SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

LABORATÓRIO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA - O SISTEMA DE NUMERAÇÃO

DECIMAL E OS ALGORITMOS DAS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

ÁREA: Matemática

PROFESSOR PDE: Rosângela Cristina Ottesbach

PROFESSORA ORIENTADORA: Regina Maria Pavanello

2007/2008

INTRODUÇÃO

Neste texto apresentamos, em primeiro lugar, a fundamentação sobre o

Laboratório de Ensino de Matemática e nossa apreciação sobre o trabalho com materiais

manipuláveis. Em seguida, são propostas atividades que podem ser feitas no campo dos

Números e Operações, que podem servir como material de apoio para os professores do

Ensino Fundamental. Não queremos com isso ensinar o professor, mas sim mostrar alguns

caminhos, procedimentos e formas de trabalho que possam contribuir para o melhor

aproveitamento dos alunos nas aulas de matemática, permitindo-lhes que desenvolvam o

raciocínio lógico-matemático e elaborem conceitos e conteúdos que, para serem

compreendidos, necessitam da visualização. As atividades sugeridas, que podem ser

realizadas tanto no Laboratório de Ensino como, na falta deste, em sala de aula, têm por

finalidade o ensino do conhecimento matemático para os alunos de forma mais

significativa, atraente e prazerosa, que lhes permita compreender melhor o próprio

ambiente, para comunicar idéias e também para melhor entender assuntos de outras áreas.

O LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA (LEM)

Se ouço, esqueço; se vejo lembro; se faço, compreendo.(Provérbio Chinês)

Um dos maiores desafios dos educadores está em encontrar métodos e processos

para tornar suas aulas mais interessantes e agradáveis e assim permitir aos alunos o acesso

aos conhecimentos, dando-lhes condições para explorarem a realidade, de modo que

possam participar e interferir de maneira positiva na sociedade em que vivem. O uso de

material didático (MD), por proporcionar aos alunos participar de atividades manipulativas

e visuais que sirvam de suporte para sua atividade cognitiva, pode ser de grande

importância no processo de ensino e promover a compreensão de conceitos e propriedades

matemáticas.

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática do Paraná (DCEs), um

dos objetivos da disciplina de matemática é transpor o objeto matemático construído

historicamente para a prática docente de maneira a possibilitar ao estudante conhecer e

utilizar apropriadamente esse objeto. As diretrizes enfatizam ainda a necessidade de se

tornar o ensino de matemática mais dinâmico, contextualizado, interdisciplinar, centrado

na ética, voltado para a formação de cidadãos organizados, críticos, autônomos em suas

relações sociais e responsáveis. Consideram também ser necessário, cada vez mais,

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educadores criativos, com visão histórica e crítica, comprometidos com a educação e que

apresentem uma atitude investigativa sobre sua área de atuação, fundamentada em teorias

pedagógicas e científicas; professores com domínio de sua prática, com autonomia e

capacidade para construir conhecimento pedagógico e para a tomada de decisões, capazes

de analisar e abordar os diferentes conteúdos de modo a solucionar os problemas que

surgirem em sala de aula e de proporcionar aos seus alunos um ensino da matemática com

significado.

Neste contexto, o Laboratório de Ensino da Matemática pode ser um instrumento

eficaz para propiciar ao aluno formas de conhecer, criar, manipular, levantar hipóteses,

discutir afirmações, desenvolver e construir instrumentos matemáticos que possam ser

utilizados como facilitadores de sua aprendizagem e, ao mesmo tempo, proporcionar ao

educador um local para pesquisa, reflexão e trabalho, auxiliando-o neste grande desafio

sobre as melhores formas de ensinar e aprender Matemática.

Miguel e Miorim (2004) consideram que a finalidade da Educação Matemática é

fazer o estudante compreender e se apropriar da própria matemática, compreendida como

um conjunto de resultados, métodos, procedimentos, algoritmos etc. Outra finalidade, de

acordo com os autores é levar o estudante, por meio do conhecimento matemático, a

construir valores e atitudes de diferentes naturezas tendo como meta a formação integral

do ser humano e do cidadão. Assim sendo, para que o processo ensino-aprendizagem seja

bem sucedido, deve possibilitar ao aluno vivenciar experiências, que lhe permitam

participar, de forma dinâmica, na elaboração de conteúdos escolares.

Muitos foram os educadores que por muito tempo ressaltaram a importância da

visualização e manipulação de materiais para facilitar a aprendizagem, dentre os quais

Claparède, Freinet, Tamas Varga, os brasileiros Júlio César de Mello e Souza (Malba

Tahan) e Manuel Jairo Bezerra, além autores como Piaget, Vygotsky e Bruner, os quais,

cada um a seu modo, reconheceu que a ação do indivíduo sobre o objeto é básica para a

sua aprendizagem.

Segundo Lorenzato (2006), o Laboratório de Ensino da Matemática (LEM) na

escola é uma sala-ambiente reservada para que as aulas de matemática aí aconteçam de

maneira a estruturar, organizar, planejar e construir o fazer matemático, facilitando tanto

para o professor como para o aluno o questionamento, a procura, a experimentação, a

análise, a compreensão de conceitos e a conclusão de uma determinada aprendizagem,

inclusive com a produção de materiais instrucionais que possam facilitar o aprimoramento

da prática pedagógica. Deve ser um local de referência dos trabalhos matemáticos, onde os

professores possam se empenhar em tornar a matemática mais compreensível para seus

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alunos. Neste local, o professor poderá também planejar aulas e realizar outras atividades

como exposições, olimpíadas, jogos, avaliações, entre outras.

Desta maneira, seria importante que os estabelecimentos de ensino tivessem um

espaço no qual os educadores pudessem realizar pesquisas, construir materiais didáticos

diversos em um processo de elaboração de conceitos, de aplicação dos mesmos em

situações-problema, de modo a sanar, em primeiro lugar, as dificuldades dos próprios

professores no que diz respeito à sua formação. Porque só assim eles terão condições para,

depois, utilizar tais materiais com os alunos, suscitando neles o interesse e a participação

desejada e auxiliando-os na elaboração e compreensão dos conhecimentos. Ou seja, seria

fundamental, do ponto de vista da aprendizagem dos alunos e dos próprios professores, a

implementação do Laboratório de Ensino de Matemática nas escolas.

A construção de um LEM pode partir de um professor de Matemática que

reconhece a necessidade de a escola possuir este espaço, mas isso só não basta. Esse

professor deve contar com o apoio e a colaboração de toda comunidade escolar

(professores de diversas áreas, equipe pedagógica, alunos, equipe administrativa) e até

mesmo da comunidade local, pois não é possível construir um laboratório de matemática

sozinho. Os alunos também podem e devem participar dessa construção, contribuindo com

pesquisas, materiais de sucatas construídos por eles, na organização do ambiente, etc. para

que valorizem ainda mais a presença desse espaço de aprendizagem na escola.

A forma de organização do ambiente e dos materiais deve ser discutida em grupo,

que deve decidir qual é a melhor forma de desenvolver o trabalho proposto naquela

instituição. É importante também selecionar os materiais de acordo com a clientela

(educação infantil, ensino fundamental ou médio), propiciando sempre um ambiente

acolhedor e agradável.

A construção de um LEM não é objetivo para ser atingido a curto prazo; uma vez

construído, ele demanda constante complementação, a qual, por sua vez, exige que o

professor se mantenha atualizado. (LORENZATO, 2006, p. 11).

De acordo com Lorenzato, um laboratório de ensino de matemática, de modo geral,

pode ter:

• revistas, jornais e artigos;

• livros didáticos, paradidáticos e outros;

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• jogos;

• quebra-cabeças;

• problemas desafiadores e de lógica;

• questões de olimpíadas, ENEM,

e vestibulares;

• textos sobre história da matemática;

• cds, transparências, fotos;

• figuras;

• sólidos;

• modelos estáticos ou dinâmicos;

• materiais didáticos industrializados;

• instrumentos de medidas;

• computadores, calculadoras;

• materiais didáticos construídos pelos alunos e professores

• materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos e

outros.

No entanto, apesar das recomendações de Lorenzato, ele também deixa claro que

não existe uma única concepção acerca do LEM porque a sua construção e

encaminhamento devem estar relacionados às reais necessidades e condições locais de

cada instituição, a formação matemática de alunos e professores, o espaço físico

disponível, materiais e outros.

Embora vários autores enfatizem o papel do LEM e dos materiais didáticos

manipulativos no processo de aprendizagem da matemática, torna-se necessário tecer

algumas considerações quanto à forma como eles devem ser utilizados para que alcance os

objetivos propostos.

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A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS NA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

Os materiais manipuláveis são recursos didáticos que podem interferir fortemente

no processo ensino-aprendizagem da matemática. Por certo seu uso depende do conteúdo a

ser estudado, dos objetivos a serem atingidos, do tipo de aprendizagem que se espera

alcançar e da filosofia e política escolar. Enfim, o material didático não está solto no

contexto escolar: na opção e na forma como será utilizado está implícita a concepção que

cada educador tem de ensino e de educação.

Muitas vezes, o professor desconhece a importância de se utilizar certo material

manipulável ou ainda não percebeu que conceitos e propriedades tanto ele como os alunos

poderiam explorar. Daí ser fundamental que os professores tenham oportunidades de

refletir sobre a sua utilização, analisando o que pode ser com ele trabalhado, sua

efetividade pedagógica e como ele poderá despertar o interesse e a curiosidade do aluno.

Antes de utilizar um material manipulativo é importante conhecer bem o material e ter

claro o(s) objetivo(s) de seu uso: com este material as aulas serão mais atraentes? Com ele,

o aluno terá mais facilidade de compreender o conteúdo? Ele oferece possibilidades ao

aluno de relacionar, levantar conjecturas, pensar matematicamente, discutir e concluir?

Esta reflexão vai permitir que os professores se apercebam ser necessário

considerar que, para a aprendizagem de certo conteúdo, pode não bastar apenas o uso de

um material, uma vez que este permite apenas uma visão parcial do objeto matemático em

questão. Por outro lado, um mesmo material pode servir para a aprendizagem de diferentes

conteúdos desde que ele sirva de suporte para o aluno pensar sobre diferentes questões.

Ao utilizar materiais manipuláveis, o professor deve tomar alguns cuidados,

levando em conta que o mau uso deste instrumento poderá ser contrário ao objetivo que

pretende com ele alcançar e, portanto, não contribuir em nada com o aprendizado de seu

aluno. VALENTE (1991) enfatiza a importância do material didático, porém demonstra

uma preocupação quanto a sua utilização:

A solução para evitar o ensino das

técnicas matemáticas tem sido o uso de material

pedagógico. O aluno manuseia um material que

propicia o desenvolvimento de conceitos

matemáticos, mas apesar disso nem sempre

ocorre uma formalização do conceito, onde ele

tem a chance de sintetizar suas idéias, colocá-

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las no papel, compará-las com outras soluções

para verificar sua validade (p.31).

Valente está querendo dizer com isso é que o educando não aprende matemática

apenas “manipulando” os objetos, pois o conhecimento não está no material em si, mas é

elaborado a partir das relações que o material o ajuda a estabelecer. Assim, cabe ao

professor formular questões adequadas, que permitam o aluno observar aspectos

importantes para a construção do conceito em questão. Por melhor que seja, material

manipulativo deve ser considerado apenas como uma “ferramenta” que auxilia aluno e

professor no processo ensino-aprendizagem. O seu potencial depende mais do professor,

das questões que ele formula e que levam o aluno a pensar, a analisar, do que do próprio

material.

O material e as atividades a serem realizadas com ele devem ser bem selecionados

para servir ao objetivo a ser alcançado e devem ser adequados para que os alunos façam a

correta representação interna dos conceitos envolvidos a partir de sua manipulação. Por

isso, a exploração de todas as possibilidades do material escolhido deve ser feita antes da

aplicação da atividade, para que não aconteçam imprevistos na sua aplicação. Além disso,

se as atividades não estiverem bem preparadas corre o risco do material utilizado se

transformar apenas em brinquedo para o aluno.

Sendo os conhecimentos matemáticos de natureza abstrata, se o uso do material for

inadequado ou as atividades não forem bem dirigidas os resultados poderão ser muito

diferentes dos esperados. Como a passagem das ações concretas para a elaboração dos

conceitos não pode deixar de ser feita e com cautela, é importante que o professor faça a

correlação entre os dois domínios envolvidos, o do material concreto utilizado e o das

representações simbólico-abstratas para ter certeza de que o aluno compreendeu bem as

relações entre os dois aspectos de ambos os domínios. Muitas vezes, quando se trabalha

com materiais manipulativos, não se vê a matemática, só uma ação motora. Por isso é

preciso observar atentamente e interferir para que o aluno faça as abstrações necessárias e

esperadas.

Quando se utilizam materiais manipuláveis no aprendizado da matemática, convém

enfatizar com os alunos que a partir da constatação da validade de uma afirmação em

diversas experiências, tal fato não é suficiente para comprovar essa afirmação é sempre

válida. As constatações que se repetem devem ser vistas como “dicas” importantes da

possibilidade de essa afirmação estar correta, motivo pelo qual os matemáticos utilizam a

demonstração para comprovar a sua validade.

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Somente assim é possível evitar que a utilização de materiais manipulativos no

ensino da matemática não induza os alunos a construírem conceitos errôneos, criando

assim obstáculos cognitivos. E, nesse sentido, o professor tem papel fundamental.

REFERÊNCIAS

GERDES, P. Sobre o despertar do pensamento Geométrico. Curitiba: UFPR, 1992.

KALLEF, A. M. M. R.; HENRIQUE, A. S.; REI, D. M.; FIGUEIREDO, L.G.,

Desenvolvimento do Pensamento Geométrico – o modelo de Van Hiele. Bolema, Rio

Claro, n. 10, 1994. p. 21-30.

LORENZATO, Sérgio (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na formação de

professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. Coleção Formação de Professores.

LORENZATO, S. O uso de materiais concretos. Anais do II Encontro Paulista de

Educação Matemática. Campinas, 1993.

MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: propostas e desafios.

Belo Horizonte: Autêntica, 2004.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Programa de Desenvolvimento

Educacional - Documento Síntese. Curitiba: SEED, 2006.

PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública

da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2006.

VALENTE, J.A. (Org.) Liberando a mente: computadores na educação especial.

Campinas, SP: Gráfica da UNICAMP, 1991.

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O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E OS ALGORITMOS DAS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

Rosângela Cristina Ottesbach1

Regina Maria Pavanello2

Como interferir positivamente na aprendizagem do aluno com dificuldades em efetuar os algoritmos das operações fundamentais?

Ao elaborar este material estamos pensando principalmente em colaborar com o

trabalho do professor de quinta série, que muitas vezes encontra em suas turmas alunos

que não conseguem efetuar as operações fundamentais. Estamos levando em conta a

dificuldade que o professor tem em detectar onde ocorreu a falha ou lacuna de

aprendizagem, e mais, determinar de que maneira poderá interferir no processo para que

o aluno possa realmente aprender.

Precisamos lembrar que as noções básicas das operações fundamentais se

encontram na vida do aluno. Quando vamos trabalhar com as operações não podemos

desconsiderar o conhecimento prévio que o aluno tem, este conhecimento não

sistematizado servirá de base para que ele possa organizar suas idéias e, a partir da

intervenção do professor, construir o pensamento matemático mais elaborado.

Muitas das dificuldades encontradas pelos alunos na interpretação de situações-

problema estão nos diversos significados e sentidos das operações. Por isso, é importante

apresentar diferentes situações que devem ser resolvidas mediante a utilização de uma

dada operação e não apenas priorizar a aprendizagem dos algoritmos tradicionais.

No entanto, há muitas crianças que mesmo identificando a operação a ser

utilizada, erram ao efetuar o algoritmo. Neste caso, os erros possivelmente decorrem de

uma compreensão falha ou incompleta do Sistema de Numeração Decimal (SND). É deste

caso que vamos tratar neste material.

Compreendemos que para auxiliar o aluno, o professor deverá avaliar o que

poderá estar causando os seus erros, se ocorreu realmente o aprendizado do SND. Por

outro lado, mesmo no caso de o aluno chegar à resposta correta de um algoritmo, isso não

garante que ele compreenda o que está fazendo ou, ao contrário, tenha apenas

memorizado regras, que por acaso dão certo em alguns momentos.

1 Professora PDE da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná.E -mail:rcottesbach@seed.pr.gov.br2 Professora orientadora – UEM. E-mail:reginapavanello@hotmail.com

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Para ter maior certeza sobre a real compreensão do aluno, é importante que o

professor recorra a diferentes atividades, principalmente aquelas que envolvam

estimativas, aproximações e cálculo mental.

SISTEMA DE NUMERAÇÃO

Conhecer o Sistema de Numeração Decimal é fundamental para que o aluno possa

compreender os algoritmos das operações básicas. Neste sentido, consideramos também

importante que o aluno tenha contato com outros sistemas de numeração utilizados ao

longo dos tempos, em diversas partes do mundo, percebendo suas semelhanças e

diferenças, para compreender como se deu o processo de organização e generalização

para chegarmos a esse sistema de numeração que é hoje o mais usado no mundo.

Trabalhando com alguns sistemas como o egípcio, o romano, o babilônio, o chinês

e o indo-arábico, além de analisar parte do desenvolvimento histórico de conhecimento

matemático, o aluno poderá compreender melhor as regras do S.N.D.

Poderíamos aqui propor algumas discussões sobre todos os tipos de sistemas de

numeração, no entanto vamos nos restringir apenas ao Sistema de Numeração Decimal,

que será, juntamente com as operações básicas, o nosso objeto de estudo.

O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Uma das noções básicas da matemática é a idéia de número, que surgiu das

necessidades enfrentadas pela humanidade para viver e sobreviver no mundo.

O sistema de numeração que usamos atualmente tem duas características não

apenas importantes, mas fundamentais: o nosso sistema é decimal e posicional. É decimal

porque utiliza apenas dez símbolos para representar os números e também porque cada

dez elementos de uma ordem equivalem a um elemento da ordem imediatamente superior.

É posicional porque o valor representado por um algarismo depende da posição que ocupa

no número. Acredito que muitas das dificuldades encontradas pelos alunos no

aprendizado dos algoritmos das operações básicas estão justamente no fato de não

compreenderem estas características.

Supõe-se que a base dez decorra do fato de possuirmos dez dedos nas mãos. O

que é certo, no entanto, é que nosso sistema de numeração é o resultado de um longo

processo, começado com os hindus, aperfeiçoado pelos árabes e consolidado na Europa

na passagem da Idade Média para o Renascimento. A base decimal do sistema e sua

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característica posicional é que permitem representarmos números imensamente grandes

utilizando apenas 10 símbolos, os chamados algarismos indo-arábicos.

O tempo que levou o processo de construção do sistema dá a dimensão da

dificuldade que está implícita nesta construção e permite compreender por que as

crianças, mesmo estando em constante contato com os números desde muito cedo, não

consigam espontaneamente entender suas características.

Propomos, a seguir, algumas atividades que podem ser realizadas com as crianças

de 5ª série que apresentem dificuldades com o SND. Por certo, estas são sugestões,

cabendo ao professor fazer as adaptações necessárias para o grupo de alunos com o qual

está trabalhando (toda a sala de aula, um grupo de alunos, ou sala de apoio).

Observação: Estas atividades podem ser realizadas individualmente, ou em grupo de

alunos. É necessário garantir que cada aluno ou grupo de alunos tenha, em qualquer das

situações, o material completo a sua disposição. Não é recomendável que apenas o

professor esteja de posse do material e faça ele mesmo a atividade, de forma

demonstrativa, em frente aos alunos.

PROPOSTAS DE ATIVIDADES:

Atividade 1: As caixinhas de numeração e o “NUNCA DEZ”

Conteúdo: Sistema de Numeração Decimal

Objetivo: facilitar a compreensão do conceito de base dez e do princípio

posicional do nosso sistema de numeração. Para isso, a atividade se refere ao

agrupamento dos palitos seguindo determinadas regras.

Material necessário: 3 tampas de caixa de sapatos (de preferência todas com

mesmo tamanho), colocadas uma ao lado da outra e identificadas, da direita para a

esquerda pelas letras U, D e C, indicativas de unidade, dezena e centena;

- 124 palitos de sorvete;

- elásticos para amarrar os palitos.

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Desenvolvimento:

O professor deverá orientar os alunos quanto às seguintes regras:

- os palitos serão colocados um a um na tampa com identificação U;

- o número máximo de palitos que podem ficar soltos nesta tampa é 9;

- quando se acumularem 10 palitos, eles devem ser amarrados juntos, por meio de

um elástico, e colocados na tampa com identificação D;

- essa regra deve ser seguida até que fiquem apenas 4 palitos soltos na tampa U;

- na tampa com identificação D não podem ficar mais que 9 grupos de palitos já

amarrados;

- quando se formar um grupo de 10 grupos, estes serão amarrados de modo a

formar um novo grupo de 10, que será colocado na tampa com identificação C.

Orientações pedagógicas:

- As regras devem ser passadas antes do início da atividade;

- O professor deverá, a cada passo, ir comentando com os alunos as características

da atividade, que são na verdade as próprias regras do Sistema de Numeração Decimal.

- É importante que o professor, neste momento, reforce o conceito de unidade,

dezena e centena e que mostre para os alunos que essa regra continua após as centenas,

formando assim as classes.

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- A mesma atividade deve ser proposta aos alunos utilizando outros números, até

que consigam realizar com desenvoltura as atividades e se tenha certeza que eles

compreenderam as regras e sua relação com o SND.

- Outras bases poderão ser trabalhadas antes da base 10, isso vai de acordo com as

dificuldades apresentadas pelos alunos.

- Em atividades desta natureza não é conveniente relacionar a cor do palito com a

posição que ele ocupa, para não transformar a cor em um parâmetro de classificação.

Atividade 2: Cartões sobrepostos

Conteúdo: Sistema de Numeração Decimal

Objetivo: assegurar a compreensão da característica posicional do SND, bem

como compreender a composição e a decomposição de um número em suas ordens.

Material necessário:

- 10 cartões de 5 centímetros cada um, com números de 0 até 9;

- 9 cartões de 10 centímetros cada um, com números de 10 a 90 (de 10 em 10);

- 9 cartões de 15 centímetros cada um; com números de 100 a 900 (de 100 em

100);

Desenvolvimento:

- Solicite aos alunos que coloquem sobre a carteira os cartões pequenos, médios e

grandes;

- Peça que eles componham um número qualquer, por exemplo, 672, e discuta

com eles que cartões eles precisaram utilizar;

Sobrepondo os cartões, obtém-se:

- Em num outro momento, solicite que eles peguem 2 cartões (por exemplo, o 200

e o 2), que os sobreponham e digam qual o número obtido.

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- A partir daí poderá então formar outros números pela sobreposição dos valores.

Orientações pedagógicas:

- Na primeira situação, o aluno deverá colocar sobre a carteira o primeiro o cartão,

o que tem o número 600, depois, sobre ele, colocar o cartão com o número 70 e,

finalmente, colocar sobre este o cartão que tem o número 2 (que ficará sobre o zero do

70), formando assim o número solicitado.

- A segunda situação dará margem para que se discuta melhor o que ocorreria se o

cartão do 2 fosse colocado no zero intermediário e não no da direita, comparando-se os

resultados. É nessa situação que a característica posicional do SND poderá ser mais

realçada.

- Com este material, o professor está trabalhando novamente o valor posicional do

SND, discutindo melhor esta característica. Poderá também trabalhar a comparação de

números a partir de sua decomposição.

- Outras atividades semelhantes devem ser propostas.

Atividade 3: “Reagrupando e trocando por dezenas ”

Conteúdo: Algoritmo da Adição

Objetivo: Aplicar o algoritmo da adição quando a soma dos algarismos das

unidades ultrapassa nove, compreendendo o seu funcionamento.

Material Necessário:

- Material dourado em madeira ou palitos de sorvete (como os da atividade 1).

Pode ser usada, também uma versão plana do material dourado que pode ser feira com

papel quadriculado de 1 cm, de modo que as unidades sejam os quadradinhos, as dezenas

sejam uma tira de 10 quadradinhos e a centenas, um quadrado de 10 por 10, como

apresentado nas figuras a seguir.

Desenvolvimento:

- Inicie a atividade solicitando aos alunos que representem, com material

manipulável (material dourado ou palitos), os números a serem adicionados, por exemplo,

16 e 38;

- Solicite também que os alunos façam a representação por escrito (ou com

desenho) em seu caderno;

- Em seguida, peça que juntem os valores, unidades com unidades e dezenas com

dezenas, mas utilizando as mesmas regras do “nunca dez”: quando houver 10 unidades

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elas devem ser trocadas por uma dezena (no caso do material dourado) ou “amarradas”

(no caso dos palitos) e passam a ser uma dezena, que será adicionada às dezena já

existentes. Os alunos deverão representar no caderno as ações realizadas, conforme

ilustrado a seguir.

Orientações pedagógicas:

- Neste caso é fundamental destacar que o número deverá ser formado respeitando

a ordem, unidade sempre do lado direito, dezena do lado esquerdo e as outras ordens

sempre à esquerda desta última.

- É importante que, em seguida, sejam propostas outras adições para serem

efetuadas de forma semelhante, inclusive utilizando a troca por centenas.

– Faz-se necessário salientar que todo algarismo à esquerda do outro representa

unidades dez vezes maiores do que se estivesse colocado no lugar desse outro, como

já foi mostrado na atividade 2, por exemplo..

Atividade 4: “Decompondo a dezena para subtrair”

Conteúdo: Algoritmo da Subtração

Objetivo: Desenvolver a técnica operatória da subtração denominada “do recurso

à unidade de ordem superior”

Material necessário:

- material dourado Montessori (em madeira) ou palitos de sorvete (como na

atividade 1).

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Desenvolvimento:

- Peça que utilizem o material manipulável (material dourado ou palitos) para

representar certa quantidade, por exemplo, 395.

- Solicite que deste material seja subtraído o valor 176.

- Uma vez percebido que existe uma dificuldade, que é “de 5 unidades não se

pode tirar 6 unidades”, peça que substituam uma das dezenas por 10 unidades de forma

que agora se possa subtrair 6.

- Procure levar os alunos a perceberem que, dessa forma, ficou uma dezena a

menos do que as 7 existentes anteriormente.

- Feita a subtração das unidades passa-se para a subtração das dezenas e, por

último, das centenas.

- As peças que restaram fornecem o resultado da subtração.

1ª ação

Orientações pedagógicas:

Mais uma vez é importante enfatizar que a ordem da disposição do material é

unidade, dezena e centena da direita para a esquerda.

- A técnica presente nesta atividade é comumente chamada de “emprestar”.

Porém, essa linguagem não é correta, uma vez que não há empréstimo (um empréstimo

supõe devolução...). Na verdade, fazemos uma troca de dezena por unidades de modo que

a decomposição do minuendo fica modificada. No exemplo usado, para que fosse

possível efetuar a subtração, ordem a ordem, o número 395, que decomposto ficaria 300 +

90 + 5 passa a ser decomposto como 300 + 80 + 10 + 5 e, finalmente, fica 300 + 80 + 15.

- É conveniente que cada ação realizada para efetuar o algoritmo seja, ao mesmo

tempo, representada como mostrado nas figuras anteriores. Somente assim os alunos

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poderão compreender a relação entre as ações efetuadas com o material e as

representadas.

Atividade 5: “Multiplicando por ordem”

Conteúdo: Algoritmo da Multiplicação

Objetivo: Compreender e desenvolver a técnica operatória da multiplicação.

Material necessário: material dourado Montessori (em madeira)

Desenvolvimento:

- Peça aos alunos que descubram o resultado da multiplicação de 12 x 13, por

exemplo.

- Para descobrir 12 x 13, o aluno poderá fazer as operações a partir da situação

apresentada com o material dourado, em que cada peça está dividida em quadradinhos,

cada um deles representando uma unidade. Em virtude das divisões existentes nas peças

utilizadas, podemos observar que temos 12 linhas, cada uma delas com 13 elementos.

Mas podemos também analisar as peças separadamente, e então vemos que existe uma

peça de 10 por 10 (que corresponde a 10x10=100 unidades); acima dela existem 2 peças

de 1 por 10 (correspondendo assim a 2x10= 20 unidades); ao lado direito 3 peças de 1 por

10 ( equivalendo a 3x10=30 unidades) e finalmente, há 6 cubinhos, perfazendo 6

unidades. Para saber o resultado da multiplicação temos que determinar a quantidade total

de unidades que estão representadas com o material, ou seja 100+ 20+ 30+ 6= 156.

Poderíamos também representar essa situação numericamente da seguinte maneira:

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Orientações pedagógicas:

- Esta forma de realizar a multiplicação baseia-se em uma propriedade das

operações, que é a distributiva da multiplicação em relação à adição e que, neste caso,

poderia ser indicada da seguinte forma:

12x13= (10+2) x (10+3) = (10+2) x 10+ (10+2) x 3= 10x10 + 2x10+ 10x3+ 2x3.

- Por outro lado, estamos também utilizando o conceito de área quando indicamos

haver 12 linhas, cada uma delas com 13 elementos.

Atividade 6: “Dividindo com material dourado”

Conteúdo: Algoritmo da divisão

Objetivo: Compreender e desenvolver a técnica operatória da divisão.

Material necessário: material dourado Montessori (em madeira)

Desenvolvimento:

- Representar sobre uma mesa, usando o material dourado, por exemplo, o número

469, que corresponde a 4 placas, 6 barras e 9 cubinhos e dizer que esse material deve ser

dividido em 3 grupos e nosso problemas consiste em verificar quantas unidades cada

grupo receberá.

- Pedir que a criança faça a divisão desse material por 3, começando pelas

centenas.

- Na divisão por 3, é possível distribuir uma placa (centena) para cada grupo, mas

ainda sobrará uma. O professor deverá discutir então como seria possível repartir

igualmente a quantidade representada pela placa pelos 3 grupos. A discussão deve levar

os alunos a perceber que como cada placa corresponde a uma centena e, portanto, a 10

dezenas. Assim, será necessário trocar a placa por 10 barras que, juntamente com as 6 já

existentes, vai perfazer 16 barras ou 16 dezenas.

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- As 16 dezenas deverão ser então divididas igualmente pelos 3 grupos, de modo

que cada grupo vai receber 5 barras, restando uma . Da mesma forma, o professor vai

discutir o que fazer para continuar a distribuição. E a discussão deverá levar os alunos a

perceber que será necessário trocar as barras, cada uma delas equivalente a 1 dezena, por

cubinhos, perfazendo 10 unidades que, com as unidades já existentes dá um total de 19

unidades. Assim, será possível distribuir 6 unidade para cada grupo , sobrando uma

unidade, que não dá mais para dividir no conjunto dos números naturais.

- As 19 unidades serão também divididas por 3, restando assim 1 unidade.

-

- O resultado de cada grupo poderá ser representado por 1 placa, 5 barras e 6 cubinhos, ou

seja, por 156, e a divisão não foi exata porque sobrou 1 cubinho de resto.

Orientações pedagógicas:

- É importante os alunos perceberem que o resultado se refere à quantidade que

cada grupo obteve, por isso, é conveniente que a distribuição seja efetivamente feita em 3

grupos.

19

- É necessário também que a representação escrita do algoritmo seja feita

simultaneamente com o realizado com o material para que os alunos se conscientizem das

relações existentes entre as duas representações da situação.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Embora muitas das atividades aqui apresentadas não constituam novidades para

uma grande parcela de professores, nem sempre elas são encontradas em conjunto e

acompanhadas de explicações, principalmente em publicações destinadas aos professores

que lecionam Matemática na segunda etapa do ensino fundamental e que não tiveram

oportunidades, em sua formação de analisar as dificuldades inerentes à aprendizagem

desses conteúdos.

Talvez os professores que possam se beneficiar mais com esta seleção de

atividades sejam os que atuam nas Salas de Apoio, um projeto da SEED-PR que visa a

resgatar a aprendizagem matemática de alunos de 5ª série.

REFERÊNCIAS:

SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.

Experiências Matemáticas: 5ª série. Versão preliminar. São Paulo: SE/CENP, 1996. 411

p.

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