GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Problemas MétricosDistância entre Dois Pontos

© antónio de campos, 2009

GENERALIDADESOs problemas métricos são situações que envolvem a determinação de alguma grandeza mensurável (distância ou ângulo). Por norma, trata-se da determinação da verdadeira grandeza.

Para resolver estes problemas métricos é necessário a utilização dos métodos geométricos auxiliares, em particular o rebatimento e a mudança de diedro de projecção.

Quando se refere à distância, entende-se que se trata da menor distância entre dois elementos.

Distância entre dois pontos, via rebatimento do Segmento de Recta para o Plano Frontal de

ProjecçãoPretende-se a distância entre o ponto A e o ponto B do segmento de recta oblíquo [AB]. O processo do rebatimento é o mais rápido, havendo quatro variações.

x

xz

xy

α

fα

hα

A2

A1

B1

B2

B

A

x

hα

fα

A2

B2

A1

B1

≡ e2 ≡ fαr

≡ hαr

(e1)

≡ hαr

≡ e2 ≡ fαr

(e1)

Ar

Br

V.G.

Ar

Br

V.G.

Distância entre dois pontos, via rebatimento do Segmento de Recta para o Plano Horizontal de

ProjecçãoPretende-se a distância entre o ponto A e o ponto B do segmento de recta oblíquo [AB].

x

xz

xy

α

fα

hα

A2

A1

B1

B2

B

A

x

hα

fα

A2

B2

A1

B1

≡ e1 ≡ hαr

≡ e1 ≡ hαr Ar

BrV.G.

Ar

Br

V.G.

fαr

fαr

≡ e2

≡ e2

Distância entre dois pontos, via rebatimento do Segmento de Recta para o Plano Horizontal de

ProjecçãoPretende-se a distância entre o ponto A e o ponto B do segmento de recta oblíquo [AB], via uma recta e (uma recta do plano) como charneira, rebatendo o plano projectante horizontal do segmento de recta.

x

xz

xy

α

fα

hα

A2

A1

B1

B2

B

A

x

hα

fα

A2

B2

A1

B1

≡ e1

≡ e1

ArBrV.G.

Ar

Br

V.G.

≡ e2

≡ e2

Distância entre dois pontos, via rebatimento do Segmento de Recta para um Plano Horizontal

Pretende-se a distância entre o ponto A e o ponto B do segmento de recta oblíquo [AB], via uma recta e (uma recta do plano) como charneira, rebatendo o plano projectante horizontal do segmento de recta para um plano horizontal que passa por um dos pontos.

x

xz

xy

α

fα

hα

A2

A1 ≡ O1 B1

B2

B ≡ Br

A

x

A2

B2

A1 ≡ O1 ≡ Or

B1 ≡ Br

e1

e

ArV.G.

ArV.G.

≡ e2

υ

≡ e1

(fυ) ≡ e2

(fυ) ≡ e2 O2

O ≡ Or

O2

São dados dois pontos A (2; 1; 3) e B (-3; 4; 3). Determina a V.G. da distância de A a B.

x

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

V.G.

São dados dois pontos M (3; 1; 5) e N (-1; 4; 2). Determina a V.G. da distância de M a N, pelo o rebatimento do plano projectante horizontal do segmento [MN] para o plano horizontal que contém o ponto N.

x

y ≡ z

M1

M2

N1

N2 (fυ) ≡ e2

e1

Mr V.G. ≡ Nr

São dados dois pontos M (3; 1; 5) e N (-1; 4; 2). Determina a V.G. da distância de M a N, pelo o rebatimento do plano projectante frontal do segmento [MN] para o plano frontal que contém o ponto N.

x

y ≡ z

M1

M2

N1

N2

(hφ) ≡ e1

e2

MrV.G.

≡ Nr

São dados dois pontos A (2; 2; 1) e B (-3; 4; 5). Determina a V.G. da distância de A a B, recorrendo a uma mudança de diedros de projecção em relação ao plano projectante frontal que contém os dois pontos.

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

x21

x’

24

A 4

B 4

V.G.