Campo e Potencial Elétrico numa Região do Espaço Confinado por ...
Potencial Elétrico - SisNe
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5910233 – Física III (teórica) – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 8
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Potencial Elétrico
Quando estudamos campo elétrico nas aulas passadas, vimos que ele
pode ser definido em termos da força elétrica 𝐹 que uma carga q
exerce sobre uma carga de prova q0. Essa força é, pela lei de
Coulomb,
𝐹 =1
4𝜋𝜀!𝑞𝑞!𝑟!
𝑟,
e dividindo-se pela carga de prova q0 temos o campo elétrico 𝐸:
𝐸 =1
4𝜋𝜀!𝑞𝑟!𝑟.
Note que a força elétrica é um conceito associado à carga que sente
a força (q0) e à carga (ou cargas) que produz (ou produzem) a força,
q (ou q1, q2, etc). Já o campo elétrico é um conceito associado
apenas à carga (ou cargas) que produz (ou produzem) o campo. O
campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas num dado
ponto do espaço existe nesse ponto mesmo que não seja colocada
nenhuma carga de prova nele.
Da mesma forma, o conceito de energia potencial elétrica
introduzido na aula passada está associado à carga de prova q0 e às
cargas que fazem forças sobre ela. A equação (10) da aula passada é:
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𝑈 =𝑞!4𝜋𝜀!
𝑞!𝑟!. (1)
𝑵
!!!
Assim como no caso do campo elétrico, podemos definir uma nova
grandeza a partir de U que não dependa da carga de prova q0 (basta
dividir por q0). Esta nova grandeza é chamada de potencial elétrico
V:
𝑉 =1
4𝜋𝜀!𝑞!𝑟!. (2)
𝑵
!!!
Podemos dizer então que uma distribuição de cargas gera num dado
ponto do espaço P um potencial elétrico cujo valor é igual ao da
energia potencial elétrica associada a essa distribuição de cargas e a
uma carga de prova q0 colocada em P dividido por q0:
𝑉 =𝑈𝑞! ou 𝑈 = 𝑞!𝑉. (3)
Pela equação acima, vemos que a unidade do potencial elétrico é
J/C. Esta unidade é chamada de volt (símbolo V) em homenagem ao
físico italiano Alessandro Volta (1745-1827), inventor da primeira
pilha elétrica.
O potencial elétrico também pode ser definido em termos do
trabalho para levar uma carga q0 de um ponto a a um ponto b (veja a
figura abaixo).
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Como U = q0V, ΔU = q0ΔV. Logo,
𝑊!→! = −𝑞!Δ𝑉
e 𝑊!→!
𝑞!= − 𝑉! − 𝑉! = 𝑉! − 𝑉! ≡ 𝑉!" . (4)
Define-se:
Va = potencial no ponto a e Vb = potencial no ponto b;
Vab = Va − Vb = potencial de a em relação a b.
Pode-se usar (4) para definir Vab como o trabalho feito pela força
elétrica quando uma carga unitária (q0 = 1) se desloca de a para b.
Potencial de uma carga puntiforme
Quando há apenas uma carga puntiforme q no espaço, o potencial
elétrico gerado por ela em um ponto a uma distância r do seu centro
(veja abaixo) é, pela equação (2):
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𝑉 𝑟 =1
4𝜋𝜀!𝑞𝑟. (5)
Portanto, se q > 0, V > 0 em todos os pontos do espaço e, se q < 0, V
< 0 em todos os pontos do espaço. Independentemente do sinal da
carga q, quando r → ∞, V → 0.
Potencial de um conjunto de cargas
Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico gerado por um
conjunto de cargas puntiformes em um dado ponto P do espaço
(veja a figura abaixo) é dado pela soma dos potenciais gerados por
cada carga individualmente:
𝑉 =1
4𝜋𝜀!𝑞!𝑟! . (6)
!
!!!
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Se, ao invés de um conjunto de N cargas puntiformes, tivermos uma
distribuição contínua de cargas (veja abaixo) o potencial elétrico
será dado por:
𝑉 =1
4𝜋𝜀!𝑑𝑞𝑟 . (7)
Relação entre V e E
Pela definição de trabalho,
𝑊!→! = 𝐹 ∙ 𝑑ℓ𝓁!
!= 𝑞!𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁 .
!
!
Portanto, de (4) temos:
𝑉!" = 𝑉! − 𝑉! =𝑊!→!
𝑞!= 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁
!
!. (8)
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A equação (8) estabelece uma maneira de relacionar V e 𝐸: O
potencial de a em relação a b é igual à integral de linha do campo
elétrico 𝐸 de a para b. Como a força elétrica é conservativa, essa
integral independe da trajetória.
De (8) temos que:
Quando 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!! > 0⟹ 𝑉! − 𝑉! > 0⟹ 𝑉! > 𝑉! . (V diminui de a para b)
Quando 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!! < 0⟹ 𝑉! − 𝑉! < 0⟹ 𝑉! < 𝑉! . (V cresce de a para b)
Para entender melhor esta relação entre V e 𝐸, consideremos o caso
de uma carga puntiforme.
a) Carga puntiforme positiva:
A integral 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!! entre a e b é (note que 𝐸 = 𝐸(𝑟)𝑟 e
𝑑ℓ𝓁 = 𝑑𝑟𝑟):
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𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!
!= 𝐸 𝑟 𝑑𝑟𝑟 ∙ 𝑟
!
!= 𝐸 𝑟 𝑑𝑟
!
!=
14𝜋𝜀!
𝑑𝑟𝑟!
!
!
=1
4𝜋𝜀!1𝑟!−1𝑟!
.
Como ra < rb, 1/ra > 1/rb e a integral é positiva. Isto quer dizer que
𝑉! − 𝑉! > 0 ou 𝑉! > 𝑉!.
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva
diminui quando nos afastamos da carga.
Em outras palavras:
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva
diminui quando nos movemos no mesmo sentido do campo elétrico.
b) Carga puntiforme negativa:
Neste caso, a integral 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁!! entre a e b é !
!!!!
!!!− !
!! < 0
(mostre como exercício). Portanto:
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𝑉! − 𝑉! < 0 ou 𝑉! < 𝑉!.
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme negativa
aumenta quando nos afastamos da carga.
Em outras palavras:
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme negativa
diminui quando nos movemos no mesmo sentido do campo elétrico.
Note que as conclusões obtidas para o que acontece com o potencial
elétrico quando nos movimentamos no sentido do campo elétrico
são as mesmas nos dois casos. Esta é uma regra geral que relaciona
o potencial elétrico ao campo elétrico:
O potencial elétrico V diminui quando o movimento se dá no
mesmo sentido do campo elétrico 𝑬.
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O potencial elétrico é uma grandeza tão importante em eletricidade
que é costume medir outras grandezas em termos da unidade de V
(volt).
Por exemplo, costuma-se dar o valor do campo elétrico em
volts/metro (V/m) ao invés de em newtons/coulomb (N/C):
1 V/m = 1 N/C.
Como outro exemplo, costuma-se medir energia em termos da
variação da energia potencial elétrica que um elétron sofre quando
se move por uma diferença de potencial de um volt.
Imagine uma situação como a ilustrada abaixo em que um elétron se
move entre dois pontos a e b com uma diferença de potencial entre
eles igual a 1 volt:
O trabalho da força elétrica sobre o elétron é:
𝑊!⟶! = −Δ𝑈.
De (4), temos também que:
𝑊!⟶! = 𝑞! 𝑉! − 𝑉! .
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Combinando essas duas expressões:
−Δ𝑈 = 𝑞! 𝑉! − 𝑉! .
Fazendo q0 = −e = −1,602 × 10−19 C e (Va − Vb) = 1 V:
ΔU = (1,602 × 10−19 C)(1 V) = 1,602 × 10−19 J.
Esta quantidade é definida como elétron-volt (eV):
1 eV ≡ 1,602 × 10−19 J. (9)
O elétron-volt é uma unidade de energia muito usada,
principalmente em física de partículas elementares.
Cálculo do potencial elétrico
Em geral, há duas maneiras de se calcular o potencial elétrico:
• Quando se conhece a distribuição de cargas, usa-se a equação
(6) ou a (7) para calcular V.
• Quando se conhece o campo elétrico, usa-se a equação (8) para
calcular V. Neste caso, note que a equação dá Va − Vb e
costuma-se escolher o ponto b como um ponto onde o
potencial vale zero. Essa escolha é arbitrária e depende do
problema.
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Para ilustrar o segundo método, vamos calcular o potencial em um
ponto a a uma distância r de uma carga puntiforme q (veja abaixo):
De (8) temos:
𝑉!" = 𝑉! − 𝑉! =𝑊!→!
𝑞!= 𝐸 ∙ 𝑑ℓ𝓁
!
!= 𝐸 𝑟 𝑑𝑟.
!
!
Neste caso, o potencial vale zero no infinito, portanto podemos fazer
b = ∞. Logo, Vb = 0 e então:
𝑉! − 𝑉! = 𝑉! = 𝐸 𝑟 𝑑𝑟.!
!
O cálculo da integral nos dá:
𝐸 𝑟 𝑑𝑟!
!=
𝑞4𝜋𝜀!
𝑑𝑟𝑟!
=!
!
𝑞4𝜋𝜀!
−1∞− −
1𝑟
=𝑞
4𝜋𝜀!1𝑟,
e então:
𝑉! = 𝑉 𝑟 =1
4𝜋𝜀!𝑞𝑟.
Este é o mesmo resultado que já tínhamos obtido anteriormente
(equação 5), só que agora utilizamos o método da integral do campo
elétrico.
Estude os exemplos de 23.4 a 23.7 do livro de Young & Freedman
indicado no Roteiro.
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Superfícies equipotenciais
Uma maneira conveniente de representar os potenciais elétricos em
diversos pontos do espaço onde há um campo elétrico é pelo uso das
chamadas superfícies equipotenciais.
A ideia é a mesma das linhas de contorno dos mapas topográficos.
As linhas de contorno em um mapa topográfico indicam pontos que
estão à mesma altitude (veja a figura abaixo).
Uma superfície equipotencial é uma superfície sobre a qual o
potencial elétrico tem o mesmo valor. O potencial é constante sobre
uma superfície equipotencial.
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As figuras 23.24 e 23.25 do livro de Sears e Freedman mostram
alguns exemplos de superfícies equipotenciais. Pode-se também ver
muitos exemplos na internet (faça uma busca com as expressões
“superfície equipotencial” ou “equipotential surface” no Google).
Observe que as superfícies equipotenciais nunca se cruzam. Isto
ocorre porque um ponto não pode ter dois valores diferentes de
potencial.
Quando uma carga elétrica q0 se desloca sobre uma superfície
equipotencial, a energia potencial elétrica U = q0V permanece
constante. Como a energia potencial não varia ao longo de uma
superfície equipotencial, o campo elétrico não realiza trabalho sobre
a carga q0 quando ele se move sobre essa superfície. Portanto, 𝐸
deve ser perpendicular à superfície equipotencial em todos os seus
pontos.
As superfícies equipotenciais e os vetores campo elétrico são sempre
mutuamente perpendiculares.
Observe que as figuras 23.24 e 23.25 do livro de Young e Freedman
também mostram as linhas de campo elétrico. Note que elas são
sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais.
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A figura abaixo ilustra o caso de um campo uniforme no interior de
duas placas condutoras planas e carregadas com mesma carga, mas
de sinais diferentes. O campo elétrico no interior das placas é
uniforme e perpendicular às placas. As superfícies equipotenciais
são planos perpendiculares às linhas de campo (paralelas às placas).
Vimos nos exercícios da aula 6 que o campo elétrico é perpendicular
à superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático.
Portanto, no equilíbrio eletrostático a superfície de um condutor é
uma superfície equipotencial.