3x1 − 2x2 = −14x1 + 5x2 = 37x1 + 3x2 = 2

(b) o sistema linear correspondente a matriz aumentada

2 0 03 −4 00 1 1

16. Ache

(a) a matriz aumentada do sistema linear

2x1 + 2x3 = 13x1 − x2 + 4x3 = 76x1 + x2 − x3 = 0

(b) o sistema linear correspondente a matriz aumentada

3 0 −2 57 1 4 −30 −2 1 7

17. Reduza a matriz

1 −1 03 2 −1−1 1 2

a forma escalonada reduzida.

18. Reduza a matriz

2 3 1−1 0 −25 1 3

a forma escalonada reduzida.

19. Resolva o sistema linear

x1 + x2 + 2x3 = 8−x1 − 2x2 + 3x3 = 13x1 − 7x2 + 4x3 = 10

pelo metodo

de Gauss-Jordan.

20. Resolva o sistema linear

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0−2x1 + 5x2 + 2x3 = 18x1 + x2 + 4x3 = −1

pelo metodo

de Gauss-Jordan.

21. Resolva o sistema linear homogeneo

2x1 + x2 + 3x3 = 0x1 + 2x2 = 0

x2 + 2x3 = 0

pelo metodo de Gauss-Jordan. Responda:

15

(a) Quantas incognitas tem o sistema?

(b) Quantas linhas nao nulas tem a matriz escalonada reduzida cor-respondente?

(c) Qual o numero de variaveis livres desse sistema?

22. Resolva o sistema linear homogeneo

{3x1 + x2 + x3 + x4 = 05x1 − x2 + x3 − x4 = 0

}pelo metodo de Gauss-Jordan. Responda:

(a) Quantas incognitas tem o sistema?

(b) Quantas linhas nao nulas tem a matriz escalonada reduzida cor-respondente?

(c) Qual o numero de variaveis livres desse sistema?

23. De acordo com o valor de a, classifique o sistema linearx + 2y + z = 22x − 2y + 3z = 1x + 2y + (a2 − 3)z = a

quanto ao numero de solucoes possıveis.

24. De acordo com o valor de a, classifique o sistema linear{x + 2y = 12x + (a2 − 5)y = a− 1

}quanto ao numero de solucoes possıveis.

25. Fazendo as substituicoes

x = sinα, y = cos β, z = tan γ,

resolva o sistema nao linear2 sinα − cos β + 3 tan γ = 34 sinα + 2 cos β − 2 tan γ = 26 sinα − 3 cos β + tan γ = 9

.

16

26. Fazendo as substituicoes

X = x2, Y = y2, Z = z2,

resolva o sistema nao linearx2 + y2 + z2 = 6x2 − y2 + 2z2 = 22x2 + y2 − z2 = 3

.

27. Encontre A2 e A−1, se existir, sendo A a matriz diagonal abaixo.

(a)

4 0 00 0 00 0 5

(b)

−1 0 00 2 00 0 1

3

28. Encontre A2 e A−1, se existir, sendo A a matriz diagonal abaixo.

(a)

1 0 00 −2 00 0 3

(b)

4 0 00 −7 00 0 0

29. Ache todos os valores de x para os quais a matriz triangular superior x− 1 x2 x4

0 x+ 2 x3

0 0 x− 4

e invertıvel.

30. Ache todos os valores de x para os quais a matriz triangular inferior x− 12

0 0x x− 1

30

x2 x3 x+ 14

e invertıvel.

17

31. Ache todos os valores de a, b e c para os quais a matriz 2 a− 2b+ 2c 2a+ b+ c3 5 a+ c0 −2 7

e simetrica.

32. Ache todos os valores de a, b, c e d para os quais a matriz 0 2a− 3b+ c 3a− 5b+ 5c−2 0 5a− 8b+ 6c−3 −5 d

e antissimetrica.

33. Mostre que a matriz A =

[0 10 0

]e nilpotente e determine seu ındice

de nilpotencia.

34. Mostre que a matriz A =

[0 01 0

]e nilpotente e determine seu ındice

de nilpotencia.

35. Ache a inversa da matriz diagonal em blocos2 1 0 03 2 0 00 0 3 40 0 1 −1

.36. Ache a inversa da matriz diagonal em blocos

5 1 0 04 1 0 00 0 2 −30 0 −3 5

.37. Calcule o determinante da matriz 1 −2 3

6 7 −1−3 1 4

efetuando uma expansao em cofatores ao longo da

18

(a) primeira linha

(b) segunda coluna

38. Calcule o determinante da matriz 1 1 23 3 60 1 4

efetuando uma expansao em cofatores ao longo da

(a) segunda linha

(b) primeira coluna

39. Calcule o determinante da matriz −3 0 72 5 1−1 0 5

efetuando uma expansao em cofatores ao longo da linha ou coluna desua escolha.

40. Calcule o determinante da matriz 3 3 11 0 −41 −3 5

efetuando uma expansao em cofatores ao longo da linha ou coluna desua escolha.

41. Ache a adjunta da matriz

2 5 5−1 −1 02 4 3

.

42. Ache a adjunta da matriz

2 0 30 3 2−2 0 −4

.

43. Determine A−1 atraves da adjunta de A =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

.

19

44. Determine A−1 atraves da adjunta de A =

tanα −1 01 tanα 00 0 cos2 α

.

45. Resolva o sistema

{7x1 − 3x2 = 33x1 + x2 = 5

}pela regra de Cramer.

46. Resolva o sistema

x1 − 3x2 + x3 = 42x1 − x2 = −24x1 − 3x3 = 0

pela regra de

Cramer.

47. Ache o determinante pedido, dado que A e uma matriz 3 × 3 para aqual det(A) = 7.

(a) det(3A)

(b) det(A−1)

(c) det(2A−1)

(d) det((2A)−1)

48. Ache o determinante pedido, dado que A e uma matriz 4 × 4 para aqual det(A) = −2.

(a) det(−A)

(b) det(A−1)

(c) det(2At)

(d) det(A3)

49. Explique porque det

b+ c c+ a b+ aa b c1 1 1

= 0, sem calcular direta-

mente o determinante.Dica: some a primeira e a segunda linhas.

50. Explique porque x = 0 e x = 2 satisfazem a equacao∣∣∣∣∣∣x2 x 22 1 10 0 −5

∣∣∣∣∣∣ = 0,

sem calcular diretamente o determinante.

20

51. Ache os valores de k para os quais a matriz A =

[k − 3 −2−2 k − 2

]e

invertıvel.

52. Ache os valores de k para os quais a matriz A =

[k 22 k

]e invertıvel.

Respostas

1. a =5

3e b = −2

3

2. a = −7

3e b ∈ R

3. (a) At =

1 34 12 5

(b) Bt =

[1 −3 15 2 0

](c) (AB)t = BtAt =

[−9 513 17

]

4. (a) At =

1 32 03 −14 2

(b) Bt =

[0 −1 −1 45 1 0 −2

](c) (AB)t = BtAt =

[11 9−1 11

]5. (a) tr(A) = 17

(b) tr(At) = 17

(c) tr(AB)− tr(A)tr(B) = −59

6. (a) tr(B) = 12

(b) tr(Bt) = 12

21

(c) tr(BA)− tr(B)tr(A) = −59

7. k = −1

8. k = −2 ou k = −10

9. (a) Sim

(b) Nao

(c) Sim

10. (a) Nao

(b) Sim

(c) Nao, exceto para k = 1.

11. (a) Nao

(b) Sim

12. (a) Nao

(b) Sim

(c) Nao

13. Para k 6= 6 nao possui solucao. Para k = 6 possui infinitas solucoes.

14. Para k 6= 3 nao possui solucao. Para k = 3 possui infinitas solucoes.

15. (a)

3 −2 −14 5 37 3 2

(b)

2x1 = 03x1 − 4x2 = 0

x2 = 1

16. (a)

2 0 2 13 −1 4 76 1 −1 0

(b)

3x1 − 2x3 = 57x1 + x2 + 4x3 = −3

− 2x2 + x3 = 7

22

17.

1 0 00 1 00 0 1

18.

1 0 00 1 00 0 1

19. x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2

20. x1 = −1

7− 3

7t, x2 =

1

7− 4

7t, x3 = t

21. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0

(a) 3

(b) 3

(c) 0

22. x1 = −s, x2 = −s− t, x3 = 4s, x4 = t

(a) 4

(b) 2

(c) 2

23. a = −2: nenhuma solucao; a = 2: infinitas solucoes; a 6= ±2: umaunica solucao.

24. a = −3: nenhuma solucao; a = 3: infinitas solucoes; a 6= ±3: umaunica solucao.

25. α =π

2, β = π, γ = 0

26. x = ±1, y = ±√

3, z = ±√

2

27. (a) A2 =

16 0 00 0 00 0 25

; A−1 nao existe

(b) A2 =

1 0 00 4 00 0 1

9

; A−1 =

−1 0 00 1

20

0 0 3

23

28. (a) A2 =

1 0 00 4 00 0 9

; A−1 =

1 0 00 −1

20

0 0 13

(b) A2 =

16 0 00 49 00 0 0

; A−1 nao existe

29. x 6= 1,−2, 4

30. x 6= 1

2,1

3,−1

4

31. a = 11, b = −9, c = −13

32. a = 1 + 10t, b = 7t, c = t, d = 0, com t ∈ R

33. A2 =

[0 00 0

]

34. A2 =

[0 00 0

]

35.

2 −1 0 0−3 2 0 00 0 1

747

0 0 17−3

7

36.

1 −1 0 0−4 5 0 00 0 5 30 0 3 2

37. (a) 152

(b) 152

38. (a) 0

(b) 0

39. −40

40. −66

24

41. adj(A) =

−3 5 53 −4 −5−2 2 3

42. adj(A) =

−12 0 −9−4 −2 −46 0 6

43. A−1 =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

44. A−1 =

tanα cos2 α cos2 α 0− cos2 α tanα cos2 α 0

0 0 sec2 α

para α 6= π

2+ nπ, n ∈ Z

45. x1 =9

8, x2 =

13

8

46. x1 = −30

11, x2 = −38

11, x3 = −40

11

47. (a) det(3A) = 189

(b) det(A−1) =1

7

(c) det(2A−1) =8

7

(d) det((2A)−1) =1

56

48. (a) det(−A) = −2

(b) det(A−1) = −1

2

(c) det(2At) = −32

(d) det(A3) = −8

49. Substituindo a primeira linha da matriz pela soma da primeira e se-gunda linhas, obtemos uma matriz com mesmo determinante e linhasproporcionais.

25

50. Tanto para x = 0 quanto para x = 2, obtemos matrizes com linhasproporcionais.

51. k 6= 5±√

17

2

52. k 6= ±2

26