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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

ESTRUTURAS ESTÁTICAS E SUAS RELAÇÕES CONCEITUAIS COM A

APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA:

Roteiro experimental para professores

Paulo Roberto Rodrigues Xavier

Maria Inês Martins

Belo Horizonte

2010

Sumário

Apresentação ........................................................................................................................ 3

1. Teoria da Aprendizagem Significativa .......................................................................... 4

2. Ensino da Estática e a Aprendizagem Significativa ...................................................... 7

3. Roteiros de Atividades Experimentais em Estática ........................................................9

APRESENTAÇÃO

Esse Roteiro é dirigido a professores de mecânica e estática, podendo ser trabalhado

em cursos de formação de professores de física, no ensino de engenharia e outros. O roteiro foi

criado para organizar a construção dos conhecimentos em estática, apoiada na prática

experimental e na computação, no trabalho grupal, na discussão e reconstrução desses

conhecimentos.

Assim o roteiro foi preparado para integrar às aulas de estática, uma discussão mais

ampla sobre estruturas, métodos simples de análise experimental, no sentido de mostrar uma

estática cada vez mais próxima da realidade dos educandos. As atividades propostas têm como

objetivo propor uma análise mais criteriosa, voltadas às aplicações em que os educandos são

levados a uma discussão mais profunda da mecânica aplicada.

E assim esperamos que a elaboração desse material possa enriquecer as aulas, com

mais uma possibilidade de planejamento, que envolve conteúdos pouco discutidos, mas que

representam em potencial grandes indicadores de aprendizagem.

1. TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA

1.1 A teoria da aprendizagem significativa de David Ausubel

A teoria da aprendizagem significativa foi profundamente discutida pelo psicólogo

americano David Ausubel (1918-1997). Para Ausubel (1978) não basta reter informações, deve

haver uma organização cognitiva, onde informações se cruzam, se organizam e vão formando

novas estruturas de informações, que por sua vez são geradas relações entre uma nova informação

com outra armazenada anteriormente.

O aprendizado significativo acontece quando uma informação nova é adquirida mediante

um esforço deliberado por parte do aprendiz em ligar a informação nova com conceitos

ou proposições relevantes preexistentes em sua estrutura cognitiva. (Ausubel et al.,

1978, p. 159).

Para Ausubel, a aprendizagem é significativa quando novos conhecimentos ancoram-se a

conceitos relevantes e já existentes na estrutura cognitiva do aluno. Ausubel também define essa

estrutura como “ conteúdo total de ideias de um certo indivíduo e sua organização; ou conteúdo e

organização de suas ideias em sua área particular de conhecimentos”( Ausubel, 1978, p37-38).

Pretende-se então, recorrer a esses registros e interpretações para subsidiar conhecimentos

posteriores relativos à estática possibilitando ampliar a compreensão de seu campo de aplicação e

estimular a aprendizagem significativa. Segundo Ausubel (1978b, p.41), "a essência do processo

de aprendizagem significativa é que ideias simbolicamente expressas sejam relacionadas de

maneira substantiva (não literal) e não arbitrária ao que o aprendiz já sabe, ou seja, a algum

aspecto de sua estrutura cognitiva especificamente relevante para a aprendizagem dessas ideias.

Este aspecto especificamente relevante pode ser, por exemplo, uma imagem, um símbolo, um

conceito, uma proposição, já significativo". Para Ausubel (1978c) a aprendizagem pode ser

significativa ou mecânica. Já a aprendizagem mecânica, estabelece quando o novo conhecimento

se dá sem estar vinculado a estruturas cognitivas anteriores. Para isso, as novas estruturas devem

ser compatíveis com o nível de abstração, de compreensão do aluno.

Para Ausubel as informações na mente humana estão dispostas de forma altamente

organizada. Estas informações formam uma hierarquia conceitual onde os elementos mais

específicos de conhecimento são ligados e assimilados a conceitos mais gerais e inclusivos. Deste

modo, estrutura cognitiva significa uma estrutura hierárquica de conceitos, que são representações

resultantes de experiências sensoriais do indivíduo e do processamento mental da informação

recebida (Moreira, 1999).

1.2 Aprendizagem mecânica

Quando o indivíduo adquire uma nova informação com pouca ou nenhuma relação com

os subsunçores existentes em sua estrutura cognitiva, este conhecimento não se relaciona

subsunçores específicos e é armazenado de forma literal e arbitrária. Segundo Ausubel, apesar de

antagônica a aprendizagem significativa se relaciona mesmo localizando em posições opostas.

1.3 Subsunçores

Ao longo da vida de uma criança ocorrem diversos tipos de interações com a realidade,

em que vão se formando redes de conhecimentos em sua estrutura cognitiva. Contudo, essas

redes apresentam-se de forma aleatória, não correlacionando de forma lógica, mas esses

conhecimentos são utilizados para satisfação do próprio ego da criança. Para Ausubel (1978) a

criança adquire subsunções através do que chamou de processo de formação de conceitos, onde

ocorrem generalizações e são adquiridos por assimilação, diferenciação progressiva e

reconciliação integrativa.

Como mapear subsunções num individuo? Segundo Fialho (1996), só se pode

compreender um indivíduo a partir de toda sua história cognitiva. Ausubel também sugeriu o uso

de organizadores prévios como veículos facilitadores da aprendizagem significativa quando não

existem na estrutura cognitiva os subsunçores adequados. Os organizadores prévios são materiais

introdutórios apresentados em nível mais alto de abstração, inclusividade e generalidade antes do

material a ser aprendido em si. O papel desses facilitadores é formar uma ponte cognitiva entre as

ideias a serem ancoradas na estrutura cognitiva do estudante às novas informações.

1.4 Condições para a aprendizagem significativa

Ausubel propõe duas condições básicas para que ocorra a aprendizagem significativa:

1.4.1 Conceitos relacionáveis

As informações a serem assimiladas devem ser potencialmente significativas para o

aprendiz, ou seja, o estudante deve apresentar conceitos relacionáveis, de forma substantiva e não

arbitrária, vinculados diretamente com o conhecimento a ser aprendido, o qual, por sua vez, deve

ter significado lógico.

1.4.2 Potencialidade da informação

Para que uma informação seja potencialmente significativa, o aprendiz deve estar

disposto para aprendê-la, caso contrário esse modelo irá caracterizar uma aprendizagem mecânica.

Com isso, o material deve ser potencialmente significativo, para que o processo de

aprendizagem como um todo seja significativo.

Figura 1. Esquema da teoria de Ausubel.

Fonte: Arquivo pessoal.

O esquema acima revela a natureza da teoria da aprendizagem significativa de Ausubel.

O aluno que detém um conjunto de informações de forma não aleatória, em sua estrutura

cognitiva, acumula conhecimentos significativamente. Esse fato revela um caráter novo, não

muito discutido na teoria de Ausubel. Se a aprendizagem tem um histórico significativo, a

disposição do aluno deve ser diferenciada e, portanto as novas informações em potencial se

relacionam com maior eficiência aos subsunçores.

2. O ENSINO DE ESTÁTICA E A APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA

2.1 Estática e o Contexto

A Estática está localizada no eixo da Mecânica Newtoniana. Pode ser chamada também

de Isostática. A isostática funciona como um conjunto de conhecimentos prévios para as

disciplinas; Resistência dos Materiais, Teoria das Estruturas, Concreto, Estruturas de Aço,

Madeira e Projetos Estruturais.

A estática é sem dúvidas uma área da mecânica que antecede as disciplinas resistência dos

materiais e estruturas gerais, de máquinas, construções civis, metálicas e outras. Pois, abre

caminho para a compreensão de materiais e sua utilização no contexto e está intimamente

vinculada à realidade dos engenheiros, técnicos, profissionais de diversas áreas e o

desenvolvimento do conhecimento científico. A ciência a medida que evolui, fica presa ao

desenvolvimento de novas tecnologias para observação e análise de fenômenos. Por isso, essa

área de conhecimento liga teorias da mecânica aos grandes modelos práticos. Como isso se torna

uma das grandes áreas da física. Sem equacionar estaticamente uma estrutura, não podemos

prever que tipo de material a ser utilizado, logo, a compreensão dessa área se torna cada vez mais

importante, num mundo onde se busca cada vez mais materiais alternativos, técnicas de controle

e uso de materiais, reciclagem, economia, diminuição do peso de estruturas e vantagens

econômicas.

2.2 Estática e o Ensino

O ensino de estática não tem revelado o seu verdadeiro potencial de seus conhecimentos.

O pouco envolvimento prático, reduzido a quase zero têm proporcionado um desequilíbrio na

transmissão desses saberes. As aulas de estática, ao longo do ensino médio não revelam traços

marcantes na estrutura cognitiva de alunos e as vezes até esquecem ou agem como se nunca

tivessem ouvido falar em tais conhecimentos. No ensino médio há um conjunto fragmentado de

apresentações para o equilíbrio, sem relação com situações realísticas. Com isso temos uma área

de conhecimento prejudicada pela pouca divulgação de trabalhos e atividades experimentais que

envolvam professores e estudantes na reflexão e em seu enobrecimento. Para CARVALHO

(2004), os agentes envolvidos na disseminação de conhecimentos ao proporcionar,

um ensino que vise à aculturação científica deve ser tal que leve os estudantes a

construir o seu conteúdo conceitual participando do processo de construção e dando

oportunidade de aprenderem a argumentar e exercitar a razão, em vez de fornece-lhe

respostas definitivas ou impor-lhes seus próprios pontos de vista transmitindo uma visão

fechada das ciências. (CARVALHO, 2004, p.3).

Tem-se presenciado o pouco envolvimento por parte de educadores e estudantes na

evolução da transmissão dos conhecimentos ligados à estática. Conhecimentos fragmentados,

ausência de materiais de apoio, desvinculação com a realidade são condições que propiciam uma

visão obscura de saberes envolvidos na mecânica estática.

BIBLIOGRAFIA

AUSUBEL Ausubel, D., Novak, J., & Hanesian, H. Educational Psychology: A Cognitive View.

2.ed. New York: Holt, Rinehart & Winston, 1978.

AUSUBEL, David Paul. Aquisição e Retenção de Conhecimentos: uma Perspectiva Cognitiva,

Porto: Plátano Editora, 2003.

BEER, Ferdinand P., JOHNSTON JR., E. Russel. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo:

Makron Books do Brasil, 1996.

BRASIL. Ministério de Educação. Secretaria de Ensino Fundamental Parâmetros Curriculares

Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, v. 1, 4. ed., R io de J ane i ro :

Livros técnicos e científicos, 1996.

F. P. Beer & E. R. Johnston Jr., Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática, v.1,

Makron.

J. L. Merian & L. G. Kraige, Mecânica - Estática: v.1. 5. e d. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos. 2006.

HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3. ed. Rio de Janeiro Editora Livros Técnicos e

Científicos, 2000.

MOREIRA, Marco Antonio. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo:

Centauro, 2001.

R. C. Hibbeler, Estática: Mecânica para Engenharia, v. 1, Prentice Hall.

3. ROTEIROS DE ATIVIDADES EXPERIMENTAIS EM ESTÁTICA

3.1 Nome: Vetores e torres

3.1.2 Objetivos:

i) Determinar experimentalmente forças de tração e compressão através de coordenadas

conhecidas, em uma estrutura rígida, no equilíbrio estático.

ii) Aplicar conceitos de vetores no espaço tridimensional.

iii) Verificar experimentalmente e conceitualmente as linhas de ação das forças, reações normais

e momentos de uma força.

3.1.3 Materiais utilizados:

Quadro decimetrado, Cordonê ou cordinhas finas (que suporta até 5 kg), dois (02) dinamômetros

(de até 30N), Peso, aste ou barra rígida (torre), uma (01) balança, quatro massas de 1kg, cinco

(05) massas de 100 gramas e uma (01) massa de 0,5 kg (500g), quatro (04) roldanas com

prendedor ou parafusos.

3.1.4 Aplicações vetoriais e torres

As torres são estruturas que servem ao homem desde antigas culturas. Elas eram construídas em

posições geográficas estratégicas, em passagens fronteiriças e lugares de importância estratégica,

servindo de ponto de vigilância e gozava do prestígio popular. Há um provérbio chinês que diz:

"se um homem protege a passagem, dez mil não podem atravessá-la". Portanto vale lembrar que

eram necessárias essas estruturas dentro do contexto. As torres eram construídas de pedras e

atingiam grandes proporções em alturas e sustentação, permitindo que a sentinela pudesse ver

longe ser visto. Existiam torres comunicadoras em altas colinas, onde erram transmitidos sinais,

avisos, etc.

Figura 2. Torres de vigilância de Danba,

no sudoeste da China.

Fonte: http://portuguese.cri.cn/101/2007 /

04/04/ 1@ 649 65.htm.

Figura 3. Ponte Pêncil – Japão. Aplicação

de sistemas cabos e torres.

Fonte: http://aleosp2010.wordpress.

com/2008/10/ 06/ponte-pencil-japao/.

As torres de hoje são construídas para uso em telecomunicações, sustentando equipamentos de

transmissão de dados, redes elétricas, sustentando cabos de alta tensão, torres em pontes, torres

mistas, com vários fins.

As torres mais utilizadas atualmente, são as torres confeccionadas em metais como zinco, aço,

etc.

O princípio de manutenção do equilíbrio mecânico de uma torre está intimamente ligado aos

princípios da estática. A quantidade de forças que agem numa estrutura metálica deve ser zero

para que seja garantido o equilíbrio. Uma torre de sustentação de carga, por exemplo, recebe

alem de seu peso próprio, outras cargas externas, tais como vento, peso extra de equipamentos,

etc. Essas cargas são transformadas em trações e compressões na torre e comunicadas às barras

rígidas e levadas até o solo.

A figura 11 mostra uma torre, que consiste em uma treliça espacial rígida, disposta na vertical, e

apoiada em uma das extremidades sobre uma balança, ao longo do eixo z, enquanto três cabos

são conectados entre os pontos A, B, C e D.

No equilíbrio a soma das forças TCA , TDA

Forças existentes:

e TBA sobre o ponto A se anulam. Portanto,

r r r

ˆ ˆ ˆ

, (tensão na direção AB)

TBA T

BAU

1 TBA

U BA T

BA( x )i T

BA( y ) j T

BA( z )k

http://portuguese.cri.cn/101/2007

http://aleosp2010.wordpress/

ˆ ˆ A( ) j T

ˆ e

ˆ )i T

ˆ DA( ) j T

ˆ )k

r r (tensão na direção AC) TCA

TCAU 2 TCA( x )i TC A( z )k

r r (tensão na direção AD) TDA

TDAU 3 TDA( x

RZ = peso na balança em k (tensão na direção AO)

No equilíbrio o somatório das forças é nulo. Logo,

3 r r F

A 0 .

i 1

Podemos então analisar separadamente as forças em cada direção particular. Isto é,

3 r F T i

T i

r T i 0

(forças atuantes na direção de x) A( x )

i 1

3 r

BA( x ) CA( x ) DA( x )

r

F T j T j T j 0 (forças atuantes na direção de y) A( y )

i 1

BA( y ) CA( y ) DA( y )

4 r r r

F T k T k T k R 0 (forças atuantes na direção de z) A( Z )

i 1

CA( z ) BA( z ) DA( z ) Z

No equilíbrio, os momentos, no ponto O em relação a cada força aplicada no ponto D são:

3 r r r ri Fi 0

i 1

r r r r

r ( F i F j F k ) r (F i F j F k ) r (F i F j F k ) 0 OD 1 x 1 y 1 z OA 2 x 2 y 2 z OD 3 x 3 y 3z

Quando as somas dos momentos se anulam, garante-se então o equilíbrio da torre?

3.1.5 Projetos Da Estrutura, Montagem e Procedimentos

A Montagem,

Consiste em um quadro decimetrado, ver figura 4, contendo indicações dos eixos, para ser

estabelecido um conjunto de coordenadas, três massas de pesos conhecidos (1 kg), e uma quarta

massa de peso variável (entre 1 e 3 kg variando a cada 100 gramas).

3.1.5.1 Prenda as roldanas em posições onde podem ser determinadas suas coordenadas em

relação aos eixos x e y (figuras 4 e 5). E coloque essas coordenadas na tabela abaixo (olhe por

cima da roldana e localize ou posicione na coordenada desejada). Dica: Coloque duas roldanas

de cada lado do quadro ou faça conforme a figura 6.

3.1.5.2 Amarre as massas no cordonê. Amarre as quatro extremidades dos corndonês e coloque

sobre as roldanas as respectivas massas. Coloque os valores das massas na tabela 1, a baixo,

3.1.5.3 Coloque um pequeno prumo (figura 7) para indicar as coordenadas do ponto O e insira

esse dado na tabela 1, a seguir;

Tabela 3.1.5.1. Dados Gerais da Montagem do Equilíbrio em um Plano

Roldanas Coordenadas do

ponto central O

(dm)

Trações

nos cabos

(kgf)

Pontos

Coordenadas

Massas (kg)

A ( ; ) O ( ; ) AO

B ( ; ) ------------------- BO

C ( ; ) ------------------- CO

D ( ; ) ------------------- DO

Figura 4. Quatro tensões causadas por quatro

pesos agindo sobre um ponto - vista 1.


Figura 5. Quatro tensões causadas por quatro

pesos agindo sobre um ponto - vista 2.


Figura 6. Vista parcial da carga e um peso

agindo sobre causando trações e o equilíbrio.


Figura 7. Prumo colocado no ponto O, comum

aos cabos para verificação das forças.


Figura 7. Vista parcial da carga de um peso

variável agindo sobre uma roldana ( ponto A).


Figura 8. Dois cabos tracionados e uma barra

OC apoiada na origem sofrendo compressão.


3.1.6 Questionário

1) Quais devem ser os vetores, em notação de unitários, existente em cada cabo da figura 4 que

representam as tensões AO, BO, CO e DO?

2) O que ocorre com a soma das componentes desses vetores na direção de x? E de y?

3) O que acontece com o ponto O se aumentarmos a massa no ponto A (ver figura 5)? Justifique.

4) Tente deslocar o ponto O com utilizando a força das mãos. O que ocorrerá?

5) É possível encontrar as tensões que agem nos cabos mostrados na figura 8? Que dados devem

ser concedidos no problema? O que há em comum essa estrutura com a estrutura da figura 4?

Esse modelo pode justificar a construção de treliças espaciais? Explique.

6) Qual é o tipo de força sofrida pela barra, paralela ao eixo z, com extremidade na origem,

mostrado na figura 8?

7) Quantas forças são necessárias para produzir o equilíbrio no plano?

8) Se retirar uma das massas, ficando a montagem da figura 4 com apenas três tensões, será

possível o equilíbrio? Justifique a geometria do equilíbrio. É possível aplicar a lei dos senos para

resolver essa situação? Justifique?

3.1.7 Estudo de vetores e equilíbrio no espaço – tensões e torres.

3.1.7.1 Apresentação da montagem:

Figura 10. Torre apoiada em uma balança e sustentada por três cabos.


3.1.7.2 A montagem consiste em basicamente num quadro decimetrado, para que possam ser

visualizadas com certa facilidade as coordenadas onde serão aplicadas as tensões nas direções de

AB, AC e AD. A origem (base da torre) será considerada o ponto O (0,0,0). Esse ponto poderá

variar ao procurar o equilíbrio da torre na vertical. Já o ponto A deve está a uma altura Z. Note

que Z será a altura da treliça H mais a altura da balança H`, portanto Z =H+H`. Veja as

dimensões da balança: 24cm x 17cm x 4cm.

3.1.7.3 A balança serve para apoiar a torre e medir a força de compressão devido às demais

tensões aplicadas aos cabos. O peso estrutura treliçada deve ser levado em consideração no

momento de achar a reação na balança. Para isso deve-se zerar a balança.

3.1.7.4 Os cabos servem para comunicar trações ao solo (quadro) e deverão ser conectados nas

posições sugeridas a seguir na tabela abaixo.

3.1.7.5 A massa M = 1 kg (podem ser sugeridos outras massas) deverá executar uma tensão e

comunicá-la a extremidade da barra que depois será comunicada as outras duas cordas.

3.1.7.6 Os dinamômetros podem ser colocados nos pontos de apoio C e D para medir as trações

nas duas cordas. Para que isso seja possível deverá existir um ponto de origem adequado, onde a

torre deverá ser deslocada até ficar equilibrada na vertical (em z).

Figura 11. Torre apoiada em uma balança e sustentada por cabos com a inserção de

dinamômetros D1 e D2.


3.1.7.7 Após montar a estrutura (figura 11), equilibrar as tensões, coloque os dados na tabela e

preencha os demais campos.

Pontos X Y V RES

A UNITÁRIOS TENSÕES(N) TENSORES (N)

UCA = T

TCA =

C U DA = T

TDA =

D U BA = T

TBA =

Dinamômetro

1: N

Massa do bloco suspenso:

kg

Compressão na treliça em

A: N.

Dinamômetro2:

N

Medida da balança:

VETOR rOA =

Tabela 3.1.7.1 Dados Gerais

r kg

3.1.7.1 Questionário

1) Qual é o tipo de força executada na direção axial da torre? Qual deve ser o valor dessa força?

2) Se os pontos A e C estiverem na mesma linha que contém o ponto O, é possível o equilíbrio?

Justifique.

3) Quais os valores de trações observados em cada um dos cabos?

4) Quais valores de cada tração nos cabos, encontrados através da análise teórica do equilíbrio?

5) Existe aproximação entre os valores práticos e os valores teóricos?

6) Quais os valores para cada momento? Mostre que há equilíbrio.

3.1.8 Conclusoes e Discussoes

3.1.7. Bibliografia

AMARAL, Otávio Campos. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS, 6. ed. Belo Horizonte: Eng e

Art, 1992.

BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E. Russel. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo:


CAMPANARI, Flavio Antônio. TEORIA DAS ESTRUTURAS. Rio de Janeiro: Guarnabara

Dois, 1985.

MASUERO E CREUS. INTRODUÇÃO À MECÂNICA ESTRUTURAL. Porto Alegre: Ed.

Universidade, 1997.

NASH, William A. Resistência dos materiais. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1982.

NOGUEIRA, J.B. Mecânica dos solos: Ensaios de laboratório, São Carlos: EESC-USP, 1995.

FEIRA DE CIÊNCIAS. Sala 6, ESTÁTICA. Disponível em: http://www.feiradeciencias.com.br

/sala05/05_RE_08.asp, acesso em 30 de abril de 2010.

http://www.lese.upf.br, acesso em 16 de Abril de 2010.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CONSTRUÇÕES METÁLICAS. Siegbert Zanettini 50 Anos.

Ed 96/2010. Disponível em: www.abcem.org.br, acesso em 20 de Abril de 2010.

ESTRUTURAS METÁTICAS DE PEQUENO PORTE. F. A. LACERDA. 2004 http://estru

turasmetalicas.vilabol.uol.com.br/trelicas.htm, acesso em 26 de Abril de 2010.

http://www.lese.upf.br/

http://www.abcem.org.br/

http://estru/

http://estru/

3.2 Distribuição de cargas

3.2.1 Nome: distribuição de cargas

3.2.2 Objetivos:

3.2.2.1 Verificar centro de massa e encontrar as reações de apoios, força cortante, momentos

através da análise do equilíbrio estático.

3.3.3 Materiais Utilizados:

02 balanças (carga mínima de 1,0 kg, precisão de 1 grama), pesos (de 1kg), placas de MDF em

diversos formatos de comprimento L= 80 cm e apoios.

3.4.4 Fundamentação Teórica - Histórico

O homem sempre esteve envolvido no processo das edificações, construindo muralhas, torres,

casas, pontes, palácios, etc. Essas construções além de serem úteis, transmitem ao longo dos

tempos, relações históricas, do homem e suas ansiedades, habilidades, a arte e a cultura. Para

garantir a sustentabilidade de uma edificação, os homens sempre procuram lidar com a força da

gravidade, utilizando técnicas de combinação de materiais e formas, chegando ao estágio da arte.

Para dominar conhecimentos e técnicas milenares vêm, ao longo da história, sendo desenvolvidas

metodologias cada vez mais eficazes. Os egípcios utilizam uma grande quantidade de

conhecimentos matemáticos em suas construções, contudo, os primeiros registros datam no

século XV, quando Leonardo da Vinci documentou testes de carregamentos e avaliação de

estruturas. Para BEER & JOHNSTON (1982), Galileu Foi um dos pioneiros do método empírico

aplicou testes de carregamentos, diferenciando também a tração simples da flexão, calculando

tensões em barras rígidas, “a resistência dos corpos sólidos é muito grande quando o esforço

solicitante é aplicado na direção longitudinal e muito pequena quando aplicada na transversal”.

Com a Revolução industrial, surge a necessidade de trabalhar a qualidade dos testes e os tipos de

materiais. Com isso surge a Mecânica Aplicada, com objetivo de conhecer materiais e suas

propriedades físicas. No século XIX, as construções eram realizadas com pequenos manuais de

resistência dos materiais envolvidos e havia grandes imprecisões nos cálculos. No século XX,

com demanda maior no setor habitacional, Leonhardt, na Alemanha realizou grandes quantidades

de ensaios e procedimentos experimentais propondo também Normas de Dimensionamento.

Atualmente existe no Brasil a NBR que define a utilização adequada de materiais conforme

carregamentos externos dentro de um padrão experimental pré-estabelecido. As cargas são

analisadas em condições de ensaios e utilização de métodos analíticos (que fica mais barato) e

tem-se um conjunto de informações sobre as cargas.

3.2.4.2 Distribuição de Cargas e Momento de Inércia.

3.2.4.2.1 Vigas e cargas distribuídas

No cotidiano lidamos o tempo todo com conceitos e aplicações relacionados às cargas. As cargas

podem agir pontualmente, distribuída em linhas, em superfícies, em volumes, estar fixa ou

móvel, uniforme ou variável, agir sobre outros corpos, produzem aceleração, pode equilibrar e

desequilibrar um sistema de massas. Esses termos nos dizem respeito à preocupação que temos

em lidar com cargas. Na área de engenharia civil existe uma preocupação central; como organizar

de distribuir cargas de modo a dar sustentabilidade a uma estrutura. Para isso utilizam elementos

essenciais, tais como sapatas, pilares, vigas, lajes, coberturas e paredes que conceitualmente são

estruturas que relacional entre si, com outros modelos de cargas, na luta contra a gravidade, dos

ventos e fluidos.

A viga é um agente de significativa resistência que tem como objetivo suportar esforços externos

e comunicá-los em forma de trações e compressões até os apoios. Os esforços podem ser

externos, pontuais (agem em um único ponto) e distribuídos (agindo ao longo de um

comprimento, de uma superfície ou volume). Existe o esforço interno devido o peso próprio da

viga. Para entendermos o processo de distribuição das cargas é necessário entendermos, conceitos

de densidade linear, superficial e volumétrica de cargas, ou seja, a quantidade de carga por

unidade de comprimento, área e volume respectivamente.

Uma carga pode ser distribuída de forma linear, ou seja, quando a quantidade de massa envolvida

tem densidade observável apenas na maior dimensão (comprimento) da viga. Para isso

consideramos as demais dimensões com densidade constante e a quantidade de massa, também

constante. Sabendo então, a função da densidade da distribuição, pode ser determinada uma

massa total numa região R e com isso definir os centros de massas, reações nos apoios,

momentos de inércia, flexões, etc. Um exemplo de carregamentos está na figura 16, em que

uma viga está sujeita aos vários tipos de esforços, pontuais e distribuídos.

A figura 13 relaciona o carregamento da viga ao seu comprimento dxi que tem uma quantidade

de carga dM i . E a quantidade de carga total M será o somatório desses elementos dx

i e dy

i

numa região dAi onde, a carga total será a quantidade de carga por área ( x, y) na região

R {x1 x x

2 e y1 y y

2 } que abrange toda a viga, considerando a espessura (na direção

perpendicular a x e y) uniforme e igual a um, então ( x, y) 1 . Logo a massa total será,

n

M lim ( xi , y

i )

i A

0

y2 x2

( x, y)dA dxdy , i 1 R y x

1 1

se a densidade linear (kg / m(SI ))

for constante. Ou M

x2

( x)dx x , considerando apenas x1

a distribuição da carga variando em relação à dimensão x. Simplificando essas funções temos,

M L , onde L está na direção de x (ver figura 13). Para casos mais específicos, podem ser

estabelecidas as seguintes relações para cálculo das massas.

OBS: A integral da massa M coincide com a integral área quando é considerada a densidade da

distribuição superficial igual a um.

Massa numa Distribuição Linear de Cargas

B

M ( x)dx

( x)dx , onde R

{A x B} . R A

Massa numa Distribuição Superficial de Cargas

M ( x, y)dA

B D

( x, y)dydx onde R

{A x B, C y D} . R A C

Massa numa Distribuição Volumétrica de Cargas

i

M ( x, y, z)dV

B D F

A C E

( x, y, z)dzdydx onde R

{A x B,

C y D,

E z F}

Obs: , e são as respectivas densidades de distribuições lineares, superficial e volumétrica

das cargas. A, B,

C, D,

E e F , são os limites nas integrais e podem representar funções.

3.2.4.2.2 Momento de inércia

O momento de inércia I é uma propriedade física, que mede a quantidade de massa (em kg ) a

uma posição r de um eixo de rotação. Numa definição geral, relaciona a densidade de

distribuição da carga M em uma área A localizada na posição r do eixo de giração. Num caso

mais genérico, podemos escrever que o momento de inércia será,

n

I r 2 M

Onde ri

é à distância da partícula de massa

i 1

M i ao eixo de rotação.

Para análise específica do momento de inércia em vários estilos de distribuição de carga,

considera a densidade ( x)

medida em (kg / m)

para uma distribuição linear, ( x, y)

medida

em (kg / m2 ) para distribuições superficiais e ( x, y, z) medida em (kg / m3 ) nas distribuições

volumétricas. Essas densidades representam o comportamento da carga ao longo de suas

dimensões, definidas na região R e podem assumir valores constantes ou não. A soma desses

elementos de área, na região R , respectivamente, em cada elemento a cada elemento i x na

distribuição continua linear, i A o elemento de área na distribuição superficial e i

V um dos i-

ésimos elementos de volume, respectivamente. Ao aproximar de zero, esses respectivos

elementos infinitesimais fornecem as seguintes relações:

Momento de inércia numa distribuição linear

n n B

I r 2 M lim ( x 2 ) ( x) x ( x 2 ) ( x)dx ( x 2 ) ( x)dx i i

0 i i

i 1 i 1 R A

Onde R

{A x B} numa distribuição linear de cargas entre pontos A e B na direção de x.

Momento de inércia numa distribuição superficial

n n B D

I r 2 M lim ( x 2 y 2 ) ( x , y ) A ( x 2 y 2 )dA ( x 2 y 2 )dydx i i

0 i i i i i

i 1 i 1 R A C

Onde dA dydx na região R {A x B, C y D} .

Momento de inércia numa distribuição volumétrica

n n

I r 2 M lim ( x 2 y 2 z 2 ) ( x , y , z ) V ( x 2 y 2 z 2 )dV i i

0 i i i i i i i

i 1 i 1 R

B D F

A C E

( x2

y2

z 2 )dzdydx

Onde, dV dxdydz na região R

{A x B,

C y D,

E z F } .

Para ( x, y)dA dM um elemento infinitesimal de massa, localizado numa região de área dA e

densidade ( x, y) medida em kg / m2 .

3.2.4.2.3 Raio de Giração

Um sistema de pontos materiais define o raio de giração , como uma grandeza física resultante

da razão entre o momento de inércia I pela quantidade de massa M .

I / M

Figura 12. Raio de giração de um sistema de massas. A equivalência dos momentos estáticos

e o raio de giração.


3.2.4.2.4 O teorema de Steiner

O teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos é uma fórmula que nos permite calcular o

momento de inércia, de um sólido rígido, relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto

O. Quando conhecemos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa

pelo centro de massas e a distância entre os eixos. O momento de inércia relativo ao eixo z é

verificado por,

Onde,

ICM

Iz = ICM+Md2

é o momento de inércia no centro de massa, M é a massa e d é a distância

perpendicular aos dois eixos.

3.2.4.2.5 Momento de inércia numa distribuição contínua de carga - vigas

Para calcular o momento de inércia de uma distribuição contínua de carga de massa M e

comprimento L relativo a um eixo axial a uma barra rígida que passa pelo centro de massa, deve-

se recorrer à equação,

Onde numa direção onde a densidade ρ(x,y)=M/S é uma função da densidade superficial, ou seja,

a quantidade de massa M sobre uma área S , no plano xy . Para análise em uma única direção,

neste caso, em x , usa-se, I x2dM onde dM é um elemento diferencial de massa que se

distribui ao longo do eixo das abscissas numa posição x , cuja densidade linear de carga é

M / L . Como

Como exemplo, o cálculo do momento de inércia na barra de comprimento L, cuja distribuição de

massa é constante, num ponto L/2 de seu comprimento.

3 3L

Figura 13 – Cálculo do momento sobre uma barra rígida de comprimento L.

Fonte: Arquivo pessoal

A massa dM do elemento de comprimento da barra rígida compreendido entre x e x dx é:

Logo, O momento de inércia da distribuição uniforme de carga será:

L / 2

3 L / 2 3 3

3 3 2

I M

x2dx M x M L L M L L ML

L / 2 L L

L / 2 2 2 3L 8 8 12

3.2.4.2.6 Apoios

Para uma estrutura ser estaticamente determinada, os apoios devem obedecer as seguintes

condições:

i) Uma estrutura bi apoiada deve conter dois apoios sendo um móvel e outro fixo.

ii) O apoio móvel permite a ação dos esforços em apenas uma direção, impedindo translações.

Esse tipo de apoio pode agir em apenas uma direção. Exemplos: dobradiças, roletes e trilhos.

iii) O apoio fixo impede a existência de momentos e age em qualquer direção produzindo uma

reação que apresenta uma (01) ou mais componentes vetoriais.

Figura 14. Apoio fixo. A

estrutura é parafusada no

furo.


Figura 15. Apoio móvel

com roletes. Existem

outros formatos.


Figura 16. Esquema dos

apoios utilizados na

experimentação.


3.2.4.2.7 Forças Pontuais e distribuídas

As forças pontuais são forças que se concentram num único ponto. Seus efeitos são observados

na sua linha de ação. Na figura 17 podem ser observadas diversas forças pontuais. A

representação de uma força pontual é uma flecha indicando o módulo, a direção e o sentido da

grandeza.

Uma força distribuída não age apenas num ponto, pode agir ao longo de uma linha de carga

(viga), ao longo de uma superfície (lajes: forças agindo sobre uma área) ou sobre um volume (gás

dentro de um balão: tensão agindo numa região espacial), com isso deve ser representada por um

conjunto de várias fechas. Essas flechas também podem representar grandezas vetoriais, onde o

tamanho representa o módulo, e indicando a direção e o sentido. Existe um vetor normal à

superfície N que depende do plano.

Quanto aos comportamentos, uma força distribuída pode ser:

i) Uniforme - quando as uma força pontual ou distribuída apresenta linhas de mesmo tamanho,

mesma direção e sentido.

ii) Variável - quando a o carregamento pontual ou distribuído e assume valores diferenciados

quando se varia uma ou mais dimensões da estrutura.

M

Figura 17. Viga sujeita a um conjunto de cargas distintas.


3.2.4.2.8 Centro de Massa de uma Distribuição de cargas

Para cargas pontuais, considera-se para cálculo do centro de massa ( x , y ) as expressões:

Para distribuições de massas contínuas, temos, associamos a massa M aos momentos estáticos

M x e M y representados por: M x yM e M

x xM . Considerando, a densidade do material

constante e igual a 1,

y M

x M

x e x M y

y para M

y

xdA e M x

ydA . M Area M Area R R

( x , y )

1 (M

, M ) ou ainda ( x , y )

1 ( M , M )

Area y x

Massa y x

3.2.5 Procedimentos experimentais:

3.2.5.1 atividade 1 - Viga 1

A viga 1 tem um formato retangular e por isso a densidade da distribuição da carga é constante ao

longo de seu comprimento. Esta atividade pretende determinar grandezas tais como; o momento

de inércia em uma linha de carga (placa de MDF de (comprimento: 100 cm, altura: 10 cm x

espessura: 2 cm), de massa M), gerado por massas de 1 kg, localizadas nas posições mostradas na

tabela a seguir.

Figura 18. Viga 1 - Linha de carga contínua.


Tabela 3.2.5.1 Coordenadas onde são colocadas as massas de 1 kg.

Pontos A B C D E

Abscissas

Ordenadas

Para calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo perpendicular a linha de carga deverá passar através de: A) Um extremo. B) Da segunda massa. C) Do centro de massa.

3.2.5.1.1 Faça a seguinte montagem e calcule o momento de inércia relativo a um eixo

perpendicular a linha de carga e que passa pela primeira partícula, no ponto A.

Figura 19 – Momento de inércia em A onde uma barra está submetida a vários pesos.


3.2.5.1.2 Faça a seguinte montagem e calcule o momento de inércia a um ponto perpendicular a

linha de carga, que passa pela segunda partícula, no ponto B.

Figura 20 – Momento de inércia em B onde uma barra está submetida a vários pesos.


3.2.5.1.3 Faça a seguinte montagem e calcule o momento de inércia relativo a um eixo

perpendicular a linha de carga e que passa pela terceira partícula (centro de massas (em C)).

z

Figura 21 – Momento de inércia em uma barra rígida submetida a várias forças.


3.2.5 Questionário

1) Aplicando o teorema de Steiner, calcule o momento de inércia da distribuição de carga relativo

a um eixo perpendicular a mesma que passa por um de seus extremos.

2) Responda:

A) Em vez de calcular de forma direta os momentos de inércia, podemos calcular de forma

indireta empregando o teorema de Steiner?

B) Conhecido IC podemos calcular IA e IB, sabendo as distâncias entre os eixos paralelas

AC=0.5 m e BC=0.25 m?

C) A fórmula que temos que aplicar é I I Md 2 ?

3) O que deve ocorrer se for alterado uma das coordenadas em y? Explique.

3.2.5.3 Atividade 2 – Vigas 2, 3 E 4.

3.2.5.3.1 Apresentação do projeto da montagem;

3.2.5.3.2 Estruturas: Os esquemas das montagens consistem, basicamente em apresentar vigas

com formatos diferentes, e colocados a cada vez sobre as balanças obtendo assim as reações nos

apoios, o centro de massa de cada estrutura, o momento e analisar as linhas de ações quando são

colocados pesos.

3.2.5.3.3 As balanças servem para apoiar a as vigas e medir assim a reação de apoio em cada lado

da estrutura.

3.2.5.3.4 Os diversos formatos das vigas servem para explorar conceitos de centro de massa,

integrais duplas aplicadas a centros de massa, momento de inércia, reações nos apoios e

momentos. Cada vértice das vigas apresenta um pequeno furo onde serão pendurado para

determinação experimental dos centros de massa, através da suspensão dos vértices e utilizando

um prumo. Para isso é necessário traçar linhas na viga suspensa por onde a linha do prumo passa.

No cruzamento das linhas está o centro de massa.

3.2.5.4 VIGA 2 – Formato definido por funções lineares.

A viga 2 é definida por uma massa M na região R

{A x D, 0

y f ( x)} . Como a função

na reta BC é uma reta, a f ( x) será a equação da reta que passa por estes pontos, considerando A

(0,0,0). Com isso o cálculo da massa envolver a densidade de distribuição de carga ( x, y) na

seguinte relação.

Podendo também ser usado geometria básica para cálculo da massa.

Figura 22. Viga 2 com densidade variável ao longo de seu comprimento.


As grandezas como massa M , centro de massa e o momento de Inércia I , são definidas por

geometria simplificada, quando se pode, ou usando o cálculo integral.

3.2.5.5 VIGA 3 – Formato definido por mais de uma função.

A viga 3 é definida por uma função que corresponde à massa M contida na região

em que a f ( x)

é uma reta que passa pelo

ponto C e pela coordenada

f (G) , conforme a figura abaixo. As grandezas como massa M ,

centro de massa e o momento de Inércia I , são definidas por geometria simplificada, quando se

pode, ou usando o cálculo integral. Com isso o cálculo da massa envolver a densidade de

distribuição de carga ( x, y) constante na seguinte relação a seguir.

Figura 23. Viga 3 com densidade variável ao longo de seu comprimento.


As grandezas físicas podem ser encontradas seccionando a viga em duas regiões, definindo as

regiões R1 ={0<x<40; 0<y<30)} e R2={40<x<80; 0<y<f(x)}, onde

decrescente que passa pelo ponto C, conforme a figura acima.

f ( x) é a função da reta

3.2.5.6 VIGA 4 – Formato definido por mais de uma função qualquer.

A Viga 3 tem um formato misto e poderá variar de acordo a necessidade estrutural. As grandezas

como massa M , centro de massa e o momento de Inércia I , são definidas pela resolução da

integral da região que define o formato da estrutura, utilizando o cálculo integral.

Figura 24. Viga definida por uma distribuição que varia conforme uma função.


As grandezas físicas podem ser encontradas fazendo o uso direto do cálculo integral onde a

massa da viga tem densidade constante em relação ao eixo z e varia em relação a x e y, logo a

região de integração será R={0<x<80; 0<y<f(x)} onde f(x) é a função que define a curva que

passa pelo ponto C, conforme a figura acima.

3.2.5.7 PARTE 2 – Procedimentos para encontra o centro de massa

3.2.5.7.1 Pendure cada uma das vigas sobre o furo num suporte, conforme a figura.

3.2.5.7.2 Coloque uma linha de 100 cm amarrada sobre o suporte e na outra extremidade

coloque um pequeno peso (ver figura 26), marcando com um lápis ou pincel na madeira, uma

linha por onde passa o fio do prumo.

3.2.5.7.3 Após repetir 3.2.5.7.1 e 3.2.5.7.2 para cada furo, será determinado o centro de massa

cuja posição é o ponto de interseção das linhas desenhadas sobre a placa de madeira. Mostre

também que a linha divide a placa de madeira em partes iguais.

3.2.5.7.4 Verifique utilizando uma régua, a posição do centro de massa (x, y), colocando esses

dados na tabela 2.

Figura 25. Vigas 2 – Esquema das vistas frontal e lateral.


Figura 26. Verificação experimental do centro de massa.


3.2.5.7.5 Meça a massa de cada viga, a massa de cada apoio e anote esses dados na tabela 2;

3.2.5.7.6 Coloque as balanças a uma distancia de 100 cm. Coloque a viga 1 sobre as balanças, nos

dois apoios (figura 27) e verifique os pesos fornecidos pelas balanças e anote os dados na tabela

2.

3.2.5.7.7 Anote os dados referentes aos pesos mostrados nas balanças.

Figura 27. Viga 1 sobre duas balanças.


Tabela 3.2.5.2 Dados experimentais e teóricos.

Vigas Massas (kg) Centro de Massa Peso na balanças (kg)

Prática Teórica Prática Teórica Balança 1 Balança 2

Viga 1 ( , ) ( , )

Viga 2 ( , ) ( , )

Viga 3 ( , ) ( , )

Apoio 1 ------- ------- ------- ------- -------

Apoio 2 ------- ------- ------- ------- -------

3.2.5.8 Questionário

1) Qual é o tipo de força executada pela balança? Qual deve ser o valor do peso de cada balança

quando a distribuição de massa é contínua? Por que isso ocorre?

2) Se adicionarmos pesos extras a viga 1, no ponto G, o que deve ocorre com as reações em D?

Qual deve ser o valor dessa massa para equilibrar as reações nas balanças?

3) Qual uma função que representa a distribuição da carga para as vigas 1 e 2?

4) Quais valores para os centros de massa de cada viga, utilizando o cálculo integral e diferencial.

5) Existe aproximação entre os valores práticos e os valores teóricos?

6) Qual o momento de inércia na viga 1? Mostre que há equilíbrio.

3.2.5. 8.1 Atividade de verificação da aprendizagem

Uma barra de 3 m de comprimento e pesando 400N, tem densidade linear constante e está

apoiada nas extremidades suportando duas cargas, de 40 N e 60 N, situadas a 1 m de cada

extremidade, conforme a figura. Determine: a) as reações nos apoios, b) o momento causado pelo

peso da barra sobre o ponto A, c) e faça o diagrama das flechas para as cargas atuantes e o

momento ao longo da barra.

Figura 28. Viga sobre duas balanças.


3.2.5.8.2 Atividade de verificação da aprendizagem

A figura abaixo mostra uma viga de aço no formato I, de 7 m, sustentando uma carga variável.

Determine as reações nos suportes A e B para que a viga esteja em equilíbrio.

Figura 29. Viga no formato de I sofrendo um carregamento variável.


3.2.5.9 Confecção da Viga 3 - Função do Corte na Madeira

Viga 1: consiste numa placa de madeira MDF de dimensões: espessura = 2,3 cm , comprimento

= 100 cm e altura = 10 cm).

Utilizado uma chapa de madeira (MDF) de dimensões iniciais conhecidas (espessura = 2,3 cm ,

comprimento = 80cm e altura = 30 cm).

i) Obtenha a massa dessa chapa para conhecer a densidade (massa por unidade de área)

ii) Conhecida a função

f ( x) 3 10 3 x

2

10 que delimita a chapa, criar uma tabela onde se

obtém um conjunto dos pontos por onde passa o corte superior;

Tabela 3.2.5.3 Dados Gerados pela Função de Corte Superior da Madeira

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

y 10,0 10,3 10,6 11,2 11,8 12,7 13,6 14,8 16,0 17,5 19,0 20,8 22,6 24,7 26,8

iii) Depois de cortadas as peça (VIGA 1, VIGA 2 e VIGA 3). Verifique a massas e coloque seus

valores na tabela 1. Através da geometria, crie uma forma de verificar o valor aproximado da área

frontal da chapa. Utilize integração para encontrar o valor dessa área e compare os dados

experimentais com os dados teóricos. Discuta o método com os colegas.

iv) Faça pequenos furos nos vértices das chapas para que possam ser encontrados os centros de

massa numa análise da linha de ação pela força peso.

Figura 30.a. Placa de madeira apresentando a curva do corte.


Figura 30.b. Placa de madeira cortada.


3.2.6 Conclusoes e discussoes

3.2.7 Bibliografia – Distribuição de cargas

AMARAL, Otávio Campos. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS. 6. ed. Belo Horizonte: Eng e

Art, 1992.

CAMPANARI, Flavio A. TEORIA DAS ESTRUTURAS. Rio de Janeiro: Guarnabara Dois,

1985.

BEER, Ferdinand P., JOHNSTON JR., E. Russel. Resistência dos materiais. 3.ed. São Paulo:


MASUERO E CREUS, INTRODUÇÃO À MECÂNICA ESTRUTURAL. UFRGS: Ed.

Universidade, 1997.

MERIAN, J. ESTÁTICA. Rio de Janeiro: LTC, 1995

NASH, William A. Resistência dos materiais. 2.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1982.

NOGUEIRA, J.B. Mecânica dos solos: Ensaios de laboratório, São Carlos: EESC-USP, 1995.

WINKIPÉDIA, A ENCICLOPÉDIA LIVRE. O TEOREMA DE STEINER. 2010. Disponível

em:http://pt.wikipedia.org/wiki/ Teorema_de_Steiner, acesso em 21 de abril de 2010.

FEIRA DE CIÊNCIAS. Sala 6, ESTÁTICA. Disponível em: http://www.feiradeciencias.com.br

/sala05/05_RE_08.asp, acesso em 30 de abril de 2010.

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. ANÁLISE DA FLEXIBILIDADE DE

DIFERENTES MATERIAIS UTILIZADOS NA CONFECÇÃO DE RETENTORES PARA

PPR2. 2005. Disponível em: http://www.cesumar.br/pesquisa/periodicos/index.php/iccesu

mar/article/viewFile/104/ 319 , acesso em 07 de maio de 2010.

http://pt.wikipedia.org/wiki/

http://www.cesumar.br/pesquisa/periodicos/index.php/iccesu

http://www.cesumar.br/pesquisa/periodicos/index.php/iccesu

3.3 Treliças - Estruturas Reticuladas

3.3.1 Nome: estruturas reticuladas

3.3.2 Objetivos:

I. Determinar experimentalmente as forças de tração e compressão em treliças.

II. Determinar experimentalmente as reações nos apoios com aplicação de cargas externas.

III. Analisar e relacionar teoricamente as forças e momentos no equilíbrio estático.

3.3.3 Materiais Utilizados:

02 balanças (capacidade: 10 kg) , 02 pesos 1 kg, treliça com pseudo anéis isométrica de lados

L=50cm com pontos A, B, C, D e E.

3.3.4 Fundamentação Teórica

3.3.4.1 Estruturas triangulares

São denominadas treliças as estruturas triangulares, formadas a partir de barras (cilíndricas,

retangulares, cantoneiras, etc.) rígidas (os efeitos das deformações são desconsiderados na análise

do equilíbrio), conectadas (por pinos, rebites, soldas, parafusos) em pontos denominados nós,

dispostas num plano geométrico (treliças planas) ou em mais de dois planos (treliças espaciais).

Figura 31. Nó ou

conectores de treliças.

Fonte: Moiola e Malite.

Figura 32. Torres.

Fonte:

http://2.bp.blogspot.com/

Figura 33. Ponte cabos.

Fonte: http://downloads

.open4group.com

http://2.bp.blogspot.com/

http://downloads/

Segundo Porto (2005) as treliças surgiram em meados do século XIX, com o escocês, Alexandre

Graham Bell (1847-1922) que criou a primeira estrutura metálica em formato tetraédrico. A partir

do século XIV, com a com a utilização do ferro fundido em construções, as treliças receberam

um grande espaço no campo das estruturas, adquirindo novos formatos e novas composições

materiais. Atualmente as estruturas triangulares são feitas a partir de qualquer material rígido que

suporte esforços de tração em compressão e servem para alternar o uso das vigas de concreto

armado. Portanto se fazem presentes nas grandes edificações, viadutos, pontes, torres, coberturas

e guindastes. Essas estruturas apresentam múltiplas vantagens, pois são leves, econômicas,

apresentam melhor desempenho e rapidez na montagem, vencem maiores vãos, suportando

maiores cargas, resistem a grandes trações enquanto concreto armado apresenta alta resistência à

compressão e baixa resistência à tração além de seu peso próprio ser grande em relação às

treliças. Contudo, em uma treliça não se pode aplicar forças em qualquer ponto, como acontece

com as vigas. Nas treliças as forças devem ser aplicadas nos nós, onde deverá ocorrer a

distribuição dessa força às demais barras conectadas ao referido nó. Essas forças vão percorrendo

às demais barras, se somando até chegar aos apoios. A figura 31 mostra um nó, onde há uma

concentração forças em diversas direções. A figura 32 mostra a beleza das torres de transmissão

de energia elétrica, uma das grandes aplicações de estruturas triangulares. Já a figura 33 mostra

uma ponte móvel (estrutura central) que pode ser deslocada na vertical para passagem de navios

entre os pilares centrais.

3.3.4.2 Treliças Planas

Uma treliça é plana quando todos os pontos (nós), denominado aqui de elemento básico que estão

em um único plano e obedece a leis de formação, ou seja, relações simples entre a quantidade de

reações em cada nó R , o número de barras N e o número de nós n . Vejamos as relações básicas

que revelam a estaticidade das treliças:

i) N R 2n Relação entre número das barras, número das reações e número dos nós.

ii) N

2n 3

Relação entre o número de barras e o número de nós (treliça isostática).

Figura 34. Treliça plana – formação dos módulos planos a partir de um elemento básico.


Se N 2n 3 ou R N 2n , temos uma estrutura hiperestática, ou seja, haverá um número de

tensões superior ao esperado e, portanto haverá um conjunto indeterminado de variáveis. Mas se

N 2n

3 ou R N

2n então a estrutura será hipoestática, ou seja, o número de barras não

poderá gerar o equilíbrio da estrutura.

iii) As forças externas devem sobre cada nó evitando efeito de flexão.

iv) cada triângulo deve conter no máximo duas forças de mesma natureza. Isto é, duas trações e

uma compressão ou duas compressões e uma tração.

Figura 35. Treliça plana.

Fonte: www.fec.unicamp.br/.../ teoria /

estrutur/4.htm.

Figura 36. Treliça plana de garrafa pet.


http://www.fec.unicamp.br/.../

3.3.4.3 Treliças Espaciais

Segundo Silva (1999, p. 1), “as estruturas espaciais são aquelas compostas de malhas planas ou

curvas, tridimensionais, interligadas por elementos estruturais chamados barras ou membros,

conectados entre si por intermédio de peças ou dispositivos especiais, chamados juntas ou nós”.

As treliças tridimensionais são formadas a partir de quatro nós e seis barras rígidas, aqui

denominado de elemento básico. Na adição de cada nó, são adicionadas três novas barras e assim

sucessivamente. As treliças espaciais apresentam as vantagens apresentadas acima e suportam

maiores cargas. O elemento básico da treliça apresenta quatro planos e pode ter maior resistência

quando as barras são isométricas (quando as barras apresentam mesmas secções retas, mesmo

comprimento e mesmas propriedades físicas; resistência a tração e compressão, mesmo módulo

de elasticidade e mesma taxa de escoamento).

Numa treliça espacial, o número de barras N e a quantidade dos nós n serão relacionados por,

N 3n 6 .

Figura 37. Elemento básico de uma treliça espacial – Adição de nós e barras.


Figura 38. Treliça espacial construída

por alunos – modelo: pé de galinha.


Figura 39. Treliça espacial. Aplicações de

estruturas espaciais.


3.3.4.4 Tração e Compressão.

As tensões nas barras são forças axiais (que agem na direção da maior dimensão da barra)

podendo ser de tração ou compressão. As trações agem impedindo o distanciamento dos dois

pontos onde está conectada. As compressões agem impedindo a aproximação dos dois pontos

onde é conectada.

OBS: Quando é construído o diagrama de corpo livre (DCL), as trações e compressões utilizadas

devem ser as forças executadas pela barra (vermelho) e não a força executada na barra (preto).

Figura 40. Tração e compressão em uma barra rígida.


i i

3.3.4.5 Determinação das tensões

Como pode ser visto na figura acima, as tensões axiais, trações e compressões, agem na direção

da barra e transmitem o módulo dessas forças até os pontos extremos. Quando se conhece

propriedades físicas de um material, pode-se conhecer a tensão aplicada ao corpo, através da

deformação. Pela Lei de Hook, E , em que é a força por unidade de área, é a deformação unitária,

(grandeza adimensional) sofrida pela barra e E é denominado módulo de Young. É importante

lembrar que essas deformações aqui salientadas devem ocorrer apenas na direção axial da

barra. Caso ocorra flexão, deve-se recorrer as equações diferenciais, fazendo analogia com cabos

e catenárias. A tensão ao longo de uma catenária tem módulo constante e varia em direção,

portanto faz-se uso de um vetor unitário direcional para determinar a tensão transmitida. Com isso

não será interessante e viável apresentar nesse momento tais expressões.

3.3.4.6 Momento de inércia nas barras

Genericamente, o momento de inércia I é:

n

I r 2 m

Onde ri

é a distância da partícula de massa mi

i 1

ao eixo de rotação.

3.3.4.7 Centro de massa de uma Treliça Plana.

As coordenadas do ponto ( x , y )

representam o centro de massa. Para chegar a seus valores é

necessário conhecer o ponto ( xi , y

i ) de cada elemento da treliça de massa m

i .

CM ( x , y )

encontrado por n n

x xi mi / mi e

n n

y yi mi /

mi .

i 1 i 1 i 1 i 1

3.3.4.8 Análise do equilíbrio

No equilíbrio a soma das forças e momentos deve ser nula. Daí deve-se escolhe um dos métodos

abaixo para solucionar o conjunto de esforços e reações existentes.

r n r r r n r

As equações do equilíbrio estático: M ri

Fi

0 e i 1

F Fi

0 i 1

3.3.4.9 Método dos Nós ou Método de Cremona Consiste

em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça: i)

Determinação das reações de apoio.

ii) Identificação do tipo de tensão em cada barra (tração T ou compressão C),

iii) Fazer o diagrama de corpo livre e verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando-se

sempre a análise a partir do nó que tenha o menor número de tensões desconhecidas.

3.3.4.10 Método de Ritter ou Método das Secções i)

Secciona-se a estrutura em duas partes.

ii) Escolha uma região da treliça que apresente no máximo três tensões, para gerar um sistema

determinado e proceda a análise das forças e momentos, aplicando o diagrama de corpo livre

(DCL).

iii) Escolha uma região vizinha à primeira secção, onde se tem uma tensão conhecida (encontrada

em ii) e faça novo corte para verificação das forças. Repita esse procedimento até finalizar toda

estrutura.

3.3.5 Procedimentos Experimentais:

3.3.5.1 Atividade 1 - Treliças

Estruturas propostas por alunos ao longo do curso de estática:

Figura 41. Treliça com pseudo anéis.


Figura 42. Torre feita em treliças planas.


3.3.5.2 Formatos

As treliças mostradas nas figuras 45 a 50 representam a treliça da figura 41, feita em barras de

madeira de dimensões (1,5 cm x 1,5 cm x 50 cm) (ver montagem em 4.3.5.9). No ponto médio

de cada barra é colocado um anel de PVC (tubo PVCE de 75 mm) com largura de 1,5 cm. Esse

anel tem a função de indicar se a barra sofre tração ou compressão.

Figura 43. Barra de madeira com

pseudo anel em compressão.


Figura 44. Barra de madeira com pseudo anel

sofrendo uma força de tração.


3.3.5.3 Conforme a figura 46 e apoie a treliça nos pontos A e E. Coloque as massas de 1 kg*

sobre o ponto C e observe em cada pseudo anel o comportamento de barra e coloque na tabela se

é tração (T) ou compressão (C).

Figura 45. Treliça plana – dimensões.


Figura 46. Treliça. Apoios em C e E.


Tabela 3.3.5.1 Dados das Trações entre os Pontos A e E

Barras AB AC BC BD CD CE DE

Tipo de tensão

*(pode ser acrescida para gerar melhor visualização nas deformações da treliça.)

3.3.5.4 Conforme a figura 46, apóie a treliça nos pontos C e E. Coloque uma massa de 2 kg (+/-)

sobre o ponto A e observe em cada pseudo anel o comportamento de barra e coloque na tabela se


Tabela 3.3.5.2 Dados das Trações entre os Pontos C e E


Tipo de tensão

3.3.5.5 Conforme a figura 17 e apóie a treliça nos pontos A e E. Coloque uma massa de 2 kg

sobre o ponto B e observe em cada pseudo anel o comportamento de barra e coloque na tabela se


Figura 47. Treliça plana A – montagem 2.




Tabela 3.3.5.3 Tipos de Tensões


Tipo de tensão

3.3.5.6 Conforme a figura 48 e apóie a treliça nos pontos A e E. Coloque uma massa de 2 kg

sobre o ponto C e observe em cada pseudo anel o comportamento de barra e coloque na tabela se


Tabela 3.3.5.4 Dados das Trações entre A e E


Tipo de tensão





Tabela 3.3.5.5 Dados da Treliça para Cálculo do Centro de Massa


Massa (kg)

CM

(cm)

( ; )

( ; )

( ; )

( ; )

( ; )

( ; )

( ; )

4.3.5.7 Meça a massa de cada barra, na figura 45 (ou pese a treliças e divida seu peso pelo

numero de barras, desconsiderando o peso dos nós), e coloque na tabela abaixo as coordenadas

dos centros de massa (CM) de cada barra da treliça. (responda a questão 9).

3.3.5.8 A figura 51 mostra uma torre feita de madeira. Duas das laterais paralelas são feitas de

treliças planas (de palitos de picolé) e as outras duas laterais apresentam apenas barras (palito de

picolé) conectadas na horizontal, formando quadrados. Aplique duas forças nas laterais

superiores da torre e verifique o comportamento. Discuta com os colegas suas conclusões.

Figura 51. Ação de forças horizontais em estruturas. Uma simulação forças laterais.


3.3.6 Questionários

1) Ao Aplicar as cargas nos pontos mencionadas nos procedimentos 4.3.5.3 ao 4.3.5.6 alguma

das barras modificou o comportamento das tensões? Quais? Tente explicar o que acontece.

2) Em qual (is) situação (ões) as reações nos apoios são iguais? Por quê?

3) Quais situações o apoio A executará maior reação que o apoio E? Justifique.

4) Observando o formato dos anéis, faça o diagrama de corpo livre para cada ponto da treliça

para a montagem representada pela figura 46.

5) Sabendo que cada barra da treliça é igual a 50 cm, calcule as reações em cada apoio na

montagem representada pela figura 46.

6) Coloque as massas, conforme a figura 49 e verifique os valores mostrados pela balança. Que

conclusões pode-se ter em relação à questão anterior?

7) O que deve ocorrer se for colocado uma massa de 1 kg (ou mais) em um dos anéis, conforme a

figura 50? Esse procedimento é correto? Justifique.

8) Mostre no diagrama de corpo livre que quando há dois apoios fixos a estruturas se torna

estaticamente indeterminável.

9) Onde deve está o centro de massa da treliça? Anote os dados na tabela 5. Considerações: o

comprimento de cada barra é de 50 cm e o ponto A está na origem.

10) Qual deve ser o momento de inércia na treliça da figura 45 em relação ao ponto A? Qual o

momento, em relação ao ponto E, causado pelo peso próprio da estrutura na mesma figura?

3.3.7 Esquema básico de montagem da treliça

Materiais: 14 barras de madeira ( 20 mm X 20 mm X 212,5 mm), anéis de PVCE (diâmetro de 75

mm e altura 20 mm), 14 parafusos,

Montagem:

i) Fure nas extremidades da madeira e parafuse os anéis formando a peça conforme a figura 41.

Figura 52.a. Montagem detalhada de

treliça com pseudo anel – parte 1.


Figura 52.b. Montagem detalhada de

treliça com pseudo anel – parte 2.


ii) Faça a conexão das extremidades através dos nós conectores. Esses conectores podem ser

feitos chapa metálica, cortada conforme indica a figura 53, para serem parafusados, rebitados ou

colados.

3.3.8 Atividade

Figura 53. Aplicação de conectores em treliças.


1) Projete uma treliça plana de aço, secção cilíndrica de diâmetro 2 mm, contendo sete nós e

barras de densidade uniforme, onde deverá ser colocada entre dois pilares, a uma distância de 6

metros.

A densidade do aço é 7860 kg/m³. Desconsidere a massa de parafusos e dos conectores.

Calcule: a) a massa total da estrutura. b) as reações nos apoios se o centro de massa estiver no

centro geométrico. c) quais barras sofrem tração e compressão devido o peso da própria estrutura?

d) Quais os valores das trações e compressões?

(Problema) Se a treliça da figura 49 fosse de aço e recebesse mais 8 nós, nas mesmas proporções

geométricas e bi apoiada, a) qual deveria ser a quantidades de reações? b) As quantidades de

barras necessárias? Qual a metragem total de barras utilizadas? Seria possível estabelecer o

equilíbrio estático? Justifique as condições.

3.4 Visual Barras – Tutorial para Cálculo e Análise de Estruturas.

Para auxílio dos cálculos, depois de verificada a aprendizagem dos alunos, é sugerido neste

Roteiro a utilização do Visual Barras. É um software gratuito utilizado para cálculo de estruturas

metálicas. O programa é de uso técnico mas por apresentar uma interface amigável e exigir

poucas propriedades físicas nos computadores, pode ser utilizado para fins didáticos.

Desenvolvido por bolsistas de engenharia e arquitetura da Universidade de Passo fundo (UPF) no

programa de

apoio FAPERGS, encontra-se disponível no site: HTTP://www.etools.upf.br.

Depois de instalado, o programa apresenta a tela inicial,

Figura 54. Tela inicial do VB.

Fonte: Dados da pesquisa.

Ao clicar em “ler arquivos de dados” podem ser visualizadas estruturas pré projetadas. Para

executar um novo projeto deve-se trabalhar no modo interativo.

http://www.etools.upf.br/

3.4.1 Iniciando um projeto

Clicando na opção treliça plana, poderá iniciar o processo de elaboração da treliça. (recomenda-

se aqui para o aluno ter em mão o projeto da estrutura a ser montada).

3.4.2 Modos de interatividade

Na primeira tela escolha o modo interativo. O programa irá automaticamente mudar para o

segundo estágio de elaboração: Materiais e secções.

Na próxima etapa devem ser fornecidos dados referentes aos materiais utilizados na estrutura.

3.4.3 Número de materiais

Nesta opção devem ser escolhidas o número de materiais. Ex. se for colocado 2, poderá trabalhar

dois metais (ou materiais distintos). Para isso, deve-se clicar em confirmar para que possam ser

abertas as opções material 1 e o seu módulo de elasticidade, material 2 e seu módulo de

elasticidade. O material está na caixa de diálogo “ tipos de materiais”.

3.4.4 Materiais

Escolhido (s) o(s) material (is), escolha a seção do material, entre circular e retangular. Para

circular será solicitado o valor do diâmetro, para retangular, será solicitado o valor da altura e da

largura.

3.4.5 Coordenadas

Ao clicar em gravar informações, será aberta a nova aba, solicitando as coordenadas.

Figura 55. Configurando os nós no VB.


Nesta opção deve ser escolhida a quantidade de nós. Depois será solicitado para inserir as

coordenadas de cada nó. Clique em gravar as coordenadas. Será então aberta nova aba

“elementos”.

3.4.6 Barras

Nessa tela é gerado um pequeno gráfico (tela preta) onde são apresentadas as posições dos nós.

Clicando em confirmar, abrirá uma tabela onde serão inseridas as ligações de Cada elemento

(barras rígidas), ou seja, quando é escolhido um elemento, por exemplo, a barra 2, nó i = 2 e nó j

= 4, significa que a barra 2 liga as coordenadas do ponto 2 ao ponto 4. Confirme os dados e abrirá

a próxima aba “apoios”.

Figura 56. configurando apoios no VB.


Figura 57. Inserindo barras no VB.


3.4.7 Apoios

Os apoios são fixos e móveis, conforme discutido na seção 4.2.4.2.6 desse roteiro. Quando uma

estrutura apresenta dois apoios um deverá ser fixo e outro móvel, ou seja, um apoio permite

pequenos deslocamentos numa determinada direção. No VB, uma barra pode sofre deslocamento

e x e não permitir deslocamentos em y, para isso, o programa exige que dx=0 (permite

deslocamento na direção de x) e dx=1 ( não permite deslocamento em x).

Figura 58. Inserindo apoios no VB.


Note que o nó 1 permite deslocamento em x e não permite deslocamentos em y. O nó 5 não deve

permitir nenhum tipo de deslocamento. Obs.: Se os apoios forem determinados incorretamente, a

estrutura não permitirá nenhum tipo de análise. Ao escolher o modelo para os apoios, e clicando

em “gravar apoios” será aberta a aba de “cargas”.

Figura 59. Inserindo cargas no VB.


3.4.8 Cargas. Após gravar as cargas será aberta a aba para inserção da quantidade de cargas.

Coloque a quantidade de cargas desejadas e e aparecerá a opção de escolher o nó e as

componentes da forças na direção de x FX e na direção de y FY. Grave as cargas e abrirá a aba

de visualização da estrutura.

Figura 60. Visualização de estrutura no VB.


3.4.9 Análises dos resultados. Podem ser analisadas as variações elásticas ocorridas nas direções

axiais das barras, as reações nos apoios, os esforços de tração ou compressão.

Figura 61. Análise dos dados no VB.


3.4.10 Salvando o projeto da estrutura. Na aba da visualização é apresentado o ícone de um

disquete. Salve seu projeto colocando nome e a extensão vba. Exemplo: treliça01.vba.

3.4.11 Conclusão:

Existem diversos problemas em estática e problemas de física geral, como os problemas que

envolvem um corpo suspenso por dois cabos, que podem ser analisados pelo VB. A partir do

módulo de elasticidade e propriedades geométricas, podem ser idealizadas várias estruturas de

madeira, de aço, ferro, etc. Com uma interface relativamente amigável, diversos profissionais

podem ser treinados e posteriormente utilizar o software na elaboração e análise de estruturas.

Serralheiros poderão utilizar o programa na confecção de pequenas estruturas (currais, cancelas,

grades, etc), carpinteiros poderão utilizar para cálculos de pequenas peças de madeira

emestruturas simplificadas, ou outros profissionais na análise simplificada de pequenas estruturas.

O software representa uma ferramenta adicional que pode contribuir para qualificação dos

profissionais citados acima e se torna significativo no ensino por relacionar claramente elementos

utilizados no cotidiano com estruturas padronizadas. Os autores também advertem a utilização

desse software para cálculo de vários modelos estruturais, onde deverão ser acompanhados por

profissionais qualificados.

3.4.12 Atividade utilizando o Visual Barras

Procedimentos:

1. Utilizando o VB, insira os dados apresentados na estrutura abaixo, uma treliça de barras

circulares de diâmetro 2 mm e suporta duas cargas de 12kN e 8 kN conforme a figura.

2. Verifique os valores das trações e compressões e as reações de apoio. Coloque os dados na

tabela abaixo. Faça os cálculos e verifique os resultados teóricos com dos dados fornecidos pelo

programa.

Figura 62. Projeto de treliça.


Tabela 6. Análise de Forças em uma Estrutura Triangular.

Barras Reações nos apoios

AB AC BC R1X RY1 R2X R2Y

Tipo de Tensão

Tensões (kN) – dados do VB

Tenções (kN) – dados teóricos

3.4.13 Questionário

1) Quais facilidades e dificuldade de se utilizar o VB?

2) Quais fatores mais importantes devem ser considerados, em relação aos softwares no cálculo

de estruturas?

3) Como podem ser visualizadas as tensões no VB?

4) Qual deve ser o diâmetro mínimo para que cada barra venha suportar os esforços solicitados?

5) Utilizando a lei de Hooke, verifique os deslocamentos virtuais em cada barra.

3.4.14 Conclusões e discussões

3.4.15 Bibliografia

AMARAL, Otávio Campos. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS, 6. ed. Belo

Horizonte: Eng e Art, 1992

BEER, Ferdinand P., JOHNSTON JR., E. Russel. Resistência dos materiais. 3. ed.

São Paulo: Makron Books do Brasil, 1996.

CAMPANARI, FLAVIO A. TEORIA DAS ESTRUTURAS. Rio de Janeiro:

Guarnabara Dois, 1985.

MASUERO E CREUS. INTRODUÇÃO À MECÂNICA ESTRUTURAL.

Porto Alegre: Ed. Universidade, 1997.

MERIAN, J. C. ESTÁTICA. Rio de Janeiro: TC, 1995.

MOIOLA , C.H, MALITE, M. Análise teórica e experimental de treliças

metálicas espaciais construídas com extremidades estampadas. São Carlos:

EESC-USP, 2002.

NOGUEIRA, J.B. Mecânica dos solos – Ensaios de laboratório, São Carlos:

EESC-USP, 1995.

UNIVERSIDADE DE BRASILIA. FACULADADE DE ARQUITETURA E

URBANISMO. 2005. Tipologias Arquitetônicas de Estruturas Espaciais em

Brasília. Disponível em: http://www.docomomo.org.br/seminario%205%20pdfs/

036R. pdf, acesso em 06 de maio de 2010.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA. DEPARTAMENTO DE

MATEMÁTICA. 2007. Disponível em: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/tru/

tru_3t/tru_3_a.php , acesso em 1 de abril de 2010.

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA. DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA. 2005. Disponível em: http://www.dec.isel.ipl.pt/anexos_ disciplinas

/Mecânica_Aplicada/ Aula_laboratorial /Trelica.pdf, acesso em 02 de abril de 2010.

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA. DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA. 2005. Disponível em:http://www.dec.isel.ipl.pt/anexos_disciplinas/

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA. NOTAS DE AULAS DE

ENGENHARIA CIVIL. 2003. Disponível em: http://usuarios.upf.br/~zacarias /Notas_

de_Aula_Madeiras.pdf, acesso em 30 de abril de 2010.

http://www.docomomo.org.br/seminario%205%20pdfs/

http://www.mat.uel.br/geometrica/php/tru/%20tru_3t/tru_3_a.php

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http://www.dec.isel.ipl.pt/anexos_disciplinas/

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CENTRO BRASILEIRO DE CONSTRUÇÕES EM AÇO. FERRAMENTAS

COMPUTACIONAIS PARA O ENSINO DE ESTRUTURAS. 2008. Disponível

em: http://www.etools.upf.br, acesso em 4 de maio de 2010.

USP. DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS. 2008. Tipos de Análise Estrutural para

Elementos Lineares Segundo a NBR 6118:2003. Disponível em: http://www.set.eesc

.usp.br, acesso em 16 de Abril de 2010.

FEIRA DE CIÊNCIAS. Sala 6, ESTÁTICA. Disponível em : http://

www.feiradeciencias. com.br/sala05/05_ RE_08.asp , acesso em 30 de abril de 2010

http://www.etools.upf.br/

http://www.set.eesc/

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