1. Questes de Matemtica Aula 2 Emerson Marcos Furtado1 Tpicos abordados: Funes Porcentagem Nmeros proporcionais 1. (FCC) Uma cafeteira automtica aceita apenas moedas de 5, 10 ou 25 centavos e no devolve troco. Se, feito nessa mquina, cada cafezinho custa 50 centavos, de quantos modos podem ser usadas essas moedas para pag-lo? a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 Soluo: Sejam: x quantidade de moedas de 5 centavos y quantidade de moedas de 10 centavos z quantidade de moedas de 25 centavos Se o cafezinho custa 50 centavos, ento o pagamento deve satisfazer: 5 . x + 10 . y + 25 . z = 50 Dividindo todos os termos por 5, temos: x + 2y + 5z = 10 1 Mestre em Mtodos Nu- mricos pela Universidade Federal do Paran (UFPR). Licenciado em Matemti- ca pela UFPR. Professor do Ensino Mdio de colgios nos estados do Paran e Santa Catarina desde 1992; professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996; pro- fessor da Universidade Posi- tivo, de 2000 a 2005; autor de livros didticos, destinados a concursospblicos,nasreas de Matemtica, Matemtica Financeira, Raciocnio Lgico e Estatstica; scio-diretor do Instituto de Pesquisas e Pro- jetos Educacionais Prxis, de 2003 a 2007; scio-professor do Colgio Positivo de Join- ville desde 2006; scio- diretor da empresa Teorema Produo de Materiais Didticos Ltda. desde 2005; autor de material didtico para o Sistema de Ensino do Grupo Positivo, de 2005 a 2009; professor do CEC Concursos e Editora de Curi- tiba, desde 1992, lecionando as disciplinas de Raciocnio Lgico, Estatstica, Matem- tica e Matemtica Financeira; consultor da empresa Result Consultoria em Avaliao de Curitiba, de 1998 a 2000; consultor em Estatstica Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas reas socioeconmica, qua- lidade, educacional, indus- trial e eleies desde 1999; membro do Instituto de Promoo de Capacitao e Desenvolvimento (IPRO- CADE) desde 2008; autor de questes para concursos p- blicos no estado do Paran desde 2003. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br

2. 2 Questes de Matemtica Aula 2 Observe que no pode ocorrer z2, pois, nesse caso, o valor pago ultra- passaria o preo do cafezinho (5z10). Se z = 2, temos: x + 2y + 5z = 10 x + 2y + 5 . 2 = 10 x + 2y + 10 = 10 x + 2y = 10 10 x + 2y = 0 A nica possibilidade de soluo seria x = y = 0. Se z = 1, temos: x + 2y + 5z = 10 x + 2y + 5 . 1 = 10 x + 2y + 5 = 10 x + 2y = 10 5 x + 2y = 5 x = 5 2y As possibilidades so: y = 0 x = 5 2 . 0 = 5 0 = 5 y = 1 x = 5 2 . 1 = 5 2 = 3 y = 2 x = 5 2 . 2 = 5 4 = 1 Se z = 0, temos: x + 2y + 5z = 10 x + 2y + 5 . 0 = 10 x + 2y + 0 = 10 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 3. Questes de Matemtica Aula 2 3 x + 2y = 10 x = 10 2y As possibilidades so: y = 0 x = 10 2 . 0 = 10 0 = 10 y = 1 x = 10 2 . 1 = 10 2 = 8 y = 2 x = 10 2 . 2 = 10 4 = 6 y = 3 x = 10 2 . 3 = 10 6 = 4 y = 4 x = 10 2 . 4 = 10 8 = 2 y = 5 x = 10 2 . 5 = 10 10 = 0 Organizando as possibilidades de pagamento em uma tabela, temos: Moedas de R$ 0,05 (x) Moedas de R$ 0,10 (y) Moedas de R$ 0,25 (z) Quantia paga (centavos) 0 0 2 0 . 5 + 0 . 10 + 2 . 25 = 50 5 0 1 5 . 5 + 0 . 10 + 1 . 25 = 50 3 1 1 3 . 5 + 1 . 10 + 1 . 25 = 50 1 2 1 1 . 5 + 2 . 10 + 1 . 25 = 50 10 0 0 10 . 5 + 0 . 10 + 0 . 25 = 50 8 1 0 8 . 5 + 1 . 10 + 0 . 25 = 50 6 2 0 6 . 5 + 2 . 10 + 0 . 25 = 50 4 3 0 4 . 5 + 3 . 10 + 0 . 25 = 50 2 4 0 2 . 5 + 4 . 10 + 0 . 25 = 50 0 5 0 0 . 5 + 5 . 10 + 0 . 25 = 50 Portanto, existem 10 modos possveis de o pagamento ser realizado. Resposta : D 2. (Cesgranrio) Em uma empresa, a razo do nmero de empregados homens para o de mulheres 3/7. Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa : a) 30% b) 43% Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 4. 4 Questes de Matemtica Aula 2 c) 50% d) 70% e) 75% Soluo: Sejam: H percentual de homens da empresa M percentual de mulheres da empresa Ento: H 3 M 7 = Utilizando uma propriedade das propores, temos: H 3 M 7 = = H+M 3+7 = 100% 10 = 10% Assim, podemos escrever: H 3 = 10% H = 3 . 10% = 30% M 7 = 10% M = 7 . 10% = 70% Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa igual a 30%. Resposta: A 3. (FCC) Sabe-se que 10 mquinas, todas com a mesma capacidade operacional, so capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se fun- cionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condies, o nmero de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas mquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de fun- cionamento ininterrupto, : Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 5. Questes de Matemtica Aula 2 5 a) 100 b) 200 c) 400 d) 600 e) 800 Soluo: As informaes podem ser organizadas segundo quatro grandezas: aparelhos mquinas dias horas por dia 100 10 10 10 x 20 20 20 A grandeza que possui a incgnita aparelhos. Vamos comparar cada uma das outras trs grandezas comaparelhos, duas as duas, a fim de verifi- car se so diretamente ou inversamente proporcionais: Comparando a grandezamquinascomaparelhos: aparelhos mquinas dias horas por dia 100 10 10 10 x 20 20 20 Quanto maior for o nmero de mquinas, maior tambm ser o nmero de aparelhos fabricados. Logo, as grandezas mquinas e aparelhos so diretamente proporcionais. Vamos representar tal fato por duas setas no mesmo sentido. O sentido pode ser para cima ou para baixo, no importa. Caso as grandezas fossem inversamente proporcionais, representaramos por duas setas em sentidos contrrios. Comparando a grandezadiascomaparelhos: aparelhos mquinas dias horas por dia 100 10 10 10 x 20 20 20 Quanto maior for o nmero de dias de produo, maior tambm ser o nmerodeaparelhosproduzidos.Assim,asgrandezasaparelhosediassodi- retamente proporcionais. As setas no mesmo sentido indicam a relao direta. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 6. 6 Questes de Matemtica Aula 2 Comparando a grandezahoras por diacomaparelhos: aparelhos mquinas dias horas por dia 100 10 10 10 x 20 20 20 Quanto maior for o nmero de horas por dia de produo, maior tambm ser o nmero de aparelhos produzidos. Logo, as grandezas aparelhosehoras por diatambm so diretamente proporcionais. Se uma grandeza diretamente proporcional a duas ou mais gran- dezas, tambm ser diretamente proporcional ao produto delas, ento a razo entre as quantidades de aparelhos produzidos na 1. e na 2. situao igual ao produto das outras razes: 100 x = . . 10 20 10 20 10 20 Caso uma das grandezas fosse inversamente proporcional grande- zaaparelhosa razo seria invertida. Resolvendo, temos: 100 x = . . 1 2 1 2 1 2 100 x = 1 8 1 . x = 8 . 100 x = 800 Portanto, 800 aparelhos poderiam ser montados por 20 daquelas mquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto. Resposta: E 4. (FCC) Certo dia, Celeste e Haroldo, agentes de fiscalizao finan- ceira, foram incumbidos de analisar 51 solicitaes de usurios de uma unidade do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 7. Questes de Matemtica Aula 2 7 Decidiram, ento, dividir o total de solicitaes entre si, em partes que eram, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais aos seus respec- tivos tempos de servio no Tribunal e inversamente proporcionais s suas respectivas idades. Sabe-se tambm que, na ocasio, Celeste tra- balhava no Tribunal h 15 anos e tinha 36 anos de idade, enquanto que Haroldo l trabalhava h 10 anos. Assim, se coube a Celeste analisar 34 solicitaes, a idade de Haroldo: a) era superior a 50 anos. b) estava compreendida entre 45 e 50 anos. c) estava compreendida entre 40 e 45 anos. d) estava compreendida entre 35 e 40 anos. e) era inferior a 40 anos. Soluo: Se haviam 51 solicitaes e Celeste foi responsvel pela anlise de 34, ento Haroldo ficou responsvel por 17: C + H = 51 34 + H = 51 H = 51 34 H = 17 Organizando as informaes, temos: Anlises Idade Tempo Celeste 34 36 15 Haroldo 17 x 10 Assim, se x a idade de Haroldo e a quantidade de anlises diretamente proporcional ao tempo de servio e inversamente proporcional idade de cada funcionrio, ento: Anlises Idade Tempo Celeste 34 36 15 Haroldo 17 x 10 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 8. 8 Questes de Matemtica Aula 2 34 17 = . x 36 15 10 34 . 36 . 10 = x . 15 . 17 34 . 36 . 10 15 . 17 = x 2 . 36 . 2 3 . 1 = x 2 . 12 . 2 = x x = 48 Portanto, a idade de Haroldo estava compreendida entre 45 e 50 anos. Resposta: B 5. (FCC) No vestirio de um hospital h exatamente 30 armrios que so usados por exatamente 30 enfermeiros. Curiosamente, certo dia em que todos os armrios estavam fechados, tais enfermeiros entra- ram no vestirio um aps o outro, adotando o seguinte procedimen- to: O primeiro a entrar abriu todos os armrios; O segundo fechou todos os armrios de nmeros pares (2, 4, 6, ..., 30) e manteve a situao dos demais; O terceiro inverteu a situao a cada trs armrios (3., 6., 9., ..., 30.), ou seja, abriu os que estavam fechados e fechou os que estavam abertos, man- tendo a situao dos demais; O quarto inverteu a situao a cada quatro armrios (4., 8., 12., ... 28.), mantendo a situao dos demais; Da mesma forma, ocorreu sucessivamente o procedimento dos demais enfermeiros. Com certeza, aps a passagem de todos os enfermeiros pelo vestirio, os armrios de nmeros 9, 16 e 28 ficaram, respectivamente: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 9. Questes de Matemtica Aula 2 9 a) aberto, aberto e fechado. b) aberto, fechado e aberto. c) fechado, aberto e aberto. d) aberto, aberto e aberto. e) fechado, fechado e fechado. Soluo: A soluo dessa questo est relacionada divisibilidade. Como exemplo vamos considerar o armrio de nmero 10. Quais enfermeiros abririam ou fechariam o armrio de nmero 10? O 1. enfermeiro abriria o armrio de nmero 10, pois o encontraria fechado. O 2. enfermeiro fecharia o armrio de nmero 10, pois o encontraria aberto. O 5. enfermeiro abriria o armrio de nmero 10, pois o encontraria fechado. O 10. enfermeiro fecharia o armrio de nmero 10, pois o encontraria aberto. Os demais enfermeiros no mexeriam no armrio de nmero 10. Assim, o armrio de nmero 10 ficaria fechado. Os enfermeiros que mexeram no armrio de nmero 10 foram os de nmeros 1, 2, 5 e 10. Que caracterstica em comum os nmeros 1, 2, 5 e 10 apresentam? Todos so divisores positivos de 10. Divisores de 10 1 2 5 10 Incio do Armrio 10: F A F A F Pensando da mesma maneira podemos descobrir como ficariam os arm- rios de nmero 9, 16 e 28. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 10. 10 Questes de Matemtica Aula 2 Armrio 9: Divisores de 9 1 3 9 Incio do Armrio 9: F A F A O armrio 9 ficaria aberto. Armrio 16: Divisores de 16 1 2 4 8 16 Incio do Armrio 16: F A F A F A O armrio 16 ficaria aberto. Armrio 28: Divisores de 28: 1 2 4 7 14 28 Incio do Armrio 28: F A F A F A F O armrio 28 ficaria fechado. Logo, os armrios 9, 16 e 28 ficariam, respectivamente, aberto, aberto e fechado. Resposta: A Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 11. Questes de Matemtica Aula 2 11 6. (FCC) Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mes- mo tipo e, ao longo de um ms, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses micros ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia com- prado e cada um dos 14 micros restantes foi vendido pelo mesmo pre- o de venda de cada um dos outros 80. Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comer- ciante nessa transao foi de: a) 17,5% b) 18,25% c) 20% d) 21,5% e) 22% Soluo: Sejam: x o preo de custo de cada um dos 94 computadores y o preo de venda de cada um dos 80 computadores Se o valor obtido com a venda dos 80 computadores igual ao preo gasto com a compra dos 94 computadores, ento: 80 . y = 94 . x 94 . x 80 y = O valor obtido com a venda dos 94 computadores, cada um ao preo de y reais, dado por: 94 . x 80 94 . y = 94 . = 94 . 94 80 . x O lucro obtido na venda dos 94 computadores igual diferena entre o valor obtido na venda e o correspondente custo destes 94 computadores: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 12. 12 Questes de Matemtica Aula 2 L = 94y 94x 94 . 94 80 L = . x - 94x 94 . 94 . x - 94 . 80 . x 80 L = 94 . (94 - 80) . x 80 L = 94 . (14) . x 80 L = = 14 . 94 80( (. x O resultado indica que o lucro de exatamente 14 vezes o valor de custo de um computador. Assim, o lucro em relao ao custo dado por: 14 . 94 80( (. x 14 . 94 80( (. x 94 . x L C .= = = 1 94 . x 14 80 = 7 40 = 0,175 = 17,5% Portanto, o lucro em relao ao custo igual a 17,5%. Resposta: A 7. (Cesgranrio) As tabelas a seguir relacionam a numerao de roupas e calados femininos no Brasil, nos Estados Unidos da Amrica (EUA) e na Europa. Roupas Femininas Brasil EUA Europa 36 2 34 38 4 36 40 6 38 42 8 40 44 10 42 46 12 44 48 14 46 Calados Femininos Brasil EUA Europa 34 5,5 36 35 6 37 36 7 38 37 7,5 39 38 8,5 40 39 9 41 40 10 42 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 13. Questes de Matemtica Aula 2 13 Observando essas tabelas, conclui-se que: a) numerao de calados femininos no Brasil pode ser expressa em funo da numerao nos EUA e na Europa por meio de funes afim. b) a numerao de roupas femininas no Brasil pode ser expressa em funo da numerao nos EUA e na Europa por meio de funes lineares. c) a funo que exprime a numerao de roupas femininas na Europa em termos da numerao no Brasil f(x) = x 2. d) a funo que exprime a numerao de calados em termos da nu- merao das roupas femininas no Brasil f(x) = x + 2. e) as relaes entre a numerao das roupas e dos calados femini- nos na Europa em funo da respectiva numerao no Brasil po- dem ser estabelecidas pela mesma expresso algbrica. Soluo: a) Falsa, pois para acrscimos de uma unidade na numerao de cal- ados femininos no Brasil, a correspondente numerao nos EUA pode sofrer acrscimos de 0,5 ou de 1,0. b) Falsa, pois a razo entre as numeraes do Brasil e das correspon- dentes numeraes nos EUA e Europa no constante. c) Verdadeira, pois a numerao das roupas na Europa duas unida- des menor do que a numerao no Brasil. d) Falsa, pois a numerao dos calados menor do que a numera- o das roupas. e) Falsa, pois as numeraes das roupas e dos calados femininos na Europa so distintas. Resposta: C 8. (Esaf) Marco e Mauro costumam treinar natao na mesma piscina e no mesmo horrio. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da piscina, nadando um em direo ao outro. Marco vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 14. 14 Questes de Matemtica Aula 2 vai de um lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas vira- das. Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando esto nadando no mesmo sentido, quer quando esto nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos esto fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o nmero de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos : a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20 Soluo: Se Marco demora 45 segundos para percorrer uma piscina, ento em 90 segundos ter percorrido duas piscinas. Nesse mesmo tempo, Mauro per- corre 3 piscinas, pois seu tempo de 30 segundos por piscina. Logo, a cada 90 segundos, ou seja, 1 minuto e 30 segundos, iro se encontrar exatamen- te 3 vezes, pois esse o nmero de piscinas que percorrer o mais lento (Marco). Isto ocorre somente quando ambos partem de lados opostos da piscina. Caso partissem do mesmo lado, no prazo de 1 minuto e 30 segun- dos, ocorreria um encontro a menos, ou seja, seriam apenas 2 encontros. Em 12 minutos, temos 8 perodos de 1 minuto e 30 segundos. No 1., 3., 5. e 7. perodos, seriam 4 . 3 = 12 encontros. No 2., 4., 6. e 8. perodos, 4 . 2 = 8 encontros. Logo, ao todo, seriam 12 + 8 = 20 encontros. Resposta: E 9. (Funrio) Seja f uma funo que tem como domnio o conjunto A = {Ana, Jos, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomnio o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5}. A funo f associa a cada elemento x em A o nmero de letras distintas desse elemento x. Com base nessas informaes, pode- se afirmar que Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 15. Questes de Matemtica Aula 2 15 a) elementos distintos no domnio esto associados a distintos ele- mentos no contradomnio. b) todo elemento do contradomnio est associado a algum elemen- to do domnio. c) f no uma funo. d) f (Maria) = 5. e) f (Pedro) = f (Paulo). Soluo: Pela definio da funo, temos: f(Ana) = 2; f(Jos) = 4; f(Maria) = 4; f(Paulo) = 5 e f(Pedro) = 5 a) Falsa Observe, por exemplo, que f(Jos) = f(Maria) = 4 b) Falsa Observe que existem elementos y B, que no esto associados a quais- quer elementos de x A. Por exemplo, no existe x tal que f(x) = 3. c) Falsa A cada elemento x A existe um nico y B tal que y = f(x). d) Falsa f(Maria) = 4 e) Verdadeira f(Paulo) = f(Pedro) = 5 Resposta: E 10.(Cesgranrio) Um fabricante de leite estabelece a seguinte promoo: 3 caixas vazias do leite podem ser trocadas por uma caixa cheia des- se mesmo produto. Cada caixa contm 1 litro. Comprando-se 11 caixas desse leite, a quantidade mxima, em litros, que pode ser consumida Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 16. 16 Questes de Matemtica Aula 2 a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Soluo: Temos 11 caixas destas onze, 9 podem ser trocadas por mais 3, ou seja, bebemos as 11 e temos duas de saldo que somadas as 3 novas, somam cinco caixas. At agora temos (11+3=14). Destas cinco, trs podem ser trocadas por mais uma (14+1=15) que somadas as duas restantes de cinco possibili- tam mais uma troca (15+1=16). Inclusive o gabarito oficial da prova traz o 16 como resposta correta. Resumindo: 11 possibilitam a troca por mais 3. Saldo anterior 2 + 3 possibilitam a troca por mais 1 Saldo anterior 2+1 possibilitam a troca por mais 1 Temos 11 iniciais + troca 3 + troca 1 + troca 1 = 16 Resposta: D 11. (Funrio) Se IR denota o conjunto dos nmeros reais e f (x) = 2x + 7 e g(x) = x2 2x + 3 so funes de IR em IR, ento a lei de definio da funo composta f o g dada por a) x2 3x +1 b) 2x2 4x +13 c) x4 3x2 + 9 d) 2x4 5x2 + 36 e) x4 x2 + x 1 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 17. Questes de Matemtica Aula 2 17 Soluo: A funo composta (f o g)(x) definida como sendo (f o g)(x) = f(g(x)), para todo x pertencente ao domnio de g. Logo, calculase a imagem de x pela funo g e, em seguida, a imagem de g(x) pela funo f. Assim, temos: (f o g)(x) = f(g(x)) = 2 . g(x) + 7 = 2 . (x2 2x + 3) + 7 = 2x2 4x + 13 Resposta: B 12.(Esaf) Lcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho cami- nhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunio importante, ele saiu de sua casa no preciso tem- po para chegar ao trabalho 8 minutos antes do incio da reunio. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lcio deu-se conta de que se, daque- le ponto, caminhasse de volta sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre mesma velocidade, chegaria atrasado reunio em exatos 10 minutos. Sabendo que a distncia entre o Cine Bristol e a casa de Lcio de 540 metros, a distncia da casa de Lcio a seu local de trabalho igual a: a) 1 200m b) 1 500m c) 1 080m d) 760m e) 1 128m Soluo: A velocidade mdia definida como sendo o quociente entre o desloca- mento e o tempo. Sendo S o deslocamento entre a casa de Lcio e o seu local de trabalho, temos: S m 20 min v= Em outra situao, ele teve que gastar, alm dos 20 minutos que normal- mente gasta para percorrer o trajeto, mais 8 minutos que perdeu para chegar ao horrio e mais 10 minutos em funo do atraso. Entretanto, nessa hipte- Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 18. 18 Questes de Matemtica Aula 2 se, a distncia percorrida aumentou em 540 metros, pois esta era a distncia entre o Cine Bristol e a casa de Lcio. Logo, a velocidade constante tambm pode ser escrita por: (S + 2 . 540) m (20 + 8 + 10) min v= Como as velocidades so iguais, temos: (S + 2 . 540) m (20 + 8 + 10) min = S m 20 min v= S + 1 080 38 = S 20 38S = 20S + 21 600 38S 20S = 21 600 18S = 21 600 S = 1 200m Resposta: A 13.(Cesgranrio) Essa semana, o Banco Central lanou campanha para que a populao use mais moeda e aprenda a identificar notas falsas. Este ano, at agosto, foram apreendidas 251 mil notas falsas, totalizan- do R$12.386.000,00. Desse valor, cerca de 10% correspondiam a notas de 20 reais.O globo, 24 out (Adaptado.). De acordo com essas informaes, quantas notas falsas de 20 reais foram apreendidas at agosto desse ano? a) Menos de 20 mil. b) Entre 20 mil e 40 mil. c) Entre 40 mil e 60 mil. d) Entre 60 mil e 80 mil. e) Mais de 80 mil. Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 19. Questes de Matemtica Aula 2 19 Soluo: Se 10% das 251 mil notas eram falsas e no valor de R$20,00, ento a quan- tidade de notas falsas de 20 reais foi: 0,10 . 251 000 = 25 100 Logo, tal quantidade est entre 20 mil e 40mil. Resposta: B 14.(Esaf) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes h- bitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanas em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Aps, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rgido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice tambm emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confei- taria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, aps essas visitas a esses quatro familiares, com relao ao peso imediatamente anterior ao incio dessa sequncia de visitas, ficou: a) exatamente igual. b) 5% maior. c) 5% menor. d) 10% menor e) 10% maior. Soluo: Para aumentar uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar o valor de x por 1,20, observe: x + 0,20 . x = x . (1 + 0,20) = x . 1,20 Para reduzir uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar o valor de x por 0,80: x 0,20 . x = x . (1 0,20) = x . 0,80 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 20. 20 Questes de Matemtica Aula 2 De forma anloga, para aumentar em 25% uma quantidade, bastaria mul- tiplicar tal quantidade por 1,25 e, para reduzir em 25% uma quantidade, bas- taria multiplicar por 0,75. Desta forma, supondo que o peso de Alice fosse igual a A, no incio da viagem, e que ela tivesse apresentado as variaes informadas no enunciado, teramos: A . (0,80) . (1,20) . (0,75) . (1,25) = 0,90 . A Observando que 0,90A 1A = 0,10A, concluise que ela ficou com um peso 10% menor do que o apresentado no incio das visitas. Resposta: D 15.(Funrio) Um comerciante, em uma promoo relmpago, concedeu 15% de desconto sobre certa mercadoria. Para uma cliente que apro- veitou a promoo, ele concedeu mais 5% de desconto sobre o valor de promoo, a ttulo de pagamento vista. Tendo comprado a mer- cadoria vista, a cliente recebeu um desconto total, com respeito ao valor inicial sem promoo, de a) 19% b) 19,25% c) 19,50% d) 20% e) 20,25% Soluo: Para reduzir uma quantidade x em 15% basta multiplicar o valor de x por 0,85: x 0,15 . x = x . (1 0,15) = x . 0,85 Para reduzir uma quantidade x em 5% basta multiplicar o valor de x por 0,95: x 0,05 . x = x . (1 0,05) = x . 0,95 Logo, se uma mercadoria custava x reais e sofreu dois descontos sucessi- vos de 15% e 5%, respectivamente, teramos: x . (0,85) . (0,95) = x . 0,8075 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 21. Questes de Matemtica Aula 2 21 O desconto total foi de 0,8075x 1x = 0,1925x, ou seja, 19,25% sobre x. Resposta: B 16.(Esaf) Os ngulos de um tringulo encontram-se na razo 2:3:4. O ngulo maior do tringulo, portanto, igual a: a) 40 b) 70 c) 75 d) 80 e) 90 Soluo: Supondo que os trs ngulos internos do tringulo tenham medidas iguais a , e , respectivamente, temos: + + = 180 Se tais ngulos encontramse na razo 2:3:4, temos: 2 3 4 = = = + + 2 + 3 + 4 = 180 9 = 20 Logo: 2 = 20 = 2 . 20 = 40 3 = 20 = 3 . 20 = 60 4 = 20 = 4 . 20 = 80 Assim, o maior ngulo do tringulo mede 80.. Resposta: D Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 22. 22 Questes de Matemtica Aula 2 17.(Funrio) Cada torneira enche um tanque em 3 horas e um ralo leva 4 horas para esvazi-lo. Estando o tanque inicialmente vazio e duas torneiras e o ralo abertos, em quanto tempo o tanque ficar cheio? a) 2h b) 2h12min c) 2h36min d) 2h24min e) 2h48min Soluo: Vamos supor que a medida do tanque seja unitria, ou seja, igual a 1. Cada torneira enche um tero do tanque em uma hora. O ralo esvazia um quarto do tanque em uma hora. Logo, sendo x o tempo, em horas, em que o tanque ficar cheio, sendo abertas duas torneiras e um ralo, temos: 1 3 1 3 1 4 1 x =+ - 4 + 4 -3 12 1 x = 5 12 1 x = 5x = 12 x = 2,4 horas x = 2h + (0,4 . 60)min x = 2h + 24min Resposta: D Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 23. Questes de Matemtica Aula 2 23 18.(Esaf) Um avio XIS decola s 13h00 e voa a uma velocidade constante de x quilmetros por hora. Um avio YPS decola s 13h30 e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilmetros por hora. Sabendo que yx, o tempo, em horas, que o avioYPS, aps sua decolagem, levar para alcanar o avio XIS igual a a) 2 / (x+y) horas. b) x / (y-x) horas. c) 1 / 2x horas. d) 1/ 2y horas. e) x / 2 (y-x) horas. Soluo: Vamos supor que as decolagens tenham ocorrido no mesmo dia. O avio YPS, por ter decolado meia hora depois do avio XIS, precisar percorrer a mesma distncia em meia hora a menos. Assim, se a velocidade do avio YPS y (em km/h) e, supondo, que o des- locamento seja igual S (em km) e que o tempo at o encontro seja igual a t (em horas), temos: y = S = yt S t Se a velocidade do avio XIS x (em km/h), o deslocamento igual a S (em km) e que o tempo at o encontro seja igual a t + 1 2 , temos: x = S = x . S t + 1 2 t + 1 2 (( Como os deslocamentos devem ser iguais, temos: x . = ytt + 1 2 (( x . = yt 2t + 1 2 (( Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 24. 24 Questes de Matemtica Aula 2 2xt + x = 2yt x = 2yt 2xt x = 2t . (y x) t = x 2 . (y - x) Resposta: E 19.(Cesgranrio) Manter uma televiso ligada trs horas por dia, durante 30 dias, consome 9,9 kWh de energia. Quantos kWh de energia sero consumidos por uma TV que permanecer ligada quatro horas por dia, durante 20 dias? a) 6,6 b) 6,8 c) 7,2 d) 8,8 e) 9,2 Soluo: Vamos relacionar as grandezas e resolver o problema por meio de uma regra de trs composta: Dias Horas kWh 30 3 9,9 20 4 x As grandezas dias e kWh so diretamente proporcionais, pois aumen- tando-se uma delas, a outra aumentar na mesma proporo, bem como as grandezas horas e kWh. Logo, podemos escrever: 3 4 . = 9,9 x 30 20 90 80 = 9,9 x Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 25. Questes de Matemtica Aula 2 25 9 8 = 9,9 x 9x = 8 . 9,9 x = 8 . 1,1 x = 8,8 Logo, 8,8 kWh de energia sero consumidos por uma TV que permanecer ligada quatro horas por dia, durante 20 dias. Resposta: D 20.(Esaf) Em um certo aeroporto, Ana caminhava razo de um me- tro por segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que se movimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou andando no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extenso da es- teira. Se Ana no tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, o tempo que levaria para ser transportada do incio ao fim da esteira seria igual a a) 1 minuto e 20 segundos. b) 1 minuto e 24 segundos. c) 1 minuto e 30 segundos. d) 1 minuto e 40 segundos. e) 2 minutos. Soluo: Velocidade de Ana: VA = 210 m 210 s = 1,0 m/s Velocidade de Ana + esteira: VA+E = 210 m 60 s = 3,5 m/s Velocidade da esteira: VE = VA+E - VA = 3,5m/s - 1,0 m/s = 2,5 m/s Logo, para percorrer 210 metros sem caminhar sobre a esteira, gastaria um tempo dado por: Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 26. 26 Questes de Matemtica Aula 2 2,5 m 1 s = x = = 84 s = 60 s + 24 s = 1 minuto e 24 segundos 210 m x s 210 m 2,5 Resposta: B 21.(Cesgranrio) Um comerciante aumentou em 20% o preo de suas mercadorias. Com isso, as vendas diminuram, e ele resolveu oferecer aos clientes um desconto de 30% sobre o preo com aumento. Desse modo, qual , em reais, o preo com desconto de uma mercadoria que inicialmente custava R$200,00? a) 144,00 b) 168,00 c) 180,00 d) 188,00 e) 196,00 Soluo: Para aumentar uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar o valor de x por 1,20, observe: x + 0,20 . x = x . (1 + 0,20) = x . 1,20 Para reduzir uma quantidade x em 30%, por exemplo, basta multiplicar o valor de x por 0,70: x 0,30 . x = x . (1 0,30) = x . 0,70 Logo, aps um aumento de 20% e uma reduo de 30%, uma quantidade x ser dada por: x . (1,20) . (0,70) = x . 0,84 Se a mercadoria custava R$200,00 no incio, ento aps o aumento e a reduo custar: 0,84 . R$200,00 = R$168,00 Resposta: B Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 27. Questes de Matemtica Aula 2 27 22.(Esaf) Se Y diferente de zero, e se X Y = 4 , ento a razo de 2X Y para X, em termos percentuais, igual a: a) 75% b) 25% c) 57% d) 175% e) 200% Soluo: Se X Y = 4 , ento X = 4Y, logo: 2 . (4Y) - Y 4Y = = = 1,75 = = 175% 2X - Y X 7Y 4Y 175 100 Resposta: D 23.(Cesgranrio) Uma mquina produz 1 200 peas em 4 horas. Quantas mquinas iguais a essa devem funcionar juntas, durante 3 horas, para que sejam produzidas 8 100 peas no total? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Soluo: Se uma mquina produz 1 200 peas em 4 horas, ento ela produz 300 peas em 1 hora. Logo, 1 mquina, em 3 horas, produzir 3 . 300 = 900 peas. Se cada mquina, em 3 horas, produz 900 peas, ento para que sejam pro- duzidas 8 100 peas, sero necessrias 8100 900 = 9 mquinas. Resposta: E Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 28. 28 Questes de Matemtica Aula 2 24.(Esaf) A receita bruta total de uma empresa diretamente propor- cional ao quadrado da tera parte das quantidades vendidas. Sabe-se que quando so vendidas 6 unidades, a receita total bruta igual a 40. Assim, quando se vender 3 unidades, a receita bruta ser igual a: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 Soluo: Supondo que a quantidade vendida seja representada por Q e a receita bruta correspondente por R, temos: = k R Q 3 (( 2 em que k a constante de proporcionalidade. A constante k pode ser obtida substituindo-se Q = 6 e R = 40: = k = k = k k = 10 40 6 3 (( 2 40 (2)2 40 4 Desta forma, podemos escrever: = 10 R = 10 . R Q 3 (( 2 Q 3 (( 2 Logo, para Q = 3, temos: R = 10 . = 10 . (1)2 = 10 . 1 = 10 3 3 (( 2 Resposta: A Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 29. Questes de Matemtica Aula 2 29 25.(Cesgranrio) Ao receber seu dcimo terceiro salrio, Mrio o dividiu em duas partes, diretamente proporcionais a 4 e a 7. Ele depositou a menor parte na poupana e gastou o restante em compras de Natal. Se Mrio depositou R$560,00 na poupana, quanto ele recebeu de d- cimo terceiro salrio, em reais? a) 800,00 b) 960,00 c) 1.200,00 d) 1.400,00 e) 1.540,00 Soluo: Sejam P a quantia depositada na poupana, N a quantia gasta nas com- pras de Natal e S o valor do 13. salrio. Se P diretamente proporcional a 4 e N diretamente proporcional a 7, ento: P 4 N 7 = = P + N 4 + 7 = S 11 Se P = R$560,00, ento: 560,00 4 S 11 = S = . 560,00 = 1.540,00 11 4 Resposta: E 26.(Esaf) Em uma escola de msica, exatamente 1/4 do nmero total de vagas destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino so destinadas para o turno diurno. Um pos- svel valor para o nmero total de vagas da escola : a) 160 b) 164 c) 168 d) 172 e) 185 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 30. 30 Questes de Matemtica Aula 2 Soluo: Seja V o nmero total de vagas da escola, V IN. Se 1/4 do nmero total de vagas destinado para cursos de violino, ento: V 4 vagas so destinadas ao curso de violino Se 1/8 das vagas para os cursos de violino so destinadas para o turno diurno, ento: V 4 8 V 4 = . = 1 8 V 32 vagas so destinadas ao turno diurno ComoV um nmero natural a quantidade total de vagas deve ser neces- sariamente um nmero divisvel por 32. Dentre as alternativas apresentadas apenas 160 divisvel por 32. Resposta: A Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br