PROBABILIDADEIntrodução

No ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense,Chevalier de Mère, propôs a Blaise Pascal (1623 – 1662)algumas questões sobre possibilidades de vencer em jogos.Uma questões foi: “Um jogo de dados entre dois adversários chega ao fim quando um dos jogadoresvence três partidas em primeiro lugar. Se esse jogo for interrompido antes do final,de que maneira cada um dos adversários deve ser indenizado?”.Pascal escreveu a Pierre de Fermat (1601 – 1665)sobre esse problema, e a correspondência entre eles deusubsídios à teoria das probabilidades.

Noções iniciais

• Na teoria das probabilidades, estudamos os experimentos aleatórios equiprováveis

, isto é, experimento onde qualquer resultado pode ocorrer com a

mesma chance.• Exemplo:• No lançamento de uma moeda, a probabilidade

de ocorrer• cara ou coroa é a mesma.

Espaço amostral ou conjunto universo

É o conjunto U de todos os resultados

possíveis de um experimento aleatório equiprovável. O número de elementos

desse conjunto é indicado por n(U).

EXEMPLO :

Lançar uma moeda duas vezes e observar a seqüência de caras e coroas

U = {(K,K) ,(K,C),(C,K),(C,C)}

Evento

• É qualquer subconjunto do espaço amostral U.• Exemplo:• No lançamento de um dado, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e

n(U) = 6• sendo A = {2, 4, 6} o evento obter um número par e• = {1, 3, 5} o evento obter um número ímpar, temos• :• = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U e = Ø, logo • e A são eventos complementares

AA AA

A

A

Probabilidade de um evento

• É dada pelo quociente da divisão do número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.

• - A probabilidade de um evento é sempre um número de 0 (probabilidade do evento impossível)

• a 1 (probabilidade do evento certo).

Exemplos:

• a) Considerando o lançamento de um dado e o evento obter um número primo , temos:

• U = {1, 2, 3, 4 5, 6}, n(U) = 6,• A = {2, 3, 5} e n(A) = 3

• b) O lançamento de 2 moedas e o evento ocorrer cara• pelo menos 1 vez, e representando cara por C e coroa por D,• temos:• U = {(C, C), (C, D), (D, C), (D, D)}; n(U) = 4 • A = {(C, C), (C, D), (D, C)}; n(A) = 3

01.

EXERCÍCIOS

(UCSAL / 2004) Uma caixa contém 10 bolas idênticas numeradas de 1 a 10. Retirando-se 2 bolas, simultaneamente,ao acaso, a probabilidade de que os númerosmarcados sejam consecutivos é:a) 8%b) 10%c) 16%d) 20%e) 24%

02. (FRB/2006) As pastas de um arquivo, numeradas de 1 a

6, foram colocadas lado a lado em uma estante de forma

aleatória. A probabilidade de essas pastas terem

sido colocadas na ordem crescente 1, 2..., 6 é igual a

• 03. (FBDC / 2005) Em um grupo de vinte rapazes e trinta moças, metade dos rapazes

• e a quinta parte das moças cursam Medicina• . Escolhendo-se uma pessoa desse grupo,• ao acaso, a probabilidade de que seja um rapaz

ou estudante de Medicina é:

• a) 52%.• b) 60%.• c) 66%.• d) 70%.• e) 72%.

• 4. (HÉLIO ROCHA/2005.2) Imaginemos uma pessoa, fazendo• um concurso cuja prova é do tipo VERDADEIRO OU• FALSO”. Imaginemos, ainda, que ela, estando desesperada,• responde as 20 questões na base do “chute”. A probabilidade• de essa pessoa acertar toda a prova é igual a:

• 5.De um baralho com 52 cartas tiram-se ,sucessivamente ,sem reposição ,duas cartas .Determinar a probabilidade dos eventos :

• a) as duas cartas são damas

• b) as duas cartas são de ouro

RESOLUÇÃO

CALCULO DO NÚMERO DE ELEMENTOS DO ESPAÇO AMOSTRAL

1ª POSSIBILIDADE

52

Cálculo do número de elementos do evento A:

duas Damas

2ª POSSIBILIDADE

51

n(U)=52.51=2652

Temos 4 damas ,portanto n(A) =A4,2=12

→ 2652

12

)(

)()(

Un

AnAP

• 6.Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão estragadas .Escolhendo-se ao acaso 2 frutas desse conjunto , determinar a probabilidade de :

• a) ambas não serem estragadas

• b) pelo menos uma estar estragada

• 7.Com os dígitos 1, 2, 3,4,5 são formados números de 4 algarismos distintos .Um deles é escolhido ao acaso .qual é a probabilidade dele ser :

• a) par ?

• b) ímpar ?

RESOLUÇÃO

• Seja U o conjunto dos números de quatro algarismos distintos formados com os dígitos 1,2,3,4,5, .Então :

• n(U) = A5,4= 120

• Seja B o evento , o número escolhido é par .Então :

• → A4,3=24

• assim ,n(B) = 48 Logo

• →A4,3=24

•

4

2

120

48)( AP

• 8.Você faz parte de um grupo de 10 pessoas ,para três das quais serão distribuídos prêmios iguais . A probabilidade de que você seja um dos premiados é :

• a) 0,1

• b) 0,2

• c) 0,4

• d) 1/5

• e) 2/5

Resolução

• Neste experimento são sorteadas 3 pessoas .Assim ,o espaço amostral é constituído por todos os subconjuntos de 3 pessoas que se podem formar entre as 10 pessoas .Logo ,o número de elementos do espaço amostral é:

• n(U) = C10,3=120 • O evento considerado é formado por aqueles subconjuntos

de que você faz parte ,juntamente com mais duas outras pessoas , que são escolhidas entre as 9 restantes .Assim :

• n(A) = C9,2=36• Portanto :

• P(A)= e a alternativa correta é a letra c10

3

120

36

• 9)Em uma loteria com 30 bilhetes , 4 são premiados .Comprando-se 3 bilhetes , qual a probabilidade de :

• a) nenhum estar premiado ?

• b) apenas um ser premiado ?

Resolução

• a) Seja o universo n(U) = C30,3 = 4.060

• e seja o evento A: nenhum dos bilhetes é premiado .

• Como dos 30 bilhetes 4 são premiados temos que 26 não são premiados logo:

• n(A) = C26,3 =2.600 portanto

• • P(A) = 203

130

4060

2600

)(

)(

UN

An

• b)• Para termos um premiado , 2 devem ser não

premiados , logo :

• n(B) = C4,1.C26,2= 1300 , logo :

• P(B) =203

65

4060

1300

)(

)(

Un

Bn

• 10) Uma moeda é viciada , de tal modo que a probabilidade de sair cara é duas vezes maior que a de sair coroa . Calcule a probabilidade de ocorrer cara no lançamento dessa moeda .

Resolução

• O espaço amostral é :• U = { cara , coroa }

• Evento A : ocorrer cara tem probabilidade PA = 2x

• Evento B : ocorrer coroa tem probabilidade PB = x como o evento B é o complementar de A , temos :

• P(A) + P(B) = 1 temos 2x + x =1 , logo x = , então P(A) =2/3 e P(B) =1/3

• Resposta : 2/3

3

1

Probabilidade de união de eventos

AABB

A∩BA∩B

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

Demonstração

• Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral U .Sabemos que :

• n(A U B )=n(A) + n(B) – n(A∩B).• Se todos forem divididos por n(U) teremos:

• Logo temos :• P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

Un

BAn

Un

Bn

Un

An

Un

AUBn

Exercícios

• 1.De um baralho de 52 cartas deseja-se sortear uma carta .Qual a probabilidade de que seja um rei ou uma carta de ouros ?

• 2.Em um grupo de 500 estudantes ,80 estudam Engenharia ,150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia .Se um aluno é escolhido ao acaso .Qual a probabilidade de que :

• a) ele estude Economia e Engenharia? • b) ele estude somente Engenharia? • c) ele estude somente Economia?• d) ele estude Engenharia ou Economia?• e) ele não estude Engenharia ,nem Economia

Eventos mutuamente exclusivos

• Sabemos que :P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)• Se n(A∩B) = ø , os eventos A e B dizem-se

mutuamente exclusivos .Isso significa que eles não podem ocorrer simultaneamente .

• Como neste caso P(AUB) = 0 temos:

P(AUB)=P(A)+P(B)

Esta relação é conhecida como :

Regra da soma .

Evento complementar

• Indiquemos por o evento complementar de A em relação ao espaço amostral .Este é um caso de eventos mutuamente exclusivos , pois :

A ∩ = ø

Assim :

P(AUB)=P(A)+P( )

e como AU = U ,temos P(AU )=P(E)=1

Daí resulta que :P(A) + P( ) = 1

U

A

A

A

A

AA A

A

Exercícios

• 1.Escolhendo-se ao acaso um número de 1 a 40 , qual é a probabilidade de que ele não seja múltiplo de 3 ?

Resolução

• Se A é o evento sair múltiplo de 3 ,então o evento não sair múltiplo de 3 é o complementar .• De 1 a 40 existem 13 múltiplos de 3 : logo :

• N(A)=13• Assim :

• P( ) = 1 – P(A) =1-13/40=27/40

A

A

• 2.Uma urna contém 5 bolas brancas e três vermelhas .Sorteando-se três delas qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja vermelha ?

Resolução

• O espaço amostral é constituído de pelos grupos de 3 bolas formados com as 8 bolas da urna.

• temos :

• N(U) = C8,3=56

• O evento A que nos interessa é formado pelos grupos em que pelo menos uma bola é vermelha . Assim , será formado pelos grupos em que nenhuma das tres bolas é vermelha .Em outras palavras , é formada pelos grupos de 3 bolas brancas .temos :n( ) = C5,3= 10 e P( )= 10/56

• E , então P(A) = 1 – P( ) = 1 – 10/56 = 23/28

A

AA

Probabilidade condidional• Seja B ≠ ø um evento do espaço amostral U e considere

Também outro evento A desse espaço amostral .• Chamamos probabilidade condicional de A em B ,a

probabilidade de ocorrer o evento A , supondo que B ocorreu.Note que “supor que B ocorreu “ equivale a considerar B como sendo o novo espaço amostral (pois os resultados fora de B deixaram de ser resultados possiveis).Além disso do evento A só são possiveis aqueles resultados que estão dentro de B,isto é os resultados que formam a intersecção A∩B

P[ A|B] =

][

][

Bn

BAn

Exercícios

• 1.No lançamento de um par de dados , verificou-se que resultou soma 8 .Qual é a probabilidade de um dos dados apresentar o número 3?

Resolução

É dado que resultou soma 8 ,esse é o evento B :

B= {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)(6,2)}

Que tem n(B) = 5 elementos .

O evento A∩B , dado por “ dar a soma 8 e apresentar o numero 3 “ é

A∩B = {(3,5),(5,3)}

e tem-se que : n(A∩B) =2

Assim : P[ A|B] = = 2/5][

][

Bn

BAn

Regra do produto

• A probabilidade condicional do evento B , dado A é obtida por

P[B|A] =

Donde :

P[A∩B] = P[A].P[B|A]

Essa ultima relacão justifica umprincipio analogo à ”regra do produto” que vimos na analise onbinatória .Vejamos atraves dos exercicios , como a regra pode ser usada .

][

][

Bn

BAn

Exercícios

• 1.De uma urna contendo-se 5 bolas brancas e 3 bolas verdes , retiramos ao acaso duas bolas sucessivamente , sem repor a primeira bola para retirar a segunda . Qual é a probabilidade de ambas serem brancas ?

• Resposta :• 5/8.4/7=5/14

• 2. Resolva o exercício anterior ,supondo que a primeira bola é necessariamente recolocada na urna antes de ser sorteada a segunda .

• Resposta

• 5/8.5/8=25/64

• 3.Retiramos uma carta de um baralho . Em seguida (sem repor a primeira ) retiramos uma segunda carta . Qual a probabilidade de a primeira ser um ás e a segunda um rei?

• Resposta

• 4/52.4/51= 4/663

•