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POLINMIOS ORTOGONAIS E QUADRATURA DE GAUSS

POLIANA MOITA BRAGAUniversidade Catlica de Braslia

Curso de MatemticaOrientador: Jos Eduardo CastilhoRESUMO

O grupo de polinmios ortogonais vem sendo bastante estudado por apresentar propriedades e caractersticasimportantes, que podem ser empregadas em vrias reas da Matemtica Pura e Aplicada, principalmente noscampos de Engenharias, Estatstica e Biologia. Atravs desses polinmios pode-se trabalhar nas reas deaproximao de zeros de funes, quadraturas numricas, teorias de fraes contnuas, teoria de cdigos, entreoutras. Uma aplicao que ser mostrada nesse trabalho o desenvolvimento das frmulas de Quadratura deGauss, por se basearem nas propriedades desses polinmios e serem de fcil implementao, com bonsresultados e excelente preciso.

Palavras-chave: polinmios ortogonais; quadratura de Gauss.

1. INTRODUO

As aplicaes dos polinmios ortogonais surgem cada vez mais em problemas fundamentaisna matemtica, nas reas de aproximao de funes, fraes contnuas, teoria dos cdigos,entre outras, sendo assim objeto de estudo de vrios pesquisadores. A principal caractersticados polinmios ortogonais que estes formam uma base ortogonal dos espaos deaproximao com propriedades interessantes na resoluo de certos problemas relacionadoscom Equaes Diferenciais, Fraes Contnuas e Teoria da Aproximao (DARUIS,2003;DAVIS, 1976; DIMITROV, 2000; GAUTSCHI, 1985).

Este trabalho tem como objetivo, mostrar a aplicao dos polinmios ortogonais clssicos nagerao de frmulas de quadratura. Um mtodo de quadratura numrica aproxima o valor deuma integral de uma funo )(xf , com relao a uma funo peso )(xw , da seguinte forma:

( ) =

b

a

n

k

kk xfAdxxfxw0

)()( .

Em geral as frmulas de quadratura so baseadas na estratgia de aproximar a funo )(xf por um polinmio interpolador e a integral da funo substituda pela integral do polinmio.Este o caso das Frmulasde Newton-Ctes, a mais conhecida das frmulas de quadratura.

As Frmulas de Newton-Ctes baseadas no polinmio interpolador de grau n conseguem serexatas para polinmios de grau menor ou igual a n , se n for mpar, e exata para polinmiosde grau menor ou igual a 1+n , se n for par (BURDEN e FAIRES, 2003).

No caso das frmulas de quadratura baseadas nos polinmios ortogonais de grau 1+n , tem-seque so exatas para polinmios de grau menor ou igual a 12 +n , um ganho considervel napreciso de aproximao. Estas frmulas so chamadas de Quadratura de Gauss, devido aoresultado demonstrado por Gauss, em 1812, e que ser apresentado no Teorema 5.


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2

O trabalho est organizado da seguinte forma:Na seo 2 - Polinmios ortogonais contm a sua definio, demonstrao das principaispropriedades e principais polinmios ortogonais.Na seo 3 Quadratura de Gauss com a definio e exemplos de Frmulas de

Quadraturas de Gauss.Na seo 4 Consideraes Finais apresentando as concluses referentes s duas seesanteriores.

2. POLINMIOS ORTOGONAIS

Os polinmios ortogonais so ferramentas essenciais na soluo de diversos problemas emMatemtica Aplicada como tambm em Matemtica Pura. Nesta seo ser mostrado que ospolinmios ortogonais formam uma base para espaos de aproximao de funes, o quepermite resoluo de problemas relacionados essas aproximaes.

Definio 1:Seja uma famlia de polinmios ),...,(),(),( 210 xxx de graus 0, 1, 2, ... . Se:

=

0,0)(),(

,0)(),(

iji

ji

paraxx

e

jiparaxx

(1)

ento, os polinmios ),...,(),(),( 210 xxx se dizem ortogonais.

Neste estudo, ser considerado o produto interno:

=b

adxxwxgxfgf )()()(, (2)

com 0)( xw e contnua em [ ]ba, . A funo )(xw chamada de funo peso, podendoatribuir vrios graus de importncia aproximao em certas pores do intervalo.

Os polinmios )(xi , ,...2,1,0=i podem ser obtidos pela ortogonalizao da seqncia

{ },...,,1 2xx ou, recorrentemente, pelo resultado do seguinte teorema:

Teorema 1:Sejam os polinmios ),...,(),(),( 210 xxx de graus 0, 1, 2, ..., definidos por:

=

=

=

=

+)()()()(

,...,3,2,1,

)()(),(

)(),()(

,1)(

11

000

001

0

xxxxx

kparae

xxx

xxxxx

x

kkkkkk

(3)

onde:( ) ( )

( ) ( )xx

xxx

kk

kk

k

=

,

, e

( ) ( )

( ) ( )xx

xx

kk

kk

k

11 ,

,

= .


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3

Os polinmios ),...,(),(),( 210 xxx assim definidos so dois a dois ortogonais, isto ,satisfazem (1).

A demonstrao deste teorema pode ser encontrada em (CUMINATO, 2008).

Assim, de (3), tem-se diversas famlias de polinmios ortogonais, que se diferenciam peladefinio do produto interno que geram os coeficientes e . De certa forma, do Teorema 1obtm-se de forma fcil uma seqncia de polinmios ortogonais, pois utilizado na frmulade recorrncia apenas trs termos para a obteno de qualquer polinmio da seqncia 2k .

2.1 Propriedades dos polinmios ortogonais

Seguem abaixo algumas das propriedades dos polinmios ortogonais que sero importantespara a obteno das frmulas de quadratura de Gauss.

Teorema 2: Sejam ),...,(),(),( 210 xxx polinmios ortogonais, no nulos, segundo um

produto interno qualquer. Ento, qualquer polinmio de grau menor ou igual a n pode serescrito como uma combinao linear de ( )xxxx n ),...,(),(),( 210 .

Demonstrao: Os polinmios ( )xxxx n ),...,(),(),( 210 constituem uma base para o

espao dos polinmios de grau menor ou igual a n . Assim, se ( )xQ um polinmios daforma:

n

nxaxaaxQ +++= ...)( 10 ,

ento ( )xQ pode ser escrito, atravs de mudana de base, como:

( ) ( ) ( )xbxbxbxQ nn +++= ...)( 1100 .

Teorema 3: Sejam ( )xxxx n ),...,(),(),( 210 nas condies do Teorema 1. Ento )(xn

ortogonal a qualquer polinmio )(xQ de grau menor que n .

Demonstrao: Seja )(xQ um polinmio de grau 1n . Pelo teorema anterior tem-se que:

)(...)()()( 111100 xbxbxbxQ nn +++=

ento:( ) )(),(...)()(),( 111100 xxbxbxbxxQ nnnn +++=

)(),(...)(),()(),( 111100 xxbxxbxxb nnnnn +++=

0= .desde que os polinmios ( )xxxx n ),...,(),(),( 210 sejam doisa dois ortogonais.

Teorema 4: Sejam ),...,(),(),( 210 xxx polinmios ortogonais segundo o produto interno:

=b

a

dxxwxgxfgf )()()(,


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4

com 0)( xw e contnua em [ ]ba, . Ento )(xn tem n razes reaisdistintas em [ ]ba, .

Demonstrao: A fim de verificar a veracidade deste teorema, a demonstrao ser divididaem trs partes:

(a) )(xn possui algum zero em [ ]ba, ;

(b) os zeros de )(xn em [ ]ba, , so simples;

(c) os n zeros de )(xn esto em [ ]ba, .

Os trs itens sero provados por absurdo.

Assim, para provar (a), supe por absurdo que )(xn

no possui zeros em [ ]ba, . Portanto em

[ ]ba, , 0)( xn . Ento:

=b

a

nn dxxxxwxx )()()()(),( 00

=b

a

n dxxxw 0)()(

desde que 1)(0 = x , 0)( >xw , mas no pode ser identicamente nula, e 0)( xn em [ ]ba, .

Mas )(xn e )(0 x so ortogonais, conseqentemente 0)(),( 0 = xxn . Logo um

absurdo supor que )(xn no possui zeros em [ ]ba, .

Para provar (b) por absurdo, supe-se que exista uma raiz de )(xn que seja demultiplicidade 2..

Seja 1x essa raiz. Portanto:

21 )(

)(

xx

xn

,

um polinmios de grau 2n . Assim, pelo Teorema 3:

( ) ( )

( )0,

21

=

xx

xx nn

mas, pelas propriedades de produto interno:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

=

b

a

n

n

n

n dxxx

xxxw

xx

xx

21

21

,


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5

( )

( )

( )

( )

=

b

a

nn dxxx

x

xx

xxw

11

)(

( )

( )

( )

( )0),(

11

=

xx

x

xx

x nn

onde a igualdade vlida se e somente se( )

( )1xx

xn

for o polinmio nulo. Portanto um

absurdo supor que os zeros de ( )xn em [ ]ba, no so simples.

Finalmente, para provar (c) ser suposto, por absurdo, que exista apenas j zeros de ( )xn

em [ ]ba, , com nj < .

Sejam jxxx ,...,, 21 os zeros de ( )xn em [ ]ba, . Ento:

( )( ) )(...)( 21 xqxxxxxxx jnjn =

onde 0jnq em [ ]ba, .Assim, pelo Teorema 3, segue que:

0))...()((),( 21 = jn xxxxxxx

Mas, pelas propriedades de produto interno:

= ))...()((),( 21 jn xxxxxxx

dxxxxxxqxxxxxw jjnj

b

a

))...()(()()...)(( 11 =

0)()(...))(( 221 = dxxqxxxxxw jnjb

a

Portanto, um absurdo supor que os n zeros de ( )xn no esto em [ ]ba, .

Assim, comprova-se que ( )xn

possui n zeros (reais), distintos em [ ]ba, .

O teorema a seguir foi demonstrado por Gauss, em 1812, revelando assim a importncia dospolinmios ortogonais. Consequentemente, nos ltimos sculos despertou-se a curiosidade noestudo de localizao precisa dezeros desses polinmios (BRACCIALI e ANDRADE, 2006).

Teorema 5:Sejam ),...,(),(),( 210 xxx nas condies do Teorema 4. Sejam nxxx ,...,, 10

as razes de ( )xn 1+ . Ento, se )(xf um polinmio de grau menor ou igual a 12 +n ,

( )

=

=

b

a

n

k

kk xfAdxxfxw0

)()( (4)


6/15

6

onde

( )=b

a

kk dxxxwA l)(

e kl so polinmios de Lagrange sobre as razes nxxx ,...,, 10 de ( )xn 1+ , isto satisfazem

==

skse

sksexsk 0

1)(l

Demonstrao: Como nxxx ,...,, 10 so razes de ( )xn 1+ , pode-se escrever:

( ) ))...()(( 1001 nn xxxxxxax = + (5)

Seja )(xPn o polinmio de interpolao de )(xf sobre nxxx ,...,, 10 em [ ]ba, . Sabe-se que:

)()()( xRxPxf nn +=

onde )(xRn o erro na interpolao. Assim:

( )

( )!1))...()(()()()(

)1(

10+

==

+

n

fxxxxxxxRxPxf

n

nnn

com ba e dependendo de x .

Ento, em vista de (5) e de que funo de x , escreve-se:

)!1()(

)()()()1(

10+

=

+

+

n

xfxbxPxf

n

nn .

Como )(xf um polinmio de grau menor ou igual a 12 +n , tem-se que:

)!1()(

)()1(

+=

+

n

xfxq

n

,

um polinmio de grau menor ou igual a n . Deste modo:

)()()()( 10 xqxbxPxf nn += (6)

Integrando (6)de a at b , com a funo peso )(xw , obtem-se que:

[ ] +=b

a

n

b

a

n dxxqxbxwdxxPxfxw )()()()()()( 10


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7

Pelo Teorema 3, o lado direito da igualdade acima igual a zero. Assim:

[ ] 0)()()( = dxxPxfxwb

a

n ,

ou

=b

a

n

b

a

dxxPxwdxxfxw )()()()(

=

=

b

a

n

k

kk xfxxw0

)()()( l

=

=

b

a

k

n

k

k dxxxwxf )()()(0

l

=

=

n

k

kk xfA

0

)(

Portanto, fica provada a relao (4).

Este teorema garante ento que, para integrar um polinmio de certo grau k, basta trabalharcom um polinmio ortogonal de grau 2/)1( +k , onde t representa o menor inteiro quesupera t. E mais, descartados os erros de arredondamento, o resultado deve ser exato(CUMINATO, 2008).

2.2 Principais polinmios ortogonais

Dentre os polinmios ortogonais destacam-se os polinmios de Legendre, Laguerre eHermite. Nessa seo ser apresentado o produto interno, os primeiros polinmios e os termosde recorrncia de cada uma dessas famlias.

2.2.1 Polinmios de Legendre

Os polinmios de Legendre ( ) ( ),...,, 10 xPxP so obtidos segundo o produto interno:

=

1

1

)()(),( dxxgxfgf (7)

isto , com ( ) 1=xw , 1=a e 1=b .

Os primeiros polinmios de Legendre so:

( ) 10 =xP

( ) xxP =1

( ) ( )1321 2

2 = xxP

( ) ( )xxxP 3521 3

3 =


8/15

8

( ) ( )3303581 24

4 += xxxP

.

.

.

Os polinmios de Legendre podem, ainda, ser obtidos pela frmula de recorrncia:

,...3,2),(1

)(12

)( 21 =

=

nxPn

nxxP

n

nxP nnn (8)

2.2.2 Polinmios de Laguerre

Os polinmios de Laguerre ),....,(),( 10 xLxL provm do uso do produto interno:

=

0

)()(),( dxxgxfegf x

portanto, xexw =)( , 0=a e =b .

Primeiros polinmios:

1)(0 =xL

1)(1 += xxL

24)( 22 += xxxL

6189)( 233 ++= xxxxL ...

Frmula de recorrncia:

,...3,2),()1()()12()( 22

1 == nxLnxLxnxL nnn

2.2.3 Polinmios de Hermite

O produto interno usado para se obter os polinmios de Hermite :

= dxxgxfegf x )()(),(

2

,

ou seja, funo peso ( )2xexw = , =a e =b .

Polinmios:

1)(0 =xH

xxH 2)(1 =


9/15

9

24)( 22 = xxH

xxxH 128)( 33 = .

..

Com frmula de recorrncia:

)()1(2)(2)( 21 xHnxxHxH nnn =

3. QUADRATURA DE GAUSS

A Quadratura de Gauss um mtodo de integrao numrica que fornece flexibilidade emescolher no somente os coeficientes da funo peso, mas tambm a localizao onde as

funes so avaliadas. Uma grande vantagem do mtodo de Quadratura de Gauss a grandepreciso que se pode obter em relao s Frmulas de Newton-Ctes. As regras daQuadratura de Gauss so deduzidas para uma integral com intervalo de integrao [a,b], noqual dos polinmios satisfazem a condio de ortogonalidade (1). Mas podem ser facilmentegeneralizadas a um intervalo de integrao qualquer com uma mudana de variveisadequada.

Como demonstrado no Teorema 5, as Frmulas de Quadratura de Gauss aproximam a integralusando combinao linear dos valores da funo. Assim, so formulas usadas para se calcular:

b

a

dxxfxw )()( ,

e calcula-se o valor aproximado da integral usando:

=

b

a

n

k

kk xfAdxxfxw0

)()()(

onde :

=b

a

kk dxxxwA )()( l

e )(xkl so polinmios de Lagrange sobre as razes nxxx ,...,, 10 de )(1 xn+ e satisfazem

=

= skse

skse

xsk 0

1

)(l .

Com isto, o algoritmo para se calcular uma integral usando Quadratura de Gauss, segue osseguintes passos:

Passo 1: Determinar o polinmio ortogonal )(1 xn+ , segundo o produto interno

conveniente, isto , com funo peso )(xw e no intervalo ],[ ba .

Passo 2:Calcular as razes nxxx ,...,, 10 de )(1 xn+ .


10/15

10

Passo 3:Determinar os polinmios de Lagrange )(xkl , nk ,...1,0= , usando os pontos

nxxx ,...,, 10 do Passo 2.

Passo 4: Calcular

=

b

a

kk dxxxwA )()( l , nk ,...1,0= .

Passo 5: Calcular o valor de )(xf em nxxx ,...,, 10 .

Passo 6: Calcular, finalmente,

=

b

a

n

k

kk xfAdxxfxw0

)()()(

Esse procedimento vlido para qualquer famlia de polinmios ortogonais definidas peloproduto interno.

3.1 Exemplos Numricos

Para ilustrar o procedimento da Quadratura de Gauss, so apresentados alguns exemplos, quepodem ser comparados com a soluo exata.

Exemplo 1:Calcular ( )

1

1

3 5 dxxx

Na integral, tem-se ( ) xxxf 53 = , 1=a , 1=b , ( ) 1=xw , o que determina o uso dos

Polinmios de Legendre. Assim ( )xf um polinmio de grau 3, e pelo Teorema 5, se ( )xf um polinmio de grau 12 +n , o resultado da integral exato quando o grau do polinmioortogonal for 1=n (a menos de erros de arredondamento).

Assim devem-se utilizar os zeros de ( ) ( )xxn 21 = + , para resolver a integral. Aplicando arelao de recorrncia (8), tem-se:

( ) ( )1321 2

2 = xx ,

o que finaliza o passo 1.

O passo 2 determina que se encontre as razes de ( )x2 , sendo estas aproximadamente57735.00 =x e 55735.01 =x .

Sendo: ( ) ( )

( )10

10

xx

xxx

=l , ( )

( )

( )01

01

xx

xxx

=l , os polinmios encontrados no passo 3, segue

que:


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11

( ) ( )

( )dx

xx

xxdxxA

==

1

1

1

1 10

100 l

( ) ( ) ( )

1

11

2

10

1

11

10 )(2

11

=

=

xxx

xxdxxxxx

12

2

1

1=

=

x

x.

Desde que 10 xx = e 02

1

1

2

=

x. Do mesmo modo:

( ) ( )

( )dx

xx

xxdxxA

==

1

1

1

1 01

011 l

( ) ( )

( )

1

1

0

2

01

1

10

01

)(2

11

=

= xx

x

xxdxxx

xx

12

2

0

0=

=

x

x,

o que conclui o passo 4.

O passo 5 determina que a funo f seja calculada nos zeros de ( )x2 . Assim:

( ) ( ) ( ) ( )57735.0557735.057735.0 30 == fxf ,

( ) ( ) ( ) ( )57735.0557735.057735.0 31 == fxf .

Finalmente, no passo 6, calcula-se a aproximao da integral:

( ) ( ) ( )11001

1

3 5 xfAxfAdxxx +=

( ) )]57735.0(557735.0[1 3 =

0)]57735.0(5)57735.0[(1 3 =+

O valor obtido o valor exato da integral, j que a funo um polinmio de grau 3 e foiusado o polinmio de Legendre de grau 2.

Exemplo 2:Calcular 2

1 x

dx.

Neste caso o intervalo de integrao no coincide com o intervalo ]1,1[ de definio doproduto interno de Legendre. Isto exige um procedimento de mudana de varivel, onde, para

1,1 == tx e para 1,2 == tx . A equao da reta que passa por (1,-1) e (2,1) pode ser obtidapor:


12/15

12

032

112

111

1

=++= tx

tx

Assim:2

3+=

tx e dtdx

2

1= .

Portanto:

+=

+=

1

1

1

1

2

1 321

.

23

1t

dtdt

tx

dx

Ento, satisfeitas as condies de Quadratura de Gauss-Legendre com ( ) 1=xw , 1=a e

1=b e 31)( += ttf . Seguindo os passos do Exemplo 1 e considerando 2=n a aproximao

dada por:

=+

=

)(3

1 2

0

1

1K

K

k tfAdtt

)88888.0)(33333.0()55555.0)(26492.044935.0( ++= 69310.0=

Cuja soluo exata :

...693147180.0)2ln(

2

1

==

xdx

Calculando com 4=n e 9 casas decimais a aproximao obtida :

693147156.02

1

xdx

,

o que pode ser considerado um bom resultado.

Exemplo 3: Calcular

0

cos dxxe x

A integral atende ao intervalo de integrao da Frmula de Gauss-Laguerre, onde a funopeso xexw =)( , com intervalos 0=a e =b , e xxf cos)( = . Como no se tem condiode determinar o nmero exato de pontos que se precisa ter para a resoluo da integral, fixa-se

2=n , que adotando os passos do Exemplo 1, aproximar a integral da seguinte forma:

)0.1(01039.0)6620.0(2785.0)9148.0(7111.0cos0

++=

dxxe x

4765.0

.


13/15

13

Comparando com o valor exato, 0.5, nota-se que a aproximao obtida foi da ordem de 210 .

Exemplo 4: Calcular

1

2

dxxe x

.

A integral tem como funo peso xexw =)( , assim pode-se empregar a Frmula deQuadratura de Gauss-Laguerre, mas o intervalo de integrao no coincide com o do produtointerno definido para essa quadratura. Logo necessrio que se faa uma mudana devarivel. Como um dos limites de integrao infinito, a mudana de varivel dever ser feitavia clculo. Define-se que 1+=zx , tendo que quando 00 == zx ; e quando

== zx ; dzdx = .

Ento:dzzeedzzedxxe

zzx

+

+=+=

0

21

0

2)1(

1

2 )1()1(

satisfazendo deste modo, as condies da Frmula de Quadratura de Gauss-Laguerre.

Como )(xf um polinmios de grau 2, fazendo 212 =+n , tem-se que 12

1== nn , desde

que n indique o ndice do ltimo ponto a ser considerado, e, portanto deve ser um inteiro.Com o polinmio ortogonal de grau 2, a integral aproximada da forma:

)9999998.4()1( 1

0

21

1

2

+= edzzeedxxe

zx .

O resultado exato da integral e/5 . A pequena diferena que existe entre o resultado exato eo valor obtido devido aos erros de arredondamento.

Exemplo 5: Calcular

dxxe

x2

2

2

A integral atende as condies da Frmula de Gauss-Hermite, com ( )2xexw = , =a ,

=b e2

)(2x

xf = . Assim, seguido os passos do Exemplo 1 e considerando 2=n , a

aproximao dada por:

= 4431.025.028662.02

2

2

dxxe

x


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14

Observe que neste exemplo a soluo exata ...4431134.02

=

, o que mostra que a

aproximao exata at a quarta casa.

4. CONSIDERAES FINAIS

Os polinmios ortogonais, como descritos no trabalho, apresentam inmeras aplicaes emvrias reas da matemtica pura e aplicada. Entre elas foi apresentada a Frmula deQuadratura de Gauss que se baseia nas propriedades desses polinmios e aproximam aintegral usando combinao linear dos valores da funo.

O que diferencia o mtodo da Quadratura de Gauss das outras formas de aproximao, queela nos fornece resultados mais precisos por serem exatas para polinmios de grau menor ouigual a 12 +n . Mas leva a desvantagem de se ter que conhecer a funo em pontos

especficos, pois no permite trabalhar com quaisquer problemas em que se tenham somenteos pontos tabelados.

No clculo da Quadratura de Gauss, em que se tenha um intervalo distinto do intervalo ],[ ba onde os polinmios so mutuamente ortogonais, basta realizar uma mudana na varivel deintegrao. Assim, satisfazendo as condies de ortogonalidades, o procedimento para aaproximao se torna simples, pois quando particularizamos o produto interno, isto , quandose utiliza os polinmios de Legrendre, Laguerre e Hermite, necessrio apenas efetuar ospassos 5 e 6 do algoritmo, uma vez que os valores de kx e kA podem ser tabelados.

Em alguns exemplos apresentados para o clculo de integrais a )(xf um polinmio deordem 12 +n ou menor. Em situaes reais, )(xf normalmente no polinomial e nestecaso, necessrio determinar o erro cometido.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

BRACCIALI, Cleonice Ftima; ANDRADA, Eliana Xavier Linhares De. Zeros de polinmios ortogonais:interpretao eletrosttica e anlise de freqncias.In: Bienal da Sociedade Brasileira de Matemtica, III.Universidade Federal de Gois, Salvador GO, 2006.Disponvel em: http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/e.cleonice.pdf .Acesso em: 21out. 2008.

BURDEN, Richard L., Faires Douglas J. Anlise numrica, So Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

CUMINATO, Jos Alberto. Clculo numrico.Notas de aula, ICMC/USP.Disponvel em: www.simulab.uel.br/hoto/grad/numerico_mat/textos/cuminato.pdfAcesso em: 21out. 2008.

DARUIS, L., NJSTAD, O., VAN ASSCHE, W. Para-orthogonal polynomials in frequency analysis.Rocky Mountain J. Math., 33,629645, 2003.

DAVIS, P.J., RABINOWITZ, P. Numerical integration. Blaisdell Publ. Co., 1967.

DIMITROV, D.K., VAN ASSCHE, W. Lam differential equations and electrostatics. Proc. Amer. Math.Soc., 128, 36213628, 2000.


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GAUTSCHI, W. Orthogonal polynomials - constructive theory and applications. Journal of Computational andApplied Mathematics, 12e 13, 6176, 1985.

Poliana Moita Braga ([email protected])Curso de Matemtica, Universidade Catlica de BrasliaEPCT QS 07 Lote 01 guas Claras Taguatinga CEP.: 72966-700

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