Pontos e contrapontos do ensino e da aprendizagem de Matemática ...

Sobre a FEACA Fundação FEAC é uma entidade beneficente de assistência social, da área de Assistência Social, com sede no município de Campinas/SP, e que tem como missão a promoção humana, a assistência e o bem estar social, com prioridade à criança e ao adolescente.

Instituição de direito privado, com fins não lucrativos, atualmente a FEAC reúne entidades a ela conveniadas que juntas representam cerca de 130 unidades de atendimento. Este universo é uma espécie de rede de solidariedade que assiste, de forma permanente e direta, aproximadamente 70 mil pessoas em situação de vulnerabilidade ou risco social.

A FEAC trabalha de maneira a aglutinar os esforços empreendidos pelas mais diversas organizações na cidade – especialmente entidades sem fins lucrativos. Para a rede educacional pública, a FEAC também oferta apoio a fim de auxiliá-la na busca da melhoria da qualidade de ensino.

A Fundação também apoia e potencializa as propostas de trabalho das entidades conveniadas, bem como executa programas, projetos e ações de iniciativa própria em parceira ou não com outras instituições privadas. As atividades da Fundação são financiadas pelos recursos próprios gerados por empreendimentos imobiliários desenvolvidos na área patrimonial da FEAC.

Sobre o CCELançado em 2007, sob liderança da Fundação FEAC, o Compromisso Campinas pela Educação (CCE) visa mobilizar a sociedade civil a fim de chamar a atenção para a causa e o tema Educação, evidenciando dados, promovendo estudos, discussões e debates acerca da qualificação da educação, especialmente na cidade de Campinas/SP.

Dentre as estratégias adotadas para atingir o objetivo de mobilização estão ações como firmar e legitimar parcerias estratégicas; participação em espaços de construção e discussão sobre política pública de Educação; planejar atividades diversas a fim de estreitar vínculos com escolas públicas, faculdades e universidades do município, entre outros aliados e movimentos congêneres; desenvolver ações de comunicação que evidenciem questões educacionais; publicar informações, dados, estudos e pesquisas sobre Educação, prioritariamente sobre o município de Campinas/SP; promover e organizar eventos, concursos e premiações que coloquem a causa Educação em máxima evidência e incrementar banco de dados composto por contatos estratégicos a fim de ampliar rede de relacionamento.

Sobre o Observatório da EducaçãoNúcleo de observação criado em maio de 2013 para acompanhar a evolução de um fenômeno ou de um tema estratégico, no caso serviços socioeducacionais, no tempo e no espaço. Na ausência de um espaço de livre acesso que divulgue, de forma organizada, dados oficiais sobre a Educação no município de Campinas/SP, surge o Observatório a fim de democratizar o acesso às informações e disponibilizar resultados de análises e estudos sobre temas relacionados aos serviços socioeducacionais.

O Observatório da Educação, célula de estudos e pesquisas ligada ao CCE, conta com um Comitê Deliberativo, ao qual cabe recomendar análises, estudos e pesquisas. É formado por profissionais de notória especialização na área de educação com participação significativa nos debates nacionais e representantes das Secretarias Municipal e Estadual de Educação.

ExpedienteEste livro é uma publicação da Fundação FEAC, no âmbito do

Observatório da Educação/Compromisso Campinas pela Educação.

Presidente do Conselho CuradorAntonio Carlos de Moraes Salles Filho

Presidente da Diretoria ExecutivaPaulo Tilkian

Diretoria de Relações Externas Luís Norberto Pascoal

Coordenadora do Comitê Deliberativo do Observatório da EducaçãoMaria Inês Fini

AutorRuy César Pietropaolo

Revisão Ingrid Vogl (MTb.MS 194/02)

José Pedro Martins (MTb. 17.572)

Supervisão Julia Ramos Murtinho

Gestão Vanessa Taufic Gallo

ProduçãoFábrica de Ideias

Correspondência: Fundação FEAC/Observatório da Educação/Compromisso Campinas pela EducaçãoRua Odila Santos de Souza Camargo, 34, Jardim Brandina. CEP: 13092-540 – Campinas/SP

E-mail: [email protected]: (19) 3794.3512 Fax: (19) 3794.3535

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Pietropaolo, Ruy César Pontos e contrapontos do ensino e da aprendizagem de matemática na perspectiva da avaliação da Prova Brasil / Ruy César Pietropaolo. -- 1. ed. -- Campinas, SP : Fundação FEAC, 2015.

Bibliografia.

1. Avaliação educacional - Brasil 2. Ensino fundamental - Avaliação - Brasil 3. Matemática - Estudo e ensino 4. Qualidade do ensino 5. SAEB-Sistema de Avaliação da Educação Básica I. Título.

15-07825 CDD-371.260981

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática no ensino fundamental : Brasil : Avaliação educacional : Educação 371.260981

Índice

INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 07

Parte I – O PERCURSO DO ENSINO E DA APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL.................................... 09

Parte II – ENTENDENDO A PROPOSTA DE AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA DO SAEB/PROVA BRASIL ........................................ 15

Parte III – SOBRE A INTERPRETAÇÃO PEDAGÓGICA DOS NÍVEIS DE PROFICIÊNCIA ................................................................................. 47

BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 87

SOBRE O AUTOR ................................................................................................. 88

7Compromisso Campinas pela Educação

Introdução

O Compromisso Campinas pela Educação (CCE), lançado em 2007, sob a liderança da Fundação FEAC, mobiliza a sociedade civil a fim de chamar a atenção para a causa e o tema Educação, evidenciando dados, promovendo estudos, discussões e debates sobre a qualificação da educação, especialmente na cidade de Campinas.

Em 2013, o CCE promoveu o lançamento do Observatório da Educação: um núcleo de observação criado para democratizar o acesso às informações e disponibilizar análises e estudos sobre temas relacionados aos serviços socioeducacionais de Campinas/SP. Todas as publicações realizadas pelo Observatório são disponibilizadas no portal do Compromisso Campinas pela Educação (http://www.compromissocampinas.org.br).

Este documento faz parte dessas ações e tem a finalidade de colaborar com os educadores, em geral, e professores de Matemática das escolas públicas do Município de Campinas, em particular, na implementação de práticas pedagógicas que visem gestão para resultados com o foco no desempenho adequado dos alunos dos 5º e 9º anos do ensino fundamental em Matemática na Prova Brasil.

A avaliação realizada pela Prova Brasil tem objetivos essencialmente diagnósticos. Trata-se de aferir as competências e habilidades que os alunos puderam desenvolver, no contexto do processo de escolarização, tomando-se como referências o currículo nacional e a matriz para a avaliação.

O controle dos resultados esperados na Prova Brasil ocorre pelo uso sistemático e contínuo de processos de avaliações diagnósticas externas que indiquem as possíveis intervenções para a correção dos planos colocados em ação, de modo que se possa atingir a meta principal da educação: a formação integral do aluno.

Com base nesse diagnóstico, pretende-se, então, subsidiar um planejamento mais eficaz assim como colaborar com a elaboração de estratégias e programas voltados para o atendimento de demandas específicas detectadas pelo processo avaliatório.

8 Pontos e contrapontos do ensino e da aprendizagem de Matemática na perspectiva da avaliação da Prova Brasil

Na Parte I, realiza-se uma retomada do currículo de Matemática do ensino fundamental proposto nos Parâmetros Curriculares Nacionais (o que deve ser ensinado e aprendido nas escolas). Não há como se falar em avaliação e resultados sem que se tenha um referencial curricular explícito.

Na Parte II, são apresentados os referenciais da Prova Brasil e como resultados do desempenho em Matemática são organizados e o que eles significam.

Na Parte III, esses resultados são analisados e interpretados em uma perspectiva pedagógica que envolve os conhecimentos a serem ensinados e aprendidos em Matemática.

Esperamos que a partir dessa reflexão, os professores possam refletir sobre suas práticas de ensino de Matemática de modo a conquistar melhores resultados na aprendizagem de seus alunos.


Parte I

Percurso do ensino e da aprendizagem em Matemática no ensino fundamental

O objetivo deste tópico é o de discutir pressupostos para a prática docente do professor de Matemática de modo a favorecer sua reflexão sobre o que se ensina e o que se aprende em Matemática, nos diferentes anos escolares do ensino fundamental, e o que se avalia na Prova Brasil.

Há em todos os documentos nacionais, estaduais e municipais1, um consenso sobre o significado dos processos de ensino e de aprendizagem de Matemática para todas as escolas brasileiras. Esse consenso pode ser verificado, por exemplo, em muitos dos livros didáticos adotados pelas escolas públicas, selecionados pelo Programa Nacional do Livro Didático/PNLD, cuja avaliação segue claramente critérios alicerçados nesses documentos curriculares.

Desse modo, as atuais Matrizes de Avaliação de Matemática do Saeb/Prova Brasil2

e Saresp/SP3 têm como base esses documentos curriculares – nacionais, estaduais ou municipais.

Cabe também ressaltar que diferentes currículos prescritos de Matemática, estaduais ou municipais, apesar de atenderem às especificidades de sua respectiva região, adotaram as diretrizes dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), no tocante aos objetivos, métodos e os blocos de conteúdo.

1 Lei de Diretrizes e Bases/LDB 9.394/96; Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental/DCNs/CNE; Parâmetros Curriculares Nacionais/PCNs/MEC; Currículo Oficial do Estado de São Paulo, para as escolas da rede estadual; Diretrizes Curriculares do Município de Campinas, para as escolas da rede municipal.2 portal.inep.gov.br/prova-brasil-matrizes-de-referencia3 http://saresp.fde.sp.gov.br/2009/pdf/Saresp2008_MatrizRefAvaliacao_DocBasico_Completo.pdf


Assim, considera-se relevante destacar, neste texto, as finalidades do ensino de Matemática4, tais como estão definidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais, para todos os anos escolares do ensino fundamental. Com esse propósito, seguem alguns excertos desse documento:

Os Parâmetros Curriculares Nacionais para a área de Matemática no ensino fundamental estão pautados por princípios decorrentes de estudos, pesquisas, práticas e debates desenvolvidos nos últimos anos, cujo objetivo principal é o de adequar o trabalho escolar a uma nova realidade, marcada pela crescente presença dessa área do conhecimento em diversos campos da atividade humana. São eles:

• a Matemática é importante na medida em que a sociedade necessita e se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, que por sua vez são essenciais para a inserção das pessoas como cidadãos no mundo do trabalho, da cultura e das relações sociais;

• a Matemática pode e deve estar ao alcance de todos e a garantia de sua aprendizagem deve ser meta prioritária do trabalho docente;

• a atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade;

• o ensino de Matemática deve garantir o desenvolvimento de capacidades como: observação, estabelecimento de relações, comunicação (diferentes linguagens), argumentação e validação de processos e o estímulo às formas de raciocínio como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa;

• o ensino-aprendizagem de Matemática deve ter como ponto de partida a resolução de problemas;

• no ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras, escritas numéricas); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a falar e a escrever sobre Matemática, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados;

• a aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à atribuição e apreensão de significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe identificar suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais áreas, entre ela e o cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos;

4 BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental. Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. p. 49-56-59. Adaptado. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf


• a seleção e organização de conteúdos devem levar em conta sua relevância social e sua contribuição para o desenvolvimento intelectual do aluno e não deve ter como critério apenas a lógica interna da Matemática;

• o conhecimento matemático é historicamente construído e, portanto, está em permanente evolução. Assim, o ensino de Matemática precisa incorporar essa perspectiva, possibilitando ao aluno reconhecer as contribuições que ela oferece para compreender as informações e posicionar-se criticamente diante delas;

• recursos didáticos como livros, vídeos, televisão, rádio, calculadoras, computadores, jogos e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão;

• a avaliação é parte do processo de ensino e aprendizagem. Ela incide sobre uma grande variedade de aspectos relativos ao desempenho dos alunos, como aquisição de conceitos, domínio de procedimentos e desenvolvimento de atitudes. Mas também devem ser avaliados aspectos como seleção e dimensionamento dos conteúdos, práticas pedagógicas, condições em que se processam o trabalho escolar e as próprias formas de avaliação.

Em relação aos blocos de conteúdo a serem desenvolvidos em todos os anos do ensino fundamental, nos Parâmetros Curriculares Nacionais estão apresentadas as considerações que seguem.

Atualmente, há consenso a fim de que os currículos de Matemática para o ensino fundamental devam contemplar o estudo:

• dos números e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra);

• do espaço e das formas (no campo da Geometria);

• das grandezas e das medidas (que permite conexões entre os campos da Aritmética, da Álgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento).

Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão tratar as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à probabilidade e à combinatória. (...). A demanda social é que leva a destacar este tema como um bloco de conteúdo, embora pudesse ser incorporado aos anteriores. A finalidade do destaque é evidenciar sua importância, em função de seu uso atual na sociedade.

O desafio que se apresenta é o de identificar, dentro de cada um desses vastos campos de conceitos, procedimentos e atitudes que são socialmente relevantes. Também apontar em que medida os conteúdos contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno, ou seja, para a construção e coordenação do pensamento lógico-matemático, para o desenvolvimento da criatividade, da intuição, da capacidade de análise e de crítica, que constituem esquemas lógicos de referência para interpretar fatos e fenômenos.

Os Parâmetros Curriculares também discutem, ainda que brevemente, a natureza do conhecimento matemático e suas principais características e seus métodos particulares, pois considera essas ponderações como necessárias para dimensionar a Matemática no currículo. Seguem algumas reflexões dos PCN a esse respeito:


A Matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da construção humana na sua interação constante com o contexto natural, social e cultural. Esta visão opõe-se àquela presente na maioria da sociedade e na escola que considera a Matemática como um corpo de conhecimento imutável e verdadeiro, que deve ser assimilado pelo aluno. A Matemática é uma ciência viva, não apenas no cotidiano dos cidadãos, mas também nas universidades e centros de pesquisas, onde se verifica, hoje, uma impressionante produção de novos conhecimentos que, a par de seu valor intrínseco, de natureza lógica, têm sido instrumentos úteis na solução de problemas científicos e tecnológicos da maior importância.

A Matemática faz-se presente na quantificação do real — contagem, medição de grandezas — e no desenvolvimento das técnicas de cálculo com os números e com as grandezas. No entanto, esse conhecimento vai muito além, criando sistemas abstratos, ideais, que organizam, inter-relacionam e revelam fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados quase sempre a fenômenos do mundo físico.

O advento posterior de uma multiplicidade de sistemas matemáticos — teorias matemáticas — evidenciou, por outro lado, que não há uma via única ligando a Matemática e o mundo físico. Além disso, essa multiplicidade amplia-se, nos tempos presentes, com o tratamento cada vez mais importante dos fenômenos que envolvem o acaso — a estatística e a probabilidade — e daqueles relacionados com as noções matemáticas de caos e de conjuntos fractais.

Convém, ainda, ressaltar que, desde os seus primórdios, as inter-relações entre as várias teorias matemáticas, sempre tiveram efeitos altamente positivos para o crescimento do conhecimento nesse campo do saber. Por fim, com o advento da era da informação e da automação e com a rapidez, antes impensada, na realização dos cálculos numéricos ou algébricos, torna-se cada vez mais amplo o espectro de problemas que podem ser abordados e resolvidos por meio do conhecimento matemático.

Na criação desse conhecimento, contudo, interferem processos heurísticos e intervêm a criatividade e o senso estético, do mesmo modo que em outras áreas do conhecimento. A partir da observação de casos particulares, as regularidades são desvendadas, as conjecturas e teorias matemáticas são formuladas. Esse caráter indutivo é, em geral, pouco destacado quando se trata da comunicação ou do ensino do conhecimento matemático.

Quando se reflete, hoje, sobre a natureza da validação do conhecimento matemático, reconhece-se que, na comunidade científica, a demonstração formal tem sido aceita como a única forma de validação dos seus resultados. Nesse sentido, a Matemática não é uma ciência empírica. Nenhuma verificação experimental ou medição feita em objetos físicos poderá, por exemplo, validar matematicamente o teorema de Pitágoras ou o teorema relativo à soma dos ângulos de um triângulo. Deve-se enfatizar, contudo, o papel heurístico que têm desempenhado os contextos materiais como fontes de conjecturas matemáticas.

Essas características permitem conceber o saber matemático como algo flexível e maleável às inter-relações entre os seus vários conceitos e entre os seus vários modos de representação, e, também, permeável aos problemas nos vários outros campos científicos. Um saber matemático desse tipo pode ser o motor de inovações e de superação dos obstáculos, desde os mais simples até aqueles que significam verdadeiras barreiras epistemológicas no seu desenvolvimento.


Em síntese, os PCN consideram que a Matemática é uma atividade humana que trata dos padrões, da resolução de problemas, do raciocínio lógico, percorrendo o estudo dos números e operações, das formas geométricas, das estruturas e das regularidades, da variação, do acaso e da incerteza, na tentativa de compreender o mundo e fazer uso desse conhecimento.

A natureza da competência matemática depende do tempo histórico em que ela é considerada: há 50 anos, para o cidadão comum, saber Matemática era praticamente sinônimo de saber fazer contas. Uma simples análise permite concluir que, de certa forma, temos hoje menos exigências de cálculo na vida do dia a dia do que no passado: as máquinas não só efetuam as operações como calculam os trocos e as percentagens e, em muitos casos, registram os próprios valores numéricos. Contudo, o mundo em que vivemos está cada vez mais “matematizado”. Apesar disso, precisamos desenvolver procedimentos de cálculo – exato, aproximado, escrito e mental – seja como forma de controle dos resultados, seja para fazer estimativas.

Precisamos utilizar conceitos ou procedimentos matemáticos, quando, por exemplo, examinamos diferentes alternativas para contrair um empréstimo, estimamos um valor aproximado e precisamos compreender um anúncio ou uma notícia que se baseia em tabelas e gráficos, ou ainda quando questionamos se uma amostra é representativa de uma dada população. Também são rotineiras as situações que pedem competências ligadas à visualização e à orientação espacial, como quando se pretende interpretar uma imagem ou uma construção ou explicar uma figura ou um trajeto.

Além dos modelos matemáticos usados nas ciências experimentais, na engenharia e na tecnologia, vemos as aplicações matemáticas abrangendo igualmente a economia, o mundo dos negócios, a medicina, a arte, as ciências sociais e humanas.


Parte II

Entendendo a proposta de avaliação em Matemática do Saeb/Prova Brasil5

O Saeb (Sistema Nacional da Avaliação da Educação Básica) é uma das primeiras ações políticas brasileiras, no âmbito do sistema federal, para se diagnosticar os resultados de aprendizagem dos alunos, nas etapas da escolarização da educação básica. Ele foi elaborado e desenvolvido pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira/Inep, do Ministério da Educação/MEC. A avaliação da educação básica vem sendo realizada desde 1990, mantendo-se, a partir de 2001, com periodicidade bianual, e o seu último ciclo foi aplicado em 2013.

Essa é uma informação relevante porque até 2001, de fato, pouco se sabia, de modo sistemático e confiável, sobre a aprendizagem dos alunos brasileiros durante o processo de escolarização. O caráter do Saeb é realizar uma avaliação diagnóstica formativa que gere informações para a produção de indicadores da qualidade da escolarização brasileira.

A partir de 2001, com base na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional/LDB 9.394/19966, nas Diretrizes Curriculares Nacionais para os Ensinos Fundamental e Médio7 e na edição dos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998)8, há uma mobilização do MEC/Inep em replanejar o Saeb para aperfeiçoá-lo. Em 2005, ele passa por uma revisão, com a inclusão da Prova Brasil.

A partir de 2005, o então Saeb é denominado Avaliação Nacional da Educação Básica/Aneb e gera informações que viabilizam a produção de indicadores de qualidade e de equidade

5 Saiba mais! http://portal.inep.gov.br/web/saeb/aneb-e-anresc6 Saiba mais! www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm7 Saiba mais! portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/PCB0498.pdf8 Saiba mais! portal.mec.gov.br › Secretaria de Educação Básica


da educação brasileira. As provas são realizadas a cada dois anos em amostras de alunos dos sistemas públicos e particulares, abrangendo os 5º e 9º anos do ensino fundamental e a 3ª série do ensino médio, em Língua Portuguesa/Leitura e Matemática/Resolução de problemas matemáticos. As informações destinam-se a subsidiar a formulação de políticas públicas educacionais e a produzir comparações históricas entre anos e séries escolares. Os dados produzidos não podem ser usados para identificar escolas, turmas ou alunos, uma vez que os resultados se referem às médias de desempenho por estrato (grupo de alunos) da amostra. Ele é obrigatório para todas as escolas da amostra escolhida e representa um retrato da educação brasileira.

A Prova Brasil, denominada Avaliação Nacional do Rendimento Escolar/Anresc, por sua vez, gera informações sobre a qualidade do processo de ensino e de aprendizagem nas escolas dos sistemas estaduais e municipais públicos que participam dessa ação federal. Seus resultados têm por objetivo fornecer indicadores para os sistemas e as escolas participantes de modo a contribuir para o desenvolvimento de ações pedagógicas e administrativas direcionadas à correção de distorções, superação de desafios e melhoria do ensino. Os alunos de 5º e 9º anos de quase todas as escolas públicas são avaliados a cada dois anos pela Prova Brasil.

A Prova Brasil é uma avaliação educacional nacional que oferece o mais completo e detalhado retrato da qualidade do aprendizado nas redes públicas de ensino do Brasil. Ela faz parte do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (Saeb) e avalia duas competências dos alunos: a de leitura e interpretação de textos (Língua Portuguesa) e a resolução de problemas matemáticos (Matemática). Todos os alunos brasileiros de 5º e 9º anos do ensino fundamental, matriculados em escolas públicas com mais de 20 alunos, realizam a prova. O exame fornece resultados por escola, município, estado e também uma visão geral do aprendizado do Brasil.9

A Prova Brasil informa a média geral e o percentual de estudantes por nível de aprendizagem em Língua Portuguesa/Leitura e Matemática de cada escola de ensino fundamental (5º e 9º anos). Os resultados da Prova Brasil compõem o Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb).10

A Aneb e a Anresc (Prova Brasil) são duas avaliações diagnósticas e externas complementares que fazem parte do Sistema de Avaliação da Educação Básica/Saeb. Apesar de algumas características distintas, a Aneb e a Anresc (Prova Brasil) são avaliações em larga escala que utilizam os mesmos instrumentos de avaliação (provas), as mesmas Matrizes de Referência11, a mesma metodologia de composição das provas, o mesmo tratamento de dados e também apresentam os resultados na mesma escala de proficiência.12

9 Saiba mais! http://www.qedu.org.br/ajuda/artigo/41640510 O Ideb é um indicador que busca representar a qualidade do ensino básico no Brasil. Ele é calculado a partir dos dados sobre aprovação escolar, obtidos no Censo Escolar, e das médias de desempenho nas avaliações do Inep (Saeb e Prova Brasil).11 Saiba mais! portal.inep.gov.br/prova-brasil-matrizes-de-referencia12 Saiba mais!http://download.inep.gov.br/educacao_basica/prova_brasil_saeb/escala/escala_proficiencia/2013/escalas_ensino_fundamental_2013.pdfMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA DIRETORIA DE AVALIAÇÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA. NOTA TÉCNICA. Indicador de Nível Socioeconômico das Escolas de Educação Básica (Inse). Disponível em: http://download.inep.gov.br/mailing/2014/nota_tecnica_INSE.pdfMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA. NOTA EXPLICATIVA. RESULTADOS PROVA BRASIL 2013. Disponível em: http://download.inep.gov.br/mailing/2014/nota_explicativa_prova_brasil_2013.pdf


As avaliações em larga escala são elaboradas por um órgão externo às escolas, com a finalidade de construir indicadores em âmbito mais amplo que o da instituição de ensino. MEC/Inep é responsável pela elaboração e aplicação de avaliações nacionais em larga escala da educação brasileira. São utilizados procedimentos metodológicos formais e científicos para coletar e sistematizar dados e produzir informações sobre o desempenho dos alunos do ensino fundamental e médio (nos anos e nas áreas avaliadas), assim como sobre as condições intra e extraescolares que incidem sobre o processo de ensino e aprendizagem. Essas informações só são possíveis por meio da aplicação de instrumentos de medida e da análise de seus resultados, ao longo do tempo.13

O que a Prova Brasil avalia em Matemática?

As matrizes de referência do Saeb14

De acordo com os pressupostos teóricos que norteiam os instrumentos de avaliação, a Matriz de Referência é o referencial curricular do que será avaliado em cada ano escolar, informando as competências e habilidades esperadas dos alunos. As Matrizes de Referência são um documento oficial no qual estão descritas as orientações para a elaboração dos itens dos testes da Aneb/Anresc (Prova Brasil).

Para a elaboração de itens e análise dos resultados, é fundamental a compreensão das Matrizes de Referência, o conceito de descritor de desempenho15 e a forma como os conteúdos e as competências e habilidades (objetos) da avaliação estão distribuídos ao longo dos anos/séries.

As matrizes de referência que norteiam os testes de Matemática da Aneb e da Prova Brasil estão estruturadas sobre o foco Resolução de Problemas. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

As Matrizes de Referência de Matemática, diferentemente do que se espera de um currículo, não trazem orientações ou sugestões de como trabalhar em sala de aula. Além disso, não mencionam certas habilidades e competências que, embora sejam importantes, não podem ser medidas por meio de uma prova escrita. Em outras palavras, as Matrizes de Referências de Matemática do Saeb e da Prova Brasil não avaliam todos os conteúdos que devem ser trabalhados pela escola no decorrer dos períodos avaliados. Sob esse aspecto, parece também ser evidente que o desempenho dos alunos em uma prova com questões de múltipla escolha não fornece ao professor indicações de todas as habilidades e competências desenvolvidas nas aulas de Matemática.

13 Saiba mais! Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. SAEB 2001: novas perspectivas/Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. – Brasília: O Instituto, 2001. 14 Texto adaptado de BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, 2008. Adaptado. p. 106-9.15 O descritor é uma associação entre conteúdos curriculares e operações mentais desenvolvidas pelo aluno, que traduzem certas competências e habilidades. Os descritores: indicam habilidades gerais que se esperam dos alunos e constituem a referência para seleção dos itens que devem compor uma prova de avaliação. Saiba mais! Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. SAEB 2001: novas perspectivas / Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. - Brasília: O Instituto, 2001. http://download.inep.gov.br/download/saeb/2001/Miolo_Novas_Perspectivas2001.pdf


Desse modo, as Matrizes envolvem habilidades relacionadas a conhecimentos e a procedimentos que podem ser objetivamente verificados. Um exemplo: o conteúdo “utilizar procedimentos de cálculo mental”, que consta nos Parâmetros Curriculares Nacionais, apesar de indicar uma importante capacidade que deve ser desenvolvida ao longo de todo o ensino fundamental, não tem nessa Matriz um de scritor correspondente.

Assim, a partir dos itens do Saeb e da Prova Brasil, é possível afirmar que um aluno desenvolveu certa habilidade, quando ele é capaz de resolver um problema a partir da utilização/aplicação de um conceito por ele já construído. Por isso, o teste busca apresentar, prioritariamente, situações em que a resolução de problemas seja significativa para o aluno e mobilize seus recursos cognitivos. As Matrizes de Referência de Matemática estão distribuídas em quatro temas comuns com seus respectivos descritores para cada ano avaliado da seguinte forma16:

Tema I – Espaço e Forma

As questões relacionadas com as formas e relações entre elas, com as possibilidades de ocupação do espaço, com a localização e o deslocamento de objetos no espaço, vistos sob diferentes ângulos são tão necessárias hoje quanto o foram no passado. Atualmente, é cada vez mais indispensável que as pessoas desenvolvam a capacidade de observar o espaço – bi e tridimensional – e de elaborar modos de comunicar-se a respeito dele, pois a imagem é um instrumento de informação essencial no mundo moderno. Assim, em diversas situações cotidianas e no exercício de diversas profissões – engenharia bioquímica, arquitetura, mecânica, coreografia, etc. – demandam do indivíduo a capacidade de pensar geometricamente.

Os conceitos geométricos devem constituir parte importante do currículo de Matemática, pois além de sua larga aplicação no dia a dia, o aluno pode desenvolver por meio deles um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada e concisa o mundo em que vive. O trabalho com noções geométricas estimula os alunos a observar, identificar características comuns e diferentes de objetos geométricos.

Ao concluir o 5º ano do ensino fundamental, o aluno deve observar que o espaço é constituído por três dimensões – comprimento, largura e altura – e classificar uma figura geométrica segundo o número de dimensões que a constitui. A localização de um objeto ou a identificação de seu deslocamento, assim como a percepção de relações de objetos no espaço com a utilização de vocabulário correto, são, também, noções importantes para essa fase de aprendizagem do aluno.

No 9º ano do ensino fundamental, a exploração deste campo do conhecimento deverá favorecer o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial, possibilitando a descoberta de conceitos matemáticos de modo experimental. Espera-se que ao final desse ano, o aluno amplie e aprofunde noções geométricas como paralelismo, perpendicularismo e ângulo para estabelecer relações, inclusive as métricas, em figuras bidimensionais e tridimensionais. Espera-se também que o estudante seja capaz de produzir e analisar transformações e ampliações/reduções de figuras geométricas planas, identificando seus elementos variantes e invariantes, desenvolvendo o conceito de congruência e semelhança.

16 Texto adaptado de BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, 2008. p. 109-193.


Tema II – Grandezas e Medidas

Não há dúvidas sobre a importância das grandezas e medidas na vida cotidiana das pessoas e no exercício de muitas profissões. A importância desse tema no currículo de Matemática é evidente: tanto o estudo dos Números e Operações, quanto o do Espaço e Forma seriam incompletos e inconsistentes sem um tratamento adequado das medidas.

Em relação à aprendizagem desse tema, espera-se que no 5º ano do ensino fundamental o aluno compreenda que a comparação de grandezas de mesma natureza é que dá origem à ideia de medida. Assim, por exemplo, a utilização do uso de partes do próprio corpo para medir (palmos, pés, polegadas) pode ser uma estratégia inicial para a construção das competências relacionadas a esse tema porque permite a reconstrução histórica de um processo em que a medição tinha como referência as dimensões do corpo humano. Para certas aplicações, foram desenvolvidas medidas que, ao longo do tempo, tornaram-se convencionais. Em síntese, os fundamentos desse tema e as competências a ele relacionadas, que são esperadas de um aluno até o término do 5º ano do ensino fundamental, dizem respeito à compreensão de que podem ser convencionadas medidas ou de que podem ser utilizados sistemas convencionais para o cálculo de perímetros, áreas, valores monetários e trocas de moedas e cédulas.

Assim, espera-se que o aluno seja capaz de obter resultados de diferentes medições, escolhendo e utilizando unidades de medida padronizadas, instrumentos apropriados e expressar os resultados em função do grau de precisão desejável e indicado pelo contexto da situação-problema.

No 9º ano do ensino fundamental, neste tema, são avaliadas habilidades relacionadas à resolução de problemas envolvendo cálculo de perímetro e de área de figuras planas, noções de volume e o uso de relações entre diferentes unidades de medida, bem como resolver situações que envolvem grandezas determinadas pela razão de duas outras (como densidade demográfica e velocidade). São assuntos vividos no cotidiano dos alunos em suas diferentes aplicações.

Assim, espera-se que o estudante ao final do 9º ano seja capaz de obter medidas de grandezas, utilizando unidades e instrumentos convenientes (de acordo com a precisão desejável), representar essas medidas, fazer cálculos com elas e arredondar resultados.

Tema III - Números e Operações/Álgebra e Funções

O conhecimento dos números e das operações constitui, evidentemente, um saber indispensável no dia a dia dos alunos. No 5º ano é fundamental que o aluno tenha compreendido o Sistema de Numeração Decimal, identificando regras e símbolos que o caracterizam. Assim, espera-se que o aluno saiba ler, escrever, ordenar, identificar sequências e localizar, em intervalos, números naturais e números racionais na forma decimal, identificando características do sistema decimal.

Em relação às operações, espera-se que ao final desse ano o aluno seja capaz de resolver problemas envolvendo diferentes significados de cada uma e números naturais ou racionais (esses no contexto monetário), por meio de estratégias pessoais ou convencionais, selecionando procedimentos de cálculo e justificando os processos de solução.


No 9º ano do ensino fundamental, espera-se que o aluno tenha ampliado e consolidado os significados dos números racionais a partir dos diferentes usos em contextos sociais e matemáticos e também reconhecer que existem números que não são racionais – os irracionais. Além disso, os alunos devem também ter consolidado os diferentes significados das operações – adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação – de modo a utilizá-los na resolução de problemas envolvendo números naturais, inteiros, racionais e irracionais.

No processo de ensino e de aprendizagem de noções algébricas, iniciado a partir do 6º ano (pré-álgebra), deve-se levar em conta que essas podem ser construídas de forma mais eficiente, quando exploradas por meio de jogos, generalizações e representações matemáticas (como gráficos, modelos), e não por procedimentos puramente mecânicos, para lidar com as expressões e equações. Desse modo, espera-se que o ensino de Álgebra privilegie um trabalho com problemas, sobretudo os relacionados ao cotidiano, que permita aos alunos dar significado à linguagem algébrica e reconhecer sua importância. Nesse processo, o aluno deverá ter contato com diferentes funções da Álgebra, resolvendo problemas difíceis do ponto de vista aritmético, generalizando e demonstrando propriedades e fórmulas e utilizá-las para descrever relações de interdependência de grandezas. A análise da interdependência entre duas grandezas deve ser o caminho para o desenvolvimento do pensamento funcional dos alunos.

Tema IV – Tratamento da Informação

No 5º ano do ensino fundamental, esta parte da Matemática deve ser introduzida nas séries iniciais, por meio de atividades relacionadas diretamente à vida da criança. A organização de uma lista ou uma tabela, bem como as informações sobre o assunto, estimulam os alunos a observar e estabelecer comparações sobre a situação ou o fenômeno em questão e propiciam até mesmo uma melhor compreensão dos fatos mostrados. Consequentemente, favorecem o desenvolvimento de sua capacidade de estimativa e de tomada de decisão.

No 9º ano do ensino fundamental, podem ser aprofundadas noções relativas ao tratamento da informação. Espera-se, por exemplo, que os estudantes desse ano, sejam capazes de ler e interpretar dados estatísticos registrados em tabelas – simples ou de dupla entrada – e gráficos, como também elaborar instrumentos de pesquisa e organizar os dados em diferentes tipos de gráficos, determinando a média de uma série de valores.

Espera-se também que o aluno desse ano seja capaz de resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos e também associe dados apresentados em listas e/ou tabelas aos gráficos que as representam e vice-versa.

Sobre a construção das escalas de desempenho dos alunos

Em processos de avaliação que se repetem periodicamente, só podemos traçar a trajetória dos resultados se pudermos garantir, por exemplo, que a prova aplicada em determinado ano é suficientemente similar às provas aplicadas em outros anos e que, a medida está sendo realizada com a mesma “régua”. O Saeb/Prova Brasil utiliza questões de múltipla escolha pela logística de aplicação e correção para um universo muito grande de alunos.

As questões de uma avaliação do Saeb/Prova Brasil são calibradas no sentido de serem escolhidas aquelas que apresentam os melhores parâmetros:


• o grau de dificuldade (o que permite construir uma prova com itens de diferentes graus de dificuldade);

• a discriminação (mede o poder do item para diferenciar os alunos que “sabem” mais daqueles de pior desempenho);

• a sensibilidade a falsas respostas (representa a probabilidade de os alunos com baixo desempenho responderem corretamente o item), muitas vezes referida como a probabilidade de acerto casual – o “chute”.

Antes da aplicação das provas é realizado um pré-teste a uma amostra de alunos. Mediante a análise do desempenho dos alunos dessa amostra, muitos itens são descartados. Para modelar e analisar os dados e resultados do pré-teste e, depois, da aplicação das provas, o Saeb/Prova Brasil utiliza dois modelos e técnicas estatísticas: a Teoria Clássica dos Testes (TCT) e a Teoria de Resposta ao Item (TRI).

Essas teorias de características distintas podem gerar informações importantes sobre cada questão da prova e estimar a proficiência e o desempenho de cada aluno.

Além desses modelos, a aplicação dos métodos da Estatística Descritiva gera estimativas do desempenho dos anos/séries de uma escola, da escola como um todo, etc.

Também, os métodos e técnicas de Inferência Estatística fornecem os subsídios para as análises dos chamados fatores associados ao desempenho dos alunos, ou seja, análises dos fatores de natureza socioeconômicas, da escola, dos alunos, são “cruzados” com os resultados de desempenho.

Em geral, quando queremos medir a proficiência/desempenho de um aluno em uma área do conhecimento ou, sobre determinado tema, e aplicamos um teste com questões apropriadas, contamos o número de acertos: este número é o seu escore; sua pontuação; sua nota.

No entanto, avaliações deste tipo não permitem boas comparações dos desempenhos dos alunos de diferentes anos/séries e ao longo do tempo. Além disso, essa não é uma medida muito boa do desempenho escolar: se, por exemplo, em uma prova de dez questões, um aluno acerta quatro das mais fáceis e outro, quatro das mais difíceis, as pontuações são iguais e não refletem os níveis dos dois alunos, que claramente são diferentes.

Para superar estas dificuldades e construir uma medida mais apropriada do desempenho escolar, foi desenvolvida a TRI (Teoria de Resposta ao Item) que, como diz o seu nome, tem foco no item e não no teste ou prova como um todo. (Foge do escopo deste trabalho tratar das metodologias estatísticas aplicadas nas avaliações de modo mais detalhado ou completo. No final, a apresentação de uma bibliografia pode orientar o leitor para um aprofundamento do tema).17

Para buscar uma interpretação qualitativa dos resultados, constrói-se uma escala de proficiência (uma escala de habilidades).

O trabalho de interpretação pedagógica da escala de proficiência é feito por especialistas em cada área, que analisam os conteúdos abordados e as habilidades construídas a partir deles, nas questões que definem cada nível da escala.

17 Saiba mais! http://download.inep.gov.br/mailing/2014/nota_explicativa_prova_brasil_2013.pdfhttp://download.inep.gov.br/educacao_basica/prova_brasil_saeb/resultados/2013/caderno_prova_brasil_2013.pdf


A escala de desempenho tem seus pontos marcados arbitrariamente. No Saeb/Prova Brasil, esses pontos são marcados pela sequência: 125, 150, 175, 200, 225, 250, ..., 500.

O que de fato importa em uma escala de proficiência são as relações de ordem entre seus níveis. Na escala, o desempenho dos alunos é ordenado do menor para o maior e suas informações são cumulativas, isto é, os alunos que têm seu desempenho situado em um determinado nível da escala, possuem também as habilidades descritas nos níveis anteriores.

A escala de desempenho de Matemática (ensino fundamental) apresenta-se em um continuum, com intervalos que possuem valores demarcados que variam de 1 a 12, assim traduzidos na tabela 1:

0 – Abaixo de 125 7 – Entre 275 e 299

1 – Entre 125 e 149 8 – Entre 300 e 324

2 – Entre 150 e 174 9 – Entre 325 e 349

3 – Entre 175 e 199 10 – Entre 350 e 374

4 – Entre 200 e 224 11 – Entre 375 e 399

5 – Entre 225 e 249 12 – Entre 400 e 424

6 – Entre 250 e 274

Tabela 1: Relação dos níveis de desempenho do Saeb/Prova Brasil

(Matemática - Ensino Fundamental). Fonte: MEC/INEP18

Sobre o agrupamento dos níveis da escala

Além da escala comum, os resultados da Prova Brasil para Matemática foram agrupados e interpretados para cada um dos anos isoladamente, em determinadas frequências. As bases para este agrupamento consideram os estudos feitos pelo Saresp (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo)19 e a determinação como feito pelo Compromisso Todos pela Educação do que se considera adequado para cada ano avaliado.

Esse modo de apresentação permite observar com maiores detalhes o desenvolvimento de habilidades pelos estudantes, bem como a quantidade de alunos por gradação escalar desse desenvolvimento. Permite, ainda, identificar os aspectos do ensino bem-sucedidos e

18 Níveis de Proficiência para o InepO Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep) é o responsável pela produção dos dados da Prova Brasil. No que diz respeito a proficiência (aprendizado) dos alunos, o Instituto apresenta para as escolas a distribuição percentual de alunos em 9 (Língua Portuguesa) ou 13 (Matemática) níveis. Cada um dos níveis é medido pela variação de 25 pontos na escala Saeb.A medida dos níveis inicia-se na pontuação 125, pois valores inferiores não são típicos para alunos do 5º ano. Por exemplo, o nível 5 da escala corresponde ao intervalo de 225 a 250 pontos na escala Saeb.Apesar da escala Saeb variar até a pontuação de 500, as habilidades mais complexas em Língua Portuguesa estão concentradas no nível 9 (325 a 350) e para Matemática no nível 12 (400 a 425). As habilidades de níveis superiores estão relacionadas ao currículo do Ensino Médio e não são avaliadas pela Prova Brasil. Disponível em: http://academia.qedu.org.br/glossario/niveis-de-proficiencia-para-o-inep/19 GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO. Secretaria da Educação. PROGRAMA DE QUALIDADE DA ESCOLA. Nota Técnica. São Paulo, 2009. José Francisco Soares. Índice de desenvolvimento da Educação de São Paulo - IDESP bases metodológicas. São Paulo Perspec., São Paulo, v. 23, n. 1, p. 29-41, jan./jun. 2009. Saiba mais! http://academia.qedu.org.br/prova-brasil/aprendizado-adequado/


aqueles aquém do desejado. A tabela 2 a seguir apresenta os níveis de desempenho para a Matemática.

NÍVEIS 5 º ANO EF 9 º ANO EF

Abaixo do Básico < 175 < 225

Básico Entre 175 e 225 Entre 225 e 300

Adequado Entre 225 e 275 Entre 300 e 350

Avançado Acima de 275 Acima de 350

Tabela 2: Níveis de desempenho para Matemática

O intervalo do nível inclui o primeiro ponto e exclui o último ponto.

Pode-se dizer que o aluno classificado no nível Adequado demonstra um sólido conhecimento dos conteúdos e habilidades esperados para o seu estágio escolar. Os alunos classificados no nível Avançado dominam os conteúdos e as habilidades de forma completa, sendo capazes de executar ações mais complexas do que o esperado. O nível Básico congrega os alunos que estão defasados em relação ao nível Adequado e que demonstram um domínio parcial dos conteúdos e habilidades esperados para o seu estágio escolar. Finalmente, os alunos do nível Abaixo do Básico mostram desempenho insuficiente ao que se espera no estágio escolar em que se encontram.

O que informam os indicadores da Prova Brasil/2013 em Matemática do município de Campinas?

Sobre a média de proficiência de Matemática, 5 º e 9 º anos do ensino fundamental (rede estadual e rede municipal) do município de Campinas, na Prova Brasil 2013, observe a tabela 3.

MÉDIA DE PROFICIÊNCIA DA PROVA BRASIL MATEMÁTICA 2011 2013

5EF – rede estadual 213,10 218,93

5EF – rede municipal 213,10 221,73

9EF – rede estadual 244,30 247,09

9EF – rede municipal 247,20 246,12

Tabela 3: Prova Brasil 2011 – 2013 – Município de Campinas - Média de Proficiência de Matemática - 5EF e 9EF - Rede Estadual e Rede Municipal.

Fonte: http://sistemasprovabrasil2.inep.gov.br/resultados

Inicialmente, pode-se identificar que as médias de proficiência em Matemática - 5EF, em 2013, são muito próximas nas duas redes de ensino avaliadas (estadual – 218,93 / municipal – 221,73). Mesmo que a rede municipal tenha uma diferença de aproximadamente três pontos a seu favor, esse indicador não é significativo, pois as duas redes estão situadas no nível Básico (entre 175 e 225 conforme a tabela 2.), o que significa que os alunos demonstraram conhecimentos muito semelhantes na avaliação aplicada. A pontuação mínima, estabelecida


pelo Todos Pela Educação e MEC20, como adequada para 5EF - Matemática é 225 pontos; meta a ser atingida até o ano 2022.

Em relação às médias de proficiência em Matemática - 9EF, em 2013, elas são praticamente iguais nas duas redes de ensino avaliadas (estadual – 247,09 / municipal – 246,12) e as duas estão situadas no Básico (entre 225 e 300 conforme a tabela 2), o que significa que os alunos demonstraram conhecimentos muito semelhantes na avaliação aplicada. A pontuação mínima, estabelecida pelo Todos Pela Educação e MEC, como adequada para 9EF – Matemática, é 300 pontos; meta a ser atingida até o ano 2022.

Onde estamos?

As médias do 5EF (estadual – 218,93 / municipal – 221,73), em Matemática, estão próximas do nível mínimo estabelecido pelo Todos Pela Educação e MEC que é 225 pontos. Entretanto, não se pode descuidar, porque não é nada simples aumentar alguns pontos na média e há possibilidades de se perder o que foi conquistado, caso não se invista com constância no processo de ensino e de aprendizagem.

As médias do 9EF (estadual – 247,09 / municipal – 246,12), em Matemática, estão muito aquém do nível mínimo estabelecido pelo Todos Pela Educação e MEC que é 300 pontos. Há que se investir muito no processo de ensino e de aprendizagem para se alcançar o patamar adequado.

Sobre a distribuição percentual dos alunos, nos níveis de proficiência de Matemática do município de Campinas, por Ano – Prova Brasil 2013, conforme pode ser observado na tabela 4 a seguir.

NÍVEIS EDIÇÃO 5º EF 9º EF

Abaixo do Básico 2013< 175 < 225

22% 34%

Básico 2013175 a < 225 225 a < 300

32% 53%

Adequado 2013225 a < 275 300 a < 350

30% 11%

Avançado 2013≥ 275 ≥ 350

16% 2%

20 O Plano de Metas Compromisso Todos pela Educação é a conjugação dos esforços da União, Estados, Distrito Federal e Municípios, em regime de colaboração, das famílias e da comunidade, em proveito da melhoria da qualidade da educação básica. Os sistemas municipais e estaduais que aderirem ao Compromisso seguirão 28 diretrizes pautadas em resultados de avaliação de qualidade e de rendimento dos estudantes. Saiba mais: Decreto nº 6.094, de 24 de abril de 2007. Acesso: http://provabrasil.inep.gov.br/compromisso-todos-pela-educacaoCélula local do movimento nacional Todos Pela Educação, o Compromisso Campinas pela Educação (CCE), lançado em 2007, sob a liderança da Fundação FEAC, mobiliza a sociedade civil a fim de chamar a atenção para a causa e o tema Educação, evidenciando dados, promovendo estudos, discussões e debates sobre a qualificação da educação, especialmente na cidade de Campinas.Em 2013, sob novo alinhamento, o CCE promoveu o lançamento do Observatório da Educação: um núcleo criado para acompanhar a evolução de um tema social - no caso Educação - no tempo e no espaço. O objetivo é democratizar e ampliar o direito ao acesso a informações, dados, estudos e análises técnicas sobre temas relacionados às demandas sociais, com destaque para a Educação, prioritariamente sobre Campinas. Acesso: http://www.feac.org.br/compromisso-campinas-pela-educacao/


Tabela 4: Distribuição percentual dos alunos do município de Campinas nos níveis de proficiência de Matemática por Ano – Prova Brasil 2013 (total rede estadual e municipal).

Fonte: http://www.qedu.org.br/cidade/1737-campinas/proficiencia

Espera-se que até o ano 2022, de acordo com o movimento Todos pela Educação, a proporção dos alunos no nível Adequado seja de 70%. Em 2013, no nível Adequado (incorporando-se o nível Avançado), a proporção dos alunos do município de Campinas, em Matemática, é de 30% + 16% = 46% (5EF) e 11% + 2% = 13% (9EF).21 Como já foi comentado, quando se observou as médias de proficiência, no 5EF, há um movimento positivo em direção à meta. No caso do 9EF, há ainda um longo caminho a ser percorrido.

Entretanto, a porcentagem de alunos no nível Básico – 32% (5EF) e 53% (9EF) – traz uma informação alentadora, já que esses alunos dominam parcialmente os conteúdos/habilidades avaliados e pode-se dizer que se encontram próximos de aprender aquilo está previsto para ser aprendido. Assim, mesmo que os alunos situados no nível Básico não dominem totalmente os conteúdos e habilidades dos estudantes que estão no nível Adequado, eles têm potencialidade para aprendê-los.

O problema maior está no desempenho dos alunos situados no nível Abaixo do Básico - 22% (5EF) e 34% (9EF). Esses alunos precisam de apoio intensivo por meio de programas de recuperação específicos para alcançar o nível de conhecimento esperado.

A Prova Brasil disponibiliza tanto em nível de sistema como o da escola, o percentual de alunos que dominam as habilidades descritas na escala para cada nível, na área e no ano avaliado.

A distribuição do percentual, ao longo dos níveis de proficiência, traz informações importantes para se tomar decisões sobre o processo de intervenção pedagógica na escola. A primeira ação a ser realizada é diminuir com rapidez o percentual dos alunos situados no nível Abaixo do Básico com propostas de recuperação específicas. A segunda ação é apoiar os alunos situados no nível Básico para que avancem para o nível Adequado.

Sugere-se que se busque diminuir o percentual dos alunos que se encontram no nível considerado crítico para cada um dos anos avaliados. No nível Abaixo do Básico, os estudantes desenvolveram habilidades muito elementares para a continuação dos seus estudos. Eles estão acumulando déficits educacionais graves.

Quanto maior for o percentual de alunos posicionados nos níveis superiores (Adequado e Avançado) e menor o percentual nos níveis inferiores (Abaixo do Básico e Básico), melhor será o resultado da escola.

21 http://www.qedu.org.br/cidade/1737-campinas/proficiencia. Acesso em 21 março 2015.


A leitura da escala de proficiência do Saeb/Prova BrasilPor meio da escala de proficiência, é possível fazer uma leitura e compreender os

resultados da avaliação. A interpretação de cada nível indica o que os alunos demonstram saber a partir do desempenho em cada item. Interpretar uma escala de desempenho significa escolher alguns pontos ou níveis e descrever os conhecimentos e habilidades que os alunos demonstram possuir quando situados em torno desses pontos. Os especialistas fazem uma descrição do que os alunos demonstram saber por meio da análise das respostas dadas aos diferentes itens de cada nível.

Em Matemática, a análise do item é realizada levando-se em consideração os objetos de conhecimento avaliados (temas e descritores das Matrizes de Referência) e o desempenho dos alunos. A partir disso, é possível inferir o nível de habilidades desenvolvidas e os conteúdos construídos pelos alunos. Dessa forma, são descritos na escala, os níveis de conhecimento que representam o desempenho dos alunos, considerando-se a totalidade dos itens apresentados no teste.

Nos quadros a seguir são apresentados uma equivalência entre a Matriz de Referência para a Avaliação do Saeb/Prova Brasil, em Matemática, do 5EF, por temas e os descritores associados ao desempenho dos alunos de acordo com o indicado na escala. No quadro 1 estão os descritores e as habilidades dominadas pelos alunos em cada um dos quatro níveis relacionadas ao tema Espaço e Forma. O quadro 2, por sua vez, refere-se ao tema Grandezas e Medidas. Os resultados dos desempenhos dos alunos nos temas Números e Operações /Álgebra e Funções estão nos quadros 3 e 4, respectivamente.


Quadro 1 – Matemática: Saeb/Prova Brasil – Matriz de referência, escala e níveis de desempenho – 5º ano EF – Espaço e Forma22

22 Deve-se considerar que a escala é cumulativa. Portanto, o desempenho apresentado pelos alunos do 5º ano do EF, nos respectivos pontos da escala, faz parte também do desempenho dos alunos do 9º ano do EF.

Matriz de Referência:

Descritores do Tema Espaço e Forma

Abaixo do Básico < 175

22%

Básico

175 a < 225 32%

Adequado

225 a < 275 30%

Avançado

≥ 275 16 %

Descritores

D1 – Identificar a localização /movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas.

D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações.

D3 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais pelo número de lados, pelos tipos de ângulos.

D4 – Identificar quadriláteros observando as relações entre seus lados (paralelos, congruentes, perpendiculares).

D5 – Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área e ampliação e /ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas.

Não há

proficiência

neste tema.

Localizar um ponto

ou objeto em uma

malha quadriculada

ou croqui, a partir de

duas coordenadas

ou duas ou mais

referências.

Reconhecer dentre

um conjunto de

polígonos, aquele

que possui o maior

número de ângulos.

Associar figuras

geométricas

elementares

(quadrado, triângulo

e círculo) a seus

respectivos nomes.

Reconhecer

retângulos em

meio a outros

quadriláteros.

Reconhecer a

planificação de uma

pirâmide dentre

um conjunto de

planificações.

Localizar um

ponto entre outros

dois fixados,

apresentados em

uma figura composta

por vários outros

pontos.

Reconhecer a

planificação de

um cubo dentre

um conjunto de

planificações

apresentadas.

Reconhecer

polígonos presentes

em um mosaico

composto por

diversas formas

geométricas.

Interpretar a

movimentação de

um objeto utilizando

referencial diferente

do seu.

Reconhecer um cubo

a partir de uma de

suas planificações

desenhadas em uma

malha quadriculada.

Reconhecer uma

linha paralela a outra

dada como referência

em um mapa.

Reconhecer os lados

paralelos de um

trapézio expressos

em forma de

segmentos de retas.

Reconhecer objetos

com a forma esférica

dentre uma lista de

objetos do cotidiano.

Reconhecer a

planificação de uma

caixa cilíndrica.

Reconhecer dentre

um conjunto de

quadriláteros, aquele

que possui lados

perpendiculares

e com a mesma

medida.


Quadro 2 – Matemática: Saeb/Prova Brasil – Matriz de referência, escala e níveis de desempenho – 5º ano EF – Grandezas e Medidas

Matriz de Referência: Descritores do Tema Grandezas e Medidas

Abaixo do Básico < 175 22%

Básico

175 a < 225 32%

D6 – Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não.

D7 – Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas como km/m/cm/mm, kg/g/mg, l/ml.

D8 – Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo.

D9 – Estabelecer relações entre o horário de início e término e /ou o intervalo da duração de um evento ou acontecimento.

D10 – Num problema, estabelecer trocas entre cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro, em função de seus valores.

D11 – Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas.

D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas.

Determinar a área de figuras

desenhadas em malhas

quadriculadas por meio de

contagem.

Converter uma quantia, dada na

ordem das unidades de real, em

seu equivalente em moedas.

Determinar o horário final de um

evento a partir de seu horário de

início e de um intervalo de tempo

dado, todos no formato de horas

inteiras.

Determinar o total de uma

quantia a partir da quantidade de

moedas de 25 e/ou 50 centavos

que a compõe, ou vice-versa.

Determinar a duração de um

evento cujos horários inicial e

final acontecem em minutos

diferentes de uma mesma hora

dada.

Converter uma hora em minutos.

Converter mais de uma semana

inteira em dias.

Interpretar horas em relógios de

ponteiros.

Adequado

225 a < 275 30%

Avançado

≥ 275 16 %

Determinar a área de um terreno retangular

representado em uma malha quadriculada.

Determinar o horário final de um evento a partir

do horário de início, dado em horas e minutos,

e de um intervalo dado em quantidade de

minutos superior a uma hora.

Converter mais de uma hora inteira em minutos.

Converter uma quantia dada em moedas de 5,

25 e 50 centavos e 1 real em cédulas de real.

Estimar a altura de um determinado objeto com

referência aos dados fornecidos por uma régua

graduada em centímetros.

Determinar a duração de um evento a partir

dos horários de início, informado em horas e

minutos, e de término, também informado em

horas e minutos, sem coincidência nas horas ou

nos minutos dos dois horários informados.

Converter a duração de um intervalo de tempo,

dado em horas e minutos, para minutos.

Resolver problemas envolvendo intervalos de

tempo em meses, inclusive passando pelo final

do ano (outubro a janeiro).

Reconhecer que entre quatro ladrilhos

apresentados, quanto maior o ladrilho, menor a

quantidade necessária para cobrir uma dada região.

Reconhecer o m2 como unidade de medida

de área.

Determinar o perímetro de um retângulo desenhado em malha quadriculada, com as medidas de comprimento e largura explicitados.

Converter medidas dadas em toneladas para quilogramas.

Converter uma quantia, dada na ordem das dezenas de real, em moedas de 50 centavos.

Estimar o comprimento de um objeto a partir de outro, dado como unidade padrão de medida.

Resolver problemas envolvendo conversão de quilograma para grama.

Resolver problemas envolvendo conversão de litro para mililitro.

Resolver problemas sobre intervalos de tempo envolvendo adição e subtração e com intervalo de tempo passando pela meia noite.

Determinar a área de um retângulo desenhado numa malha quadriculada, após a modificação de uma de suas dimensões.

Determinar a razão entre as áreas de duas figuras desenhadas numa malha quadriculada.

Determinar a área de uma figura poligonal não convexa desenhada sobre uma malha quadriculada.

Estimar a diferença de altura entre dois objetos, a partir da altura de um deles.

Converter medidas lineares de comprimento (m/cm).

Resolver problemas que envolvem a conversão entre diferentes unidades de medida de massa.

Determinar o perímetro de um polígono não convexo desenhado sobre as linhas de uma malha quadriculada.

Resolver problemas que envolvem a conversão entre unidades de medida de tempo (minutos em horas, meses em anos).

Resolver problemas que envolvem a conversão entre unidades de medida de comprimento (metros em centímetros).

Converter uma medida de comprimento, expressando decímetros e centímetros, para milímetros.



Matriz de Referência: Descritores do Tema Grandezas e Medidas


Básico

175 a < 225 32%

D6 – Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não.

D7 – Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas como km/m/cm/mm, kg/g/mg, l/ml.

D8 – Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo.

D9 – Estabelecer relações entre o horário de início e término e /ou o intervalo da duração de um evento ou acontecimento.

D10 – Num problema, estabelecer trocas entre cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro, em função de seus valores.

D11 – Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas.

D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas.

Determinar a área de figuras

desenhadas em malhas

quadriculadas por meio de

contagem.

Converter uma quantia, dada na

ordem das unidades de real, em

seu equivalente em moedas.

Determinar o horário final de um

evento a partir de seu horário de

início e de um intervalo de tempo

dado, todos no formato de horas

inteiras.

Determinar o total de uma

quantia a partir da quantidade de

moedas de 25 e/ou 50 centavos

que a compõe, ou vice-versa.

Determinar a duração de um

evento cujos horários inicial e

final acontecem em minutos

diferentes de uma mesma hora

dada.

Converter uma hora em minutos.

Converter mais de uma semana

inteira em dias.

Interpretar horas em relógios de

ponteiros.

Adequado

225 a < 275 30%

Avançado

≥ 275 16 %

Determinar a área de um terreno retangular

representado em uma malha quadriculada.

Determinar o horário final de um evento a partir

do horário de início, dado em horas e minutos,

e de um intervalo dado em quantidade de

minutos superior a uma hora.

Converter mais de uma hora inteira em minutos.

Converter uma quantia dada em moedas de 5,

25 e 50 centavos e 1 real em cédulas de real.

Estimar a altura de um determinado objeto com

referência aos dados fornecidos por uma régua

graduada em centímetros.

Determinar a duração de um evento a partir

dos horários de início, informado em horas e

minutos, e de término, também informado em

horas e minutos, sem coincidência nas horas ou

nos minutos dos dois horários informados.

Converter a duração de um intervalo de tempo,

dado em horas e minutos, para minutos.

Resolver problemas envolvendo intervalos de

tempo em meses, inclusive passando pelo final

do ano (outubro a janeiro).

Reconhecer que entre quatro ladrilhos

apresentados, quanto maior o ladrilho, menor a

quantidade necessária para cobrir uma dada região.

Reconhecer o m2 como unidade de medida

de área.

Determinar o perímetro de um retângulo desenhado em malha quadriculada, com as medidas de comprimento e largura explicitados.

Converter medidas dadas em toneladas para quilogramas.

Converter uma quantia, dada na ordem das dezenas de real, em moedas de 50 centavos.

Estimar o comprimento de um objeto a partir de outro, dado como unidade padrão de medida.

Resolver problemas envolvendo conversão de quilograma para grama.

Resolver problemas envolvendo conversão de litro para mililitro.

Resolver problemas sobre intervalos de tempo envolvendo adição e subtração e com intervalo de tempo passando pela meia noite.

Determinar a área de um retângulo desenhado numa malha quadriculada, após a modificação de uma de suas dimensões.

Determinar a razão entre as áreas de duas figuras desenhadas numa malha quadriculada.

Determinar a área de uma figura poligonal não convexa desenhada sobre uma malha quadriculada.

Estimar a diferença de altura entre dois objetos, a partir da altura de um deles.

Converter medidas lineares de comprimento (m/cm).

Resolver problemas que envolvem a conversão entre diferentes unidades de medida de massa.

Determinar o perímetro de um polígono não convexo desenhado sobre as linhas de uma malha quadriculada.

Resolver problemas que envolvem a conversão entre unidades de medida de tempo (minutos em horas, meses em anos).

Resolver problemas que envolvem a conversão entre unidades de medida de comprimento (metros em centímetros).

Converter uma medida de comprimento, expressando decímetros e centímetros, para milímetros.


Quadro 3 – Matemática: Saeb/Prova Brasil – Matriz de referência, escala e níveis de desempenho – 5º ano EF – Números e Operações /Álgebra e Funções

Descritores dos Números e Operações/Álgebra

e Funções


Básico

175 a < 225 32%

D13 – Reconhecer e utilizar

características do sistema de

numeração decimal, tais como

agrupamentos e trocas na base

10 e princípio do valor posicional.

D14 – Identificar a localização de

números naturais na reta numérica.

D15 – Reconhecer a

decomposição de números

naturais nas suas diversas ordens.

D16 – Reconhecer a composição

e a decomposição de números

naturais em sua forma polinomial.

D17 – Calcular o resultado de uma

adição ou subtração de números

naturais.

D18 – Calcular o resultado de

uma multiplicação ou divisão de

números naturais.

D19 – Resolver problema com

números naturais, envolvendo

diferentes significados da adição

ou subtração: juntar, alteração

de um estado inicial (positiva ou

negativa), comparação e mais de

uma transformação (positiva ou

negativa).


números naturais, envolvendo

diferentes significados da

multiplicação ou divisão:

multiplicação comparativa,

ideia de proporcionalidade,

configuração retangular e

combinatória.

Resolver problemas do cotidiano

envolvendo adição de pequenas

quantias de dinheiro.

Associar a fração ¼ a uma de

suas representações gráficas.

Determinar o resultado da subtração

de números representados na forma

decimal, tendo como contexto o

sistema monetário.

Determinar o resultado da

multiplicação de números naturais

por valores do sistema monetário

nacional, expressos em números de

até duas ordens e posterior adição.

Determinar os termos

desconhecidos em uma sequência

numérica de múltiplos de cinco.

Determinar a adição, com reserva,

de até três números naturais com

até quatro ordens.

Determinar a subtração de

números naturais usando a noção

de completar.

Determinar a multiplicação de um

número natural de até três ordens

por cinco, com reserva.

Determinar a divisão exata por

números de um algarismo.

Reconhecer o princípio do

valor posicional do Sistema de

Numeração Decimal.

Reconhecer uma fração como

representação da relação parte-

todo, com o apoio de um conjunto

de até cinco figuras.

Associar a metade de um total ao

seu equivalente em porcentagem.


Adequado

225 < 275 30%

Avançado

≥ 275 16 %

Determinar o resultado da subtração, com

recursos à ordem superior, entre números

naturais de até cinco ordens, utilizando as ideias

e retirar e comparar.

Determinar o resultado da multiplicação de um

número inteiro por um número representado na

forma decimal, em contexto envolvendo o sistema

monetário.

Determinar o resultado da divisão de números

naturais, com resto, por um número de uma

ordem, usando noção de agrupamento.

Resolver problemas envolvendo a análise do

algoritmo da adição de dois números naturais.

Resolver problemas, no sistema monetário

nacional, envolvendo adição e subtração de

cédulas e moedas.

Resolver problemas que envolvam a metade e o

triplo de números naturais.

Localizar um número em uma reta numérica onde

estão expressos o primeiro e o último número

representando um intervalo de tempo de dez anos,

com dez subdivisões entre eles.

Localizar um número racional dado em sua

forma decimal em uma reta numérica onde

estão expressos diversos números naturais

consecutivos, com dez subdivisões entre eles.

Reconhecer o valor posicional do algarismo

localizado na 4ª ordem de um número natural.

Reconhecer uma fração como representação da

relação parte-todo, com apoio de um polígono

dividido em oito partes ou mais.

Associar um número natural às suas ordens e

vice-versa.

Determinar o resultado da diferença entre dois

números racionais representados na forma decimal.

Determinar o perímetro de um retângulo

desenhado em malha quadriculada, com as

medidas de comprimento e largura explicitados.

Converter medidas dadas em toneladas para

quilogramas.

Converter uma quantia, dada na ordem das

dezenas de real, em moedas de 50 centavos.

Estimar o comprimento de um objeto a partir de

outro, dado como unidade padrão de medida.

Resolver problemas envolvendo conversão de

quilograma para grama.

Resolver problemas envolvendo conversão de

litro para mililitro.

Resolver problemas sobre intervalos de tempo

envolvendo adição e subtração e com intervalo de

tempo passando pela meia noite.

Determinar a área de um retângulo desenhado

numa malha quadriculada, após a modificação de

uma de suas dimensões.

Determinar a razão entre as áreas de duas figuras

desenhadas numa malha quadriculada.

Determinar a área de uma figura poligonal

não convexa desenhada sobre uma malha

quadriculada.

Estimar a diferença de altura entre dois objetos, a

partir da altura de um deles.

Converter medidas lineares de comprimento (m/

cm).

Resolver problemas que envolvem a conversão

entre diferentes unidades de medida de massa.

Determinar o perímetro de um polígono não

convexo desenhado sobre as linhas de uma

malha quadriculada.


Descritores dos Números e Operações/Álgebra

e Funções


Básico

175 a < 225 32%

D21 – Identificar diferentes

representações de um mesmo

número racional.

D22 – Identificar a localização de

números racionais representados

na forma decimal na reta

numérica.

D23 – Resolver problema

utilizando a escrita decimal de

cédulas e moedas do sistema

monetário brasileiro.

D24 – Identificar fração como

representação que pode

estar associada a diferentes

significados.


números racionais expressos

na forma decimal envolvendo

diferentes significados da adição

ou subtração.


envolvendo noções de

porcentagem (25%, 50%, 100%).

Associar um número natural à

sua decomposição expressa por

extenso.

Localizar um número em uma

reta numérica onde estão

expressos números naturais

consecutivos e uma subdivisão

equivalente à metade do intervalo

entre eles.

Quadro 3 – Matemática: Saeb/Prova Brasil – Matriz de referência, escala e níveis de desempenho – 5º ano EF – Números e Operações /Álgebra e Funções (continuação)


Adequado

225 a < 275 30%

Avançado

≥ 275 16 %

Determinar o resultado da multiplicação de um

número natural de uma ordem por outro de até

três ordens, em contexto que envolve o conceito

de proporcionalidade.

Determinar o resultado da divisão exata entre

dois números naturais, com divisor até quatro, e

dividendo com até quatro ordens.

Determinar 50% de um número natural com até

três ordens.

Determinar porcentagens simples (25%, 50%).

Associar a metade de um total a algum equivalente,

apresentado como fração ou porcentagem.

Associar números naturais à quantidade de

agrupamentos de 1000. Reconhecer uma fração

como representação da relação parte-todo, sem

apoio de figuras.

Localizar números em uma reta numérica onde

estão expressos diversos números naturais não

consecutivos e crescentes, com uma subdivisão

entre eles.

Resolver problemas por meio da realização de

subtrações e divisões, para determinar o valor

das prestações de uma compra a prazo (sem

incidência de juros).

Resolver problemas que envolvam soma e

subtração de valores monetários.

Resolver problemas que envolvam a composição

e a decomposição polinomial de números naturais

de até cinco ordens.

Resolver problemas que utilizam a multiplicação

envolvendo a noção de proporcionalidade.

Reconhecer a modificação sofrida no valor de um

número quando um algarismo é alterado.

Reconhecer que um número não se altera ao

multiplicá-lo por 1.


entre unidades de medida de tempo (minutos em

horas, meses em anos).


entre unidades de medida de comprimento (me-

tros em centímetros).

Converter uma medida de comprimento,

expressando decímetros e centímetros, para

milímetros.


Quadro 4 – Matemática: Saeb/Prova Brasil – Matriz de referência, escala e níveis de desempenho – 5º ano EF – Tratamento da Informação

Convém destacar que todas as habilidades da Matriz foram avaliadas pela Prova. É possível, por exemplo, observar nos quadros 1, 2, 3 e 4 que:

• um mesmo descritor da Matriz apresentou vários itens com diferentes graus de dificuldade. Por exemplo, o descritor D28 – Ler informações e dados apresentados em gráficos (particularmente em gráficos de colunas) – está presente nos quatro níveis de desempenho. No nível Abaixo do Básico, a habilidade dominada foi “Localizar informações, relativas ao maior ou menor elemento, em tabelas ou gráficos”. No nível Básico e Adequado as habilidades foram respectivamente: “Reconhecer informações em um gráfico de colunas duplas” e “Comparar dados representados pelas alturas de colunas presentes em um gráfico”. Já no item Avançado, o descritor foi contemplado por três itens que avaliavam habilidades distintas quais sejam: “Interpretar dados em gráficos de setores”; “Interpretar dados em um gráfico de colunas duplas” e “Reconhecer o gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo (com valores positivos e negativos)”. O ponto de equilíbrio que se espera em relação ao descritor D28 é que a maioria dos alunos do 5EF domine a habilidade apresentada pelos alunos situados no nível Adequado: “Comparar dados representados pelas alturas de colunas presentes em um gráfico”. Observe que os alunos situados nos níveis Abaixo do Básico e Básico não possuem essa habilidade.

Descritores do Tema Tratamento

da Informação

Abaixo do Básico < 175

22%

Básico

175 a < 225

32%

Adequado

225 a < 275

30%

Avançado

≥ 275 16%

D27 – Ler informações

e dados apresentados

em tabelas.

D28 – Ler informações

e dados apresentados

em gráficos

(particularmente em

gráficos de colunas).

Localizar

informações,

relativas ao

maior ou menor

elemento, em

tabelas ou

gráficos.

Reconhecer o

maior valor em uma

tabela de dupla

entrada cujos dados

possuem até duas

ordens.

Reconhecer

informações em um

gráfico de colunas

duplas.

Reconhecer o

maior valor em uma

tabela cujos dados

possuem até oito

ordens.

Localizar um dado

em tabelas de dupla

entrada.

Interpretar dados de

uma tabela.

Comparar dados

representados pelas

alturas de colunas

presentes em um

gráfico.

Interpretar dados em

gráficos de setores.

Interpretar dados em

um gráfico de colunas

duplas.

Reconhecer o

gráfico de linhas

correspondente a

uma sequência de

valores ao longo

do tempo (com

valores positivos e

negativos).


• o domínio de algumas habilidades encontra-se apenas no nível Adequado, embora a expectativa fosse também nos níveis Abaixo do Básico e Básico. Nos quadros 2 e 3, por exemplo, é possível identificar habilidades dominadas apenas no nível Avançado quando deveriam ser de domínio também dos estudantes classificados nos níveis Adequado, Básico e até do Abaixo do Básico. Por exemplo, “Converter medidas lineares de comprimento (m/cm)”; “Comparar números racionais com quantidades diferentes de casas decimais. Essas duas habilidades são fundamentais não apenas para resolver situações cotidianas, mas porque são necessárias para os alunos desenvolverem outras noções e procedimentos concernentes a diferentes assuntos nos anos subsequentes.

Nos quadros 5, 6, 7 e 8 são apresentadas equivalências entre a Matriz de Referência para a Avaliação do Saeb/Prova Brasil, em Matemática, do 9EF, por tópicos e descritores associados ao desempenho dos alunos de acordo com o indicado na escala, agrupados por níveis.





Abaixo do Básico

< 225

34%

Básico

225 a < 300

53%D1 – Identificar a localização/

movimentação de objeto,

em mapas, croquis e outras

representações gráficas.

D2 – Identificar propriedades

comuns e diferenças entre figuras

bidimensionais e tridimensionais,

relacionando-as com suas

planificações.

D3 – Identificar propriedades de

triângulos pela comparação de

medidas de lados e ângulos.

D4 – Identificar relação entre

quadriláteros, por meio de suas

propriedades.

D5 – Reconhecer a conservação

ou modificação de medidas dos

lados, do perímetro, da área

em ampliação e/ou redução de

figuras poligonais usando malhas

quadriculadas.

D6 – Reconhecer ângulos como

mudança de direção ou giros,

identificando ângulos retos e não retos.

D7 – Reconhecer que as imagens

de uma figura construída por

uma transformação homotética

são semelhantes, identificando

propriedades e/ou medidas que se

modificam ou não se alteram.

D8 – Resolver problema utilizando

a propriedade dos polígonos

(soma de seus ângulos internos,

número de diagonais, cálculo da

medida de cada ângulo interno

nos polígonos regulares).

Não há proficiência neste tema. Reconhecer o ângulo de giro que

representa a mudança de direção

na movimentação de pessoas ou

objetos.

Reconhecer a planificação de um

sólido simples, dado através de

um desenho em perspectiva.

Localizar um objeto em

representação gráfica do tipo

planta baixa, utilizando dois

critérios: estar mais longe de um

referencial e mais perto de outro.

Localizar um ponto em um plano

cartesiano, com o apoio de malha

quadriculada, a partir de suas

coordenadas.

Reconhecer as coordenadas

de um ponto dado em um plano


quadriculada.

Interpretar a movimentação de

um objeto utilizando referencial

diferente dos seus.

Adequado

300 a < 350

11%

Avançado

≥ 350 2%

Reconhecer que o ângulo não se altera em

figuras obtidas por ampliação ou redução.

Localizar dois ou mais pontos em um

sistema de coordenadas.

Reconhecer a medida do ângulo determinado

entre dois deslocamentos, descritos por meio de

orientações dadas por pontos cardeais.

Reconhecer as coordenadas de pontos

representados no primeiro quadrante de um

plano cartesiano.

Reconhecer a relação entre as medidas de raio e

diâmetro de uma circunferência, com o

apoio de figura.

Reconhecer as faces opostas de um cubo, a partir

de uma de suas planificações.

Comparar as medidas dos lados de um triângulo

a partir das medidas de seus respectivos

ângulos opostos.

Resolver problema utilizando o Teorema de

Pitágoras no cálculo da medida da hipotenusa,

dadas as medidas dos catetos.

Resolver problema fazendo uso de semelhança

de triângulos.

Reconhecer: ângulos agudos, retos ou

obtusos de acordo com sua medida em graus.


representados num plano cartesiano localizados

em quadrantes diferentes do primeiro.

Determinar a posição final de um objeto, após a

realização de rotações em torno de um ponto,

de diferentes ângulos, em sentido horário

e anti-horário.

Resolver problemas envolvendo ângulos,

inclusive utilizando a Lei Angular de Tales sobre

a soma dos ângulos internos de um triângulo.

Resolver problemas as propriedades de ângulos

internos e externos de triângulos e quadriláteros,

com ou sem justaposição ou sobreposição de

figuras.


Pitágoras no cálculo da medida de um dos

catetos, dadas as medidas da hipotenusa e de

um de seus catetos.

Resolver problemas utilizando as propriedades

das cevianas (altura, mediana e bissetriz) de um

triângulo isósceles, com o apoio de figura.

Resolver problemas utilizando a soma das

medidas dos ângulos internos de um polígono.





Abaixo do Básico

< 225

34%

Básico

225 a < 300

53%D1 – Identificar a localização/

movimentação de objeto,

em mapas, croquis e outras

representações gráficas.

D2 – Identificar propriedades

comuns e diferenças entre figuras

bidimensionais e tridimensionais,

relacionando-as com suas

planificações.

D3 – Identificar propriedades de

triângulos pela comparação de

medidas de lados e ângulos.

D4 – Identificar relação entre

quadriláteros, por meio de suas

propriedades.

D5 – Reconhecer a conservação

ou modificação de medidas dos

lados, do perímetro, da área

em ampliação e/ou redução de

figuras poligonais usando malhas

quadriculadas.

D6 – Reconhecer ângulos como

mudança de direção ou giros,

identificando ângulos retos e não retos.

D7 – Reconhecer que as imagens

de uma figura construída por

uma transformação homotética

são semelhantes, identificando

propriedades e/ou medidas que se

modificam ou não se alteram.

D8 – Resolver problema utilizando

a propriedade dos polígonos

(soma de seus ângulos internos,

número de diagonais, cálculo da

medida de cada ângulo interno

nos polígonos regulares).

Não há proficiência neste tema. Reconhecer o ângulo de giro que

representa a mudança de direção

na movimentação de pessoas ou

objetos.

Reconhecer a planificação de um

sólido simples, dado através de

um desenho em perspectiva.

Localizar um objeto em

representação gráfica do tipo

planta baixa, utilizando dois

critérios: estar mais longe de um

referencial e mais perto de outro.

Localizar um ponto em um plano


quadriculada, a partir de suas

coordenadas.

Reconhecer as coordenadas

de um ponto dado em um plano


quadriculada.

Interpretar a movimentação de

um objeto utilizando referencial

diferente dos seus.

Adequado

300 a < 350

11%

Avançado

≥ 350 2%

Reconhecer que o ângulo não se altera em

figuras obtidas por ampliação ou redução.

Localizar dois ou mais pontos em um

sistema de coordenadas.

Reconhecer a medida do ângulo determinado

entre dois deslocamentos, descritos por meio de

orientações dadas por pontos cardeais.


representados no primeiro quadrante de um

plano cartesiano.

Reconhecer a relação entre as medidas de raio e

diâmetro de uma circunferência, com o

apoio de figura.

Reconhecer as faces opostas de um cubo, a partir

de uma de suas planificações.

Comparar as medidas dos lados de um triângulo

a partir das medidas de seus respectivos

ângulos opostos.


Pitágoras no cálculo da medida da hipotenusa,

dadas as medidas dos catetos.

Resolver problema fazendo uso de semelhança

de triângulos.

Reconhecer: ângulos agudos, retos ou

obtusos de acordo com sua medida em graus.


representados num plano cartesiano localizados

em quadrantes diferentes do primeiro.

Determinar a posição final de um objeto, após a

realização de rotações em torno de um ponto,

de diferentes ângulos, em sentido horário

e anti-horário.

Resolver problemas envolvendo ângulos,

inclusive utilizando a Lei Angular de Tales sobre

a soma dos ângulos internos de um triângulo.

Resolver problemas as propriedades de ângulos

internos e externos de triângulos e quadriláteros,

com ou sem justaposição ou sobreposição de

figuras.


Pitágoras no cálculo da medida de um dos

catetos, dadas as medidas da hipotenusa e de

um de seus catetos.

Resolver problemas utilizando as propriedades

das cevianas (altura, mediana e bissetriz) de um

triângulo isósceles, com o apoio de figura.

Resolver problemas utilizando a soma das

medidas dos ângulos internos de um polígono.


Descritores do Tema Grandezas e Medidas

Abaixo do Básico

< 225

34%

Básico

225 a < 300

53%D9 – Interpretar informações

apresentadas por meio de

coordenadas cartesianas.

D10 – Utilizar relações métricas

do triângulo retângulo para

resolver problemas significativos.

D11 – Reconhecer círculo/

circunferência, seus elementos e

algumas de suas relações.


envolvendo o cálculo de perímetro

de figuras planas.


envolvendo o cálculo de área de

figuras planas.


envolvendo noções de volume.


envolvendo relações entre

diferentes unidades de medida.

Não há proficiência neste tema. Converter unidades de medidas

de comprimento, de metros para

centímetros, na resolução de

situação-problema.

Reconhecer que a medida do

perímetro de um retângulo, em

uma malha quadriculada, dobra

ou se reduz à metade quando os

lados dobram ou são reduzidos

à metade.



Adequado

300 a < 350

11%

Avançado

≥ 350 2%

Determinar o perímetro de uma região retangular,

com o apoio de figura.

Determinar o volume através da contagem de

blocos.

Converter unidades de medida de massa, de

quilograma para grama, na resolução de

situação-problema.

Determinar o perímetro de uma região retangular,

obtida pela justaposição de dois retângulos,

descritos sem o apoio de figuras.

Determinar a área de um retângulo em situações-

problema.

Determinar a área de regiões poligonais

desenhadas em malhas quadriculadas.

Determinar o volume de um cubo ou de um

paralelepípedo retângulo, sem o apoio de figura.

Converter unidades de medida de volume, de m³

para litro, em situações-problema.

Reconhecer a relação entre as áreas de figuras

semelhantes.

Converter unidades de medida de capacidade, de

mililitro para litro, em situações-problema.

Reconhecer que a área de um retângulo

quadruplica quando seus lados dobram.

Determinar a área de figuras simples (triângulo,

paralelogramo, trapézio), inclusive utilizando

composição/decomposição.


Quadro 7 – Matemática: Saeb/Prova Brasil – Matriz de referência, escala e níveis de desempenho – 9º ano EF – Números e Operações /Álgebra e Funções

Descritores do TemaNúmeros e Operações,

Álgebra e Funções

Abaixo do Básico

< 225

34%

Básico

225 a < 300

53%D16 – Identificar a localização de números inteiros na reta numérica.

D17 – Identificar a localização de números racionais na reta numérica.

D18 – Efetuar cálculos com números inteiros envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

D19 – Resolver problema com números naturais envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

D20 – Resolver problema com números inteiros envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.

D22 – Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados.

D23 – Identificar frações equivalentes.

D24 – Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos.

D25 – Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

Reconhecer o maior ou o menor

número em uma coleção de

números racionais, representados

na forma decimal com o mesmo

número de casas.

Reconhecer a fração que

corresponde à relação parte-todo

entre uma figura e suas partes

hachuradas.

Associar um número racional

que representa uma quantia

monetária, escrito por extenso, à

sua representação decimal.

Determinar uma fração irredutível,

equivalente a uma fração

dada, a partir da simplificação

por três. Determinar: uma

fração irredutível, equivalente

a uma fração dada, a partir da

simplificação por sete;

Determinar a soma, a diferença,

o produto ou o quociente de

números inteiros em situações-

problema.

Localizar o valor que representa

um número inteiro positivo

associado a um ponto indicado

em uma reta numérica.

Resolver problemas envolvendo

grandezas diretamente

proporcionais, representadas por

números inteiros.

Determinar a soma de números

racionais em contextos de

sistema monetário.

Determinar o valor numérico

de uma expressão algébrica de

1º grau envolvendo números

naturais, em situação-problema.


Adequado

300 a < 350

11%

Avançado ≥ 350 2%

Associar uma fração com denominador dez à sua

representação decimal.

Associar uma situação problema à sua linguagem

algébrica, por meio de equações do 1º grau ou sistemas

lineares.

Determinar, em situação-problema, a adição e

multiplicação entre números racionais, envolvendo

divisão por números inteiros;

Determinar a porcentagem envolvendo números

inteiros.

Resolver problema envolvendo grandezas

diretamente proporcionais, representadas por

números racionais na forma decimal.

Reconhecer frações equivalentes.

Associar um número racional, escrito por extenso,

à sua representação decimal, e vice-versa.

Estimar o valor da raiz quadrada de um número

inteiro aproximando-o de um número racional em


Resolver problema envolvendo grandezas

diretamente proporcionais, com constante de

proporcionalidade não inteira.

Determinar o valor numérico de uma expressão

algébrica que contenha parênteses, envolvendo

números naturais.

Determinar um valor monetário obtido por meio de

um desconto ou um acréscimo percentual.

Determinar o valor de uma expressão numérica,

com números irracionais, fazendo uso de uma

aproximação racional fornecida.

Determinar o quociente entre números racionais,

representados na forma decimal ou fracionária,

em situações-problema.

Determinar a soma de números racionais dados

na forma fracionária e com denominadores

diferentes.


algébrica de 2º grau, com coeficientes naturais,

envolvendo números inteiros.

Determinar o valor de uma expressão numérica

envolvendo adição, subtração, multiplicação e/ou

potenciação entre números inteiros.


com números inteiros positivos e negativos;


com números racionais. Comparar números

racionais com diferentes números de casas

decimais, usando arredondamento.

Localizar na reta numérica um número racional,

representado na forma de uma fração imprópria.

Associar uma fração à sua representação

na forma decimal.

Associar uma situação problema à sua linguagem

algébrica, por meio de inequações do 1º grau.

Associar a representação gráfica de duas retas no

plano cartesiano a um sistema de duas equações

lineares e vice-versa.


Descritores do Tema

Números e Operações, Álgebra e Funções

Abaixo do Básico

< 225

34%

Básico

225 a < 300

53%D25 – Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

D26 – Resolver problema com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

D27 – Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.

D28 – Resolver problema que envolva porcentagem.

D29 – Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas.

D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

D31 – Resolver problema que envolva equação de segundo grau.

D32 – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequencias de números ou figuras (padrões).

D33 – Identificar uma equação ou uma inequação de primeiro grau que expressa um problema.

D34 – Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema.

D35 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações de primeiro grau.

Localizar números inteiros

negativos na reta numérica.

Localizar números racionais em


Quadro 7 – Matemática: Saeb/Prova Brasil – Matriz de referência, escala e níveis de desempenho – 9º ano EF – Números e Operações /Álgebra e Funções (continuação)


Adequado

300 a < 350

11%

Avançado ≥ 350

2%

Resolver problemas envolvendo equação do 2º grau.


algébrica do 1° grau, com coeficientes racionais,

representados na forma decimal.


envolvendo adição, subtração e potenciação entre

números racionais, representados na forma decimal.

Resolver problemas envolvendo grandezas

inversamente proporcionais.

Reconhecer a expressão algébrica que expressa

uma regularidade existente em uma sequência de

números ou de figuras geométricas.


Quadro 8 – Matemática: Saeb/Prova Brasil – Matriz de referência, escala e níveis de desempenho – 9º ano EF – Tratamento da Informação

Convém destacar que:

• todas as habilidades da Matriz foram avaliadas pelos itens das provas do Saeb/Prova Brasil.

• alguns descritores da Matriz apresentaram vários itens com diferentes graus de dificuldade. Por exemplo, o descritor D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas– está presente em três níveis de desempenho. No nível Básico, a habilidade dominada foi “Reconhecer que a medida do perímetro de um retângulo, em uma malha quadriculada, dobra ou se reduz à metade quando os lados dobram ou são reduzidos à metade.” No nível Adequado e Avançado as habilidades foram respectivamente: “Determinar o perímetro de uma região retangular, com o apoio de figura” e “Determinar o perímetro de uma região retangular, obtida pela justaposição de dois retângulos, descritos sem o apoio de figuras”. Considera-se que em relação à noção e ao cálculo de perímetros, referente ao descritor D12, os alunos do Básico também tivessem a proficiência da habilidade classificada no nível Avançado.

Descritores do Tema

Tratamento da Informação

Abaixo do Básico

< 225

34%

Básico

225 a < 300

53%

Adequado

300 a < 350

11%

Avançado

≥ 350

2%

D36 – Resolver

problema envolvendo

informações

apresentadas em

tabelas e/ou gráficos.

D37 – Associar

informações

apresentadas em listas

e/ou tabelas simples

aos gráficos que as

representam e vice-

versa.

Interpretar dados

apresentados em

tabela e gráfico

de colunas.

Interpretar dados

apresentados em

um gráfico de linha

simples.

Associar dados

apresentados em

gráfico de colunas a

uma tabela.

Associar dados

apresentados em tabela

a gráfico de setores.

Analisar dados

dispostos em uma

tabela simples.

Analisar dados

apresentados em um

gráfico de linha com

mais de uma grandeza

representada. Analisar

dados dispostos em

uma tabela de dupla

entrada.

Resolver problemas

que requerem a

comparação de dois

gráficos de colunas.

Determinar a média

aritmética de um

conjunto de valores.

Estimar quantidades

em gráficos de

setores.

Analisar dados

dispostos em uma

tabela de três

entradas.

Interpretar dados

fornecidos em

gráficos envolvendo

regiões do plano

cartesiano.

Interpretar gráficos

de linhas com duas

sequências de

valores.


• em relação ao tema Espaço e Forma, não há proficiência de nenhuma habilidade pelos alunos classificados no nível Abaixo do Básico.

• é possível verificar no quadro 5 que, em relação ao descritor D10 “Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos”, mesmo os alunos do nível avançado têm domínio apenas de uma das relações métricas – teorema de Pitágoras: “Resolver problema utilizando o Teorema de Pitágoras no cálculo da medida de um dos catetos, dadas as medidas da hipotenusa e de um de seus catetos”. Os alunos do Adequado têm proficiência apenas para o cálculo da hipotenusa quando são fornecidas as medidas dos dois catetos: “Resolver problema utilizando o Teorema de Pitágoras no cálculo da medida da hipotenusa, dadas as medidas de seus catetos”. A expectativa é que os alunos classificados no nível Básico também tivessem a habilidade identificada apenas nos alunos do Avançado.

• o domínio de algumas habilidades apenas se encontra no nível Avançado quando deveria ser de domínio também do nível Básico e, consequentemente, do Adequado, como: Interpretar gráficos de linhas com duas sequências de valores. Trata-se de uma habilidade não-complexa e que poderia ser acessível a todos os alunos – mesmo aqueles classificados pela prova no Abaixo do Básico.

Como cada nível traduz pedagogicamente as habilidades e conhecimentos identificados no processo de avaliação, é importante que os professores direcionem sua análise sobre os aspectos curriculares que demandam um maior trabalho por parte dos professores. A leitura e análise da escala podem propiciar aos docentes uma maior reflexão sobre as estratégias que devem ser consideradas em sala de aula para uma aprendizagem mais significativa por parte dos alunos.


Parte III

Sobre a interpretação pedagógica dos níveis de proficiência

Mediante análise dos quadros, algumas questões se colocam naturalmente. Por que os alunos, localizados nos níveis Abaixo do Básico e Básico, não alcançaram o nível Adequado? Qual é o diferencial dos alunos que alcançaram os níveis Adequado e Avançado? Qual é a proposta para se fazer com que os alunos dos níveis Abaixo do Básico e Básico passem para os níveis Adequado e Avançado? Por que em uma mesma escola têm-se alunos com diferentes níveis de conhecimento? Quais fatores interferem na aprendizagem desses alunos? Como fazer com que haja equidade na aquisição/construção do conhecimento?

Pretende-se aqui apresentar uma análise pedagógica do desempenho dos alunos por ano, ainda que sinteticamente. Para essa análise, retomou-se a escala na perspectiva de agrupamento dos pontos nos níveis já citados de cada ano.

Essa metodologia nos permite ressaltar hipóteses colocadas como sínteses gerais em cada ano e seus respectivos níveis. Para completar, são apresentados e comentados itens significativos das provas do Saeb/Prova Brasil por ano e nível.

Devido ao caráter de continuidade da escala, o desempenho dos alunos ao longo dos anos escolares incorpora o dos períodos escolares anteriores. Essa perspectiva deve ter por referência os pontos da escala e os níveis representativos dos pontos.

Portanto, ao se considerar a análise de desempenho em um ano e nível, deve-se refletir sobre o desempenho nos períodos escolares anteriores e sua representação nos pontos da escala.

É necessário discutir, por exemplo, a questão da complexidade das tarefas propostas envolvendo a compreensão do Sistema de Numeração Decimal e os significados das


operações para a resolução de problemas. Essas tarefas são mais ou menos complexas, de acordo com a faixa etária e o ano que os alunos frequentam. A complexidade dessas tarefas não se resume apenas ao envolvimento de números cada vez maiores ao longo das series, mas também, e sobretudo, em relação aos diferentes significados das operações e aos procedimentos de cálculos necessários (“vai 1”, “empresta”, etc.).

Os dois problemas a seguir envolvem a subtração e os mesmos números, mas têm diferentes graus de dificuldade:

• “João tinha 27 figurinhas e perdeu 15. Quantas figurinhas restaram ao João?”

• “João tinha algumas figurinhas. Ele ganhou 15 e agora tem 27. Quantas ele tinha antes?”

O primeiro problema, cuja ideia é a de tirar, está explicitamente associado a subtração. O segundo, apesar de ser resolvido por meio de uma subtração, tem embutida uma adição, ou seja, quanto se deve adicionar ao 15 para se obter 27? Essas situações envolvem, portanto, diferentes significados da subtração, o que acarreta tarefas de complexidades distintas.

Dessa forma, se o desempenho fosse descrito apenas como “resolver problemas de subtração com número da ordem de dezenas, sem recurso” nos diferentes níveis, poder-se-ia ter a impressão de não ter ocorrido avanços. Para não dar-se essa intepretação, agrega-se ao texto o significado da operação envolvida: “resolver problemas de subtração, envolvendo o significado de completar, com número da ordem de dezenas, sem recurso”. Dessa forma, justifica-se a descrição de algumas habilidades serem mais extensas que outras.

As diferenças de desempenho associadas aos níveis demonstram também que há alunos com conhecimentos muito diferentes em cada ano. O propósito é, evidentemente, diminuir o máximo possível o número de alunos do nível Abaixo do Básico e ampliar o maior número possível de alunos no nível Adequado.

As considerações apresentadas a seguir são uma leitura possível acerca dos desempenhos dos alunos. Certamente, cada escola vai refletir sobre esses resultados, interpretando-os à luz de suas experiências e traduzi-los em seus projetos pedagógicos.

O agrupamento em níveis das habilidades descritas nos pontos da escala da Prova Brasil permite a interpretação pedagógica discutida a seguir.

5º ano do ensino fundamental – 5EF

Síntese dos desempenhos

Seguem considerações a respeito dos desempenhos dos alunos do 5EF da cidade em cada um dos quatro níveis, com o objetivo de sintetizar as habilidades indicadas nos quadros 1, 2, 3 e 4 em cada um dos temas. Depois disso, apresenta-se um quadro síntese dos desempenhos dos alunos.

Nível Abaixo do Básico – menor que 175 pontos

O município de Campinas teve 22% de seus alunos classificados nesse nível, portanto, um índice além do desejável.


Convém destacar que esse nível não significa, necessariamente, ausência total de conhecimentos de noções matemáticas, tampouco impossibilidade, por parte dos estudantes, em aprender Matemática. Pelo contrário, os alunos nele classificados mostraram, de maneira geral, que, apesar de não dominarem as habilidades necessárias para resolver a grande maioria das situações da prova, têm domínio de algumas noções importantes e, se estimulados adequadamente, poderão desenvolver as habilidades esperadas – expectativas de aprendizagem – do ano em que se encontram e de continuar a aprender Matemática futuramente.

Neste nível, os alunos do 5EF mostraram que têm domínio do cálculo da área de uma figura desenhada em malhas quadriculadas por meio de contagem dos quadradinhos que a recobrem, indicando, por exemplo, a compreensão do significado de área. Os alunos classificados nesse nível também mostraram que conseguem resolver problemas do cotidiano envolvendo adição de pequenas quantias de dinheiro. Em relação ao Tratamento da Informação, mostraram que sabem localizar informações, relativas ao maior ou menor elemento, em tabelas ou gráficos. Todavia, não foi possível identificar, por meio da prova, habilidades desses alunos no tocante ao tema Espaço e Forma.

Levando-se as considerações citadas, deve-se levar em conta que, se houver, em sala de aula, um trabalho bastante consistente com o Sistema de Numeração Decimal, significados e procedimentos das operações, além de estratégias mais efetivas para ensinar noções geométricas, certamente o índice de alunos distribuídos no nível Abaixo do Básico deverá ser consideravelmente menor.

Nível Básico – entre 175 e 225 pontos

No nível Básico foram classificados 32% dos alunos do município de Campinas.

Além de todas as habilidades apresentadas no nível Abaixo do Básico, no Básico os alunos mostraram ter compreensão de noções e procedimentos relativos aos quatro temas. Entretanto, há que se considerar que esse domínio ainda está aquém do desejado e possível, tendo em vista do que se espera do aluno que está cursando o quinto ano do ensino fundamental.

Em relação ao Espaço os alunos desse nível mostraram, por exemplo, ter domínio de habilidades como a localização de um ponto em uma malha quadriculada ou croqui, a partir de duas coordenadas ou de duas ou mais outras referências. No tocante à Forma esses estudantes souberam associar figuras geométricas elementares (quadrado, triângulo e círculo) a seus respectivos nomes e reconhecer a planificação de uma pirâmide dentre um conjunto de planificações.

No que concerne ao tema II – Grandezas e Medidas – os alunos mostraram que sabem converter uma quantia em cédulas, da ordem das unidades de real, em seu equivalente em moedas. Mostraram também que dominam o cálculo da duração de um evento, cujos horários, inicial e final, acontecem em minutos diferentes de uma mesma hora dada e a leitura do horário em um relógio de ponteiros.

Em relação a Números, os alunos demonstraram que reconhecem o princípio do valor posicional do Sistema de Numeração Decimal. No tocante às Operações, indicaram que


calculam o resultado da subtração de números representados na forma decimal, tendo como contexto o sistema monetário. Mostraram ainda dominar procedimentos de cálculos como a adição, com reserva, de até três números naturais com até quatro ordens, a multiplicação de um número natural de até três ordens por cinco com reserva ou a divisão exata por números de um algarismo. Entretanto, em relação às operações com os naturais indicaram que não calculam corretamente o resultado da subtração, com recursos à ordem superior, entre números naturais, utilizando as ideias de retirar e comparar. Em relação aos números racionais, reconhecem uma fração como representação da relação parte-todo e associam a metade de um total ao seu equivalente em porcentagem.

No que se refere ao Tratamento da Informação, reconhecem o maior valor em uma tabela de dupla entrada, cujos dados possuem até duas ordens. Além disso reconhecem informações em um gráfico de colunas duplas.

A análise das habilidades dominadas, sobretudo as relativas às operações, indica claramente que os alunos têm condições para avançar para os níveis superiores Adequado ou Avançado, bastando um trabalho que enfatize ainda mais os significados das operações e com a representação decimal do número racional.

Nível Adequado: entre 225 e 275

O índice de alunos do município de Campinas distribuídos no nível Adequado é 30%.

Se considerarmos que a soma dos índices Abaixo do Básico e Básico – 22% + 32% = 54% – a porcentagem de 30% é insatisfatória, pois neste nível estariam os alunos que demonstram domínio de conteúdos, competências e habilidades desejáveis para a série escolar em que se encontram. Assim, mais da metade dos alunos não teriam essas habilidades.

No tocante ao tema I – Espaço e Forma – é possível afirmar que os estudantes, além das habilidades do nível Básico, identificam, propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações.

Em relação ao tema Grandezas e Medidas percebe-se a aquisição de um número bastante razoável de habilidades comparativamente às do nível Básico. No Adequado, os alunos determinam área de um terreno retangular representado em uma malha quadriculada. Apresentam proficiência no cálculo do horário final de um evento a partir do horário de início, dado em horas e minutos, e de um intervalo dado em quantidade de minutos superior a uma hora. Convertem uma quantia dada em moedas de diferentes valores em cédulas de real. Nesse tema, os desempenhos dos estudantes indicaram que eles sabem estimar a altura de um objeto com referência aos dados fornecidos por uma régua graduada em centímetros. Esses alunos também mostraram dominar a noção de área e reconhecem o m² como uma unidade de medida padronizada.

Quanto ao tema Números e Operações, os desempenhos dos estudantes indicaram que têm compreensão de regras que caracterizam o Sistema de Numeração Decimal. Relativamente aos cálculos, obtiveram corretamente o resultado de uma subtração entre números naturais com recurso à ordem superior, ou o resultado de uma multiplicação de um número natural por um número representado na forma decimal, em contexto do sistema monetário. Quanto à divisão, eles calculam o quociente entre dois números naturais, cujo divisor tem apenas 1 algarismo e o dividendo é um número de quatro algarismos. Os alunos classificados nesse nível resolvem problemas que utilizam a multiplicação envolvendo a


noção de proporcionalidade. Esses alunos também resolvem problemas envolvendo cálculo de porcentagens (25% ou 50%). Mostraram também proficiência para resolver problemas envolvendo números decimais, cujo contexto é o sistema monetário e reconhecem uma fração como representação da relação parte-todo.

No tocante ao tema Tratamento da Informação, os estudantes interpretam e comparam dados representados pelas alturas de colunas presentes em um gráfico. Cabe, no entanto, ressaltar que os alunos do nível Adequado não têm proficiência na leitura de gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo.

Nível Avançado – acima de 275 pontos

No município de Campinas, em relação ao tema Espaço e Forma, o aluno demonstra, além das habilidades dos níveis anteriores, proficiência na interpretação do movimento de um objeto utilizando outro referencial que não seja ele próprio. Nesse nível, os estudantes reconhecem, dentre um conjunto de quadriláteros, aquele que possui lados perpendiculares ou lados paralelos. Além disso, reconhecem diferentes planificações de um cubo. No entanto, todas essas habilidades poderiam ser dominadas pelos alunos pelo menos do nível Adequado.

As habilidades referentes ao tema Grandezas e Medidas neste nível são significativamente ampliadas em relação ao Adequado. Os estudantes, determinam, por exemplo, o perímetro de um retângulo, conhecidas suas medidas. Apresentam também proficiência na conversão de unidades de medida de comprimento, capacidade e massa. Além disso, calculam a área de uma figura poligonal não convexa desenhada sobre uma malha quadriculada.

Neste nível, os alunos, quanto ao tema Números e Operações, resolvem problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais requerendo mais de uma operação. Demonstram também compreender as regras do Sistema de Numeração Decimal, pois associam um número natural com várias ordens a sua forma polinomial. No referente aos números racionais, associam a fração ½ a sua representação decimal e reconhecem frações equivalentes. Outra habilidade importante desse nível é a comparação de números racionais com quantidades diferentes de casas decimais. Esses estudantes calculam o quociente e o resto de uma divisão de números naturais cujo divisor tem dois algarismos.

No tocante ao tema Tratamento da Informação, os alunos, além do domínio das habilidades identificadas nos outros níveis, interpretam gráficos de setores e de colunas duplas. Reconhecem, também, o gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo (com valores positivos e negativos).

Quadro Síntese

No quadro a seguir, apresenta-se uma interpretação pedagógica dos níveis do 5EF, de modo a sintetizar as proficiências dos alunos neles distribuídos.

Ao lado de cada ano e nível, é colocada a porcentagem de desempenho dos alunos da rede pública do Município de Campinas. Essa indicação revela o caráter mais importante desse processo.


Quadro 9 - 5º ano EF – Matemática – Interpretação Pedagógica dos Níveis

Níveis Pontos da escala agrupados

Distribuição por níveis (Município de Campinas)

Prova Brasil, 2013


Básico 175 a < 225 32%


Descrição Pedagógica dos Níveis

Nesse nível, foram agrupados os alunos que obtiveram proficiência inferior a 175. Eles apresentaram

domínio do cálculo da área de uma figura desenhada em malhas quadriculadas por meio de contagem

dos quadradinhos que a recobrem. Mostraram que conseguem resolver problemas bastante simples

do cotidiano envolvendo adição de pequenas quantias de dinheiro. Indicaram também que localizam

informações em tabelas simples e gráficos de colunas simples. Não foi possível identificar habilidades

desses alunos no tocante ao tema Espaço e Forma.

Apesar de importantes, as habilidades dominadas por esses alunos não foram suficientes para resolver

a grande maioria das questões da Prova Brasil/2013. Este é um dado relevante. O que mais sabem

esses alunos? Eles compreendem algum dos princípios do Sistema de Numeração Decimal e os

significados das operações? A escola saberá certamente descrever e interpretar melhor este nível. No

entanto, mediante as habilidades dominadas, esses alunos podem aprender noções e procedimentos

matemáticos de modo a caminhar para o nível Básico, se for realizado um trabalho consistente com o

Sistema de Numeração Decimal, Operações e Espaço e Forma.

Foram classificados nesse nível os alunos do 5º ano EF que obtiveram proficiência superior ou igual

a 175 e inferior a 225. Além das habilidades anteriormente citadas, os alunos, situados neste nível,

localizam um objeto em uma malha quadriculada ou croqui, a partir de duas coordenadas ou de duas ou

mais outras referências. Em relação às formas geométricas associam figuras geométricas elementares

(quadrado, triângulo e círculo) a seus respectivos nomes. Identificam características de uma pirâmide,

pois reconhecem sua planificação. Convertem uma pequena quantia de cédulas em seu equivalente

em moedas. Fazem, também, a leitura do horário em um relógio de ponteiros.

Os alunos desse nível reconhecem que o valor de um algarismo em um dado número depende de

sua posição. Calculam a soma e a diferença de pequenas quantias (reais e centavos) representadas

na forma decimal, tendo como contexto o sistema monetário. Calculam somas de números naturais

de diversas ordens utilizando procedimentos convencionais (adição com reserva). Também efetuam

a multiplicação de um número natural de diversas ordens por um da ordem das unidades. Também

efetuam divisões quando o divisor tem apenas um algarismo. Todavia, não calculam a diferença entre

dois números naturais quando é necessário recorrer à ordem superior. É importante destacar que

alguns dos significados das operações não são dominados por esses alunos como o de comparar e

completar. Utilizam uma fração para a indicar a relação parte-todo de uma figura.

Identificam informações em um gráfico de colunas duplas ou em uma tabela de dupla entrada.

A partir da análise das habilidades atinentes a esse nível, sobretudo as relativas às operações, pode-se

inferir, claramente, que esses alunos têm condições para avançar para os níveis superiores – Adequado

ou Avançado. Convém destacar que, para isso, é necessário um processo de ensino que enfatize ainda

mais os significados das operações e com a representação decimal do número racional, além de um

trabalho com áreas.




Prova Brasil, 2013

Adequado 225 a < 275 30%


Quadro 9 - 5º ano EF – Matemática – Interpretação Pedagógica dos Níveis (continuação)



Neste nível foram distribuídos os alunos do 5EF que tiveram 225 ou mais pontos e menos de 275.

Esses alunos demonstram domínio de conteúdos, competências e habilidades desejáveis para a série

escolar em que se encontram. Assim, mais da metade dos alunos não teriam essas habilidades, pois

a soma dos dois níveis inferiores é igual a 54%.

Esse grupo de estudantes, além das habilidades do nível Básico, relacionam prismas e pirâmides a

suas respectivas planificações. Além disso, determinam área de um terreno retangular representado

em uma malha quadriculada. Além de dominar a noção de área, reconhecem o m² como uma unidade

de medida padronizada. Calculam o horário final de um evento conhecidos o horário de início e o

intervalo de duração (em quantidade de minutos superior a uma hora).

As tarefas realizadas relativas ao tema Números e Operações indicam maior consistência na

compreensão de regras que caracterizam o Sistema de Numeração Decimal. Calculam a diferença

entre dois números naturais, utilizando o recurso à ordem superior (“empresta”). Multiplicam um

número decimal por um natural quando o contexto é monetário. Quanto à divisão, eles calculam o

quociente entre dois números naturais, cujo divisor tem apenas 2 algarismos. Resolvem situações

sobre multiplicação envolvendo a noção de proporcionalidade. Esses alunos também resolvem

problemas envolvendo cálculo de porcentagens (25% e 50%). E resolvem problemas que envolvem

adição e subtração de valores monetários.

Esses estudantes comparam dados representados em gráficos de colunas, mas não têm proficiência

na leitura de gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo.

Nesse nível, foram agrupados os alunos que obtiveram proficiência igual ou superior a 275. Além das

habilidades citadas nos níveis inferiores, os alunos do 5º ano EF mostram proficiência na interpretação

do movimento utilizando diferentes referenciais. Reconhecem lados paralelos e lados perpendiculares

em quadriláteros. Reconhecem diferentes planificações de um cubo.

Apresentam proficiência na conversão de unidades de medida de comprimento, capacidade e massa.

Além disso, calculam a área de uma figura poligonal não convexa desenhada sobre uma malha

quadriculada.

Resolvem problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais requerendo mais de uma

operação. Demonstram compreender as regras do Sistema de Numeração Decimal, pois associam

um número natural com várias ordens a respectiva forma polinomial. No referente aos números

racionais, associam a fração ½ a sua representação decimal e compreendem o significado de frações

equivalentes. Comparam números racionais com quantidades diferentes de casas decimais. Calculam

o quociente e o resto de uma divisão de números naturais cujo divisor tem dois algarismos.

Interpretam gráficos de setores e de colunas duplas. Reconhecem, também, o gráfico de linhas

correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo.


9º ano do ensino fundamental – 9EF

Síntese dos desempenhos

Seguem considerações a respeito dos desempenhos dos alunos do 9EF da cidade em cada um dos quatro níveis, com o objetivo de sintetizar as habilidades indicadas nos quadros 5, 6, 7 e 8 em cada um dos temas. Depois disso, apresenta-se um quadro síntese dos desempenhos dos alunos.

Nível Abaixo do Básico: menor do que 225

O índice de alunos do município de Campinas distribuídos no nível Abaixo do Básico foi 34% – índice bastante alto relativamente ao do 5EF, que foi de 22%.

É importante reiterar que esse nível não significa, necessariamente, ausência total de compreensão de noções e procedimentos matemáticos e impossibilidade, por parte dos estudantes, em aprender Matemática. Contudo, os alunos do 9EF classificados no nível Abaixo do Básico não parecem ter desenvolvido habilidades específicas do 6º ao 9ª ano. Ou seja, esses alunos não responderam adequadamente a grande maioria das situações da prova.

Relativamente ao tema Espaço e Forma, os estudantes classificados neste nível não demonstraram domínio de nenhuma das habilidades avaliadas. Esse fato também ocorreu com as habilidades referentes ao tema Grandezas e Medidas. Os alunos desse nível, não souberam, por exemplo, interpretar a movimentação de um objeto utilizando outro referencial que não eles próprios.

Quanto ao tema Números e Operações/Álgebra e Funções, os estudantes desse nível identificaram o maior e o menor número em uma coleção de números representados na forma decimal – todos com o mesmo número de casas.

As habilidades, atinentes ao Tratamento da Informação, identificadas nesse grupo de alunos, são relativas à localização de dados apresentados em tabelas simples ou gráfico de colunas.

Esses estudantes não apresentaram proficiência para responder aos itens do 9EF da Prova Brasil/2013. Algumas questões naturalmente podem ser feitas: o que sabem esses alunos? Quais são as habilidades específicas dos quatro anos finais do ensino fundamental que desenvolveram? As práticas adotadas são eficientes? A escola deve refletir sobre essas questões.

Nível Básico: Entre 225 e 300

Os alunos do município de Campinas classificados no nível Básico totalizam 53% do total. Portanto, um índice bastante insatisfatório, mesmo se compararmos com os resultados dos alunos do 5EF situados nesse nível: 30%.

Neste nível, os alunos do 9EF mostraram ter domínio de habilidades essenciais relacionadas aos quatro temas. No tocante ao tema I, Espaço e Forma, alunos desse nível dominam, por exemplo, importantes habilidades como o reconhecimento da planificação de um sólido simples, dado por meio de um desenho em perspectiva. Compreendem também a


noção de ângulo como mudança de direção. Além disso, localizam um objeto em representação gráfica do tipo planta baixa. Localizam, também, um ponto em um plano cartesiano, com o apoio de malha quadriculada, a partir de suas coordenadas.

Esses estudantes, no que se refere às medidas, convertem corretamente unidades de medidas de comprimento para resolver uma situação-problema e reconhecem que o perímetro de um retângulo dobra ou se reduz à metade quando os lados dobram ou são reduzidos à metade.

Quanto às habilidades relativas a Números, os estudantes desse nível realizam tarefas como identificação de frações equivalentes e a obtenção de uma fração irredutível, equivalente a uma fração dada. Além disso, dominam procedimentos de cálculo envolvendo números inteiros – positivos e negativos – e representam esses números em uma reta numérica. Resolvem problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais, cujas medidas são expressas por números inteiros. Relativamente à álgebra, os alunos desse nível calculam corretamente o valor numérico de uma expressão algébrica de 1º grau envolvendo números naturais.

No tocante ao Tratamento da Informação, os alunos do nível Básico interpretam dados apresentados em um gráfico de linha simples ou com mais de uma grandeza. Além disso, associam dados apresentados em gráfico de colunas a uma tabela. Associam, também, dados apresentados em tabela a gráfico de setores.

Nível Adequado: entre 300 e 350

Foram classificados no nível Adequado apenas 11% dos alunos do município de Campinas. Esse índice está bem abaixo do razoável, pois os estudantes do 5EF, apesar de insatisfatório, obtiveram 30% um índice bem melhor, portanto.

Neste nível, os alunos relativamente ao tema Espaço e Forma reconhecem a medida do ângulo determinado entre dois deslocamentos, descritos por meio de orientações dadas por pontos cardeais. Identificam as coordenadas de pontos representados no plano cartesiano. Além disso, reconhecem as faces opostas de um cubo, a partir de uma de suas planificações e classificam triângulos comparando as medidas dos lados a partir das medidas de seus respectivos ângulos opostos. Cabe destacar que os estudantes desse nível desenvolveram duas importantes habilidades: calcular a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, quando conhecidos seus catetos e resolver problema fazendo uso de semelhança de triângulos.

Relativamente às Grandezas e Medidas, os alunos indicam o volume de um dado paralelepípedo pela contagem do número de blocos cúbicos que o compõem. Esses estudantes mostraram domínio na conversão entre unidades de medida de massa em resolução de problema.

Os estudantes classificados nesse nível demonstraram o domínio de habilidades relativas aos números racionais como: associar uma fração com denominador dez à sua representação decimal; reconhecer frações equivalentes; resolver problemas que envolvam as operações com números racionais; resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais, representadas por números racionais na forma decimal. Resolvem problemas que envolvem adição e subtração de valores monetários. Mostram ainda proficiência na resolução de problemas, envolvendo grandezas diretamente proporcionais, com constante de


proporcionalidade não inteira. Quanto à Álgebra, os alunos associam uma situação problema à sua linguagem algébrica, por meio de equações do 1º grau ou sistemas lineares e determinam o valor numérico de uma expressão algébrica que contenha parênteses, envolvendo números naturais.

Quanto ao Tratamento da Informação, mostraram domínio na resolução de problemas que requerem a comparação de dois gráficos de colunas.

Deve-se considerar que apenas 13% do total de alunos avaliados (11% do Adequado acrescentado de 2% do Avançado), demonstram proficiência nas habilidades supracitadas. Esse fato revela que há muito por fazer em relação aos processos de ensino e de aprendizagem de conceitos e noções matemáticas nos anos finais do ensino fundamental. Reitera-se que no 5EF a situação, apesar de ruim, é bem mais cômoda: as habilidades descritas no nível Adequado são dominadas por 36% dos alunos.

Nível Avançado: acima de 350

Apenas 2% do total dos alunos do 9EF do município de Campinas ficaram neste nível.

No que se refere ao domínio das noções relativas ao Espaço, os alunos mostraram proficiência no reconhecimento das coordenadas de pontos representados num plano cartesiano localizados nos quatro quadrantes. Além disso, souberam indicar a posição final de um objeto, após a realização de rotações em torno de um ponto, de diferentes ângulos, em sentido horário e anti-horário. Quanto às noções geométricas, mostraram proficiência na resolução de problemas envolvendo ângulos, inclusive utilizando a Lei Angular de Tales sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo. Além disso, resolveram problemas utilizando o Teorema de Pitágoras no cálculo da medida de um dos catetos, dadas as medidas da hipotenusa e de um de seus catetos. Dominam também propriedades relativas às cevianas – alturas, medianas e bissetrizes – de triângulos para resolver problemas.

Muitas habilidades relativas ao tema Grandezas e Medidas, foram dominadas apenas pelos alunos do nível Avançado, contrariamente ao que se esperava – proficiência já a partir do Básico. Essas habilidades são as seguintes: determinar o perímetro de uma região retangular, obtida pela justaposição de dois retângulos, descritos sem o apoio de figuras; determinar a área de um retângulo em situações-problema; determinar a área de regiões poligonais construídas em malhas quadriculadas; determinar a área de triângulo, paralelogramo e trapézio, inclusive utilizando composição/decomposição; converter unidades de medida de capacidade, de m³ para litro e de mililitro para litro; indicar a relação entre as áreas de figuras semelhantes.

Em relação ao tema Números e Operações/Álgebra e Funções, os alunos mostraram proficiência nas habilidades concernentes aos números racionais, como o cálculo da soma de números racionais na forma fracionária com denominadores diferentes e do valor de uma expressão numérica com números racionais. Além disso, comparam números racionais com diferentes números de casas decimais, usando arredondamento e associam corretamente uma fração a sua representação na forma decimal. Em relação a essas habilidades citadas, a expectativa era que os alunos classificados no nível Básico já as dominassem. Os alunos mostraram também que sabem resolver problemas envolvendo grandezas inversamente proporcionais.

Relativamente à Álgebra, os alunos mostraram que sabem determinar o valor numérico de uma expressão algébrica de 1º e 2º graus, com coeficientes inteiros e associar uma


situação problema à sua linguagem algébrica, por meio de equações do 1º grau. Identificam, também, uma expressão algébrica que expressa a regularidade existente em uma sequência de números ou de figuras geométricas Além disso, associam a representação gráfica de duas retas no plano cartesiano a um sistema de duas equações lineares e vice-versa. Resolvem, também, problemas envolvendo equação do 2º grau.

No que concerne ao Tratamento da Informação, dominam as seguintes habilidades: determinar a média aritmética de um conjunto de valores; estimar quantidades em gráficos de setores; analisar dados dispostos em uma tabela de três ou mais “entradas”; interpretar dados fornecidos em gráficos envolvendo regiões do plano cartesiano e interpretar gráficos de linhas com duas sequências de valores.

Quadro Síntese

Com a finalidade de sintetizar as proficiências dos estudantes do 9EF, apresenta-se, no quadro 10, uma interpretação pedagógica de cada um dos níveis.

Ao lado de cada ano e nível, é colocada a porcentagem de desempenho dos alunos da rede pública do município de Campinas. Essa indicação revela o caráter mais importante desse processo.


Quadro 10 - 9º ano EF – Matemática – Interpretação Pedagógica dos Níveis



Prova Brasil, 2013


Básico 225 a < 300 53%



Os alunos do 9EF desse nível classificados no nível Abaixo do Básico não parecem ter desenvolvido

habilidades específicas do 6º ao 9ª ano.

Relativamente aos temas Espaço e Forma e Grandezas e Mediadas, não demonstraram domínio de

nenhuma das habilidades avaliadas. Os alunos desse nível, não souberam, por exemplo, interpretar

a movimentação de um objeto utilizando outro referencial que não eles próprios ou transformar,

por exemplo, metros em centímetros.

Cabe ressaltar que os estudantes desse nível dominam uma importante habilidade: identificar o

maior e o menor número de um conjunto de números representados na forma decimal – todos com o

mesmo número de casas. Esses alunos também localizam dados apresentados em

tabelas simples ou gráfico de colunas.

Mediante esses resultados, algumas questões podem ser feitas: O que aprenderam esses alunos? As

práticas adotadas são eficientes? A escola deve refletir sobre essas questões no sentido de promover

ações efetivas com a finalidade de diminuir consideravelmente esse índice de 34%.

Neste nível, os alunos mostraram ter domínio de habilidades essenciais relacionadas

aos quatro temas.

Esses estudantes reconhecem a “planificação” de um sólido simples e compreendem a noção de

ângulo como mudança de direção. Além disso, interpretam uma planta baixa e localizam um ponto em

um plano cartesiano conhecidas suas coordenadas.

Esses alunos convertem unidades de medidas de comprimento para resolver uma situação-problema

e compreendem o significado de perímetro.

Os estudantes desse nível identificam frações equivalentes e dominam procedimentos para obter uma

fração irredutível, equivalente a uma fração dada. Realizam cálculos envolvendo números inteiros,

positivos e negativos, e representam esses números em uma reta numérica. Resolvem problemas

envolvendo grandezas diretamente proporcionais.

No que se refere à Álgebra, esses alunos calculam corretamente o valor numérico de uma expressão

algébrica de 1º grau envolvendo números naturais.

Em relação às Tabelas e Gráficos, interpretam dados apresentados em um gráfico de linha simples ou

com mais de uma grandeza. Além disso, associam dados apresentados em gráfico de colunas a uma

tabela. Associam, também, dados apresentados em tabela a gráfico de setores.




Prova Brasil, 2013

Adequado 300 a < 350 11%




Neste nível, foram distribuídos os alunos do 9EF que tiveram 300 ou mais pontos e menos de 350.

Esses estudantes demonstram domínio de conteúdos, competências e habilidades desejáveis

para a série escolar em que se encontram. No entanto, quase 90% dos alunos não teriam essas

habilidades, pois a soma dos dois níveis inferiores é igual a 87%.

Esse grupo de estudantes, além das habilidades do nível Básico, relacionam prismas e pirâmides a

suas respectivas planificações. Dominam a noção de área e reconhecem o m² como uma unidade de

medida padronizada. Calculam o horário final de um evento conhecidos o horário de início e o intervalo

de duração (em quantidade de minutos superior a uma hora).

Indicam compreensão de regras que caracterizam o Sistema de Numeração Decimal. Calculam a

diferença entre dois números naturais, utilizando o recurso à ordem superior (“empresta”). Multiplicam

um número decimal por um natural quando o contexto é monetário. Quanto à divisão, calculam o

quociente entre dois números naturais, cujo divisor tem apenas 1 algarismo. Resolvem situações sobre

multiplicação envolvendo a noção de proporcionalidade. Calculam 25% e 50% de um dado valor.

Esses estudantes comparam dados representados em gráficos de colunas, mas não têm proficiência

na leitura de gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo.

É importante destacar que a maioria das habilidades citadas nesse nível poderiam

ser dominadas também pelos alunos do Básico.

Cabe reiterar que apenas 13% do total de alunos avaliados (11% do Adequado acrescentado de 2% do

Avançado) demonstram proficiência nas habilidades citadas. Esse fato revela que há muito por fazer

em relação aos processos de ensino e de aprendizagem de conceitos e noções matemáticas nos anos

finais do Ensino Fundamental.




– Prova Brasil, 2013





Nesse nível, foram agrupados os alunos que obtiveram proficiência igual ou superior a 350.

Os estudantes desse nível reconhecem as coordenadas de pontos representados num plano cartesiano

localizados nos quatro quadrantes. Além disso, indicam a posição final de um objeto, após a realização

de rotações em torno de um ponto, de diferentes ângulos, em sentido horário e anti-horário. Resolvem

também problemas envolvendo a soma dos ângulos internos de um triângulo. Aplicam o Teorema de

Pitágoras para calcular a medida de um dos catetos, quando se conhece a medida do outro cateto e

da hipotenusa. Utilizam propriedades relativas às alturas, medianas e bissetrizes de triângulos para

resolver problema.

Determinam a área de triângulo, paralelogramo e trapézio, inclusive utilizando composição/

decomposição. Calculam também a área de regiões poligonais construídas em malhas quadriculadas.

Convertem unidades de medida de capacidade (m³, litro e mililitro) para litro; indicar a

relação entre as áreas de figuras semelhantes;

Os alunos têm proficiência no cálculo com números racionais representados na forma decimal ou

fracionária. Além disso, comparam números racionais com diferentes números de casas decimais e

associam corretamente uma fração a sua representação na forma decimal.

Os alunos mostraram também que sabem resolver problemas envolvendo grandezas

inversamente proporcionais.

Calculam o valor numérico de uma expressão algébrica de 1º e 2º graus, com coeficientes inteiros

e associam uma situação problema à sua linguagem algébrica, por meio de equações do 1º grau.

Identificam, também, uma expressão algébrica que expressa a regularidade existente em uma

sequência de números ou de figuras geométricas Além disso, associam a representação gráfica de

duas retas no plano cartesiano a um sistema de duas equações lineares e vice-versa. Resolvem,

também, problemas simples envolvendo equação do 2º grau.

Esses estudantes também determinam a média aritmética de um conjunto de valores e analisam os

dados dispostos em uma tabela de três ou mais “entradas”. Além disso, interpretam gráficos de linhas

com duas sequências de valores.

Pode-se observar que a lista de habilidades dominadas nesse nível é bem mais extensa que os demais

níveis. Cabe ressaltar, no entanto, que em muitas dessas habilidades, a expectativa era que os alunos

classificados no nível Básico já as dominassem.


Como desenvolver as habilidades de Matemática previstas na matriz do Saeb/Prova Brasil para os 5º e 9º anos do ensino fundamental?

Este tópico tem por objetivo recomendar situações de ensino e de aprendizagem para o desenvolvimento das habilidades de Matemática previstas na Matriz do Saeb/Prova Brasil para os 5º e 9º anos do ensino fundamental, com base na reflexão sobre os itens já aplicados e seus resultados.

A metodologia utilizada para esse fim foi a seguinte:

1. Proposição de item exemplo do nível Adequado já utilizado nas provas do Saeb/Prova Brasil, para cada tema e ano avaliado – 5º e 9º do ensino fundamental – acompanhado dos respectivos percentuais de respostas dos alunos nos itens.

A escolha dos itens considerou a sua presença no seguinte documento do Inep/MEC: BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. SAEB 2001. SISTEMA NACIONAL DE AVALIAÇÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – SAEB. Relatório Saeb 2001 – Matemática. Brasília: Inep/MEC, 2002.

Apesar de o site do Inep/MEC apresentar vários exemplos para as habilidades, apenas esse documento citado traz informações sobre os níveis de proficiência dos itens e os percentuais de respostas dos alunos. Cabe lembrar, que não há relatórios pedagógicos, deste tipo, publicados. O último foi realizado com base no Saeb de 2001.

A escolha de itens situados no nível Adequado é devida eles serem aqueles que representam o que se espera que os alunos dominem (conteúdos e habilidades) para o seu estágio escolar.

Vale lembrar que a escala é contínua para os 5º e 9º anos do ensino fundamental, assim, conciliar os dois anos faz com que os professores possam observar que a aprendizagem da Matemática é complexa.

2. Com base na análise dos itens dos 5º e 9º anos do ensino fundamental para cada tema, são realizadas as recomendações pedagógicas.

Exemplos e recomendações pedagógicas24

Tema I. Espaço e Forma

Na Matriz de Referência do SAEB do 5º ano do ensino fundamental há apenas cinco descritores relativos a esse tema (D1 a D5), ao passo que na Matriz do 9º ano do ensino fundamental são indicados 11 descritores (D1 a D11).

24 Todos os itens e análises citados neste tópico estão publicados na seguinte fonte: BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. SAEB 2001. SISTEMA NACIONAL DE AVALIAÇÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA - SAEB. Relatório Saeb 2001 - Matemática. Brasília: Inep/MEC, 2002. Disponível em: http://livros01.livrosgratis.com.br/me000130.pdf Acesso: 24 março 2015.Neste relatório, os níveis de proficiência são assim definidos: 1 - 125; 2 - 150; 3 - 175; 4 - 200; 5 - 250; 6 - 300; 7 - 350; 8 - 375; 9 - 400; 10 - 425 ou mais.O quadro explicativo com os percentuais de respostas nas alternativas refere-se ao desempenho de alunos em testes do Saeb e da Prova Brasil, com abrangência em todo o país. Os níveis de proficiência indicados nos itens são aqueles definidos no documento supracitado.


Exemplo 1 – 5EF – Nível Avançado

Descritor 01: Identificar a localização/movimentação de objetos em mapas, croquis e outras representações gráficas

Descrição na Escala de Proficiência: Interpretar a movimentação de um objeto utilizando referencial diferente do seu. Assim, o aluno utiliza para interpretar a localização ou movimentação de um dado objeto utilizando diferentes referenciais.

Quatro moscas caíram na teia da aranha. Se a aranha andar para frente e para a esquerda, qual mosca ela vai comer?

Mosca A

Mosca B

Mosca C

Mosca D

A

B

D

C

Mosca A Mosca B

Mosca C Mosca D

16 53 7 16 8

A B C D Em branco ou nulas

Percentual de Respostas às Alternativas

Comentário25

Neste item, a habilidade requerida é a movimentação de um objeto com apoio de representação gráfica. Para resolver o item, os alunos precisaram descentrar o pensamento, ou seja, colocar-se no lugar do outro, no caso, a aranha. Neste caso específico, além dos conceitos de direita/frente/esquerda, a descentração do pensamento tem papel relevante. Isto pode ser observado pelo percentual de alunos que optou pela resposta incorreta “D” (16%). 25 BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. SAEB 2001. SISTEMA NACIONAL DE AVALIAÇÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA - SAEB. Relatório Saeb 2001 - Matemática. Brasília: Inep/MEC, 2002.


São alunos que observaram a movimentação do objeto a partir de uma perspectiva própria. Considerando-se que a descentração é condição necessária para a resolução deste item, ele apresentou um maior grau de dificuldade para alunos do 5EF que, em geral, ainda possuem um pensamento mais centrado em si mesmos, tendo dificuldade, em diferentes situações, de se colocarem no lugar do “outro”.

Exemplo 2 – 9EF26 – Básico

Descritor 02: Identificar propriedades comuns e diferenças entre Figuras bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações

Descrição na Escala de Proficiência: Reconhecer as faces opostas de um cubo, a partir de uma de suas planificações.

Comentário27

Neste item, o aluno deve reconhecer, entre as planificações apresentadas, aquela que corresponde a um cubo. Essa identificação pressupõe o conhecimento da estrutura de um cubo, que possui 6 faces, que são quadrados congruentes. Além disso, o aluno deve ser capaz de visualizar mentalmente como se daria o encaixe das planificações apresentadas. Apesar de a forma de um cubo ser bem familiar para o aluno, este item demonstrou ser difícil, tendo sido acertado apenas por 45% dos alunos.

26 Disponível em: http://livros01.livrosgratis.com.br/me000130.pdf Acesso: 24 março 2015. p. 21. Adaptado.27 Op. cit., p. 41. Adaptado.

Observe os moldes abaixo.

Entre eles, o molde de uma caixa em forma de um cubo é o:

A

B

D

D

12 24 45 16 3



(A) (B) (C) (D)

A

B D

C


Cabe, no entanto, ressaltar que os alunos do 5EF do SAEB 2013 classificados no nível Adequado têm em relação a esse tema proficiência bastante próxima: Reconhecer a planificação de um cubo dentre um conjunto de planificações apresentadas. Esse pode ser um indicador que esse assunto – planificações de um cubo – tenha sido objeto de estudo nas aulas de matemática dos anos finais do ensino fundamental.

Recomendações pedagógicas sobre o tema Espaço e Forma28

Reitera-se que, desde os anos iniciais do EF, o estudo desse tema é necessário para que o aluno desenvolva um tipo especial de pensamento que lhe favorecerá a descrição e representação do mundo em que vive.

Assim, o desenvolvimento do pensamento geométrico é fundamental para a resolução de situações de localização e deslocamento de pontos no espaço, utilizando noções de direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo. Para a ampliação desse pensamento, também é necessário estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas, envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando suas representações.

Além do uso cotidiano, esse tema também é importante para que os alunos estabeleçam conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento.

Desde cedo, a partir de experiências com seu próprio corpo, as crianças desenvolvem sistemas de localização/movimentação no espaço. Gradualmente, por meio da descentração do pensamento, começam a explorar outras possibilidades.

Essas diferentes possibilidades de exploração devem ser objeto de estratégias de ensino dentro das escolas, pois as habilidades requeridas ainda não de todo desenvolvidas, como se pôde observar.

O estudo do espaço deve ser observado como um “todo”. Neste sentido, a dialética entre o estudo das formas e o estudo do espaço em sua totalidade deve estar no jogo dos propósitos didáticos. Assim, é necessário propor tanto atividades sobre linhas, figuras e sólidos, como propor análises sobre pontos no espaço tridimensional, conduzindo à orientação e à localização nele.

É importante destacar que o estudo das formas também pressupõe entender a representação em duas dimensões dos objetos tridimensionais. No aprendizado desse assunto, o aluno toma consciência de como vê os objetos e, também, porque os vê de determinada forma – para tanto, precisa entender a relação entre forma e imagem ou representações visuais, tal como o real e a fotografia.

Como já foi dito, é necessário levar em consideração que questões espaciais se colocam prematuramente no cotidiano das pessoas e que, também, qualquer criança, no início desse milênio, se confronta com inúmeras experiências não convencionais de Matemática, que podem e devem ser exploradas pela escola.

28 Op. cit., p. 20-1. Adaptado.


Sabe-se que o campo conceitual que envolve Espaço e Forma tem sido negligenciado nas escolas. Esse fato ocorre porque, em geral, é o último tópico dos programas curriculares, pois não é considerado por muitos um tema tão relevante quanto é o de Números, Operações e Álgebra.

De acordo com o relatório do SAEB - 200129:

Pode-se perceber que nem mesmo questões simples que envolvem apenas a nomenclatura de figuras bidimensionais e tridimensionais estão consolidadas entre os alunos do 9EF.

Seria de todo desejável um enfoque mais próximo da realidade dos alunos, inclusive com a manipulação de objetos, figuras e sólidos geométricos, construindo-os e desconstruindo-os, procurando observar suas propriedades, regularidades etc. A problematização de situações do cotidiano que envolve espaço e forma certamente fará com que os alunos adquiram as competências necessárias neste campo conceitual.

Tema II. Grandezas e Medidas

Na Matriz de Referência do SAEB do 5º ano do ensino fundamental há sete descritores relativos a esse tema (D6 a D12), ao passo que na Matriz do 9º ano do ensino fundamental são indicados apenas quatro descritores (D12 a D15).

Exemplo 3 – 5EF30 – Avançado

Descritor 06: Estimar a Medida de Grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não

Descrição na Escala de Proficiência: Estimar o comprimento de um objeto a partir de outro, dado como unidade padrão de medida.

29 Op. cit., p. 42.30 Op. cit., p. 23.

A

B

D

C

20 41 14 16 9



Hélio comparou o comprimento de seu lápis com o de sua borracha

Hélio concluiu que o comprimento:

do lápis é aproximadamente cinco vezes o comprimento da borracha.

do lápis é aproximadamente três vezes o comprimento da borracha.

da borracha é aproximadamente a metade do comprimento do lápis.

da borracha é aproximadamente três vezes o comprimento do lápis.


Comentário31

Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema, contextualizadas, que requeiram do aluno identificar grandezas mensuráveis que ocorrem no seu dia a dia, convencionais ou não, relacionadas a comprimento, massa, capacidade, superfície, etc.

Este item requer do aluno certa familiaridade com medidas não convencionais utilizadas na comparação de comprimentos. A representação de objetos familiares aos alunos facilita a visualização, mas, apesar disso e considerando que as medidas não convencionais são utilizadas pelas crianças desde cedo em jogos e brincadeiras, pode-se supor que ainda haja dificuldade em relação aos conceitos de divisão do todo em partes (quantas vezes o comprimento da borracha cabe no lápis). Por outro lado, pode-se levar em conta a hipótese de que o conceito de comprimento não esteja, ainda, formado.

Exemplo 4 – 5EF32 – Adequado

Descritor 08: Estabelecer relações entre unidades de Medida de Tempo

Descrição na Escala de Proficiência: Converter mais de uma hora inteira em minutos.

Comentário33

Neste item, além dos conceitos de hora, minuto e intervalo, o aluno terá que fazer a transformação de horas em minutos, considerando que uma hora corresponde a 60 minutos. O item envolve, portanto, uma simples adição de parcelas (60+60+40).

A dificuldade demonstrada pelos alunos pode significar que os alunos, nesta fase, ainda não conseguem fazer a redução de horas para minutos, tendo também dificuldade em lidar com problemas simples que envolvam mais de uma operação. A escolha da alternativa

31 Op. cit., p. 24. Adaptado.32 Op. cit., p. 23.33 Op. cit., p. 24. Adaptado.

48 8 10 28 6



Carlos foi ao cinema assistir a um filme cuja sessão durava 2 horas e 40 minutos. Quantos minutos Carlos levou assistindo a esse filme?

240 minutos.

200 minutos.

180 minutos.

160 minutos.

A

B

D

C


errada “A” (48%) demonstra que, efetivamente, a maior parte dos alunos desconhece medidas de tempo e suas relações.

Exemplo 5 - 9EF34

Descritor 15 - Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida

Descrição na Escala de Proficiência: Converter unidades de medida de comprimento na resolução de situação-problema.

Comentário35

Este item avalia a habilidade de converter medidas de comprimento, de cm para mm. É surpreendente que apenas cerca de um quarto (26%) dos alunos tenha acertado este item. A dificuldade pode estar relacionada ao fato de que os alunos podem não ter entendido a leitura do enunciado, pois a opção “A”, em que a conversão foi feita para metros, atraiu 33% dos alunos.

Recomendações pedagógicas sobre o Tema II – grandezas e medidas36

A Matemática vivenciada pelos alunos fora da escola não é suficiente para resolver determinadas questões matemáticas, ainda que os assuntos sejam relativos às medidas – 34 Op. cit., p. 43-4.35 Op. cit., p. 44. Adaptado.36 Op. cit., p. 20- 44. Adaptado.

33 22 26 16 3



Diana mediu com uma régua o comprimento de um lápis. Encontrou 17,5 cm, que equivalem, em mm, a:

0,175

1,75

175

1750

A

B

D

C


tema bastante frequente no dia a dia de todas as pessoas. As conquistas cognitivas dos alunos realizadas extra escolarmente são ricas de sentido, mas carecem de sistematização que a escola pode fornecer-lhes para aplicação em outros contextos. Assim, deve-se levar em conta os processos de construção do conhecimento por eles utilizados e explorá-los convenientemente. Em suma, a Matemática da escola deve se aproximar da Matemática da vida, de modo a organizá-la logicamente e superá-la.

A importância do tema Grandezas e Medidas nos currículos de Matemática nos diferentes anos da escolaridade é evidente pois, além de sua larga aplicação na vida cotidiana das pessoas, ela é necessária para estudar outras áreas do conhecimento e pela sua forte conexão com os outros temas da Matemática: Espaço e Forma, Números e Operações, Álgebra e Tratamento da Informação.

Desse modo, além de fornecer os contextos para a realização da atividade matemática, é necessário refletir sobre Grandezas e Medidas como um bloco de conteúdos que favorece ricas articulações com os outros temas matemáticos, uma vez que está fortemente conectado com o estudo das formas e do espaço, bem como a compreensão da necessidade de diferentes tipos de números.

Os processos de ensino e de aprendizagem de conceitos e procedimentos referentes a esse tema devem visar o desenvolvimento de uma competência de modo a ampliar e construir noções de medida, pelo estudo de diferentes grandezas, a partir de sua utilização no contexto social; resolver problemas que envolvam diferentes grandezas, selecionando unidades de medida e instrumentos adequados à precisão requerida. Ou seja, deve-se proporcionar aos alunos experiências que permitam ampliar sua compreensão sobre o processo de medição e a percepção de que as medidas são úteis para descrever e comparar fenômenos.

Por meio de situações-problema, extraídas dos contextos práticos em que essas grandezas se encontram, podem ser evidenciadas as aplicações práticas da Matemática e a necessidade de contar com unidades não-padronizadas e padronizadas também a necessidade de encontrar estimativas plausíveis.

A natureza aproximada das medidas constitui um aspecto numérico que merece atenção especial. Além de orientar os alunos para que desenvolvam estratégias de estimativa e aprendam a julgar o grau de exatidão necessário para uma situação particular, é importante ensiná-los a utilizar adequadamente instrumentos como balanças, relógios, escalímetro, termômetros, transferidor, esquadros, trena, cronômetros e a selecionar os instrumentos e as unidades de medida adequadas à exatidão desejada.

Os fundamentos desse tema e as competências a ele relacionadas, que são esperadas de um aluno até o término do 5EF, dizem respeito à compreensão de que podem ser convencionadas medidas para o cálculo de perímetros, áreas, valores monetários e trocas de moedas e cédulas. No 9EF são avaliadas habilidades relacionadas à resolução de problemas envolvendo cálculo do perímetro e área de figuras planas, noções de volume e o uso de relações entre diferentes unidades de medida.

Os alunos demonstram dificuldades quando, nas questões propostas, há necessidade de coordenar diferentes operações, sendo que essas aumentam quando os itens apresentados exigem a transformação entre diferentes unidades de medida. Questões elementares que já deveriam ter sido objeto de estudo no início do ensino fundamental, ainda apresentam muitas dúvidas pelos alunos do 9 EF.


Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções

Na Matriz de Referência do SAEB do 5º ano do ensino fundamental há 14 descritores relativos a esse tema (D13 a D26), ao passo que na Matriz do 9º ano do ensino fundamental são indicados 20 descritores (D16 a D35).


Descritor 18: Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais

Descrição na Escala de Proficiência: Calcular o quociente e o resto de uma divisão de números naturais cujo divisor tem dois algarismos.

Comentário38

Exige-se do aluno a realização apenas de um procedimento. O conhecimento requerido refere-se aos conceitos de valor posicional de um algarismo no número, da operação de divisão e dos elementos que a compõem. A habilidade é demonstrada por meio da divisão de um número de três algarismos por outro de dois algarismos, sem zeros intercalados, com resto.

Nesse caso, o aluno terá que conhecer bem a terminologia dos elementos da divisão (quociente, resto) para responder acertadamente ao item (alternativa “B”). O domínio do algoritmo da divisão é fundamental, pois é pouco provável que um aluno do 5EF acerte o resultado sem efetuar o cálculo requerido.

37 Op. cit., p. 26.38 Op. cit., p. 26-7. Adaptado.

33 34 32 11 10



O quociente e o resto de 998 ÷ 35 são respectivamente:

17 e 28

28 e 18

35 e 5

29 e 1

A

B

D

C



Descritor 22: Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta numérica

Descrição na Escala de Proficiência: Localizar um número racional dado em sua forma decimal em uma reta numérica onde estão expressos diversos números naturais consecutivos, com dez subdivisões entre eles.

Comentário40

A habilidade demonstrada é a de identificar o número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta. Os alunos que acertaram o item (33%), conseguiram relacionar duas formas de notação matemática: reta numérica e número decimal.

Os alunos que assinalaram a alternativa errada “A” (27%), provavelmente levaram em conta apenas o número de décimos entre os inteiros 2 e 3, ignorando a parte inteira. Mais uma vez se verifica a dificuldade da maioria dos alunos em lidar com o todo e as partes, o inteiro e a parte decimal.

A compreensão do sistema decimal precisa ser revista no 5EF, pois, sem conhecer efetivamente as características e propriedades deste sistema, os alunos terão, como se pode perceber, inúmeras dificuldades na construção de números decimais. A ordenação de números naturais ou decimais na reta numérica pode ser um bom caminho para levar a esta construção.

39 Op. cit., p. 27.40 Op. cit., p. 27. Adaptado.

27 16 33 14 10



O número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta numérica é:

0,3

0,23

2,3

2,03

0 1 2 3

A

B

D

C



Descritor 23: Resolver problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro

Descrição na Escala de Proficiência: Resolver problemas que envolvam adição e subtração de valores monetários.

Comentário42

O conhecimento requerido neste item refere-se aos conceitos de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro, ao reconhecimento de valores expressos em reais e centavos e ao conceito de soma de números decimais.

A habilidade requerida pelo item é demonstrada pela interpretação da situação-problema apresentada (gasto + troco = total), e 43% dos alunos respondem corretamente ao item.

Os alunos que assinalaram a alternativa errada “A” (32%) não souberam identificar a operação correta e diminuíram os valores dados, em vez de somar. Na realidade, estes alunos não compreenderam as nuanças do problema proposto por estarem acostumados a lidar com problemas estereotipados, que envolvem, quase sempre, o total de gastos, o valor pago e o troco, numa ordem pré-estabelecida por uma lógica mais escolar do que real.


Descritor 18: Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)

Descrição na Escala de Proficiência: Determinar o valor de uma expressão numérica com números inteiros positivos e negativos.

41 Op. cit., p. 28.42 Op. cit., p. 29. Adaptado.43 Op. cit., p. 44.

Carol fez compras em uma loja, gastou R$ 46,00. Se Carol recebeu R$ 5,00 de troco, que quantia ela deu para pagar as compras?

R$ 41,00

R$ 46,00

R$ 51,00

R$ 56,00

32 11 43 7 7



D

CA

B

Sendo N = (-3)2 - 32, então, o valor de N é:

18

0

-18

12

23 43 21 9 4



A

B D

C



Descritor 23: Resolver problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro

Descrição na Escala de Proficiência: Resolver problemas que envolvam adição e subtração de valores monetários.

Comentário42

O conhecimento requerido neste item refere-se aos conceitos de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro, ao reconhecimento de valores expressos em reais e centavos e ao conceito de soma de números decimais.

A habilidade requerida pelo item é demonstrada pela interpretação da situação-problema apresentada (gasto + troco = total), e 43% dos alunos respondem corretamente ao item.

Os alunos que assinalaram a alternativa errada “A” (32%) não souberam identificar a operação correta e diminuíram os valores dados, em vez de somar. Na realidade, estes alunos não compreenderam as nuanças do problema proposto por estarem acostumados a lidar com problemas estereotipados, que envolvem, quase sempre, o total de gastos, o valor pago e o troco, numa ordem pré-estabelecida por uma lógica mais escolar do que real.


Descritor 18: Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)

Descrição na Escala de Proficiência: Determinar o valor de uma expressão numérica com números inteiros positivos e negativos.

41 Op. cit., p. 28.42 Op. cit., p. 29. Adaptado.43 Op. cit., p. 44.

Carol fez compras em uma loja, gastou R$ 46,00. Se Carol recebeu R$ 5,00 de troco, que quantia ela deu para pagar as compras?

R$ 41,00

R$ 46,00

R$ 51,00

R$ 56,00

32 11 43 7 7



D

CA

B

Sendo N = (-3)2 - 32, então, o valor de N é:

18

0

-18

12

23 43 21 9 4



A

B D

C

Comentário44

Neste item é avaliada a habilidade de operar com números inteiros. Observa-se que apenas 43% dos alunos o acertaram. As operações envolvidas são a potenciação e a subtração. Para resolver o item, o aluno deve calcular o resultado de potência de expoente par e de base tanto negativa quanto positiva. As opções “A” e “C” atraíram alguns alunos, o que pode indicar que grande percentual de alunos ainda não sabe lidar com potências de números negativos, confundindo-se com os sinais.

Exemplo 10 – 9EF45 – AVANÇADO

Descritor 19: Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)

Descrição na Escala de Proficiência: resolver problema envolvendo multiplicação com significado de combinatória

44 Op. cit., p. 45. Adaptado.45 Op. cit., p. 45.

As barras de chocolate “Deleite” são entregues pela fábrica em caixas com 12 pacotes, com 10 barras em cada pacote. Seu Manoel encomendou

8 caixas desse chocolate para vender no recreio da escola.

Vamos ajudar seu Manoel a conferir quantas barras de “Deleite” ele vai receber?

8 x 12 = 96 barras.

12 x 10 = 120 barras.

8 x (12 x 10) = 8 x 120 = 960 barras.

8 x (12 + 10) = 176 barras.

22 16 48 12 2



A

B D

C


Comentário46

Este item foi acertado por apenas 48% dos alunos, que se valeram do uso da propriedade associativa da multiplicação. Grande parte dos alunos, que optaram pelas alternativas erradas “A” e “B” (38%), utilizaram parcialmente os dados do problema, ora levando em consideração apenas o número de pacotes e caixas, ignorando o número de barras de chocolate, ora buscando identificar o número de caixas.

Nota-se, mais uma vez, a dificuldade dos alunos do último ano do Ensino Fundamental em lidar corretamente com os dados de um enunciado e de realizar mais de uma operação para resolver os problemas propostos.


Descritor 29: Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa entre grandeza

Descrição na Escala de Proficiência: resolver problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais.

Comentário48

Este item se refere à habilidade de resolver problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais. É dos mais fáceis nesse descritor, tendo sido acertado apenas por 31% dos alunos. Sabendo que 1 litro corresponde a 9 km, para saber quantos litros correspondem a 918 km basta realizar uma divisão exata (918 : 9 = 102). As opções “A” (23%) e “C” (22%) denotam erros em relação à operação de divisão. A opção “D”, que foi a menos escolhida, com 20% de respostas, significou o total despreparo dos alunos para a interpretação e resolução de regra de três simples.


O carro de Júlio consome, em média, 1 litro de gasolina para percorrer 9 quilômetros. Quantos litros de gasolina ele gastará para fazer uma

viagem de 918 quilômetros?

12

102

120

8.262

23 31 22 20 4



A

B D

C


Recomendações pedagógicas sobre o Tema III: números e operações/álgebra e funções49

A importância desse tema é de absoluto consenso entre professores e alunos. Conquanto o estudo dos números e das operações seja um tema essencial nos currículos de todos os anos do ensino fundamental, constata-se que muitos estudantes concluem esse nível sem um conhecimento satisfatório dos números e sem ter desenvolvido uma compreensão de alguns dos significados das operações. Consequentemente, os estudantes não conseguem resolver problemas que envolvem esses significados.

O professor deve, sobretudo, considerar que a finalidade desse tema é o desenvolvimento do senso numérico de seus alunos, por meio de situações que favoreçam a ampliação e a construção de novos significados para os números — naturais, inteiros, racionais e irracionais e para as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).

No tocante ao ensino de Álgebra/Funções, o professor deve organizar situações de aprendizagem que favoreça o desenvolvimento de habilidades relativas às representações algébricas de modo a expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema (equações e inequações) e favorecer as possíveis soluções. Devem ser propostas situações que também favoreçam o desenvolvimento do pensamento funcional, envolvendo a tradução de informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica, generalizando regularidades.

No 5EF, foi possível observar, pela análise dos itens apresentados, que os alunos apresentam dificuldades tanto nos procedimentos quanto na resolução de problemas envolvendo números e operações.

Percebe-se que as operações de multiplicação e divisão não estão bem consolidadas. Em relação à localização ou operações com números decimais, as dificuldades são ainda maiores, o que denota também dificuldades na compreensão do sistema de numeração decimal.

No 9EF, em relação a este tema, percebe-se que, à medida que as operações vão se tornando mais complexas, envolvendo o domínio de regras e sinais nas operações com números inteiros positivos e negativos e domínio de operações com números decimais, o percentual de acertos dos alunos diminui.

Quanto à resolução de problemas, identifica-se a dificuldade de compreensão dos dados relevantes à resolução deles, além de fazer os cálculos exigidos para resolvê-los.

A construção de conceitos como os que envolvem porcentagem e proporcionalidade entre diferentes grandezas ainda não está consolidada entre os alunos; eles também demonstram grande nível de dificuldade com o uso da linguagem simbólica ou algébrica na resolução de problemas.

Outra questão a ser enfatizada no ensino de Matemática é a de habituar os alunos a realizarem estimativas e a validarem as respostas que encontraram aos problemas propostos. Estas simples ações possibilitariam aos alunos antecipar possíveis soluções, descartar soluções implausíveis e verificar a veracidade de suas respostas.

49 Op. cit., p. 30- 44-48-49. Adaptado.


Pode-se perceber, durante a análise dos itens, que grande parte dos conceitos por eles exigidos deveriam ter sido construídos durante o segundo segmento do ensino fundamental, não se justificando, ao final deste nível de ensino, erros conceituais como os que se observaram.

Se, por exemplo, houvesse melhor compreensão do conjunto de regras que caracteriza o sistema de numeração decimal, provavelmente não haveria tantas dificuldades, como as encontradas na comparação de números decimais, utilizando regras dos naturais: se o “tamanho” da escrita numérica, no caso dos naturais, é um bom indicador da ordem de grandeza (8345 > 83), a comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece ao mesmo critério.

Não se trata de ensinar procedimentos à base de regras a serem memorizadas, mas sim de formar conceitos que se integram. Os números fazem sentido pelas relações e operações que ensejam em diversos campos. Ensinar Matemática não é ensinar a lidar com números abstratamente, fora de qualquer contexto. É, na realidade, ensinar a utilizá-los para resolver situações-problema.

Tema IV – Tratamento da Informação

Na Matriz de Referência do SAEB do 5º ano do ensino fundamental há dois descritores relativos a esse tema (D27 a D28) e também dois na Matriz do 9º ano do ensino fundamental (D36 a D37).


Descritor 27 - Ler informações e dados apresentados em tabelas

Descrição na Escala de Proficiência: Localizar um dado em tabelas de dupla entrada.

50 Op. cit., p. 31.

22

A

50 10 9 9

B C D Em branco ou nulas


Veja a tabela.

Fonte: Almanaque Abril 96

De acordo com a tabela, dentre os animais que viveram cerca de 20 anos, qual o que possui maior tempo médio de gestação?

Animal Tempo médio de gestação

Tempo médio de vida

Cavalo 330 dias 20 anosElefante 660 dias 65 anos

Macaco-aranha 139 dias 20 anosPapagaio 21 dias 20 anos

Cavalo

Elefante

Macaco-aranha

Papagaio

A

B D

C


Comentário51

Este item se propõe, também, avaliar a competência de extrair informações de uma tabela de dupla-entrada. As habilidades a serem demonstradas exigem a coordenação de duas variáveis – tempo médio de gestação/tempo médio de vida – e a seleção do dado que se enquadra na intersecção das duas variáveis. Apenas 22% dos alunos responderam corretamente ao item.

A dificuldade básica deste item é a coordenação de duas ou mais informações. Os alunos que responderam à alternativa errada “B” (50%) levaram em consideração apenas o tempo médio de gestação. Isso, novamente, reafirma a dificuldade dos alunos de coordenarem informações.


Descritor 28: Ler informações e dados apresentados em gráficos (particularmente de colunas)

Descrição na Escala de Proficiência: Reconhecer informações em um gráfico de colunas para resolver um problema.

51 Op. cit., p. 32-3. Adaptado.52 Op. cit., p. 32.

1413121110

98765432

Mangueiras Abacateiros Bananeiras Laranjeiras

10

63

A

11 10 9 7

B C D Em branco ou nulas


O gráfico abaixo mostra a quantidade de árvores de um sítio:

Quantas árvores tem esse sítio?

42

37

32

27

A

B D

C


Comentário53

Neste item avalia-se, também, a competência de leitura e interpretação de gráfico de colunas. Porém, sua complexidade em relação aos itens anteriores é maior, já que, além da identificação dos eixos de informação, é necessária a realização de operação de adição de números naturais.

A habilidade requerida pelo item é demonstrada por meio do relacionamento da altura da coluna com o seu valor numérico correspondente e da adição das quantidades expressas no gráfico. A maioria dos alunos (63%) escolheu a alternativa correta “A”.


Descritor 36 - Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.

Descrição na Escala de Proficiência: Analisar dados dispostos em uma tabela simples.

Comentário55

Este item foi acertado por 54% dos alunos, que tiveram que analisar os dados apresentados na tabela, observando que a cada 4 anos o número de mulheres dobra. Portanto,


Observe a tabela.

Se, nessa firma, o número de vagas oferecido às mulheres continuar aumentando segundo o observado na tabela, é possível prevermos para

2002, um total de quantos cargos ocupados pelas mulheres?

Ano Número de mulheres empregadas em uma firma

1982 71986 141990 281994 561998 112

112

168

224

448

5 13 54 25 3



A

B D

C


após um período de mais 4 anos, em 2002, o número de mulheres na firma será de 112 x 2 = 224. Devido, talvez, ao uso da palavra total no enunciado, quarta parte dos alunos foram atraídos pela opção “D”, cuja resposta corresponde a um valor aproximado da soma total de mulheres na firma, de 1982 até 2002.


Descritor 36 - Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos

Descrição na Escala de Proficiência: Determinar a média aritmética de um conjunto de valores apresentados em uma tabela.

Comentário57

Este item foi acertado por apenas 18% dos alunos que, além de saber ler os dados na tabela, devem saber calcular a média aritmética dos consumos registrados, o que implica operar com números decimais. O grande atrativo foi a opção “B”, com 50% das respostas, que apresentava a soma dos consumos. Isso indica que metade dos alunos não domina o conceito de média aritmética.

56 Op. cit., p. 50.57 Op. cit., p. 50. Adaptado.

A

B D

C

A tabela abaixo mostra o consumo mensal de água de uma família durante 6 meses.

A média do consumo dessa família foi:

Meses Consumo (m3)Janeiro 12

Fevereiro 13,8Março 12,5Abril 13Maio 11,6

Junho 10,3

18 50 13 15 4



12,2 m3

73,2 m3

11,83 m3

12,05 m3


Recomendações pedagógicas sobre o Tema IV – Tratamento da Informação58

O tema está relacionado com a capacidade de ler, interpretar e analisar dados, e fazer julgamento e prever opções a partir dessa análise. Provavelmente, essa é a ideia em que se evidencia mais claramente a importância da formação matemática do cidadão, pois trata da aquisição da habilidade de compreender o discurso jornalístico e científico, que faz uso da estatística.

O estudo da estatística deve ser feito a partir de problemas em situações interdisciplinares. Esse tema perpassa todos os anos/séries da escolaridade básica, sempre no contexto de resolução de problemas.

A introdução desse tema na Matemática é relativamente recente, no entanto ele se reveste de grande importância, já que a leitura de gráficos e tabelas permite uma melhor compreensão dos dados e fatos apresentados.

Levando-se em conta que o tema tratado foi introduzido recentemente nas escolas, pode-se notar que os resultados são mais promissores em relação a esse tema do que aos anteriores.

Pelo fato de pesquisas sobre eleições, preferências de consumo, situações populacionais etc., serem questões veiculadas pelos meios de comunicação, é possível que os alunos tenham uma relativa aproximação com o tema.

Isto reafirma a questão discutida em relação aos demais temas: as informações e situações vivenciadas precisam ser o ponto de partida para o ensino da Matemática.

A relevância do tema prende-se ao fato de que, a cada dia mais, é necessária a obtenção de informações de diferentes fontes, sendo importante a competência de leitura crítica sobre os dados fornecidos. A divulgação de dados sob a forma de gráficos e tabelas já faz parte do cotidiano dos alunos.

Considerações FinaisOs resultados apresentados neste relatório indicam inequivocamente que, de modo

geral, o processo de ensino e de aprendizagem de noções e conceitos matemáticos devem passar por mudanças significativas. Pode-se afirmar a existência de razoável consenso entre os educadores de que o ensino de Matemática não pode ser restrito a atividades, cujos objetivos sejam a mera memorização de algoritmos e regras.

Para esse processo de mudança, deve-se levar em conta que, no ensino fundamental, a Matemática é necessária ao aluno como ferramenta básica para que ele possa resolver situações da vida diária, compreender melhor o próprio ambiente para comunicar ideias e para entender melhor assuntos de outras áreas do conhecimento. Por isso, o ensino da Matemática

58 Op. cit., p. 30-33-50.


deve ter como finalidade o desenvolvimento de competências e habilidades necessárias aos futuros cidadãos e não apenas para a preparação de estudos posteriores.

Todavia, deve-se considerar também a importância da matemática como meio para desenvolver habilidades cognitivas e formas de pensamento como o “desenvolvimento de capacidades como observação, estabelecimento de relações, comunicação (diferentes linguagens), argumentação e validação de processo, além de estimular formas de raciocínio como intuição, indução, dedução e estimativa” (PCN).

A adoção desses princípios significa que o professor de Matemática deve considerar um caminho em que o aluno relaciona observações do mundo real a representações (tabelas, figuras, esquemas) e relaciona essas representações a uma atividade matemática. Essa estratégia permite construir noções e procedimentos matemáticos a partir de resolução de problemas em diferentes contextos – cotidiano, outras áreas do conhecimento e da própria matemática. Desse modo, o conhecimento matemático ganha significado e os estudantes colocam em jogo o que já aprenderam para resolver situações desafiadoras.

Os itens que compõem as provas do Saeb indicam claramente a opção pela resolução de problemas. Ou seja, essas provas procuram, de modo geral, avaliar se o aluno é capaz de mobilizar uma noção aprendida para resolver um problema, possivelmente diferente daquele que ele já resolvera anteriormente. É desse ponto de vista que o professores e educadores devem olhar para a Matriz de referência.


BibliografiaBLIN, Jean-François. Classes difíceis: ferramentas para prevenir e administrar os problemas escolares. Porto Alegre: Artmed, 2005.

BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental. Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática Primeiro e Segundo Ciclos. 1998.

CÂNDIDO, Suzana Laino. Formas num mundo de formas. São Paulo, Moderna, 1997.

Centro de aperfeiçoamento do Ensino de Matemática CAEM. Jogos e resolução de Problemas. Uma estratégia para o ensino da Matemática. São Paulo: IME/USP, v6, 1996.

COLL, C. Aprendizagem escolar e construção do conhecimento. Porto Alegre: Artmed, 1994.

D’ AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática da teoria à prática. Coleção Perspectivas em Educação Matemática. Campinas, SP: Papirus, 1997.

LOPES, A. J. Explorando o uso da calculadora no ensino de Matemática para jovens e adultos - in Alfabetização e Cidadania nº6 RAAB, 1998.

PARRA, Cecília & Saiz, Irmã. A didática da Matemática, reflexões psicopedagógicas. Porto alegre: Artes Médicas, 1995.

PERRENOUD, P. A pedagogia na escola das diferenças: fragmentos de uma sociologia do fracasso. Porto Alegre: Artmed, 2001.

PERRENOUD, P. Os ciclos de aprendizagem. Um caminho para combater o fracasso escolar. Porto Alegre: Artmed, 2003

São Paulo (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas. São Paulo 5ª a 8ª séries. VITAE/CENP, 1994.

SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. A Educação Matemática em Revista. Ano 1, n. 1, 1993.


Sobre o autorRuy César Pietropaolo é licenciado em Matemática e em Pedagogia. Possui mestrado em Educação (Currículo) e doutorado em Educação Matemática pela PUC/SP. É docente do corpo permanente do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, stricto sensu, da Universidade Anhanguera de São Paulo. Desenvolve pesquisas sobre currículos de Matemática e, em especial, sobre demonstrações e provas nos currículos da Educação Básica. Faz pesquisas sobre a formação de professores que ensinam Matemática e sobre História da Educação Matemática. Estuda também os desempenhos dos alunos em Matemática nas macro avaliações (SAEB, SARESP, ENEM e PISA). Coordena projeto financiado pela Capes relativo ao Programa Observatório da Educação (dois projetos). Presta assessoria a Fundações para elaboração de Matrizes de Referências e análise de resultados de Avaliações Externas como as do SARESP. Participou como elaborador dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ministério da Educação para o Ensino Fundamental. Participou como elaborador da Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo de 1987/1988 e da Nova Proposta em 2010. Prêmio CAPES de Teses em 2006 de melhor tese de 2005 na área de Ensino de Ciências e de Matemática.

Pontos e contrapontos do ensino e da aprendizagem de Matemática ...

Documents

Transcript of Pontos e contrapontos do ensino e da aprendizagem de Matemática ...