1

Probabilidade3-1 Aspectos Gerais

3-2 Fundamentos

3-3 Regra da Adição

3-4 Regra da Multiplicação:

3-5 Probabilidades por Meio de Simulações

3-6 Contagem

2

3-1 Aspectos GeraisObjetivos

firmar um conhecimento sólido dos valores probabilísticos a serem utilizados

desenvolver conhecimentos básicos necessários para a resolução de problemas simples de probabilidade.

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística:Se, sob determinada hipótese, a probabilidade de uma determinada amostra é excepcionalmente pequena, concluímos que a hipótese provavelmente não é correta

3

3-2 FundamentosDefinições

Evento – qualquer coleção de resultados de um experimento

Evento simples – resultado, ou um evento, que não comporta decomposição.

Espaço amostral – todos os eventos simples possíveis

4

NotaçãoP - denota uma probabilidade

A, B, ... - denotam eventos específicos

P (A) - denota a probabilidade de ocorrência do evento A.

5

Regras Básicas para Cálculo de Probabilidades

Regra 1: Aproximação p/ Freqüência Relativa Realize (ou observe) um experimento um grande número de vezes e conte quantas vezes o evento A ocorre efetivamente. Então uma estimativa de P(A) é:

P(A) = número de ocorrências de Anúmero de repetições do experimento

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Regra 2: Definição clássica(exige resultados igualmente prováveis)

Se um experimento tem n eventos simples diferentes, cada um com a mesma chance de ocorrer e se s é o número de maneiras que o evento A pode ocorrer, então:

P(A) =número de maneiras como A pode ocorrers

n =

Regras Básicas para Cálculo de Probabilidades

número de eventos simples diferentes

7

Regras Básicas para Cálculo de Probabilidades

Regra 3: Probabilidades Subjetivas:P(A), a probabilidade de A, é determinada através de conjecturas ou estimada com base no conhecimento de circunstâncias relevantes.

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Regra 1 O método da freqüência relativa

fornece uma aproximação.

Regra 2 O método clássico fornece o valor

da probabilidade teórica.

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Lei dos Grandes NúmerosSe um experimento é repetido um grande número de vezes, a probabilidade pela freqüência relativa (Regra 1) de um evento tende para a probabilidade teórica.

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Ilustração da Lei dos Grandes Números

Figura 3-2

11

Exemplo: Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser atingida por um raio este ano.

O espaço amostra consiste em dois eventos simples: a pessoa é atingida por um raio ou não. Como este eventos simples não são igualmente prováveis, devemos usar uma aproximação pela freqüência relativa (Regra 1) ou estimar subjetivamente a probabilidade (Regra 3). Usando a Regra 1, podemos pesquisar eventos passados. Em um ano recente 377 pessoas foram atingidas por raio nos EUA, que tem uma população de cerca de 274.037.295. Portanto,

P(ser atingido por um raio em 1 ano) ≈377 / 274.037.295 ≈ 1/727.000

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Exemplo: Em um teste ACT ou SAT, uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas possíveis. Respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar errada?

Há 5 resultados possíveis e 4 maneiras de responder incorretamente a questão. A aleatoriedade implica que os resultados do espaço amostral são igualmente possíveis; pela abordagem clássica (Regra 2) obtemos:

P(resposta errada) = 4 / 5 = 0,8

13

Limites de Probabilidade

A probabilidade de um evento impossível é 0.

A probabilidade de um evento cuja ocorrência é certa é 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1Evento

ImpossívelEvento Certo

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Valores Possíveis para ProbabilidadesCerto1

Provável

50-50 de Chance

Improvável

Impossível

0,5

Figura 3-30

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Eventos ComplementaresO complemento do evento A, denotado

por Ac, consiste of todos os resultados em que o evento A não

ocorre.

P(Ac)(leia “não A”)

P(A)

16

Exemplo: Testando CorvettesA General Motors quer testar um novo modelo do Corvette. Um grupo de 50 motoristas foi recrutado, 20 dos quais são homens. Quando a primeira pessoa deste grupo é selecionada, qual é a probabilidade de não ser um homem?

Como 20 dessas 50 pessoas são homens, decorre que 30 são mulheres e, assim:

P(não escolher um homem) = P(homemc)= P(mulher) = 30 = 0,6

50

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Arredondamento de Probabilidades

dar a expressão decimal ou a fração exataou

arredondar o resultado final para três algarismos significativos

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ChancesA chance contra a ocorrência do evento A é a razão P(A) P(Ac), comumente expressa na forma a:b (ou ‘a para b’), com a e binteiros, primos entre si.

A chance a favor do evento A é o inversoda chance contra aquele evento, b:a (ou ‘b para a’)

19

Chances

Nas apostas, a chance contra o evento A representa a razão do ganho líquido (se você vencer) para a quantia apostada.

Chance contra um evento A = (ganho líquido):(quantia apostada)

20

DefiniçãoEvento CompostoQualquer evento que combina dois ou mais eventos simples.

Notação:P(A ou B) = P (ocorrência de A, ou de B,

ou de ambos)

21

Eventos Compostos

Regra GeralAo determinar a probabilidade da ocorrência do evento A ou do evento B, devemos achar o total de maneiras como A pode ocorrer e o total de maneiras como B pode ocorrer, mas de modo que nenhum resultado seja contado mais de uma vez.

22

Evento CompostoRegra Formal da Adição

P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)

onde P(A e B) denota a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B.

Regra Intuitiva da AdiçãoPara encontrar P(A ou B), somamos o números de ocorrências possíveis de A e o número de ocorrências possíveis de B, adicionando esses números de tal modo que cada resultado seja contado apenas uma vez. P(A ou B) é igual a essa soma, dividida pelo número total de resultados possíveis.

23

DefiniçãoEventos A e B são mutuamente exclusivos se

eles não podem ocorrer simultaneamente.

P(A) P(B) P(A) P(B)

P(A e B)

Área Total = 1 Área Total = 1

Figuras 3-5 e 3-6Eventos superpostos Eventos não superpostos

24

Figura 3-7 Aplicação da Regra da Adição

P(A ou B)Regra da Adição

A e Bsão

mutuamenteexclusivos

?

P(A ou B) = P(A)+ P(B) - P(A e B)

P(A ou B) = P(A) + P(B)Sim

Não

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Achar a probabilidade de escolher ao acaso 1 homem ou um menino.

P(homem ou menino ) = 1692 + 64 = 1756 = 0,7902223 2223 2223

Homem Mulher Menino Menina TotalSobreviveu 332 318 29 27 706Morto 1360 104 35 18 1517Total 1692 422 64 56 2223

Tabela de Contingência

* Mutuamente Exclusivos *

26

Homem Mulher Menino Menina TotalSobreviveu 332 318 29 27 706Morto 1360 104 35 18 1517Total 1692 422 64 56 2223

Tabela de Contingência

Achar a probabilidade de escolher ao acaso um homem ou alguém que tenha sobrevivido.P(homem ou sobrevivente) = 1692 + 706 - 332 = 1756

2223 2223 2223 2223= 0,929

* NÃO são Mutuamente Exclusivos *

27

Eventos Complementares

P(A) e P(Ac)são

mutuamente exclusivosTodos eventos simples estão em A ou em Ac.

P(A) + P(Ac) = 1

28

Regras dos Eventos Complementares

P(A) + P(Ac) = 1

= 1 - P(A)

P(A) = 1 - P(Ac)

P(Ac)

29

Figura 3-8 Diagrama de Venn para o Complemento do Evento A

Área Total = 1

P (A)

P (Ac) = 1 - P (A)

30

NotaçãoP(A e B) = P(evento A ocorrer em uma 1ª prova e o

evento B ocorrer em uma 2ª prova)

31

Diagrama em Árvore de Respostas de um Teste

VaVbVcVdVeFaFbFcFdFe

abcdeabcde

V

F

P(V) = P(c) = P(V e c) =1 15

1102

32

P (ambos corretos) = P (V e c)1

1012

15= •

Regra da Multiplicação

EVENTOS INDEPENDENTES

33

Notação para Probabilidade Condicional

P(B A) representa a probabilidade de ocorrência do evento B, quando se sabe que o evento A já ocorreu (leia B A como “B dado A”).

34

DefiniçõesEventos IndependentesDois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Eventos DependentesSe A e B não são independentes, dizem-se dependentes.

35

Regra Formal da Multiplicação

P(A e B) = P(A) • P(B A)

Se A e B são eventos independentes, P(B A) é o mesmo que P(B)

36

Aplicação da Regra da Multiplicação

P(A e B)Regra da Multiplicação

A e B sãoindependentes?

P(A e B) = P(A) • P(B A)

P(A e B) = P(A) • P(B)Sim

Não

37

Regra Intuitiva da Multiplicação

Para determinar a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e de ocorrência do evento B na próxima prova, devemos multiplicar a probabilidade do evento A pela probabilidade do evento B, não esquecendo que a probabilidade do evento B deve levar em conta a ocorrência prévia do evento A.

38

Pequenas Amostras de

Grandes Populações

Caso uma amostra não supere 5% do tamanho da população, pode-se considerar as escolhas como sendo independentes (mesmo que a amostragem se faça sem reposição, embora elas sejam tecnicamente dependentes).

39

Probabilidade de ‘Ao Menos Um’‘Ao menos um’ é equivalente a ‘um oumais’.O complementar de obter ao menos um item de determinado tipo é não obter nenhum item daquele tipo.

Se P(A) = P(obter pelo menos um), então

P(A) = 1 - P(Ac)

onde P(Ac) é P(obter nenhum)

40

Probabilidade de ‘Ao Menos Um’Determinar a probabilidade de ao menos 1 menina se um casal planeja ter 3 filhos.

Se P(A) = P(ao menos 1 menina), entãoP(A) = 1 - P(Ac)

onde P(Ac) é P(nenhuma menina)

P(A) = (0,5)(0,5)(0,5) = 0,125

P(A) = 1 – 0,125 = 0,875

41

Probabilidade CondicionalDefinição

A probabilidade condicional do evento B ocorrer, dado que A já tenha ocorrido, pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento A.

42

Probabilidade Condicional

P(A e B) = P(A) • P(B|A)Formal

P(B|A) =IntuitivaA probabilidade condicional de B dado A pode ser determinada supondo que A já tenha ocorrido e, sob essa hipótese, calculando a probabilidade de ocorrência do evento B.

P(A e B)P(A)

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Testando a Independência

Se P(B|A) = P(B)

então a ocorrência de A não tem efeito na probabilidade do evento B, ou seja, A e B são eventos independentes.

ou

Se P(A e B) = P(A) • P(B)

então A e B são eventos independentes.

44

Alternativas para Determinação de Probabilidades

1. Realizar experimentos ou coletar dados reais para determinar valores de probabilidade ou verificar se os resultados teóricos estão corretos.

2. Podemos simular as circunstâncias para aprender como os resultados ocorreriam na realidade.

45

Definição

SimulaçãoUma simulação de um experimento é um processo que se comporta como o próprio experimento, produzindo resultados análogos.

46

Exemplos de SimulaçãoSimulando sexo de nascituros

Arremesso de uma moeda honesta onde cara = homem e coroa = mulher

K K C K C K K C C C

M M H M H M M H H H

Gerando 0’s e 1’s em um computador ou calculadora onde 0 = homem

1 = mulher0 0 1 0 1 1 1 0 0 0

H H M H M M M H H H