Pesquisa Operacional - Problema de Pl Com Contabilidade de Custos

8/20/2019 Pesquisa Operacional - Problema de Pl Com Contabilidade de Custos

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PESQUISA OPERACIONAL

Uma Aplicação de Programação Linear em Contabilidade de Custos

Considere-se uma empresa de panificação que tenha o objetivo de maximizar a Margem

de Contribuição do conjunto de seus produtos, que, para efeito de simplificação são

dois, pão tipo A e pão tipo , comercializados diariamente! A empresa quer saber qual o

n"vel #timo de produção, que ser$ aquele no qual se aproveita ao m$ximo os recursos

dispon"veis, com m"nimo desperd"cio, e m$xima Margem de Contribuição! %sando-se

&' para resolver o problema deve-se(

) *efinir as vari$veis do modelo(

o +tens de produção( tipos de pão

o lemento a maximizar( margem de contribuição

o .estriç/es de produção( quantidade de fornadas e horas de trabalho!

Conforme dados coletados da estrutura de custos da linha de produção da

panificadora sabe-se que 0 obtida uma Margem de Contribuição de .1 2,33 em cada

fornada de &ão 4ipo A e de .1 5,33 em cada fornada de &ão 4ipo !

6$ limitaç/es de insumos para a fabricação dos pães e nas quantidades a serem

produzidas! m relação 7s quantidades, por raz/es de mercado, limita-se a fabricação de

8 9tr:s; fornadas de &ão 4ipo A e < 9quatro; fornadas de &ão 4ipo ! =uanto aos

insumos, disp/e-se de uma jornada de > 9oito; horas, considerando-se o per"odo de um

dia de trabalho para o problema!

?s dados de produção existentes na panificadora para a produção de pães dos

tipos mencionados são os mostrados na 4abela )!

4abela )! Margem de Contribuição e &otencial de @endas ao MercadoProduto Margem de Contribuição Unitária

por fornadaPotencial de Mercado (fornadas

por dia)

Pão tipo A

Pão tipo B

A 4abela 5 mostra as restriç/es do problema, provocadas pelas limitaç/es dosinsumos, no caso, o tempo dispon"vel para ser gasto nas fornadas 9mão-de-obra;,independentemente de quantidade de empregados!

)



4abela 5! 4empo gasto por produto e disponibilidade de mão-de-obra

Insumo Pão Tipo A (tempo de fornada)

Pão Tipo B (tempo de fornada)

!isponibilidade Total daestrutura

Mão"de"obra

5 *efinir a função-objetivo, restriç/es e formatação do modelo!

A partir desses dados, são identificadas as vari$veis que passam a compor as equaç/esdo modelo, mostradas no quadro 5!

=uadro 5! Modelo do problema na forma normal

() (margem de contribuição a ma#imi$ar)

(%) (restrição de fornadas por dia do pão A)

(&) (restrição de fornadas por dia do pão B)

(') (tempo de fornada)

() (nmero de fornadas por dia do pão A)

(*) (nmero de fornadas por dia do pão B)

A vari$vel x) representa a quantidade de pães do tipo A e a vari$vel x5 representa

a quantidade de pães do tipo a serem produzidos!

A equação 9); 0 a função-objetivo e as equaç/es 95;, 98; e 9<; são representativas

das tr:s restriç/es! As equaç/es de não-negatividade estão representadas pelas equaç/es

92; e 9;! A leitura interpretativa das equaç/es do =uadro 5 0 que se deseja maximizar a

Margem de Contribuição dos produtos em an$lise!

&ara cada restrição do problema, h$ uma equação no modelo! Bo caso tem-se o

limite de potencial de mercado 9tabela ); nas equaç/es 95; e 98;, sendo de 8 e < fornadas

para os pães A e respectivamente! A restrição de tempo m$ximo de fornada di$ria para

os dois tipos de pão 9tabela 5; est$ indicada na equação 9<; que indica o total m$ximo de

> horas para as combinaç/es poss"veis de produção sendo que o pão A consome ) hora

para uma fornada enquanto o pão precisa de 5 horas! ão inclu"das, tamb0m,

equaç/es de não-negatividade, uma vez que as vari$veis de quantidades produzidas não

podem ter valor menor que 3 9zero; pois não h$ volume de produção negativo! 6$

exceç/es para outros tipos de circunstDncias!

A resposta ao problema ser$ a combinação de produção de A e que forneça a

maior margem de contribuição!

&ara a resolução deste modelo, escreve-se o sistema na forma canEnica, inerente

ao m0todo, da maneira apresentada no =uadro 8, no qual se observa a inclusão das

vari$veis x8, x< e x2, para que as inequaç/es tornem-se equaç/es! ssas vari$veis

adicionais são as vari$veis de folga! Assim, as inequaç/es transformam-se em equaç/es

5



sem perder a validade matem$tica! A cada equação de restrição 0 adicionada uma

vari$vel de folga! cada vari$vel de folga adicionada exige uma equação de não-

negatividade correspondente! As tr:s vari$veis de folga adicionadas implicam a adição

das tr:s equaç/es de não-negatividade 9F;, 9>; e 9G;!

=uadro 8! Modelo do problema na forma canEnica

()

(%)

(&)

(')

()

(*)

(+)

(,)

(-)

&ara a resolução do problema pelo M0todo implex, 0 necess$rio que se façam

alguns ajustes de preenchimento no modelo para que seja poss"vel inserir os valores no

programa que efetua os c$lculos alg0bricos inerentes ao m0todo! ? modelo passa, então,

a ser representado pelo disposto no =uadro <, em que todas as vari$veis estão

explicitadas em todas as equaç/es e a matriz de coeficientes preparada para um sistema

fazer os c$lculos! &ara isso, as vari$veis impl"citas passam a ser mostradas com seu

coeficiente 3 9zero; em todas as equaç/es, de modo que o modelo seja preenchido com

todos os coeficientes de todas as vari$veis!

=uadro <! Modelo ajustado para o m0todo implex e Matriz de dados para o sistema

Modelo a.ustado Matri$ de entrada de dados

()

(%)

(&)

(')

()

(%)

(&)

(')

Bum sistema de &' alimenta-se os coeficientes do modelo na forma de matriz,

como mostrada no =uadro <! A partir da", o programa efetua as operaç/es alg0bricas

com os elementos da matriz, at0 que todos os coeficientes das vari$veis de decisão da

função-objetivo tenham valor zero ou muito pr#ximas de zero, pois h$ arredondamentos

em virtude de se manipular nHmeros reais por computador! =uando todos os valores das

vari$veis de decisão da linha 9); atingirem o valor zero, significa que o objetivo foi

atingido com a obtenção do ponto #timo desejado e os respectivos valores dequantidades a serem produzidas que maximizarão a margem de contribuição!

8



? =uadro 2 apresenta os resultados obtidos ap#s as sucessivas iteraç/es do sistema at0

que a solução #tima foi encontrada! A Hltima coluna da matriz 9termos independentes

das equaç/es; cont0m os resultados! A margem de contribuição m$xima 0 de 53, para

um n"vel de produção de 8 fornadas de pães tipo A e 5,2 fornadas de pães do tipo !

=uadro 2 I Matriz de resultados gerada pelo programa de computador

/

?s valores !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!, da Hltima coluna, representam as

vari$veis de decisão que substitu"ram as vari$veis de folga nos testes do m0todo, nas

operaç/es com a matriz! A vari$vel x) entrou no lugar de x8 e x5 entrou no lugar de x2!

ssa informação 0 dada pelo programa, na apresentação do resultado! Ba forma manual,

verifica-se que vari$veis são substitu"das durante o processo de c$lculo! ? valor da

margem de contribuição dos pães 0 de .1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!, considerando-se o esforço

conjunto dos dois tipos de produto!

A função-objetivo representada por J K !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

passa a ser determinada por J K !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! A interpretação do

resultado 0 que os pães tipo A e seriam aproveitados, na solução #tima do modelo, nasquantidades de 8 e 5,2 fornadas para que a Margem de Contribuição 4otal seja

otimizada pelo valor de .1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !

*epreende-se que, dos resultados obtidos, essas são as quantidades ideais de

serem produzidas para que a Margem de Contribuição da produção seja m$xima!

<



Pesquisa Operacional e Programação Linear

A expressão &esquisa ?peracional 9Operations Research; foi utilizada pela

primeira vez em )G8G visando ter-se um termo que significasse o conjunto de t0cnicas

utilizadas para suprir ferramentas quantitativas de suporte ao processo decis#rio que 0 oobjetivo da &esquisa ?peracional 9&?; 9Andrade, )GG>;!

A &? 0 uma ci:ncia baseada fortemente em fundamentos matem$ticos e tamb0m

de stat"stica, +nform$tica e conomia! la incorpora um conjunto de disciplinas como

a &rogramação 'inear, imulação, 4eoria das Lilas e 4eoria dos ogos! ão inHmeras as

$reas de aplicação da &?, como por exemplo( linhas de produção, sistemas de

distribuição, hospitais, fazendas, serviços administrativos, uso de recursos em geral! A

programação linear 0 o tema de interesse deste trabalho!

Programação Linear

Conceito:

A &rogramação 'inear 9&'; 9&uccini N &izzolato, )G>F; 0 uma t0cnica de

planejamento da pesquisa operacional, fortemente baseada em Olgebra 'inear 9oldrini

et al!, )G>3;, que tem tornado-se das mais poderosas por seu grande leque de

aplicabilidade em quase todo ramo de atividade! la foi criada em )G< tendo sido

aplicada em diversas $reas desde então, como( alocação de recursos e utilização de

mat0ria-prima, transporte, localização de instalaç/es, composição de carteira de

investimentos!

ão v$rios os benef"cios da &', citando-se aqui( otimização de tarefas, redução

de custos e aumento de lucro! Algumas organizaç/es j$ t:m a &' incorporada at0 a suas

atividades de planejamento de operaç/es de curto prazo! A &' objetiva apresentar a

solução #tima para problemas reais!

&ara citar somente um exemplo, aves e .othblum 9)G>G; apresentam um

problema de linha de produção de f$brica modelado e solucionado atrav0s do uso da

programação linear! A seção 8 apresenta um exemplo simples de utilização de &'

aplicada a maximização de margem de contribuição!

A utilização de t0cnicas de &esquisa ?peracional em grande escala fez surgir

sistemas que as implementam, atualmente bastante difundidos no mercado! Alguns

destes são( o 'indo da Lindo Systems Inc! de Chicago, +llinois, %A

9http(PPQQQ!lindo!com; o C&'R da Cplex Optimization Inc! nos %A

2

http://www.lindo.com/

http://www.lindo.com/



9http(PPQQQ!ilog!comPproductsPcplexP; o S& da Wolverine Software Corp nos %A

9http(PPQQQ!QolverinesoftQare!com; e o sistema A.BA que 0 uma marca registrada

de Systems Modeling Corp!, tamb0m empresa americana sendo representado no rasil

pela &A.AS?B 4ecnologia 'tda 9http(PPQQQ!paragon!com!br ;! %m outro exemplo 0 o

componente solver embutido no xcel da Microsoft 9http(PPQQQ!microsoft!com;!

Cada um de tais sistemas apresenta peculiaridades de plataformas de utilização e

de manuseio e implementam v$rias t0cnicas de pesquisa operacional com destaque para

a programação linear! ntretanto, todos são sistemas robustos que apresentam maior

complexidade para uso e exigem o conhecimento espec"fico de sua utilização, muitas

vezes sem exigir o conhecimento de &' propriamente dita!

Definição de um Modelo de Otimização

? m0todo implex 9&uccini N &izzolato, )G>F; 0 uma t0cnica usada para se

encontrar, algebricamente, a solução #tima de um modelo de programação linear!

6avendo uma solução para o modelo, o implex a encontra atrav0s de um processo de

iteraç/es sucessivas do sistema linear modelado, como a seguir sumarizado! A utilização

de &' para solucionar um determinado problema exige a consecução de um conjunto de

etapas a serem seguidos para a definição de um modelo que represente o problema do

mundo real que se quer otimizar, que, resumidamente, são as seguintes(

) *efinição das vari$veis do modelo

5 *efinição da função-objetivo que indica se o problema 0 de maximização ou

de minimização e as vari$veis envolvidas

8 *efinição das restriç/es do problema de acordo com as limitaç/es, sempre

com base no mundo real e

< Lormatação do modelo, fazendo-se os ajustes necess$rios para que a matriz

seja alimentada no sistema de otimização!

%m sistema de equaç/es que representa um modelo apresenta o formato geral

apresentado no quadro )! A vari$vel TJU, representa o elemento que se deseja

maximizar, ou minimizar! A letra TJU 0 usada por convenção!

http://www.ilog.com/products/cplex/

http://www.wolverinesoftware.com/

http://www.paragon.com.br/

http://www.microsoft.com/

http://www.ilog.com/products/cplex/

http://www.wolverinesoftware.com/

http://www.paragon.com.br/

http://www.microsoft.com/



=uadro )! Lormato do sistema de equaç/es de um problema em &'

Ma# 0 1 c # 2 c% #% 2 33333333 2 cn #n (função ob.eti4o) su.eito a restriç5es

a # 2 a %% #% 2 33333333 2 a n #n 61 b

a % # 2 a %% #% 2 33333333 2 a %n #n 61 b

333

a m # 2 a m% #% 2 333333 2 a mn #n 61 bm

e

# 71 89 #% 71 89 3333333339 # n 71 83

As chamadas Tequaç/esU de restriç/es apresentam-se como desigualdades na

forma padrão! 4rata-se, na verdade, de inequaç/es que representam os limites m$ximos

ou m"nimos, dependendo do problema!

A seção 8 apresenta um exemplo de aplicação de &' no qual se executa estes passos!

F

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