PEF2303_AulaLajes

Universidade de São PauloUniversidade de São PauloEscola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia CivilPEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas

e Fundaçõese Fundações

PEF 2303ESTRUTURAS DE CONCRETO I

Lajes Retangulares Maciças

Professores: Túlio N. Bittencourt João Carlos Della Bella Januário Pellegrino NetoFrancisco Paulo Graziano

PEF 2303 PEF 2303 –– ConcretoConcreto II

Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes ____________________________________________________

Definição

Os elementos estruturais planos (com duas dimensões predominantes, isto é, bidimensionais) sujeitos a cargas transversais a seu plano são chamados genericamente de placas. As placas de concreto armado são denominadas de lajes. Normalmente, elas tem forma retangular e são maciças, resultando daí a denominação laje retangular maciça.

Os apoios das lajes são, geralmente, constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes é feito, de maneira simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade entre lajes contíguas. No detalhamento das armaduras são tomados cuidados especiais para “cobrir”o monolitismo existente nas ligações entre a laje e as suas vigas de apoio.



Classificação

1. lajes armadas em uma direção:

Fig. 1.1 - Laje isolada armada em uma direção

V

V1 P1 P2

P P4

lx B B

A

A ly

flecha a

Fig. 1.2 - Laje contínua armada em uma direção

lx1 lx2 lx3



Continuação

1. lajes armadas em uma direção:

Fig. 1.3 - Laje muito alongada

flecha a

C

lx D

C

ly ≥ 2 lx

D



Continuação

2. lajes armadas em duas direções:

Fig. 2.1 - Laje armada em duas direções ou em cruz

flecha a

C

lx D

C

ly ≤ 2 lx

D



Lajes armadas em uma Direção

1. Esforços Solicitantes – Laje isolada

mx = p lx2 / 8 my = ν mx vx = p lx /2

p

m

v

lx

mx




2. Esforços Solicitantes – Laje em balanço m’x = p lx

2 / 2 vx = p lx + P

p

m

v

lx

P

m

v

m’x

Pplv

Plplm

xx

xx

x

+=

+=′2

2




3. Esforços Solicitantes – Lajes contínuas

p1 p2

lx1 lx2

mx mx2

m’x

v

A faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga contínua.




1. DimensionamentoConforme a figura, tem-se: dx = h - c - φx / 2 dy = h - c - φx - φy / 2 onde

c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR-6118)

φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my . Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se adotar aproximadamente: dx ≅ h - c - 1,5 cm dy ≅ h - c - 2 cm

hφy φx c

dy dx

dydx

100 cm

Asy

Asx




md = γf m = 1,4 m

b = 100 cm

h d 0,8x

md

0,85fcd

Rcd

Rsd

0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md ⇒

Resulta:

x dmbd f

d

cd

= − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 25 1 10 425 2,,

Am

f d xsd

yd=

−( , )0 4



Lajes armadas em uma DireçãoCostuma-se impor a armadura mínima usual de flexão para o momento fletor principal mx: ρx ≥ 0,67.0,15% de acordo com a tabela 17.3 da NBR 6118/2003 onde

h100A

bhA sxsx

x ⋅==ρ (em unidades: cm2 e cm).

Nos apoios de engastamento ou de continuidade de lajes (m’x) deve-se verificar, também, a taxa mínima que é igual a 0,15%. Para o momento fletor secundário my recomenda-se adotar Asy ≥ 0,2 Asx ou ρy ≥ 0,5 ρmin com o mínimo de 0,9 cm2 / m, onde



Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas

Elementos estruturais com armadura ativa aderente

Elementos estruturais com armadura ativa não aderente

Armaduras negativasρs ≥ ρmin ρs ≥ ρmin– ρp ≥ 0,67 ρmin

ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,67 ρmin(ver 19.3.3.2 da NBR 6118)

Armaduras positivas de lajes armadas nas

duas direçõesρs ≥ 0,67 ρmin ρs ≥ 0,67 ρmin– ρp ≥ 0,5 ρmin ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,5 ρmin

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma

direção

ρs ≥ ρmin ρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,5 ρmin ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,5 ρmin

Armadura positiva (secundária) de lajes

armadas em uma direção

As/s ≥ 20 % da armadura principalAs/s ≥ 0,9 cm2/m

ρs ≥ 0,5 ρmin

-

Onde: ρs = As/bw h e ρp = Ap/bw h NOTA - Os valores de ρmin constam da tabela 17.3 da NBR 6118/2003



Valores de ρmin1) (As,min/Ac) %

Forma da seção20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,2881) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin

deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado.NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

fckωmin



Lajes armadas em uma DireçãoEscolha das barras Bitolas comerciais

φ = diâmetro nominal da barra em mm As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2 m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m

φ(mm) As1(cm2) m1(kg/m) 2 G(cm) 4 0,125 0,1 8 5 0,2 0,16 9

6,3 0,315 0,25 12 8 0,5 0,4 15 10 0,8 0,63 18

12,5 1,25 1,0 23

100 cm

h

s s




A escolha da bitola x espaçamento (φ x s) é feita para as bitolas comerciais com as seguintes recomendações: φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 smin = 8 cm ≤ s ≤ smax = 20 cm Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um décimo da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a concretagem da laje e, o espaçamento máximo, visa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos cálculos.




Detalhamento das armaduras

• As armaduras obtidas para os momentos de vão são estendidas de apoio a apoio da laje;

• As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje são estendidas de modo à“cobrir” o diagrama de momento fletor negativo; uma extensão de lx/4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa finalidade;

• Nas bordas da laje costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) com extensão lx/5, visando controlar uma fissuração proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-se considerar ρmin=0,15%



Lajes armadas em uma DireçãoVerificação ao Cisalhamento

VSd ≤ VRd1

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwdonde:τRd = 0,25 fctd

fctd = fctk,inf / γc

ρ1 = As1/bw.d , não maior que ⏐0,02⏐

σcp = NSd / Ac




k é um coeficiente que tem os seguintes valores:- para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = ⏐1⏐;

- para os demais casos: k = ⏐1,6 – d⎪, não menor que ⏐1⏐, com d em metros;onde:fctk,,inf = 0,7 fct,m

fct,m = 0,3 fck2/3

As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além da seção considerada;bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;

NSd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva).




O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

onde:α1 = 1,0 para barras sem gancho;α1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3 φ;

min,,

,, A

Ab

efs

calcsb1necb lll ≥α=




η1 = 1,0 para barras lisas;η1 = 1,4 para barras;η1 = 2,25 para barras nervuradas;η2 = 1,0 para situações de boa aderência;η2 = 0,7 para situações de má aderência;η3 = 1,0 para φ < 32 mm;η3 = (132 - φ)/100 , para φ > 32 mm; onde:φ é o diâmetro da barra, em milímetros.

é calculado por:

Onde: fbd = η1 η2 η3 fctd

é o maior valor entre 0,3 , 10 φ e 100 mm.

Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário.

bl

min,bl

bd

ydb 4 f

fφ=l

bl


Exemplo e Detalhamento

4 m 4 m 4 m

4 mL1 L2 L3

mx1 mx2 mx3

m’x23=-11 kN.m/m

6,96 kN.m/m11 kN.m/m

fck =25 MPaCA50Acl = 1,5 cmcv = 2,0 cmh = 10 cm (todas as lajes)g = 3,5 kN/m2

q = 2,0 kN/m2

vigas de bw = 12 cm



Laje L1 Momento Fletor Principal:

mx = p lx2 / 8 = 5,5⋅42 / 8 = 11,0 kN.m/m

b = 100 cm ; d = dx ≅ h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cmmd = γf mx = 1,4⋅11,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m

cmfbd

mdxcd

d 73,14,1/5,28100425,0

154011825,1425,0

1125,1 22 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

mcmxdf

mAyd

ds /85,4

)73,14,08(48,431540

)4,0(2=

⋅−⋅=

−=

As > Asmin = ρx,min b h = 0,0015⋅100⋅10 = 1,5 cm2/m



Laje L1 bitola x espaçamento

φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5mmsmin = 8 cm ≤ s ≤ 20 cm

φ (mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)

6,3 0,315 15,5 7 < smin

8 0,5 9,7 1010 0,8 6,0 17



Laje L1 Momento Fletor Secundário:my = ν mx = 0,2⋅11,0 = 2,2 kN.m/mb = 100 cm ; d = dy ≅ h - c - 1,0 = 10 - 1,5 - 1,0 = 7,5 cmmd = γf mx = 1,4⋅2,2 = 3,08 kN.m/m = 308 kN.cm/m

cm

fbdmdx

cd

d

34,04,1/5,25,7100425,0

308115,725,1

425,01125,1

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−−⋅⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

mcmxdf

mAyd

ds /96,0

)34,04,05,7(48,43308

)4,0(2=

⋅−⋅=

−=

As > Asmin = = 4,85⋅0,2 = 0,97 cm2/mAs/s ≥ 20 % da armadura principalAs/s ≥ 0,9 cm2/mρs ≥ 0,5 ρmin



Laje L1 bitola x espaçamento

φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mmsmin = 8 cm ≤ s ≤ 20


4 0,125 7,76 13

5 0,2 4,85 20

6,3 0,315 3,0 32



Lajes L2=L3 Momento Fletor Principal (mx):mx = 6,96 kN.m/mb = 100 cm ; d = dx ≅ h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cmmd = γf mx = 1,4⋅6,96 = 9,74 kN.m/m = 974 kN.cm/m

cmfbd

mdxcd

d 06,14,1/5,28100425,0

97411825,1425,0

1125,1 22 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

mcmxdf

mAyd

ds /96,2

)06,14,08(48,43974

)4,0(2=

⋅−⋅=

−=




Lajes L2=L3 bitola x espaçamento

φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mmsmin = 8 cm ≤ s ≤ 20 cm

φ (mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)6,3 0,315 9,4 11

8 0,5 5,92 17

10 0,8 3,7 27



Lajes L2=L3 Momento Fletor Principal (m’x23) no apoio interno:

mx = p lx2 / 8 = 5,5⋅42 / 8 = 11,0 kN.m/m

b = 100 cm ; d = dx ≅ h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cmmd = γf mx = 1,4⋅11,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m

cmfbd

mdxcd

d 73,14,1/5,28100425,0

154011825,1425,0

1125,1 22 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

mcmxdf

mAyd

ds /85,4

)73,14,08(48,431540

)4,0(2=

⋅−⋅=

−=




Lajes L2=L3 bitola x espaçamento

φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8 = 12,5 mmsmin = 8 cm ≤ s ≤ 20 cm


6,3 0,315 15,5 7 < smin

8 0,5 9,7 1010 0,8 6,0 17



Lajes L2=L3 Momento Fletor Secundário (my):my = ν . mx = 0,2. 6,96 kN.m/m = 1,39 kN.m/mb = 100 cm ; d = dy ≅ h - c – 1,0 = 10 - 1,5 – 1,0 = 7,5 cm

Pode-se adotar a mesma armadura obtida para a laje L1 (φ5c/20)


VSd ≤ VRd1


VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwdonde:τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa

fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa

fctk,inf = 0,7.fct,m = 0,7x 2,565 = 1,795 MPa

fct,m = 0,3.fck2/3 = 0,3x 252/3 = 2,565 MPa

ρ1 = Asx /bw.d = 5 /100 x 8,0 = 0,625% (não maior que 0,02)

k = ⏐1,6 – d⎪ [m] = 1,6 – 0,08 = 1,52

Verificação do Cisalhamento (Laje 1)



Exemplo e Detalhamentoonde:

Asx = 5 cm2 (considerando toda a armadura)

bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

σcp = NSd / Ac = 0

NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.

Assim,

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 x 1,52(1,2 + 40 x 0,00625)+ 0]100 x 8 =

VRd1 = 56,4 kN/m

VSd = px . γf = 5,5 x1,4 = 7,7 kN/mVRd1 = 56,4 > 7,7 = VSd

Não há a necessidade de estribos



Verificação da Flecha (Laje 1) (CQP)

Cálculo do Momento de Fissuração

Mr = (α.fct,m. Ic)/yt = (1,5 x 2565 x 8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m

α = 1,5 para seção retangular;

fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento

Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;

yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)

Como : Mr = 6,4 kN.m

Ma = 8,2 kN.mCalcula-se pela formula de Branson o EIeq para considerar a perda da rigidez na seção fissurada.




Cálculo do Momento Equivalente

EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)3] III]

Ec = 0,85 x5600.fck1/2 = 23,8 GPa ou 23,8 106 kN/m2;

III = é o momento de inércia da seção fissurada – ESTÁDIO II;

Calculando o xII para o ESTÁDIO II com αe = Es/Ec

xII = 0,0225 m

I IIb xII( )3⋅

3α e A s⋅ d xII−( )2⋅+

b xII2⋅( )

2A s α e⋅( ) d xII⋅( )⋅− 0

Temos:

III = 1,84.10-5 m4




Cálculo do Momento de Inércia Equivalente

Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente

EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)3] III] =

EIeq = 23,8.106[(6,4/8,2)3x 8,34.10-5 + [1-(6,4/8,2)3] 1,84.10-5 ] = 1173,43 kN m2

Flecha Imediata

Onde:α2 = 21,4 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,00);

p = g + ψ2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (ψ2 = 0,3 p/ edifícios

residenciais);

ai = (b.p.lx4) / 12.EIeq . α2 = (1x 4,1x 44) / 12 x 1173,43 x 21,4 = 0,0035 m



Flecha Diferida no Tempo

t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)

t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

Verificação da Flecha (Laje 1)

∆ξ = 2 - 0,6773 = 1,3227 Como:

ρ = 0 (não existe armadura negativa)

∆ξ ξ t( ) ξ t 0( )−:= para t ≤ 70 meses

ξ t 0( ) 0.68 0.996t 0( )⋅ t 0

0.32⋅:=

ξ t( ) 0.68 0.996t( )⋅ t0.32⋅:=

para t > 70 mesesξ = 2

α f∆ξ

1 50 ρ⋅+:= αf = 1,3227



Verificação da Flecha (Laje 1)


af = ai x αf = 0,0035 x 1,3227 = 0,0046 m

Flecha Total

aT = ai(1+ αf) = 0,0035(1 + 1,3227) = 0,00813 m



Abertura de Fissuras (Laje 1) (CF)7,5φ

7,5φ

7,5φ7,5φ

7,5φ7,5φ

c < 7,5φ

a(a < 15 φ)

Acr

Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;

Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada (φi);

φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);

σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;

η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 barras nervuradas)

≤

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 454..

.5,12 1

11

risi

si

Ew

ρσ

ηφ

ctmsi

si

fEw

..3.

.5,12

2

1

12

ση

φ=

w



Abertura de Fissuras (Laje 1)

7,5 φ

7,5 φ 7,5 φ

c = 1,5 cm

Acrit

2

s

dsi

cri

scri

kN/cm ,87260,8.8.5

8600,8.d.A

Mσ

,80%60,06873,8

5AAρ

===

====

2ctm

2si

2565kN/cm,0f

21000kN/cmE

=

=



mmw

w

038,0

45068,04

2100087,26

25,25,128

1

1

≅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

=

mmw

w

114,0

256,02100087,263

25,25,128

2

2

2

≅

××

×=

w = 0,038 mm < wklim (tab 13.3-NBR6118/2003)

w < 0,4 mm OK!


φ

φ

φ

φ

Não maior que 30 cm

Lx/5

Não maior que 25 φ

Exemplo e DetalhamentoLaje L1


Exemplo e DetalhamentoLajes L2=L3

φ

φ

φ

φ

φ φ

φ



cm m

CUnit CTot

1 6,3 80 104 83,2

2 8 39 214 83,5

3 8 85 424 360,4

4 5 60 406 243,6

5 5 26 400 104

Tipo φ n

178443,98

Peso (kg)Ctot (m)φ

255TOTAL

2183.26,3

56347,65 Taxa de consumo por m3:

255 kg / 4,7 m3 = 54,3 kg/m3



Lajes armadas em duas Direções lx = o menor vão teórico, ly = o maior vão teórico (ly ≥ lx). Normalmente, admitem-se as seguintes hipóteses simplificadoras:

• vigas rigidas à flexão; • apoios da laje sobre as vigas através de charneiras (rotação livre); • a continuidade de lajes vizinhas quando estiverem no mesmo nível.

B

A

C

α

lx ≤ ly

ly



Lajes armadas em duas Direções

mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly.

y

xy

x

xx

y

xy

x

xx

pmpmpmpmββαα

2222

;;; llll−=′−=′==

onde, as variáveis α e β estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros:

• tipo de carga (por exemplo, distribuida uniforme) • condições de apoio da laje (tipos de apoio) • relação (ly / lx).



Lajes armadas em duas DireçõesTipos de apoio usualmente empregados para o cálculo das lajes

lX

ly charneira

engaste 1 2A 2B 3

4A 4B 5A 5B 6



Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 1 - TIPO 1

Laje com as 4 bordas livremente apoiadas (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y βx βy

α 2

1,00 22,7 22,7 21,4 1,05 20,8 22,5 19,4 1,10 19,3 22,3 17,8 1,15 18,1 22,3 16,5 1,20 16,9 22,3 15,4 1,25 15,9 22,4 14,3 1,30 15,2 22,7 13,6 1,35 14,4 22,9 12,9 1,40 13,8 23,1 12,3 1,45 13,2 23,3 11,7 1,50 12,7 23,5 11,2 1,55 12,3 23,5 10,8 1,60 11,9 23,5 10,4 1,65 11,5 23,5 10,1 1,70 11,2 23,5 9,8 1,75 10,8 23,5 9,5 1,80 10,7 23,5 9,3 1,85 10,4 23,5 9,1 1,90 10,2 23,5 8,9 1,95 10,1 23,5 8,7 2,00 9,9 23,5 8,6 >2 8,0 23,5 6,7

mx

myly

lx



TABELA 2 - TIPO 2A Laje com 3 bordas livremente apoiadas e

uma borda menor engastada (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −mp

yx

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,



α 2

1,00 32,4 26,5 11,9 31,2 1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 2,00 10,8 24,0 8,2 9,4 >2 8,0 24,0 8,0 6,7

mx

myly

lx

m’y




Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 3 - TIPO 2B

Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda maior engastada

(carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,



α 2

1,00 26,5 32,4 11,9 31,2 1,05 25,7 33,3 11,3 29,2 1,10 24,4 33,9 10,9 27,4 1,15 23,3 34,5 10,5 26,0 1,20 22,3 34,9 10,2 24,8 1,25 21,4 35,2 9,9 23,8 1,30 20,7 35,4 9,7 22,9 1,35 20,1 37,8 9,4 22,1 1,40 19,7 39,9 9,3 21,5 1,45 19,2 41,1 9,1 20,9 1,50 18,8 42,5 9,0 20,4 1,55 18,3 42,5 8,9 20,0 1,60 17,8 42,5 8,8 19,6 1,65 17,5 42,5 8,7 19,3 1,70 17,2 42,5 8,6 19,0 1,75 17,0 42,5 8,5 18,7 1,80 16,8 42,5 8,4 18,5 1,85 16,5 42,5 8,3 18,3 1,90 16,4 42,5 8,3 18,1 1,95 16,3 42,5 8,3 18,0 2,00 16,2 42,5 8,3 17,8 >2 14,2 42,5 8,0 16,7

mx

myly

lx

m’x




Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e as outras duas livremente apoiadas

(carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

′ = −m

py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,



α 2

1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5 1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7 1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9 1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2 1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8 1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5 1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5 1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5 1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7 1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1 1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5 1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0 1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5 1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1 1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7 1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4 1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0 1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8 2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5 >2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7

mx

myly

lx

m’x

m’y



Lajes armadas em duas Direções TABELA 5 - TIPO 4A Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas

menores engastadas (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,


l ly x/ α x α y βx

βyα 2

1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 29,8 13,4 39,2 1,10 36,0 28,8 12,7 34,4 1,15 31,9 27,7 12,0 30,4 1,20 29,0 26,9 11,5 27,2 1,25 26,2 26,1 11,1 24,5 1,30 24,1 25,6 10,7 22,3 1,35 22,1 25,1 10,3 20,4 1,40 20,6 24,8 10,0 18,8 1,45 19,3 24,6 9,75 17,5 1,50 18,1 24,4 9,5 16,3 1,55 17,0 24,3 9,3 15,3 1,60 16,2 24,3 9,2 14,4 1,65 15,4 24,3 9,05 13,7 1,70 14,7 24,3 8,9 13,0 1,75 14,0 24,3 8,8 12,4 1,80 13,5 24,3 8,7 11,9 1,85 13,0 24,3 8,6 11,4 1,90 12,6 24,3 8,5 11,0 1,95 12,1 24,3 8,4 10,6 2,00 11,8 24,3 8,4 10,3 >2 8,0 24,3 8,0 6,7

mx

myly

lx

m’y

m’y




Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores livremente apoiadas (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,



βyα 2

1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 29,9 46,4 13,8 43,2 1,10 29,0 47,2 13,5 41,5 1,15 28,0 47,7 13,2 40,1 1,20 27,2 48,1 13,0 39,0 1,25 26,4 48,2 12,7 37,9 1,30 25,8 48,1 12,6 37,2 1,35 25,3 47,9 12,4 36,5 1,40 24,8 47,8 12,3 36,0 1,45 24,4 47,7 12,2 35,6 1,50 24,2 47,6 12,2 35,1 1,55 24,0 47,6 12,1 34,7 1,60 24,0 47,6 12,0 34,5 1,65 24,0 47,6 12,0 34,2 1,70 24,0 47,4 12,0 33,9 1,75 24,0 47,3 12,0 33,8 1,80 24,0 47,2 12,0 33,7 1,85 24,0 47,1 12,0 33,6 1,90 24,0 47,1 12,0 33,5 1,95 24,0 47,1 12,0 33,4 2,00 24,0 47,0 12,0 33,3 >2 24,0 47,0 12,0 32,0

mx

my

m’xly

lx

m’x



Lajes armadas em duas DireçõesTABELA 7 - TIPO 5A

Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e outra livremente apoiada

(carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m

px

x

x

l 2

β

′ = −m py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l 4

32α

ν = 0 2,


l ly x/ α x α y

βx βy α 2

1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7 1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8 1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7 1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7 1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1 1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6 1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5 1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5 1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6 1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8 1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1 1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5 1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0 1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5 1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1 1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7 2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3 >2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7

mx

myly

lx

m’y

m’y

m’x




Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e outra livremente apoiada

(carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

′ = −m py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,


l ly x/ α x α y

βx βy α 2

1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1 1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5 1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2 1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9 1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9 1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0 1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2 1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5 1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0 1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4 1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0 1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6 1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4 1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2 1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9 1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8 2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7 >2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0

mx

my

m’xly

lx

m’x

m’y




Laje com as 4 bordas engastadas (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m

px

x

x

l 2

β

′ = −m py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l 4

32α

ν = 0 2,



βy α 2

1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3 1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0 1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5 1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6 1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9 1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3 1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8 1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4 1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1 1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7 1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5 2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3 >2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0

mx

myly

lx

m’y

m’y

m’x m’x



Lajes armadas em duas DireçõesPara os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores moderados) pode ser aplicado o método simplificado exposto a seguir

a) lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, para cada uma delas, as seguintes condições de apoio:

• apoio livre, quando não existir laje vizinha junto a este apoio; • apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível

permitindo, assim, a continuidade da armadura negativa de flexão de uma laje para a outra;

• vigas rígidas de apoio da laje;

e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (mx, my, mx’ e my’).



Lajes armadas em duas Direçõesb) correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajesvizinhas:

• momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se para momento fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8 m>‘ e (m1’ + m2’) / 2, onde m1’ e m2’ são os valores absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado e, m>‘, o maior momento entre m1’ e m2’.

• momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podemser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas;portanto. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções,principalmente, quando acarretar aumento no valor do momentofletor. Para isso, existem tabelas apropriadas.




Dimensionamento a momento fletor a) altura útil Do mesmo modo que para as lajes armadas em uma direção, as alturas úteis são dadas por: dx = h - c - φx / 2 ; dy = h - c - φx - φy / 2 podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por dx ≅ h - c - 0,5 cm ; dy ≅ h - c - 1,0 cm



Lajes armadas em duas Direçõesb) cálculo de As md = (γf mx , γf my ou γf mx’) onde γf = 1,4 (kN.cm/m) d = (dx ou dy) (cm) As = (Asx ou Asy) (cm2 / m) b = 100 cm fcd = fck / γc (γc = 1,4) (kN/cm2) fyd = fyk / γs (γs = 1,15) (kN/cm2)

Para x ≤ x34 :⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

cd2

dfbd425,0

m11d25,1x




Armadura:

)x4,0d(f

mAyd

ds −

=

onde As = Asx para m = mx; As = Asy para m = my; As = As’ para m = m’



Lajes armadas em duas DireçõesArmaduras mínimas (tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/2003)

• armaduras de vão: As = (Asx ou Asy) ≥ 0,9 cm2/m e

bhAs

s =ρ

• armaduras sobre os apoios de continuidade: As’ ≥ 1,5 cm2/m

bhAs

s′

='ρ




Escolha das barras

• diâmetro: 4 mm ≤ φ ≤ h/8

• espaçamento entre as barras:

armadura nos vãos: As → ⎢⎣

⎡≤≤

hcm

scm220

8

armaduras nos apoios: As’ → cmscm 208 ≤≤



Regras usuais de arranjo das armaduras de lajes



Casos Particulares



Casos Particulares

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

→<

→≥

maiormenor

maiormenor

32

32

ll

ll



fck = 25 MPa Aço CA50Acl = 1,5 cm (cobrimento das lajes)q = 2,0 kN/m2 (carga acidental)h = 10 cmvigas: bw = 12 cmcv = 2,0 cm



peso próprio = 0,10⋅25 = 2,5 kN/m2

revestimento = 1,0g = 3,5 kN/m2 (carga permanente)q = 2,0 kN/m2 (carga acidental)p = g + q = 5,5 kN/m2 (carga total)

Laje Tipo lx ly p ly/lx αx αy -βx -βy mx my m’x m’y

L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 28,0 33,9 12,0 13,3 2,4 2,0 -5,6 -5,1

L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 32,0 47,1 14,2 17,6 2,1 1,4 -4,7 -3,8



Apoio m’esq m’dir 0,8m’> m’médio m’ij

L1-L2 m’y=-5,1 m’y=-5,1 -4,1 -5,1 m’12=-5,1

L1-L3 m’x=-5,6 m’x=-4,7 -4,5 -5,2 m’13=-5,2

L3-L4 m’y=-3,8 m’y=-3,8 -3,0 -3,8 m’34=-3,8

L3-L5 m’y=-4,7 m’x=-4,7 m’35=-4,7

Laje d (cm) m (kN.cm) md (kN.cm) x (cm) As (cm2) ρs % Asmin (cm2) Asf Escolha

8,0 mx=240 336 0,35 0,98 1,00

7,5 my=200 280 0,31 0,87 1,00

8,0 m’12=510 714 0,76 2,13 2,13 φ6,3 c/15

8,0 m’13=520 728 0,78 2,18 2,18 φ6.,3 c/16

mx=210 294 0,3 0,86 1,00

my=140 196 0,22 0,60 1,00

m’34=380 532 0,56 1,57 1,57 Φ5 c/12

m’35=470 658 0,70 1,96 1,96 φ6,3 c/160,15 1,508,0

8,0

φ5 c/200,10 1,008,07,5L3

(L4)

(L5)

0,15 1,50

φ5 c/20L1

(L2)

0,10 1,00


φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ φ




VSd ≤ VRd1


VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwdonde:τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa

fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa

fctk,inf = 0,7.fct,m = 0,7x 2,565 = 1,795 MPa

fct,m = 0,3.fck2/3 = 0,3 x252/3 = 2,565 MPa

ρ1 = Asx /bw.d = 1 /100 x 8,0 = 0,125% (não maior que 0,02)

k = ⏐1,6 – d⎪ [m] = 1,6 – 0,08 = 1,52

Lajes armadas em duas DireçõesVerificação ao Cisalhamento (Laje 1)



onde:

Asx = 1 cm2 (considerando toda a armadura)

bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

σcp = NSd / Ac = 0

NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.

Assim,

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 x 1,52(1,2 + 40 x 0,00125)+ 0]100 x 8 =

VRd1 = 48,64 kN/m

VSd = px . γf = 4,82 x 1,4 = 6,7 kN/mVRd1 = 48,64 > 6,7 = VSd

Não há a necessidade de estribos



Cálculo do Momento de Fissuração

Mr = (α.fct,m. Ic)/yt = (1,5 x 2565 x 8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m

α = 1,5 para seção retangular;fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento

Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;

yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)

Como : Mr = 6,4 kN.m

Ma = 1,79 kN.m

Não se faz necessário o cálculo da flecha em ESTÁDIO II.

Lajes armadas em duas DireçõesVerificação da Flecha (Laje 1) (CQP)



Flecha Imediata


Onde:α2 = 31,7 (laje tipo 3 com ly/lx = 1,15);

p = g + ψ2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (ψ2 = 0,3 p/ edifícios

residenciais);

ai = (b.p.lx4) / 12.EI0 . α2 = (1 x 4,1 x 3,54) / 12 x 1983,34 x 31,7 = 0,000815 m


t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)

t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)



∆ξ = 2 - 0,6773 = 1,3227

∆ξ ξ t( ) ξ t 0( )−:= para t ≤ 70 meses

ξ t 0( ) 0.68 0.996t 0( )⋅ t 0

0.32⋅:=

ξ t( ) 0.68 0.996t( )⋅ t0.32⋅:=

ξ(t) = 2 para t > 70 meses


Como:

ρ = 0 (não existe armadura negativa)

α f∆ξ

1 50 ρ⋅+:= αf = 1,3227



Lajes armadas em duas DireçõesVerificação da Flecha (Laje 1)


af = ai x αf = 0,000815 x 1,3227 = 0,0011m

Flecha Total

aT = ai.(1+ αf) = 0,000815(1 + 1,3227) = 0,00189 m



Lajes armadas em duas DireçõesAbertura de Fissuras (Laje 1) (CF)

7,5φ

7,5φ

7,5φ7,5φ

7,5φ7,5φ

c < 7,5φ

a(a < 15 φ)

Acr≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 454..

.5,12 1

11

risi

si

Ew

ρσ

ηφ

ctmsi

si

fEw

..3.

.5,12

2

1

12

ση

φ=

w

Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;

Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada (φi);

φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);

σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;

η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 barras nervuradas)



Lajes armadas em duas DireçõesAbertura de Fissuras (Laje 1)

2

s

dsi

cri

scri

kN/cm29,370,8.8.1

1880,8.d.A

Mσ

,54%20,025439,38

1AAρ

===

====

7,5 φ

7,5 φ 7,5 φ

c = 1,5 cm

Acrit

2ctm

2si

2565kN/cm,0f

m21.000kN/cE

=

=



Lajes armadas em duas DireçõesAbertura de Fissuras (Laje 1)

mmw

w

05,0

450254,04

000.2137,29

25,25,125

1

1

≅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

=

mmw

w

086,0256,0000.21

97,27325,25,12

5

2

2

2

≅×

××

=

w = 0,05 mm < wklim (tab 13.3-NBR6118/2003)

w < 0,4 mm OK!



Superfície de RupturaArm. de flexão

Pilar

. 25º a 30º

Punção é o Estado Limite Último determinado por cisalhamento no entorno de forças concentradas.



Punção

Ruptura ocorre na ligação da laje com o pilar.

Ruína de forma abrupta e frágil.

Para aumentar a resistência à punção da laje:

Aumentar a espessura das lajes na região do pilar;

Utilizar concreto de alta resistência;

Usar armadura de cisalhamento.



Dimensionamento de Lajes à Punção

Modelo de Cálculo

Verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas.

Na primeira superfície crítica, dada pelo perímetro C do pilar ou da carga concentrada

Na segunda superfície crítica, dada pelo perímetro C’, afastado 2d do pilar ou da carga concentrada

Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal.

A terceira superfície crítica, perímetro C”, só é utilizada quando é necessário colocar armadura transversal. O perímetro da superfície C” é afastado 2d da última camada de armadura transversal




• Superfícies Críticas C, C’ e C’’

Arm. de flexão

Pilar

C'=2dC'=2dC C"

Arm. de cisalhamento

C"




• Superfícies Críticas C, C’ e C’’

Superfícies críticas, limitadas pelos perímetros críticos C e C’



Verificação da tensão resistente de compressão diagonaldo concreto na superfície crítica C.

cd2RdSd f27,0 να=τ≤τ

Sendo: αν = (1 - fck/250)

Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’ sem armadura de punção.

( )( ) 311 100200113,0 ckRdSd fd ρττ +=≤

Sendo: ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão; d é altura útil da laje ao longo do contorno C’.



Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’ com armadura de punção.

Sendo: • sr o espaçamento radial entre linhas da armadura de punção; • α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje;• Asw é a área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C’;• u é o perímetro crítico;• fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 MPa para conectores ou 250 MPa para estribos.

( )( ) ( )udsenfA

sdfd ywdsw

rckRdSd

αρττ 5,1100/200110,0 3/1

3 ++=≤



Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’ com armadura de punção.

( )( ) 314 10020113,0 ckRdSd fd ρττ +=≤



Dimensionamento de Lajes à PunçãoTensão Solicitante

No caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico:

du FSd

Sd =τCom:

d = (dx + dy)/2

onde:

d é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje

dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais

u é o perímetro do contorno crítico C'

ud é a área da superfície crítica

FSd é a força ou a reação concentrada, de cálculo



Dimensionamento de Lajes à PunçãoPilar Interno com Efeito de Momento

onde:

K coeficiente que fornece a parcela de MSd transmitida ao pilar por cisalhamento,que depende da relação C1/C2

dW

MK

du

F

p

SdSdSd +=τ

C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0

K 0,45 0,60 0,70 0,80

Onde:C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da forçaC2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força

Para um pilar retangular:

12

221

21

p 21642

CdddCCCCW π++++=



Dimensionamento de Lajes à PunçãoPilares de Borda

Perímetro crítico em pilares de borda




Quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:

dWKx M

duF

1p

Sd1*Sd

Sd +=τ MSd1 =( MSd - MSd*) ≥ 0

MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar




dW

MK

dW

MK

d*u

F

2p

2Sd2

1p

1Sd1SdSd ++=τ

Quando agir momento no plano paralelo à borda livre:



Dimensionamento de Lajes à PunçãoPilares de Canto

Perímetro crítico em pilares de canto



Dimensionamento de Lajes à PunçãoPilares de Canto

Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita averificação separadamente para cada uma delas, considerando omomento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada

K deve ser calculado em função da proporção C1/C2, sendo C1 e C2, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo àborda livre adotada



Dimensionamento de Lajes à PunçãoCapitel



Dimensionamento de Lajes à PunçãoCasos Especiais de Contorno Crítico

(b)

(a) Perímetro crítico no caso do contorno C apresentar reentrância

(b) Perímetro crítico junto à abertura na laje

(a)




Disposição da armadura de punção em corte



Dimensionamento de Lajes à PunçãoColapso Progressívo

As fyd ≥ FSd

As é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar



Dimensionamento de Lajes à PunçãoVerificação de Elementos Protendidos

τSd,ef = τSd −τPd

du P iiinf,k

Pdsen αΣ

=τ



Dimensionamento de Lajes à PunçãoVerificação de Elementos Protendidos

Onde:

τPd é a tensão devida ao efeito dos cabos de protensão inclinados que atravessam o

contorno considerado e passam a menos de d/2 da face do pilar

Pkinf,i é a força de protensão no cabo i

αi é a inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado

u é o perímetro crítico do contorno considerado, em que se calculam τSd,ef e τSd



DetalhamentoBordas Livres e Aberturas



DetalhamentoLajes sem Vigas - Armaduras Passivas



DetalhamentoArmadura de Punção



Lajes Nervuradas

As lajes nervuradas podem ser calculadas como lajes maciças desde que respeitadas as condições:

• a ≤ 100cm: pode-se calcular a armadura de flexão como laje maciça• a ≤ 50cm: dispensa-se armadura de cisalhamento das nervuras• bw ≥ 4cm;• hf ≥ 4cm

a/15



Lajes NervuradasNão é permitido o emprego de armaduras de compressão do lado oposto à mesa

bw



Lajes NervuradasDeve-se também fazer as seguintes verificações:

1. Se a > 50cm ou houver carga concentrada no painel entre nervurasa mesa deverá ser verificada à flexão



Lajes Nervuradas

2. se a > 50cm, a resistência das nervuras ao cisalhamento deverá ser verificada como em vigas isoladas. Neste caso as nervuras precisam obrigatoriamente ser armadas com estribos, ou ser empregada uma armadura em treliça

>



Lajes Nervuradas

3. nas lajes armadas em uma só direção são necessárias nervuras transversais sempre que haja cargas concentradas a distribuir ouquando l > 4m , exigindo-se 2 nervuras no mínimo quando l > 6m

De modo geral, quando a > 50cm é preferível tratar as nervuras como vigas isoladas, respeitando-se a espessura mínima e armaduras mínimas da alma das vigas.



Lajes NervuradasAtenção especial às lajes nervuradas contínuas:

Momento negativo



Lajes NervuradasAtenção especial às lajes nervuradas contínuas:



Lajes Nervuradas – Critérios de Projeto

a) distância livre entre nervuras: Lo ≤ 50cmb) espessura das nervuras: bo ≥ 4cmc) espessura da mesa hf ≥ 4cm

a/15d) apoio ao longo de uma nervura



Lajes Nervuradas – Critérios de Projetoe) em lajes armadas em uma só direção são obrigatórias as nervuras

transversais na presença de cargas concentradas quanto para L > 4m, com pelo menos duas nervuras para L > 6m

f) não se permite armadura de compressão na nervura quando bo < 8cm



Lajes Nervuradas – Critérios de Projeto

VIII) Armaduras

diâmetro das barras: 4mm ≤ φ ≤ h/8

armadura de distribuição das lajes armadas numa só direção

As,distr ≥ 1/5 As,princ

As,distr ≥ 0,9 cm2/m

3φ / m

espaçamento da armadura de distribuição: st ≤ 33cm



Lajes Nervuradas – Critérios de Projetoarmaduras mínimas:

- armaduras de vão: As = (Asx ou Asy)

2003/61181.19.( NBRdaTabacomacordodebhAs

s =ρ

- armaduras sobre os apoios de continuidade:

2003/61181.19.('

' NBRdaTabacomacordodebhAs

s =ρ



Lajes Nervuradas – Critérios de Projetoarmaduras mínimas:

- armaduras nos vãos: As → 8cm ≤ s ≤ 20cm2h

- armaduras nos apoios: A’s → 8cm ≤ s ≤ 20cm2h

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