Porcentagem

É muito freqüente o aparecimento de situações que t raduzem acréscimos ou reduções em números, preços ou quantidades, sempre tomando por base o número 100. Vejamos alguns exemp los:

A custo de vida teve um aumento de 14 %. Isso sign ifica que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 14,00

Se uma loja anuncia um desconto de 12 % em qualque r de seus produtos, isso significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$ 12,00

Dos funcionários de uma empresa, 67 % são do sexo masculino. Isso significa que em cada 100 funcionários dessa empresa, 67 são homens.

Foram 6 % de votos nulos e 9 % de votos em branco. Isso significa que, numa eleição, em cada 100 voto s, 6 foram nulos e 6 deles foram em branco.

Razão centesimal

Nós já havíamos estudado que toda fração de denomin ador 100 pode ser lida na forma de porcentagem. Assim : 3 centésimos ===> 3/100 ====> 3 porcento ====> 3 % 64 centésimos ===> 64 / 100 ====> 64 porcento = ===> 64 % 95 centésimos ===> 95 / 100 ====> 95 porcento = ===> 95 % Vamos estender esse conceito para o estudo das razõ es Toda a razão que tem para conseqüente o número 100 denomina-se razão centesimal. Dessa forma : 23 : 100 ===> 0,23 ===> 23 porcento ===> 23 % 80 : 100 ===> 0,80 ===> 80 porcento ===> 80 % 320 : 100 ===> 3,20 ===> 320 porcento ===> 320 % As razões 23 / 100 ; 80 / 100 e 320 / 100 são razõ es centesimais e as expressões 23 % , 80 % e 320 % são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Transformação de uma razão qualquer para razão centesimal.

Analisemos os seguintes problemas : Exemplo 1 - De cada quatro meninos de minha rua, três deles jog am futebol. Que porcentagem dos meninos joga futebol ? Já sabemos que a razão entre os meninos que jogam f utebol e a totalidade dos meninos é de : e para escrevê-la na forma porcentual precisamos igualá-la a uma razão de conseqüente 100 . Assim teremos : e resolvendo essa proporção, teremos :

Dizer que 3 em cada quatro meninos jogam futebol é o mesmo que dizer que 75 % deles jogam futebol. Exemplo 2 - A pontuação máxima em uma gincana é de 50 pontos. Q ue porcentagem dos pontos consegui se cheguei, ao final, com 18 pontos ? Se fiz 18 pontos nos 50 pontos possíveis, reconhece mos que a razão entre eles é de : e para escrevê-l a na forma porcentual precisamos igualá-la a uma razão de conseqüente 100. Assim ter emos : e resolvendo essa proporção, teremos :

Quem faz 18 pontos em 50 pontos possíveis está faze ndo 36 % dos pontos possíveis.

Cálculo da Porcentagem de um número.

Principal é o valor, quantidade ou quantia mais imp ortante em uma proporção.

Se eu ganho R$ 3.500,00 por mês, esse é o Principa l, desde que eu queira saber uma parte dele. Num problema, ele deve ser igualado a 100 %

Se o Flamengo tem um plantel de 42 jogadores, esse é o Principal, desde que eu queira saber uma parte dele. Num problema, ele deve ser igualado a 100 %

Se numa eleição 3.000 eleitores votaram no candida to A, esse valor não é o Principal, já que o esse v alor é uma parte do Principal que é o total de eleitores. Num problema, ele deve ser igualado a 100 % Vamos resolver algumas situações problemáticas : Exemplo 3 - Determine 45 % de R$ 2.000,00 Método 1 - Sabemos, por frações, que :

Método 2 - Resolvendo, por proporções, teremos que :

Método 3 - Resolvendo, pelo conceito de principal : R$ 2.000,00 é o principal, já pretendo encontrar um a parte dele . Sendo, assim podemos montar uma regr a de três simples e direta dessa forma :

100 % esta correspondendo a 2.000,00, assim como 45 % está correspondendo para x, * note que porcentagem esta embaixo de porcentagem e quantia está embaixo de quantia * x = R$ 900,00

Cálculo de um número dada uma Porcentagem.

Exemplo 4 - Numa Olimpíada de Matemática, vários alunos se incr everam, mas apenas 35 % deles obteve a nota mínima 5 ou superior a ela. Quantos alunos foram inscritos se apenas 1.0 50 deles passaram para a segunda fase ? Nesse caso o problema nos pede justamente o Princip al ( quantidade de alunos inscritos ), escrevemos :

Lucro e Prejuízo com Porcentagem.

Em muitas situações problemáticas envolvendo porcen tagem ( que também pode aparecer escrita como percentagem ), nos deparamos casos de lucro e prejuízo. Vamos a alguns exemplos : Exemplo 5 - Pedro Henrique adquiriu uma bicicleta por R$ 400,0 0 e decide revendê-la com um lucro de 25 % sobre o preço que pagara. Por quanto Pedro deverá vender essa bicicleta ? Nesse caso, o problema nos deixa claro que o Princi pal será o preço pago pela bicicleta : Método 1 - Vamos descobrir o valor do lucro desejado por Pedr o Henrique :

E que adicionado ao preço de compra nos dará o preç o de revenda : R$ 400,00 + R$ 100,00 = R$ 500,00 Método 2 - Se o principal são os nossos 100 % e Pedro deseja um lucro de 25 % , o preço de revenda será obtido pela soma de custo e lucro, assim: 100 % + 25 % = 125 % E aplicando a regra de três simples e direta, vem :

Exemplo 6 - Uma loja de eletrodomésticos oferece a seguinte pr omoção :

Nesse caso, o problema nos deixa claro que o Princi pal será o preço cobrado pelo fogão : Método 1 - Vamos descobrir o valor do desconto para compras à vista :

E que descontado ao preço de venda nos dará o preço com o desconta já incluído : R$ 450,00 - R$ 36,00 = R$ 414,00 Método 2 - Se o principal são os nossos 100 % e Pedro obtém, n a compra à vista, um desconte de 8 % , o preço de compra será obtido pela diferença entre o preço original e o desconto, assim: 100 % - 8 % = 92 % E aplicando a regra de três simples e direta, vem :

Fator de Multiplicação.

Normalmente, os donos de estabelecimentos comerciai s tem uma facilidade muito grande no cálculo de porcentagens. Vamos aprender a regra prática que eles utilizam para ser em mais rápidos que nós. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determ inado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e a ssim por diante. Vejamos o por quê disso : Se o principal é 100 % e a ele devo adicionar um au mento de 10 %, ele se transformará em : 100 % + 10 % = 110 %, que escrito na forma decimal nos daria :

O que o empresário faz é digitar na calculadora o p reço do produto e a ele multiplicar o fator de mult iplicação 1,1 . Rapidinho né ? Se ele quiser praticar um desconto, o procedimento é semelhante: Se ele pretende aplicar um desconto de 12 % numa me rcadoria, ele faz :100 % - 12 % = 88 % e que transformado na forma decimal nos dá :

Veja na tabela abaixo alguns exemplos de acréscimos e seus respectivos fatores multiplicativos:

Acréscimo ou Lucro Fator de

Multiplicação

1 % 1,01

5 % 1,05

10 % 1,10

15 % 1,15

37 % 1,37

100 % 2,00

185 % 2,85 Veja na tabela abaixo alguns exemplos de descontos e seus respectivos fatores multiplicativos:

Prejuízo ou Desconto Fator de

Multiplicação

1 % 0,99

5 % 0,95

10 % 0,90

25 % 0,75

37 % 0,63

50 % 0,50

80 % 0,20

Porcentagem e Gráficos.

É muito comum o aparecimento de gráficos explicativ os em situações que envolvem porcentagem. Conheçamos alguns tipos ilustrativos de porcentagem em forma de gráficos. Exemplo 7 - Num clube esportivo foi feita uma pesquisa para se conhecer quais eram as preferências dos sócios pelos clube de futebol profissional do Rio de Janeiro. Se foram ouvidos um total de 300 sócios. Pergunta-se : Esse gráfico é conhecido como gráfico de setores ou gráfico de "pizza".

1 - Quantos torcem pelo Flamengo ?

2 - Quantos torcem pelo Fluminense ?

3 - Quantos torcem pelo Vasco ?

4 - Quantos torcem pelo Botafogo ?

5 - Quantos preferiram não opinar ?

E respondendo, vem : 1 - Torcem pelo Flamengo 33 % x 300 = 99 sócios 2 - Torcem pelo Fluminense 21 % x 300 = 63 sócios 3 - Torcem pelo Vasco 16 % x 300 = 48 sócios 4 - Torcem pelo Botafogo 24 % x 300 = 72 sócios

4 - Não Opinaram 6 % x 300 = 18 sócios Exemplo 8 - Numa prévia eleitoral entre os três candidatos a p refeito de uma cidade, foi anotada as seguintes intenções de voto: O candidato A teve a preferência do eleitorado com 40 % dos votos, o candidato B com 36 % e o candidat o C com 24 %. Se esse prognóstico se mantiver inalterado até a eleição, q uantos votos terá cada um dos candidatos, se esse município possui 12.000 eleitores.

Se o município possui 1.200 elitores, cada um dos candidatos terá : A 40 % de 1.200 = 0,4 x 1.200 = 480 votos B 36 % de 1.200 = 0,36 x 1.200 = 432 votos C 24 % de 1.200 = 0,24 x 1.200 = 288 votos

Porcentagem - Exercícios Propostos

I - Escreva na forma percentual as razões. 01) 3/4 02) 1/2 03) 2/5 04) 7/25 II - Escreva como razões as porcentagens. 05) 25 % 06) 37 % 07) 15 % 08) 120 % III - Calcule as porcentagens : 09) 25 % de R$ 250,00 10) 18 % de 450 litros 11) 40 % de 360 alunos 12) 120 % de R$ 75,00 IV - Determine : 13) Qual é o número cujos 30 % valem 90 ? 14) Qual é a quantia cujos 60 % valem R$120,00 ? 15) 75 % de um número valem 42. Qual é esse número ? 16) 120 % de um valor equivale a R$ 360,00. Que valor é esse ? V - Resolva os problemas : 17) Qual foi a taxa de aprovação de uma 6ª série de 50 alunos e onde 38 deles foram aprovados ? 18) Um produto de R$ 200,00 é revendido por R$ 280,00. Qual foi a taxa de lucro nessa revenda ?

19) Na compra de um aparelho de som obtive um desconto de 15 %, que corresponde a R$ 450,00. Qual é o preço do aparelho sem o desconto ? 20) Num colégio 32 % dos alunos são meninas. Se os men inos totalizam 340, quantas são as meninas desse colégio ? 21) Uma editora vendeu no ano de 2004 40.000 exemplare s de sua obra "Matemática Muito Fácil". De quanto percentualmente aumentaram as vendas se no ano seguinte foram vendi dos 42.000 exemplares? 22) Paulo recebeu a noticia de que o aluguel da casa o nde mora vai passar de R$ 154,00 reais para R$ 215, 60. De quanto será o percentual de aumento que o aluguel vai sofre. 23) Nádia teve um reajuste salarial de 41%, passando a ganhar R$ 4.089,00. Qual era o salário antes do reajuste? 24) Em certo trimestre as cadernetas de poupança rende ram 2,1% de correção monetária. Paulo deixou R$ 1000,00 depositados durante três meses. Quanto tinha no fim do trimestr e. 25) Em uma cidade, 35% da população são de homens e 40 % de mulheres. Qual a população da cidade, se o número de crianças é de 8.000? 26) Um comerciante comprou 120 camisas a R$ 22,00 cada uma. Vendeu a metade por R$ 26,40 e o resto a R$ 30,80 cada. De quantos por cento foi o lucro? 27) Uma mistura é formada por 120 ml de leite e 30 ml de água. a) Qual a taxa percentual de leite na mistura? b) Retirando-se 10 ml de água da mistura original, qual será o percentual de água na mistura? 28) No campeonato de 4ª divisão de futebol, foram marc ados 140 gols. O "Pernas de Pau FC" marcou 25% desse total. Wallace BOM DE BOLA, artilheiro do time, marcou 7 gols. Qua ntos por cento dos gols marcados pelo seu time representam os gols de Wallace? 29) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos num t otal de 450 peixes. Desses, 30% são vermelhos. Uma doença mata alguns peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que no aquário 50 % dos peixes vivos eram amarelos. Qual a porcentagem de peixes a marelos que morreram? 30) Por quanto devo revender um objeto que comprei por R$ 40,00 de modo que tenha um lucro de 20% sobre o preço de venda? (Dica: preço de venda = preço de custo + lucro) 31) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros, dos qua is 25% são de leite natural. A quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que ela venha con ter 20% de leite natural é: a) 20 litros b) 30 litros c) 40 litros d) 45 litros e) 5 0 litros 32) A expressão (10%) 2 - (5%)2 equivale a: a) 75 % b) 7,5 % c) 0,75 % d) 25 % e) 2,5 %

33) ( Fuvest - SP ) Sobre o preço de um carro importado incide um impos to de 30 %. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal impos to passe de 30 % para 60 % , qual será, em reais, o novo preço do carro para o importador ? a) R$ 22.500,00 b) R$ 24.000,00 c) R$ 25.350,00 d) R$ 31.200,00 e) R$ 39.000,00 34) ( UFAC 2001 ) O preço de um objeto de valor aumenta todo mês 10% . Nessas condições, no quarto mês de aumento o novo preço será : a) 21 % maior que o preço original b) 21,1 % maior que o preço original c) 40,0 % maior que o preço original d) 46,41 % maior que o preço original e) 58,54 % maior que o preço original 35) Questão Desafio (UFRJ) Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% são hom ens. Quantos homens devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98% ?

Porcentagem - Respostas dos Exercícios Propostos