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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II

1

MODULAÇÃO EM AMPLITUDE Vamos iniciar o processo a partir de uma expressão que define sinais de tensão cossenoidais no tempo, expressos genericamente por :

e t E tx x x( ) cos ( )= ω onde e tx ( ) → uma tensão senoidal qualquer Ex → amplitude do sinal ωx → velocidade angular, expressa por → =ω πx xf2 Para a onda portadora e o sinal modulante vamos usar as seguintes expressões :

ulantesinaltEteportadoraondatEte

mmm

PPp

mod)(cos)()(cos)(

→=

→=

ωω

Considerando - se estas definições preliminares, vamos então passar ao processo de Modulação em Amplitude propriamente dito : Tomemos uma onda portadora onde : e t E te t E t

P P P

m m m

( ) cos ( )( ) cos ( )

==

ωω

com ω π ω πP P m mf e f= =2 2 sinal modulado será :

[ ]e t E e t ou e t E t e tP m P P P m P( ) cos ( ) ( ) cos ( ) cos ( )= + → = +ω ω ω


2

Modelo e tP ( ) Sistema e t( ) x cos ( )ωP t Este sinal modulado representa o PRINCÍPIO DA MODULAÇÃO AM - DSB ( Amplitude - Dupla Banda Lateral ), pois neste tipo de modulação consiste no fato de que o sinal modulante interfere exclusiva e diretamente na amplitude da portadora Ep. Desta forma :

[ ]e t E E t tP m m P( ) cos ( ) cos ( )= + ω ω que também pode ser escrita como

e t EEE

t tPm

Pm P( ) cos ( ) cos ( )= +

1 ω ω

onde podemos definir EE

m

P como índice de modulação que será expresso por m , assim :

mEE

m

P= ⇒ Índice de Modulação

Desta forma [ ]⇒ = +e t E m t tP m P( ) cos ( ) cos ( )1 ω ω ou

[ ]⇒ = +e t E mE t tP P m P( ) cos ( ) cos ( )ω ω ⇒ resultando


3

⇒ = +e t E t mE t tP P P m P( ) cos ( ) cos ( ) cos ( )ω ω ω Lembrando da relação trigonométrica

cos cosh cos( ) cos( )a b a b a b= + + −12

12

podemos escrever finalmente

e t E tmE

tmE

t

Portadora Banda lateral Banda LateralSuperior Inferior

P PP

P mP

P m( ) cos ( ) cos( ) cos( )= + + + −

⇓ ⇓ ⇓

ω ω ω ω ω2 2

Formas de Onda


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Pela equação [ ]e t E e t tP m P( ) ( ) cos ( )= + ω , no instante t e t Em m= ⇒ =0 ( ) , assim : e t E EP m( ) = + A medida que o tempo varia, o valor instantâneo ( não da função ) vai mudando com a frequência fm e o valor instantâneo da função varia com a frequência fp. Desta forma tomando - se (a) e (b) pode-se compor a forma de onda em ©. Análise Espectográfica É bastante provável que até hoje, você só tenha analisado uma grandeza elétrica como função do tempo ou seja através de uma forma de onda . Neste caso a variável independente utilizada foi o tempo, pois normalmente as grandezas elétricas são funções continuas no tempo. Porém é importante que se saiba que nem só o tempo pode ser usado como variável independente na representação de grandezas elétricas. Muitos são os casos em que a velocidade angular ω e a frequência f são as variáveis independentes mais indicadas. Da mesma forma que o gráfico em função do tempo é chamado de “forma de onda”, um gráfico em função da velocidade angular ou da frequência é chamado de “Espectro”. Pode-se definir o espectro em : a) Amplitude b) Fase


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GRÁFICO DO ESPECTRO e t( ) EP mEP

2 mEP

2

0 f i fC f S f Hz( ) Potência do Sinal AM-DSB A potência do sinal será dada por :

Pe t

R TE t dtP

T

= = +∫( )

cos( )2

00

0

21

ω φ , com R = 1Ω valor normalizado

PET

t dtPT

= + =∫2

00

0

20

cos( )ω φ ET

t dtPT2

0

20

0

0

cos ( )ω φ∫ + =

cos cos2 2 12A A= − 0

PET

tdtP

T

=+ +

=∫2

0

0

0

1 2 22

0 cos( )ω φ

ET

dtt dtP

T T2

0 00

022 2

0 0

∫ ∫+ + =cos( )ω φ

[ ]ET

t ET

TEP

TP P

2

0 0

2

00

2

2 20

2

0

= − =

PE

PP=

2

2 que é a potência da portadora


6

A potência das bandas laterais decorrem do espectro do sinal e será dada por :

P

mE

BLS

P

=

2

2

2

→ Banda Lateral Superior

P

mE

BLI

P

=

→2

2

2

Banda Lateral Inferior

Potência Total ⇒ = + + =PE m E m E

TP P P

2 2 2 2 2

2 8 8

PE m E

TP P= +

2 2 2

2 4 Potência AM-DSB

Espectro Potência do Sinal AM-DSB PT

E p2

2

m E p

2 2

8 m E p

2 2

8

f fp m− f p f fp m+


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MODULAÇÃO AM - DSB/SC A modulação AM - DSB/SC surgiu como uma forma de se economizar a potência utilizada pela portadora no sistema AM-DSB, que é no mínimo 67% da potência total do sinal modulado. • sistema AM-DSB/SC tem por princípio para economia de potência, a supressão da

portadora, fazendo com que a potência do sinal modulado seja destinado às raias de informação.

A obtenção desse sinal é simples e baseia-se na propriedade trigonométrica de que um produto entre duas cossenoides gera outro par de cossenoides com frequência da soma e da diferença entre as frequências das cossenoídes originais. Assim : e t K e t e tm p( ) ( ) ( )= onde: K → constante do modulador, que permite a multiplicação de duas tensões resultar outra tensão. e t K E t E tm m p( ) cos ( ) cos( )= ω e t K E E t tm p m( ) cos ( ) cos( )= ω

mas : cos cosh cos( ) cos( )a b a b a b= + + −12

12

Então :

e t KE E t tm p p m p m( ) cos ( ) cos ( )= − + +

12

12

ω ω ω ω

que resulta finalmente :

e tKE E

tKE E

tm pp m

m pp m( ) cos ( ) cos( )= − + +

2 2ω ω ω ω

que representa a expressão do sinal modulado AM-DSB/SC


8

Exemplo do processo de modulação AM-DSB/SC ANÁLISE DOS ESPECTROS 1) Sinal modulante 2) Portadora em ep Em E p f m f p 3) Sinal Modulado e kE Ep m

2 kE Ep m

2 f fp m− f p f fp m+ 4) Potência do Sinal AM-DSB/SC Pm

k E Em p

2 2 2

8

k E Em p2 2 2

8

f fp m− f fp m+


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Observar que a potência contida no sinal modulado pertence as raias que contém informação, já que não há raia na frequência da portadora. Desta forma, não há sentido, em qualquer comentário a respeito do rendimento da transmissão, uma vez que ele será de 100% distribuído entre as duas bandas laterais. FREQUÊNCIA INTERMEDIÁRIA É uma frequência fixa e pré-determinada, cuja função é evitar a alteração da banda passante com a variação da frequência. Isto é possível, uma vez que a etapa de RF do receptor funciona como um filtro que seleciona a estação desejada e em conjunto com a mesma é variada a frequência de oscilação do oscilador local. Como a frequência do sinal gerado pelo oscilador local varia juntamente com a frequência de sintonia da etapa de RF, é possivel manter a diferença entre elas sempre constante igual a frequência intermediária. Assim : f f fOL RF FI= + onde : f OL = frequência oscilador local

f RF = freqüência sintonia da Etapa de RF f FI = freqüência Intermediária Modelo Ideal

DETRF X DETFI

AUDIO


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EXERCÍCIOS 1) Um receptor para radiodifusão comercial AM-DSB (faixa de 535 a 1650KHz) trabalha

com um capacitor variável de seção dupla, cujos valores encontram-se entre 30 pF a 300 pF. Determinar o valor da indutância do Oscilador Local, sabendo - se que quando sintonizamos a etapa de RF em 1100 KHz, ocorre um erro de rastreio de +3 KHz na sintonia.

Teoricamente : f f fOL RF FI= +

f f fOL RF FI= + +ε ⇒ =ε erro de rastreio

f f f f KHzOL RF FI OL= + + ⇒ = + + =ε 1100 455 3 1558

Quando calculamos o valor da indutância do Oscilador Local, precisamos saber que valor está posicionado o capacitor variável de sintonia e esta informação pode ser dada pela etapa de RF.

No extremo inferior da faixa ⇒ = ⇒ =−

f KHzL

Rmin 535 535 101

2 300 103

12.

. .π

L H= 295µ Assim para f KHzR =1100 1100 10 1

2 300 1069 83

6.

. .,= ⇒ =

−π CC pF

Este valor é usado tanto para a etapa de RF quanto para o Oscilador Local Desta forma para a frequência na qual está sintonizado o Oscilador Local : 1558 10 1

2 69 8 101473

12.

. , .= ⇒ =

−πµ

LL H

2) Um teste de controle de qualidade de um receptor AM-DSB leva em consideração que o

erro de rastreio não deve provocar atenuação maior que 3 dBna frequência da portadora do sinal recebido. Para um receptor com os seguintes parâmetros :

C pF a pFv → 45 450


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indutância da RF L H

R fS

=

= +

−

200

10 27 10 3

µ

. . ( dependência de RS com a frequência )

Determinar qual o máximo erro de rastreio permissível quando o valor de Cv for 300 pF. Solução : Para C pF temosv = 300 , : f KHzR = =

− −

1

2 200 10 300 10649 7

6 12π . . .,

Nessa frequência, o valor de RS será : RS = + =−10 27 10 649 7 10 3183 3. . , . , Ω Assim :

QXR

L

S= = =

−2 649 7 10 200 1031 7

263 6π . , . . .,

A banda passante será : ⇒ = = =BfQ

KHzR 649 7 1026

253, .

Desta forma a resposta da RF será : 0dB 3dB 649 7, f KHz( ) 25 KHz A atenuação de 3 dB está compreendida dentro da banda passante da RF, com desvios de ± 12,5 KHz em relação a frequência de 649,7 KHz. Assim podemos ter para f KHzR = 649 7, no máximo ε = ±12 5, KHz


12

É evidente que em receptores de qualidade razoável se conseguem erros de rastreio de ordens de grandeza bem menores que o valor encontrado neste exemplo, conseguindo -se atenuações bem menores que 3 dB, devidas ao erro de rastreio.


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MODULADORES Moduladores AM Consideremos o caso de um dispositivo que opera usando a lei de potências, ou seja, um dispositivo não linear com características de transferência do tipo que obedece alei de potências : v a v a vS e e= +1 2

2

omitindo-se os termos de ordem superior, pressupõe-se portanto um dispositivo com lei quadrática. Assim se → = +v t x t te P( ) ( ) cosω teremos:

[ ]v a x t a t a x t tS P P= + +1 1 2

2( ) cos ( ) cosω ω

[ ]v a x t a t a x t x t t tS P P P= + + + +1 1 2

2 22( ) cos ( ) ( ) cos cosω ω ω v a x t a t aS P= + +1 1 2( ) cosω x t a x t t a tP P( ) ( ) cos cos2

2 222+ +ω ω

= [ ]a x t a x t t a a x t a tP P1 2

21 2 2

22( ) ( ) cos ( ) cos+ + + +ω ω = [ ]a x t a x t a t t a a x tP P1 2

22

21 22( ) ( ) cos cos ( )+ + + +ω ω

= a x t a x t a t aaa

x t tP P1 22

22

12

11

2( ) ( ) cos ( ) cos+ + + +

ω ω

O último fator é a onda AM desejada com A e maaP = =1

2 2

1, desde que possa ser

separado do restante. Assim teremos o espectro de [ ]V f v tS S( ) ( )= ℑ usando X f( )


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O termo x t2 ( ) corresponde x f x f( ) * ( ) com banda limitada em 2W. Assim se f P >3W não há superposição espectral, de tal modo que a separação necessária pode ser implementada usando-se um filtro passa - faixa com banda B=2W centrada em f P .

Uma versão prática possível de circuito é mostrado abaixo com esquema de um modulador completo utilizando um transistor de efeito de campo FET. A bateria Vg polariza o FET na região de saturação, onde esse componente segue a lei quadrática e o circuito RLC paralelo serve como filtro passa-faixa. Como há necessidade de uma filtragem apurada, os moduladores desta família ( lei de Potências ) são usados principalmente em modulação de baixo nível ou seja níveis de potência inferiores aos do valor a transmitir. Devemos então ter uma amplificação linear substancial para elevar a potência até PT ( Potência média transmitida ). Entretanto amplificadores de potência para RF com linearidade desejada constituem problemas e é sempre melhor essa modulação de alto nível caso PT seja elevada. Figura do circuito modulador


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Moduladores não Lineares A característica típica de um modulador com dispositivo não linear é mostrado na figura a seguir :

Um semicondutor diodo ou transistor é um exemplo de dispositivo não linear. As características não lineares destes dispositivos podem ser aproximadas por uma série de potência do tipo : i ae be= + 2 ( lei quadrática de potências ) Para analisar o circuito acima , consideramos que o elemento não linear está em série com o resistor R, compondo um elemento não linear cuja tensão de saída é e e a corrente i é descrita pela série de potência acima. As voltagens e e e1 2 são dadas por : e t m te t m t

c

c

1

2

= += −

cos ( )cos ( )

ωω onde ⇒

m t sinal ulantet portadorac

( ) modcos

==ω

Portanto as correntes i e i1 2 são dadas por : i ae be1 1 1

2= +

[ ] [ ]= + + +a t m t b t m tc ccos ( ) cos ( )ω ω2

e [ ] [ ]i a t m t b t m tc c2

2= − + −cos ( ) cos ( )ω ω

A tensão de saída v0 será dada por :


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[ ]v i R i R R b m t t am tc0 1 2 2 2= − = +. . . ( ) cos ( )ω • sinal a m t. ( ) nesta equação pode ser filtrado, usando-=se um filtro passa-banda

sintonizado em ωc . A implementação deste sistema usando diodos pode ser visto na figura a seguir :

Modulador Não-Linear AM DSB/SC


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MODULADORES CHAVEADOS A operação de multiplicação requerida para modulação, pode ser substituída por uma simples operação de chaveamento. Um sinal modulado pode ser obtido pela multiplicação de m t( ) não somente por um sinal senoidal puro, mas sim por qualquer sinal periódico ϕ ( )t com freqüência fundamental ω . Tal sinal periódico pode ser expresso por :

ϕ ω θ( ) cos( )t C n tn c nn

= +=

∞

∑0

Portanto :

m t t C m t tnn

c n( ). ( ) . ( ).cos )ϕ ω θ= +=

∞

∑0

Isto nos mostra que o espectro do produto m t t( ). ( )ϕ é o espectro de M ( )ω deslocado de ± ± ±ω ω ωc c cn, ,......,2 . Se o sinal original é passado por um filtro passa-banda com largura de banda 2B (Hz) e sintonizado emωc , nós teremos o sinal modulado: C m t tc n1 ( ).cos( )ω θ+ A figura abaixo representa o modulador chaveado AM-DSB/SC.


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• trem de pulso quadrado k(t) é um sinal periódico cuja série de Fourier pode ser

encontrada facilmente através de :

( )( )

K tA A

nn t

n

nc( ) cos

, , ....= +

−−

=

∞

∑22 1

12

1 3 5πω

Para A=1 teremos

( )( )

K tn

n tn

nc( ) cos

, , ....= +

−=

−

=

∞

∑12

2 11

2

1 3 5πω

= + − + −

12

2 13

315

5π

ω ω ωcos cos cos .......c c ct t t

• sinal m t k t( ). ( ) é dado por :

m t k t m t m t t m t t m t tc c c( ). ( ) ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos ..........= + − + −

12

2 13

315

5π

ω ω ω

e no domínio da frequência :

( )( )

[ ]m t k t Mn

M n Mn

c cn

( ). ( ) ( ) ( ) ( ), ,....

↔ +−

+ + −−

=∑1

21 1

12

1 3ω

πω ω ω ω

• espectro do produto é mostrado no item c da figura . Quando o sinal m t k t( ). ( ) é passado por um filtro passa-banda centrado em ωc , a saída do sinal modulado será :

2π

ω

. ( ).cosm t tc figura (d)

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