PDF AEP Modular MatematicaFinanceira Apostila PedroEvaristo

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Matemtica Financeira

Apostila

Pedro Evaristo


Prof. Pedro Evaristo 2

CAPTULO 01

PORCENTAGEM

INTRODUO

A expresso por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento.

Assim, quando voc l ou escuta uma afirmao como "Grande liquidao: 20

por cento de desconto em todos os artigos", significa que voc ter 20 reais de

desconto para cada 100 reais do preo do artigo que comprar.

Estabelecemos, ento, a

razo 100

20 e podemos

afirmar que:

Assim, 100

20 o mesmo que 20 por cento. A expresso por cento pode ser

substituda pelo smbolo %. Dessa forma, temos:

100

20 = 20 %

Veja os exemplos:

8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a 10

8ou

100

80ou 80% do grupo.

OBSERVAO:

Toda razo a/b na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem.



Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a 300

21ou

100

7ou 7% do

total.

EXEMPLO:

Se uma barra de chocolate dividida em 5 pedaos e uma pessoa come 3 deles,

ela ter comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria

comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustrao.

FRAO x PORCENTAGEM

%60100

60

10

6

5

3



AUMENTOS E DESCONTOS

AUMENTO DE 20%

Valor inicial x

Valor do aumento 20% de x

Valor aps o aumento 120% de x

DESCONTO DE 20%

Valor inicial x

Valor do desconto 20% de x

Valor aps o desconto 80% de x

LINK:

Para ganhar tempo (o que fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta

20%, ele ir para 120% de x. Dessa forma no necessrio fazer o desenvolvimento:

x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x

Observe os aumentos e descontos a seguir:

x +20%

120%x

x +50%

150%x

x +84%

184%x

x +136%

236%x

x 20%

80%x

x 50%

50%x

x 84%

16%x

x +100%

200%x

x +100%

2x = 200%x

x +200%

3x = 300%x

x +400%

5x = 500%x

x +800%

9x = 900%x

R Reais

I

Irracionais

Q

Racionais

Z Inteiros

N



LINK:



PORCENTAGEM DE CABEA

O segredo para calcular porcentagem de cabea perceber como fcil

calcular 10% e 1%.

Para fazer porcentagem de cabea, basta entender a relao de todas as

porcentagens com 10%.

10% de 120 = 12 (1/10 de 120 = 120/10 = 12)

20% de 120 = 24 (20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24)

30% de 120 = 36 (30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 =

36)

5% de 120 = 6 (5% a metade de 10%, logo a metade de 12 6)

1% de 120 = 1,20 (1/100 de 120 = 120/100 = 1,20)

21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2)

35% de 120 = 42 (35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6

= 42)

52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 =

62,4)

90% de 120 = 108 (90% = 100% (o todo) 10%, ou seja 120 12 = 108)

95% de 120 = 114 (95% = 100% (o todo) 5%, ou seja 120 6 = 114)

LINK: LINK:



99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) 1%, ou seja 120 1,2 = 118,8)

125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30

= 150)

151% de 120 = 181,2 (151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja

120 + 60 + 1,2 = 181,2)



EXERCCIOS RESOLVIDOS

01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens?

SOLUO:

Lembre-se que porcentagem frao, mas uma frao cujo denominador 100.

Ento, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50

alunos, basta escrever a frao que isso representa, procurando a frao

equivalente cujo denominador seja 100. Observe:

02. Em uma viagem de 200km, j foram percorridos 126km, qual o percentual j

percorridos?

SOLUO:

A frao do que j foi percorrido, em relao ao total da viagem, pode ser escrito

da seguinte forma:

03. Se Joo gastou 18/25 do seu salrio, qual o percentual que ainda resta?

SOLUO:

Quem gasta 18 partes de 25 por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa

frao equivale a:



04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um municpio votaram contra uma

determinada obra, qual o percentual que votou a favor?

SOLUO:

Se 7 entre 20 vereadores votaram contra por que os 13 restantes entre 20

votaram a favor, logo:

05. Aps uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de

deferidos?

SOLUO:

Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, ento foram deferidos 3 dentre 8.

Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em

seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe:

06. Em uma festa, o DJ tocou 8 msicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual

o percentual de nacionais nesse repertrio?

SOLUO:



07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% so equivalentes a um nico aumento

de quanto?

SOLUO:

Podemos empregar nessa questo um artifcio aritmtico que costumo chamar de

truque do 100.

A idia consiste em escrever o nmero 100 e seguir os comandos, ou seja,

aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo

valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe:

Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se

facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no

incio, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%.

Um fato interessante que a ordem dos aumentos no altera o resultado final,

observe:

Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e

quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto

x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%).

08. Descontos sucessivos de 30% e 20% so equivalentes a um nico desconto de

quanto?

SOLUO:

Da mesma forma que na questo anterior podemos aplicar o truque dos 100,

veja:



Portanto, reduo de 44 para cada 100, ou seja, diminuio de 44%.

09. Uma loja, realizando uma promoo, oferece um desconto de 20% nos preos

dos seus produtos. Pra voltar aos preos iniciais, os preos promocionais devem

sofrer um acrscimo de A%. Determine o valor A.

SOLUO:

Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original

deve aumentar 20 em relao a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%.

Observe:

Portanto, para retornar aos preos iniciais, os preos promocionais devem sofrer

acrscimo de 25%.



CAPTULO 02

JUROS SIMPLES

INTRODUO

A matemtica financeira est presente em nosso cotidiano de forma direta

ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores sero os benefcios

que teremos, tanto para ganhar dinheiro como

para evitar perde-lo. Como por exemplo, na

escolha do melhor financiamento de um bem ou

onde fazer aplicaes financeiras.

O estudo da Matemtica Financeira todo

feito em funo do crescimento do capital (C)

aplicado com o tempo. Definiremos capital como

qualquer quantidade de moeda ou dinheiro.

O montante (M), ou seja, o valor final do

capital aplicado dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que

uma frao do capital inicial, qual damos o nome de juro. Juro (J) , portanto,

a compensao financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo

ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o

capital de outra.

O juro cobrado em funo de um coeficiente, chamado taxa de

juro (i), que dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um

intervalo de tempo (ano, semestre, ms, etc), tomado como unidade,

denominado perodo financeiro ou, abreviadamente perodo (t ou n).

Existem duas formas de serem calculados os juros a cada perodo: calculando

sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro

caso esse crescimento se comporta como um progresso aritmtica (P.A.) e no

segundo caso o montante aumenta segundo uma progresso geometrica (P.G.).



De outra forma temos:

Quando os juros so acrescentados, ao capital inicialmente aplicado,

somente aps o trmino da aplicao, podemos dizer que estamos

calculando juros simples.

Quando os juros so incorporados ao capital aps cada perodo

de tempo, criando assim um novo capital a cada perodo, dizemos

que estamos fazendo uma capitalizao ou calculando juros

compostos.

Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da

esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas

por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rpido, pois

seu aumento exponencial (juros compostos).

CAPITAL (C): Aplicao, investimento, saldo

inicial, valor inicial, valor atual, valor presente

e principal.

MONTANTE (M): Resgate, valor amontoado,

saldo devedor, saldo credor, valor futuro e

capital futuro.

JUROS (J): Ganho, rendimento, excedente e

compessao financeira.

TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de

juros e percentual de juros.

TEMPO (t): Prazo, perodo, nmero de

perodos e unidades de tempo.



JUROS SIMPLES

Na capitalizao simples, o juro produzido em vrios perodos financeiros

constante em cada perodo e proporcional ao capital aplicado, sendo este

coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros.

CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTO:

A importncia de R$ 600,00 aplicada numa instituio financeira taxa de

6% ao ms (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante aps esse tempo?

No problema apresentado anteriormente, temos:

capital aplicado .............. R$ 600,00

taxa % ao ms .............. 6% = 6/100 = 0,06

tempo em meses .......... 3 meses

Temos que:

Aps o 1 perodo, os juros sero:

0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00


R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00


R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00

Assim, o montante (capital mais rendimentos) ser de:

R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00

Vamos generalizar, deduzindo uma frmula para calcular os juros simples.

tempodeperodosdenmerot

tempodeperodoportaxai

aplicadocapitalC

%



Ento, temos

Aps o 1 perodo, o total de juros ser: C.i;

Aps o 2 perodo, o total de juros ser: C.i+C.i;

Aps o 3 perodo, o total ser: C.i+C.i+C.i;

Aps o t-simo perodo, o total de juros ser:

C.i + C.i + C.i + .... + C.i.

Assim, a frmula que fornece o total de juros simples :

O montante final de:

Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as frmulas citadas.

Calculando os juros simples, temos:

J = 600.0,06.3 = 108

O montante ser de:

M = C + J = 600 + 108 = 708

t parcelas

M = C + J

J = C.i.t



TEMPO COMERCIAL

Nas aplicaes financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam

conveno diferente para contagem do prazo.

O tempo pode ser contado de duas formas:

ANO CIVIL: 365 dias

ANO COMERCIAL: 360 dias

JUROS COMERCIAL (ORDINRIOS)

Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o

ano.

Nas aplicaes prticas e por conveno, quando nos referimos apenas ao

nmero de meses, utilizaremos o ms comercial com 30 dias, de forma indiferente.

JUROS EXATOS

Adotam o ano civil e por isso deve ser contado o tempo exato.

Fica implcito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas

da negociao e do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata,

inclusive considerando anos bissextos.

importante saber que os bancos trabalham com juros ordinrios e tempo

exato. Na contagem dos dias, em geral, exclui-se o primeiro e inclui-se o ltimo dia.

Taxa Diria (ao dia) a.d.

Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi.

Taxa Mensal (ao ms) a.m.

Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b.

Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t.

Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q.

Taxa Semestral (ao semestre) a.s.

Taxa Anual (ao ano) a.a.



TAXAS PROPORCIONAIS

Duas ou mais taxas so ditas proporcionais,

quando ao serem aplicadas a um mesmo capital,

durante um mesmo perodo de tempo, produzem

um mesmo montante no final do prazo, em regimes

de juros simples.

126321

ASTBM iiiii ou

3601809060301

ASTBMD iiiiii

EXEMPLO:

1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a.

2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a.

24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m.

LINK:



SIMPLES x COMPOSTO

O capital inicial (principal) pode crescer, como j sabemos, devido aos juros,

segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto.

Vamos ilustrar a diferena entre os crescimentos de um capital atravs juros

simples e juros compostos, com um exemplo:

Suponha que $100,00 so empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos:

JUROS SIMPLES ao longo do tempo, somente o principal rende juros.

PRINCIPAL = 100

NO DE MESES MONTANTE SIMPLES

1 100 + 10%.100 = 110,00

2 110 + 10%.100 = 120,00

3 120 + 10%.100 = 130,00

4 130 + 10%.100 = 140,00

5 140 + 10%.100 = 150,00

As taxas equivalentes para cada perodo so proporcionais ao tempo.

100 +10%

110 +10

120 +10

130

+10 140

+20% +30%

+40%

Juros calculado em cima do principal.

No pode aplicar juros em cima dos juros.

Cresce como uma P.A..

Taxa equivalente proporcional ao tempo.

LINK:



1

C

M

t

JUROS

SIMPLES

JUROS

COMPOSTO

JUROS COMPOSTOS aps cada perodo, os juros so incorporados ao principal e

passam, por sua vez, a render juros. Tambm conhecido como "juros sobre juros".

PRINCIPAL = 100

NO DE MESES MONTANTE COMPOSTO

1 100,00 + 10%.100,00 = 110,00

2 110,00 + 10%.110,00 = 121,00

3 121,00 + 10%.121,00 = 133,10

4 133,10 + 10%.133,10 = 146,41

5 146,41 + 10%.146,41 = 161

,05

As taxas equivalentes para cada perodo no so proporcionais.

Observe que o crescimento do principal segundo juros

simples LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros

compostos EXPONENCIAL, e portanto tem um

crescimento muito mais "rpido". Isto poderia ser

ilustrado graficamente como no grfico ao lado.

Na prtica, as empresas, rgos governamentais e investidores

particulares costumam reinvestir as quantias geradas

pelas aplicaes financeiras, o que justifica o

emprego mais comum de juros compostos na

Economia. Na verdade, o uso de juros simples no se

justifica em estudos econmicos.

100 +10%

110 +10%

121 +10%

133,1 +10%

146,41

+21% +33,1%

+46,41%

Juros calculado em cima do saldo..

Pode aplicar juros em cima dos juros.

Cresce como uma P.G..

Taxa equivalente no proporcional ao tempo.

LINK:



x +20%

120%x

x +50%

150%x

x +84%

184%x

x +136%

236%x

x 20%

80%x

x 50%

50%x

x 84%

16%x

x +100%

200%x

x +100%

2x

x +200%

3x

x +400%

5x

x +800%

9x

R

Reais

I

Irracion

ais

Q

Raciona

is

Z

Inteiros

N

Naturai

s

LINK:

Para ganhar tempo em muitas questes, o que fundamental em concursos, observe que

se um capital x aumenta 20%, ele ir para 120% de x. Dessa forma no necessrio fazer o

desenvolvimento:

x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x

Observe os aumentos e descontos a seguir:



EXEMPLOS

01. Um capital de R$800 aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, com

taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicao.

1 SOLUO:

Sem usar frmula, temos que:

5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 ms)

Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos:

12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao fim de 12 meses)

Portanto, o resgate (montante) ser

R$ 800,00 + R$ 480,00 = R$ 1280,00

2 SOLUO:

Dados:

C = 800

i = 5% a.m.

t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do

tempo)

Aplicando na frmula J = C.i.t, temos

J = 800.5%.12

J = 800.100

5 .12

J = 480 (rendimento)

Como M = C + J, ento

M = 800 + 480

Portanto o resgate (montante) de 1280 reais.



EXERCCIOS

01. (CESGRANRIO) Aplicaes financeiras

podem ser feitas em perodos

fracionrios e inteiros em relao taxa

apresentada, tanto em regimes de

capitalizao simples quanto

compostos. A partir de um mesmo

capital inicial, possvel afirmar que o

montante final obtido pelo regime

composto em relao ao montante

obtido pelo regime simples:

a) sempre maior

b) sempre menor

c) nunca igual

d) nunca menor

e) pode ser menor

02. Foi feita uma aplicao de R$

4.000,00 a uma taxa de 20% a.q., em um

regime de juros simples, durante trs

trimestres. Determine o valor do resgate

aps esse perodo.

a) R$ 6.200,00

b) R$ 5.800,00

c) R$ 4.500,00

d) R$ 2.400,00

e) R$ 1.800,00

03. Diego atrasou o pagamento de um

boleto bancrio de R$120,00, que

venceu dia 12 de maro. Em caso de

atraso ser cobrada multa de 4% e juros

simples de 3% a.m.. Quanto seria o total

ANOTAES:



pago por ele no dia 19 de agosto do mesmo ano?

a) 139,20

b) 144,00

c) 153,00

d) 162,40

04. (FCC) Em um regime de capitalizao simples, um capital de R$ 12 800,00 foi

aplicado taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, esse

capital deve ficar aplicado por um perodo de

a) 8 meses.

b) 10 meses.

c) 1 ano e 2 meses.

d) 1 ano e 5 meses.

e) 1 ano e 8 meses.

05. (CESGRANRIO) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 a vista ou por

50% deste valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 aps 4

meses. Qual a taxa de juros simples mensal cobrada?

a) 0,025% ao ms

b) 0,150% ao ms

c) 1,500% ao ms

d) 2,500% ao ms

e) 5,000% ao ms



06. (ESAF) O preo vista de uma

mercadoria de $1.000,00. O comprador

pode, entretanto, pagar 20% de entrada

no ato e o restante em uma nica

parcela de $922,60 vencvel em 90 dias.

Admitindo-se o regime de juros simples, a

taxa de juros anuais cobrada na venda a

prazo de:

a) 98,4%

b) 122,6%

c) 22,6%

d) 49,04%

e) 61,3%

07. (NCE) Antnio tomou um emprstimo

de R$5.000,00 a uma taxa de juros mensal

de 4% sobre o saldo devedor, ou seja, a

cada ms cobrado um juro de 4%

sobre o que resta a pagar. Antnio

pagou R$700,00 ao final do primeiro ms

e R$1.680,00 ao final do segundo; se

Antnio decidir quitar a dvida ao final do

terceiro ms, ter de pagar a seguinte

quantia:

a) R$3.500,00

b) R$3.721,00

c) R$3.898,00

d) R$3.972,00

e) R$3.120,00

08. (CESPE) Se o capital for igual a 2/3 do

montante e o prazo de aplicao for de

2 anos, qual ser a taxa de juros simples

considerada?

a) 1,04% a.m.

ANOTAES:



b) 16,67% a.m.

c) 25% a.m.

d) 16,67% a.a.

e) 25% a.a.

09. (CESPE) Um consumidor desejava comprar um computador em determinada

loja, mas no dispunha da quantia necessria ao pagamento do preo vista,

que era de R$ 1.400. Por isso, o vendedor aceitou que o consumidor desse um

valor qualquer de entrada, no momento da compra, e pagasse o restante em

uma nica parcela, no prazo mximo de seis meses, a contar da data da compra,

com juros mensais iguais a 4% ao ms, sob o regime de juros simples. Exatamente

cinco meses aps a compra, o consumidor pagou a parcela restante, no valor de

R$ 660,00. Nessa situao, correto concluir que o valor da entrada paga pelo

consumidor foi igual a

a) R$ 280.

b) R$ 475.

c) R$ 740.

d) R$ 850.

e) R$ 1.120.



10. (FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$10.000,00 taxa de juros

simples de 2% ao ms. Decorridos 2

meses, outra pessoa aplica R$8.000,00

taxa de juros simples de 4% ao ms.

Determine quantos meses depois da

primeira aplicao o montante referente

ao valor aplicado pela primeira pessoa

ser igual ao montante referente ao valor

aplicado pela segunda pessoa.

a) 22

b) 20

c) 24

d) 26

e) 18

11. (FCC) Num mesmo dia, so aplicados

a juros simples: 2/5 de um capital a 2,5%

ao ms e o restante, a 18% ao ano. Se,

decorridos 2 anos e 8 meses da

aplicao, obtm-se um juro total de R$ 7

600,00, o capital inicial era

a) R$ 12 500,00

b) R$ 12 750,00

c) R$ 14 000,00

d) R$ 14 500,00

e) R$ 14 750,00

12. (FCC) Determinado capital aplicado a

juros simples durante 18 meses rendeu R$

7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste

capital fosse aplicado a juros simples com

a mesma taxa anterior, geraria, ao final

de dois anos, o montante de R$ 40.000,00.

O valor do capital aplicado na primeira

situao foi:

a) R$ 24.000,00

ANOTAES:



b) R$ 20.800,00

c) R$ 15.200,00

d) R$ 12.500,00

e) R$ 10.400,00

GABARITO

01. E 02. B 03. B 04. B 05. D

06. E 07. E 08. E 09. D 10. A

11. A 12. E



CAPTULO 03

JUROS COMPOSTOS

INTRODUO

Na capitalizao composta, o juro produzido no final de cada perodo

financeiro somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais

juros a render juros no perodo seguinte.

Quando estudamos juros simples, calculamos o montante produzido por R$

600,00, aplicados a 6% a.m., depois de 3 meses. Obtivemos um montante final de

R$ 708,00.

No entanto muito mais comum as aplicaes serem feitas a juros

compostos, ou seja, aps cada perodo de tempo, os juros so integrados ao

capital, passando tambm a render juros, como, por exemplo, nas cadernetas de

poupana.

Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos:

Aps o 1 perodo (ms), o montante ser:

1,06 . R$ 600,00 = R$ 636,00


1,06 . R$ 636,00 = R$ 674,16


1,06 . R$ 674,16 = R$ 714, 61

Esse o montante final, representado por M. Observe que esse montante maior

do que o achado anteriormente, quando utilizamos juros simples.

Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma frmula para o

clculo de juros compostos.



Sejam:

finaltemonM

tempodeperodosdenmerot

tempodeperodoportaxai

inicialcapitalC

tan

%

Ento:

aps o 1 perodo (ms), o montante ser:

M1 = C + i.C M1 = C.(1 + i);


M2 = M1+ i.M1 M2 = M1.(1 + i)

M2 = C(1 + i).(1 + i) M2 = C.(1 + i)2.


M3 = M2 + i.M2 M3 = M2.(1 + i)

M3 = C(1 + i)2.(1 + i) M3 = C.(1 + i)3.

Procedendo de modo anlogo, fcil concluir que, aps t perodos de

tempo, o valor Mt, que indicaremos simplesmente por M, ser:

Assim, resolvendo novamente o problema dado, temos:

M = 600.(1+6%)3

Olhando na tabela 1, temos (1+6%)3 = 1,1910, logo

M = C.(1 + i)t



M = 600.1,1910

ento

M = 714,60

Para determinar os juros produzidos, basta calcular a diferena entre o montante

produzido e o capital.

No exemplo dado, teremos:

J = 714,60 600

Portanto

J = 114,60

J = M C

extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A

tabela I, por exemplo, diz respeito capitalizao composta, dando o fator de

acumulao (1+i)t.

Portanto, voc no precisa calcular o valor de (1+5%)10, basta olhar o resultado na linha

10 (perodo), coluna 5% (taxa) e encontrar 1,6289.

LINK:

Na frmula para o clculo do Montante aparecem quatro variveis: M, C, i e t. Podemos

encontrar qualquer uma delas, desde que se conheam as outras trs.

LINK:



LEITURA NA TABELA

extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos

anexos. A tabela 1, por exemplo, diz respeito capitalizao composta, dando o

fator de acumulao (1+i)n.

Portanto, voc no precisa calcular o valor de (1+6%)9, basta olhar nessa

tabela o resultado na linha 9 (perodo) associada coluna 6% (taxa), para

encontrar 1,6895 (como visto na figura).

TABELA 1 FATOR DE ACUMULAO DE CAPITAL NICO

1,6895



t1

C

M

t

MONTANTE

M1

M2

t2 PERODO

MONTANTE PARA PERODOS NO-INTEIROS

Para calcular o montante em juros composto em que o perodo no seja um

nmero inteiro de perodos a que se refere taxa considerada. Isto decorre do

fato de que estamos considerando capitalizaes descontnuas, ou seja, os juros

supem-se formados apenas no fim de cada perodo de capitalizao. Devemos,

portanto, considerar hipteses adicionais para resolver o problema.

Dessa forma, podemos utilizar dois mtodos: conveno exponencial (valor

real) ou conveno linear (valor aproximado).

CONVENO EXPONENCIAL

aquela em que os juros do perodo no-inteiro so calculados utilizando-se

a taxa equivalente. Ou seja, se a taxa for anual e o perodo for dado em anos e

meses, devemos trabalhar com a taxa mensal equivalente e o perodo em meses.

CONVENO LINEAR

aquela em que os juros do perodo no-inteiro so calculados por

interpolao. Ou seja, deve-se calcular os montantes no perodo anterior e

posterior ao perodo no-inteiro, considerando um crescimento linear entre eles.

t1

C

M

t

MONTANTE

M1

M2

t2 PERODO



EXEMPLOS

01. Um capital de R$800 aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos,

com taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicao

SOLUO:

Dado:

meses12ano1t

.m.a%5i

00,800$RC

?M

Sendo

M = C.(1 + i)t

ento

M = 800.(1+5%)12

Pela tabela 1, temos:

M = 800.1,796 = 1436,8

Dessa forma, o juros ser

J = M C

J = 1436,8 800

J = 636,8

Portanto o montante final ser de R$ 1.436,80 e o rendimento de R$ 636,80.

MESMA UNIDADE DE TEMPO



EXERCCIOS

01. (ACEP) Ftima aplicou R$ 1.000,00 a

uma taxa de juros compostos de 10% ao

ms e por um prazo de 1 trimestre. Tendo

sido as capitalizaes mensais, qual ser

o valor do resgate?

a) R$ 1.331,00

b) R$ 1.300,00

c) R$ 331,00

d) R$ 300,00

e) R$ 1.000,00

02. (FCC) Um capital de R$ 2.000,00 foi

aplicado taxa de 3% ao ms durante 3

meses. Os montantes correspondentes

obtidos segundo capitalizao simples e

composta, respectivamente, valem

a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45.

b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00.

c) R$ 2.185,45 e R$ 2.485,45.

d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00.

03. (CESGRANRIO) Milena tem dois

pagamentos a realizar. O primeiro de

R$ 1.100,00 daqui a dois meses e o

segundo de R$ 1.210,00 daqui a trs

meses. Milena pretende juntar essas duas

dvidas em uma s, com vencimento

daqui a quatro meses. A taxa de juros

corrente de 10% ao ms. Qual o valor a

ser pago?

a) R$ 2.310,00

b) R$ 2.600,00

c) R$ 3.074,61

d) R$ 3.003,00

ANOTAES:



e) R$ 2.662,00

04. (FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, taxa

de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicao foi aplicado a juros

compostos, taxa de 3% ao ms, por um bimestre. O total de juros obtido nessas

duas aplicaes foi

a) R$ 149, 09

b) R$ 125,10

c) R$ 65,24

d) R$ 62,55

e) R$ 62,16

05. A caixa beneficente de uma entidade rende, a cada ms, 10% sobre o saldo

do ms anterior. Se, no incio de um ms, o saldo era x, e considerando-se que no

haja retiradas, depois de 4 meses o saldo ser de:

a) (11/10)4.x

b) (11/10)3.x

c) x + (11/10)4.x

d) x + (11/10).x

e) x + 40%.x



06. Carol investiu R$3.000,00 em um

fundo de longo prazo, que rende

cumulativamente 4% a.m. Quanto ela ir

resgatar dois anos depois? Dado:

(26/25)24 = 2,563

a) 9.760,00

b) 8.310,00

c) 7.689,00

d) 6.970,00

07. Determine o valor mais prximo da

aplicao que 14 meses mais tarde gera

um montante de R$2.000,00, quando

submetido a uma taxa mensal composta

de 5%. (Use 1,05-14 = 0,505)

a) R$ 1.010,00

b) R$ 1.100,00

c) R$ 1.210,00

d) R$ 1.320,00

08. (FCC) O capital que quadruplica em

2 meses, ao se utilizar de capitalizao

composta, deve estar vinculado a uma

taxa mensal de

a) 50%

b) 100%

c) 150%

d) 200%

09. Quantos meses so necessrios para

que um capital triplique, se for submetido

a uma taxa de juros compostos de

13%a.m.?

ANOTAES:



a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

10. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$5.000,00, em regime de

juros compostos e taxa de 6%a.t., para gerar um montante de R$7.518,00?

a) 7 anos

b) 2 anos e 1 ms

c) 1 ano e 9 meses

d) 1 ano e 3 meses

11. (ESAF) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de

9% ao trimestre aumenta 100%.

a) 14

b) 12

c) 10

d) 8

e) 6

12. Uma aplicao de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa

mensal composta de juros dessa operao?

a) 2%

b) 4%

c) 6%

d) 8%

GABARITO

01. A 02. A 03. E 04. D 05. A 06. C

07. A 08. B 09. A 10. C 11. D 12. C



CAPTULO 04

MDIAS

Prazo, taxa e capital mdio so aqueles que substituem diversas aplicaes

financeiras por uma nica. muito utilizado em operaes de desconto de ttulos

quando precisamos saber o prazo mdio do desconto, ou a taxa mdia (ou nica)

ou, ainda, o capital mdio.

Esse assunto vem sendo cobrado em muitos concursos pblicos, com

destaque para provas da Esaf. Observe a teoria e os exerccios resolvidos para

perceber a diferena entre cada uma das mdias.

TAXA MDIA

Quando vrios capitais so aplicados a taxas diferentes e em perodos

distintos, podemos encontrar atravs de mdia ponderada a taxa mdia em que

esses capitais podero ser aplicados produzindo os mesmos montantes.

nn

nnnM

tCtCtC

tiCtiCtiCi

......

.........

2211

222111

PRAZO MDIO


distintos, podemos encontrar atravs de mdia ponderada o prazo mdia em que

esses capitais podero ser aplicados produzindo os mesmos montantes.



nn

nnnM

iCiCiC

tiCtiCtiCt

......

.........

2211

222111

CAPITAL MDIO


distintos, podemos encontrar atravs de mdia ponderada o capital mdio.

nn

nnnM

tititi

tiCtiCtiCC

......

.........

2211

222111

EXERCCIOS

01. Determine a taxa mdia dos capitais C1 = 3000 e C2 = 4000, aplicados

respectivamente por 6 e 8 meses e sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m..

a) 3,92% a.m.

b) 3,42% a.m.

c) 2,84% a.m.

d) 2,36% a.m.

02. Determine o capital mdio de duas aplicaes C1 = 3000 e C2 = 4000, com

respectivos prazos de 6 e 8 meses e sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m..

a) 2976,23

b) 3176,32

c) 3769,23

d) 3976,32

03. Determine o prazo mdio que devem ser aplicados os capitais C1 = 3000 e C2 =

4000, sob taxas distintas de 2% a.m. e 5% a.m. e aplicados respectivamente por 6 e

8 meses.



a) 7,89 meses

b) 7,53 meses

c) 6,78 meses

d) 6,42 meses

04. (ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetrias so aplicados a juros

simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%,

respectivamente. Calcule a taxa mensal mdia de aplicao destes capitais.

a) 2,5%

b) 3%

c) 3,5%

d) 4%

e) 4,5%

05. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 so aplicados

taxa de 4% ao ms, juros simples, durante dois, trs, quatro e seis meses,

respectivamente. Obtenha o prazo mdio de aplicao destes capitais.

a) quatro meses

b) quatro meses e cinco dias

c) trs meses e vinte e dois dias

d) dois meses e vinte dias

e) oito meses

06. (ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 so

aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 6%, 4%, 3% e

1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao destes

capitais.

a) 2,9%

b) 3%

c) 3,138%

d) 3,25%



e) 3,5%

07. (ESAF) Trs capitais so aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital

de R$ 3.000,00 aplicado taxa de 3% ao ms, o capital de R$ 2.000,00

aplicado a 4% ao ms e o capital de R$ 5.000,00 aplicado a 2% ao ms.

Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao desses capitais.

a) 3%

b) 2,7%

c) 2,5%

d) 2,4%

e) 2%

GABARITO

01. A 02. C 03. B 04. C 05. A 06. E 07. B

CAPTULO 05

DESCONTOS

DESCONTO SIMPLES

Os ttulos de crdito, tais como Nota Promissria, Duplicata, Letra de

Cmbio, so instrumentos legais com todas as garantias jurdicas que podem ser

negociados com uma instituio de crdito, gerando uma operao ativa, que

consiste na transferncia de direito atravs de endosso, em troca do seu valor

nominal ou de face, menos os juros proporcionais taxa, vezes o tempo

compreendido entre a data da emisso at o vencimento do ttulo.

Atualmente, no apenas os Bancos, mas empresas especializadas efetuam

essas operaes, que chamaremos de DESCONTO.

Temos os seguinte tipos de descontos:



Comercial (Por Fora)

Racional (Por Dentro)

Bancrio

NOMENCLATURA

VALOR NOMINAL ou de FACE (N)

Quantia declarada no ttulo, o valor pelo qual foi emitido.

DESCONTO (D)

Valor obtido pela diferena entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um

compromisso, quando quitado n perodos antes do vencimento.

TEMPO (t ou n)

Prazo compreendido entre a data da operao (desconto) e a data do

vencimento. Os dias sero contados excluindose o dia da operao e

incluindose a data do vencimento.

TAXA (i)

Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem)

unidades, num determinado perodo, ou seja, o percentual de juros.

VALOR ATUAL ou ATUAL (A)

a diferena entre o Valor Nominal e o Desconto. Tambm pode ser chamado de

valor descontado, que nada mais do que o valor recebido na operao de

desconto.

DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)



O calculo efetuado sobre o valor nominal do ttulo, de forma semelhante

ao calculo dos juros simples.

Sendo

A Valor Atual (Valor com desconto)

D Desconto (Valor a ser descontado)

N Valor Nominal (Valor de face e sem desconto)

Onde N = A + D.

Podemos ainda dizer que na frmula dos juros simples J = C.i.t, o capital

pode ser substitudo por N e os juros por DC, ento temos:

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)

Nesse caso o calculo feito sobre o valor lquido ou atual.

Sendo

1..1

N

ti

D

ti

A

ti

N

ti

DA

.1.1

DC = N.i.t A = N DC



A Valor Atual (Valor com desconto)

D Desconto (Valor a ser descontado)

N Valor Nominal (Valor de face e sem desconto)

Observe que sempre N = A + D.

Podemos ainda dizer que na frmula dos juros simples J = C.i.t, o capital

pode ser substitudo por A e os juros por DR, ento temos:

DR = A.i.t A = N DR

LINK: COMERCIAL (DC) x RACIONAL (DR)



EXERCCIOS

01. Um cheque de R$ 800,00 com data para 120 dias foi trocado em uma

Factoring. Quanto ser o valor atual recebido se a operadora cobrar uma taxa

simples de 60% a.a. e seguir o desconto comercial?

a) R$ 600,00

b) R$ 640,00

c) R$ 700,00

d) R$ 720,00

02. Leonardo resgatou uma nota promissria 5 meses antes do seu vencimento e

por isso teve desconto de R$100,00. Sabendo que a taxa usada foi de 4%a.m. e o

desconto foi comercial, determine o valor dessa NP.

a) R$ 500,00

b) R$ 600,00

c) R$ 800,00

d) R$ 1.000,00

03. Ncolas descontou antecipadamente, em uma financeira, um cheque com

data para 3 meses mais tarde e por isso a financeira descontou R$96,00 de seu

valor. Sabendo que a taxa efetiva usada foi de 4%a.m.. Determine o valor desse

cheque.

a) R$ 800,00

b) R$ 896,00

c) R$ 946,00

d) R$ 1.000,00

04. (ESAF) Um valor de R$1.100,00 deve ser descontado racionalmente, um

bimestre antes do vencimento. Determine o valor atual recebido na operao,

sabendo que a taxa mensal utilizada foi de 60%.

a) 440



b) 500

c) 550

d) 1000

05. A loja Alfa Mveis, vende uma mesa por R$ 600,00 em quatro parcelas mensais

e iguais. O pagamento feito com quatro cheques no valor de R$ 150,00 cada,

sendo o primeiro para 30 dias e os outros com datas para os meses subsequentes.

Para receber o dinheiro antecipado, a loja recorre a uma financeira, que

desconta comercialmente todos os cheques a uma taxa simples de 10% a.m..

Quanto receber o comerciante?

a) R$ 450,00

b) R$ 510,00

c) R$ 540,00

d) R$ 360,00

06. Uma loja de informtica vendeu um equipamento por R$ 514,80 e recebeu 3

cheques no valor de R$ 171,60 para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Para

receber o dinheiro antecipado, recorreu a uma financeira e descontou-os

antecipadamente a uma taxa simples de 10% a.m.. Se a financeira utilizar o

desconto por dentro, quanto receber o comerciante?

a) R$ 431,00

b) R$ 411,00

c) R$ 380,00

d) R$ 206,00

07. Em uma loja o comerciante pode vender os produtos de duas formas: a vista,

dando um desconto comercial de x%, ou sem desconto e a prazo, recebendo um

cheque para 60 dias. Sabendo que esse cheque ser negociado em uma

Factoring com desconto racional de 25% para o mesmo perodo, determine o

valor de x para que a escolha da opo seja indiferente para o comerciante.

a) 15

b) 18

c) 20

d) 25



(ESAF) Um cheque pr-datado adquirido com um desconto comercial de 20%

por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule

a taxa de desconto mensal da operao considerando um desconto simples por

dentro.

a) 6,25%.

b) 6%.

c) 4%.

d) 5%.

e) 5,5%.

08. Um ttulo pblico de R$10.000,00 descontado 3 semestres antes do

vencimento, com taxa efetiva de 50%a.s.. Qual seria a taxa semestral, se o

desconto fosse comercial?

a) 60%

b) 40%

c) 20%

d) 10%

09. Um desconto comercial simples de 25% a.m. dado a uma duplicata trs

meses antes do vencimento. Se o desconto tivesse sido racional, para se obter o

mesmo valor atual um trimestre antes, qual teria sido a taxa mensal na operao?

a) 25%

b) 75%

c) 100%

d) 300%

10. (ESAF) A uma taxa de juros de 25% ao perodo, uma quantia de 1000 no fim do

perodo t, mais uma quantia de 2000 no fim do perodo t+2, juntos so

equivalentes, no fim do perodo t+1, a uma quantia de:

a) $ 4062,50

b) $ 3525,00

c) $ 2850,00



d) $ 3250,00

11. (CESGRANRIO) Uma duplicata no valor de R$13.000,00 deve ser descontada

um ano antes do vencimento, com taxa de 30% a.a.. Determine a diferena entre

D d, onde D o valor do desconto caso seja comercial e d o valor do desconto caso seja racional.

a) 500

c) 600

c) 800

d) 900

GABARITO

01. B 02. A 03. B 04. B 05. A 06. A

07. C 08. A 09. C 10. C 11. C 12. D



CAPTULO 06

TIPOS DE TAXAS

TAXAS PROPORCIONAIS

Duas ou mais taxas so ditas proporcionais, quando ao serem aplicadas a

um mesmo capital, durante um mesmo perodo de tempo, produzem um mesmo

montante no final do prazo, em regimes de juros simples.

126321

ASTBM iiiii ou 3601809060301

ASTBMD iiiiii

EXEMPLO:

1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a.

2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a.

24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m.

TAXAS EQUIVALENTES

Duas ou mais taxas so equivalentes quando ao serem aplicadas a um

mesmo capital, em regime de juros compostos, capitalizados em prazos diferentes,

durante um mesmo perodo de tempo, produzem um mesmo montante no final do

perodo.

Assim duas ou mais taxas so equivalentes se, e somente se:

36012421 )1()1()1()1()1( dmtsa iCiCiCiCiC

Portanto

3601242 )1()1()1()1()1( dmtsa iiiii



De maneira geral temos:

I taxa do perodo maior.

i taxa do perodo menor.

n numero de vezes que o perodo maior contm o menor.

Podemos escrever que ento:

)1()1( Ii n

n li 11

Logo

11 n li

EXEMPLO:

Qual a taxa bimestral equivalente 2% a.m.?

SOLUO:

Observando a tabela I, temos:

(1+2%)2 = 1,0404 = 1 + 4,04%

Portanto, 2% a.m equivalente a 4,04% a.b.

EXEMPLO:

Qual a taxa anual equivalente 5% a.b.?

SOLUO:

Observando a tabela I, temos:

(1+5%)6 = 1,34 = 1 + 34%



Portanto, 5% a.b equivalente a 34% a.a.

EXEMPLO:

Qual a taxa mensal equivalente 42,58% a.a.?

SOLUO:

Do enunciado temos:

(1 + iM)12 = (1 + 42,58%)1

Ou seja,

(1 + iM)12 = 1,4258

Observando a tabela I, na linha n = 12 temos uma taxa de 3%.

Portanto, 42,58% a.a. equivalente a 3% a.m.

EXEMPLO:

Qual a taxa mensal equivalente a 60% a.a.?

SOLUO:

Do enunciado temos:

(1 + iM)12 = (1 + 60%)1

Ou seja,

(1 + iM)12 = 1,60

Observando a tabela I, na linha n = 12 temos 1,60 para uma taxa de 4%.

Portanto, 60% a.a. equivalente a 4% a.m.

TAXA NOMINAL

A unidade de referncia de seu tempo no coincide com a

unidade de tempo dos perodos de capitalizao, geralmente a n

ii NOMINALEFETIVA



Taxa Nominal fornecida em tempos anuais, e os perodos de capitalizao

podem ser mensais, trimestrais ou qualquer outro perodo, inferior ao da taxa.

EXEMPLOS:

12% a.a. capitalizamos mensalmente.

20% a.a. capitalizamos semestralmente.

15% a.a. capitalizamos trimestralmente.

EXEMPLO:

36% a.a. capitalizados mensalmente (Taxa Nominal).

..%312

..%36ma

meses

aa (Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal)

A Taxa Nominal bastante difundida e usada na conversao do mercado financeiro, entretanto o seu valor nunca usado nos clculos por no representar uma Taxa Efetiva. O que nos interessar ser a Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal, pois ela que ser efetivamente aplicada em cada perodo de capitalizao.

LINK:



TAXA EFETIVA

aquela em que a unidade de referncia de seu tempo coincide com a

unidade de tempo dos perodos de capitalizao.

EXEMPLO:

15% a.a. capitalizados anualmente.

5% a.s. capitalizados semestralmente.

3% a.m. capitalizados mensalmente.

EXEMPLO:

Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. capitalizado

mensalmente?

SOLUO:

Seja

iN = 60% a.a. (cap. mens.)

Como taxa nominal anual e a capitalizao mensal, a taxa efetiva obedece a

seguinte proporo

112

EFN ii 1

i

12

%60 EF

Logo

Nestes casos, costumase simplesmente dizer: 15% a.a., 3% a.m., 5% a.s., omitindose o perodo da capitalizao.

LINK:



iEF = 5% a.m. (cap. mens.)

Ento

(1 + iA)1 = (1 + 5%)12


1 + iA = 1,796

Portanto

iA = 0,796 = 79,6% a.a.

EXEMPLO:

Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa nominal de 24% a.s. capitalizado

mensalmente?

SOLUO:

Seja

iN = 24% a.s. (cap. mens.)

Como taxa nominal semestral e a capitalizao mensal, a taxa efetiva

obedece a seguinte proporo

1

i

6

i EFN 1

i

6

%24 EF

Logo

iEF = 4% a.m. (cap. mens.)



Ento

(1 + iS)1 = (1 + 4%)6


1 + iS = 1,265

Portanto

IS = 0,265 = 26,5% a.s.

EXEMPLO:

Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 42% a.a. capital.

bimestralmente?

SOLUO:

Seja

iN = 42% a.a. (cap. bim.)

Como taxa nominal anual e a capitalizao mensal, a taxa efetiva obedece a

seguinte proporo

1

i

6

i EFN 1

i

6

%42 EF

Logo

iEF = 7% a.b. (cap. bim.)

Ento



(1 + iA)1 = (1 + 7%)6


1 + iA = 1,50

Portanto

iA = 0,50 = 50% a.a.



(1+iA) = (1+iR)(1+iINF)

TAXA REAL E APARENTE

Em uma situao em que a inflao for levada em considerao, a taxa i

aplicada sobre um capital aparente, pois o montante produzido no ter o

mesmo poder aquisitivo.

Entenda que se em um certo perodo aplicarmos um capital C taxa de

juros iA, obteremos o montante:

M = C.(1 + iA)

Se no mesmo perodo a inflao foi iINF, o capital C para manter seu poder

aquisitivo deve ser corrigido pela inflao, gerando um montante inflacionado:

MINF = C.(1 + iINF)

Dessa forma, MINF e C correspondem ao mesmo poder aquisitivo em

momentos distintos: um afetado pela inflao e outro no.

Portanto, chamaremos de taxa real de juros iR a taxa que leva o valor MINF

ao valor M e de taxa aparente de juros iA a taxa que leva C ao valor M.

CLCULO DA TAXA REAL

Ora, C(1+iR) o montante, no final de um perodo, considerando uma

economia sem inflao, taxa real de juros iR. C(1+iINF) o montante

considerando apenas a inflao e C(1+iR)(1+iINF) o montante considerando o

juros reais e a inflao.

Como o montante gerado por uma taxa aparente iA, divulgada pelo

mercado financeiro, produz o mesmo montante gerado pelas taxas de inflao iINF

e real iR aplicadas uma sob a outra, temos:

C.(1+iA) = C.(1+iR)(1+iINF)

logo



ou ento

1i1

i1i

INF

AR

Onde

iR taxa real

iA taxa aparente

iINF taxa de inflao

EXEMPLOS

EXEMPLO:

Um capital foi aplicado por um ano taxa de juros nominal de 21% ao ano. No

mesmo perodo a inflao foi de 11%. Qual a taxa real de juros?

SOLUO:

Temos que

(1+iA) = (1+iR)(1+iINF)

Ento

(1 + 21%) = (1 + iR).(1 + 11%)

1,21 = (1 + iR).1,11

1 + iR = 11,1

21,1

iR = 0,09

iR = 9%

EXEMPLO:



Um ano atrs um televisor 20 custava R$ 1000,00 e hoje a loja cobra R$ 1260,00

pelo mesmo produto. Sabendo que nesse mesmo perodo a inflao foi de 20%,

determine a taxa real de aumento sofrida pelo televisor.

SOLUO:

O aumento de R$260, representa 26% de R$1000, portanto essa a taxa aparente.

Sendo

(1 + iA) = (1 + iR)(1 + iINF)

Ento

(1 + 26%) = (1 + iR)(1 + 20%)

1,26 = (1 + iR).1,20

1 + iR = 1,26/1,20

iR = 1,05 1

iR = 5%

Portanto a loja aumentou aparentemente 26%, mas na verdade ela subiu o preo

5% acima da inflao.

iAPARENTE = 26%

iREAL = 5% iINFLAO = 20%

R$ 1.200,00

R$ 1.000,00 R$ 1.260,00



EXERCCIOS

01. Qual a taxa anual aparente de um investimento, se a retabilidade real foi de 40%a.a. e a inflao do perodo foi de 20%? a) 30%

b) 52%

c) 60%

d) 68%

02. A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um perodo de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no perodo foi de 100 %, qual foi a inflao medida no mesmo perodo?

a) 100% ao perodo

b) 200% ao perodo

c) 300% ao perodo

d) 400% ao perodo

03. Sabendo-se que o rendimento anual em caderneta de poupana em um determinado pas subdesenvolvido no ano passado foi de 230%, e que a sua taxa de inflao no perodo foi de 200%, determine o ganho real de um aplicador. a) 10% a.a.

b) 11% a.a.

c) 12% a.a.

d) 13% a.a.

04. Um banco deseja auferir 2% ao ms de juros reais (compostos) sobre determinada aplicao. Qual deve ser a taxa aparente de juros para o perodo de um ano se a inflao esperada neste perodo for de 18%? a) 40,9%

b) 42,0%

c) 45,9%

d) 49,6%

05. Se um banco deseja auferir 2% ao ms de juros reais (simples) sobre determinada aplicao. Qual deve ser a taxa nominal aparente de juros para o perodo de um ano se a inflao esperada neste perodo for de 18%? a) 40,9%



b) 42,0%

c) 45,9%

d) 49,6%

06. (CESGRANRIO) Trs aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um nico aumento trimestral de:

a) 0,9%

b) 90%

c) 190%

d) 219,7%

e) 119,7%

07. Qual a taxa quadrimestral equivalente a 8% a.m.?

a) 32% a.q.

b) 34% a.q.

c) 36% a.q.

d) 38% a.q.

08. Se em um financiamento est escrito que a taxa de juros nominal anual de 30%, com capitalizao bimestral, ento a taxa de juros anual equivalente ser: a) 0,76 + 1

b) 0,056 1

c) 1,056 1

d) 1+0,056

09. (CESGRANRIO) Um capital aplicado com taxa anual de 10%, se o investidor resgatar um semestre aps a data da aplicao, ento a taxa equivalente para esse perodo:

a) dever ser de 5% a.s.

b) dever ser maior que 5% a.s.

c) dever ser menor que 5% a.s.

d) dever ser maior que 10% a.s.



e) depender do valor do capital

10. Uma aplicao financeira paga juros composto de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual a taxa de juros trimestral efetiva de aplicao. a) 7%

b) 6%

c) 5%

d) 7,5%

11. Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalizao mensal. a) 21,3%

b) 24,0%

c) 26,8%

d) 32,4%

12. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s. capitalizados mensalmente. a) 40% a.q.

b) 46,41% a.q.

c) 51,54% a.q.

d) 69,65% a.q.

13. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s. capitalizados bimestralmente.

a) 48%

b) 44%

c) 40%

d) 36%

e) 32%

14. Qual a Taxa Efetiva trimestral equivalente a uma Taxa Nominal de 36% a.a. capitalizados mensalmente?



a) 8,27% a.t.

b) 9,27% a.t.

c) 10,27% a.t.

d) 11,27% a.t.

15. (ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros

de 60 % ao ano com capitalizao semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia

uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalizao mensal. Assim, os valores

mais prximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B so,

respectivamente, iguais a:

a) 69 % e 60 %

b) 60 % e 60 %

c) 69 % e 79 %

d) 60 % e 69 %

e) 120 % e 60 %

16. A taxa nominal de 120% ao ano, com capitalizao trimestral equivalente a:

a) 10% ao ms

b) 30% ao trimestre

c) 58% ao semestre

d) 185,6% ao ano

e) 244% ao ano

GABARITO

01. D 02. C 03. A 04. D 05. B

06. E 07. C 08. C 09. C 10. A

11. C 12. B 13. B 14. C 15. D



CAPTULO 07

DESCONTO COMPOSTO

Os descontos compostos funcionam da mesma forma que as capitalizaes,

podendo ser usadas as mesma frmulas, onde o valor descontado (D)

corresponde aos juros (J) do perodo (t), enquanto o valor nominal (N) e o valor

atual (A), correspondero ao montante (M) e ao capital (C), dependendo do tipo

de desconto.

Da mesma forma que o desconto simples, o desconto composto pode

ocorrer de duas formas: desconto racional e desconto comercial. importante

salientar que na grande maioria dos casos os descontos compostos so racionais,

portanto quando no estiver descriminado fica implicito o uso desse tipo de

desconto.

DESCONTO COMPOSTO RACIONAL

Sabemos que quando o desconto dito racional, devemos calular o

desconto em ralao ao valor atual, logo o valor nominal (N) corresponder ao

montante (M) e o valor atual (A) corresponder ao capital (C), assim como em

uma capitalizao, portanto:

t

iAN 1.

Dessa forma, podemos dizer que o valor atual (A) equivalente ao valor

nominal (N) em perodos diferentes, assim como representado no fluxo.

Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) exatamente o

juro que o valor atual (A) deveria produzir nesse perodo, logo

0 1 2 3 t ...

N A



AND

DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL

No caso do desconto comercial, devemos calular o desconto em ralao

ao valor nominal (N), logo este corresponder ao capital (C) e o valor atual (A)

corresponder ao montante (M), que ser sempre menor que o valor nominal. Se

for usada a frmula da capaitalizao a taxa de juros (i) deve ser negativa, mas a

forma prtica substituir (i) positiva na seguinte equao:

t

iNA 1.

0 1 2 3 t ...

N A

LINK:

Na maioria dos casos dado o valor nominal, a taxa e o

perodo para ser encontrado o valor atual (A



Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) exatamente a

deflao calculada sobre ele, logo

AND

EQUIVALNCIA DE CAPITAL

Dizemos que dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, so

ditos equivalentes quando transportados para uma mesma data, anterior ou

posterior, a uma mesma data de juros, produzem nessa data, valores iguais.

Para melhor representar as entradas e sadas de capitais, envolvidas nos

problemas, faremos um esquema grfico utilizando setas para cima e para baixo

ao longo de um eixo horizontal que representa o tempo. O sentido das setas

convencionado. No exemplo abaixo, se $100, $50 e $200 representam entradas,

ento $150 deve representar uma sada.

Quando esse conjunto de capitais transportado para a data final do fluxo

de caixa, dizemos que existe um capital nico que equivalente a todos eles

denominado de Valor Futuro.

niVPVF 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

100 50

200

150

meses

0 1 2 3 n ...

VF VP



Quando esse conjunto de capitais transportado para a data inicial do

fluxo de caixa, dizemos que existe um capital nico que equivalente a todos eles

denominado de Valor Presente ou Valor Atual.

niVFVP

1

1.

comum usar essa equivalncia de capitais para se fazer anlise

comparativa entre dois ou mais fluxos diferentes. Observe que

independentemente da data escolhida para os transportes de capital, a

equivalncia ser verificada.

EXEMPLO:

(ESAF) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$50.000,00 em dois

bancos diferentes. Um parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, a taxa de 3%

a.m.. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B, a taxa de 4% a.m.. Aps

um ano Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicaes eram

iguais. Deste modo, determine o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem

considerar os centavos.

SOLUO:

Do enunciado temos os montantes:

BANCO A (i = 3%a.m.)

MA = x.(1+3%)12

e

BANCO B (i = 4%a.m.)

MA = (50000x).(1+4%)12

Como MA = MB, temos:

0 1 2 3 n ...

VF VP



x.(1+3%)12 = (50000x).(1+4%)12

De acordo com a TABELA I, temos:

(1+3%)12 = 1,425760

(1+4%)12 = 1,601032

Ou seja,

x.1,425760 = (50000x).1,601032

0,8905256.x = 50000 x

1,8905256.x = 50000

Logo,

x = 26447,7

Portanto os valores aplicados so

BANCO A 26447,7

BANCO B 23552,3

EXERCCIOS

01. Trs cheques iguais no valor de R$1.000,00 devem ser descontados

comercialmente, a uma taxa composta de 10% para cada perodo. Determine o

valor atual desses cheques, segundo o fluxo abaixo.

a) R$ 2.700,00

b) R$ 2.514,00

c) R$ 2.439,00

d) R$ 2.300,00

0 1 2 3

1000 1000 1000



02. Determine o valor atual de trs cheques no valor de R$1.331,00, se forem

descontados racionalmente, a uma taxa composta de 10% para cada perodo,

segundo o fluxo a seguir.

a) R$ 3.993,00

b) R$ 3.630,00

c) R$ 3.310,00

d) R$ 3.000,00

0 1 2 3

1331 1331 1331



03. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 55.500,00, 60 dias antes do

vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o

banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o lquido recebido pela empresa

foi de (desprezar os centavos no resultado final):

OBS.:

(1,84)1/3 = 1,23

(1,84)1/4 = 1,17

(1,84)1/6 = 1,11

a) $ 42.930

b) $ 44.074

c) $ 45.122

d) $ 47.435

e) $ 50.000

04. (CESGRANRIO) Um ttulo de valor nominal R$24.200,00 ser descontado dois

meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao ms.

Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto

racional composto. A diferena D d, em reais, vale a) 399,00

b) 398,00

c) 397,00

d) 396,00

e) 395,00

05. Pedro quer fazer uma aplicao de R$ 5.000,00 em um dos trs bancos em que

ele opera. Cada um deles oferece uma forma de retorno diferente, representadas

nos fluxos abaixo.

3000

0 1 2 3

2000

1000

2000

0 1 2 3

2000 2000

3000

0 1 2 3

2000

1000

BANCO A

5000 5000 5000

BANCO B BANCO C



Dessa forma, Pedro verificou que, para ele:

a) o Banco A mais vantajoso

b) o Banco B mais vantajoso

c) o Banco C mais vantajoso

d) todos so igualmente vantajosos

06. (ESAF) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para

resoluo da questo seguinte. Os valores constantes desta tabela ocorrem no

final dos meses ali indicados.

TABELA DE FLUXOS DE CAIXA:

Fluxos J F M A M J J A

UM 1000 1000 500 500 500 500 250 50

DOIS 1000 500 500 500 500 500 500 300

TRS 1000 1000 1000 500 500 100 150 50

QUATRO 1000 1000 800 600 400 200 200 100

CINCO 1000 1000 800 400 400 400 200 100

Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4% a.m. O fluxo de caixa, da

tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no ms zero) :

a) Fluxo Um

b) Fluxo Dois

c) Fluxo Trs

d) Fluxo Quatro

e) Fluxo Cinco

GABARITO

01. C 02. C 03. E 04. B 05. A 06. C



CAPTULO 08

RENDAS CERTAS

Nas aplicaes financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma s

vez ou atravs de uma sucesso de pagamentos ou de recebimentos.

Quando o objetivo constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um

processo de capitalizao. Caso contrrio, quando se quer pagar uma dvida,

tem-se o processo de amortizao.

Pode ocorrer tambm o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem

que haja amortizao, que o caso dos aluguis.

Estes exemplos caracterizam a existncia de rendas ou anuidades, que

podem ser, basicamente de dois tipos:

RENDAS CERTAS: so aquelas cuja durao e pagamentos ou recebimentos

so prefixados. Os diversos parmetros, como o valor dos termos, prazo de

durao, taxa de juros, etc, so fixos e imutveis.

Exemplo: compra a prestao

RENDAS ALEATRIAS: os valores e/ou as datas de pagamento ou de

recebimento podem ser variveis aleatrias.

Exemplo: seguro de vida.

Vamos estudar as rendas certas que so, simultaneamente: temporrias,

peridicas e imediatas (postecipadas ou antecipadas) e as diferidas.

Nos casos mais comuns e que vamos estudar, as rendas podem ser:

Temporrias: quando a durao for limitada



Constantes: se todos os termos so iguais.

Peridicas: se todos os perodos so iguais.

Imediatas: quando os termos so exigveis a partir do 1 perodo. Elas podem ser:

Postecipadas: se os termos so exigveis no fim dos perodos.

Antecipadas: se os termos so exigveis no incio dos perodos.

Diferidas: se os termos forem exigveis a partir de uma data que no seja o 1

perodo. Elas tambm podem ser postecipadas ou antecipadas.

Podemos ento tratar as rendas certas como uma seqncia uniforme de

capitais. Estudaremos a seguir cada um dos casos separadamente:

VP (valor presente) de uma sequncia uniforme postecipada.

VP (valor presente) de uma sequncia uniforme antecipada.

VF (valor futuro) de uma sequncia uniforme postecipada.

VF (valor futuro) de uma sequncia uniforme antecipada.



SEQUNCIAS UNIFORMES DE CAPITAIS

VALOR PRESENTE DE UMA SEQUNCIA UNIFORME POSTECIPADA

Quando uma srie de pagamentos (P ou PMT), ou parcelas, for feita no final

de cada perodo, ser denominada de postecipada. Trazendo todos os P para a

data inicial teremos:

ni

P

i

P

i

P

i

PVP

)1(...

)1()1()1( 22

Nesse caso, o valor presente (VP) ser a soma dessa progresso geomtrica

(P.G.), dada por 1

)1.(1

q

qaS

n

n , onde o primeiro termo a1 = )1( i

P

e a razo q =

)1(

1

i. Substiuindo esses dados, temos:

n

n

ii

iPVP

1.

11. , ou simplesmente inaPVP . .

O fator de valor atual ani (a n cantoneira i) est na tabela 3.

Se desejar encontrar a parcela (P) em funo do valor presente (VP),

teremos:

111.

.

n

n

i

iiVPP , ou simplesmente

inaVPP

1. .

0 1 2 3 n ...

P P P P



O fator de recuperao do capital 1/ani est na tabela 4.

EXEMPLO:

Uma televiso foi comprada no carn em 4 prestaes mensais iguais de R$ 300,00

cada, sem entrada, iniciando a primeira parcela um ms aps a compra.

Sabendo que para esse tipo de transao a loja trabalha com juros compostos de

9% a.m., determine qual deve ser o preo a vista dessa TV.

SOLUO:

O preo a vista da TV o valor presente dessa srie, portanto:

VP = P.a49%

Onde P = 300 e pela tabela III vemos que a49% = 3,2397, ento

VP = 300.3,2397

VP = 971,91

Portanto o valor a vista da TV R$ 971,91.

VALOR PRESENTE DE UMA SEQUNCIA UNIFORME ANTECIPADA

Quando uma srie de pagamentos (P ou PMT) for feita no incio de cada

perodo, ser denominada de antecipada. Trazendo todos os P para a data inicial

teremos:

12 )1(...

)1()1(

ni

P

i

P

i

PPVP

0 1 2 3 n1 ...

P P P P

n

P



Observe que nesse caso, basta somar P que est no incio da srie com o

valor presente da sequncia postecipada que comea no 1 e termina em n-1.

Dessa forma teremos:

inaPPVP 1.

VALOR FUTURO DE UMA SEQUNCIA UNIFORME POSTECIPADA

Quando uma srie de pagamentos (P ou PMT), ou depsitos, for feita no final

de cada perodo, ser denominada de postecipada. Trazendo todos os P para a

data final teremos:

VF = P + P(1+i) + P(1+i)2 +...+ P(1+i)n-1

Nesse caso, o valor futuro (VF) ser a soma dessa progresso geomtrica

(P.G.), dada por 1

)1.(1

q

qaS

n

n , onde o primeiro termo a1 = P e a razo q = (1 +

i). Substiuindo esses dados, temos:

i

iPVF

n11

.

, ou simplesmente insPVF .

O fator de acumulao de capital sni (s n cantoneira i) est na tabela 5.

Um fato interessante que o valor futuro dessa srie de pagamentos um

capital equivalente ao valor presente, dessa mesma srie, na data final do

perodo, portanto podemos dizer que:

0 1 2 3 n ...

P P P P



niVPVF )1.(

Por esta razo, temos:

ninin ias )1.(

EXEMPLO:

Uma pessoa resolveu poupar mensalmente R$400,00, pretendendo fazer uma

viagem de frias, aplicando no final de cada ms em um fundo que paga 24%

a.a. capitalizado mensalmente. Ao final de um ano, quanto ele ter guardado?

SOLUO:

A taxa de 24%a.a, dada no problema, nominal. Portanto, a taxa efetiva de 2%

a.m.

O montante acumulado ao final de uma ano (n=12) o valor futuro dessa srie,

portanto:

VF = P.s122%

Onde P = 400 e pela tabela 5 temos que s122% = 13,4121, ento

VF = 400.13,4121

VF = 5364,84

Portanto, o valor acumulado de R$ 5.264,84.

VALOR FUTURO DE UMA SEQUNCIA UNIFORME ANTECIPADA

Quando uma srie de pagamentos (P ou PMT), ou depsitos, for feita no

incio de cada perodo, ser denominada de antecipada. Trazendo todos os P

para a data final teremos:



VF = P(1+i) + P(1+i)2 +...+ P(1+i)n

Essa srie equivalente a uma sequncia postecipada com n+1 depsitos,

menos o depsito R da data final. Dessa forma teremos:

PsPVF in 1.

0 1 2 3 n1 ...

P P P P

n

P



EXERCCIOS

01. Uma dvida foi financiada em doze parcelas mensais de R$ 500,00, sendo a

primeira para 30 dias. Determine o valor atual da dvida, sabendo que a taxa

utilizada foi de 4% a.m.. (Use 1,0412 = 1,6)

a) R$ 4.687,50

b) R$ 5.250,00

c) R$ 6.000,00

d) R$ 7.000,00

e) R$ 7.500,00

02. O cliente de um banco acerta com o gerente uma poupana programada,

onde sero aplicados automaticamente doze parcelas mensais de R$ 500,00,

sendo a primeira para 30 dias. Determine o valor futuro do saldo dessa aplicao

na data do ultimo depsito, sabendo que a taxa utilizada foi de 4% a.m.. (Use

1,0412 = 1,6)

a) R$ 4.687,50

b) R$ 5.250,00

c) R$ 6.000,00

d) R$ 7.000,00

e) R$ 7.500,00

03. Leonardo comprou uma moto em seis parcelas de R$600,00, sendo a primeira

no ato da compra e as demais a cada 30 dias. Determine o valor vista dessa

moto, sabendo que a taxa utilizada pela financeira foi de 3% a.m.

a) 3348,00

b) 3250,00

c) 3124,00

d) 3012,00



04. Qual o valor futuro da srie de quatro depsitos antecipados mensais e iguais

no valor de R$1.000,00 cada, um ms aps o ltimo deposito, se aplicado a uma

taxa composta de 10% a.m.?

a) 4.000,00

b) 4.400,00

c) 5.105,10

d) 5.612,30

05. (ACEP) Uma famlia comprou uma geladeira nova, a prazo, em prestaes

iguais, com juros. Assinale a alternativa CORRETA.

a) para um mesmo valor de prestao, o valor presente das prestaes diminui

quando a taxa de juros aumenta.

b) no momento da compra, o valor presente da ltima prestao igual ao valor

presente da primeira prestao.

c) o valor das prestaes ser maior se for dado um sinal no momento da compra.

d) o valor das prestaes no depende da taxa de juros.

e) o valor das prestaes no depende da quantidade de parcelas.

06. (CESGRANRIO) Uma srie de 10 anuidades de R$ 100 mil pode ser usada para

amortizar um determinado financiamento. Sabendo que a taxa de juros oferecida para

financiamento de 1,25% a.m., pode-se afirmar que o preo justo para pagamento

vista :

a) maior que R$ 1mi

b) R$1,1 mi

c) maior que R$ 1mi e menor que R$ 1,1 mi

d) R$ 1 mi

e) menor que R$ 1 mi

07. Quando Carol foi comprar um televisor de R$ 1.600,00, o vendedor informou

que a loja estava parcelando em 8 vezes sem entrada e supostamente sem juros,

ou seja, parcelas mensais de R$200,00. Ela ento ofereceu R$ 1.400,00 vista e

em espcie. Se a loja aceitar essa proposta, significa que estar cobrando



indiretamente juros no parcelamento mensal, logo o valor da taxa de juros

embutida na operao a prazo de:

a) 1%

b) 2%

c) 3%

d) 4%

08. Raquel comprou um carro de R$ 20.000,00 dando 40% de entrada e

financiando o restante em 18 parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira em

30 dias. Sabendo que a taxa utilizada pela financeira foi de 3%, determine o valor

de cada uma das prestaes.

a) 872,50

b) 782,50

c) 978,20

d) 587,20

09. Hoje Felipe foi ao banco retirar a quantia que vinha juntando nos ltimos 2 anos.

Ele efetuou 24 depsitos mensais e iguais, todos no valor de R$400,00, de forma

antecipada, at o ms anterior a data da retirada, em um fundo especial que lhe

rendia 4% ao ms. Qual a quantia resgatada 24 meses aps o primeiro depsito?

a) 16.257,00

b) 15.632,00

c) 14.456,00

d) 13.365,00

10. (ACEP) Em uma loja, um certo computador est a venda por 10 parcelas

mensais de R$ 300,00, sem entrada, podendo tambm ser pago em 5 parcelas

bimestrais de R$ 615,00, sem entrada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?

a) 3% ao ms

b) 4% ao ms

c) 5% ao ms

d) 6% ao ms



e) 7% ao ms

GABARITO

01. A 02. E 03. A 04. C 05. A

06. E 07. C 08. A 09. A 10. C



CAPTULO 09

PLANOS DE AMORTIZAO

No Brasil so adotados vrios esquemas de financiamento. Quando

contramos uma dvida, devemos sald-la por meio de pagamentos do principal e

dos juros contratados. Veremos os tipos mais usado, que so: Sistema Price

(Francs), Sistema de Amortizao Constante (SAC), Sistema de Amortizao

Crescente (SACRE) e Sistema de Amortizao Misto (SAM).

SISTEMA FRANCS

Caracterizase pelo fato de o muturio pagar a dvida, periodicamente, por

meio de prestaes constantes. O Sistema Price um caso particular do Sistema

Francs quando as parcelas so mensais.

A parcela (P) dada em funo do valor atual (A) que foi emprestado ou

financiado, do nmero de parcelas (n) e da taxa de juros (i), de acordo com a

frmula

P = A.

111.

n

n

i

ii,

ou simplesmente

P = A.ina

1.

Lembrando que ani o fator de valor atual de uma srie de pagamentos

encontrado na tabela III.



Inicialmente paga-se muito juro e amortiza-se pouco.

Com o decorrer dos perodos, vai-se pagando menos

juros e, conseqentemente, amortizando-se mais o

principal.

EXEMPLO:

Um emprstimo de R$ 1.000,00 concedido para ser pago pelo sistema Francs

de Amortizao em 5 prestaes mensais, taxa de 10% a.m. Calcule o valor de

cada prestao e monte a planilha terica do financiamento.

SOLUO:

No plano Price (sistema francs com prestaes mensais), para encontrar a

prestao deve ser seguido o mesmo procedimento usado nas sries de

pagamento uniformes.

VP = P . ani

Onde

VP o capital (C) emprestado

P a prestao

ani o fator de valor atual

Ento pela frmula temos:

P = C. ina

1

1)1(

)1.(.

n

n

i

iiCP =

1%)101(

%)101%.(10.1000

5

5

LINK:



Pela tabela 4, encontramos o fator de recuperao de capital %105

1

a = 0,264,

logo

P = 1000 . 0,264 = 264

MONTAGEM DA PLANILHA TERICA DO FINANCIAMENTO

N PREST. JUROS AMORTIZAO SALDO DEVEDOR

0 1000,00

1 264 10%.1000 = 100 264 100 = 164 1000 164 = 836

2 264 10%.836 84 264 84 = 180 836 180 = 656

3 264 10%.656 66 264 66 = 198 656 198 = 458

4 264 10%.458 46 264 46 = 218 458 218 = 240

5 264 10%.240 = 24 264 24 = 240 240 240 = 0

SISTEMA SAC

No Sistema de Amortizao Constante a dvida tambm paga por meio

de prestaes peridicas que englobam juros e amortizao, no entanto,

0 1 2 3 4 5

1000

264 264



0 1 2 3 4 5

1000

300 280

260 240

220

caracterizase pelo fato de o muturio pagar prestaes decrescentes de valor,

com amortizaes iguais como o prprio nome diz.

EXEMPLO:

Uma dvida de R$ 1.000,00 vai ser paga pelo sistema SAC em 5 prestaes mensais,

taxa de 10% a.m. Calcule o valor de cada prestao e monte a planilha terica

do financiamento.

SOLUO:

No plano SAC o valor amortizado sempre o mesmo, logo temos

n

CA 200

5

1000A

Ento no clculo do valor de cada prestao deve ser feito cada ms, somando

o valor amortizado (A) ao juro produzido em relao ao saldo devedor do ms

anterior.


A amortizao do saldo devedor constante e

prestao decresce. Os juros tambm so cobrados

sobre o saldo devedor.

LINK:



n PREST. JUROS AMORTIZA

O

SALDO DEVEDOR

0 1000

1

300

10%.1000 =

100 200 1000 200 = 800

2 280 10%.800 = 80 200 800 200 = 600

3 260 10%.600 = 60 200 600 200 = 400

4 240 10%.400 = 40 200 400 200 = 200

5 220 10%.200 = 20 200 200 200 = 0

SISTEMA SAM

O Sistema de Amortizao Mista a mdia aritmtica do Sistema Price e do

SAC. A ttulo de exemplo, construiremos a planilha de financiamento dado no

Sistema Price e SAC.

EXEMPLO:

Uma dvida de R$ 1.000,00 vai ser paga pelo sistema SAM em 5 prestaes

mensais, taxa de 10% a.m.. Calcule o valor de cada prestao e monte a

planilha terica do financiamento.

SOLUO:

Assim como no plano SAC, as prestaes no plano SAM tambm so calculadas

todos os meses, pois a cada ms deve ser feito uma mdia das prestaes obtidas

nos planos PRICE e SAC, ento a prestao do primeiro ms ser

P = 2

300264 = 282



0 1 2 3 4 5

1000

282 272

262 252

242

Ento fica claro que devem ser usados os dados obtidos nos exemplos anteriores.


n PREST. JUROS AMORTIZAO SALDO DEVEDOR

0 1000

1

(264 + 300)/2 = 282

10%.1000 =

100 282 100 = 182 1000 182 = 818

2 (264 + 280)/2 = 272 10%.818 = 82 272 82 = 190 818 190 = 628

3 (264 + 260)/2 = 262 10%.628 = 63 262 63 = 199 628 199 = 429

4 (264 + 240)/2 = 252 10%.429 = 43 252 43 = 209 429 209 = 220

5 (264 + 220)/2 = 242 10%.220 = 22 242 22 = 220 220 220 = 0



COMPARAO ENTRE OS PLANOS

SALDO DEVEDOR:

Em todos os planos de amortizao o saldo devedor diminui a cada

pagamento, uma vez que deve existir amortizao em todos os perodos,

caso contrrio no seria um plano de amortizao.

JUROS:

Os juros representam um percentual em cima do saldo devedor e por isso

tambm diminuem a cada pagamento em todos os planos.

PARACELAS:

Observe, no diagrama a seguir, que as parcelas do PRICE so constantes, do

SAC comea maior e termina menor que nos outros sistemas, enquanto no

SAM tem sempre valor intermedirio em relao aos outros planos.

AMORTIZAO:

No plano PRICE a amortizao crescente, pois enquanto a parcela (P)

constante, os juros (J) caem a cada perodo, portanto essa diferena (P J)

vai aumentando. No plano SAC, como j de se esperar, a amortizao

constante. Por fim, no plano SAM tudo a mdia entre os outros dois planos,

o que por consequncia faz com que a amortizao seja crescente.



EXERCCIOS

01. (ACEP) Qual das alternativas abaixo, em relao ao Sistema de Prestaes

Constantes em pagamento de emprstimos, est CORRETA?

a) O saldo devedor tem comportamento linearmente decrescente.

b) Os juros pagos tm comportamento linearmente decrescente.

c) As amortizaes tm comportamento crescente.

d) Todas as amortizaes tm o mesmo valor.

e) As amortizaes tm comportamento decrescente.

02. (CESGRANRIO) Para a construo de um galpo, para instalao de uma

indstria, foi feito um emprstimo no valor de R$10 mil, de forma a ser pago em 20

parcelas mensais e utilizando-se taxa mensal composta de 8%. Para amortizar a

dvida, se for utilizado o sistema PRICE, as parcelas ficaro em torno de R$1.018,50.

Dessa forma, comparando a parcela no PRICE com as parcelas no Sistema de

Amortizao Constante (SAC) e no Sistema de Amortizao Misto (SAM), podemos

afirmar que:

a) No SAC os juros pagos na primeira prestao so maiores

b) No SAM os juros pagos na primeira prestao so menores

c) No SAC a primeira prestao seria menor

d) No SAC a primeira prestao seria maior

e) No SAM a primeira prestao seria menor

03. Uma dvida de R$ 4.000,00 dever ser quitada em 10 parcelas mensais e iguais,

com taxa de 5% a.m., vencendo a 1 em 30 dias. Determine o da 1 parcela.

a) R$ 628,00

b) R$ 582,00

c) R$ 518,00

d) R$ 480,00

e) R$ 400,00




com taxa de 5% a.m., vencendo a 1 em 30 dias. Determine o saldo devedor

imediatamente aps o pagamento da 1 parcela.

a) R$ 1.295,00

b) R$ 3.482,00

c) R$ 3.518,00

d) R$ 3.682,00

e) R$ 3.612,00


com taxa de 5% a.m., vencendo a 1 em 30 dias. Determine o saldo devedor

imediatamente aps o pagamento da 6 parcela.

a) R$ 2.072,00

b) R$ 1.836,83

c) R$ 1.722,00

d) R$ 1.688,12

e) R$ 1.600,00

06. Atravs do sistema SAC, uma dvida de R$ 4.000,00 dever ser quitada em 10

parcelas decrescentes, com taxa de 5% a.m., vencendo a 1 em 30 dias.

Determine valor da 1 parcela.

a) R$ 180,00

b) R$ 400,00

c) R$ 518,00

d) R$ 580,00

e) R$ 600,00





Determine valor dos juros pagos na 2 parcela.

a) R$ 180,00

b) R$ 400,00

c) R$ 518,00

d) R$ 580,00

e) R$ 600,00



Determine valor da 2 parcela.

a) R$ 180,00

b) R$ 400,00

c) R$ 518,00

d) R$ 580,00

e) R$ 600,00



Determine saldo devedor imediatamente aps o pagamento da 2 parcela.

a) R$ 3.600,00

b) R$ 3.200,00

c) R$ 2.800,00

d) R$ 2.400,00

e) R$ 2.000,00





Determine

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