Prisma Cubo Paralelepípedo 2016 -...

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Prisma – Cubo – Paralelepípedo

2016

1. (Unesp 2016) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de a) 42%. b) 36%. c) 32%. d) 26%. e) 28%. 2. (G1 - ifsp 2016) A figura abaixo representa a planificação de um poliedro P :

Avalie as afirmações I, II e III sobre o poliedro representado pela planificação:

I. O número de arestas do poliedro P corresponde a uma vez e meia o número de vértices.

II. O poliedro P tem, pelo menos, duas faces paralelas.

III. O poliedro P pode ser classificado como pentágono. Contém uma afirmação verdadeira: a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III.


3. (G1 - cftmg 2016) Deseja-se construir uma caixa d'água no formato de um paralelepípedo

retângulo, que armazene 18.000 litros de água, como mostra a figura.

Sabe-se que o comprimento (c) é o dobro da largura ( ), que a altura (h) é 1 3 da medida da

largura ( ) e que 31m equivale a 1.000 litros de água.

Nessas condições, a largura dessa caixa d'água, em metros, é igual a a) 1,5. b) 1,8. c) 2,7. d) 3,0.

4. (Enem 2015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de

paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de

20 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na

embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em

25%, ficando com consistência cremosa.

Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 31.000 cm e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango,

de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar.

O volume máximo, em 3cm , da mistura sabor morango que deverá ser colocado na

embalagem é a) 450. b) 500. c) 600. d) 750. e) 1.000.


5. (Unesp 2015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 12

metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura 2).

Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a 218 m ,

então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a a) 3,25. b) 2,75. c) 3,50. d) 2,50. e) 3,00.

6. (Unisc 2015) Um reservatório cúbico de 60 cm de profundidade está com 1

3 de água e

precisa ser totalmente esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de a) 7,2 litros. b) 72 litros. c) 21,6 litros.

d) 216 litros. e) 25 litros. 7. (Cefet MG 2015) A Organização Mundial da Saúde recomenda que, fazendo economia, um

ser humano consuma 50 litros de água por dia. Uma família com quatro pessoas possui, em

sua casa, uma caixa d’água na forma de um prisma reto com 1 metro quadrado de área da

base cheia com 100 litros de água.

A altura a ser completada de forma que a água da caixa seja o suficiente para abastecer a família por cinco dias, em metros, é de

a) 49,0 10 .

b) 39,0 10 .

c) 29,0 10 .

d) 19,0 10 .

e) 09,0 10 .


8. (Enem PPL 2015) Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui

diversos modelos e tamanhos de caixa-d’água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma. Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é a) oito vezes maior. b) quatro vezes maior. c) duas vezes maior. d) a metade. e) a quarta parte. 9. (Enem PPL 2015) Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma

de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura:

A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas:

Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa? a) I b) II c) III d) IV e) V


10. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem

comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de 2m. Ela é preenchida com água a uma

vazão de 5.000 litros por hora.

Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 25cm b) 27,5cm c) 30 cm d) 32,5 cm e) 35 cm 11. (Enem PPL 2014) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma

caixa com as seguintes dimensões: 25 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm de

profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 125

caixas dispostas conforme a figura.

Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras?

a) 33.750 cm

b) 318.750 cm

c) 393.750 cm

d) 3468.750 cm

e) 32.343.750 cm

12. (Ufg 2014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo.

Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada.


13. (Enem PPL 2014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo

retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura. Chegando

em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A

seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 350 cm cada, que

ficarão totalmente submersas no aquário.

Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário.

O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a a) 48. b) 72. c) 84. d) 120. e) 168. 14. (Espm 2014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são

retângulos de áreas 26cm e 210cm , respectivamente.

O volume desse sólido é de: a) 8 cm

3 b) 10 cm

3 c) 12 cm

3 d) 16 cm

3 e) 24 cm

3

15. (Enem PPL 2014) Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes que serão distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma dada pela figura.

Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16


16. (Upe 2014) Como atividade recreativa, o professor Leocádio propôs que seu aluno Klécio

montasse novas peças a partir da representada abaixo, mudando a posição de, apenas, um cubo.

Dentre as peças representadas abaixo, assinale a que não pode ter sido confeccionada por Klécio.

a) b) c)

d) e) 17. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada

metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a

silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 32m desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260.


18. (Fgv 2013) Um prisma reto de base triangular tem área de uma face lateral igual a 20 cm2.

Se o plano que contém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm

3, é igual a

a) 18. b) 36. c) 48. d) 54. e) 60. 19. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de

metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa,

um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:

O volume, em 3dm , da caixa assim obtida é

a) 2 380x 36x 4x

b) 2 380x 36x 4x

c) 2 380x 18x x

d) 2 380x 18x x

e) 2 320x 9x x 20. (Ufsm 2013) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm

3, dessa embalagem?

a) 150 3. b) 1.500.

c) 900 3. d) 1.800.

e) 1.800 3.

21. (Ufrgs 2013) Um sólido geométrico foi

construído dentro de um cubo de aresta 8, de

maneira que dois de seus vértices, P e Q,

sejam os pontos médios respectivamente das

arestas AD e BC, e os vértices da face

superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo.

O volume desse sólido é a) 64. b) 128. c) 256. d) 512. e) 1024.


22. (Uepb 2013) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede 2 3 m, tem

capacidade igual a: a) 4.000 litros b) 6.000 litros c) 8.000 litros d) 2.000 litros e) 1.000 litros 23. (Uem 2013) Considere dois prismas retos de mesma altura, h 6cm, e com bases sendo

hexágonos regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma

inscrito medem 2cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto.

01) As arestas das bases do prisma maior medem 4

3 cm.3

02) A área lateral do prisma maior mede 248 3 cm .

04) O volume do prisma menor é 3363 cm .

3

08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 312 3 cm .

16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é 4

3.3

24. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um

processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm

3?

a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 25. (Uerj 2012) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem 1

m de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a 3 m. Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba.


TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 26. (Pucrs 2012) A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Quer-se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo.

A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 20 cm necessárias para fazer esse telhado é

a) 410

b) 510

c) 35.10

d) 45.10

e) 425.10 27. (Ueg 2011) Considere um cubo com 3 cm de aresta, subdividido em cubos menores, cada

um com 1cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e um

cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do cubo.

a) Calcule o volume da figura I. b) Calcule a área da superfície da figura II. 28. (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 24 cm. e) 25 cm.


29. (Enem 2006) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível,

possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema a seguir, está

representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais

alto do rio Paraná até o nível da jusante.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A

vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de 34.200 m por minuto.

Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de

a) 2 minutos. b) 5 minutos. c) 11 minutos. d) 16 minutos. e) 21 minutos. 30. (G1 - ifpe 2016) Na residência de Laércio, há uma caixa d’água vazia com capacidade de

5 metros cúbicos. Ele vai encher a caixa trazendo água de um poço próximo, em uma lata cuja

base é um quadrado de lado 40 cm e cuja altura é 50 cm. Qual é o número mínimo de vezes

que Laércio precisará ir ao poço até encher integralmente a caixa d’água? a) 67 b) 52 c) 55 d) 63 e) 56


Gabarito: Resposta da questão 1: [D] A área total do paralelepípedo é dada por

22 (4 3 4 1 3 1) 38 m .

Após a divisão, foram acrescentadas duas faces retangulares de dimensões 5 m e 1m. Logo,

o acréscimo na área externa foi de 22 5 1 10 m e, portanto, a resposta é

10100% 26%.

38

Resposta da questão 2:

[B] É imediato que P é um prisma pentagonal regular.

[I] Verdadeira. De fato, pois P possui 15 arestas e 10 vértices.

[II] Verdadeira. Com efeito, as bases de P são paralelas. [III] Falsa. É um prisma pentagonal regular. Resposta da questão 3: [D]

Como 318.000 L 18 m , c 2 e h ,3

temos

3

c h 18 2 183

27

3 m.


[C] Seja v o volume da mistura sabor morango que será colocado na embalagem. Tem-se que

31,25 (1000 v) 20 10 10 v 600cm .

Portanto, a resposta é 3600cm .

Resposta da questão 5: [E]

Sabendo que 2(12 2x) x 18 m , vem

2 2x 6x 9 0 (x 3) 0 x 3 m.



[B] O volume de água no reservatório é igual a

3 3 31 160 216000 72000cm 72dm 72 L.

3 3


[D]

Sendo 3 1 3100 L 100dm 10 m , podemos concluir que a altura de água na caixa é igual a

110 m. Portanto, se o consumo da família, em 5 dias, é de 34 50 5 1000 L 1m , então a

altura de água na caixa deverá ser de 1m.

A resposta é 1 1 110 10 1 10 9 10 m.

Resposta da questão 8: [B]

Sendo a o comprimento das arestas da base e b a altura, pode escrever:

2antigo

2 2novo novo

novo antigo

V a b

V 2a b V 4a b

V 4 V


[C] A planificação deve apresentar duas bases impressas opostas e quatro laterais na visão tridimensional. A única alternativa que apresenta tal imagem é a alternativa [C]. Resposta da questão 10: [E]

O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a 3,5 5000 17.500

litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que

10 5 h 17,5 h 0,35 m 35cm.


[D]

O volume pedido é dado por 3125 25 10 15 468.750cm . Resposta da questão 12: A quantidade de água obtida é dada por

356 160,9 12 18 56 (52 18) 12 24.105,6 m .

2



[A] Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo submerso, segue

que o número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a 40 15 (10 6)

48.50


[C] Temos

(ABCD) AB BC AB 2 6

AB 3cm

e

(BCFE) BC BE 2 BE 10

BE 5cm.

Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE 4cm.

Por conseguinte, o resultado pedido é

3AB AE 3 4BC 2 12cm .

2 2


[D]

O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo, o número de arestas é igual a 3 5 15. Resposta da questão 16: [D] A única peça que não pode ser obtida por meio do deslocamento de apenas um cubo é a da alternativa [D]. Resposta da questão 17:

[A]

Como h 2 m, segue-se que b 6 2 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é

igual a 36 520 220 m .

2

Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa

32 m , podemos concluir que o resultado pedido é 220

1102

toneladas.



[E]

Sejam h e , respectivamente, uma aresta lateral e uma aresta da base, de tal modo que

2h 20cm , conforme o enunciado. Sabendo que a distância do plano que contém essa face

até a aresta oposta é igual a 6cm, segue-se que essa distância corresponde à altura do

triângulo que é base do prisma. Portanto, o resultado pedido é igual a

36h 3 h 3 20 60cm .

2


[A] O volume da caixa é dado por

2

2 3

x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x )

80x 36x 4x .

Resposta da questão 20: [C] O volume da embalagem é dado por

233 10 3

6 900 3 cm .2


[C]

O sólido indicado é um prisma reto triangular, cujo volume é igual a 8 8

8 256.2

Resposta da questão 22: [C] Seja a a aresta do cubo.

Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a 3, temos a 2. Portanto, como o volume do

cubo é igual a 3 32 8 m , segue que a sua capacidade é de 8 1000 8.000 litros.



01 + 02 + 08 = 11. [01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos

de um hexágono regular medem 120 , pela Lei dos Cossenos, vem

2 2 2 2

2

2

2 12 2 cos120 4 2

2 2 2 2 4 4 2

16

3

4 3cm.

3

[02] Correto. A área lateral do prisma maior mede

24 36 h 6 6 48 3 cm .

3

[04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por

2

3 33 2 3 366 36 3 cm 3 cm .

2 3

[08] Correto. O volume do prisma maior é igual a

2

3

4 33 3

36 48 3 cm .

2

Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é

348 3 36 3 12 3 cm .

[16] Incorreto. De [04] e [08], vem 48 3 4 4

3.3 336 3

Resposta da questão 24: [C]

O nível da água subiria 2400

2cm,40 30

fazendo a água ficar com 25 5 2 22cm de altura.


Seja a a aresta da base da caçamba.

Sabendo que a altura da caçamba mede 1m, temos que a sua capacidade é dada por

2 2a 1 a . Desse modo, como a diagonal do paralelepípedo mede 3 m e a diagonal da base

mede a 2, vem

2 2 2 2

2 3

3 (a 2) 1 2a 8

a 4 m .



[A]

Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a 5 m.

Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 m 30 m serão cobertas por telhas,

segue que o resultado pedido é dado por 4

2

2 5 3010 .

3 10


a) O volume de um cubo de aresta 3cm é igual a 3 33 27cm , e o volume de um cubo de

aresta 1cm é 3 31 1cm . Logo, como foram retirados 7 cubos do cubo maior, o resultado

pedido é 327 7 20cm .

b) A área da superfície do sólido corresponde à área da face de um cubo de aresta 1cm

multiplicada por 6 5 30, ou seja, 2 21 30 30cm .

Resposta da questão 28: [B] Sendo a a aresta do cubo, temos:

a3 = 4.18.3

a3 = 216

a = 6 Resposta da questão 29:

[D]

O volume de água a ser escoado da câmara é de 3200 17 20 68.000 m . Logo, como a

vazão de escoamento é 34.200 m por minuto, segue que uma embarcação leva cerca de

6800016

4200 minutos para descer do nível mais alto até o nível da jusante.

Resposta da questão 30: [D]

3 3

2 3

Volume da caixade agua 5m 5.000.000 cm62,5 latas

Volume da lata (40cm) 50cm 1600 50 cm

Portanto, no mínimo 63 latas.

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