ESCOLA SECUNDÁRIA DA CIDADELA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

10º ANO

Pavimentações com Polígonos

As divisões regulares do plano, chamadas pavimentações, são arranjos de formas fechadas que cobrem completamente o plano sem sobreposições e sem deixar falhas.

As formas que normalmente se usam em pavimentações são polígonos regulares, como por exemplo os azulejos.

O astrónomo Joannes Kepler ( 1580-1630) parece ter sido um dos pioneiros no estudo da geometria das pavimentações. Na sua obra Harmonice Mundi, este matemático apresenta uma classificação das pavimentações, obtida através de trabalhos de Platão e de Arquimedes sobre poliedros.

Os pitagóricos descobriram que os únicos polígonos regulares que podiam cobrir um plano, pavimentação, utilizando apenas um tipo de polígono – pavimentações regulares – são, o triângulo, o quadrado e o hexágono.

Através desta pequena actividade vais poder constatar o que atrás se afirmou.

1. O ângulo interno de um polígono regular é obtido através da fórmula

em que n é o número de lados do polígono.

Determina o ângulo interno do

Triângulo equilátero Quadrado Hexágono

Recorta vários triângulos equiláteros e vários quadrados. Com 6 triângulos equiláteros constrói um hexágono e recorta vários.

Facilmente consegues cobrir uma superfície com estes polígonos.

Repara que o quadrado e o hexágono foram construídos à custa do triângulo equilátero.

Com o mesmo triângulo equilátero consegues construir um pentágono? Porquê?

Com que tipo de triângulos consegues construir um pentágono regular?

E. Sec da Cidadela – Departamento de Matemática – 10ºA- Trabalho de Grupo - Às voltas com as pavimentações”- Profª Margarida Pinto Teixeira Pg 1

E com um pentágono consegues cobrir uma superfície?

Porquê?

E com o heptágono? Porquê?

Certamente já constataste que os vértices não encaixam, já percebeste

a razão?

Se os polígonos iguais e regulares coincidirem num ponto então o ângulo por eles formado será de 360º.

2. Na tabela abaixo, regista os valores para p- número de polígonos e n =número de lados desse polígono p, para os quais a condição anterior é verdadeira (V) ou falsa (F)

p n

3 4 5 6

Triângulo 3

Quadrado 4

F

Pentágono 5

F

Hexágono 6

3. Por que razão não faz sentido estudar a tabela para n=1 e n=2?

4. As pavimentações regulares podem ser feitas com qualquer tipo de triângulos? Justifica.

5. É possível fazer-se uma pavimentação com pentágonos e octógonos, sem que existam buracos nem sobreposição ? Justifica a a tua resposta com base na descoberta atribuída a Pitágoras de que o ângulo

interno de um polígono de n lados é obtida através de

6. Combinando triângulos, quadrados e hexágonos regulares, poder-se-á construir uma pavimentação? Justifica a tua resposta.

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Proposta de Trabalho em grupo :

Às voltas com as Pavimentações

Introdução

Pretendemos revelar o mundo das pavimentações, tanto as de M.C. Escher como todas as outras que existem à tua volta e que, com certeza, não jamais te passarão despercebidas.

Escher, no entanto, estava fascinado por todo o tipo de pavimentações - regulares e irregulares – e encantou--se por aquilo a que ele chamava "metamorfoses" nas quais as formas mudavam e interagiam umas com as outras, e por vezes saíam até do plano.

O seu interesse começou em 1936, quando viajou até Espanha e observou os padrões dos azulejos usados no palácio Alhambra. Passou muitos dias desenhando esses azulejos, e mais tarde afirmou que esta era a mais rica fonte de inspiração que alguma vez tinha encontrado.

Para Escher, a divisão regular do plano não era uma questão exclusivamente matemática. Admite que forma os matemáticos que mostraram que de todos os polígonos regulares, só o triângulo, o quadrado e o hexágono é que pavimentam o plano. No entanto, muitos outros polígonos irregulares pavimentam o plano. Escher explorou estes padrões básicos nas suas pavimentações, aplicando o que os matemáticos chamam de translações, rotações e reflexões de modo a obter uma maior variedade de padrões.

Polígonos, simetrias, translações, rotações, nenhum destes conceitos é novo para ti.

Vamos passar à prática...

Tarefas

A tua tarefa é elaborar um portfólio tendo em atenção os seguintes aspectos:

   1. Vida e obra de Escher    2. Um pequeno texto onde sejam abordados os seguintes         tópicos:             • história das pavimentações             • polígonos regulares que pavimentam o plano             3. Artigo fotográfico para o jornal (exemplos de pavimentações presentes no dia-a-dia)

   4. Galeria de pavimentações , museus, tapetes etc

5. Construção de uma pavimentação.

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Processo

Para conseguirem realizar, com sucesso, as tarefas que se propõem, há aspectos que são fundamentais e devem ser tidos em atenção:

    • aceder às ligações disponíveis, lendo com atenção a informação apresentada.   • se encontrarem informação interessante para o tema, esta deverá ser incluída no trabalho, enriquecendo-o.   • seleccionar a informação de interesse relevante, tomando notas de modo a analisar, organizar e sintetizar todos os dados.   • no final de cada tarefa, devem fazer o ponto da situação   • o arranjo gráfico deve ser negociado em grupo, respeitando a individualidade de cada um.

Tudo isto poderá parecer difícil mas deixa-se aqui uma orientação ao vosso trabalho. Comecem por formar grupos de 4 alunos e segue as instruções:

Tarefas Aluno

Vida e obra de EscherVida A e B

Obra C e D

Redacção de um texto sobre pavimentações

História das pavimentações A e C

Polígonos regulares que pavimentam o plano

B e C

Compilação e redacção final todos

Artigo fotográfico Fotografias A e D

Galeria de pavimentaçõesAzulejos e lambris A e B

Tapetes e passeios pedestres C e D

Construção da pavimentação todos

Arranjo gráfico do trabalho todos

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Recursos

1. Escher

De seu nome Maurits Cornelis Escher, nasceu a 17 de Julho de 1898, em Leeuwarden, no norte da Holanda, sendo o filho mais novo do Engenheiro Civil G. A. Escher. O reconhecimento público da sua obra não foi imediato. Passou por algumas dificuldades financeiras até que, em 1951, se escreveram numerosos artigos sobre a sua obra, sendo então respeitado e reconhecido. A sua obra passou por fases ao longo do tempo.... Para saberes mais ....

http://www.iep.uminho.pt/aac/sm/a2002/M_C_Escher/

      http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/index.asp

     http://www.mcescher.com/

     http://galileu.globo.com/edic/88/conhecimento2.htm

     http://www.worldofescher.com/

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/escher/escher1.html

     Escher dedicou grande parte do seu tempo ao estudo das pavimentações do plano. O seu interesse começou em 1936, quando viajou por Espanha e se maravilhou com padrões utilizados . em Alhambra. As suas pavimentações do plano são conseguidas recorrendo a isometrias

E para saberes mais procura aqui:

2. Definição de pavimentação, Isometrias

 

Pavimentações

http://www.iep.uminho.pt/aac/sm/a2002/M_C_Escher/

     http://www.apm.pt/apm/AeR/tipav.html

     http://mathforum.org/sum95/suzanne/tess.intro.html

     http://library.thinkquest.org/16661/background/tessellations.html

     http://mathforum.org/pubs/boxer/tess.html

     http://www.montessoriworld.org/Handwork/pattern/pattern.html

 

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Isometrias

     http://mathforum.org/workshops/unioncity/2000/rigidtrans.html

     http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm12/introducao.htm

     http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm12/translaccoes.htm

     http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm12/reflexoes.htm

     http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm12/rotacoes.htm

     http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/jbescher1.htm

3. Construção de Pavimentações

 

Usa a tua imaginação, consultando os recursos sobre pavimentações e isometrias, e constrói uma

pavimentação. 

Para saberes mais ....

http://www.iep.uminho.pt/aac/sm/a2002/M_C_Escher/

      http://www.artlandia.com/products/symmetryworks/tutorials/escherlike.html

     http://library.thinkquest.org/16661/escher/tessellations.1.html

                              http://www.wsd1.org/bitsbytes/9798/bboct97/default.htm#STORY4    

Avaliação 

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O trabalho será avaliado atendendo aos seguintes critérios:

   • Capacidade de pesquisa e organização da informação   • Clareza, objectividade e rigor da linguagem   • Correcção na construção da pavimentação   • Capacidade de investigação, formulação de hipóteses e       sua demonstração   • Arranjo gráfico

Cada um de vós deve escrever algumas linhas realçando a sua opinião sobre o projecto desenvolvido, as dificuldades sentidas, o que mais gostou e a sua participação no trabalho de grupo

Empenho, espírito de grupo e espírito crítico serão atitudes a valorizar.

A avaliação será de carácter quantitativo (percentagem atribuída a cada uma das tarefas) e qualitativo (atitudes e arranjo gráfico).

Na tabela seguinte, apresentam-se os critérios de avaliação.

Tarefa Avaliação quantitativa (75%) Avaliação qualitativa (25%)

Vida e obra Escher 15%Empenho, espírito de grupo e

espírito crítico

 

Arranjo gráfico

Pequeno artigo sobre a história das

pavimentações e sobre os polígonos

que pavimentam

25%

Artigo fotográfico 15%

Galeria de pavimentações 20%

Construção de uma pavimentação 25%

Bibliografia

E. Sec da Cidadela – Departamento de Matemática – 10ºA- Trabalho de Grupo - Às voltas com as pavimentações”- Profª Margarida Pinto Teixeira Pg 7

ArtCycplopedia. Disponível na Internet, http://artcyclopedia.com/artists/escher_mc.html em 27 de Maio de 2002.

 Carvalho, Ana Amélia Amorim (2002). WebQuest. Disponível na Internet http://www.iep.uminho.pt/aac/diversos/webquest/index.htm, em 27 de Junho de 2002.

Cordon Art. The official M. C. Escher Website. Disponível na Internet http://www.mcescher.com/, em 27 de Maio de 2002.

Eyeware Interactive & Cordon Art (1996). Escher Interactive: Exploring the Art of The Infinite. Londres: Thames and Hudson. (CDROM)

Dodge, Bernie (2001). The WebQuest Page . Disponível na Internet http://webquest.sdsu.edu/about_webquests.html

Ernst, B. (1991). O Espelho Mágico de M. C. Escher. Berlim: Taschen.

Escher, M. C. (1994). Gravura e Desenhos. Taschen.

M. C. Escher Foundation (2000). The Magic of M. C. Escher. Londres: Thames & Hudson Ltd.

Martinho, M. H. (1998). Arte e Matemática. Guimarães: APM – Associação de Professores de Matemática.

Building Blocks of a WebQuest. Disponível na Internet http://projects.edtech.sandi.net/staffdev/buildingblocks/p-index.htm, em 27 de Maio de 2002

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