Modelos probabilísticos continuos

1

Introduccion al Tema 8

Tema 6. Variables aleatorias unidimensionalesDistribucion.

Caracterısticas: media, varianza, etc.

Transformaciones.

V.A. de uso frecuente

Tema 7. Modelos probabilısticos discretos X

Tema 8. Modelos probabilısticos continuos

Distribucion uniforme.

Distribucion exponencial.

Otras distribuciones (Pareto, Weibull y Cauchy).

Distribucion normal y relacionadas.

Introduccion a la Estadıstica Andres M. Alonso

2


Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:

Distribucion uniforme.

Distribucion exponencial.

Otras distribuciones (Pareto, Weibull y Cauchy).

Distribucion normal.• Propiedades.• Uso de tablas.• El teorema central del lımite y aproximaciones mediante la distribucion

normal.• Otras distribuciones relacionadas con la normal: logarıtmico-normal, χ2,

t de Student y F de Fisher–Snedecor.

Lecturas recomendadas: Capıtulos 17 y 18 del libro de Pena y Romo (1997) ylas secciones 5.5 a 5.8 de Newbold (2001).


3

Distribucion uniforme

Supongamos que una variable X puede tomar valores al azar en un rango(a, b) y que la probabilidad de que X tome valores en cualquier intervalo delongitud fija en (a, b) sea la misma.

En este caso, se dice que X tiene una distribucion uniforme entre a y b y seescribe

X ∼ U(a, b).

-

6

a b

1b−a

0

f(x)

x


4

La funcion de distribucion

Si X ∼ U(a, b), luego, si a < x ≤ b,

F (x) = Pr(X ≤ x) =∫ x

a

1b− a

du =[

u

b− a

]x

a

=x− a

b− a

-

6

a b

1

0

F (x)

x%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%

%%


5

La media y desviacion tıpica

Teorema 1. Sea X ∼ U(a, b). Entonces

E[X] =a + b

2

V [X] =(b− a)2

12

DT [X] =b− a√

12

Demostracion

E[X] =∫ b

a

1b− a

× x dx =[

x2

2(b− a)

]b

a

=b2 − a2

2(b− a)=

a + b

2


6

E[X2

]=

∫ b

a

x2

b− adx =

[x3

3(b− a)

]b

a

=b3 − a3

3(b− a)=

b2 + ab + a2

3

V [X] = E[X2

]− E[X]2 =

b2 + ab + a2

3−

(a + b

2

)2

=b2 + ab + a2

3− a2 + 2ab + b2

4

=a2 − 2ab + b2

12=

(b− a)2

12


7

Ejemplo 1. Si juego con la siguiente rueda de fortuna:

&%'$

��

��

��

��

��

��

gano

X

pierdo

¿Cual es la probabilidad de que gane?

Sea X el angulo desde la vertical a la flecha. Luego X ∼ U(0, 360o). Laprobabilidad de que gane es

Pr(X ≤ 90) =90− 0360− 0

=14


8

Distribucion exponencial

I En el tema anterior, estudiamos la distribucion Poisson X ∼ Pr(λ) comomodelo para el numero de sucesos raros en una unidad del tiempo. Ahora,supongamos que queremos estudiar la distribucion del tiempo Y entre unsuceso y el siguiente.

I En este caso, la distribucion de Y es una distribucion exponencial conparametro λ.

Definicion 1. Y tiene una distribucion exponencial con parametro λλλ si

f(y) = λe−λy

para 0 < y ≤ ∞. En este caso se escribe Y ∼ Ex(λ).

I La distribucion exponencial permite modelar la duracion de elementos: vidade personas, duracion de huelgas, del perıodo de desempleo, etc.


9

La funcion de distribucion de Y es

F (y) = Pr(Y ≤ y)

=∫ y

0

λe−λu du

=[−e−λu

]y

0

= 1− e−λy para 0 < y < ∞.

Finalmente,

F (y) ={

0 si y ≤ 01− e−λy si 0 < y

.


10

La media y varianza

Teorema 2. Si Y ∼ Ex(λ), entonces

E[Y ] =1λ

V [Y ] =1λ2

DT [Y ] =1λ

Demostracion parcial

Recordamos que λ es el numero de sucesos esperados en una unidad detiempo. Entonces, el tiempo esperado entre sucesos debe ser 1/λ, es decir queE[Y ] = 1/λ. �


11

Ejemplo 2. En promedio, hay 50 incendios serios cada ano en una localidad.Sabemos que el numero de fuegos por ano tiene una distribucion PoissonPoisson(50).

¿Cual es el tiempo medio entre fuegos?

Hallar la probabilidad de que despues del ultimo fuego, se tarde mas de 2semanas hasta el siguiente.

El tiempo medio entre fuegos es 1/50 de un ano, es decir 365/50 = 7,3 dıas.

Pr(T > 14) =∫ ∞

14

50365

e−50365t dt

= e−50365×14

≈ 0,147


12

Ejemplo 3. El tiempo T entre llegadas sucesivas de coches a un punto enla carretera se distribuye como una exponencial con parametro λ = 0,01segundos.

1) Hallar la media y varianza de T .

2) Una persona empieza a cruzar la calle inmediatamente despues de queun coche pasa por allı. Si tarda 50 segundos en cruzar la calle, ¿cual es laprobabilidad de que le atropelle la siguiente coche que pasa (suponiendo queno para)?

3) ¿Cual es la probabilidad de que en un minuto no llegue ningun coche?


13

1) E[T ] = 1/0,01 = 100 y V [T ] = 1/0,012 = 10000.

2)

Pr(T < 50) =∫ ∞

0

0,01e−0,01t dt

= 1− e−0,01×50

= 1− e−0,5

≈ 0,393

3) Sea X el numero de coches que llegan en un minuto. La distribucion de Xes Poisson:

X ∼ Poisson(60× 0,01) = Poisson(0,6).

Entonces Pr(X = 0) = 0,60e−0,6

0! ≈ 0,549.


14

Ejemplo 4. El tiempo de funcionamiento de una bombilla se distribuye comoexponencial con una media de 10 dıas.

a) ¿Cual es la probabilidad de que una bombilla funciona mas de 10 dıas?

b) Suponiendo que cada vez que falla una bombilla se la cambia por unanueva, hallar la probabilidad de que haya mas de un fallo en un mes (30 dıas).

c) Hallar el numero medio de fallos en un mes.


15

a) Sea T ∼ Ex(λ) el tiempo de funcionamiento. Hallamos el valor de λ.Sabemos que E[T ] = 10 = 1

λ y luego λ = 0,1.

Ahora:Pr(T > 10) = 1− Pr(T ≤ 10)

= 1−{1− e−0,1×10

}= e−1 ≈ 0,368

b) El numero de fallos X en 30 dıas tiene una distribucion PoissonX ∼ Poisson(30× 0,1) = Poisson(3).

Pr(X > 1) = 1− Pr(X ≤ 1)

= 1−{

30e−3

0!+

31e−3

1!

}≈ 0.801

c) El numero medio de fallos por mes son 3.


16

Otras distribuciones - Weibull

I La distribucion exponencial se caracteriza por no poseer memoria, es decir,la probabilidad de observar un evento en cualquier intervalo de tiempo nodepende del tiempo que ha pasado hasta ese intervalo.

I Esta caracterıstica es adecuada cuando los eventos aparecen al azar pero nocuando hay deterioro (e.g., duracion de huelgas y perıodo de desempleo) delsistema involucrado.

I Una generalizacion es la distribucion de Weibull:

Funcion de densidad: f(x) = cxc−1

bc exp(−x

n

)2

• Si c > 1 la tasa de eventos aumentara con el tiempo.• Si c < 1 la tasa de eventos disminuira con el tiempo.• Si c = 1, coincide con la exponencial.

Media: E[X] = bcΓ

(1c

).

Varianza: V [X] = b2

c

[2Γ

(2c

)− 1

cΓ2(1c

)].


17

Otras distribuciones - Pareto

I En los trabajos pioneros para describir la distribucion de la renta, VilfredoPareto, tras estudiar la renta en numerosos paıses, observo que al menos paravalores grandes: ln(N) ≈ ln(A)− αx,

donde A y α > 0 son parametros y N es el numero de individuos que percibenuna renta mayor o igual que x.

Sea X una variable aleatoria, por ejemplo, la renta de una persona. Lafuncion de distribucion de Pareto(α, x0) es:

F (x) ={

1−(

x0x

)αsi x ≥ x0

0 si x < x0

Media: E[X] = αx0α−1

Varianza: V [X] = αx20

(α−2)(α−1)2

Notar que E[X] y V [X] existensi α > 1 y > 2, respectivamente.


18

Otras distribuciones - Cauchy

I Una variable aleatoria se dice que sigue una distribucion de Cauchy(µ, θ),si tiene funcion de densidad:

f(x) =µ

π

1µ2 + (x− θ)2

, −∞ < x < ∞.

I La distribucion de Cauchy solo tiene momentos de orden p < 1:

E[|X|p] =1π

β

(1− p

2,1 + p

2

).

I La distribucion de Cauchy, por tanto, no posee ni media ni varianza.

I Se ha utilizado para modelar rendimientos de activos financieros.


19

Distribucion normal

I La distribucion normal o gaussiana es, probablemente, la distribucion con-tinua mas conocida y utilizada.

Definicion 2. Se dice que una variable X se distribuye como una normalcon parametros µµµ y σσσ si

f(x) =1

σ√

2πexp

(− 1

2σ2(x− µ)2

).

En este caso, se escribe X ∼ N (µ, σ).

I La media de la distribucion normal es µ y la desviacion tıpica es σ.

I La densidad normal es simetrica respecto de su media, µ.


20

Funcion de densidad de la distribucion normal

El siguiente grafico muestra la funcion de densidad de tres distribucionesnormales con distintas medias y desviaciones tıpicas.

−10 −5 0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)


21

Una propiedad de la distribucion normal:

Si X ∼ N (µ, σ), entonces

Pr(µ− σ < X < µ + σ) ≈ 0,683

Pr(µ− 2σ < X < µ + 2σ) ≈ 0,955

Pr(µ− 3σ < X < µ + 3σ) ≈ 0,997

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

xf(

x)

La regla de Chebyshev dice que para cualquier variable X:

Pr(µ− kσ < X < µ + kσ) ≥ 1− 1k2

.


22

Transformacion lineal de una variable normal

Si X ∼ N (µ, σ) e Y = a + bX es una transformacion lineal, luego

Y ∼ N (a + bµ, bσ).

I En particular, utilizando la transformacion Z = X−µσ , se tiene

Z ∼ N (0, 1)

que es la distribucion normal estandar.

I Existen tablas de esta distribucion que pueden utilizarse para el calculo deprobabilidades con variables normales de media y varianzas conocidas.


23

Tablas de la distribucion N (0, 1)N (0, 1)N (0, 1)


24

Tablas de la distribucion N (0, 1)N (0, 1)N (0, 1)


25

Ejemplo 5. Sea Z ∼ N(0, 1). Hallar:

Pr(Z < 1,5).Pr(Z > −1,5).Pr(−1,5 < Z < 1,5).Suponga que solo tiene la primera parte de la tabla ¿Se puede calcularPr(Z < 1,5)?

Tenemos

Pr(Z < 1,5) = 0,9332

Pr(Z > −1,5) = 1− Pr(Z < −1,5) = 1− 0,0668 = 0,9332

Pr(−1,5 < Z < 1,5) = Pr(Z < 1,5)− Pr(Z < −1,5)

= 0,9332− 0,0668 = 0,8664

Pr(Z < 1,5) = 1− Pr(Z > 1,5) = 1− Pr(Z < −1,5) ¿por que?

= 1− 0,0668 = 0,9332.


26

Ejemplo 6. Sea X ∼ N(µ = 2, σ = 3). Calcular Pr(X < 4).

En este caso, tipificamos la variable original:

Pr(X < 4) = Pr(X − 2 < 4− 2) = P

(X − 2

3<

4− 23

)= Pr

(Z < 0,666

)donde Z ∼ N(0, 1)

≈ 0,74540,7454 < Pr(Z < 0,666) < 0,7486

¿Cual es Pr(−1 < X < 3,5)?

Pr(−1 < X < 3,5) = Pr(−1− 2 < X − 2 < 3,5− 2)

= P

(−1− 2

3<

X − 23

<3,5− 2

3

)= Pr(−1 < Z < 0,5) donde Z ∼ N(0, 1)

= Pr(Z < 0,5)− Pr(Z < −1)

= 0,6915− 0,1587 = 0,5328.


27

Ejemplo 7. Es difıcil etiquetar la carne empaquetada con su peso correctodebido a los efectos de perdida de lıquido (definido como porcentaje del pesooriginal de la carne). Supongamos que la perdida de lıquido en un paquete depechuga de pollo se distribuye como normal con media 4 % y desviacion tıpica1 %.

Sea X la perdida de lıquido de un paquete de pechuga de pollo elegido al azar.

¿Cual es la probabilidad de que 3 % < X < 5 %?

¿Cual es el valor de x para que un 90 % de paquetes tengan perdidas de lıquidomenores de x?

En una muestra de 4 paquetes, hallar la probabilidad de que todos tenganperdidas de peso de entre 3 y 5 %.

Sexauer, B. (1980) Drained-Weight Labelling for Meat and Poultry: An Economic Analysis of

a Regulatory Proposal, Journal of Consumer Affairs, 14, 307-325.


28

Pr(3 < X < 5) = Pr(

3− 41

<X − 4

1<

5− 41

)= Pr(−1 < Z < 1)

= Pr(Z < 1)− Pr(Z < −1) = 0,8413− 0,1587 = 0,6827

Queremos Pr(X < x) = 0,9. Entonces

Pr(

X − 41

<x− 4

1

)= Pr(Z < x− 4) = 0,9

Mirando las tablas, tenemos x − 4 ≈ 1,28 que implica que un 90 % de laspaquetes tienen perdidas de menos de x = 5,28 %.

Para un paquete p = Pr(3 < X < 5) = 0,6827. Sea Y el numero de paquetesen la muestra que tienen perdidas de entre 3 % y 5 %. Luego Y ∼ B(4, 0,6827).

Pr(Y = 4) =(

44

)0,68274(1− 0,6827)4 = 0,2172.


29

Sumas y diferencias de dos variables normales

Si X ∼ N (µX, σX) e Y ∼ N (µ, σY ) son independientes, entonces la distribu-cion de la suma o diferencia de ambas variables es tambien normal con lassiguientes medias y desviaciones tıpicas:

X + Y ∼ N(

µX + µY ,√

σ2X + σ2

Y

)

X − Y ∼ N(

µX − µY ,√

σ2X + σ2

Y

).


30

Ejemplo 8. (Junio/2004) Un determinado establecimiento vende tres marcasdiferentes de coches. Sean X1, X2 y X3 variables aleatorias independientesnormales, que representan el volumen semanal de ventas para cada una de lasmarcas. Las ventas medias semanales de estas marcas son 42, 60 y 78 mileuros, respectivamente, y sus desviaciones tıpicas respectivas son 12, 18 y 10mil euros.

a) ¿Cual es la probabilidad de que la primera marca no supere los 30 mil eurosen una semana? ¿Y la probabilidad de que la segunda marca supere en unsemana la mediana de la tercera marca?

b) Calcular la probabilidad de que, en una semana determinada, las ventas delestablecimiento sean superiores a los 120 mil euros.

c) ¿Cual es la probabilidad de que la suma de las ventas de la primera marcay de la tercera superen a las ventas de la segunda marca en mas de 18 mileuros, en una semana?


31

a) X1 ∼ N(42, 12). Luego

Pr(X1 < 30) = P

(X1 − 42

12<

30− 4212

)= Pr(Z < −1) donde Z ∼ N (0, 1)

= 0,1587

La distribucion normal es simetrica en torno de su media, es decir que la moda,media y mediana son iguales. Entonces, queremos calcular Pr(X2 > 78).

Pr(X2 > 78) = P

(X2 − 60

18>

78− 6018

)= Pr(Z > 1)

= 0,1587


32

b) Las ventas totales son Y = X1 + X2 + X3, y

E[Y ] = 42 + 60 + 78 = 180

V [Y ] = 122 + 182 + 102 = 568

DT [Y ] ≈ 23,833

Y ∼ N(180, 23,833)

Pr(Y > 120) = P

(Y − 18023,833

>120− 180

23,833

)= Pr(Z > −2,52) = Pr(Z < 2,52) = 0,9941

c) Se quiere Pr(X1 + X3 − X2 > 18). Sea D = X1 + X3 − X2. LuegoE[D] = 42 + 78− 60 = 60 y V [D] = 568 como calculamos anteriormente.

Pr(D > 18) = P

(D − 6023,833

>18− 6023,833

)= Pr(Z > −1,76) = Pr(Z < 1,76) = 0,9608.


33

Ejemplo 9. (Junio/2002) Las calificaciones de 0 a 100 obtenidas en dospruebas distintas A y B por los alumnos presentados a la Selectividad, sonindependientes y siguen las distribuciones normales: NA(µ = 62;σ = 20) yNB(µ = 52; σ = 10), respectivamente. La prueba se considera superada con50 puntos. Calcular:

(a) La probabilidad de que un alumno en la prueba A haya obtenido unapuntuacion menor que 40.

(b) La probabilidad que haya superado la prueba B.

(c) Si un alumno ha obtenido una puntuacion de 68 en la primera prueba y de62,5 en la segunda ¿en que prueba ha obtenido mejor resultado respecto delos demas alumnos?

(d) Si para el acceso a una Universidad se necesita que la media aritmetica delas dos notas anteriores sea mayor que 70, ¿cual es la probabilidad de que unalumno escogido al azar pueda acceder a dicha Universidad?


34

a) Sea X la nota del alumno de la prueba A. Luego X ∼ N (62, 20).

Pr(X < 40) = P (X − 62 < 40− 62)

= P

(X − 62

20<

40− 6220

)= Pr(Z < −1,1) donde Z ∼ N (0, 1)

≈ 0,1357

b) Sea Y la nota del alumno de la prueba B. Entonces Y ∼ N (52, 10).

Pr(Y > 50) = P

(Y − 52

10>

50− 5210

)= Pr(Z > −0,2) donde Z ∼ N (0, 1)

= Pr(Z < 0,2) por simetrıa

≈ 0,5793


35

c) Si su resultado en la primera prueba es 68, calculamos el valor de Z

Z1 =68− 62

20= 0,3

En el segundo caso su resultado es 62,5 y

Z2 =62,5− 52

10= 1,05

Luego hace mucho mejor en la segunda prueba con respeto a sus companeros.

d) E[M ] =12(62 + 52) = 57 y V [M ] =

14

(202 + 102

)= 125.

Por tanto M ∼ N(57,√

125) y

Pr(M > 70) = P

(M − 57√

125>

70− 57√125

)≈ Pr(Z > 1,16) = Pr(Z < −1,16) = 0,1230.


36

Aproximacion mediante la distribucion normal

Hacemos el experimento de tirar una moneda con p = 1/3 un numero n deveces. Dibujamos la funcion de probabilidad de X = # cruces en los casosn = 5, 20, 50 y 100.

0 1 2 3 4 5

0.00

0.10

0.20

0.30

x

p

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

x

p

0 10 20 30 40 50

0.00

0.04

0.08

0.12

x

p

0 20 40 60 80 100

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

x

p


37

Se ve que para n grande, la funcion de probabilidad binomial tiene una formaparecida a la densidad normal.

0 20 40 60 80 100

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

x

p


38

Aproximacion normal de la distribucion binomial

Teorema 3. Si X ∼ B(n, p), entonces si n es suficientemente grande,

X − np√np(1− p)

≈ N(0, 1).

Esta aproximacion funciona bastante bien si tanto n (n > 30) como np yn(1 − p) son grandes. Si np o n(1 − p) es pequeno, (< 5), la aproximacionPoisson funciona mejor.

Ejemplo 10. Sea X ∼ B(100, 1/3). Estimar Pr(X < 40).

Calculamos primero a media y varianza de X.

E[X] = 100× 13

= 33.3

V [X] = 100× 13× 2

3= 22.2


39

Usamos la aproximacion normal

Pr(X < 40) = P

(X − 33.3

4,714<

40− 33.34,714

)≈ P (Z < 1,414) donde Z ∼ N(0, 1)

≈ 0,921.

La probabilidad correcta es

39∑x=0

(100x

) (13

)x (23

)100−x

= 0,903.

La aproximacion no parece muy satisfactoria pero la podemos mejorar.


40

Correccion de continuidad

I Si X ∼ B(n, p), entonces Pr(X ≤ x) = Pr(X < x + 1) e igualmentePr(X ≥ x) = Pr(X > x− 1).

I Cuando implementamos la aproximacion normal, usamos la correccion decontinuidad

Pr(X ≤ x) = Pr(X < x + 0,5)

Pr(X ≥ x) = Pr(X > x− 0,5)

Pr(x1 ≤ X ≤ x2) = Pr(x1 − 0,5 < X < x2 + 0,5)

Ejemplo 11. Volvemos al Ejemplo 10.

Pr(X < 40) = Pr(X ≤ 39) = Pr(X < 39,5)

≈ P

(Z <

39,5− 33.34,714

)= Pr(Z < 1,308) = 0,905

La aproximacion mejora usando la correccion de continuidad.


41

Ejemplo 12. El 35% de los habitantes de una ciudad votan a cierto partidopolıtico. Se encuesta a 200 personas. Llamemos X al numero de personas quevotan a dicho partido.

¿Cual es la distribucion de X?

Calcular la probabilidad de que entre la gente de la encuesta haya entre 70 y80 votantes de ese partido.

La “verdadera” distribucion de X es binomial

X ∼ B(200, 0,35).

La media de la distribucion es 70 y la desviacion tıpica es 6,745.

Para calcular Pr(70 ≤ X ≤ 80) usamos una aproximacion normal


42

Pr(70 ≤ X ≤ 80) = Pr(69,5 < X < 80,5)

= P

(69,5− 70

6,745<

X − 706,745

<80,5− 70

6,745

)≈ Pr(−0,074 < Z < 1,557)

= Pr(Z < 1,557)− Pr(Z < −0,074)

= 0,940− 0,470 = 0,47

I La distribucion binomial no es la unica distribucion que se puede aproximarmediante una distribucion normal. La distribucion de la media (o suma) de“cualesquiera” variables independientes y identicamente distribuidas

X =1n

(X1 + . . . + Xn)

puede aproximarse por una normal.


43

Teorema central del lımite

Teorema 4. Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes e igual-mente distribuidas con media µ y desviacion tıpica σ, ambas finitas. Si n essuficientemente grande, entonces

X − µ

σ/√

n≈ N (0, 1).

I El teorema puede interpretarse como que si n es grande, la suma∑n

i=1 Xi

tiene aproximadamente una distribucion normal

n∑i=1

Xi ≈ N(nµ, nσ2

).


44

Aproximacion normal de la distribucion Poisson

Sea X ∼ Poisson(λ) el numero de sucesos raros en una unidad de tiempo.Definimos Y como el numero de sucesos en n unidades de tiempo. Luegopodemos escribir

Y = X1 + X2 + . . . + Xn

donde Xi ∼ Poisson(λ) es el numero de sucesos en la i-esima unidad detiempo.

I Podemos aplicar el teorema central del lımite para aproximar la distribucionPoisson con una distribucion normal.

Teorema 5. Sea X ∼ Poisson(λ). Para λ grande (λ > 20), entonces

X ≈ N(λ,√

λ).


45

El grafico muestra la funcion de probabilidad de la distribucion Poisson conλ = 20 y la densidad normal con media y varianza λ.

0 10 20 30 40

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

x

P(X

=x)

La aproximacion se mejora si el valor de λ es mas grande.


46

I Cuando se utiliza la aproximacion normal de la distribucion Poisson, esimportante aplicar la correccion de continuidad.

Ejemplo 13. Sea X ∼ Poisson(49). Estimar Pr(45 ≤ X ≤ 52).

Pr(45 ≤ X ≤ 52) = Pr(44,5 < X < 52,5) por la correccion de continuidad

= P

(44,5− 49√

49<

X − 49√49

<52,5− 49√

49

)≈ Pr(−0,643 < Z < 0,5) donde Z ∼ N(0, 1)

= Pr(Z < 0,5)− Pr(Z < −0,643)

= 0,6915− 0,2602 ≈ 0,431

La solucion exacta calculada a traves de la distribucion Poisson es

Pr(45 ≤ X ≤ 52) =52∑

x=45

49xe−49

x!= 0,433.


47

Distribuciones asociadas a la distribucion normal

Definicion 3. Si X ∼ N(µ, σ) y se define Y = eX, se dice que Y se distribuyecomo logarıtmico normal con parametros µ, σ.

La distribucion logarıtmico normal es un modelo empleado tıpicamente paratiempos de funcionamiento de maquinas y para variables asimetricas comoingresos o gastos.

• E[Y ] = exp(µ + σ2/2).• Var(Y ) = exp(2µ+σ2)(exp(σ2)−1).

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

f(x)


48


Definicion 4. Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes eidenticamente distribuidas N (0, 1). La distribucion χ2 con n grados de

libertad es la distribucion de la v.a. S =n∑

i=1

X2i .

E[S] = n.

Var(S) = 2n.

χ2α

α


49


Definicion 5. Sean Y , X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes eidenticamente distribuidas N (0, 1). La distribucion t de Student con n

grados de libertad es la distribucion de la v.a. T = Y∑ni=1 X2

i.

E[T ] = 0.

Var(T ) = nn−2.

− tα tα 0

α α


50


Definicion 6. Sean X1, X2, . . . , Xn e Y1, Y2, . . . , Ym variables aleatorias in-dependientes e identicamente distribuidas N (0, 1). La distribucion Fn,m deFisher con n y m grados de libertad es la distribucion de la v.a. F =1n

∑ni=1 X2

i1m

∑mi=1 Y 2

i

.

E[F ] = mm−2.

Var(F ) = 2m2(n+m−2)n(m−2)2(m−4)

.

1/T ∼ Fm,n.

Fn,m,α = 1/Fm,n,1−α.

Fn,m,α

α


51

Recapitulacion


Distribucion uniforme.Distribucion exponencial.

W Ejemplos sencillos de v.a.continuas.

Distribucion normal.• Propiedades.• Aproximaciones mediante la distribu-

cion normal.• Otras distribuciones relacionadas con

la normal.

W La distribucion masutilizada en estadısticay econometrıa.


52

Tema 1. Introducción.Tema 2. Análisis de datos univariantes.Tema 3. Análisis de datos bivariantes.Tema 4. Correlación y regresión.Tema 5. Series temporales y números índice.

Tema 5. Probabilidad.Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales.Tema 7. Modelos probabilísticos discretos.Tema 8. Modelos probabilísticos continuos.Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales.

Descripción de variables y datos socioeconómicos

Modelización de la incertidumbre en las variables socieconómicas

Tema 5Tema 6Tema 7Tema 8

W Introduccion a la ProbabilidadVariables aleatorias unidimensionales:• Definicion y propiedades• Ejemplos.

Tema 9 W Variables aleatorias multidimensionales :

• Definicion y propiedades• Ejemplos.

⇑Estudiar situaciones mas realistas


Modelos probabilísticos continuos

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