PLANEJAMENTO DA ALOCAÇÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ITENS DE ... · consideração questões...
Transcript of PLANEJAMENTO DA ALOCAÇÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ITENS DE ... · consideração questões...
Departamento de Engenharia Industrial
PLANEJAMENTO DA ALOCAÇÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ITENS DE
SUPRIMENTO EMERGENCIAL LEVANDO EM CONTA CRITÉRIOS
DE ROBUSTEZ
Aluna: Giovanna Góes
Orientador: Fabricio Oliveira
Introdução
Todos os anos, catástrofes naturais e provocadas pelo homem, tais como inundações,
deslizamentos de terra, terremotos, tornados, e acidentes nucleares são relatados em todo o
mundo, causando ferimentos humanos e danos à propriedade. Investir em medidas
preventivas é uma maneira através da qual as organizações humanitárias podem reforçar sua
capacidade de preparação e de resposta a emergências antes de um desastre ocorrer. As
medidas preventivas referem-se a ações tomadas antes do acontecimento do desastre. O pré-
posicionamento estratégico desses itens para que eles estejam prontamente disponíveis
quando necessário, é um elemento de preparação [1].
Itens de suprimentos de emergência são elementos básicos que as vítimas precisam logo
após a ocorrência do desastre, como: alimentos, vacinas, itens de primeiros socorros,
medicamentos, entre outros. O tempo inicial após o desastre é crucial, e a distribuição rápida e
eficaz desses itens é essencial para minimizar o sofrimento daqueles que foram afetados.
Assim, o pré-posicionamento desses recursos de resgate é uma estratégia para aumentar a
preparação, garantindo abastecimento e reduzindo o tempo de entrega, no entanto, requer
investimentos adicionais que devem ser feitos antes da situação de emergência ocorrer [2].
Assim, este trabalho examina as decisões de onde pré-posicionar itens de suprimentos de
emergência e quanto alocar em cada centro de distribuição. Estas decisões correspondem à
problemas de localização e nível de estoque, respectivamente.
Uma suposição comum na literatura sobre problema de localização de instalações é a
perfeita confiabilidade das instalações negligenciando interrupções na rede devido à sua
natureza imprevisível e pouco frequente ([3]; [4]; [5]). No entanto, em situações reais esses
locais estão sujeitos a perturbações que muitas vezes os tornam indisponíveis. Não levar em
consideração questões relacionadas à robustez do plano de pré-alocação pode resultar em
perturbações do plano de distribuição, o que pode causar atrasos, ou mesmo colocar em risco
o plano de distribuição pós-desastre.
Um aspecto chave do design da cadeia de suprimentos de emergência está relacionado
com a natureza incerta dos eventos de desastres. A importância de se considerar a incerteza na
gestão de desastres tem motivado vários pesquisadores a resolver esta questão através de
técnicas de otimização estocástica, considerando cenários probabilísticos ([3]; [4]; [1]). Em
[3] foi proposto um modelo de programação estocástica de dois estágios, considerando
decisões de localização e distribuição. [4] também propuseram um modelo de programação
estocástica de dois estágios para planejar o transporte de itens de emergência para as áreas
afetadas. Em seu trabalho, um conjunto de cenários representa a aleatoriedade decorrente da
capacidade, oferta e demanda. [1] também propôs um programa de modelagem estocástica
que considera a possibilidade dos locais de abastecimento ou das estradas estarem sujeitas a
destruição.
Uma alternativa a otimização estocástica é a otimização robusta. Nesta abordagem, um
pior cenário é considerado para tomar decisões conservadoras para problemas sob incerteza.
Departamento de Engenharia Industrial
No caso particular de logística humanitária, a adoção de tal abordagem parece ser mais
adequada.
Neste contexto, esta pesquisa aborda o problema de projeto da cadeia de suprimentos
usando otimização robusta para gerar planos de pré-alocação de itens de emergência que
sejam robustos à contingências, a fim de assegurar a distribuição eficiente desses itens após o
desastre. O objetivo desta pesquisa é desenvolver uma metodologia estruturada para apoiar o
processo de planejamento para a distribuição de itens de suprimento de emergência, tendo em
conta critérios de robustez e definindo os planos que são resilientes no que diz respeito a
magnitude do desastre. Para enfrentar este desafio, propomos uma ferramenta de apoio à
decisão baseado em otimização robusto que é capaz de definir a localização e nível de estoque
ótimos e conceber redes de distribuição que sejam capazes de atender à demanda, mesmo que
até Γ centros de distribuição sejam completamente destruídos após um desastre (onde Γ
representa o número máximo de centros de distribuição que se tornam indisponíveis após o
desastre).
Descrição do Problema
O problema abordado neste trabalho compreende dois estágios. O estágio pré-desastre
que é o momento antes do desastre e o estágio pós-desastre, que se refere ao momento após a
ocorrência do desastre ([6]).
Na fase pré-desastre, o problema é de pré-posicionamento de suprimentos de
emergência compreende decisões como quais instalações tem de ser abertas e a quantidade de
nível de estoque de cada uma. Por outro lado, no pós-desastre, o problema é de distribuição
desses itens, ou seja, determinar como distribuir estes para que possam estar disponíveis para
as vítimas. A figura 1 ilustra as decisões de localização e nível de estoque que devem ser
tomadas antes do desastre e as decisões de distribuição que devem ser tomadas após a
contingência. Nesta representação esquemática, os círculos representam os candidatos a
centro de distribuição, enquanto os quadrados são os centros de distribuição selecionados para
armazenar os itens de suprimentos de emergência. A cruz preta representa o centro de
distribuição que foi afetada após a contingência.
Figura 1 Representação esquemática do comportamento da rede
Durante a situação de contingência, alguns centros de distribuição podem ter sido
afetados o que compromete seus níveis de estoque. Levando isto em conta, os outros
armazéns selecionados devem ter inventário adicional para cobrir a ausência dos centros
danificados de modo que toda a demanda seja atendida. Esta capacidade de resposta é
definida como a resiliência da rede. A quantidade de danos que a rede é capaz de sustentar
define o quão resiliente é. Intuitivamente, quanto mais resiliente a rede é, mais elevados são
os custos relacionados com a manutenção dos níveis de estoque.
O modelo proposto leva em consideração a definição dos critérios de resiliência por
meio de um parâmetro que corresponde ao nível de robustez da solução. Tal parâmetro é
representado por Γ (gama) e indica o número máximo de centros de distribuição que podem
tornar-se indisponíveis após a contingência de tal modo que a viabilidade da solução seja
assegurada.
Departamento de Engenharia Industrial
Neste artigo, vamos considerar uma coleção de nós que são os candidatos a centros de
distribuição. Cada centro de distribuição tem uma capacidade máxima de armazenamento
( ), um custo anual de instalação e operação( ), e um custo de armazenamento por unidade
( ). Nós assumimos que estamos sujeitos a um máximo ( ) e um número mínimo ( de
centros de distribuição que pode ser aberto. No que se refere à demanda pontos, assumimos
demandas diferentes em cada ponto ( ). Neste contexto, as nossas decisões são ainda quais
centrs de distribuição selecionar ( ) e qual o nível de estoque ideal em cada lugar ( ).
A forma tradicional de lidar com problema é a considerar um conjunto de todos os
cenários de contingência que podem ocorrer simultaneamente na formulação do problema. Ao
fazer isso, as restrições de atendimento da demanda devem ser atendidas para todos os
cenários de contingência, o que, obviamente, inclui o cenário de pior caso (ou seja, o cenário
mais exigente em termos nível de estoque a ser pré-posicionado). A figura 2 ilustra os
possíveis cenários de contingência para Γ = 2 e o comportamento da rede após o desastre
afetar 0, 1 ou 2 centros de distribuição selecionados.
Figura 2 Cenários de contingência para gama = 2
Uma grande desvantagem relacionada com abordagens baseadas em cenários diz
respeito ao aumento do número de possíveis cenários de contingência com o aumento do
número de locais candidatos e do Γ ([10]). Dado que o tamanho do problema de otimização é
fortemente ligado a essa quantidade, pode ser de grande benefício o desenvolvimento de uma
formulação que seja capaz de considerar todos os cenários de emergência, sem que seu
tratamento computacional seja comprometido. Tendo essa idéia em mente, demonstraremos
primeiro a formulação baseada em cenários para o problema:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Departamento de Engenharia Industrial
(7)
(8)
A função objetivo a ser minimizada (1) incorpora o custo total de instalação e operação
de centros de distribuição, bem como o custo total de armazenamento. Limitações quanto ao
número de centros de distribuição a serem abertos são dadas pela restrição (2). O nível de
estoque total de cada centro de distribuição é limitado por suas capacidades mínimas e
máxima de armazenamento, como apresentado nas restrições (3) e (4). A restrição (5) limita a
quantidade de itens que podem ser enviados a partir de cada centro de distribuição para o seu
nível de estoque multiplicado pelo parâmetro .. Este parâmetro é utilizado para caracterizar
estados de contingência em cada cenário, sendo igual a 1 se o centro de distribuição está
disponível em cenário C e 0, caso contrário. Em cada período, um critério de segurança
(em que n é o número de locais candidatos para receber um centro de distribuição e Γ é o
parâmetro de resistência que representa o número máximo de centros de distribuição
indisponíveis) é imposto através da consideração todos os estados de contingência de modo a
que
(9)
A restrição (6) afirma que a quantidade total de itens a serem transportados para cada
ponto de demanda deve ser igual à demanda. Além disso, restrição (7) afirma que a
quantidade total de itens para o transporte de cada centro de distribuição deve ser menor que o
nível total de inventário neste centro. Finalmente, (8) expressar a natureza binária e não
negativa das variáveis de decisão.
Em linha com o que foi mencionado anteriormente, deve-se notar que o número total de
cenários de contingência que deve ser considerado é dada por , que representa o número
total de combinações entre os locais candidatos ( ) e locais indisponíveis na fase pós-desastre
( ) que devem ser considerados de forma a assegurar a viabilidade. Dependendo de quantos
candidatos são considerados e do nível de robustez necessário para a rede de distribuição, essa
quantidade poderia representar um número muito grande de cenários a serem considerados no
modelo de otimização.
Abordagem de Otimização Robusta
Nesta seção, propomos uma formulação alternativa para o problema mencionado acima,
que não considera cenários de contingência explicitamente, o que representa uma vantagem
computacional, uma vez que reduz a complexidade do problema através da redução do seu
número total de variáveis e restrições. A fim de apresentar o modelo de forma conveniente,
propomos primeiro uma reformulação de algumas de suas restrições. Neste sentido, se
somarmos a restrição (6) em j, temos:
(10)
A equação (5) relaciona a quantidade de itens para o transporte do centro de distribuição
para o nível de estoque médio. Somando em i ao longo de (5), a equação equivalente é:
(11)
Introduzindo (10) em (11):
Departamento de Engenharia Industrial
(12)
Após essas reformulações o modelo equivalente é:
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
(12)
(8)
O estado de contingencia é introduzido por (12). Esta restrição requer que o nível de
inventário total seja maior ou igual à demanda total para cada um dos cenários de
contingência c. Uma vez que esta exigência deve se aplicar a todos os cenários, é suficiente
garantir que ela atenda ao pior cenário, que neste caso é o cenário cujo valor do lado direito é
o menor. Por conseguinte, a restrição (12) é equivalente a: , where
subject to:
A contraparte robusta bi nível para o problema pode ser formulada da seguinte forma:
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Departamento de Engenharia Industrial
(22)
(23)
Deve notar-se que problema (13) - (23) compreende um problema de nível superior e
um subproblema interior, o que não é adequado para a maioria dos solvers comerciais
disponíveis. Neste sentido, uma formulação de um único nível equivalente é proposta para o
problema de dois níveis (13) - (23). O problema de nível superior impõe que o valor de
função objetivo ótima do sub problema, , deve ser maior do que ou igual a demanda total.
[7] mostraram que, resolvendo a dupla formulação do subproblema interior, alcança-se um
limite inferior para , com base em dualidade fraca. Como este problema é convexo e
sempre tem uma solução, podemos contar com dualidade forte para garantir que seja
sempre correspondente no ótimo. A dupla formulação do problema interior é dada por:
onde y e z representam as variáveis duais associados as restrições (21) e (22),
respectivamente. O problema de nível superior consiste em definir a localização e alocação
dos itens de suprimentos de emergência na fase de pré-contingência, ou seja, quais centros de
distribuição que devem ser abertos e os níveis de estoque de cada local. A função objetivo do
problema interno representa o montante total de pós-contingência de itens que podem ser
transportados para os pontos de demanda. Portanto, a contraparte robusta de nível único para
o problema é formulado como se segue.
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
Expressões (13) - (18) são idênticas às (24) - (29). A restrição (30) corresponde à (19), e
(34) à (23). Finalmente, as restrições (31) - (33) são as duas restrições do subproblema (20) -
(22).
Estudo de Casos – Deslizamentos na Região Serrana
Nesta seção apresentamos os resultados de um estudo de caso baseado em dados reais
disponíveis na base de dados pública EM-DAT (www.em- dat.net/) de um desastre ocorrido
Departamento de Engenharia Industrial
em 2013 no Brasil. O modelo foi implementado utilizando o software AIMMS 3,14 e todos os
experimentos foram realizados utilizando um processador Intel Core i3 2,4 GHz com 4 GB.
Neste estudo foram considerados 9 nós de demanda (TRS, PTP, NFB, SVRP, BJD,
SMD, AST, SMM, SSA) e 4 centros de distribuição candidatos (PTP, TRS, NFB e RJ). Estes
nós de demanda representam as cidades que foram afetadas pelos deslizamentos de terra que
ocorreram em 2013 no Brasil. Por outro lado, os centros de distribuição representam os quatro
locais capazes de oferecer a infraestrutura necessária para manter estoques de itens de
emergência. Além disso, foram considerados 6 itens de emergência: comida, água, itens de
higiene pessoal, itens de limpeza, colchões e medicamentos. Na Tabela 1 temos o número
total de vítimas em cada local e a Tabela 2 mostra a demanda do produto por vítima e os
custos de armazenamento por unidade.
Tabela 1 Número de vítimas
Nós Demanda
Teresópolis TRS 16229
Petrópolis PTP 7214
Nova Friburgo NFB 5838
São José do Vale do Rio Preto SVRP 232
Bom Jardim BJD 2249
Sumidouro SMD 402
Areal, Sapucaia e Três Rios AST 771
Santa Maria Madalena SMM 328
São Sebastião do Alto SSA 107
Rio de Janeiro RJ -
Tabela 2 Demanda do produto
Produto Quantidade por
vítima
Custos de estocagem
por unidade
Comida 0,20 21,50
Água 1,00 4,30
Higiene 1,00 6,70
Limpeza 0,20 15,00
Colchões 1,00 7,40
Medicamentos 0,01 21,30
A formulação original foi adaptada de modo que três tamanhos de centro de distribuição
poderiam ser considerados: pequeno, médio e grande, com custos anuais de instalação e
operação iguais a 500, 800 e 1200 respectivamente. A Tabela 3 mostra as capacidades de cada
centro de distribuição por produto.
Tabela 3 Capacidade dos centros de distribuição
Pequeno Médio Grande
Comida 34.358 385.298 736.238
Água 51.537 577.947 1.104.357
Higiene 103.073 1.155.893 2.208.713
Limpeza 64.421 722.433 1.380.446
Colchões 10.007 112.223 214.438
Medicamentos 93.703 1.050.812 2.007.921
Departamento de Engenharia Industrial
Neste estudo de caso, consideramos seis produtos que são representados pelo índice
e três tamanhos de centros de distribuição que são representados pelo índice .
Além disso, a fim de levar em consideração a distância geográfica entre os nós na construção
da rede, incluímos o custo do transporte na função objetivo. Este custo corresponde a um
custo de transporte pré-contingência e, portanto, representa o custo previsto para a
distribuição, no caso de nenhuma das instalações serem comprometidos no desastre.
Tabela 4 Custo de Transporte
TRS PTP NFB SVRP BJD SMD AST SMM SSA
PTP 2,75 3,11 114,50 53,49 130,07 101,68 71,91 186,86 174,96
TRS 46,17 52,21 73,19 49,28 89,04 60,64 91,23 150,22 139,23
NFB 69,89 116,33 0,82 91,60 21,25 41,04 99,84 82,90 71,36
RJ 87,57 59,63 127,32 118,16 149,31 148,39 132,82 210,68 199,69
Neste estudo de caso outros dados são necessários para analisar o custo total (ou seja,
custo pré e pós-desastre). Estes custos relacionados com a fase de pós desastre são o custo de
transporte ou de distribuição pós contingência e o custo de aquisição. O custo de aquisição foi
estabelecido como em [1], este custo está relacionado à demanda não atendida, uma vez que é
necessário comprar itens de suprimentos de emergência quando a demanda não pode ser
atendida. A Tabela 5 mostra o preço de cada produto e o custo de demanda não atendida que
corresponde a 10 vezes o preço de compra do produto, o que é aceitável uma vez que o custo
do não atendimento a demanda deve ser alto.
Tabela 5 Purchase and Unmet Demand Cost (R$)
Preço de compra Custo de demanda não atendida
Comida 86,18 861,80
Água 17,50 175,00
Higiene 27,03 270,30
Limpeza 60,27 602,70
Colchões 29,90 299,00
Medicamentos 85,20 852,00
A formulação considerando uma abordagem baseada em cenários para o problema
considerado neste estudo de caso é:
Departamento de Engenharia Industrial
Mais uma vez, baseando-se no mesmo raciocínio apresentado na Seção 3, a formulação
robusta o problema neste estudo de caso pode ser declarado como segue.
A Tabela 6 mostra os custos ótimos para o modelo determinístico, quando se considera
que o total de centros de distribuição indisponíveis (CDI) depois da ocorrência do desastre é
zero (ou seja Γ = 0). Na fase de pré-desastre, pode-se notar que na função objetivo, há três
custos relevantes: o custo de instalação, o custo do inventário e o custo de transporte pré-
contingência. Estes custos são determinados através da variação do parâmetro Γ que, neste
caso, é constante e igual a zero. Por outro lado, na fase pós-desastre existem dois custos
relevantes: o custo de distribuição e o custo de aquisição. A fim de avaliar esses custos na fase
pós-contingencia, usamos um modelo de transporte simples para calcular para cada cenário de
contingência o que seria o custo de distribuição ideal.
Desse modo, a Tabela 7 representa os custos para o modelo robusto para dois níveis de
segurança: Γ igual a 1 e 2.
Tabela 6 Custo total do modelo determinístico
Gama CDI
Modelo Determinístico
PRE POS
Instalação Estoque Transporte Total Transporte Aquisição Total
Γ = 0
PTP 1.800 873.182 811.389 1.686.371 375.961 23.840.297 24.216.258
TRS 1.800 873.182 811.389 1.686.371 757.819 228.419 986.238
NFB 1.800 873.182 811.389 1.686.371 451.293 8.786.273 9.237.566
RJ 1.800 873.182 811.389 1.686.371 811.389 - 811.389
PTP e TRS 1.800 873.182 811.389 1.686.371 339.426 24.068.717 24.408.143
PTP e NFB 1.800 873.182 811.389 1.686.371 36.535 32.626.570 32.663.105
PTP e RJ 1.800 873.182 811.389 1.686.371 375.961 23.840.297 24.216.258
TRS e NFB 1.800 873.182 811.389 1.686.371 403.305 9.014.692 9.417.997
TRS e RJ 1.800 873.182 811.389 1.686.371 757.819 228.419 986.238
NFB e RJ 1.800 873.182 811.389 1.686.371 451.293 8.786.273 9.237.566
Tabela 7 Custo total do modelo robusto
Departamento de Engenharia Industrial
Gama CDI
Modelo Robusto
PRE POS
Instalação Estoque Transporte Total Transporte Aquisição Total
Γ = 1
PTP 2.100 1.503.277 814.535 2.319.912 4.903.888 - 4.903.888
TRS 2.100 1.503.277 814.535 2.319.912 841.879 - 841.879
NFB 2.100 1.503.277 814.535 2.319.912 2.902.589 - 2.902.589
RJ 2.100 1.503.277 814.535 2.319.912 814.535 - 814.535
Γ = 2
PTP e TRS 3.200 1.939.867 814.535 2.757.602 6.597.213 - 6.597.213
PTP e NFB 3.200 1.939.867 814.535 2.757.602 8.000.047 76.125 8.076.172
PTP e RJ 3.200 1.939.867 814.535 2.757.602 5.062.319 - 5.062.319
TRS e NFB 3.200 1.939.867 814.535 2.757.602 4.547.618 144.119 4.691.737
TRS e RJ 3.200 1.939.867 814.535 2.757.602 841.879 - 841.879
NFB e RJ 3.200 1.939.867 814.535 2.757.602 2.902.589 - 2.902.589
Tabela 8 Comparação robusto e determinístico
UDC Diferença (PRE) Diferença (POS)
PTP - 633.541,00 19.312.370,29
TRS - 633.541,00 144.359,47
NFB - 633.541,00 6.334.976,94
RJ - 633.541,00 - 3.146,00
PTP e TRS - 1.071.231,00 17.810.929,74
PTP e NFB - 1.071.231,00 24.586.933,21
PTP e RJ - 1.071.231,00 19.153.939,27
TRS e NFB - 1.071.231,00 4.726.260,01
TRS e RJ - 1.071.231,00 144.359,47
NFB e RJ - 1.071.231,00 6.334.976,94
Custo Médio - 896.155,00 9.854.595,93
Tabela 9 Comparação do custo total
UDC Modelo Determinístico Modelo Robusto Diferença Percentual
PTP 25.902.629,29 5.718.423,00 77,92%
TRS 2.672.609,47 1.656.414,00 38,02%
NFB 10.923.936,94 3.717.124,00 65,97%
RJ 2.497.760,00 1.629.070,00 34,78%
PTP e TRS 26.094.513,74 7.411.748,00 71,60%
PTP e NFB 34.349.476,21 8.890.707,00 74,12%
PTP e RJ 25.902.629,27 5.876.854,00 77,31%
TRS e NFB 11.104.368,41 5.506.272,40 50,41%
TRS e RJ 2.672.609,47 1.656.414,00 38,02%
NFB e RJ 10.923.936,94 3.717.124,00 65,97%
Custo Médio 15.304.446,97 4.578.015,04 70,09%
A Tabela 8 mostra a diferença entre a solução determinística e a solução robusta. Neste
sentido, se o valor for negativo significa que o custo da solução robusta é maior do que o
custo da solução determinística, o que se pode observar na fase de pré-desastre. Isso chama a
atenção para o fato de que o custo de instalação, estoque e transporte total referente a fase de
pré-desastre é maior quando se considera critérios de robustez. No entanto, analisando a
Departamento de Engenharia Industrial
última coluna, podemos constatar que a economia, quando adotado o modelo robusto é maior
do que o montante anteriormente gasto.
A Tabela 9 apresenta o valor da função objetivo para o modelo determinístico e o
modelo robusto proposto, considerando que um ou dois centros de distribuição não estavam
disponíveis após a contingência. Como mencionado anteriormente, este custo considera os
custos relacionados a fase de pré-desastre (instalação, estoque e custos de transporte pré-
contingência) e para a fase pós-desastre (custos de distribuição e de aquisição). Comparando
os dois custos médios, podemos constatar que a abordagem robusta é 70,09% mais barata do
que a solução determinística. Os resultados da última coluna apoiam a superioridade do plano
proposto pelo modelo robusto em relação à formulação determinística do ponto de vista
financeiro.
Estudo de Casos – Terremoto em Seattle
Nesta seção, apresentamos a aplicação do modelo de otimização proposto a um caso na
área de Seattle, que foi previamente estudado por [8]. Segundo os autores, Seattle deverá ter
terremotos provocados por duas falhas: Seattle e Cascadia, com magnitudes 6,7 e 9,0,
respectivamente.
Desse modo, espera-se que ele irá provocar danos graves para a área. Como pode ser
visto em [9], edifícios, estradas e pontes estariam sujeitos a grandes danos, o que colocaria em
risco serviços públicos e linhas de transporte. Ao contrário de outros estudos, o nosso modelo
robusto considera que, depois de um desastre, mesmo que até Γ armazéns sejam
completamente destruídos, as operações de alívio de desastres podem ainda ser realizadas.
Neste estudo de caso, considera-se 10 nós de demanda e 5 centros de distribuição
candidatos. Parâmetros como a capacidade de estoque, custo operacional e custo de
armazenamento por unidade de cada candidato a armazém são apresentados na Tabela 10.
Diferente de [8], o nosso modelo de otimização robusta não usa cenários como explicado na
Seção 3, e assim, uma adaptação foi feita. Como podemos ver na Tabela 11, o pior caso de
demanda foi escolhido para que possamos garantir que a demanda seja coberta para todos os
casos possíveis.
Tabela 10 Dados dos armazéns
Armazém Capacidade
(unidades)
Custo de Operação
($)
Custo de Estoque
($/unidades)
1 20,000 25,000,000 1,250
2 25,000 20,000,000 800
3 3,000 12,000,000 400
4 10,000 6,000,000 600
5 5,000 12,000,000 2,400
Tabela 11 Demanda
Ponto de
Demanda Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4 Cenário 5 Cenário 6 Pior Caso
1 6.313 6.042 9.491 9.234 8.306 13.624 13.624
2 3.409 3.857 3.994 5.296 3.958 7.149 7.149
3 4.969 3.732 6.466 5.922 5.147 9.357 9.357
4 1.532 3.454 4.254 5.422 7.114 7.507 7.507
5 2.293 3.487 4.836 7.185 8.750 10.258 10.258
6 3.129 2.508 2.913 3.801 1.814 2.112 3.801
7 10.021 5.932 3.869 12.410 6.830 7.639 12.410
Departamento de Engenharia Industrial
8 7.342 4.617 4.213 9.134 3.803 5.924 9.134
9 5.723 3.686 1.773 6.784 4.036 4.382 6.784
10 5.214 3.498 2.189 6.048 3.006 3.861 6.048
Algumas adaptações foram realizadas no modelo original apresentado na Seção 3. Neste
caso, a capacidade total é menor do que a demanda total, o que leva a inviabilidade do
problema no nosso caso (tendo em conta que uma premissa do nosso modelo é que a demanda
deve ser completamente atendida). Em situações reais, armazéns improvisados seriam
utilizados para possibilitar a distribuição dos itens de emergência para as vítimas necessitadas.
Levando isso em consideração, foi criado um nível de estoque extra que pode ser utilizado, se
necessário. Esta quantidade extra é delimitada por uma percentagem de capacidade extra, um
parâmetro, multiplicado pela capacidade máxima de armazenamento no centro de
distribuição. Outra adaptação realizada no modelo anteriormente proposto foi na função
objetivo que agora considera um custo adicional para usar essa capacidade extra. Neste
sentido, o modelo considera não só o custo anual de instalação e operação dos centros de
distribuição abertos, mas também um percentual desse custo se decide usar a capacidade
extra. Além do custo de armazenamento por unidade, o modelo considera um custo de
armazenamento por unidade acrescido de uma percentagem α deste custo para cada item extra
necessário. Assim, temos uma notação adicional:
se a capacidade extra foi necessária no centro de distribuição i
Montante de itens extras no centro de distribuição .
Percentagem de capacidade extra.
A formulação do problema para este estudo de caso, considerando a abordagem
baseada no cenário é:
(35)
(36)
(37)
(38)
A restrição (37) determina a quantidade de suprimentos de emergência extras que
podem ser alocados no centro i. A restrição (38) indica que só é possível usar a capacidade
extra do centro de distribuição i se o modelo decidir abri-lo (isto é, se ).
Seguindo o mesmo raciocínio apresentado na Seção 3, a formulação robusta para o problema
considerado neste estudo de caso é declarado como segue.
Departamento de Engenharia Industrial
A Tabela 12 apresenta o valor da função objetivo e o número de variáveis e restrições para o
modelo baseado em cenários (C) e modelo robusto (R). As soluções foram obtidas variando Γ.
Para esta experiência computacional, considerou-se um valor elevado para o parâmetro α, que
é a percentagem de capacidade extra, (α = 5). Como explicado na secção 3, o modelo robusto
proposto apresenta menor complexidade se comparado ao modelo baseado em cenários, uma
vez que tem menos variáveis e restrições, como pode ser visto na Tabela 12, o que
proporciona uma redução significativa no tamanho do problema, bem como em exigências
computacionais. Nas tabelas a seguir, "I" representa um problema inviável.
Tabela 12 Cenário X Robusto (α = 5)
C R
#VAR #REST $ #VAR #REST $
0 71 (10) 37 140.572.800 77
(10)
43 140.572.800
1 271
(10) 97 366.504.000 77
(10) 43 366.504.000
2 521
(10) 172 889.443.600 77
(10) 43 889.443.600
3 521
(10)
172 1.701.137.200 77
(10)
43 1.701.137.200
4 I I I I I I
Conclusão
Este trabalho aborda questões de pré-posicionamento e distribuição de itens de
suprimentos de emergência. Foram utilizadas técnicas de otimização sob incerteza para gerar
planos para pré-alocar esses itens que são robustos a contingências, a fim de assegurar a
distribuição eficiente desses itens após um desastre. Neste sentido, propusemos uma
metodologia baseada na otimização robusta para definir a localização e nível de estoque
ótimos desses suprimentos de forma a atender a demanda, mesmo que até Γ centros de
distribuição sejam completamente destruídos após a ocorrência de um desastre.
Dessa forma, a fim de validar o modelo um estudo de caso baseado em dados reais de
um deslizamento de terra recente ocorreu no Brasil em 2013 foi proposto. Como se pode
observar, a técnica proposta na Seção 3 é bastante geral e, portanto, ele pode ser aplicada a
diferentes problemas que partilham características semelhantes com aquele considerado nesse
estudo.
Os resultados numéricos mostram que o modelo robusto proposto apresenta uma
vantagem computacional quando comparado à abordagem baseada em cenário, uma vez que
não levar em conta os cenários reduz a complexidade do problema através da redução do
número de variáveis e restrições. Isto proporciona uma redução significativa no tamanho do
Departamento de Engenharia Industrial
problema, bem como dos requisitos computacionais. Os resultados também mostram que o
aumento de custo devido a segurança experimenta uma redução significativa, conforme o
tamanho do sistema cresce. Além disso, observamos que o modelo robusto poderia fornecer
uma grande economia em termos de operações de socorro de emergência, quando comparado
com o modelo determinístico.
Apêndice: Elementos do modelo
Conjuntos:
Conjunto de centros de distribuição.
Conjunto de nós de demanda.
Conjunto de cenários.
Constants:
Custo anual de instalação e operação dos centros de distribuição i.
Custo de estocagem dos centros de distribuição i.
Capacidade máxima dos centros de distribuição i.
Capacidade mínima dos centros de distribuição i.
Número máximo de centros de distribuição a serem abertos.
Número mínimo de centros de distribuição a serem abertos.
1 se o centro de distribuição está disponível no cenário c e 0 caso contrário.
Demanda no nó j.
Decision Variables:
1 se o centro de distribuição i foi aberto e 0 caso contrário.
Nível de estoque no centro de distribuição i.
Quantidade de itens a serem transportados do centro i para o nó j no cenário c.
Quantidade de itens a serem transportados do centro i para o nó j.
Número máximo que pode ser fornecido sob o cenário de pior caso.
1 se o centro de distribuição está disponível no cenário de pior caso e 0 caso
contrário.
Referências
1 - Rawls, C. G. and Turnquist, M. A. (2010) Pre-positioning of emergency supplies for
disaster response, Transportation Research Part B 44, 521–534.
2 - Bozorgi-Amiri, A., Jabalameli, M. S. and Mirzapour Al-e-Hashem, S. M. J. (2011) A
multi-objective robust stochastic programming model for disaster relief logistics under
uncertainty, OR Spectrum 35:905–933.
3 - Chang, M. S., Tseng, Y. L., Chen, J. W. (2007) A scenario planning approach for the flood
emergency logistics preparation problem under uncertainty, Transportation Research Part
E 43(6):737–754.
4 - Barbarosoglu G., Arda Y. (2004) A two-stage stochastic programming framework for
transportation planning in disaster response, Journal of the Operational Research Society
55:43–53.
Departamento de Engenharia Industrial
5 - Bozorgi-Amiri, A., Jabalameli, M. S., Alinaghian, M. and Heydari, M. (2012) A modified
particle swarm optimization for disaster relief logistics under uncertain environment, Int J
Adv Manuf Technol 60:357–371.
6 - Caunhye, A. M., Nie, X. and Pokharel, S. (2012) Optimization models in emergency
logistics: A literature review, Socio-Economic Planning Sciences, 46:4-13
7 - Bertsimas, D. and Sim, M. (2004) The Price of Robustness, Oper. Res., 35-53.
8 - Mete, H. O. and Zabinsky, Z. B. (2010) Stochastic optimization of medical supply location
and distribution in disaster management, Int. J. Production Economics 126, 76–84.
9 - CREW (2005) Cascadia Subduction Zone Earthquakes: A Magnitude 9.0 Earthquake
Scenario
10 - Street, A., Oliveira, F. and Arroyo, J. M. (2011) Contingency-Constrained Unit
Commitment With n-K Security Criterion: A Robust Optimization Approach, IEEE
Transactions on Power Systems