BRUNO ANTUNES MAGRINI

DYLAN SALMONA CECCHI

FLÁVIO MATOS GARBIN

LEANDRO SEGURADO CATROCCHIO

RELAÇÃO ENTRE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E AS FORMAS DECIMAIS

DOS NÚMEROS RACIONAIS

Instituto de Matemática e Estatística – IME

Universidade de São Paulo – USP

São Paulo, 2010

INTRODUÇÃO:

As formas decimais dos números racionais é um conteúdo visto nas salas de 7º ano, antiga 6ª série, e revisto no 1º ano do Ensino Médio, onde é apresentado o conjunto Q dos números racionais, suas usuais operações de adição e multiplicação e suas consequências.

Neste trabalho iremos abordar a representação decimal dos números racionais e sua relação com o conceito de progressão geométrica. As P.G.’s são apresentadas aos alunos somente no 1º ano do Ensino Médio, mas muitas vezes não são relacionadas com as formas de representar um número racional.

No que segue, apresentaremos o conteúdo voltado para alunos do primeiro ano do ensino médio, primeiro progressão geométrica depois as representações dos números racionais e em seguida o modo como relacioná-los.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS:

Definição:

No sétimo ano (antiga sexta série) ocorre o a primeira definição do que são os números racionais, assim os alunos de ensino médio precisariam de uma revisão desse conceito. Como estes alunos já têm o conhecimento do que são os números inteiros

podemos definir os números racionais como sendo da forma com pertencentes

ao conjunto dos números inteiros e diferente de zero. Em notação matemática temos

.

As representações de um número racional:

Como visto acima temos , ou seja, o conjunto dos

números racionais pode ser representado por uma fração. Contudo, sabemos que essa fração indica uma divisão entre dois números inteiros, assim podemos efetuar essa operação e verificar a forma decimal de representação dos números racionais.

Racionais como decimais finitos e infinitos periódicos:

Vamos supor que q (o denominador) contenha apenas fatores primos 2 e/ou 5.

Supondo que o denominador possua apenas o fator primo 2, então teríamos um

número do tipo:

Nessa fração basta achar a fração equivalente na qual o denominador será um múltiplo de 10, isto é, temos que multiplicar o numerador e o denominador

por , assim temos :

Supondo que o denominador possua apenas o fator primo 5, então teríamos um

número do tipo:

Nessa fração basta achar a fração equivalente na qual o denominador será um múltiplo de 10, isto é, temos que multiplicar o numerador e o denominador

por , assim temos :

Supondo que o denominador possua os fatores primos 2 e 5 em quantidades

diferentes, então teríamos um número do tipo: .

Supondo sem perda de generalidade que : de forma análoga as

duas anteriores temos que achar uma a fração equivalente onde o denominador

seja múltiplo de dez, assim temos :

Supondo que o denominador possua os fatores primos 2 e 5 em quantidades

iguais, então teríamos um número do tipo: = .

Destas formas acima teremos uma fração decimal, na qual a divisão de seus termos será uma representação decimal finita da forma:

ou seja, a um deslocamento da virgula para a esquerda de n casas decimais.

Agora vamos supor que o número racional tenha em seu denominador fatores diferente de 2 e 5.

O número da forma , , tem resto que esta e

Assim, no momento operação o algoritmo de divisão ou nos fornecerá um resto

igual a zero em alguma passagem do algoritmo obtendo assim uma resposta exata, ou

nos fornecera infinitos restos r tais que . Logo, se esta divisão não

der exata, em alguma passagem do algoritmo o resto será igual a um anterior, e conseqüentemente os restos seguintes se repetirão na mesma seqüência.

No caso I quando temos resto 5 (seta) os restos seguintes começam a repetir os restos das primeiras passagens do algoritmo e conseqüentemente aparece a periodicidade no resultado (seta), observa-se que os restos repetiram infinitamente se continuarmos como o algoritmo, assim como os termos do resultado aparecerão sempre

na mesma seqüência. A notação para esse resultado é 0, No caso II temos a

divisão exata, ou seja, finita. Por fim podemos concluir que os número racionais podem ser representados da

forma , , na forma decimal finita e infinita periódica.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS:

Uma seqüência é qualquer grupo ou conjunto que para ser formado precisa obedecer a uma ordem. Podemos encontrar vários grupos que são seqüências em nosso dia-a-dia, como por exemplo: a lista de presença de um professor, as numerações das casas, a organização dos dias do ano , a classificação dos alunos aprovados no vestibular etc.

Na matemática uma das maneiras de trabalhar seqüência é através da progressão que é um tipo de seqüência que envolve apenas números que são dispostos conforme uma determinada regra. Existem dois tipos de progressões: uma é a Progressão Aritmética e a outra é a Progressão Geométrica. Cada uma possui uma regra e uma razão diferente. A seguir iremos focar exclusivamente nas progressões geométricas.

Definimos uma progressão geométrica, ou simplesmente uma P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro termo, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, a qual chamamos de razão.

Podemos calcular a razão de uma progressão geométrica, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 1/2, 1/4,1/8,...), q = 1/2. Em uma progressão geométrica de razão q, os termos a2, a3,…,an são obtidos, por definição, da seguinte maneira:

a1

a2 = a1.qa3 = a2.q = a1.q2

resto

0o

resultado começa a repetir

I) II)

a4 = a3.q = a2.q2 = a1.q3

.

.

.an = an-1.q = an-2.q2 = an-3.q3 = … = a1.qn-1

Chamaremos de expressão do termo geral a seguinte expressão:

an = a1.qn-1

Vale a pena constatar que, quando q<0, a P.G. terá uma alternância entre valores positivos e negativos. Se a1>0 então an é positivo, se n é ímpar ou an é negativo, se n é par. Se a1<0 então an é positivo, se n é par ou an é negativo, se n é ímpar. Esta progressão é chamada de Progressão Geométrica Oscilante.

Quando a1≠0 e q=0 então teremos uma progressão (a1, 0, 0, 0, …). Esta é chamada de Progressão Geométrica quase nula.

Quando a1=0 e q=0 então teremos uma progressão (0, 0, 0, …). Esta é chamada de Progressão Geométrica Nula.

Quando a1≠0 e q=1 então teremos uma progressão (a1, a1, a1, a1, …). Esta é chamada de Progressão Geométrica Constante.

Quando a1>0 e q>1 ou quando a1<0 e 0<q<1 então teremos uma Progressão Geométrica Crescente.

Quando a1>0 e 0<q<1 ou quando a1<0 e q>1 então teremos uma Progressão Geométrica Decrescente.

Outra importante ferramenta para o cálculo de progressões geométricas é a soma dos n primeiros termos, seja a P.G. finita ou infinita. Então separaremos agora em dois casos distintos:

i) Seja a P.G. (a1,a2,a3,…,an) finita. Então Sn = a1.(qn – 1)/(q – 1)Demonstração:Sn = a1 + a1.q1 + a1.q2 + … + a1.qn (1)q.Sn = q.(a1 + a1.q1 + a1.q2 + … + a1.qn)

q.Sn = a1q + a1.q2 + a1.q3 + … + a1.qn+1 (2)

Agora efetuamos a diferença entre (2) e (1):

q.Sn – Sn = a1.qn - a1

Sn.(q – 1) = a1.(qn – 1)

Portanto Sn = a1.(qn – 1)/(q – 1).

ii) Seja a P.G. (a1,a2,a3,…,an,…) infinita. A soma dos infinitos termos desta P.G. é chamada série geométrica e será bem definida quando |q|<1. Então sua soma será S∞ = a1/(1 – q).

Agora, se q≥1 e a1>0 então sua soma é mais infinito e se q≥1 e a1<0, sua soma é menos infinito. Então:

PLANO DE AULA:

Público alvo: Alunos do primeiro ano do ensino médio.

Pré requisitos: Conjuntos dos números racionais e soma de P. G. infinita.

Objetivos: Relacionar o conceito de P.G. com a representação decimal infinita e periódica de racionais.

Materiais: Papel Kraft, fita métrica, régua e tinta.

Aulas previstas: Uma aula para fazer a atividade de divisão e outra para formalizar a relação entre os conceitos.

ATIVIDADES:

1ª Aula:

Após uma rápida explicação sobre o tema da aula para os alunos começamos uma revisão sobre a forma de representação dos números racionais em frações.

“1/3” é racional? E como podemos escrever o mesmo número de outra forma? Ao colocar essas questões para os alunos devemos incentivar a discussão e ouvir as respostas deles. É bem possível que algum aluno sugira a representação decimal. Como devemos representar esse mesmo número de forma decimal? Podemos fazer a divisão de 1 por três. Executamos o algoritmo da divisão e depois de muitas iterações levantamos a hipótese de a divisão não ter fim.

Colocamos o papel Kraft colado de ponta a ponta em uma parede e pedimos para eles desenharem uma linha representando as medidas dos números, tendo como parâmetro que o Kraft inteiro vale 10u e encontrarem a localização dos seguintes números racionais:

i. 4/2 = 2ii. 19/5 = 3,8

iii. 15/4 = 3,75iv. 13/20 = 0,65v. 177/33 = 5,363636363636...

Para representar os números vamos fazendo as divisões consecutivas por 10 na linha. Se a parede tiver 6 metros cada unidade vai valer 60 cm, u/10 = 6cm, u/100 = 0,6 cm, daqui para frente teremos que desenhar outra linha no papel Kraft onde o comprimento todo (6m) irá valer u/100. Temos que ter cuidado nesse momento para explicar bem que a nova linha é uma representação de uma parte da outra linha, como uma lupa de aumento. Para alcançarmos um número razoável de casas decimais a direita da virgula temos que desenhar 3 linhas no Kraft (alcançando u/100000000)

Os quatro primeiros números com certeza os alunos não terão dificuldade. Quando eles estiverem no quinto eles irão ter que utilizar as outras linhas e ao chegar na menor unidade da terceira linha (5,36363636)vamos começar a refletir melhor com os alunos sobre as linhas e as divisões.

Questões a serem levantadas: Porque alguns números nós conseguimos representar e o ultimo não? Existe algum padrão nesse número?

Teremos que levar a discussão para a questão de que para o número ser representado naquela reta ele tem que, em algum momento, “cair” em algum ponto que nós estamos representando. Mas o que significa “cair” em um ponto da reta? Para resolver essa questão devemos analisar os pontos representados e mostrar aos alunos que esses pontos sempre são as forma a*1/10ⁿ com a sendo um natural e n o número de casas após a virgula. Assim observamos que 4/2 = 2 = 2+1/10º ; 19/5 = 3,8 = 3 + 0,8 = 3+8*1/10; 15/4 = 3,75 = 3+0,7+0,05 = 3+7*1/10+5*1/100 e assim por diante. Com isso podemos chegar à conclusão de que esses números que caem em algum lugar podem ser escritos da forma p/q com q = 10ⁿ, ou seja eles só podem ter os fatores 2 e 5 no divisor.

Aula 2:

Pequena revisão da aula 1. Lembrando como os números com representação decimal finita podem ser escritos. E o número que não conseguimos encontrar o final da representação? 177/33 não pode ser escrito da forma p\q com q = 10ⁿ, pois 3 e 11 não são fatores de 10ⁿ. Assim, através do desenho utilizando as divisões sucessivas, percebemos que esse número nunca vai “cair” em um número do nosso desenho, não importando quantas linhas a mais coloquemos, pois os restos das divisões se repetem e ao dividirmos novamente continuaram gerando os mesmos restos, portanto esses números repetem eternamente. Então quantas vezes podemos fazer essa operação? Tantas vezes quanto quisermos, podemos repetir essa ação infinitas vezes, gerando assim infinitas casas decimais, com as parcelas sendo cada vez menor, infinitamente pequeno.

Para representar ele de forma decimal voltamos ao desenho e fazemos a soma das partes divididas ( 0,00000036+0,000036 + 0,0036 + 0,36 + 5) mas como sabemos essa soma não tem fim, ela segue infinitamente. Neste momento induzimos os alunos a relacionarem os elementos dessa soma com os elementos de uma Progressão Geométrica. Para isso mostramos que o próximo elemento da soma é igual ao anterior multiplicado por 1/100, ou seja, podemos representar essa seqüência através de uma P.G. de razão 1/100 com a1 = 0,36.

Com certeza os próprios alunos irão sugerir que façamos a soma dessa P.G. infinita através da fórmula (previamente trabalhada com os alunos) da soma de uma P.G. infinita para representar o número.

S∞ = a1/(1 – q).

Como podemos fazer para descobrirmos a fração que gerou alguma dizima conhecida? Sempre ouvindo as opiniões dos alunos chegamos ao seguinte resultado (utilizando o mesmo número do exemplo anterior):

5,363636... = 5+0,3636...=5+ 0,36/(1-1/100)=5+0,36/0,99=5+36/99

=495/99+36/99 = 531/99 que também pode ser escrito na forma 177/33.

Através da formula de soma de P.G. infinita conseguimos descobrir a fração que

gerou uma dizima periódica. A fração que dá origem a uma dízima periódica é chamada

fração geratriz.

Então formalizando:

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas

periódicas compostas. 

Dízimas periódicas   simples

São dízimas periódicas simples, quando o período apresenta-se logo após a

vírgula. (o período é o conjunto de algarismos que se repete indefinidamente).

EX:

A representação decimal das frações de dizimas periódicas simples tem fração

geratriz onde o numerador é igual ao período e o denominador tem tantos noves quantos

são os algarismos do período.

Considere uma dízima m formada com K algarismos no período:

m = 0,

Multiplicando os dois membros por , temos:

.m = , . Passando m para o 1º.

membro,

temos:

.m - m = , onde temos:

m = , que representa uma fórmula geral de qualquer

geratriz

procurada, ou que queiramos estabelecer.

Exemplo: Calcular a dízima de 0,6789. Resolução:

m = 0,6789; = = = 9999 ; m = . Assim sendo, m =

representa a geratriz procurada.

Dízimas periódicas   Compostas

São dízimas periódicas compostas, quando entre o período e a vírgula existe uma

parte não periódica.

EX:

Considere uma dízima da seguinte forma:

m = 0,B , onde B representa a parte não-periódica com p algarismos e K

representando o período formado de q algarismos.

Multiplicando os dois membros por . , temos:

e . Assim, teremos:

= -

; que representa uma

fórmula geral de qualquer geratriz procurada, ou que queiramos estabelecer.

Exemplo: Calcular a geratriz de 0, 32.

Resolução:

m = 0,32 ; k = 2 ; B = 3 ; p = 1 ; q = 1. Então, teremos:

; ;

m = 29 / 90. Assim sendo, 29 / 90 representa a geratriz procurada.

Para fixar o conceito passamos para os alunos alguns exercícios de identificação

de números com representação finita e infinita e exercícios de identificação de frações

geradoras de dizimas periódicas, utilizando números que gerem alguns problemas não

vistos a aula para que eles pensem no assunto, como dizimas com maiores períodos, e

até mesmo a questão de como representar a dizima 0,99999999... em forma de fração.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

1) ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. Editora Edgard Blücher, 3ª edição, 2006.

2) BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 6 série, livro do professor. Editora Moderna ,4 edição, 1996.

3) PAIVA, Manoel. Matemátia: conceitos, linguage e aplicações; volume 1. Editora Moderna, 2002.

4) CERRI, Cristina. Desvendando os Números Reais (pdf). Mini-curso, Bienal de Matemática, 2006. Acesso em 23/09/2010. Disponível em: www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf

5) GARCIA, Vera Clotílde. Sistemas Numéricos – A representação decimal dos Reais. Artigo disponibilizado pelo Instituto de Matemática e Estatística da UFRGS. Acesso em 23/09/2010. Disponível em: http://euler.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/decimais-web/decimais_texto_Representacao_decimal_reais_tarefa1.htm

6) Nascimento de Paula, Rinon. Conjunto dos Números Racionais: Algumas dificuldades didáticas