Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões...

Paulo Afonso

Crescer com a… Matemática

Francisco CostaJosé Filipe

Contextualização

Padrões geométricos

Padrões Numéricos

Triângulo Mágico

Encontro de Educadores e Professores do 1º Ciclo

Multiplicação Egípcia

Multiplicação Russa

Tomar, 12 de Setembro de 2006

Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Castelo Branco

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 997 + 998 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 997 + 998 + 999 + 1000999 + 1000

Um exercício de adição: adicionar todos os números de 1 a 1000

A resposta foi breve: 500500.

1 + 1000 = 10011 + 1000 = 10012 + 999 = 10012 + 999 = 10013 + 998 = 1001 3 + 998 = 1001 4 + 997 = 10014 + 997 = 10015 + 996 = 10015 + 996 = 1001

……500 + 501 = 500 + 501 =

10011001

Trata-se portanto

de

500 x 1001 = 500500500500

parcelas de 1001.

Então:

Carl Friedrich Gauss

Nascido(a): 30 de Abril de 1777 , Braunschweig

Falecido(a): 23 de Fevereiro de 1855 , Göttingen

Era conhecido como o príncipe dos matemáticos. Muitos consideram-no o maior génio da história da Matemática. Seu QI foi estimado em cerca de 240.

8, 9, 10, 11, 8, 9, 10, 11, 12, 1312, 13

Se a sequência for…

10+1110+11= =

21 21

9 + 12 9 + 12 = =

21 21

8 + 13 8 + 13 = =

21 21

Para saber a soma de todos os seus termos:Adiciona-se o 1º termo com o último:8 + 13 = 21 8 + 13 = 21

E multiplica-se por metade das parcelas:

3

6

21 x 21 x 66

2 2 = 21 x 3 = 21 x 3

= = 6363

6, 8, 10, 12, 6, 8, 10, 12, 14, 1614, 16

E se o padrão numérico for…

10 + 12 10 + 12 = =

22 22

8 + 14 8 + 14 = =

22 22

6 + 16 6 + 16 = =

2222

Será que se verifica o mesmo fenómeno?

22 x 3 = 22 x 3 = 66 66

3

6

A soma de todos os seus termos é

10, 13, 16 10, 13, 16

A soma dos seus termos será, da mesma forma: (10 + 16) x 1,5 = 39

Tratando-se de um padrão numérico idêntico mas com um número ímpar de termos …

O próprio conceito de média também poderá aqui ser explorado:

3

6

Neste verão, o Gustavo começou a dedicar-se ao ciclismo. Em sete dias percorreu 91km. O Gustavo em cada dia andou mais 1 quilómetro do que no dia anterior.Quantos quilómetros fez por dia?

Em média, por dia é percorrido 91:7 =13, isto é:

__ + __ + __ + __ + __ + __ + __ = 91__ + __ + __ + __ + __ + __ + __ = 91 1313

1313

1313

1313

1313

1313

1313

O valor central, mantém-se

1212

++11

1414

- - 11 ++11

1515

- - 11

1111

++11

1616

- - 11

1010

B C

D

EF

A5

4 3

2

10

++ + +

Pela noção de média: 3 x 5 = 15Pela noção de média: 3 x 5 = 15

Pela soma da progressão: (1 + 5) x 2,5 = Pela soma da progressão: (1 + 5) x 2,5 = 1515

Num encontro de 6 amigos, quantos apertos de mão poderemos contar, sabendo que todos se cumprimentam desta forma?

Para o mesmo problema, poder-se-ia recorrer a outro esquema:

A B C D E F

A

B

C

D

E

F 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1515

Nº de amigos

Nº de apertos de mão

6 15

A B C D E

A

B

C

D

E

1 + 2 + 3 + 4 = 101 + 2 + 3 + 4 = 10

Nº de amigos


6 15

E se em vez de 6, fossem 5 amigos. Quantos apertos de mão seriam dados?

5 10

A B C D

A

B

C

D 1 + 2 + 3 = 61 + 2 + 3 = 6

Nº de amigos


6 15

Caso fossem 4 amigos. Quantos apertos de mão seriam?

5 10

4 6

3 3

2 1

7 21

Números Números triangularestriangulares

p

+ + 11

+ + 22

+ + 33

+ + 44

55

++11 22 33++ 44 55++++

55 5555

= 25 = 25

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 66 + 5 + 4 + + 5 + 4 + 3 + 2 + 13 + 2 + 1

= = 9 9

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 77 + 6 + 5 + + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 14 + 3 + 2 + 1

= 49 = 49

1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 4 + 55 + 4 + 3 + 2 + + 4 + 3 + 2 + 11

= = 77 x x 77

1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 4 + 3 + 2 + 1+ 3 + 2 + 1

Números quadradosNúmeros quadrados

= = 3366

= = 225 5

= = 1166

1 + 2 + 1 + 2 + 33+ 2 + 1+ 2 + 1

= = 66 x x 66= = 55 x x 55= = 44 x x 44= = 33 x x 33

C

11++22++33++44++55 44++ 33++ 22++ 11++

1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, 11, … 11, …

Adicionando n termos desta sequência, o que se Adicionando n termos desta sequência, o que se obtém? obtém?

Qualquer número quadrado, resulta da soma de números Qualquer número quadrado, resulta da soma de números ímpares.ímpares.

11 22

1100

8833

++44 55

1133

1122

66

99

77

1144

1111

11551616 11

8811

9922

0011

7722

1122

2222

3322

44

++

++

++++

++++

++

++

++ ++

++++

++ ++

++

==

==

====

11 33

1144

1111

44

55 77

1199

1188

99

1122

1100 22

0011

6622

112222 2266

2288

3300

2244

3311

3322

3333

3344

==

==

====

++

++

++

++++

++++

++

++

++ ++

++++

++ ++

++

Portanto:

Considerando que temos:

8 notas de 5 euros.

8 x 5

4 x 10

2 x 20

É fácil reconhecer que a mesma quantia se pode obter com metade das notas mas, com o dobro do seu valor.

Isto é,

4 notas de 10 euros.

Ou ainda,

2 notas de 20 euros.

:2 x2

:2 x2

Então, se quisermos multiplicar 32 por 13, poderemos pensar:

Em 32 grupos de 13 elementos cada um.

Grupos elementos32 13

x

de

Grupos elementos

32 13x

16 26 ou

8 52

4 104 2 208 1 416

ou

ou

ou

…ou, finalmente:

…então, 32 x 13 = 416

Neste caso foi fácil, porque 32, é uma potência de base 2 e, portanto, é sempre possível as sucessivas divisões por 2.

Vejamos então um caso em que isso não acontece:

42 13x

21 26

10 52

5 104

2 208

1 416

:2 x2

:2 ? 21 não se deixa dividir exactamente por 2.

Então, uma vez que se trata de 21 grupos de 26 elementos, consideramos apenas 20 grupos, e guardamos 1 grupo de 26 elementos.

x2

:2 x2

:2? 5 não se deixa dividir exactamente por 2.

Então, uma vez que se trata de 5 grupos de 104 elementos, consideramos apenas 4 grupos, e guardamos 1 grupo de 104 elementos.

x2

:2 x2

42 13x

21 26

10 52

5 104

2 208

1 416

416 +…então, 42 x 13 = 104 + 26 = 546

105 12x

52

26

13

6

3

Sistematizando, podemos recorrer ao algoritmo da multiplicação russa (105 x 12), aplicando as seguintes regras:

A coluna da esquerda é preenchida com metade do valor da linha superior até encontrar o valor 1. Caso não seja um número inteiro, considera-se apenas a parte inteira.

A coluna da direita é preenchida com o dobro do valor da linha superior, até ter correspondência com os valores da coluna da esquerda.

A soma dos valores da coluna da direita que têm correspondentes ímpares é o produto procurado.

1

24

48

96

192

384

768 +

1260 105 x 12 =

É do conhecimento de todos que qualquer número inteiro ou é potência de base dois ou então, é possível decompô-lo numa soma de potências de base dois.

Senão, vejamos:

=

=

1 8

=+

21 +

+ =

1

22

+

20

21

1

2 =

=

3 1 2 20

+ = 21

4 =

5 + =4= 20

+ 22

6 =4 21 +

22 2

7 =4 20 +

2 + 1 +

22

23 8 =

9 20 +

= 23 = +

10 8= 21 +

232

+ 2111 =8 20

+ +

23 +

= 21

812 22 +

= 23 = + 4

…

…

Então, se quisermos multiplicar 24 por 17, poderemos pensar:

Em 24 grupos de 17 elementos cada um.

Grupos elementos24 17

x

de

Grupos elementos

24 17x

1 17 (1 grupo tem 17 elementos)

2 34 (2 grupos têm 34 elementos)




Grupos elementos

24 17x

1 17

2 34

4 68 8 136

16 272

Já não interessa duplicar mais, porque as potências de base 2 já são suficientes para formar 24 grupos.

+

24

Então os valores correspondentes a 24 grupos são:

+

408

Então 24 grupos de 17 elementos são: 408

24 x 17 = 408

De quantas maneiras diferentes podemos apresentar a figura tendo disponível apenas uma cor?

4 - Podemos pintar apenas um triângulo.

3 - Podemos pintar dois triângulos.

2 - Podemos pintar três triângulos.

1 - Podemos pintar todos os triângulos.

5 – Ou, simplesmente, não pintar nenhum.

4 – Pintando um triângulo, temos 4 soluções.

3 – Pintando dois triângulos, temos 6 soluções.

2 – Pintando três triângulos, temos 4 soluções.

1 – Pintando quatro triângulos, temos 1 solução.

5 – Não pintando nenhum triângulo, temos 1 solução.

O total de soluções é:

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

Observemos o triângulo numérico seguinte:

11 22

44

11

11 33

1144

33

11

11

66

11

11 1100

1100

5555 11

11 11

66 2200

1155

661155

1111

…… …… …… …… …… …… …… ……

De quantas maneiras diferentes podemos apresentar a figura tendo disponível apenas uma cor?

3 - Podemos pintar um triângulo.

2 - Podemos pintar dois triângulos.

1 - Podemos pintar todos os triângulos.

4 – Ou, simplesmente, não pintar nenhum.

3 – Pintando um triângulo, temos 3 soluções.

2 – Pintando dois triângulos, temos 3 soluções.

4 – Não pintando nenhum triângulo, temos 1 solução.

1 - Pintando todos os triângulos, temos uma solução.

O total de soluções é:

1 + 3 + 3 + 1 = 8

No mesmo triângulo numérico:

11 22

44

11

11 33

1144

33

11

11

66

11

11 1100

1100

5555 11

11 11

66 2200

1155

661155

1111

…… …… …… …… …… …… …… ……

816

42

1

32

64

= 20

= 21

= 22

= 23

= 24

= 25

= 26

Utilizando os números naturais até 9, inclusivé, completar o triângulo seguinte de forma a obter-se uma soma mágica de 10 em cada um dos seus lados (identificar

todos os casos possíveis).

(b) 1 + 3 + 6 = 10 (c) 1 + 4 + 5 = 10

(d) 2 + 3 + 5 = 10

(a) 1 + 2 + 7 = 10

(a) + (b) + (c) (a) + (b) + (d) (a) + (c) + (d) (b) + (c) + (d)

1

7

2 5 3

6

1

7

2 3 5

4

1

6

3 2 5

4

C

Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos

possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

Iniciando com a adição A

ABC ACD ADE AEF AFG AGH

ABD ACE ADF AEG AFH

ABE ACF ADG AEH

ABF ACG ADH

ABG ACH

ABH

Iniciando com a adição B

BCD BDE BEF BFG BGH

BCE BDF BEG BFH

BCF BDG BEH

BCG BDH

BCH

Iniciando com a adição C

CDE CEF CFG CGH

CDF CEG CFH

CDG CEH

CDH

21

15 10

C


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

6

31

C

Iniciando com a adição E

EFG EGH

EFH

Iniciando com a adição F

FGH

Iniciando com a adição D

DEF DFG DGH

DEG DFH

DEH

P

a + b + c a + b + d a + b + e a + b + f a + b + g a + b + h1

9

5 2 8

6

1

9

5 4 6

8

a + c + d a + c + e a + c + f a + c + g a + c + h2

4

9 1 5

8

9

2

4 6 5

1


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

a + d + e a + d + f a + d + g a + d + h

a + e + f a + e + g a + e + h


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

a + f + g a + f + h

a + g + h


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

b + c + d b + c + e b + c + f b + c + g b + c + h

b + d + e b + d + f b + d + g b + d + h5

4

6 1 8

2

2

5

8 1 6

7


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

b + e + f b + e + g b + e + h

b + f + g b + f + h b + g + h2

5

8 1 6

7


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

c + d + e c + d + f c + d + g c + d + h

c + e + f c + e + g c + e + h

4

3

8 5 2

9

2

9

4 6 5

8

2

9

4 5 6

7


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

c + f + g c + f + h

c + g + h


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

d + e + f d + e + g d + e + h

d + f + g d + f + h

2

8

5 3 7

6

4

6

5 2 8

3

2

8

5 4 6

7

3

7

5 2 8

4

d + g + h


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

e + f + g e + f + h

e + g + h f + g + h5

4

6 2 7

3

3

8

4 6 5

7


possíveis).

(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15

(a) 1 + 9 + 5 = 15

(e) 2 + 7 + 6 = 15

(f) 3 + 8 + 4 = 15

(g) 3 + 7 + 5 = 15

(h) 4 + 6 + 5 = 15

a + b + d a + b + h1

9

5 2 8

6

1

9

5 4 6

8

a + c + d a + c + h2

4

9 1 5

8

b + d + e5

4

6 1 8

2

2

5

8 1 6

7

b + g + h2

5

8 1 6

7

9

2

4 6 5

1

b + d + h

c + d + f c + d + h c + e + h

4

3

8 5 2

9

2

9

4 6 5

8

2

9

4 5 6

7

d + e + g d + e + h

d + f + g d + f + h

2

8

5 3 7

6

4

6

5 2 8

3

2

8

5 4 6

7

3

7

5 2 8

4

e + g + h f + g + h5

4

6 2 7

3

3

8

4 6 5

7

(b) 9 + 7 + 5 = 21 (c) 8 + 7 + 6 = 21

(a) 9 + 8 + 4 = 21

9

4

8 6 7

5

Transforme o triângulo seguinte num triângulo mágico de soma 21:

4

3!

3! x4

3!3)!(4

4!C4

3

v

v

565

6x

5! x6 x 7 x8

3!3)!(8

8!C8

3 !

No famoso triângulo de Pascal também os números triangulares não estão esquecidos.

11 22

44

11

11

1144

33 11

66

11

11 1100

1100

5555 11

11 11

66 2200

1155

661155

1111

11 77 2121 3535 3535 2121 77 11…… …… …… …… …… …… …… …………

11

33

v

11 22

44

11

11

1144

33 11

66

11

11 1100

1100

5555 11

11 11

66 2200

1155

661155

1111

11 77 2121 3535 3535 2121 77 11…… …… …… …… …… …… …… …………

11

33

v

Números Números triangularestriangulares

““parece não ser polémica a ideia de que muita da parece não ser polémica a ideia de que muita da matemática que se ensina nas nossas escolas não é matemática que se ensina nas nossas escolas não é compreendida. Muitos são os alunos que não compreendida. Muitos são os alunos que não compreendem o que fazem, limitam-se a escolher compreendem o que fazem, limitam-se a escolher fórmulas e/ou outros algoritmos para darem respostas a fórmulas e/ou outros algoritmos para darem respostas a questões rotineiras cujo enunciado é que vai variando e, questões rotineiras cujo enunciado é que vai variando e, como tal, desmotivadoras...” (Fernandes, 1989, p.como tal, desmotivadoras...” (Fernandes, 1989, p. 4).

QueAvaliação?

QueEnsino?

- Perspectivas Actuais de Ensino-Aprendizagem da - Perspectivas Actuais de Ensino-Aprendizagem da Matemática -Matemática -

PENSARPENSAR CONHECERCONHECER CONCEITOSCONCEITOS

COMPETÊNCIASCOMPETÊNCIAS

ATITUDESATITUDES

RESOLUÇÃO DE PROBLEMASRESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:

CONTEÚDOCONTEÚDO

METODOLOGIAMETODOLOGIA

OBJECTIVOOBJECTIVO

SOBRESOBRE

ATRAVÉSATRAVÉS

PARAPARA

Situação A:

““Num torneio de ténis de Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão escola do Maurício, estão inscritos 92 participantes. inscritos 92 participantes. Cada participante necessita 3 Cada participante necessita 3 bolas. Quantas bolas serão bolas. Quantas bolas serão distribuídas?”distribuídas?”

ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:

92 x 3 = 27692 x 3 = 276


Situação B:

““Num torneio de ténis de Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão escola do Maurício, estão inscritos 92 participantes. inscritos 92 participantes. Uma das regras deste torneio Uma das regras deste torneio é que joguem dois é que joguem dois participantes de cada vez, participantes de cada vez, sendo eliminado sendo eliminado imediatamente do torneio o imediatamente do torneio o jogador que perder. Quantos jogador que perder. Quantos jogos será necessário jogos será necessário organizar para se conhecer o organizar para se conhecer o vencedor dos vencedores?”vencedor dos vencedores?”

92 P 46 J

46 D

46 V 23 J

11 J

11 D

11 V12 V6 J6 D

6 V

3 J

3 D

3 V 2 V 1 J

1 D

1 V 2 V

1 J

campecampeãoão

vice-campeãovice-campeão

23 D

23 V

22 V


46 J23 J

11 J6 J

3 J

1 J

1 J

46 J

11 J

91 J

6 J 3 J 1 J 1 J +

23 J

Situação B:

““Num torneio de ténis de Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão escola do Maurício, estão inscritos inscritos 92 participantes92 participantes. . Uma das regras deste torneio Uma das regras deste torneio é que joguem dois é que joguem dois participantes de cada vez, participantes de cada vez, sendo eliminado sendo eliminado imediatamente do torneio o imediatamente do torneio o jogador que perder. Quantos jogador que perder. Quantos jogos será necessário jogos será necessário organizar para se conhecer o organizar para se conhecer o vencedor dos vencedores?”vencedor dos vencedores?”

j = p - 1j = p - 1


SITUAÇÃO B:SITUAÇÃO A:

RotinaRotina

DesmotivaçãDesmotivaçãooAusência de Ausência de DificuldadeDificuldade

Conhecimento do Processo de Conhecimento do Processo de ResoluçãoResolução

NovidadeNovidade

MotivaçãoMotivação

ResoluçãoResolução Não Imediata Não Imediata

Necessidade de se Procurar a Necessidade de se Procurar a ResoluçãoResolução

MecanizaçãMecanizaçãoo

Resolução Resolução ImediataImediata

DesafioDesafio

ExistênciaExistência de Alguma de Alguma DificuldadeDificuldade

EXERCÍCIO PROBLEMA

PROBLEMPROBLEMA:A:

“Um indivíduo está perante um problema quando encontra uma questão à qual não consegue responder ou uma situação que não é capaz de resolver usando o conhecimento imediatamente disponível. Tem que pensar num caminho de combinação da informação de que dispõe, no sentido de poder chegar à solução do problema” (Kantowski, 1974, p. 1).

SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:

Diferença entre Problema e Diferença entre Problema e ExercícioExercício

ModelosModelos dede ResoluçãoResolução de ProblemasProblemasTiposTipos dede ProblemasProblemas

PROBLEMAS DE:

1 PassoPasso

2 ou mais Passos2 ou mais Passos

ProcessoProcesso

TipoTipo PuzzlePuzzle

AplicaçãoAplicação

ConteúdoConteúdo

Estratégias de ResoluçãoEstratégias de Resolução

ESTRATÉGIAS:

FimFim parapara o inícioo início

Dedução LógicaDedução Lógica

Descoberta de um PadrãoDescoberta de um Padrão

Recorrer a Problemas mais Recorrer a Problemas mais SimplesSimplesEsquemaEsquema ouou FiguraFigura

Tentativa e ErroTentativa e Erro

......

DiferençaDiferença entre Problema e entre Problema e ExercícioExercícioModelosModelos dede ResoluçãoResolução dede ProblemasProblemasTipos de ProblemasTipos de Problemas

SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:

Qual dos círculos deves seleccionar para envolver as peças azuis? Porquê? E qual deves seleccionar para envolveres as peças vermelhas? Porquê? (Classificação simples).

Em que lugar vais colocar o círculo amarelo? Porquê? E onde vais colocar o triângulo vermelho? Porquê? (Classificação simples).

Quanto à cor, faz corresponder cada elemento da coluna da esquerda a um e um só elemento da coluna da direita. Porque é que fizeste assim? (Correspondência termo a termo).

Em qual das filas existem mais triângulos? (Conservação da quantidade).

É fácil de ver que o rectângulo verde é mais pequeno que o rectângulo vermelho. Por sua vez, também é fácil ver que o rectângulo vermelho é mais pequeno que o rectângulo azul. Qual será o rectângulo mais pequeno, o verde ou o azul? (Transitividade).

Dá seguimento à seguinte sequência de figuras geométricas. Explica como fizeste. (Seriação).

Ordena, de forma crescente, os seguintes círculos, atendendo ao tamanho. (Ordenação).

Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa tijolo e meio?

1kg 1kg

1kg

Quantos são os triângulos desta figura?

1 2 34

567

89

10

10 individuais

10 de dois:

[1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8]; [8,9]; [9,10]; [10,1]

5 de três: [1,2,3]; [3,4,5]; [5,6,7]; [7,8,9]; [9,10,1]

5 de quatro, envolvendo o pentágono:

[1,2,6,10]; [2,3,4,8]; [4,5,6,10]; [2,6,7,8]; [4,8,9,10]

5 de dois, envolvendo o pentágono:

[2,6]; [2,8]; [4,8]; [4,10]; [6,10]

Uma criança vai passar o fim-de-semana com os pais a uma aldeia, a casa de uns familiares e propõe-se contar as cabeças e as patas de todas as galinhas e coelhos que os tios têm. O resultado é 30 cabeças e 100 patas. Quantas galinhas e quantos coelhos têm os tios da criança?

C G Pc Pg

15 15 60 30

Tcb Tpt

30 90

16 14 64 28 30 92

18 12 72 24 30

20 10 80 20 30 100

96

Cinco amigos: Pedro, André, Cláudio, Dinis e Bernardo – estão preparando uma peça de teatro, em que os personagens são: um rei, um soldado, um bobo, um guarda e um prisioneiro. - Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis; - nos intervalos, o soldado joga cartas com o Dinis; - Pedro, André e Cláudio estão sempre a criticar o guarda; - o bobo gosta de ver representar o André, o Cláudio e o Bernardo, mas detesta ver o soldado. Qual é o papel desempenhado por cada um?

Pedro André Cláudio Dinis

Rei

Soldado

Bobo

Guarda

Bernardo

Prisioneiro

Que EnsinoQue Ensino??

Dois amigos pretendem jogar o jogo do 30, para verem qual deles pagaria o lanche ao outro. As regras são as seguintes: ganha quem conseguir dizer o número 30. Os jogadores vão intervir de forma alternada, sendo que têm que acrescentar sempre mais uma ou duas unidades ao número que o adversário disser. O jogador que começa pode fazê-lo pelo 1 ou pelo 2. Qual o critério que garante vencer este jogo?

AA BB

2 35 67 9

11 1213 15

AA BB

17 1820 2123 2426 2728 30

Critério vencedor:

3n

Dois amigos pretendem jogar o jogo do 20, para verem qual deles pagaria o lanche ao outro. As regras são as seguintes: ganha quem conseguir dizer o número 20. Os jogadores vão intervir de forma alternada, sendo que têm que acrescentar sempre mais uma ou duas unidades ao número que o adversário disser. O jogador que começa pode fazê-lo pelo 1 ou pelo 2. Qual o critério que garante vencer este jogo?

AA BB

1 24 57 8

10 1113 14

AA BB

15 1719 20

Critério vencedor:

3n - 1

Números Triangulares e Números Números Triangulares e Números QuadradosQuadrados

6 10 1531

4 9 16 25

52 = 5 x 542 = 4 x 432 = 3 x 322 = 2 x 2

V

Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões...

Documents

Transcript of Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões...